ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 3 (9), стр. 364-372

НАРУШЕНИЕ T-СИММЕТРИИ В ОСЦИЛЛЯЦИЯХ НЕЙТРИНО

А. Е. Лобанов^*, А. В. Чухнова^**

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, физический факультет

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 11 апреля 2022 г.,

после переработки 26 мая 2022 г.

Принята к публикации 27 мая 2022 г.

Исследуется нарушение T-инвариантности для вероятностей флейворных переходов и переворота спи-

на нейтрино в плотном веществе и электромагнитном поле. Поскольку электромагнитное поле и по-

тенциалы взаимодействия со средой входят в волновое уравнение нейтрино, рассматриваемая мо-

дель является теорией с нарушением лоренц-инвариантности. Для таких моделей не выполняются

условия CPT-теоремы и нарушение T-инвариантности не обязательно является следствием нарушения

CP-инвариантности. Получено достаточное условие нарушения T-инвариантности, из которого следует,

что причиной T-нарушения может быть не только наличие отличной от нуля CP-нарушающей фазы

в матрице смешивания, но и одновременное влияние среды и электромагнитного поля. Получены веро-

ятности спин-флейворных переходов нейтрино в модели трех флейворов с учетом наличия у нейтрино

диагональных магнитных моментов и взаимодействия со средой только через нейтральные токи. На осно-

ве явного вида вероятностей сделан вывод, что вероятности переходов для правых антинейтрино в среде

из античастиц отличаются от вероятностей переходов для левых нейтрино в среде из частиц только

знаком T-нарушающего слагаемого.

DOI: 10.31857/S0044451022090085

не только P-симметрия, но и CP-симметрия на-

EDN: EKOCOG

рушаются в экспериментах с участием каонов [6]

и B-мезонов [7,8].

Исследование свойств дискретных симметрий

1. ВВЕДЕНИЕ

может быть важно для понимания эволюции Все-

ленной, так как без нарушения CP-инвариантности

Как хорошо известно, теории, лежащие в ос-

невозможно объяснить асимметрию вещества

нове всех известных на данный момент физиче-

и антивещества

[9]. Как известно, нарушение

ских явлений, являются лоренц-инвариантными [1].

CP-инвариантности имеет место в кварковом

В соответствии с CPT-теоремой, после проведе-

секторе и обусловлено наличием комплексных эле-

ния зарядового сопряжения, пространственного от-

ментов в матрице смешивания Кабиббо-Кобаяши-

ражения и обращения времени любая локальная

Маскавы [10]. Матрицу смешивания дираковских

лоренц-инвариантная теория с эрмитовым гамиль-

фермионов удобно параметризовать тремя углами

тонианом принимает исходный вид [2, 3]. Инвари-

и одной CP-нарушающей фазой. При этом CP-

антность по отношению к этим же преобразовани-

нарушение определяется инвариантом Ярлског [11].

ям, проведенным по отдельности, зависит от типа

Тем не менее нарушения CP-инвариантности за счет

рассматриваемого взаимодействия. Например, из-

мнимой части матрицы смешивания для кварков

вестно, что электромагнитное взаимодействие ха-

оказывается недостаточно для обеспечения суще-

рактеризуется наличием P-симметрии. В слабом

ствующей асимметрии вещества и антивещества

взаимодействии, как было предсказано теоретиче-

во Вселенной (см., например, [12-14]).

ски [4] и вскоре подтверждено экспериментально [5],

В качестве дополнительного источника

P-инвариантность нарушается и сохраняется только

CP-нарушения можно рассматривать процессы

CP-инвариантность. Впоследствии оказалось, что

с участием нейтрино. На данный момент не дока-

^* E-mail: lobanov@phys.msu.ru

зано наличие отличной от нуля CP-нарушающей

^** E-mail: av.chukhnova@physics.msu.ru

фазы в матрице Понтекорво-Маки-Накагавы-

364

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Нарушение T-симметрии в осцилляциях нейтрино

Сакаты [15, 16], определяющей смешивание леп-

в модели трех флейворов могут содержать мнимую

тонов. Наличие такой фазы должно приводить

часть. Таким образом, T-нарушение может возник-

к нарушению T-инвариантности вероятностей ос-

нуть даже в случае осцилляций нейтрино в вакуу-

цилляций нейтрино в вакууме (см., например, [17]).

ме. Однако при наличии внешних полей и потенци-

Однако

такой

механизм

нарушения

алов взаимодействия с веществом в общем случае

T-инвариантности даже для нейтрино, описывае-

также возможны корреляции между двумя типами

мого в рамках Стандартной модели, оказывается

T-нарушающих вкладов. В работе [18] был сделан

не единственно возможным. В работе [18] мы пока-

вывод, что вероятности переходов нейтрино в среде

зали, что в модели двух флейворов может возникать

из частиц отличаются от вероятностей переходов ан-

T-нарушение за счет влияния внешних условий,

тинейтрино в среде из античастиц при том же элек-

если рассматривать взаимодействие нейтрино од-

тромагнитном поле только знаком T-нарушающего

новременно с движущейся или поляризованной

слагаемого. Этот вывод следует из явного вида веро-

средой и электромагнитным полем. При этом сла-

ятностей переходов в модели двух флейворов. При

гаемые, характеризующие T-нарушение, возникают

этом исследуемая модель является теорией с на-

уже при рассмотрении достаточно простой модели,

рушением лоренц-инвариантности и, следовательно,

а именно, взаимодействия нейтрино со средой через

для нее не выполняются условия CPT-теоремы. Та-

нейтральные токи и с электромагнитным полем

ким образом, в модели трех флейворов свойства дис-

с учетом только диагональных магнитных момен-

кретных симметрий вероятностей требуют дополни-

тов. Стоит отметить, что в модели двух флейворов,

тельного исследования.

рассмотренной в работе [18], матрица смешива-

В настоящей работе получен явный вид вероят-

ния является действительной, вследствие чего

ностей спин-флейворных переходов в модели трех

нарушение T-инвариантности в формулах для веро-

флейворов. Для исследования свойств вероятностей

ятностей может быть обусловлено исключительно

переходов антинейтрино детально описана процеду-

влиянием внешних условий.

ра получения этих вероятностей. В результате ока-

Исходя из характера смешивания в веществе,

зывается, что, как и в случае двух флейворов, ве-

авторы работ, в которых ранее исследовалась воз-

роятности переходов правых антинейтрино в среде

можность T-нарушения в модели двух флейворов

из античастиц при наличии электромагнитного поля

(см., например, [19-21]), cделали заключение, что

отличаются от вероятностей переходов левых ней-

такое нарушение невозможно. Однако этот вывод

трино в среде из частиц только знаком собственного

справедлив, только если нейтрино распространяет-

времени.

ся в неподвижной среде. Принципиальное отличие

исследуемого нами случая состоит в том, что учет

движения или поляризации среды приводит к по-

2. УРАВНЕНИЕ ЭВОЛЮЦИИ НЕЙТРИНО

явлению корреляций между осцилляциями и пово-

ротом спина нейтрино, вследствие чего нельзя рас-

Взаимодействие с веществом обычно описыва-

сматривать эти процессы независимо. Таким обра-

ется с использованием эффективного потенциала,

зом, недостаточно рассматривать флейворные ос-

связанного с упругим рассеянием нейтрино вперед

цилляции, не учитывая возможность поворота спи-

на фермионах среды [23] (см. также [24, 25]). Для

на нейтрино. Рассматриваемый нами случай являет-

того чтобы описать взаимодействие с электромаг-

ся более общим, чем исследованный в указанных вы-

нитным полем, можно использовать метод, назы-

ше работах. Поэтому противоречия между нашими

ваемый картиной Фарри [26]. Поскольку нейтри-

результатами и выводами, сделанными для нейтри-

но представляет собой нейтральную частицу, вза-

но в неподвижной среде, не возникает. В частности,

имодействие нейтрино с электромагнитным полем

известное утверждение о том, что наличие взаимо-

не является минимальным [27]. Более того, в общем

действия со средой только через нейтральные токи

случае следует рассматривать не только диагональ-

не меняет картину осцилляций, не выполняется для

ные магнитные моменты, но и переходные магнит-

движущейся или поляризованной среды (см., напри-

ные и электрические моменты [28, 29].

мер, [22]).

Наиболее общий вид уравнения, описывающего

Результаты, полученные нами в работе [18] в мо-

как флейворные осцилляции, так и поворот спина

дели двух флейворов, интересно обобщить для ре-

нейтрино, взаимодействующего с веществом и элек-

алистичной модели трех флейворов. Как уже го-

тромагнитным полем, был найден в работе [30]. Как

ворилось, элементы матрицы смешивания нейтрино

и в работе [18], мы будем предполагать, что взаи-

365

А. Е. Лобанов, А. В. Чухнова

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

модействие со средой происходит через нейтраль-

ляются 12-компонентными объектами, удовлетворя-

ные токи, и будем учитывать только диагональные

ют условию γ^μu_μΨ(τ) = Ψ(τ) и являются решения-

магнитные моменты нейтрино. Последнее прибли-

ми квазиклассического уравнения эволюции, полу-

жение обусловлено тем, что в рамках Стандартной

ченного из уравнения (1):

модели переходные моменты подавлены по сравне-

(

)

нию с диагональными за счет GIM-механизма [31].

- F Ψ(τ) = 0.

(3)

dτ

В этом случае модифицированное уравнение Дира-

В уравнении (3)

ка выглядит следующим образом:

(

)

F =M+

(f(N)u)I +

R_N Iγ⁵γ^σs(N)σγ^μu_μ -

iγ^μ∂_μI-M-

γ^μf(N)μ(1+γ⁵)I-

F^μνσμνMd Ψ(x) =

- M_dγ⁵γμ ⋆F_μνu^ν,

(4)

= 0.

(1)

где^⋆F_μν = -e^μνρλF_ρλ/2 — тензор, дуальный тензо-

Здесь I — единичная матрица размерности 3 × 3,

ру электромагнитного поля. Здесь мы используем

M — массовая матрица нейтрино. Взаимодействие

следующие обозначения:

с веществом определяется эффективным потенци-

алом

, который может быть выражен через

u_σ(f(N)u) -

s(N)σ =

√

4-векторы тока jμi) и поляризации λμi) компонент

(f(N)u)² - (f(N))²

(5)

среды (i) [32, 33]. В соответствии с принятой в рус-

√

R_N = (f(N)u)² - (f(N))².

скоязычных монографиях традицией, мы исполь-

зуем определение γ⁵

= -iγ⁰γ¹γ²γ³ (см., напри-

С помощью оператора эволюции U(τ) решение

мер, [34, 35]). Взаимодействие с электромагнитным

уравнения (3) в любой момент времени можно вы-

полем F^μν осуществляется за счет наличия у ней-

разить через волновую функцию нейтрино в началь-

трино аномального магнитного момента. Отметим,

ный момент времени Ψ₀:

что в рамках Стандартной модели в первом прибли-

жении матрица диагональных магнитных моментов

Ψ (τ) =

√ U(τ)Ψ₀.

(6)

2u₀

нейтрино M_d пропорциональна массовой матрице

нейтрино и может быть представлена в виде μ₀M.

Тогда зависящие от времени матрицы плотности

Выражение для коэффициента μ₀ хорошо известно

нейтрино определяются следующим образом:

и было получено еще в работе [28].

Мы используем модель, допускающую квантово-

ρ_α(τ) =

U (τ)(γ^μu_μ + 1)(1 - γ⁵γ_ν sν0 )Pα0U(τ) =

4u⁰

полевое описание осцилляций нейтрино и поворота

спина. Подробности построения модели в вакууме

U (τ)(γ^μu_μ + 1)P(α)0U(τ),

(7)

2u⁰

можно найти в работах [36,37]. Из результатов этих

где Pα0 — проектор на состояние с флейвором ней-

работ следует, что вместо канонического импульса

трино α, sν0 — 4-вектор начальной поляризации ней-

для описания нейтрино можно использовать кине-

трино, P(α)0 — проектор на начальное состояние ней-

тический импульс, связанный со скоростью части-

трино с флейвором α и 4-вектором поляризации sν0 .

цы. При этом 4-скорость частицы u^μ можно выбрать

Вероятности спин-флейворных переходов нейтрино

одинаковой для всех массовых состояний, что поз-

задаются известным выражением [38]

воляет определить понятие собственного времени τ

{

}

нейтрино.

W_α→β = Tr

ρ_α(τ)ρ^†β(τ = 0)

(8)

Для нейтрино ультрарелятивистских энергий

Разумеется, явный вид матрицы U(τ) удается по-

вполне справедливо описание в рамках квазиклас-

лучить только в некоторых частных случаях. Для

сического приближения. Рассматривая координату

рассматриваемой нами задачи явный вид решения

пространства событий x^μ как координату нейтрино,

можно найти даже в модели трех флейворов.

мы можем использовать соотношение xμ = τuμ.

Таким образом, эволюция нейтрино определяется

только собственным временем, которое связано

3. НАРУШЕНИЕ T-СИММЕТРИИ

с длиной пробега L соотношением

В ОСЦИЛЛЯЦИЯХ НЕЙТРИНО

τ = L/|u|.

(2)

Будем исследовать T-нарушение на основе фор-

Чтобы описать эволюцию нейтрино, введем квази-

мулы для вероятностей (8) в случае постоянных ха-

классические волновые функции Ψ(τ), которые яв-

рактеристик среды и электромагнитного поля. Если

366

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Нарушение T-симметрии в осцилляциях нейтрино

нейтрино распространяется в переменном электро-

Здесь P(α)0 и P(β)0 — проекторы на состояния с опре-

магнитном поле или неоднородной среде, то фор-

деленным флейвором и поляризацией, которые мо-

мальная симметрия по отношению к операции об-

гут быть представлены как произведения флейвор-

ращения времени очевидным образом нарушается

ного проектора Pα0 и спинового проектора

(см., например, [39]), так как начальное и конечное

состояния системы соответствуют разным внешним

(1 - ζ_α,β γ⁵γ_μsμ0), ζ_α, ζ_β = ±1,

(12)

условиям. Поскольку в общем случае результат за-

висит от поведения плотности вещества и характе-

где sμ0 — 4-вектор, определяющий поляризацию ней-

ристик электромагнитного поля, достаточно слож-

трино.

но в этом случае разделить T-нарушение вследствие

симметрии взаимодействия и наличие нечетных по τ

Нарушение T-симметрии возможно тогда и толь-

вкладов, определяемых выбором конкретного про-

ко тогда, когда какие-либо слагаемые нечетной по τ

филя полей и потенциалов. Исходя из аналогич-

степени в выражении

(10) отличны от нуля.

ных соображений, начальное и конечное состояния

Поскольку линейный по τ член тождественно

нейтрино мы описываем в терминах квантовых чи-

равен нулю, достаточным условием нарушения

сел, соответствующих одним и тем же операторам

T-симметрии является отличие от нуля члена

наблюдаемых. В частности, для ультрарелятивист-

третьей степени по τ. В вакуумном случае это

ких нейтрино естественно рассматривать начальное

условие может выполняться, только если матри-

и конечное состояния нейтрино, соответствующие

ца смешивания нейтрино содержит комплексные

собственным векторам оператора спиральности. Со-

элементы. В общем случае взаимодействие со сре-

ответствующий 4-вектор поляризации нейтрино за-

дой и электромагнитным полем может привести

дается выражением

к наличию нетривиального коэффициента перед τ³

даже тогда, когда CP-нарушающая фаза в матрице

{

u }

s^μ

= |u|, u₀

(9)

смешивания равна нулю.

|u|

Рассматривать задачу, в которой начальное и ко-

нечное состояния задаются разными операторами,

4. ЯВНЫЙ ВИД ВЕРОЯТНОСТЕЙ

также возможно, но, как и в случае неоднородных

В СЛУЧАЕ ТРЕХ ФЛЕЙВОРОВ

полей, возникающий в этом случае нечетный по вре-

мени вклад в вероятностях переходов уже не свиде-

В случае, если взаимодействие с веществом осу-

тельствует о T-нарушении, связанном с симметрией

ществляется только через нейтральные токи, а взаи-

взаимодействия.

модействие с электромагнитным полем определяет-

В работе [30] было получено общее выражение

ся диагональными моментами нейтрино, матричную

для вероятностей спин-флейворных переходов ней-

экспоненту

трино в постоянном электромагнитном поле и в ве-

ществе, характеризующемся постоянными скоро-

U (τ) = e-iτF =

стью и поляризацией. Эта формула является след-

{

(

ствием разложения выражения (8) в ряд на ос-

= exp -iτ M +

(f(N)u)I +

R_N Iγ⁵γ^σs(N)σγ^μu_μ -

нове формулы Бейкера-Кемпбелла-Хаусдорфа [40]

)}

- M_dγ⁵γμ ⋆F_μν

u^ν

(13)

и имеет вид

{

}

можно записать в явном виде

W_α→β =

e-iτFP(α)0eiτFP(β)0(γ^μu_μ + 1)γ⁰

2u⁰

∑

{

}

(-iτ)ⁿ

U (τ) =

D_nP(β)0(γ^μu_μ + 1)

(10)

∑

{ (

)}

1^∑

n=0

exp -iτ mi +

(f(N)u) -

ζ_iR_i

где

i ζi=±1

D₀ = P(α)0,

× Pⁱ(1 - ζ_iγ⁵γ_μsμi ),

(14)

D₁ = [F, P(α)0],

(11)

где Pⁱ — проектор на состояния с определенной мас-

[

]

D₂ =

F,[F,P(α)0]

сой m_i (i = 1, 2, 3). В выражении (14) используются

обозначения

367

А. Е. Лобанов, А. В. Чухнова

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

u^μ(f(N)u) - f(N)μ - 2μ_i⋆F^μνu

s^μi =

R_i

(15)

√

R_i = (f(N)u)² - (f(N))² + 4μ2i(u_α⋆F^αμ⋆F_μνu^ν) - 4μ_i(f(N)μ⋆F_μνu^ν),

где μ_i — диагональные магнитные моменты нейтри-

сложную структуру, чем выражение (18). При этом

но. Запись оператора эволюции в виде (14) оказыва-

в выражениях для вероятностей появятся дополни-

ется возможна, так как массовая матрица и спино-

тельные T-нечетные слагаемые. Как уже указыва-

вый проекционный оператор (1-ζ_iγ⁵γ_μs^μi)/2 комму-

лось, появление этих слагаемых обусловлено выбо-

тируют с оператором F. Действительно, следствием

ром начальных условий, но не отражает свойства

определения (15) является тождество

симметрии взаимодействия.

(

)

Для записи итоговых формул введем обозначе-

γ⁵

γ_μ

R_N s(N)μ - μ_iγ_μ⋆F^μν

uν (1 - ζiγ5γσsσi) =

ния для вещественной и мнимой части входящего

в выражение (17) следа флейворных матриц:

ζ_iR_i(1 - ζ_iγ⁵γ_μs^μi),

(16)

Tr{PⁱP^αP^j†P^β†} =

которое вместе с соотношениями MPⁱ

= m_iPⁱ

и M_dPⁱ = μ_iPⁱ позволяет переписать матричную экс-

= Tr{PⁱU^†Pα0UP^j U^†Pβ0U} = U^∗αiU_αj U^∗βj U_βi =

поненту в виде (14).

= R_ijαβ + iI_ijαβ,

(19)

Таким образом, вероятности спин-флейворных

переходов задаются соотношением

где R_ijαβ

— вещественная часть следа, I_ijαβ

—

∑

мнимая, причем Rijαβ = Rjiαβ, а Ijiαβ = -Iijαβ

W_α→β =

e-iτ(mi-mj) ×

(см. [17]). В этом выражении Pα0 и Pβ0 — проекто-

i,j

∑

ры на флейворные состояния во флейворном пред-

× eiτ(ζiRⁱ-ζjR^j)/2 Tr{PⁱP^αP^j†P^β†} ×

ставлении, которые связаны с использованными на-

ζi,ζj

ми ранее проекторами в массовом представлении со-

{

(1 - ζ_iγ⁵γ_μs^μi)(1 - ζ_αγ⁵γ_σsσ0) ×

отношениями

}

× (1 - ζ_j γ⁵γ_ν s^νj )(1 - ζ_β γ⁵γ_ρsρ0)(γ_λu^λ + 1)

(17)

P^α = U^†Pα0U, P^β = U^†Pβ0U,

где учтено, что след прямого произведения мат-

риц вычисляется как произведение их следов:

где U — матрица смешивания Понтекорво-Маки-

Tr{A ⊗ B} = Tr A Tr B.

Накагавы-Сакаты, а U_αi — ее матричные элементы.

При вычислении следа матриц Дирака важно,

Таким образом, вероятность перехода без пово-

что начальная и конечная поляризации нейтрино

рота спина задается выражением

характеризуются одинаковыми (с точностью до зна-

ка) 4-векторами sμ0:

∑

(

)

R_iτ

W₊

|U_αi|²|U_βi

|2 cos2

+ sin²

(s₀s_i)2

{

(1 - ζ_iγ⁵γ_μs^μi)(1 - ζ_αγ⁵γ_σsσ0) ×

∑(

)

}

R_ijαβ cos(m_j - m_i)τ - I_ijαβ sin(m_j - m_i)τ

× (1 - ζ_j γ⁵γ_ν s^νj )(1 - ζ_β γ⁵γ_ρsρ0)(γ_λu^λ + 1)

i<j

(

)

= (1 + ζ_αζ_β ) ×

R_iτ

R_jτ

R_iτ

R_jτ

× cos

cos

+ sin

sin

(s₀s_i)(s₀s_j)

× (1 - ζ_α(ζ_i(s₀s_i) + ζ_j (s₀s_j )) + ζ_iζ_j (s_is₀)(s_j s₀)) +

∑(

)

+ (1 - ζ_αζ_β )ζ_iζ_j ×

+2ζ_α

R_ijαβ sin(m_j -m_i)τ +I_ijαβ cos(m_j -m_i)τ

i<j

× (-(s_is₀)(s_j s₀) - ζ_αie_μνρλsμi s^νj sρ0u^λ - (s_is_j )).

(18)

(

R_iτ

R_jτ

× sin

cos

(s₀s_i) -

Если начальное и конечное состояния характеризу-

)

ются разными векторами поляризации, то выраже-

R_iτ

R_jτ

- cos

sin

(s₀s_j ) ,

(20)

ние для следа матриц Дирака будет иметь более

368

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Нарушение T-симметрии в осцилляциях нейтрино

а вероятность перехода с переворотом спина — вы-

личаться от вероятностей переходов между состоя-

ражением

ниями нейтрино с определенной спиральностью.

∑

(

)

R_iτ

W_- =

|U_iα|²|U_iβ |²

1 - (s₀s_i)²

sin²

Если положить значение потенциала взаимодей-

∑(

)

ствия и тензора электромагнитного поля равны-

R_ijαβ cos(m_j - m_i)τ - I_ijαβ sin(m_j - m_i)τ

ми нулю, то вероятности, определяемые формула-

i<j

ми (20) и (21), в ультрарелятивистком приближе-

R_i

R_j

(

)

× sin

τ sin

-(s_is_j ) - (s_is₀)(s_j s₀)

нии не противоречат общеизвестным выражениям

∑(

)

(см., например, [17]). Вероятность переходов с по-

+2ζ_α

R_ijαβ sin(m_j -m_i)τ +I_ijαβ cos(m_j -m_i)τ

воротом спина нейтрино W_- в вакууме оказывает-

i<j

ся равной нулю для любых флейворов. Вид форму-

R_i

R_j

× sin

τ sin

τ (e_μνρλs^μis^νj sρ0u^λ).

(21)

лы для W₊, полученный из (20) при переходе к ва-

куумному случаю, отличается от стандартного из-

В выражении для вероятностей переходов без пе-

за того, что для описания осцилляций мы исполь-

зуем не канонический импульс, а квантовое число

реворота спина T-нарушение определяется толь-

ко мнимой частью следа (19), т. е. инвариантом

u^μ, имеющее в вакууме смысл 4-скорости. Как по-

казано в работе [41], выбор такого квантового чис-

Ярлског I_ijαβ . Однако в выражениях для пере-

ходов с изменением спиральности в T-нарушение

ла для описания распространения нейтрино возмо-

жен и в случае наличия взаимодействия со сре-

также вносят вклад слагаемые, пропорциональ-

ные вещественной части следа

(19) и величине

дой и электромагнитным полем. В эквивалентно-

e_μνρλs^μis^νjsρ0u^λ. Множители такого же типа опреде-

сти формул, выраженных через указанные кванто-

ляли T-нарушение в модели двух флейворов. По-

вые числа, наиболее легко убедиться в модели двух

следнее выражение можно переписать, используя

флейворов. Для этого достаточно провести замену

трехмерные величины, которые определены в лабо-

|p| = |u|(m₁ + m₂)/2.

раторной системе отсчета:

Интересно отметить, что вклад, нарушающий

ζ_αe_μνρλu^μsν0s^ρis^λj =

T-инвариантность вследствие влияния внешних

μ_j - μ_i

([

](

))

= 2ζ_α

u×f

u₀B - [u × E]

(22)

условий, не содержит зависимости от мнимой части

R_iR_j

|u|

матрицы смешивания, а определяется только ее

Здесь E, B

— напряженности электрического

действительной частью. Именно этот факт явля-

и магнитного полей, f — пространственная часть 4-

ется причиной того, что в модели двух флейворов

потенциала взаимодействия со средой, которая

T-нарушение также присутствует.

определяется скоростью движения среды как

целого и ее поляризацией. Как и в модели двух

флейворов, соответствующее слагаемое не равно

В полученных нами вероятностях T-нарушение

нулю, когда выделенные направления, характе-

за счет влияния внешних условий присутствует

ризующие среду и поле, различны и отличаются

только в вероятностях переходов с переворотом спи-

от направления скорости нейтрино. При этом для

на. Тем не менее это является не общим свойством

покоящейся неполяризованной среды выраже-

такого типа нарушения, а следствием выбора на-

ние (22) обращается в нуль.

ми упрощенной модели взаимодействия со средой.

Левая часть выражения (22) представляет собой

Как показано в работе [22], при наличии взаимодей-

лоренцевский скаляр. Поэтому для перехода в си-

ствия со средой через нейтральные и заряженные

стему отсчета, где среда неподвижна, следует пре-

токи присутствуют корреляции между флейворны-

образовать 4-векторы u^μ, sν0, s^ρi и s^λj. Поскольку

ми осцилляциями и переворотом спина нейтрино.

нейтрино имеет массу, в указанной системе отсчета

Таким образом, можно ожидать, что при учете вза-

4-вектор поляризации будет отличаться от sμ0, опре-

имодействия нейтрино с электромагнитным полем

деляемого выражением (9), а значит, не будет опи-

и средой общего вида вероятности флейворных пе-

сывать спиральное состояние нейтрино. Таким об-

реходов с сохранением поляризации также будут со-

разом, вероятности, полученные из выражений (20)

держать T-нарушающие слагаемые, обусловленные

и (21) переходом в систему покоя среды, будут от-

влиянием внешних условий.

369

А. Е. Лобанов, А. В. Чухнова

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

5. ДИСКРЕТНЫЕ СИММЕТРИИ

рождения и уничтожения в волновых функциях

ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДОВ

квантованных полей (см., например, [34]), поэтому

достаточно сложно обобщить их на классическое

В квазиклассическом приближении операции

фоновое электромагнитное поле, определяемое тен-

T-отражения соответствует изменение знака соб-

зором F^μν, а также на потенциал взаимодействия

ственного времени τ. Операция P-отражения явля-

с веществом

. Соответствующие слагаемые

ется хорошо определенной формальной операцией,

в уравнении

(1) являются результатом редук-

проводимой над квантованной волновой функцией

ции радиационных поправок и, следовательно,

частицы. Однако более интересно исследовать

взаимодействие с этими полями не является ми-

свойства симметрии итоговых выражений для ве-

нимальным. Именно по этой причине не удается

роятностей, которые представляют собой наблюда-

обобщить дискретные преобразования на случай

емые величины. Как хорошо известно, P-отражение

моделей с нарушенной лоренц-инвариантностью

приводит к изменению знака поляризации частицы

так же изящно, как удалось это сделать с понятием

в выражениях для вероятностей процессов (см. [1]).

лоренц-инвариантности в блестящей работе [46],

Следовательно, в качестве процедуры P-отражения

где рассматривалось минимальное взаимодействие

можно рассматривать изменение знаков ζ(α)0 и ζ(β)0,

электрона с внешним электромагнитным полем.

определяющих начальную и конечную поляризации

Однако поскольку природа конденсатов извест-

нейтрино. Операцию зарядового сопряжения сле-

на, мы вполне можем исследовать поведение ней-

дует проводить для решений волнового уравнения,

трино в среде, состоящей из античастиц, не обобщая

описывающего эволюцию нейтрино (1), обычным

понятия C- и P-операций для внешних полей. Вид

образом [42] (см. также [34]). Физический смысл

потенциалов взаимодействия с веществом известен

этой операции прост: вместо нейтрино мы иссле-

(см., например, [17]). Детальный вывод этих выра-

дуем антинейтрино, а фоновое электромагнитное

жений для случая движущейся и поляризованной

поле и характеристики среды остаются неизмен-

среды дан в работе [47]. Аналогичным образом вы-

ными. При этом система, полученная в результате

вод потенциалов взаимодействия можно воспроизве-

указанного выше преобразования, отличается от ис-

сти для среды, состоящей из античастиц. При этом

ходной. В уравнении (1) в результате C-сопряжения

эффективный потенциал взаимодействия нейтрино

меняется киральный проектор, знаки потенциалов

со средой, частицы которой характеризуются опре-

взаимодействия с веществом и знак магнитного мо-

деленной поляризацией, только знаком отличается

мента. В модели трех флейворов в этом уравнении

от потенциала взаимодействия нейтрино с антича-

также необходимо сделать комплексное сопряже-

стицами противоположной поляризации.

ние флейворных матриц. В результате последней

операции меняет знак мнимая часть следа (19),

Теперь рассмотрим взаимодействие антинейтри-

входящего в выражения для вероятностей. В вы-

но со средой, состоящей из античастиц. Для того

ражениях для вероятностей переходов зарядовое

чтобы наши соображения были более прозрачны-

сопряжение приводит к следующим изменениям.

ми, сначала рассмотрим два частных случая. Полу-

Во-первых, меняются все знаки магнитных момен-

чим вероятности переходов антинейтрино, распро-

тов. Во-вторых, одновременная замена кирального

страняющегося в среде, состоящей из античастиц,

проектора и знака потенциала приводит к следу-

в случае, если электромагнитное поле отсутству-

ющему правилу: когда потенциал входит в вектор

ет. Для того чтобы записать вероятности для ан-

спина s^μi, знак его не меняется, в противном случае

тинейтрино правой поляризации, необходимо изме-

необходимо изменить знак потенциала. В-третьих,

нить знаки начальной и конечной поляризаций час-

меняют знак величины I_ijαβ .

тицы ζ(α)0 → -ζ(α)0 и ζ(β)0 → -ζ(β)0, знаки всех мно-

Разумеется, полученные нами вероятности

жителей I_ijαβ , а также знаки

μ по правилу, ука-

не являются инвариантными относительно CPT-

занному выше. Если при этом среда состоит из ан-

преобразования, проведенного только для волновой

тичастиц, нужно еще раз изменить знак потенциа-

функции нейтрино при тех же внешних условиях.

ла

μ везде, где этот потенциал входит в вероят-

Как было сказано выше, исследуемая модель явля-

ности. В результате этих действий мы получим ис-

ется теорией с нарушением лоренц-инвариантности

ходные вероятности. Таким образом, в модели трех

[43-45]. Следовательно, CPT-теорема не примени-

флейворов левые нейтрино распространяются в сре-

ма. Стоит отметить, что в квантовой теории поля

де, состоящей из частиц, так же, как правые анти-

C-, P- и T-операции определяются для операторов

нейтрино в среде, состоящей из античастиц.

370

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Нарушение T-симметрии в осцилляциях нейтрино

Теперь рассмотрим взаимодействие антинейтри-

шение за счет влияния внешних условий опреде-

но только с электромагнитным полем. Для того что-

ляется векторным произведением пространственной

бы описать движение антинейтрино, требуется из-

части потенциала взаимодействия со средой и на-

менить знаки всех множителей I_ijαβ и знаки маг-

пряженностей полей, умноженным на вещественные

нитных моментов нейтрино. Из вида полученных

части четверных комбинаций элементов матрицы

таким образом выражений следует, что в электро-

смешивания. Показано, что в модели трех флей-

магнитном поле левые нейтрино распространяются

воров, как и в модели двух флейворов, вероятно-

так же, как правые антинейтрино. Как и в модели

сти переходов для правого антинейтрино в среде,

двух флейворов, мы получили, что, для того чтобы

состоящей из античастиц, и для левого нейтрино

вероятности переходов совпали с исходными, надо

в среде из частиц при наличии постоянного элек-

не только сделать C-сопряжение, но и изменить по-

тромагнитного поля различаются только знаками

ляризацию частицы, т. е. сделать P-отражение. Если

T-нарушающих слагаемых. Обнаруженный меха-

для взаимодействия нейтрино с веществом анало-

низм нарушения T-инвариантности за счет наличия

гичный результат был вполне ожидаемым, так как

постоянных внешних условий принципиально ва-

слабое взаимодействие CP-четно, то для нейтрино,

жен, так как приводит к появлению T-нарушающих

участвующих только в электромагнитном взаимо-

вкладов уже для достаточно простых систем, харак-

действии, такой результат возникает исключитель-

теризующихся постоянными параметрами, но при

но тогда, когда мы рассматриваем частицу, имею-

этом не требует введения дополнительных частиц

щую более одного флейвора.

или новых типов взаимодействия, т. е. справедлив

В этой работе мы получили вероятности спин-

для частиц, описываемых в рамках Стандартной мо-

флейворных переходов для нейтрино, распростра-

дели.

няющегося в веществе и электромагнитном поле.

Благодарности. Авторы выражают благодар-

Для наглядности мы учли только диагональные

ность А.В. Борисову, И.П. Волобуеву и В.Ч. Жу-

магнитные моменты и взаимодействие с веществом

ковскому за плодотворные обсуждения.

через нейтральные токи. В этом случае замена ней-

Финансирование. Работа А.В.Ч. выполнена

трино на антинейтрино и фермионов среды на их

при поддержке Фонда развития теоретической фи-

античастицы сводится к операциям, описанным вы-

зики и математики«Базис»(грант № 19-2-6-100-1).

ше. При этом оказывается, что левые нейтрино

и правые антинейтрино распространяются различ-

ным образом. Однако исходные выражения можно

ЛИТЕРАТУРА

восстановить, если изменить знак τ, что соответ-

ствует T-отражению. Еще раз подчеркнем, что по-

1. P. A. Zyla et al. (Particle Data Group), Prog. Theor.

лученный результат не является следствием CPT-

Exp. Phys. 2020, 083C01 (2020).

теоремы, так как мы рассматриваем модель с нару-

2. W. Pauli, in Niels Bohr and the Development of

шением лоренц-инвариантности.

Physics, McGraw-Hill, New York (1955).

3. R. Jost, Helv. Phys. Acta 30, 409 (1957).

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

4. T. D. Lee and C. N. Yang, Phys. Rev.

104, 254

(1956).

В работе исследовано T-нарушение для вероят-

ностей спин-флейворных переходов нейтрино в сре-

5. C. S. Wu, E. Ambler, R. W. Hayward, D. D. Hoppes,

де и электромагнитном поле в модели трех флей-

and R. P. Hudson, Phys. Rev. 105, 1413 (1957).

воров. Показано, что такое нарушение может быть

обусловлено не только наличием мнимой части

6. J. H. Christenson, J. W. Cronin, V. L. Fitch, and

в матрице смешивания, но и влиянием внешних по-

R. Turlay, Phys. Rev. Lett. 13, 138 (1964).

лей и взаимодействием с веществом. При этом для

7. B. Aubert et al. (BABAR Collaboration), Phys.

простейшей модели, учитывающей взаимодействие

Rev. Lett. 93, 131801 (2004); arXiv:hep-ex/0407057.

со средой через нейтральные токи и взаимодействие

электромагнитного поля с учетом только диаго-

8. Y. Chao et al. (Belle Collaboration), Phys. Rev.

нальных магнитных моментов, T-нарушающие сла-

Lett. 93, 191802 (2004); arXiv:hep-ex/0408100.

гаемые за счет мнимой части матрицы смешива-

ния определяются инвариантом Ярлског, а нару-

9. А. Д. Сахаров, Письма в ЖЭТФ 5, 32 (1967).

371

А. Е. Лобанов, А. В. Чухнова

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

10.

M. Kobayashi and T. Maskawa, Prog. Theor. Phys.

30.

A. V. Chukhnova and A. E. Lobanov, Phys. Rev. D

49, 652 (1973).

101, 013003 (2020); arXiv:1906.09351 [hep-ph].

11.

C. Jarlskog, Z. Phys. C 29, 491 (1985).

31.

S. L. Glashow, J. Iliopoulos, and L. Maiani, Phys.

Rev. D 2, 1285 (1970).

12.

M. Fukugita and T. Yanagida, Phys. Lett.B 174, 45

(1986).

32.

А. Е. Лобанов, ДАН 402, 475 (2005).

33.

A. Studenikin and A. Ternov, Phys. Lett. B 608,

13.

M. Trodden, Rev. Mod. Phys.

71, 1463 (1999);

107 (2005); arXiv:hep-ph/0412408.

arXiv:hep-ph/9803479.

34.

В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Пита-

14.

S. Davidson, E. Nardi, and Y. Nir, Phys. Rep. 466,

евский, Квантовая электродинамика, т. 4, Наука,

105 (2008); arXiv:0802.2962 [hep-ph].

Москва (1989).

15.

Б. М. Понтекорво, ЖЭТФ 33, 549 (1957).

35.

Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в тео-

16.

Z. Maki, M. Nakagawa, and S. Sakata, Prog. Theor.

рию квантованных полей, Наука, Москва (1973).

Phys. 28, 870 (1962).

36.

A. E. Lobanov, Ann. Phys.

403,

(2019);

17.

C. Giunti and C. W. Kim, Fundamentals of Neutrino

arXiv:1507.01256 [hep-ph].

Physics and Astrophysics, Oxford Univ. Press, New

37.

А. Е. Лобанов, ТМФ 192, 70 (2017).

York (2007).

38.

J. von Neumann, Nachrichten von der Gesellschaft

18.

A. V. Chukhnova and A. E. Lobanov, Phys. Rev. D

der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-

105, 073010 (2022); arXiv:2203.06426 [hep-ph].

Physikalische Klasse 1927, 245 (1927).

19.

V. A. Naumov, Int. J. Mod. Phys. D 1, 379 (1992).

39.

A. V. Chukhnova and A. E. Lobanov, Eur. Phys. J.

C 81, 821 (2021); arXiv:2005.04503 [hep-ph].

20.

E. Akhmedov, P. Huber, M. Lindner, and T. Ohls-

son, Nucl.

Phys.

608,

394

(2001);

40.

J. E. Campbell, Proc. London Math. Soc. s1-28,

arXiv:hep-ph/0105029.

381 (1896).

21.

S. T. Petcov and Ye-Ling Zhou, Phys. Lett. B 785,

41.

E. V. Arbuzova, A. E. Lobanov, and

95 (2018); arXiv:1806.09112 [hep-ph].

E. M. Murchikova, Phys. Rev. D 81,

045001

(2010); arXiv:1507.01256.

22.

А. Е. Лобанов, А. В. Чухнова, Вестник МГУ,

сер. 3, физика, астрон. 58(5), 22 (2017).

42.

H. A. Kramers, Proc. K. Ned. Akad. Wet. 40, 814

(1937).

23.

L. Wolfenstein, Phys. Rev. D 17, 2369 (1978).

43.

S. M. Carroll, G. B. Field, and R. Jackiw, Phys. Rev.

24.

P. B. Pal and T. N. Pham, Phys. Rev. D 40, 259

D 41, 1231 (1990).

(1989).

44.

D. Colladay and V. A. Kostelecký, Phys. Rev. D 55,

25.

J. F. Nieves, Phys. Rev. D 40, 866 (1989).

6760 (1997); arXiv:hep-ph/9703464.

26.

W. H. Furry, Phys. Rev. 81, 115 (1951).

45.

S. Coleman and S. L. Glashow, Phys. Rev. D 59,

116008 (1999); arXiv:hep-ph/9812418.

27.

W. Pauli, Rev. Mod. Phys. 13, 203 (1941).

46.

P. A. M. Dirac, R. Peierls, and M. H. L. Pryce, Proc.

28.

K. Fujikawa and R. E. Shrock, Phys. Rev. Lett. 45,

Cambridge Philos. Soc. 38, 193 (1942).

963 (1980).

47.

А. Е. Лобанов, Изв. вузов, Физика 59 (11), 141

29.

R. E. Shrock, Nucl. Phys. B 206, 359 (1982).

(2016).

372