ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 3 (9), стр. 382-389

ПОЛЯРИЗАЦИЯ И СКОРОСТЬ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН

В ГИБРИДНОЙ МЕТРИЧЕСКОЙ-ПАЛАТИНИ

f (R)-ГРАВИТАЦИИ

П. И. Дядинаa*

^a Государственный астрономический институт имени П.К. Штернберга

Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова,

119234, Москва, Россия

Поступила в редакцию 17 мая 2022 г.,

после переработки 2 июня 2022 г.

Принята к публикации 3 июня 2022 г.

Рассматривается вопрос о соответствии числа степеней свободы и числа поляризационных состояний

в гибридной метрической-Палатини f(R)-гравитации. Показано, что скалярная мода является смесью

скалярных поперечной и продольной мод. Также вычисляется скорость распространения гравитационной

волны в гибридной метрической-Палатини f(R)-гравитации.

DOI: 10.31857/S0044451022090115

В ОТО гравитационная волна имеет две тензор-

EDN: ELJRSZ

ные поляризации, называемые «+» и «×». В аль-

тернативных же теориях гравитации может при-

сутствовать до шести поляризационных состояний.

1. ВВЕДЕНИЕ

В работах [4,5] было показано, что для плоских гра-

витационных волн шесть поляризаций могут быть

Открытие гравитационно-волнового излуче-

классифицированы малой группой E(2) группы Ло-

ния

— одно из важнейших событий последних

ренца. Согласно этой классификации, безмассовое

десятилетий. Существование гравитационных волн

скалярное поле распространяется посредством по-

(ГВ) и их прямое детектирование стали еще одним

перечной скалярной моды, в то время как вторая

доказательством общей теории относительно-

скалярная мода, продольная, проявляется только

сти (ОТО) [1]. Более того, данные, полученные

в присутствии всех остальных пяти поляризацион-

ГВ-детекторами, могут служить для проверки

ных мод. Однако, как позднее было показано в ра-

модифицированных теорий гравитации. Одним

боте [6], присутствие массивного скалярного поля

из способов использования данных от ГВ-детек-

приводит к появлению продольной скалярной мо-

торов для проверки теорий гравитации является

ды, в дополнение к поперечной, в то время как век-

сравнение поляризационных состояний, предска-

торные моды отсутствуют. И только недавно вопрос

зываемых теорией, с наблюдательными данными.

о несоответствии числа степеней свободы и числа

Событие GW170814 дало возможность коллабора-

поляризационных состояний в массивных скаляр-

циям LIGO и VIRGO получить результат, согласно

но-тензорных теориях начал активно исследовать-

которому чисто тензорные поляризационные состо-

ся [7, 8]. Эта проблема была рассмотрена на приме-

яния предпочтительнее чисто векторных или чисто

ре теории гравитации Хорндески [9]. Модель Хорн-

скалярных [2]. Данные, полученные в рамках этого

дески является наиболее общей скалярно-тензорной

события, могут быть использованы в дальнейшем

теорией, которая приводит к уравнениям поля вто-

для более точной количественной проверки теорий

рого порядка. Авторы показали, что поляризаци-

гравитации [3]. Однако, в первую очередь, стоит

онное состояние, возбуждаемое скалярным полем,

уделить внимание числу поляризационных мод,

представляет собой смесь продольной и поперечной

предсказываемых теорией.

скалярной моды и как результат соответствует од-

ной степени свободы [7].

^* E-mail: guldur.anwo@gmail.com

382

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Поляризация и скорость гравитационных волн. ..

Настоящая работа посвящена изучению гибрид-

зом, скалярное поле играет активную роль в космо-

ной метрической-Палатини f(R)-гравитации [10,11]

логии, оставаясь в полном согласии с локальными

в контексте поляризации гравитационных волн.

экспериментами [30].

Подход построения f(R)-теорий позволяет модифи-

Гибридная f(R)-гравитация была изучена

цировать ОТО наиболее простым способом. Семей-

на широком диапазоне масштабов: от звезд до скоп-

ство f(R)-моделей основывается на обобщении гра-

лений галактик. Было показано, что различие

витационной части действия произвольной функ-

вириальных и визуальных масс скоплений галактик

цией от скаляра Риччи [12-14]. Такие модели по-

может быть объяснено через геометрические члены

лучили широкое распространение после того, как

в обобщенной теореме вириала [31]. Кроме того,

f (R)-гравитация была успешно применена для опи-

гибридная f(R)-гравитация позволила объяснить

сания инфляции [15]. Кроме того, подход f(R)-гра-

скорости вращения пробных частиц, движущихся

витации является привлекательным, так как уско-

в гравитационном поле галактик [32]. Этот подход

ренное расширение Вселенной является естествен-

дал возможность избежать введения большого

ным следствием теории. Кроме этого, f(R)-гра-

количества темной материи. Помимо этого, были

витация привлекательна в качестве альтернативы

получены решения типа

«кротовая нора»

[33]

модели ΛCDM, поскольку она позволяет одновре-

«черная дыра»

[34], а также были изучены

менно описывать инфляцию в ранней Вселенной

физические свойства нейтронных и кварковых

и ускоренное расширение на поздних этапах эволю-

звезд [35]. Также проверка гибридной f(R)-гра-

ции [16-23]. Также f(R)-модели хорошо согласуют-

витации в Солнечной системе была проведена

ся с наблюдательными космологическими данными

посредством

параметризованного постньюто-

и практически неотличимы от ΛCDM [24].

новского формализма (ППН). Были получены

Семейство f(R)-теорий подразделяется на два

аналитические выражения для ППН параметров γ

класса: метрический и Палатини. В метрическом

и β, а также было доказано, что остальные восемь

подходе действие варьируется только относитель-

ППН параметров тождественно равны нулю. Было

но метрики, тогда как в подходе Палатини аффин-

показано, что легкое скалярное поле в гибридной

ная связность не зависит от метрики и является до-

f (R)-гравитации не противоречит эксперимен-

полнительной переменной. К сожалению, недостат-

тальным данным на основании полного набора

ки присутствуют в обоих подходах. Одной из глав-

постньютоновских параметров [36, 37]. Кроме то-

ных проблем метрической f(R)-гравитации являет-

го, гибридная f(R)-гравитация была проверена

ся сложность с прохождением тестов в Солнечной

на наблюдательных данных двойных систем с пуль-

системе [25]. Тем не менее, существует ограничен-

саром. Было вычислено изменение орбитального

ный класс моделей, который является жизнеспособ-

периода таких систем вследствие гравитационного

ным [19,22,24]. Особенностью таких моделей являет-

излучения в квазикруговом приближении. В рам-

ся хамелеонный механизм [18, 26-28]. Все Палатини

ках решения этой задачи впервые было получено

f (R)-модели приводят к неприемлемым особенно-

ограничение на массу скалярного поля в гибридной

стям в эволюции космологических возмущений [29].

f (R)-гравитации [38]. Затем этот результат был

Не так давно была предложена теория, которая

обобщен на случай орбиты с эксцентриситетом.

совмещает в себе лагранжиан Эйнштейна-Гильбер-

Для проверки теории был использован параметри-

та и f(R)-член Палатини [10]. Модель получила на-

зованный посткеплеровский формализм. Основной

звание гибридной метрической-Палатини f(R)-гра-

результат, полученный в ходе этого исследования,

витации. Она объединяет в себе достоинства мет-

заключается в том, что гибридная f(R)-гравита-

рического подхода и подхода Палатини, но лишена

ция предсказывает более широкий диапазон масс

их недостатков. Гибридная f(R)-гравитация позво-

компонентов двойных систем с пульсаром, чем

ляет описывать крупномасштабную структуру Все-

ОТО [39].

ленной без влияния на динамику Солнечной систе-

Гибридная f(R)-гравитация может быть пред-

мы. Привлекательной особенностью теории являет-

ставлена как скалярно-тензорная теория с массив-

ся то, что она представима в скалярно-тензорном ви-

ным скалярным полем. Ранее поляризационные со-

де в терминах динамического скалярного поля (в от-

стояния уже изучались в этой теории [40]. Было по-

личие от моделей Палатини). Причем данное ска-

лучено, что гибридная f(R)-гравитация содержит

лярное поле не обязательно должно иметь большую

четыре поляризационные моды: «+», «×», скаляр-

массу для прохождения тестов в Солнечной системе

ную продольную и поперечную моды. Однако в ра-

(в отличие от метрических моделей). Таким обра-

боте [41] было показано, что данная модель име-

383

П. И. Дядина

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

ет три степени свободы. Таким образом, возникает

как функция g_μν и независимо определяемых сим-

Γα

то же самое несоответствие, что и ранее рассматри-

волов Кристоффеля

μν

валось в теории Хорндески. Целью данной работы

)

⁽Γα

является разрешение этого противоречия.

R=g^μνR_μν =g^μν

μν,α

-Γαμα,ν +ΓααλΓ^λμν -ΓαμλΓ^λαν

(2)

Другим эффективным способом проверки тео-

рий гравитации является определение скорости рас-

Как и в случае чисто метрических и Палатини

пространения гравитационных волн. Регистрация

f (R)-теорий, действие(1) может быть представлено

килоновой (событие GW170817/SHB170817A [42])

в терминах скалярного поля (более подробный вы-

позволила получить скорость гравитационного из-

вод представлен в работах [10, 30]):

лучения с высокой точностью, что привело к огра-

∫

[

]

√

ничению и даже закрытию большого числа моди-

S =

d⁴x

−g (1+φ)R+

∂_μφ∂^μφ-V (φ) +

2k²

2φ

фицированных теорий гравитации [43]. Эта провер-

ка была применена и к массивным скалярно-тен-

+S_m,

(3)

зорным теориям. Было показано, что только тео-

где φ — скалярное поле, а V (φ) — скалярный потен-

рия Бранса-Дикке с массивным скалярным полем

циал. В действии (3) скалярное поле неминималь-

может полностью пройти этот тест. В настоящей

но связано с материей, а кинетический член явля-

работе мы вычисляем скорость распространения

ется неканоническим. Уравнения поля, получаемые

гравитационных волн в гибридной f(R)-гравитации

из (3), имеют следующий вид [10, 30]:

и сравниваем полученный результат с наблюдатель-

ными данными.

(

)

Статья постороена следующим образом.

(1 + φ)R_μν

=k² T_μν -

g_μνT

∂_μφ∂_νφ +

2φ

В разд.

рассматриваются действие и уравне-

[

]

ния поля гибридной f(R)-гравитации в общем виде

g_μν

V (φ) + ∇_α∇^αφ

+ ∇_μ∇_νφ,

(4)

и в скалярно-тензорном представлении. В разд. 3

[

]

определяются поляризационные состояния гра-

2V (φ) - (1 + φ)V_φ

витационной волны, предсказываемые гибридной

∇_μ∇^μφ -

∂_μφ∂^μφ -

2φ

f (R)-гравитацией. Далее, в разд.

вычисляется

k²

скорость распространения гравитационных волн

φT,

(5)

в гибридной f(R)-гравитации. В разд. 5 подведятся

итоги и обсуждаютмя полученные результаты.

где T_μν и T — тензор энергии-импульса и его след,

В работе греческие индексы (μ, ν, . . .) пробега-

соответственно.

ют значения 0, 1, 2, 3 и используется сигнатура

(-, +, +, +). Все вычисления выполнены в системе

3. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ

единиц h = c = k_B = 1. В работе используется пред-

ВОЛН

ставление Йордана.

Гравитационное излучение распространяется по-

средством плоских волн в вакууме. Для получения

2. ГИБРИДНАЯ f(R)-ГРАВИТАЦИЯ

линеаризованных уравнений поля в отсутствие сре-

ды (T_μν = 0) необходимо рассмотреть возмущения

Действие гибридной метрической-Палатини

скалярного поля и метрического тензора:

f (R)-гравитации состоит из члена Эйнштей-

на - Гильберта и произвольной функции кривизны

φ = φ₀ + ϕ, g_μν = η_μν + h_μν,

(6)

Палатини [10,30]:

где φ₀ — асимптотическое фоновое значение скаляр-

∫

ного поля вдали от источника, η_μν — метрика Мин-

S =

d⁴x

√-g^[R + f(R)^] + S_m,

(1)

2k²

ковского, h_μν и ϕ — малые возмущения тензорного

и скалярного полей, соответственно. В общем слу-

где k² = 8πG, G — ньютоновская гравитационная

чае φ₀ не является константой, а представляет из се-

постоянная, R и R = g^μν R_μν — метрическая кри-

бя функцию, зависящую от времени φ(t). Однако

визна и кривизна Палатини, соответственно, g —

этой зависимостью можно пренебречь, если харак-

определитель метрического тензора, S_m — действие

терная шкала времени велика по сравнению с дина-

материи. Здесь кривизна Палатини R определяется

мической шкалой времени, связанной с локальной

384

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Поляризация и скорость гравитационных волн. ..

системой. Таким образом, φ₀ предполагается посто-

что безмассовые и массивные моды распространя-

янной величиной. Скалярный потенциал V (φ) мо-

ются в +z направлении с волновыми векторами

жет быть разложен в ряд Тейлора около фонового

k^μ = (Ω, 0, 0, Ω), p^μ = (p_t, 0, 0, p_z),

(15)

значения скалярного поля φ₀:

соответственно, причем дисперсионное соотношение

V′′ϕ

V′′′ϕ³

V (φ) = V₀ + V ^′ϕ +

+...,

(7)

для скалярного поля имеет вид

а значит производная скалярного потенциала по от-

p2t - p2z = m².

ношению к ϕ будет иметь вид

Тогда скорость распространения массивного ска-

V_φ = V^′ + V^′′ϕ + V^′′′ϕ²/2.

лярного поля будет иметь вид

√

С учетом выражений (6) линеаризованное урав-

v = p2t - m²/p_t.

нение (5), описывающее скалярное поле, принима-

ет вид

Решения в виде плоских волн для уравнений (14)

(∇² - m2ϕ)ϕ = 0,

(8)

и (8) имеют вид

где

[

]

θ_μν = q_μν exp-ikαx^α ,

(16)

m2ϕ =

2V₀ - V^′ - (1 + φ₀)φ₀V^′′

ϕ = φ0 exp-ipαx^α,

— масса скалярного поля.

Линеаризованный вид уравнений поля (4) будет

где φ₀ и q_μν являются амплитудами волн, причем

следующим [40]:

k^νq_νμ = 0, η^μνq_μν = 0.

G_μν =

(∇_μ∇_ν ϕ - η_μν □ϕ),

(9)

Главной целью настоящей работы является

1+φ₀

определение числа поляризационных состояний

где G_μν — линеаризованный тензор Эйнштейна:

гравитационной волны в гибридной f(R)-гравита-

ции. Все поляризационные состояния содержат-

ся в тензоре h_ij . Для волны, путешествующей

G_μν = R_μν -

g_μνR,

(10)

в z-направлении, тензор h_ij можно разложить

следующим образом:

R_μν =

(∂_μ∂_αh^αν + ∂_ν ∂_αh^αμ - ∂_μ∂_ν h - □h_μν ),

(11)

⎛

⎞

h_b + h₊ h_× h_x

R = ∂_μ∂_νh^μν - □h.

(12)

⎜

⎟

h_ij =

⎝ h_× h_b-h₊ h_y

⎠,

(17)

Далее можно перейти к

h_x

h_y

θ_μν = h_μν -

η_μνh -

η_μνϕ,

где h₊ — «+» мода, h_× — «×» мода, h_b — скалярная

1+φ₀

(13)

поперечная мода, h_L — скалярная продольная мода.

Гравитационные волны могут влиять на рассто-

θ = -h - 4

ϕ.

1+φ₀

яние между свободно двигающимися пробными час-

тицами. Это влияние описывается уравнением гео-

Выбор калибровки

дезической. Предполагая, что расстояние xⁱ ≪ λ,

∂_μθ^μν = 0

где λ — длина ГВ, а движение пробных частиц яв-

ляется медленным, уравнение геодезической можно

приводит уравнения поля (4) к виду

записать в виде

□θ_μν = 0.

(14)

d²xⁱ

= -R0i0jx^j,

dt²

Уравнения (14) и (8) описывают гравитационную

где R0i0j — электрическая часть тензора Римана.

волну в гибридной f(R)-гравитации. Поле θ_μν отве-

Также поле h_ij определяет тензор Римана следую-

чает за безмассовый гравитон и имеет два поляри-

щим образом:

зационных состояния: «+» и «×» моды. Скалярное

поле φ массивно и может быть рассмотрено отдель-

∂²h_ij

но от безмассового тензорного поля. Предположим,

= -2R0i0j.

∂t²

385

П. И. Дядина

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Для дальнейших вычислений будем использовать

Вычисление электрической части тензора Рима-

линеаризованную часть тензора Римана:

на с учетом выражений (16), (13) дает

R_μναβ =

(∂_μ∂_β h_αν + ∂_ν ∂_αh_μβ - ∂_μ∂_αh_νβ - ∂_ν ∂_β h_μα). (18)

⎛

⎞

p2tϕ +¹² Ω²θ_xx

Ω²θ_xy

2(1+φ0)

⎜

⎟

⎜

⎟

R0i0j =

Ω²θ_xy

p2tϕ -¹² Ω²θ_xx

(19)

⎝

2(1+φ0)

⎠

m²ϕ

2(1+φ0)

Для описания поляризационных мод, возбуж-

системе отсчета мы установили, что

даемых скалярным полем, необходимо положить

p2t = m²,

θ_μν = 0. В безмассовом случае (m = 0) компонен-

та тензора Римана R_tztz = 0, продольная скалярная

а значит,

мода исчезает и остается только скалярная попе-

речная мода. В случае массивного скалярного поля

m²ϕ = -

p2tϕ.

2(1 + φ₀)

можно выполнить преобразование p_z = 0 и перейти

в систему покоя скалярного поля. В этой системе по-

Эти выражения в электрической части тензора Ри-

коя, p2t = m² и R_txtx = R_tyty = R_tztz = 0. Более того,

мана были ответственны за скалярные продольную

в этом случае продольная и поперечная скалярные

и поперечную моды, соответственно. А раз эти мо-

моды становятся эквивалентными. Таким образом,

ды равны, то они представляют собой проявления

в выбранной системе отсчета продольная скалярная

одной и той же скалярной моды. Тем самым мы по-

мода не отличима от поперечной, а так как в теории

лучили, что две тензорные и одна скалярная степе-

нет привилегированной системы отсчета, то мож-

ни свободы соответствуют двум тензорным и одно-

но сделать вывод, что скалярная мода представляет

му скалярному поляризационным состояниям, что

из себя смесь продольной и поперечной скалярных

снимает все противоречия.

мод и в других системах отсчета, а значит нет ника-

кого противоречия между числом степеней свободы

4. СКОРОСТЬ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН

и числом поляризационных состояний в гибридной

f (R)-гравитации.

Событие GW170817 дало возможность получить

Подведем итог. В данном разделе были получены

скорость распространения гравитационных волн

поляризационные состояния, предсказываемые ги-

с беспрецедентной точностью [42]. В результате мно-

бридной f(R)-гравитацией. Для этой цели в первую

гие теории были закрыты или серьезно ограничены,

очередь были получены линеаризованные уравне-

включая модель Хорндески [43]. В рамках теории

ния поля в вакууме и их решения. Все поляризаци-

Хорндески скорость распространения тензорных

онные состояния гравитационной волны содержатся

возмущений была получена в работах

[44, 45].

в тензоре h_ij. Так как между тензорными возмуще-

Оказалось, что выражение для скорости может

ниями метрики и электрической частью тензора Ри-

быть определено через функции скалярного поля,

мана существует связь

входящие в структуру теории Хорндески:

2G₄ -(

^φ)²G5,φ -(

^φ)²

φG5,X

∂²h_ij

c2t =

(20)

= -2R0i0j,

5,X

2G₄ -2(

^φ)²G4,X +(

^φ)²G5,φ -H(

^φ)³G

∂t²

Данное выражение описывает скорость гравитаци-

это позволило через определение тензора Ри-

онной волны c_t, распространяющейся на космологи-

мана найти вид поляризационных мод, ис-

ческом фоне, здесь

пользуя решения уравнений поля. Зная, что

в гибриднойf(R)-гравитации все системы отсчета

X =-

∂_μφ∂^μφ,

равноправны, мы перешли в систему отсчета, в ко-

торой массивное скалярное поле покоится. И в этой

H — постоянная Хаббла.

386

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Поляризация и скорость гравитационных волн. ..

Гибридная f(R)-гравитация является частным

f (R)-гравитация содержит три степени свободы [41].

случаем теории Хорндески. Функции перехода меж-

Поэтому главной целью настоящей работы является

ду двумя моделями имеют следующий вид [38]:

разрешение существующего противоречия.

Все поляризационные моды, предсказываемые

G₂ = -

- V (φ), G₃ = 0,

теорией, содержатся в электрической части тензора

Gφ

(21)

Римана. После проведения соответствующих вычис-

1+φ

G₄ =

G₅ = 0.

лений было обнаружено, что в гибридной f(R)-гра-

витации будут присутствовать и продольная, и по-

Используя эти выражения, можно получить ско-

перечная скалярные моды. Однако в системе покоя

рость распространения тензорных возмущений в ги-

массивного скалярного поля два скалярных поляри-

бридной f(R)-гравитации из (20):

зационных состояния становятся идентичными. Та-

ким образом, можно сделать вывод, что обе скаляр-

1+φ

ные моды являются проявлением одной и той же

c2t =

= 1.

(22)

21+φ

скалярной степени свободы и представляют собой

смесь поляризационных состояний гравитационной

Таким образом, гравитационные волны в гибрид-

волны. Следовательно, в гибридной f(R)-гравита-

ной f(R)-гравитации распространяются со скоро-

ции не существует противоречия между числом сте-

стью света. А значит, гибридная f(R)-гравитация

пеней свободы и числом поляризационных состо-

находится в полном согласии с имеющимися экспе-

яний.

риментальными данными.

В заключение можно провести сравнение ре-

зультатов, полученных для гибридной f(R)-грави-

тации, с аналогичными результатами для метриче-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ской и Палатини f(R)-гравитаций. В рамках метри-

Настоящая работа посвящена проблеме опре-

ческой f(R)-гравитации было показано, что суще-

деления числа степеней свободы в гибридной

ствуют продольная и поперечная скалярная моды,

f (R)-гравитации. Эта модель принадлежит к се-

помимо тензорных «+» и «×» мод, причем они яв-

мейству f(R)-теорий и объединяет в себе мет-

ляются тождественными во всех системах отсчета,

рический подход и подход Палатини. Гибридная

так как существует связь между массой скалярно-

f (R)-гравитация может быть представлена в виде

го поля в скалярно-тензорном представлении этой

скалярно-тензорной теории с массивным скаляр-

модели и параметром теории α: m² = -1/6α [46].

ным полем [10, 30]. Ранее вопрос о несоответствии

Кроме того, в метрической f(R)-гравитации подроб-

числа степеней свободы и числа поляризационных

но рассматривался вопрос о распространении пер-

состояний гравитационной волны уже поднимал-

вичных гравитационных волн. Было показано, что

ся в массивных скалярно-тензорных теориях [7].

для таких моделей энергетический спектр первич-

Эта проблема была детально изучена на примере

ных гравитационных волн был несколько расши-

теории гравитации Хорндески [7]. Было показано,

рен по сравнению со спектром ОТО, однако пред-

что теория Хорндески имеет две тензорные и одну

сказанный спектр оказывается намного ниже самых

скалярную степени свободы. В то же время ска-

низких значений чувствительности будущих экспе-

лярная степень свободы представляет собой смесь

риментов по детектированию гравитационных волн

двух поляризационных состояний: поперечной

на больших частотах [47]. А в формализме Палати-

и продольной скалярных мод. Кроме того, в рабо-

ни присутствуют только тензорные «+» и «×» мо-

те [7] было доказано, что классификация Ирдли

ды, и такие модели неотличимы от ОТО [48].

для поляризационных состояний не применима

Одним из наиболее эффективных способов про-

в случае скалярно-тензорных теорий с массивным

верки теорий гравитации является вычисление ско-

скалярным полем.

рости распространения гравитационного излучения.

В рамках гибридной f(R)-гравитации число по-

Такая проверка позволила закрыть большое коли-

ляризационных состояний ранее уже рассматрива-

чество теорий гравитации, включая скалярно-тен-

лось [40]. Авторы показали, что в теории поми-

зорные. Более того, некоторые авторы делают вы-

мо поляризационных состояний, предсказываемых

вод, что только теория Бранса-Дикке с массивным

ОТО, «+» и «×» моды, будут присутствовать так-

скалярным полем может пройти такой тест [43].

же скалярные продольная и поперечная моды. Од-

В настоящей работе была посчитана скорость рас-

нако в другой работе было получено, что гибридная

пространения тензорных возмущений в гибридной

387

П. И. Дядина

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

f (R)-гравитации и показано, что гравитационные

11.

T. Harko and F.S. N. Lobo, Int. J. Mod. Phys. D 29,

волны в этой теории распространяются со скоро-

2030008 (2020).

стью света. Таким образом, гибридная f(R)-грави-

12.

P. G. Bergmann, Int. J. Theor. Phys. 1, 25 (1968).

тация находится в полном согласии с существующи-

ми экспериментальными данными по гравитацион-

13.

A. De Felice and S. Tsujikawa, Liv. Rev. Relativ. 13,

но-волновому излучению.

3 (2010).

Настоящая работа является первым шагом в изу-

14.

S. Nojiri, S. D. Odintsov, and V. K. Oikonomou,

чении гравитационно-волнового излучения в рам-

Phys. Rept. 692, 1 (2017).

ках гибридной f(R)-гравитации. Для более точно-

15.

A. A. Starobinsky, Phys. Lett. B 91, 99 (1980).

го сравнения предсказаний теории с имеющими-

ся гравитационно-волновыми данными необходимо

16.

S. Nojiri and S. D. Odintsov, Phys. Rev. D 68, 123512

построение гравитационно-волновых шаблонов. Та-

(2003).

кое исследование станет важным этапом в развитии

17.

F. Briscese, E. Elizalde, S. Nojiri, and S. D. Odintsov,

нового мощного формализма для проверки теорий

Phys. Lett. B 646, 105 (2007).

гравитации в сильном поле сливающихся двойных

систем.

18.

S. Nojiri and S. D. Odintsov, Phys. Lett. B 657, 238

(2007).

Благодарности. Автор выражает благодар-

19.

S. Nojiri and S. D. Odintsov, Phys. Rev. D 77, 026007

ность Н.А. Авдееву и Б.Н. Латошу за полезные

(2008).

обсуждения и комментарии по теме работы.

Финансирование. Работа была выполнена при

20.

S. Nojiri, S. D. Odintsov, and D. Saez-Gomez, Phys.

поддержке Фонда развития теоретической физики

Lett. B 681, 74 (2009).

и математики «Базис».

21.

G. Cognola, E. Elizalde, S. D. Odintsov, P. Tretyakov,

and S. Zerbini, Phys. Rev. D 79, 044001 (2009).

22.

G. Cognola, E. Elizalde, S. Nojiri, S. D. Odintsov,

ЛИТЕРАТУРА

L. Sebastiani, and S. Zerbini, Phys. Rev. D 77,

1. B. P. Abbott et al., Phys. Rev. Lett. 116, 061102

046009 (2008).

(2016).

23.

D. Saez-Gomez, Gen. Rel. Grav. 41, 1527 (2009).

2. B. P. Abbott et al., Phys. Rev. Lett. 119, 141101

24.

S. D. Odintsov, D. Saez-Gomez, and G. S. Sharov,

(2017).

Eur. Phys. J. C 77, 862 (2017).

3. T. Liu, W. Zhao, and Y. Wang, Phys. Rev. D 102,

25.

T. Chiba, Phys. Lett. B 575, 1 (2003).

124035 (2020).

26.

J. Khoury and A. Weltman, Phys. Rev. Lett. 93,

4. D. M. Eardley, D. L. Lee, and A. P. Lightman, Phys.

171104 (2004).

Rev. D 8, 3308 (1973).

27.

J. Khoury and A. Weltman, Phys. Rev. D 69, 044026

5. D. M. Eardley, D. L. Lee, A. P. Lightman,

(2004).

R. V. Wagoner, and C. M. Will, Phys. Rev. Lett.

28.

W. Hu and I. Sawicki, Phys. Rev. D 76, 064004

30, 884 (1973).

(2007).

6. M. Maggiore and A. Nicolis, Phys. Rev. D 62, 024004

29.

T. Koivisto and H. Kurki-Suonio, Class. Quantum

(2000).

Grav. 23, 2355 (2005).

7. S. Hou, Y. Gong, and Y. Liu, Eur. Phys. J. C 78, 378

30.

S. Capozziello et al., Hybrid Metric-Palatini Gravity,

(2018).

Universe 1, 199 (2015).

8. Y.-Q. Dong and Y.-X. Liu, Phys. Rev. D 105, 064035

31.

S. Capozziello, T. Harko, T. S. Koivisto,

(2022).

F. S. N. Lobo, and G. J. Olmo, JCAP 07, 024

(2013).

9. G.W. Horndeski, Int. J. Theor. Phys. 10, 363 (1974).

32.

S. Capozziello, T. Harko, T. S. Koivisto,

10. T. Harko, T. S. Koivisto, F. S. N. Lobo, and

F. S. N. Lobo, and G. J. Olmo, Astropart. Phys. C

G. J. Olmo, Phys. Rev. D 85, 084016 (2012).

50-52, 65 (2013).

388