ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 3 (9), стр. 390-397

К ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ

СВЯЗИ В CuB₂O₄

А. Р. Нурмухаметов^*, М. В. Еремин^**

Институт физики Казанского (Приволжского) федерального университета

420111, Казань, Россия

Поступила в редакцию 28 декабря 2021 г.,

после переработки 10 мая 2022 г.

Принята к публикации 14 мая 2022 г.

Предложена микроскопическая теория динамической магнитоэлектрической связи в CuB2O4. Рассчитаны

уровни энергии, волновые функции Сu²⁺(3d⁹) в антиферромагнитно упорядоченной подрешетке ионов

меди и вероятности магнитных и электрических дипольных переходов, определены инвариантные компо-

ненты тензора магнитоэлектрической связи при различных направлениях магнитного поля. Результаты

микроскопического и теоретико-группового расчетов сопоставляются с имеющимися экспериментальны-

ми данными по спектрам поглощения и фотолюминесценции. Рассчитаны диаграммы интенсивности

фотолюминесценции при различных направлениях волнового вектора излучения.

DOI: 10.31857/S0044451022090127

а в подрешетке

8d остаются в парамагнитном

EDN: ELKOXR

состоянии [11]. При T < 9 K формируется сложная

1. ВВЕДЕНИЕ

неколлинеарная спиновая структура. В нулевом

магнитном поле спины преимущественно лежат

Магнитоэлектрические эффекты обусловле-

вдоль направления [110], слегка отклоняясь в на-

ны наличием в термодинамическом потенциале

правлении [001] [11]. Однако при включении уже

членов, линейных как по электрическому, так

довольно слабого магнитного поля (около 500 Э)

и по магнитному полю [1]. Можно выделить два

вдоль направления [110] спины меди в антифер-

подхода в развитии теории магнитоэлектрических

ромагнитных подрешетках 4b ориентируется пер-

эффектов: феноменологический и микроскопиче-

пендикулярно ему — вдоль направления [110] [12].

ский. Феноменологический подход сформулирован

Кристаллическая структура не имеет центра ин-

в работе Дзялошинского [2]. Этот подход успешно

версии, а при T < 21 K в подрешетке ионов меди 4b

использовался для анализа ряда материалов. Его

нарушается и симметрия по отношению к обраще-

применение описано во многих обзорах и ориги-

нию знака времени, поэтому логично заключить,

нальных статьях [3-5]. Микроскопический подход

что магнитоэлектрический эффект возможен.

развит слабее и предполагает предварительный ана-

Однако попытка его обнаружения, предпринятая

лиз энергетических схем уровней и взаимодействий

в работе [13], не увенчалась успехом. Никаких за-

магнитных ионов с обменными и электрическими

метных изменений диэлектрической проницаемости

полями. Как это подчеркивается в обзорах [6-9],

при фазовых переходах TN2 = 21 K и TN1 = 9 K

микроскопические механизмы магнитоэлектриче-

не обнаружено. С позиции микроскопического под-

ской связи еще не вполне выяснены.

хода эта проблема обсуждалась в работе [14]. Было

Соединение CuB₂O₄ имеет пьезоэлектрическую

найдено, что магнитоэлектрическая связь в CuB₂O₄

тетрагональную структуру с пространственной

появляется при включении внешнего магнитного

группой симметрии I42d (№ 122), ионы меди за-

поля в плоскости ab кристалла. Было также пояс-

нимают позиции двух типов (подрешеток) — 4b

нено, каким образом магнитоэлектрическая связь

и 8d [10]. При 9 K < T < 21 K спины меди в под-

усиливается в Cu1-xNi_xB₂O₄.

решетке 4b упорядочиваются антиферромагнитно,

В работе [15] в рамках феноменологического

^* E-mail: alrnurmuhametov@gmail.com

(теоретико-группового) подхода исследовался во-

^** E-mail: meremin@kpfu.ru

прос о том, каковы должны быть дополнительные

390

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

К теории динамической магнитоэлектрической связи в CuB₂O₄

члены в тензоре диэлектрической проницаемости

тронной плотности, расчет которой поясняется ни-

для того, чтобы магнитоэлектрический эффект был

же, приведена на рис. 1.

возможен. Применительно к CuB₂O₄ авторы рабо-

ты [15] заключили, что требуются члены, учитыва-

ющие пространственную дисперсию, т. е. зависящие

от волнового вектора и индукции магнитного поля

(так называемые kB-члены). Вопрос количествен-

ной оценки этих поправок к диэлектрической про-

ницаемости требует дополнительных исследований.

Внимание к соединению CuB₂O₄ сильно возрос-

ло в связи с обнаружением удивительных явлений

в оптических спектрах этого материала во внеш-

них магнитных полях [2, 16-19]. Коэффициент про-

хождения света через пластинку исследуемого об-

разца меняется при переключении направления

внешнего магнитного поля, а также при измене-

нии направления волнового вектора электромаг-

нитной волны в постоянном магнитном поле (яв-

Рис. 1. Ортографическая проекция позиций элементарной

ление невзаимности). Для описания оптических

ячейки подрешетки Cu (4b). Светло- и темно- желтым цве-

свойств CuB₂O₄ использованы такие новые тер-

том изображены ионы кислорода, находящиеся соответ-

мины, как one-way transparency [18], nonreciprocal

ственно выше и ниже по оси c относительно иона меди.

directional dichroism [18], directional asymmetry of

Лепестки — рассчитанные нами распределения электрон-

luminescence [20], оптический диод и др. В рабо-

ной плотности основных состояний ионов меди. Насыщен-

тах [18, 20] предположено, что эти удивительные

ность красного цвета в распределении электронной плот-

явления могут быть объяснены интерференцией

ности меди соответствует увеличению координаты z вдоль

оси c, т. е. значениям z = 0, 0.25, 0.5 и 0.75 в единицах по-

электрических и магнитных дипольных переходов

стоянных решетки в порядке увеличения яркости

между состояниями 3d⁹ оболочки меди. Очевидно,

что для подтверждения этого сценария необходимы

микроскопические расчеты. Если вероятности маг-

Электронные плотности на позициях CuA1

нитных и электрических дипольных переходов бу-

и СuA2

развернуты друг относительно друга.

дут действительно примерно одного порядка вели-

Описание энергетической схемы уровней удобно

чины, то тогда можно будет ожидать возникнове-

пояснить методом последовательных приближений.

ние интерференции. Однако микроскопические рас-

На первом этапе расчета проводится диагонали-

четы с одновременным учетом магнитных и элек-

зация оператора энергии в базисе всех десяти

трических дипольных переходов до сих пор не про-

возможных состояний 3d⁹ (²D):

водились. В настоящей работе на примере CuB₂O₄

∑

мы решили эту задачу. Основной вывод нашей ра-

H₌ B^kq

C^kq + λlŝ.

(1)

боты — явление интерференции магнитных и элек-

k,q

трических дипольных переходов действительно ре-

ализуется и объясняет известные нам эксперимен-

Здесь первое слагаемое — оператор кристаллическо-

тальные данные по невзаимности как в оптическом

го поля, второе — оператор спин-орбитального вза-

спектре поглощения в сильных магнитных полях,

имодействия (λ ≃ -830 см-1). В результате получа-

так и в спектре фотолюминесценции CuB₂O₄.

ются пять крамерсовских дублетов. На втором этапе

как возмущение рассчитываются расщепления из-

за действия обменного (молекулярного) и внешне-

2. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ

го магнитного полей. Параметры кристаллического

И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОННОЙ

поля Bqk) определялись в работе [14] по эксперимен-

ПЛОТНОСТИ

тальным данным о спектре поглощения [21]. В ло-

кальных системах координат они равны (в см-1):

В элементарной ячейке в антиферромагнитно

упорядоченной подрешетке 4b имеются четыре по-

зиции ионов меди [10]. Картина распределения элек-

B⁽²⁾⁰ = -17 720, B⁽⁴⁾⁰ = 9940, B⁽⁴⁾⁴ = 14 030.

(2)

391

ЖЭТФ, вып. 3 (9)

А. Р. Нурмухаметов, М. В. Еремин

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Оператор обменного взаимодействия между ос-

ме координат a, b и c связаны с их значениями в ло-

новными состояниями меди записывался в виде

кальной системе соотношением

∑

B′(k)q = B(k)q exp(-iqφ).

(5)

J_gg

〈s_i〉ŝ.

i=1

Это соотношение подставляется в (1), и затем опе-

ратор энергии диагонализуется для позиций CuA1

Величина параметра J_gg ≃ 29 см-1 известна по дан-

и CuA2.

ным о рассеянии нейтронов и по спектрам фото-

люминесценции [20, 22]. Обменное поле, действую-

щее на возбужденное состояние |ζ〉, в эксперимен-

3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ

тальных работах [18, 20] не проявилось из-за срав-

С ПОЛЕМ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ

нительно большой ширины линий и поэтому ниже

не учитывается. Для пояснений картины распреде-

Основное затруднение современной микроскопи-

ления электронной плотности удобно использовать

ческой теории динамической магнитоэлектрической

локальные системы координат с реальным базисом

связи связано с проблемой расчета электрических

орбитальных волновых функций в дырочном пред-

дипольных переходов. В этой связи в ранних рабо-

ставлении:

тах [17, 23-25] ограничивались симметрийным ана-

лизом ненулевых компонент динамического магни-

|ϵ〉 = |x² - y²〉,

|ζ〉 = |xy〉,

тоэлектрического тензора. Известно, что в преде-

(3)

|θ〉 = |3z² - r²〉,

|η〉 = |xz〉,

|ξ〉 = |yz〉.

лах состояний 3d-оболочки электрические диполь-

ные переходы запрещены законом сохранения чет-

Основным состояниям ионов меди, главным об-

ности. Уже давно в процессе исследований оптиче-

разом, соответствуют состояния типа |ϵ〉, а состоя-

ских спектров кристаллов было понято, что в пози-

ниям с энергией 1.4 эВ — |ζ〉. Максимумы электрон-

циях ионов без центра инверсии электрические ди-

ной плотностей для позиций CuA1 отклонены от на-

польные переходы возникают из-за смешивания со-

правления кристаллографической оси a на угол

стояний основных электронных конфигураций 3dⁿ

φ = 20.9^◦, а для позиции CuA2 на угол -20.9^◦. Эти

с возбужденными конфигурациями противополож-

углы не совпадают с углами проекций связей ионов

ной четности 3dn-14p [26].

меди с ближайшими ионами кислорода (для CuA1

В случае редкоземельных соединений Джадд [27]

он равен 24^◦) из-за влияния электростатических по-

и Офельт [28], используя схему расчета во втором

лей от ионов второй и более удаленных координаци-

порядке теории возмущений, вывели удобные ана-

онных сфер. При учете спин-орбитального взаимо-

литические выражения для учета смешивания ос-

действия волновые функции основного |g, ±〉 и воз-

новных электронных 4fⁿ-конфигураций с возбуж-

бужденного |e, ±〉 дублетов в локальных системах

денными 3fn-15d из-за нечетного кристаллическо-

координат записываются следующим образом:

го поля. Имеется большое число работ по приме-

нению результатов Джадда и Офельта, в которых

|g, ±〉 = 0.997 · |ϵ, ±〉 ± 0.069i · |ζ, ±〉

отмечены достоинства и недостатки этой теории.

± 0.025 · |η, ∓〉 - 0.025i · |ξ, ∓〉

В работах Корниенко с соавторами [29-31] форму-

(4)

|e, ±〉 = 0.985 · |ζ, ±〉 + 0.112i · |η, ∓〉

лы работ [27,28] дополнены членами высших поряд-

± 0.112 · |ξ, ∓〉 ± 0.062i · |ϵ, ±〉.

ков теории возмущений, которые позволили устра-

нить принципиальные трудности теории Джадда—

Отметим, что в работе [18] (см. приложение к рабо-

Офельта.

те [18]) примешивание состояний |ζ〉, |η〉, |ξ〉 к волно-

В случае соединений с незаполненными

вым функциям основного состояния |ϵ〉 не учитыва-

3dⁿ-оболочками теория разработана сравнительно

лось. Между тем, оно существенно влияет на резуль-

хуже. Проблема в том, что в области энергий

таты расчета как расщеплений основного и возбуж-

возбужденных конфигураций 3dn-14p у элементов

денного состояний магнитным полем, так и на веро-

группы железа находятся также состояния с пе-

ятности электрических дипольных переходов.

реносом электронов из 2p- и 2s-оболочек соседних

Для расчета суммарной интенсивности поглоще-

ионов кислорода в незаполненную

3d-оболочку

ния требуются волновые функции обеих позиций ме-

и поэтому они могут влиять на взаимодействие

ди в единой системе координат. Операторы кристал-

электронов с электрическим полем, как это отмеча-

лического поля Bq(k) в кристаллографической систе-

лось в [32]. Расчеты, проведенные для LiCu₂O₂ [33]

392

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

К теории динамической магнитоэлектрической связи в CuB₂O₄

и FeV₂O₄

[34], с использованием накопленных

При этом учитывалось, что магнитная компонента

данных магнитного резонанса о параметрах кова-

световой волны связана с электрической соотноше-

лентных связей, показали, что вклады в параметры

нием

эффективного электрического дипольного момента

B^ω =

^√ϵμ[k × E^ω].

у ионов Сu²⁺, Fe²⁺, обусловленные виртуальными

возбуждениями в состояния конфигурации 3d⁸4p

Согласно экспериментальным данным

[21]

и в состояния с переносом заряда Cu (3d¹⁰)O(2p⁵), —

^√ϵμ ≈ 1.75. Вместе с тем наши расчеты пока-

одного порядка величины. Эффективный оператор

зали, что соединение CuB₂O₄ имеет специфическую

связи c электрическим полем световой волны,

особенность, затрудняющую точный микроско-

учитывающий примешивание обеих возбужденных

пический расчет параметров D(1k)pt. При расчете

конфигураций к основной 3dⁿ, имеет вид [33, 34]

параметров нечетного кристаллического поля

∑{

}(p)

вклады от ионов из первой, второй и третьей

H_E =

E⁽¹⁾

U(k)

D(1k)pt,

(6)

координационных сфер оказываются примерно

k,p,t

одинаковой величины, но разных знаков. В итоге

возникает большая погрешность в теоретической

где фигурные скобки обозначают прямое произведе-

оценке величин D(1k)pt. В этой связи возникает

ние сферических компонент вектора электрического

необходимость определить минимальных набор

поля и единичного неприводимого тензорного опе-

ратора

U(k):

подстраиваемых параметров, определяющих элек-

трические дипольные переходы в интересующем нас

{

}(p)

интервале частот спектра поглощения. Рассчитывая

E⁽¹⁾

U(k)

матричные элементы оператора (6) на волновых

(

)

√

∑

k p

функциях

(4), получаем матричные элементы,

2p + 1

(-1)1-k+t

E(1)q

U(k)q′,

(7)

q q′ -t

которые удобно записать следующим образом:

q,q^′

〈ϵ|HE |η〉 = D₁E_x - D₃E_y ,

E⁽¹⁾⁰ = E_z; E(1)±1 = ∓√

(E_x ± i · E_y).

(8)

〈ϵ|^̂E|ξ〉 = D3Ex + D1Ey,

(11)

Индекс p, в общем случае принимает нечетные зна-

〈ζ|HE |η〉 = -D₂E_x - D₄E_y,

чения 1, 3 и 5, а индекс k — только четные 2 и 4.

〈ζ|HE |ξ〉 = D₄E_x - D₂E_y.

Дополнительные правила отбора накладывает то-

чечная группа симметрии S₄ позиций меди. В итоге

Величины D_i связаны с D(1k)pt соотношениями

нетрудно установить, что отличны от нуля следую-

щие величины: D(12)3±2, D(14)3±2 и D(14)5±2, которые име-

√

^[√ 1

ют размерность электрического дипольного момен-

D₁ =

√

D⁽¹²⁾³² +²

D⁽¹⁴⁾³² +

та. Матричные элементы оператора U(k) рассчиты-

√

]

ваются через 3-j символы:

D⁽¹⁴⁾⁵

(

)

3·5

√

〈dm_l

U(k)q′

|dm^′l〉 = (-1)2-ml

(9)

^[√ 1

-m_l q^′ m^′

D₂ =

√

D⁽¹²⁾³² +²

D⁽¹⁴⁾³² +

√

]

(12)

Явный вид формул для оценки величин парамет-

D(14)52 ,

ров D(1k)pt приведен в работах [32,33]. Проведя рас-

3·5

√

]

чет, мы убедились, что матричные элементы от опе-

^[√ 1

D₃ =

√

D⁽¹²⁾³² -¹

D⁽¹⁴⁾³

ратора H_E и от оператора магнитных дипольных

переходов в области 1.4 эВ в ряде случаев действи-

√

]

^[√ 1

тельно оказываются одного порядка величины, т. е.

D₄ =

√

D⁽¹²⁾³² -¹

D⁽¹⁴⁾³

интерференция магнитных и электрических перехо-

дов возможна.

Оператор взаимодействия с магнитным полем

Параметры D(1k)pt, как и параметры кристал-

световой волны записывался в виде

лического поля, пропорциональны соответствую-

щим компонентам сферического тензора C(p)-t, поэто-

H_M = μ_B(L + 2Ŝ)B^ω.

(10)

му при переходе от локальной системы координат

393

А. Р. Нурмухаметов, М. В. Еремин

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

в кристаллографическую мы можем использовать

(a)

53 Тл

(b)

53 Тл

соотношение, аналогичное (5):

40 Тл

D′(1k)pt = D(1k)pt exp(-itφ).

(13)

30 Тл

Это соотношение совместно с (5) позволяет исполь-

зовать одинаковые наборы Bqk) и D(1k)pt для обеих

16 Тл

позиций CuA1 и CuA2.

0 Тл

4. СРАВНЕНИЕ

С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ

ПО СПЕКТРУ ПОГЛОЩЕНИЯ

1.4

1.405

1.41

1.4

1.405

1.41

Энергия фотона (эВ)

Интенсивность поглощения при переходе с ос-

новного |g〉 на возбужденное состояние |e〉, вырож-

Рис. 2. Спектр поглощения света при прохождении через

денное по спиновым переменным, пропорциональ-

пластинку CuB2O4. Внешнее магнитное поле B ∥ [110].

Компоненты линейно-поляризованной световой волны

на сумме квадратов модулей матричных элементов

E^ω ∥ [110] и Hω ∥ [001]. Зеленым и желтым цветом

по четырем позициям ионов меди в элементарной

изображены линии оптического поглощения при направ-

ячейке:

лении волнового вектора света соответственно k^ω ∥ [110]

∑



и k^ω ∥ [110]. На панели a представлены эксперименталь-

Ige ∼

^〈g|HE +

H_M |e, σ〉2.

(14)

ные данные из работы [18], на панели b — результаты

σ,i

нашего моделирования без учета неясного происхождения

«подставки» в высокочастотной части спектра

Из (14) следует, что результат сложения матрич-

ных элементов операторов

H_E и

H_M меняется при

получены спектры поглощения с большим разреше-

обращении направления волнового вектора падаю-

нием по сравнению с работой [18]. Для поляриза-

щего света. В этой связи можно говорить об интер-

ции света и направления магнитного поля, исполь-

ференции электрических и магнитных дипольных

зованных в [35], явление невзаимности запрещено

переходов.

по симметрии магнитной группы. В данной рабо-

На рис. 2a приведен спектр поглощения из рабо-

те нас, главным образом, интересует происхождение

ты [18]. На рис. 2b приведен результат нашего расче-

явления невзаимности, поэтому мы ограничиваемся

та по формуле (14). Параметры электрических ди-

сопоставлением расчета с данными из работы [18].

польных переходов приняты равными (в дебаях)

Как видно на рис. 2, в отношении эффекта невзаим-

ности наши расчеты вполне удовлетворительно со-

D₁ = D₃ = 0.081, D₂ = D₄ = 0.085.

(15)

ответствуют экспериментальным данным.

Далее перейдем к анализу результатов экспери-

Отметим, что по порядку величины они соответ-

ментов, проведенных в работе [36]. Из данных, при-

ствуют тем, что были получены нами в процессе

веденных на рис. 3d, следует, что при B ∥ [110],

микроскопического расчета в работе [14], в которой

k^ω ∥ [110], E^ω ∥ [110], H^ω ∥ [001] эффект невзаим-

мы обсуждали происхождение статической магни-

ности наблюдается, а при B ∥ k^ω ∥ [110], E^ω ∥ [110],

тоэлектрической связи в кристаллах Cu1-xNi_xB₂O₄,

H^ω ∥ [001] он отсутствует. Из формулы (14) следует,

обусловленной спиновым упорядочением.

что вклад в вероятность перехода, связанный с про-

Обратим внимание на то, что по результатам на-

изведением электрической E^ωα и магнитной H^ωβ ком-

шего расчета (рис. 2b) расщепление линий погло-

понент света, пропорционален компоненте тензора

щения не симметрично относительно положения ли-

динамической магнитоэлектрической связи:

нии в нулевом магнитном поле. Имеется линейный

по приложенному магнитному полю сдвиг «центра

χ^emαβ + χ^meβα ∼

тяжести» в сторону высоких частот. Он обусловлен

∑

∼

〈g|d_α|e_i〉〈e_i|m_β |g〉 + 〈g|m_β |e_i〉〈e_i|d_α|g〉,

(16)

сдвигом зеемановской компоненты основного состо-

яния вниз по энергии под действием магнитного по-

ля. Этот сдвиг не виден на рис. 2a. Однако его пре-

где d_α и mβ — эффективные операторы компо-

красно видно на графиках работы [35], в которой

нент соответственно электрического и магнитного

394

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

К теории динамической магнитоэлектрической связи в CuB₂O₄

E^ω

Таким образом, отсутствие эффекта невзаимности

в этом случае легко объясняется.

На рис. 3c работы [36] приведены результаты

B=-500 Э

экспериментов при B ∥ kω

∥ [010], Eω

∥ [100],

H^ω ∥ [001] и при B ∥ k^ω

∥ [100], Eω

∥ [010],

H^ω ∥ [001]. В первом случае невзаимность заре-

⊙

гистрирована, а во втором случае не обнаружена

(отсутствует?). Конфигурация направления спинов

H^ω

и поля в первом случае соответствует магнитной

группе 2_a2^′b2^′c, а во втором случае — 2^′a2_b2^′c. Дей-

ствуя элементами симметрии этих групп на ком-

B=500 Э

поненту магнитоэлектрического тензора χ^emac мож-

но установить, что она инвариантна относительно

всех операций симметрии группы 2_a2^′b2^′c, но не яв-

Рис. 3. Рассчитанная диаграмма относительной интенсив-

ляется инвариантом группы 2^′a2_b2^′c. Таким образом,

ности фотолюминесценции в плоскости ab монокристал-

и в этом случае сценарий интерференции магнит-

ла CuB2O4 при переключении направления внешнего маг-

ных и электрических дипольных переходов объяс-

нитного поля B = ±500 Э вдоль направления [110]. Дли-

няет экспериментальные данные.

на полярного вектора (вдоль волнового вектора излуче-

Выше мы привели примеры применения микро-

ния k^ω) считается пропорциональной вероятности сум-

скопического и теоретико-группового подхода к ана-

марного электрического и дипольного переходов из воз-

лизу явления невзаимности в спектре поглощения,

бужденных состояний |e, ±〉 в основное |g, -〉, т. е. сумме

∑



которые взаимно дополняют друг друга. Вместе

^〈g|HE +

H_M |e, σ〉2. Предполагается, что вектор ан-

с тем важно отметить, что имеется много вари-

тиферромагнетизма L ∥ [110]. Компонента световой вол-

антов направлений волнового вектора и магнит-

ны H^ω осциллирует вдоль оси c

ного поля, при которых соображения симметрии

дипольных моментов. Дипольный момент меняет

оказываются малоэффективными. Сильная сторо-

знак при пространственной инверсии, а магнитный

на микроскопического подхода состоит в том, что

момент — при операции обращения знака време-

он позволяет рассчитывать эффект невзаимности

ни. Таким образом, динамическая магнитоэлектри-

при произвольных направлениях световой волны

ческая связь возможна, если одновременно нару-

и внешнего магнитного поля, в том числе и то-

шаются симметрии и пространственной, и времен-

гда, когда магнитная симметрия достаточно низкая

ной инверсии. Кроме того, правая часть (16) долж-

и теоретико-групповой подход оказывается неэф-

на быть инвариантна и относительно других опе-

фективным. В частности, микроскопический подход

раций симметрии (плоскостей отражения, поворот-

позволяет рассчитать эффект невзаимности при от-

ных осей и других) магнитной группы. Магнитная

клонении направлений магнитного поля и волново-

группа определяется пересечением точечной груп-

го вектора света от осей симметрии кристалла. Так,

пы симметрии магнитно-упорядоченного кристалла

допустив небольшие отклонения направления вол-

и группы приложенного магнитного поля.

нового вектора света от оси c кристалла, мы нашли,

При B ∥ [110] пересечение кристаллографиче-

что «запрещенный» по симметрии эффект невзаим-

ской точечной группы D2d и магнитной группы да-

ности в геометрии Фарадея B ∥ k^ω ∥ [001] довольно

ет группу симметрии m_x′m^′y′2^c. Здесь и далее, как

быстро появляется, и при отклонениях порядка 3^◦

и в работе [17], оси x^′ и y^′ считаются направлен-

уже вполне может быть зарегистрирован экспери-

ными соответственно вдоль [110] и [110]. Действуя

ментально. Кстати сказать, это обстоятельство мож-

элементами симметрии m_x′, m^′y′ и 2^′c на компоненту

но использовать для контроля ориентации образцов.

′

, нетруд-

^′c

но убедиться, что она является инвариантом этой

5. УГЛОВАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

группы, т. е. при E^ω ∥ [110], H^ω ∥ [001] невзаимность

ИНТЕНСИВНОСТИ

возможна.

ФОТОЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ ВО ВНЕШНЕМ

При B ∥ [110] мы имеем магнитную группу сим-

МАГНИТНОМ ПОЛЕ

метрии m^′x′my′2^c. Действуя, например, элементом

, находим, что

Явление асимметрии в направлении фотолюми-

^′c

она изменяет знак, и, следовательно, равна нулю.

несценции (directional asymmetry of luminescence)

395

А. Р. Нурмухаметов, М. В. Еремин

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

что предпочтительным направлением люминес-

×8

ценции является такое, при котором вероятность

перехода между исходным и конечным состояниями

E^ω

имеет наибольшее значение. В этом плане явле-

ния асимметрии люминесценции и невзаимность

в спектре поглощения — это два разных оптических

⊙

явления, имеющих общее происхождение. Однако

[110]

H^ω

для практических приложений наибольший интерес

представляют диаграммы излучения для различ-

ных произвольных направлений волнового вектора.

Результаты наших расчетов приведены на рис. 3-5.

Отметим, что диаграмма асимметрии фотолю-

B=± 500 Э

минесценции на рис. 4 (B ∥ [110], вектор антифер-

ромагнетизмa L = SA1 - SA2 ∥ [110], E^ω ∥ [110],

Рис. 4. Рассчитанная диаграмма изменения относитель-

H^ω ∥ [001]) соответствует экспериментальным дан-

ной интенсивности фотолюминесценции для однодомен-

ным, приведенным на рис. 2 в работе [20]. Тот факт,

ного образца при изменении направления внешнего маг-

что асимметрия люминесценции в геометрии Фара-

нитного поля B = ±500 Э перпендикулярно плоскости ри-

дея, т. е. B ∥ k^ω ∥ [110], отсутствует, можно легко

сунка. Предполагается, что вектор антиферромагнетизма

понять на основе соображений симметрии, как это

L ∥ [110]. Компонента световой волны H^ω ∥ [110]. Поляр-

пояснялось при описании невзаимности в спектрах

ный угол вектора излучения φ отсчитывается от направле-

поглощения.

ния [110]. Максимальное значение интенсивности пример-

но в 8 раз меньше ее значения на рис. 3

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

E^ω c

Рассчитанное изменение коэффициента по-

глощения света антиферромагнетиком CuB₂O₄

во внешнем постоянном магнитном поле соответ-

ствует имеющимся экспериментальным данным [18].

⊙

[110]

Наши микроскопические и теоретико-групповые

Hω

расчеты поддерживают идею о том, что явление

невзаимности в CuB₂O₄ может быть объяснено

интерференцией магнитных и электрических ди-

B=-500 Э

B=500 Э

польных переходов. При этом объясняется также

явление асимметрии в спектре фотолюминесцен-

ции [20]. Развитая микроскопическая теория необ-

ратимости (невзаимности) позволяет рассчитать

Рис. 5. Рассчитанная диаграмма изменения относитель-

относительную интенсивность фотолюминесценции

ной интенсивности фотолюминесценции для однодомен-

при различных направлениях волнового вектора из-

ного образца при изменении направления внешнего маг-

нитного поля B = ±500 Э перпендикулярно плоскости

лучения относительно кристаллографических осей

рисунка. Предполагается, что вектор антиферромагнетиз-

CuB₂O₄, а также при различных поляризациях све-

ма L ∥ [110]. Компонента световой волны E^ω ∥ [110]. По-

товой волны. В этом плане интересно продолжить

лярный угол вектора излучения φ отсчитывается от на-

исследование фотолюминесценции с большим раз-

правления [110]

решением спектральных линий, принципиальная

возможность чего была недавно продемонстрирова-

кристалла CuB₂O₄ обнаружено в работе [20]. Оно

на в работе [37]. При этом, конечно, надо выбрать

зарегистрировано при изменении направления

такие конфигурации полей, при которых эффект

внешнего магнитного поля B вдоль [110] на про-

динамической магнитоэлектрической связи будет

тивоположное. Компоненты волны поляризованы

разрешен по симметрии, и принять во внимание

следующим образом: E^ω ∥ [110], H^ω ∥ [001]. Соглас-

асимметрию диаграмм излучения. Можно также

но общей теории излучения, естественно считать,

надеяться, что значения параметров электрических

396

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

К теории динамической магнитоэлектрической связи в CuB₂O₄

дипольных переходов окажутся полезными при

17.

S. W. Lovesey, U. Staub, J. Phys.: Condens. Matter

анализе явления невзаимности на других частотах.

21, 142201 (2009).

Благодарности. Авторы благодарны Р. В. Пи-

18.

S. Toyoda, N. Abe, S. Kimura, Y. H. Matsuda, T. No-

сареву и М. Н. Поповой за обсуждения эксперимен-

mura, A. Ikeda, S. Takeyama and T. Arima, Phys.

тальных данных по оптическим свойствам CuB₂O₄.

Rev. Lett. 115, 267207 (2015).

Финансирование. Данная работа была поддер-

19.

K. N. Boldyrev, R. V. Pisarev, L. N. Bezmaternykh

жана грантом Фонда развития теоретической физи-

and M. N. Popova, Phys. Rev. Lett.

114, 247210

ки и математики «БАЗИС».

(2015).

20.

S. Toyoda, N. Abe and T. Arima, Phys. Rev. B 93,

ЛИТЕРАТУРА

201109 (2016).

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика

21.

R. V. Pisarev, A. M. Kalashnikova, O. Schops and

сплошных сред, Наука, Москва (1982) с. 250.

L. N. Bezmaternykh, Phys. Rev. B 84, 075160

(2011).

И. Е. Дзялошинский, ЖЭТФ 37, 881 (1959).

22.

M. Boehm, S. Martynov, B. Roessli, G. Petrakovskii,

А. К. Звездин, А. А. Мухин, Письма в ЖЭТФ 88

J. Kulda, J. Magn. Magn. Mater. 250, 313 (2002).

581 (2008)

23.

S. Miyahara and N. Furukawa, J. Phys. Soc. Jpn.

А. П. Пятаков, А. К. Звездин, УФН 182, 593

81, 023712 (2012).

(2012).

24.

S. Miyahara, N. Furukawa, Phys. Rev. B 89, 195145

F. Popkov, M. D. Davydova, K. A. Zvezdin,

(2014).

S. V. Solov’yov and A. K. Zvezdin, Phys. Rev. B 93,

25.

I. Kézsmárki, D. Szaller, S. Bordacs, V. Kocsis,

094435 (2016).

Y. Tokunaga, Y. Taguchi, H. Murakawa, Y. Tokura,

D. Khomskii, Physics 2, 20 (2009).

H. Engelkamp, T. R o om and U. Nagel, Nat. Com-

mun. 5, 3203 (2014).

A. S. Moskvin and S." L. Drechsler, Eur. Phys. J. B

71, 331 (2009).

26.

W. Low, M. Weger, Phys. Rev. 118, 1119 (1960).

Y. Tokura, S. Seki and N. Nagaosa, Rep. Prog. Phys.

27.

B. R. Judd, Phys. Rev. 127, 750 (1962).

77, 076501 (2014).

28.

G. S. Ofelt, J. Chem. Phys. 37, 511 (1962).

Shuai Dong, Jun-Ming Liu, Sang-Wook Cheong and

29.

A. Kornienko, A. A. Kaminskii, E. B. Dunina,

Zhifeng Ren, Adv. Phys. 64, 519 (2015).

Phys. Stat. Sol. (b) 157, 267 (1990).

10.

M. Martinez-Ripoll, S. Martínez-Carrera and

30.

E. B. Dunina, A. A. Kornienko, L. A. Fomicheva,

S. García-Blanco, Acta Crystallographica Section B

Cent. Eur. J. Phys. 6, 407 (2008).

27, 677 (1971).

31.

E. Б. Дунина, A. A. Корниенко, Оптика и спектро-

11.

M. Boehm, B. Roessli, J. Schefer, A. S. Wills,

скопия 116, 763 (2014).

B. Ouladdiaf, E. Lelièvre-Berna, U. Staub and

G. A. Petrakovskii, Phys. Rev. B 68, 024405 (2003).

32.

А. А. Корниенко, М. В. Еремин, ФТТ 19, 52 (1977).

12.

S. Toyoda, N. Abe and T. Arima, Phys. Rev. Lett.

33.

М. В. Еремин, ЖЭТФ 156, 1084 (2019).

123, 077401 (2019).

34.

M. V. Eremin, Phys. Rev. B 100, 140404(R) (2019).

13.

G. Nénert, L. N. Bezmaternykh, A. N. Vasiliev and

35.

N. E. Kopteva, D. Kudlacik, D. R. Yakovlev,

T. T. M. Palstra, Phys. Rev. B 76, 144401 (2007).

M. V. Eremin, A. R. Nurmukhametov, M. Bayer and

R. V. Pisarev, Phys. Rev. B 105, 024421 (2022).

14.

М. В. Еремин, А. Р. Нурмухаметов, Письма

в ЖЭТФ 114 31 (2021).

36.

M. Saito, K. Ishikawa, K. Taniguchi and T. Arima,

Phys. Rev. Lett. 101, 117402 (2008).

15.

A. I. Nikitchenko and R. V. Pisarev, Phys. Rev. B

104, 184108 (2021).

37.

D. Kudlacik, V. Yu. Ivanov, D. R. Yakovlev,

V. F. Sapega, J. J. Schindler, J. Debus, M. Bayer,

16.

M. Saito, K. Taniguchi and T. Arima, J. Phys. Soc.

and R. V. Pisarev Phys. Rev. B 102, 035128 (2020).

Jpn. 77, 013705 (2008).

397