ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 3 (9), стр. 398-405

ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ И КРИТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

В ДВУМЕРНОЙ ПРИМЕСНОЙ МОДЕЛИ ПОТТСА

НА КВАДРАТНОЙ РЕШЕТКЕ

А. К. Муртазаев^a, А. Б. Бабаевa,b*, Г. Я. Атаева^a, М. А. Магомедов^a,b

^a Институт физики им. Х. И. Амирханова Дагестанского федерального исследовательского центра РАН, 367003,

Махачкала, Россия

^b Дагестанский федеральный исследовательский центр РАН, 367000, Махачкала, Россия

Поступила в редакцию 15 марта 2022 г., апреля 2022 г.*

Принята к публикации 06 мая 2022 г.

Методом компьютерного моделирования проведено исследование фазовых переходов и критического

поведения в двумерной разбавленной модели Поттса с числом состояний спина q = 4 на квадратной

решетке. Рассмотрены системы с линейными размерами L × L = N, L = 10 ÷ 160 при концентрации

спинов p = 1.00, 0.95, 0.80. Показано, что внесение немагнитных примесей оказывает стабилизирую-

щую роль при реализации фазового перехода второго рода в исследуемой модели Поттса. На основе

теории конечно-размерного скейлинга рассчитаны статические критические индексы теплоемкости α,

восприимчивости γ, намагниченности β и индекса радиуса корреляции ν в рассмотренном интервале

концентраций p.

DOI: 10.31857/S0044451022090139

ца. Кроме того, практически нет эксперименталь-

EDN: ELKZUY

ных исследований, выполненных на основе едино-

го методического подхода на сериях однотипных об-

разцов при строго контролируемом содержании ко-

1. ВВЕДЕНИЕ

личества примесей. Практически во всех экспери-

ментальных исследованиях серьезной и до сих пор

Развитие компьютерных технологий и вычисли-

не решенной проблемой остается проблема достиже-

тельных методов исследования, привело к их пре-

ние асимптотического критического режима [2, 4].

валированию над теоретическими и эксперимен-

На этом фоне обнадеживающими представляются

тальными методами при изучении неупорядочен-

результаты и возможности исследования примесных

ных магнитных систем. Обусловлено это тем, что

систем методами Монте-Карло (МК).

в реальных системах всегда присутствуют усложня-

ющие факторы, затрудняющие использование тео-

К настоящему времени известно, что дефекты

ретических и экспериментальных методик

[1-5].

структуры, реализованные в виде немагнитных при-

Вмороженный беспорядок, содержащийся в реаль-

месей, оказывают влияние на тепловые и магнит-

ных системах приводит к определенным трудностям

ные характеристики спиновых систем для которых

при изучении их термодинамических и критических

выполняется так называемый критерий Харриса [6].

свойств на основе экспериментальных методов ис-

Справедливость этого критерия достаточно хорошо

следования. Имеющиеся на сегодняшний день экс-

проверена для трехмерных спиновых систем, описы-

периментальные результаты не позволяют сформи-

ваемых моделью Изинга [7, 8]. В тоже время в слу-

ровать цельной и непротиворечивой картины крити-

чае двумерной модели Изинга критерий Харриса

ческого поведения примесных систем. Дело не толь-

не применим в силу того, что α = 0. Детальное рас-

ко в том, что результаты экспериментальных ис-

смотрение этого случая [9] позволило прийти к вы-

следований сильно зависят от метода и конкретно-

воду, что влияние примеси затрагивает только пове-

го образца, но и от способа приготовления образ-

дение теплоемкости, в то время как остальные тер-

модинамические и корреляционные функции не из-

^* E-mail: b_albert78@mail.ru

меняют своего критического поведения.

398

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022 Фазовые переходы и критические явления в двумерной примесной модели

Примеси также могут влиять на род фазового пе-

2. ДВУМЕРНАЯ ПРИМЕСНАЯ МОДЕЛЬ

рехода (ФП), в случае спиновых систем, испытыва-

ПОТТСА С Q = 4

ющих в однородном состоянии ФП первого рода [10].

Приведем здесь формулировку двумерной стан-

На стабилизирующую роль немагнитных примесей

дартной примесной модели Поттса с числом состоя-

при реализации ФП второго рода с применением

ний спина q = 4 используемую для описания широ-

теоретических методов было указано и в недавней

кого ряда объектов и явлений в физике конденсиро-

работе [11]. Для изучения этого случая хорошо под-

ванных сред. В рассматриваемой нами модели при-

ходит модель Поттса. С одной стороны, это связано

меси распределены каноническим способом [4]. При

с тем, что в модели Поттса наблюдается ФП перво-

построении такой модели необходимо иметь в виду

го рода при q > 4, и ФП второго рода при q ≤ 4.

следующие особенности:

С другой стороны модель Поттса является теорети-

ческим инструментом, применяемым для изучения

1. В узлах квадратной решётки расположены

спины S_i, которые могут ориентироваться в 4-х

широкого класса явлений в физике конденсирован-

симметричных направлениях гипертетраэдра в про-

ных сред [12]. Очевидно, что решеточная структура

данной модели изоморфна многим таким системам

странстве размерности q - 1, так что углы меж-

ду любыми двумя направлениями спинов равны

как: слоистый магнетик, аэрогели, пленки жидкого

гелия, сверхпроводящие пленки и т.д. [13]. Кроме то-

(см. рис. 1). Немагнитные примеси распределены

случайно и фиксированы на различных узлах ре-

го, следует отметить, что фазовые переходы в сверх-

структурах с адсорбированными водородными сло-

шетки (quenched disorder).

ями (2 × 2) — 2H/Ni (111) на поверхности никеля

Ni (111) описываются классом универсальности чи-

стой модели Поттса с q = 4 [14].

Таким образом на моделях Поттса можно прове-

рить особенности влияния примесей на ФП и опре-

делить их роль при реализации конкретного ро-

да фазового перехода. В соответствии с критери-

ем Харриса [6] в случае двумерных моделей Потт-

са с q = 3 или q = 4 примеси должны повлиять

и на их критическое поведение, так как для этих

моделей α = 1/3 и α = 2/3 соответственно. В рабо-

те [15] для четырехкомпонентной (q = 4) стандарт-

ной, а в [16] для вершинной модели Поттса при кон-

центрации примесей с = 0.1 (с = 1 - p) было показа-

но, что критическое поведение этой модели подвер-

гается незначительному влиянию слабого беспоряд-

ка, реализованного в виде немагнитных примесей.

Рис. 1. Двумерная стандартная примесная модель Поттса

В тоже время для модели Поттса с q = 4 в литерату-

с числом состояний спина q = 4 на квадратной решетке

ре практически не имеются сведения о том, как вли-

яет вмороженный беспорядок на фазовые переходы,

2. Энергия связи между двумя узлами равна

и его критическое поведение, универсальны ли но-

нулю, если они находятся в разных состояниях

вые критические индексы. Не определены значения

(безразлично, в каких именно) или же, если хо-

критических температур и не выявлены особенно-

тя бы в одном узле находится немагнитный атом,

сти влияния беспорядка на термодинамические па-

и равна J, если взаимодействующие узлы находят-

раметры такие как намагниченность m, восприим-

ся в одинаковых состояниях (опять же, все равно,

чивость χ, энергия E, теплоемкость C и кумулянты

в каких именно).

Биндера U_L и V_L.

С учетом этих особенностей микроскопический

В связи с этим основной целью настоящей рабо-

гамильтониан такой системы может быть, представ-

ты является изучение влияния немагнитных приме-

лен в виде [13]

сей на фазовые переходы и критическое поведение

J^∑

в стандартной двумерной четырехкомпонентной мо-

H =-

ρ_iρ_jδ(S_i, S_j), S_i = 1, 2, 3, 4,

(1)

дели Поттса на квадратной решетке.

i,j

399

А. К. Муртазаев, А. Б. Бабаев, Г. Я. Атаева, М. А. Магомедов

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

где

4. После проверки всех ближайших соседей вы-

{

бранного спина i, первый включенный в кластер

1, если S_i = S_j;

спин становится «центральным», и начинается про-

δ(S_i, S_j ) =

0, если S_i = S_j,

цесс активации связей этого спина с ближайшими

⎧

соседями. Этот процесс продолжается до тех пор,

⎨1, если в узле расположен спин;

пока не будут проверены все ближайшие соседи всех

ρ_i,j =

⎩0,есливузлерасположена

вошедших в кластер спинов или достигнуты грани-

немагнитная примесь.

цы системы.

5. Все спины, между которыми установлена

Концентрация магнитных спинов определяется вы-

связь, образуют «кластер».

ражением:

6. Полученный кластер переворачивается с веро-

1^∑

ρ_iδ(S_i, q).

(2)

ятностью равной 1. Переворот кластера в случае мо-

L²

дели Поттса означает присвоение всем спинам во-

Тогда значение p = 1 соответствует чистой модели

шедших в кластер новое значение спина S^′i, с рав-

Поттса, а p = 0 — пустой, чисто примесной решетке.

ной вероятностью среди всех его состояний q кото-

рое отлично от старого значения S_i. Затем перехо-

дим к пункту 2.

3. МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Об эффективности однокластерного алгоритма

Вольфа применительно к модели Поттса можно су-

Алгоритм Вольфа один из наиболее эффектив-

дить по критическому индексу z характеризующему

ных кластерных алгоритмов метода Монте-Карло

эффективность используемого алгоритма. В частно-

на сегодняшний день [17]. Методика ее реализация

сти исследование чистой двумерной модели Поттса

подробно рассмотрена в работах [8, 18]. В данной

с q = 4 на основе однокластерного алгоритма Воль-

работе этот алгоритм был использован нами в сле-

фа показало, что критический индекс z = 0.60±0.02,

дующем виде.

в то время как использование классического алго-

1. Два случайных числа задают координаты i, j

ритма Метрополиса дает значение z ≈ 2 [19]. По опи-

узла на решетке. Если в этом узле находится немаг-

санному выше алгоритму Вольфа [17] реализовался

нитная примесь, то генерируются новые случайные

марковский процесс, для систем с периодическими

числа до тех пор, пока не будут сгенерированы ко-

граничными условиями. Расчеты проводились для

ординаты магнитного спина S_i.

систем с линейными размерами L = 10 ÷ 160 и чис-

2. Рассматриваются все ближайшие соседи S_j

лом спинов p × L × L = N. Изначально конфигу-

данного спина S_i. Если соседний узел занят магнит-

рации задавались таким образом, чтобы все спины

ным спином, то с вероятностью

были упорядочены вдоль одной из осей x, y или z.

Для вывода системы в равновесное состояние от-

p = 1 - exp(-K),

(3)

секался неравновесный участок длиной τ₀ для си-

где K = J/k_B T , k_B — постоянная Больцмана, Т —

стемы с линейным размером L. Этот неравновес-

температура, активируется связь между S_i и S_j, ес-

ный участок отбрасывали. В каждой цепи усредне-

ли S_i и S_j имеют одинаковые значения при J > 0.

ние проводилось по участку марковской цепи дли-

Заметим, что в случае модели Поттса для выраже-

ной τ = 150τ₀. Для самой большой системы L = 160,

ния вероятности включения спина в кластер (3) по-

τ₀ = 1.8 × 10³ МК-шагов/спин. Кроме того, прово-

казатель 2 в экспоненте характерный для соответ-

дилось конфигурационное усреднение по 1000 раз-

ствующей вероятности модели Изинга исчезает. Та-

личным примесным конфигурациям.

ким образом, можно утверждать, что модель Потт-

са с состоянием спина q = 2 эквивалентна модели

Изинга с точностью численного фактора 2 в обмен-

4. РЕЗУЛЬТАТЫ

КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ной константе J.

3. Если связь между спинами S_i и S_j активиру-

При проведении компьютерного моделирования

ется, то спин в узле j включается в кластер. Сле-

вычислялись термодинамические характеристики

дует отметить, что также, как и для модели Изинга

отдельно взятого образца по следующим форму-

с примесями один и тот же спин может быть вклю-

лам [12, 20]:

чен в кластер только один раз, тогда как проверен

[

]

на включение в кластер несколько раз.

U =

〈H〉

(4)

400

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022 Фазовые переходы и критические явления в двумерной примесной модели

(

(_N

)

max

-1

m_F =

(5)

q-1

[

]

C = (NK²)

〈U²〉 - 〈U〉²

(6)

[

]

χ = (NK)

〈m2F 〉 - 〈m_F 〉²

(7)

где K = |J|/k_BT , N_max = max[N₁, N₂, N₃, N₄], N_i —

число спинов в состоянии с q = i, N = p ∗ L² —

число магнитных узлов, угловые скобки обозначают

термодинамическое усреднение, квадратные скоб-

ки означают усреднение по примесным конфигура-

циям.

На рис. 2 и 3 представлены характерные зависи-

мости намагниченности для чистой (p = 1.00) и раз-

бавленной (p = 0.80) моделей Поттса от температу-

ры соответственно. Здесь и далее на всех рисунках

погрешность данных не превышает размеров сим-

Рис. 3. Температурная зависимость намагниченности mF

волов, используемых для построения графиков. Как

для разбавленной модели Поттса при концентрации спи-

видно из этих рисунков, для всех рассмотренных си-

нов р = 0.80

стем наблюдается поведение характерное для фазо-

вого перехода второго рода.

первого и второго рода соответственно. Следует от-

метить, что применение кумулянтов Биндера позво-

ляет также хорошо определить род фазового перехо-

да в системе. Фазовые переходы второго рода харак-

теризуются следующими отличительными особен-

ностями [22]: усредненная величина V_L(T, p) стре-

мится к тривиальному значению V^∗ согласно выра-

жению

VL(T, p) = V^∗ + bL^-d,

(10)

при L → ∞ и T = T_l(L), где V^∗ = 2/3, а кри-

вые температурной зависимости кумулянтов Бин-

дера U_L(T, p) в критической области имеют четко

выраженную точку пересечения. Указанные особен-

ности для кумулянтов Биндера четвертого порядка

V_L(T, p) и U_L(T, p) продемонстрированы на рис. 4

и 5 соответственно для ФМ модели Поттса с q = 4

Рис. 2. Температурная зависимость намагниченности mF

на квадратной решетке при отсутствии структурно-

для чистой модели Поттса при концентрации спинов

го беспорядка p = 1.00. Аналогичная картина на-

р = 1.00

блюдается и при внесении немагнитного беспорядка

концентрацией с = 0.2, с = 1 - p (см. рис. 6 и 7).

Для анализа характера ФП наиболее эффектив-

Методика определения рода фазового перехода этим

ным методом зарекомендовал себя метод кумулян-

методом подробно описана в работах [23-25]. Следу-

тов Биндера четвертого порядка [21]:

ет отметить, что температура ФП T_l = 0.912(2) по-

〈E⁴〉

лученная для чистой спиновой системы при p = 1.0

V_L(T, p) = 1 -

(8)

3〈E²〉_L

достаточно хорошо согласуется с аналитическим

значением полученным Бакстером [12] по форму-

〈m4F 〉

√

= 0.9102 . . .

U_L(T, p) = 1 -

(9)

леkB T^lJ⁼

ln(1+

3〈m2F 〉_L

Для всех рассмотренных систем, в которых на-

где E - энергия, и m_F — намагниченность системы

блюдается ФП второго рода, нами на основе теории

с линейным размером L. Выражения (8) и (9) поз-

конечно-размерного скейлинга (КРС) рассчитыва-

воляют определить температуру фазового перехо-

лись статические критические индексы (КИ) намаг-

да T_l(p) с большой точностью в фазовых переходах

ниченности β, восприимчивости γ и теплоемкости α.

401

А. К. Муртазаев, А. Б. Бабаев, Г. Я. Атаева, М. А. Магомедов

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Рис. 4. Температурная зависимость кумулянтов Биндера

Рис. 6. Температурная зависимость кумулянтов Биндера

VL(T) для двумерной модели Поттса с числом состояний

спина q = 4

спина q = 4 при р = 0.80

Рис. 5. Температурная зависимость кумулянтов Биндера

Рис. 7. Температурная зависимость кумулянтов Биндера

UL(T ) для двумерной модели Поттса с числом состояний

спина q = 4

спина q = 4 при р = 0.80

Из соотношений этой теории следует, что для до-

В соответствии с теорией КРС в точке ФП для

статочно большой системы с ПГУ при температуре

критического индекса радиуса корреляции ν, вы-

T = T_c намагниченность m, восприимчивость χ удо-

полняется соотношение [27]

влетворяют следующим аналитическим выражени-

ям [26, 27]

V_n = L1/νgVn,

(14)

m∼L^-β/ν,

(11)

мо-

где gVn — некоторая постоянная, а в качестве V_n

χ∼L^-γ/ν.

(12)

гут выступать:

Для аппроксимации температурной зависимости

〈mⁱE〉

теплоемкости от L как правило используются дру-

Vi =

- 〈E〉, (i = 1, 2, 3).

(15)

〈mⁱ〉

гие выражения [20], например,

Случаи магнитных систем, критическое поведе-

C_max(L) = C_max(L = ∞) - AL^α/ν,

(13)

ние которых может описываться двумерными моде-

где A — некоторый коэффициент.

лями Изинга или Поттса с q = 4 относятся к мар-

402

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022 Фазовые переходы и критические явления в двумерной примесной модели

гинальным. Теория критических явлений для мар-

КИ полученные при p = 1.00 и p = 0.95 (см. таб-

гинальных случаев предсказывает появление лога-

лицу). Такая же картина наблюдалась и для вер-

рифмических поправок для всех выражений (11)-

шинной модели Поттса при концентрации спинов

(14) описывающих асимптотическое поведение тер-

p = 0.90 в работе [16]. Как видно из таблицы внесе-

модинамических функций сохраняя значения кри-

ние 20% немагнитных примесей приводит к замет-

тических индексов чистой системы [9, 28]. В рабо-

ному отклонению КИ от значений, полученных при

тах [29, 30] было показано, что выражения, приве-

p = 1.0 и 0.95 значений. Следует отметить, что мы

денные выше для намагниченности, восприимчиво-

при аппроксимации данных выражениями теории

сти и теплоемкости в случае модели Поттса с q = 4

КРС ограничивались значениями КИ с точностью

(маргинальный случай) вблизи критической точки

до второго знака после запятой (см. таблицу). Как

должны приобрести следующий вид:

видно из рис. 8 численные данные для всех рассмот-

ренных линейных размеров L достаточно хорошо

-β/ν

[

)]

ln ln L

( 1

укладываются на прямую. Очевидно, что исполь-

m∼

1-u

(16)

(ln L)1/16

ln L

зованное нами для усреднения количество различ-

ных начальных конфигураций, линейные размеры

γ/ν

[

)]

ln ln L

( 1

L > 10 и учет логарифмической поправки в выра-

χ∼

1 - 2u

(17)

(ln L)1/8

ln L

жениях КРС позволяет достичь асимптотического

α/ν

[

)]

критического режима.

ln ln L

( 1

C ∼

1 - 24u

(18)

Очень важным моментом является и то, что ин-

(ln L)3/2

ln L

декс ν вычислялся непосредственно из результатов

где β/ν = 1/8, γ/ν = 7/4, и α/ν = 1.

численного эксперимента в рамках данного иссле-

Выражения (16)-(18) позволяют учесть возмож-

дования, тогда как во многих других работах этот

ные вклады логарифмических поправок в асимп-

индекс обычно определяется из различных скейлин-

тотическом поведении намагниченности, восприим-

говых соотношений. Анализ данных, выполненный

чивости и теплоемкости. Однако в численных ис-

с использованием нелинейного метода наименьших

следованиях не всегда удается различить поправки

квадратов, позволил определить значения всех КИ

более высоких порядков ln(lnL)/ lnL и O(1/ ln L)

с учетом их погрешностей. Полученные критиче-

на фоне ведущей поправки 1/(ln L)ⁿ в выражени-

ские индексы с тщательным контролем за процеду-

ях (16)-(18) при T = T_c [30]. Поэтому при обработке

рой подгонки в пределах погрешности численного

данных выражениями КРС мы ограничились толь-

эксперимента хорошо удовлетворяют соотношениям

ко ведущей логарифмической поправкой 1/(ln L)ⁿ.

теории КРС при учете логарифмической поправки

При этом для расчета КИ β, γ, α и ν строились зави-

(см. таблицу). В таблице также приведены резуль-

симости m(ln L)1/16, χ(ln L)1/8, C(ln L)3/2, и V_i(ln L)

таты КИ, полученные на основе эксперименталь-

от L. На рис. 8, a-d в двойном логарифмическом

ных исследований [14] для сверхструктуры (2 × 2) —

масштабе представлены характерные зависимости

2H/Ni (111) в монослоях которого случайно внесены

этих параметров от линейных размеров решетки L

атомы кислорода. Отметим, что в таких структурах

для двумерной модели Поттса с q = 4 на квадратной

атом кислорода можно рассматривать как вморо-

решетке при концентрации спинов p = 0.80 и T = T_c.

женную примесь, и эти экспериментальные данные

Следует отметить, что точность критических ин-

вполне можно сравнивать с результатами компью-

дексов определяемые согласно выражениям теории

терного моделирования. Как видно критические ин-

КРС (16)-(18) в большей степени зависит от пра-

дексы, полученные на основе метода Монте-Карло

вильности учета данных для разных L. В наших

для разбавленной модели Поттса при концентрации

расчетах строго контролировались данные для всех

спинов p = 0.80 прекрасно согласуются с результата-

рассмотренных систем и при их незначительном от-

ми экспериментальных исследований, приведенных

клонении от аппроксимирующей прямой процеду-

в работе [14].

ра фитирования проводилась заново с отсеканием

Таким образом, внесение беспорядка в виде

данных для L < L_min. Такой отбор данных для

немагнитных примесей в спиновую решеточную си-

разных L позволяет заметно уменьшить погреш-

стему, описываемую четырехкомпонентной моделью

ность в значениях КИ, а включение в процедуру фи-

Поттса, приводит к заметному изменению критиче-

тирования логарифмической поправки заметно их

ских индексов в соответствии с критерием Харри-

приближает к известным теоретическим значениям.

са [6]. Тем не менее для более достоверного ответа

Это особенно хорошо прослеживается для значений

на вопрос о смене класса универсальности в двумер-

403

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022 Фазовые переходы и критические явления в двумерной примесной модели

ных разбавленных структурах требуется численное

10.

M. Aizenman, J. Wehr, Phys. Rev. Lett. 62, 2503

исследование критического поведения в непосред-

(1989).

ственной близости к точке перколяции рассматри-

11.

В. В. Дубс, В. В. Прудников, П. В. Прудников,

ваемой решетки, что будет являться предметом от-

Теоретическая и математическая физика 190, 419

дельного рассмотрения.

(2017).

12.

Р. Бекстер, Точно решаемые модели в статистиче-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ской механике, Мир, Москва (1985).

В данной работе на основе метода Монте-Карло

13.

F. Y. Wu, Rev. Mod. Phys. 54, 235 (1982).

исследованы фазовые переходы и критическое по-

14.

L. Schwenger, K. Budde, C. Voges, H. Pfnur„ Phys.

ведение с учетом логарифмических поправок в дву-

Rev. Lett. 73, 296,(1994).

мерной четырехкомпонентной ферромагнитной мо-

дели Поттса в чистом и слабо разбавленном режиме.

15.

А. Б. Бабаев, А. К. Муртазаев, ФТТ 62, 5, 757

Полученные данные в результате наших исследова-

(2020).

ний свидетельствуют о том, что в рассматриваемой

16.

A. B. Babaev, A. K. Murtazaev, Journal of Physics:

модели Поттса на квадратной решетке наблюдает-

Conference Series 1389,1,(2019).

ся фазовый переход второго рода в соответствии

с предсказаниями аналитических теорий [10]. Пока-

17.

U. Wolff, Phys. Lett.62,,361,(1989).

зано, что значения критических индексов для чи-

18.

А. Б. Бабаев, А. К. Муртазаев, Вестник Омского

стой двумерной четырехкомпонентной модели Потт-

университета 25,, 7,(2020).

са при учете логарифмических поправок лучше со-

гласуются с теоретическими данными, чем без них.

19.

G. T. Barkema, M.E. J. Newman, preprint cond-

mat/9703179.

Внесение немагнитных примесей в пределах 20%

приводит к заметному изменению критических ин-

20.

P. Peczac, A. M. Ferrenberg, D. P. Landau, Phys.Rev.

дексов от соответствующих значений для чистой мо-

B 43, 6087 (1991).

дели Поттса.

21.

K. Eichhorn, K. Binder, J. Phys.: Condens. Matter

8, 5209 (1996).

ЛИТЕРАТУРА

22.

D. Loison, K. D. Schotte, The European Physical

1. Л. Н. Щур, УФН 182, 787 (2012).

Journal B 5, 735 (1998).

2. O. Vasilyev, B. Berche, M. Dudka and Yu. Holovatch,

23.

A. K. Murtazaev, A. B. Babaev, Materials Letters

Phys. Rev. E 92, 042118 (2015).

258, 126771 (2020).

3. D. P. Landau, K. Binder, A guide to Monte Carlo

24.

A. K. Murtazaev, A. B. Babaev,G. Y. Ataeva,J.

simulations in statistical physics, Cambridge univer-

Magn. Magn. Mater. 440,101 (2017).

sity press, (2014).

25.

А. К. Муртазаев, А. Б. Бабаев, Письма в ЖЭТФ

4. Р. Фольк, Ю. Головач, Т. Яворский, УФН 173, 175

99, 618 (2014).

(2003).

26.

M. E. Fisher, M. N. Barber,Phys. Rev. Lett.

28,

5. В. С. Доценко, УФН 165, 481 (1995).

1516 (1972).

6. A. B. Harris, J. Phys. C 7, 1671 (1974).

27.

D. Loison,Phys. Lett.257,83 (1999).

7. А. Н. Вакилов, В. В. Прудников., Письма в ЖЭТФ

28.

B. N. Shalaev,Phys. Rep.237,129 (1994).

55, 709 (1992).

29.

J. L. Cardy, M. Nauenberg, D. J. Scalpino, Phys.

8. A. B. Babaev, A. K. Murtazaev, Mathematical Mod-

Rev. 22, 2560 (1980).

els and Computer Simulations 11, 575 (2019).

30.

J. S. Salas, A. D. Sokal, Journal of Statistical Physics

9. Vik. Dotsenko, Vl. Dotsenko, Adv. Phys.

32, 129

88, 567 (1996).

(1983).

405