ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 3 (9), стр. 406-416
© 2022
ДИНАМИЧЕСКИЕ И СТАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
НЕГЕЙЗЕНБЕРГОВКОГО ФЕРРИМАГНЕТИКА С ОДНОИОННОЙ
АНТИЗОТРОПИЕЙ ТИПА «ЛЕГКАЯ ПЛОСКОСТЬ»
О. А. Космачев, Я. Ю. Матюнина, Ю. А. Фридман*
Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского 295007, Симферополь, Россия
Поступила в редакцию 24 марта 2022 г.,
после переработки 26 апреля 2022 г.
Принята к публикации 29 апреля 2022 г.
Исследовано влияние одноионной анизотропии типа «легкая плоскость» на фазовые состояния и спек-
тры элементарных возбуждений ферримагнетика с подрешетками S = 1 и σ = 1/2 и негейзенбергов-
ским (билинейным и биквадратичным по спинам) обменным взаимодействием для подрешетки с S = 1.
Показано, что при различных соотношениях материальных параметров системы возможна реализация
фазы с векторными параметрами порядка (ферримагнитная фаза) и фазы, характеризуемой как век-
торным, так и тензорными параметрами порядка (квадрупольно-ферримагнитная). Показано, что учет
одноионной анизотропии меняет тип фазового перехода по сравнению с изотропным негейзенберговским
ферримагнетиком. Построена фазовая диаграмма, определено условие компенсации спинов подрешеток,
а также поведение спектров элементарных возбуждений как в окрестности линии фазовых переходов,
так и вблизи линии компенсации спинов. В окрестности линии компенсации спинов спектры магнонов
«антиферромагнитно подобны».
DOI: 10.31857/S0044451022090140
ров, таких как частоты магнитного резонанса, пре-
EDN: ELMSDW
дельные скорости доменных стенок [8] и магнитных
вихрей [9, 10] и ряд других, определяются эффек-
тами обменного усиления. Существенно также, что
спиновый ток активно влияет на поведение систем
1. ВВЕДЕНИЕ
с нулевым интегральным магнитным моментом, что
В последние годы возникли новые и активно раз-
дает возможность использовать антиферромагнети-
вивающиеся области физики прикладного магнетиз-
ки в спинтронных устройствах [11]. Таким образом,
ма, спинтроника и магноника, которые основаны
использование этих материалов, в принципе, позво-
на использовании магнитных степеней свободы маг-
ляет повысить как скорость работы систем записи
нитоупорядоченных кристаллов. Спиновые колеба-
и считывания информации [12-15], так и существен-
ния и волны, а также спиновые токи активно ис-
но (до величин порядка терагерц) повысить рабо-
пользуются для создания различных приборов за-
чую частоту генераторов с накачкой спиновым то-
писи и обработки информации, которые в принци-
ком [16-18].
пе могут заменить соответствующие приборы стан-
Однако антиферромагнетики обладают высокой
дартной электроники [1-4]. Характерные частоты
чувствительностью магнитного порядка к наличию
работы таких устройств порядка частот магнитного
дефектов, нарушающих подрешеточную структу-
резонанса, т. е. для ферромагнетиков они находят-
ру кристаллического образца. Это обстоятельство
ся в диапазоне от единиц до десятков гигагерц [1-
4]. Для повышения быстродействия предложено ис-
затрудняет их применение в спинтронике. Одна-
ко хорошо известно, что эффекты обменного уси-
пользование скомпенсированных магнетиков, преж-
ления, аналогичные тем, что известны для анти-
де всего, антиферромагнетиков, см. [5-7], для кото-
ферромагнетиков, имеют место для ферримагнети-
рых более высокие значения динамических парамет-
ков, находящихся в окрестности точки компенсации
* E-mail: yuriifridman@gmail.com
подрешеток [19]. Следовательно, можно использо-
406
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022 Динамические и статические свойства негейзенберговкого ферримагнетика. . .
вать ферримагнетики, находящиеся вблизи точки
свойств [38-41]. Так, гамильтониан для изотропного
компенсации, для различных устройств сверхбыст-
обменного взаимодействия магнетика с S = 1 содер-
рой спинтроники. В недавних работах эксперимен-
жит как билинейное (S1S2), так и биквадратичное
тально и теоретически исследована сверхбыстрая
слагаемое (S1S2)2 [32,38-44]. В работах [38,39] было
(со скоростями порядка км/с) динамика доменных
показано, что в ферримагнетиках с подрешетками
стенок [20,21] и высокочастотная динамика ферри-
S = 1 и σ = 1/2 при учете биквадратичного об-
магнитных вихрей [22, 23]. Предложена схема маг-
менного взаимодействия в подрешетке со спином 1,
нитного наногенератора на основе ферримагнетиков
в зависимости от соотношения материальных пара-
с накачкой спиновым током, работающего в диапа-
метров возможна реализация как ферримагнитной
зоне терагерц [24]. Для сплава редкоземельных и пе-
фазы, характеризуемой дипольными параметрами
реходных металлов GdFeCo был обнаружен сверх-
порядка, так и фазы, состояние которой описывает-
быстрый (за время порядка нескольких пикосекунд)
ся как дипольными, так и тензорными параметра-
переворот намагниченностей подрешеток под дей-
ми порядка (квадрупольно-ферримагнитной). При-
ствием лазерного импульса с длительностью меньше
чем в этом «смешанном» состоянии возможна ком-
100 фемтосекунд [25, 26]. Как показали исследова-
пенсация магнитных моментов подрешеток, т. е. су-
ния, этот эффект связан с наличием двух подреше-
ществует линия компенсации.
ток, и в формировании эффекта существенную роль
Таким образом, вопрос о свойствах негейзен-
играет обусловленное обменным взаимодействием
берговских ферримагнетиков с учетом влияния од-
изменение модулей магнитных моментов подреше-
ноионной анизотропии типа
«легкая плоскость»
ток [27, 28]. Таким образом, для описания эффек-
представляет не только академический интерес,
та существенна чисто продольная эволюция магнит-
но и важное прикладное значение.
ных моментов подрешеток. Всё это свидетельствует
о том, что детальное исследование различных аспек-
тов спиновой динамики ферримагнетиков является
2. МОДЕЛЬ
важными и актуальными (см. обзор [29]).
Рассмотрим двухподрешеточный анизотропный
Необходимо отметить, что ряд вопросов физи-
магнетик со спином магнитного иона первой подре-
ки ферримагнетиков изучен сравнительно слабо.
шетки S = 1 и второй — σ = 1/2 и негейзенбер-
Так, отмеченный эффект переориентации наблю-
говским обменным взаимодействием для подрешет-
дался для ферримагнетика, содержащего как сла-
ки с S = 1. При этом в первой подрешетке учитыва-
боанизотропные ионы, так и редкоземельные ио-
ется как билинейное, так и биквадратичное обмен-
ны, обладающие немалой одноионной анизотропи-
ные взаимодействия, а также одноионная анизотро-
ей. Наличие немалой одноионной анизотропии при-
пия типа «легкая плоскость». Гамильтониан такой
водит к существенно квантовым эффектам, кото-
системы можно представить в виде
рые не удается описать в рамках стандартной фе-
номенологической теории [30]. Описание подобных
H =
эффектов выходит за рамки уравнения Ландау—
1∑[
]
Лифшица и требует учета динамики тензорных пе-
=-
J(2)(n-n′)(SnSn′ )+K(n-n′)(SnSn′)2
-
ременных, представляющих собой квантовые сред-
2
n,n′
ние от операторов, билинейных по компонентам спи-
1∑
-
J(1)(m - m′)(σmσm′) -
на [31, 32-37]. Можно предположить, что эффект
2
m,m′
сокращения спина может быть предложен для опи-
сания сверхбыстрого продольного «переключения»
1∑
β∑
-
A(n - m)(σmSn) +
(Sxn)2,
(1)
спинов [36, 37].
2
2
n,m
n
Необходимо также отметить, что данный эф-
фект реализуется не только в сильно анизотроп-
где J(1)
>
0
— константа обменного взаимо-
ных магнетиках, но и в так называемых негейзен-
действия для подрешетки со спином σ
= 1/2;
берговских магнетиках. Под термином «негейзен-
J(2)
>
0, K
>
0
— константы билинейного
берговские магнетики» мы подразумеваем магнито-
и биквадратичного обменных взаимодействий для
упорядоченные системы, в которых высшие спино-
S = 1;A < 0 — константа межподрешеточного вза-
вые инварианты вида (S1S2)2S , где S — величина
имодействия, β > 0 — константа одноионной ани-
спина магнитного иона, играют важную роль как
зотропии типа «легкая плоскость» (базисная плос-
в формировании статических, так и динамических
кость zy). Дальнейшее рассмотрение будем прово-
407
8
ЖЭТФ, вып. 3 (9)
О. А. Космачев, Я. Ю. Матюнина, Ю. А. Фридман
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022
дить для случая низких температур (T ≪ TN , TN —
ствия A < 0, что определяет антипараллельную
температура Нееля).
ориентацию магнитных моментов подрешеток. Для
Реализация различных фазовых состояний в ис-
удобства вычислений подвернем вторую подрешет-
следуемой системе связана с изменением соотноше-
ку так, чтобы направления осей квантования обеих
ния между материальными параметрами [31, 39, 43,
подрешеток совпадали. Унитарный поворот
45-48]. Вариация параметров системы может быть
∏
связана, например, с изменением концентрации маг-
U (ϕ) = exp(iϕσxl)
нитных ионов, или приложением внешних механиче-
i
ских напряжений, приводящих к деформации кри-
на угол ϕ = π приводит к следующим преобразо-
сталлической решетки. В контексте данной рабо-
ваниям компонент оператора спина второй подре-
ты не принципиально, каким образом происходит
шетки:
изменение материальных констант в рассматрива-
емой модели.
В качестве оси квантования выберем ось z. То-
σxm → σxm, σym → -σym, σzm → -σzm.
гда среднее значение спина для первой подрешет-
ки будет параллельно этой оси, а второй подрешет-
Необходимо отметить, что при таких преобразо-
ки — антипараллельно. Такая ориентация магнит-
ваниях сохраняются стандартные коммутационные
ных моментов подрешеток связана с тем, что кон-
соотношения для компонент спиновых операторов.
станта межподрешеточного обменного взаимодей-
Гамильтониан исследуемой системы принимает вид
∑
[
1
K(n - n′)]
H =-
J(1)(m-m′)(σxmσxm′ +σymσym′ +σmσm′)-1∑
J(2)(n-n′)-
(SxnSxn′ +SynSyn′ +SnSn′ )-
2
2
2
m,m′
n,n′
∑
)
1
(1
-
K(n - n′)
Õ1
Õ1
Õ2
Õ2
-
O02nO02n′ + O12nO12n′ +
2n
2n′
+ O22nO22n′ +
2n
2n′
4
3
n,n′
∑
1
β∑
β∑
-
A(m - n)(σxmSxn - σymSyn - σzmSzn) +
O22n +
(S+nS-n + S-nS+n),
(2)
2
4
8
m,n
n
n
где
где
(
)
1
S± = Sx ± iSy,
HS = J(2)0 -K0
〈Sz〉 -
A0〈σz〉,
2
2
O02 = 3(Sz)2 - S(S + 1),
(1)
1
Hσ = J0
〈σz 〉 -
A0〈Sz〉,
1
[
]
2
O12 =
Sz, (S+ + S-)+,
2
K0
1
[
]
B02 =
q02,
Õ1
6
=
Sz, (S+ - S-)+,
2
(4)
2i
K0
β
1
[
]
B22 =
q22 -
,
O22 =
(S+)2 + (S-)2
,
2
4
2
1
1(
1
[
]
J(1)0〈σz〉2 +
J(2)0 -K0 )〈Sz〉2 +
Õ2
=
(S+)2 - (S-)2
Δ= 2
2
2
2
2i
)
K0
( (q02)2
1
+
+ (q22)2
-
A0〈Sz〉〈σz〉.
4
3
2
— операторы Снивенса [49].
(1)
Здесь J0
,
J(2)0, K0, A0
— нулевые фурье-
Выделяя в гамильтониане (2) средние поля, свя-
занные как с дипольными параметрами порядка
компоненты
соответствующих обменных инте-
гралов.
〈Sz 〉, так и с квадрупольными (qt2 = 〈Ot2〉), получим
Корректный учет как одноионной анизотропии,
одноузельный гамильтониан
так и биквадратичного обменного взаимодействия
удается провести в рамках диаграммной техники
H0 = -
Hσσzn -
HSSzn - B02O02n - B22O22n +
для операторов Хаббарда [50-53]. Эти операторы
β
строятся на базисах собственных функций операто-
+
(S+S- + S-S+) + Δ,
(3)
8
ров Sz(|M〉, M = -1, 0, 1) и σz (|m〉, m = -1/2, 1/2)
408
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022 Динамические и статические свойства негейзенберговкого ферримагнетика. . .
соответственно, для первой XM′M = |M′〉〈M| и вто-
Волновые функции подрешеток имеют вид
рой Ym′m = |m′〉〈m| подрешеток, и описывают пере-
ходы магнитного иона из состояния M′ в состояние
ψ(1) = cos α|1〉 + sin α| - 1〉, ψ(0) = |0〉,
M и из состояния m′ в состояние m. Связь спино-
ψ(-1) = - sin α|1〉 + cos α| - 1〉,
(8)
вых операторов и операторов Стивенса с оператора-
(
(1)
1*
1)
1*
Φ
=
,
Φ -
=
-
ми Хаббарда имеет вид
2
2
2
2
Sz = X11 - X-1-1, O22 = X1-1 + X-11,
Связь спиновых операторов, построенных на ба-
O02 = X11 - 2X00 + X-1-1,
зисе собственных функций гамильтониана (8) с опе-
раторами Хаббарда, теперь имеет вид
1
σz =
(Y1/21/2 - Y-1/2-1/2),
2
Szn = cos2α(X11n - X-1-1n) - sin2α(X1-1n + X-11n);
σ+ = Y1/2-1/2, σ- = (σ+)+.
√
[
]
S+n =
2
sinα(X01n - X-10n) + cosα(X0-1n + X10n)
,
Тогда в терминах операторов Хаббарда одноузель-
S-n = (S+n)+,
ный гамильтониан (3) можно представить в виде
где α — параметр унитарного u-v-преобразования,
H0 =
определяемый соотношением
(
)
1
=-
Hσ
Y1/21/2-Y-1/2-1/2
- HS(X11-X-1-1)-
2
HS sin2α = B22 cos2α.
− B22(X1-1 + X-11) - B02(X11 - 2X00 + X-1-1) +
Из связи спиновых операторов с операторами
β
+
(X11 + 2X00 + X-1-1) + Δ.
(5)
Хаббарда можно определить параметры порядка
4
первой подрешетки как функцию α:
Как видно, гамильтониан (5) является недиагональ-
ным, и для его диагонализации используем унитар-
〈Sz〉 = cos 2α, q22 = sin 2α, q02 = 1.
ное преобразование [51]
Вторая подрешетка описывается лишь дипольным
H0 = U(α)H0U+(α),
параметром порядка 〈σz 〉 и выполняет роль «под-
магничивающего» поля.
явный вид которого:
U (α) =
3. АНАЛИЗ СВОБОДНОЙ ЭНЕРГИИ
= 1+(cosα-1)(X11+X-1-1)+sinα(X1-1-X-11).
Поскольку мы рассматриваем систему при низ-
В результате чего получим гамильтониан (5)
ких температурах, то плотность свободной энергии
в диагональном виде:
практически совпадает с энергетическими уровня-
ми магнитного иона основного состояния. Как сле-
дует из соотношений (7), низшими уровнями пер-
H0 = E1X11 + E0X00 + E-1X-1-1 +
вой и второй подрешеток являются соответствен-
+ε1/2Y1/21/2 + ε-1/2Y-1/2-1/2,
(6)
но уровни E1 и ε1/2. Следовательно, плотность сво-
бодной энергии рассматриваемого ферримагнетика
где
можно представить в виде
β
E1 = -B02 +
- HS cos2α - B22 sin2α + Δ,
F =E1 +ε1/2,
4
β
E0 = -2B02 +
+ Δ,
2
(7)
Учитывая соотношения (4) и (7), для плотности сво-
β
бодной энергии получим
E-1 = -B02 +
+ HS cos2α + B22 sin2α + Δ,
4
1
1
1
ε1/2,-1/2 = ∓
Hσ〈σz〉
F =-
K0 -
β-
J(1)0〈σz〉2 -1
[J(2)0 -K0]〈Sz〉2 +
12
4
2
2
— энергетические уровни магнитных ионов первой
1
β
sin2α.
и второй подрешеток.
+ 2A0〈σz〉〈Sz〉+
4
409
8*
О. А. Космачев, Я. Ю. Матюнина, Ю. А. Фридман
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022
Учитывая, что 〈σz 〉 = 1/2, 〈Sz〉 = cos 2α, а также
ное упорядочение (FiM) с векторами состояния под-
то, что константа межподрешеточного взаимодей-
решёток
ствия A < 0, получим следующее выражение:
(1)
1*
|Ψ(1)〉 = |1〉,
|Φ
〉=
,
2
2
[
]
1
4
1
1
β
F =-
β+
K0 +
J(1)
-
|A0| cos 2α+
sin2α-
и параметрами порядка
0
4
3
2
4
4
1
1
|〈σz 〉| =
,
〈Sz〉 = cos 2α ≈ 1, q02 = 1, q22 ≈ 0.
-
[J(2)0 - K0] cos2 2α.
(9)
2
2
Как видно, в этом состоянии первая и вторая под-
Анализ плотности свободной энергии (9) позволя-
решетки близки к насыщению, но векторы намаг-
ет определить параметр α u-v-преобразования при
ниченности подрешеток антиколлинеарны. Необхо-
различных соотношениях материальных парамет-
димо отметить, что подрешетка S
= 1 достига-
ров системы.
ет насыщения асимптотически, т. е. при достаточно
В общем случае уравнение для параметра α в об-
больших значениях константы билинейного обмен-
щем случае имеет вид
ного взаимодействия.
Рассмотрим теперь противоположный случай,
|A0|
sin2α +
когда преобладающим параметром первой подре-
2
шетки является биквадратичное обменное взаимо-
β
+
cos2α + 2(J(2)0 - K0)cos2αsin2α = 0.
(10)
действие. В этом случае решение уравнения (10)
2
имеет вид
Как следует из уравнения (10), намагниченность
|A0|
cos2α =
(11)
подрешетки с S = 1 существенно зависит от соот-
4(K0 - J(2)0) + β
ношения материальных параметров, причем намаг-
Поскольку cos2α определяет средний магнитный
ниченность подрешетки со спином 1/2 остается по-
момент (на узле) первой подрешетки, эта величина
стоянной и играет роль «подмагничивающего» по-
должна быть положительной, т. е.
ля. Необходимо отметить, что условие 〈σz 〉 = 1/2
возникает естественным образом из связи z-й ком-
|A0|
> 0.
поненты оператора σ с операторами Хаббарда Ym′m
)+β
4(K0 - J(2)0
и является точным в рассматриваемом нами случае
T = 0.
Кроме того, функция cos 2α ограничена. Таким об-
разом, при K(0) > J(0) ≫ β в системе реализует-
Рассмотрим подробнее решения уравнения (10)
ся состояние с намагниченностью первой подрешет-
при различных соотношениях материальных пара-
ки существенно меньше максимально возможного,
метров и низких температурах.
а вторая подрешетка сохраняет насыщенное значе-
Так, если константа одноионной анизотропии
ние намагниченности (|〈σz 〉| = 1/2). Квадрупольные
много меньше билинейного и биквадратичного
параметры порядка первой подрешетки в этом слу-
обменных взаимодействий, а билинейный обмен,
чае имеют вид
в свою очередь, превышает биквадратичный
(J0 > K0 ≫ β), то при таком соотношении матери-
q22 = sin2α < 1, q02 = 1.
альных параметров решение уравнения (10) можно
Таким образом, в системе реализуется фаза, в кото-
представить в виде
рой как векторный параметр порядка первой под-
β
решетки (〈Sz 〉), так и компоненты тензора квад-
sin2α = -
рупольных моментов (q22) первой подрешетки при-
4(J(2)0 - K0) + |A0|
нимают промежуточные значения, лежащие в ин-
Поскольку мы предполагаем, что константа одно-
тервале между нулем и единицей, а вторая подре-
ионной анизотропии является самым малым пара-
шетка играет роль постоянного «подмагничивающе-
метром системы, а J0 > K0, то sin 2α ∼ 0, и, следова-
го поля». Таким образом, при больших значениях
тельно, cos2α ∼ 1, т. е. намагниченность первой под-
константы биквадратичного обменного взаимодей-
решетки практически достигает своего максималь-
ствия и немалой одноионной анизотропии в пер-
но возможного значения 〈Sz 〉 ≈ 1, таким образом
вой подрешетке возникает эффект квантового со-
состояние системы близко к ферримагнитному. Это
кращения спина [30,36,41]. Такое состояние назовем
означает, что в системе реализуется ферримагнит-
квадрупольно-ферримагнитным (QFiM).
410
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022 Динамические и статические свойства негейзенберговкого ферримагнетика. . .
Векторы основного состояния подрешеток
〈Sz 〉 = cos 2α = 0, т. е. параметр α = π/4. Это озна-
в QFiM-фазе имеют вид
чает, что при A = 0 в первой подрешетке реализует-
ся нематическое состояние [42-44, 47, 48], параметры
|Ψ(1)〉 = cos α|1〉 + sin α| - 1〉,
порядка которого имеют вид
)
(1
1*
|Φ
〉=
〈Sz 〉 = 0, q22 = 〈O22〉 = 1, q02 = 〈O02〉 = 1.
2
2
Векторы намагниченности первой и второй подре-
При этом
«подмагничивающее поле», т.е. вто-
шеток антиколлинеарны, и, следовательно, в этой
рая подрешетка не оказывает никакого влияния
фазе с учетом квантового сокращения спина первой
на первую.
подрешетки [30, 36, 41] возможна компенсация спи-
Из равенства плотности свободной энергии
нов подрешеток. Из условия 〈Sz〉 = -〈σz 〉 и с учетом
в FiM- и QFiM-фазах получим поверхность фазо-
того, что 〈σz〉 = 1/2, получим
вого перехода между этими фазами:
[
]2
[
]
|A0|
|A0| - 4(K0 - J(2)0) - β
+β
4(K0 - J(2)0) + β
= 0,
= -1/2.
4(K0 - J(2)0) + β
или в приведенных переменных x, y, z
Решение этого уравнения имеет вид
[
]2
[
]
y - 4(1 - x) - z
+z
4(1 - x) + z
= 0.
(14)
|A0| = -2(K0 - J(2)0) - β/2.
(12)
Полученные результаты позволяют построить
Таким образом, уравнение
(12) описывает по-
фазовую диаграмму исследуемой системы, причем
верхность в переменных (J, K, A, β) на которой
ее удобнее изобразить в приведенных переменных
суммарный средний спин подрешеток равен нулю
на плоскости xy при различных значениях z, т. е.
(〈Sz + σz〉 = 0). Необходимо подчеркнуть, что в дан-
при различных значениях константы одноионной
ном случае речь идет именно о компенсации спинов
анизотропии β. Схематично эта диаграмма приве-
подрешеток, а не о компенсации магнитных момен-
дена на рисунке.
тов подрешеток. Дело в том, что магнитный момент
связан со спиновым моментом подрешеток соотно-
шением M = -gμBS, где g — коэффициент Ланде
(g-фактор). Поскольку в рассматриваемой нами
модели подрешетки являются не эквивалентными,
то логично считать, что и g-факторы подрешеток
не равны, а следовательно, не равны и магнитные
моменты подрешеток на плоскости компенса-
ции [29]. Таким образом, хотя спиновые моменты
и компенсируют друг друга при определенных
нами соотношениях материальных параметров,
Сечение фазовой диаграммы легкоплоскостного негейзен-
берговского ферримагнетика при различных значениях
но интегральный магнитный момент при этом
константы одноионной анизотропии
может быть не равен нулю и достигать достаточно
большего значения, большего, например, чем для
Из этой фазовой диаграммы и соотношений (13)
слабых ферромагнетиков (AFM с взаимодействием
и
(14) следует, что при z
= 0 (β
= 0) по-
Дзялошинского—Мориа). Причем этот результи-
лученные нами результаты в точности переходят
рующий магнитный момент параллелен вектору
в результаты работы [38, 39], в которой исследо-
антиферромагнетизма, и динамику ферримагнети-
ваны фазовые состояния изотропного и обменно-
ка в точке компенсации можно рассматривать как
анизотропного негейзенберговских ферримагнети-
«антиферромагнитную» [29].
ков. Анализ полученных в данной работе резуль-
Уравнение (12) удобнее переписать в приведен-
татов свидетельствует о том, что одноионная ани-
ных переменных y = |A|/K, x = J/K, z = β/K.
зотропия существенно увеличивает область суще-
Тогда
ствования QFiM-фазы и сдвигает как линии фазо-
y = 2(x - 1) - z/2.
(13)
вого перехода, так и линии компенсации в область
Необходимо отметить, что в отсутствие межпод-
больших значений билинейного обменного взаимо-
решеточного обменного взаимодействия (A
= 0)
действия подрешетки S = 1. Этот результат легко
411
О. А. Космачев, Я. Ю. Матюнина, Ю. А. Фридман
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022
понять, если обратить внимание на выражение (11),
фазовый переход первого рода. Поскольку коэффи-
из которого следует, что даже при J(2)0 ∼ K0 среднее
циент Θ > 0 в QFiM-фазе, то кубическая парабола,
значение магнитного момента подрешетки с S = 1
определяемая уравнением
будет меньше номинального за счет учета одноион-
A + 2Λα + 3Bα2 + 4Θα3 = 0,
ной анизотропии.
Представляет также интерес определить тип фа-
имеет два минимума, ни один из котрых не совпа-
зового перехода QFiM-FiM. Для этого рассмотрим
дает с точкой α = 0.
плотность свободной энергии (9) в окрестности фа-
В случае изотропного ферримагнетика плот-
зового перехода QFiM-FiM, т. е. в окрестности ли-
ность свободной энергии в окрестности линии фа-
нии, определяемой соотношением (14). Поскольку
зового перехода QFiM-FiM имеет вид
вторая подрешетка выполняет роль «подмагничи-
вающего поля» и намагниченность ее в обеих фа-
F = F0 + Λα2 + Θα4 + ...,
зах одинакова и постоянна (|〈σz 〉| = 1/2), сосредото-
чим свое внимание на первой подрешетке. Посколь-
а величины Λ и Θ имеют вид, приведенный выше.
ку средний магнитный момент первой подрешетки
Следовательно, в случае изотропного негейзенбер-
равен cos 2α, то параметр α фактически определяет
говского ферримагнетика рассматриваемый фазо-
параметр порядка системы. Это утверждение тре-
вый переход является переходом второго рода.
бует некоторого комментария. Как уже отмечалось
ранее при анализе FiM-фазы, намагниченность под-
решетки с S = 1 достигает насыщения асимптоти-
4. АНАЛИЗ СПЕКТРОВ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
чески. Это означает, что параметр α не точно равен
нулю в FiM-фазе, а стремится к нулю также асимп-
Представляет интерес поведение спектров эле-
тотически при больших значениях билинейного об-
ментарных возбуждений исследуемой системы как
менного взаимодействия и достигает точного значе-
в FiM-фазе, так и в QFiM. Особый интерес пред-
ния α = 0 в изотропном случае при β = 0. Поэтому
ставляет поведение спектров в окрестности линии
минимум плотности свободной энергии в анизотроп-
компенсации спинов подрешеток. Кроме того, эти
ном случае не достигается в точке α = 0, а несколь-
исследования позволяют более адекватно описать
ко сдвинут (в силу малости α) вблизи линии фа-
фазовые переходы, реализующиеся в системе. Как
зового перехода. Раскладывая плотность свободной
известно, спектры элементарных возбуждений опре-
энергии (9) в ряд по этому параметру в QFiM-фазе,
деляются полюсами функции Грина [54], которую
в окрестности линии фазового перехода (α → 0) по-
в рамках техники операторов Хаббарда определим
лучим
следующим образом [50, 53-55]:
F = F0 + Aα + Λα2 + Bα3 + Θα4 + ...,
(15)
Xλ′
Gλλ′ (n, τ, n′, τ′) = -
T Xλn(τ)
n
(τ′)〉,
где A =β6 , Λ = 2J(2)0 - 2K0 +12 |A0|, B = -β9 ,
Xλ
Θ = -16 |A(0)|-83 J2(0)+83 K(0), или в переменных x,
где
n
(τ) = exp(Hτ)Xλn exp(-Hτ) — оператор Хаб-
y, z
барда в представлении Гейзенберга;
T — оператор
z
z
Вика; λ — корневые векторы, определяющиеся ал-
A=
K0, B = -
K0,
геброй операторов Хаббарда [51,54,55]. Вывод дис-
6
9
K(0)
K(0)
персионного уравнения подробно изложен в рабо-
Λ=
(4x - 4 + y), Θ =
(-y - 16x + 16).
тах [50, 52, 55]. Дисперсионное уравнение, опреде-
2
6
ляющее спектры магнонов, справедливо при произ-
Наличие линейного по α слагаемого в выраже-
вольном соотношении материальных констант, т. е.
нии (15) свидетельствует о том, что подрешетка
в различных фазовых состояниях и температур-
S = 1 является ненасыщенной в FiM-фазе. Такое
ном интервале существования магнитного упорядо-
поведение параметра α связано с наличием квадру-
чения. В рассматриваемом нами случае T → 0. Ре-
польных средних вида 〈SiSj + Sj Si〉, которое в рас-
шения его определяют спектры возбуждений в раз-
сматриваемом случае есть
личных фазах.
1
+
,
Очевидно, что в рассматриваемой нами систе-
q22 = 〈(Sx)2 - (Sy)2〉 =
(S+)2 + (S-)2
= sin2α.
2
ме реализуются три ветви элементарных возбужде-
Анализ плотности свободной энергии (15) поз-
ний: две «поперечные» ветви возбуждений, связан-
воляет трактовать фазовый переход QFiM-FiM как
ные с прецессией магнитных моментов подрешеток,
412
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022 Динамические и статические свойства негейзенберговкого ферримагнетика. . .
и одна «продольная», связанная с изменением моду-
обменным взаимодействием, а энергетическая щель
ля магнитного момента подрешетки с S = 1.
в спектре (17) равна
Рассмотрим вначале продольную ветвь возбуж-
|A0|
дений. Спектр этой ветви в общем случае (для про-
ε1(0) = 2(J(2)0 - K0) +
2
извольной фазы) имеет вид
Это выражение определяет линию потери устойчи-
ε21(k) = (E1-1 + Kk) ×
вости продольной ветви элементарных возбуждений
(2)
(
)
2(J0
− K0) + |A0|/2 = 0 при фазовом переходе
×
E1-1 + Kk + 2(J(2)k - Kk)sin2 2α
,
(16)
из FiM-фазы в QFiM, и в переменных x, y, z эта ли-
где
ния имеет вид y = 4(1 - x). Очевидно, что эта линия
лежит ниже линии фазового перехода и совпадает
E1-1 = E1 - E-1 =
с линией фазового перехода в изотропном негейзен-
β
берговском ферримагнетике (см. [45,46]). Такое по-
= -K0 - 2(J(2)0 - K0)cos2 2α + A0
cos2α +
sin2α.
2
2
ведение линии потери устойчивости подтверждает
то, что фазовый переход FiM-QFiM является пере-
Рассмотрим продольную ветвь возбуждений в FiM-
ходом первого рода.
фазе, т. е. при J0 > K0 ≫ β. Как было показано
Рассмотрим теперь поведение спектра ε1 в про-
выше, в этой фазе
тивоположном случае, когда преобладающим пара-
〈Sz 〉 = cos 2α ≈ 1,
метром первой подрешетки является биквадратич-
ное обменное взаимодействие, т.е. K0 > J0 ≫ β и си-
β
sin2α ≈ -
≈ 0,
стема находится в QFiM-фазе. В этой фазе намаг-
4(J(2)0 - K0) + |A0|
ниченность первой подрешетки 〈Sz〉 меньше макси-
мально возможного:
и с учетом этого выражение (16) примет вид
|A0|
(
)2
|A0|
〈Sz〉 = cos 2α ≈
< 1.
ε21(k) = (K0 - Kk) + 2(J(2)0 - K0) +
(17)
4(K0 - J(2)0) + β
2
Как следует из этого выражения, дисперсия про-
Учитывая это, спектр продольных магнонов можно
дольных магнонов определяется биквадратичным
представить в виде
(
)(
))
(
β)(
(2(K0 - J(2)0) + β/2)2 - |A0/2|2
β/2 - 2(K0 - J(2)0)
ε21(k) ≈ (K0 - Kk) -
(K0 - Kk) -
(
)2
(18)
2
2(K0 - J(2)0
) + β/2
Из равенства нулю энергетической щели спек-
Также представляет интерес исследовать спектр
тра (18) можно определить линию потери устойчи-
продольных возбуждений в окрестности линии ком-
вости продольной ветви возбуждений при фазовом
пенсации спиновых моментов подрешёток. Учиты-
переходе QFiM-FiM:
вая, что в этой области QFiM-фазы на линии ком-
пенсации спинов подрешеток |〈Sz〉| = |〈σz 〉| = 1/2,
[((
)2
)
β
(
)
β
A0
2
спектр (16) существенно упрощается и принима-
ε21(0) ≈
2
K0 - J(2)0
+
-
×
2
2
2
ет вид
)]
(β
(
)
×
-2
K0 - J(2)0
= 0.
2
√
(
)
1
|A0|
3β
Из последнего уравнения следует, что спектр (18)
ε21(k) =
-
(J(2)0 - K0)-
-
- (K0 - Kk) ×
2
4
4
√
теряет устойчивость на линии
(
)
|A0|
3β
(2)
× -
-
- (K0 - Kk) + (Jk
−Kk) .
(
)
β
|A|
4
4
2
K0 - J(2)0
+
-
= 0,
2
2
√
Здесь учтено, что cos2α = 1/2, sin2α = -
3/2. Кро-
или в переменных x, y, z
ме того, используя (12), получим, что на линии ком-
y = 4(1 - x) + z.
пенсации спинов спектр продольных магнонов при-
413
О. А. Космачев, Я. Ю. Матюнина, Ю. А. Фридман
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022
нимает «антиферромагнитный» вид
голдстоуновской модой. Учитывая это, представим
√
уравнение (19) в виде
3
ε1(k) ≈
(K0 - Kk)(K0 - J0).
2
ε4(k) + b(k)ε2(k) + c(k) = 0,
(20)
Как уже отмечалось, кроме «продольной» ветви
где
возбуждений в системе существуют две «попереч-
c(0) = 0,
ные» ветви элементарных возбуждений, которые
}
связаны с прецессионным движением спинов подре-
|A0|{β(1 - sin 2α)
|A0|
b(0) = -
+
(1 - 2 cos 2α)2
шеток соответственно с S = 1 и σ = 1/2. Энергии
4
2 cos2α
4
этих возбуждений определяются решением урав-
Отметим, что b(0) < 0.
нения:
Тогда решения уравнения (20) можно предста-
[(
)2
(
)2
вить в виде
Ak
J(1)k
ε4(k) + ε2(k)
cos2α - E1/2-1/2 +
-
2
2
)2
(
)
]
|b(k)|
√( b(k)
-
E10 + J(2)k
2 + (J(2)k - Kk)2 sin2 2α +
ε22,3(k) =
±
- c(k).
2
2
(
)2
J(1)k
Выделяя в этих решениях явную зависимость
+ E1/2-1/2 +
×
2
от волнового вектора (в длинноволновом преде-
[
]
×
(E10 + J(2)k)2 - (J(2)k - Kk)2 sin2 2α
+
ле), получим
)2
(Ak )2[1(Ak
+
cos2 2α -
√
|b(0)|
|b(0)|
2
4
2
ε22,3(k) =
±
1 - αk2 ≈
(
2
2
J(1)k )
2
)
- E1/2-1/2 +
×
|b(0)|
|b(0)|(
αk
2
≈
±
1-
]
(
)
2
2
2
×
E10 + J(2)k - (J(2)k - Kk)sin2 2α
= 0,
(19)
Таким образом, одна из ветвей «поперечных» воз-
где
буждений является безщелевой и пропорциональ-
(
)
на k
ε2(k)
∼ k
, а во второй ветви появляет-
E1-1 = -K0 - 2(J(2)0 - K0)cos2 2α +
ся энергетическая щель, пропорциональная модулю
(
)
A0
β
+
cos2α +
sin2α;
b(0)
ε3(0) ∼ |b(0)|
2
2
Необходимо отметить, что cos2α = 〈SZ〉 = 0
E10 = -K0 - (J(2)0 - K0)cos2 2α +
ни в FiM-, ни в QFiM-фазах, т. е., как уже отмеча-
A0
β
лось, нематическая фаза в рассматриваемой системе
+
cos2α -
(1 - sin 2α);
4
4
не реализуется.
(1)
J0
A0
E1/2-1/2 = -
+
cos2α.
2
2
5. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Как видно из структуры уравнения (19) «попереч-
ные» ветви возбуждений являются «гибридизиро-
Проведенные исследования показали, что учет
ваными», т.е. их нельзя разделить на независи-
даже малой одноионной анизотропии типа «легкая
мые возбуждения подрешеток, поскольку подрешет-
плоскость» в негейзенберговском ферримагнетике
ки связаны межподрешеточным обменным взаимо-
с подрешетками S = 1 и σ = 1/2 приводит к коор-
действием.
динальным изменениям как статических, так и ди-
Конечно же уравнение (19) является биквадрат-
намических свойств системы по сравнению со слу-
ным, и его решения можно записать в явном ви-
чаем изотропного негейзенберговского ферримагне-
де. Однако эти решения настолько громоздки, что
тика [45, 46]. В анизотропном негейзенберговском
они становятся затруднительными с учетом мало-
ферримагнетике, как и в изотропном, в зависимо-
сти константы одноионной анизотропии. Поэтому
сти от соотношений обменных интегралов возмож-
можно предложить следующий анализ решения это-
на реализация как фазы, характерезуемой диполь-
го уравнения. Прежде всего необходимо отметить,
ным параметром порядка (FiM-фаза), так и фаза,
что свободный член уравнения (19) при k
→ 0
характерезуемая как векторным, так и тензорными
равен нулю. Это означает, что одна из ветвей по-
параметрами порядка (QFiM-фаза). Однако в отли-
перечных возбуждений является безщелевой, т. е.
чие от изотропного случая область существования
414
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022 Динамические и статические свойства негейзенберговкого ферримагнетика. . .
QFiM-фазы возрастает, что связано с влиянием од-
7.
M. B. Jungfleisch, W. Zhang, and A. Hoffmann, Phys.
ноионной анизотропии, которая, как и биквадратич-
ное обменное взаимодействие, стремится установить
j.physleta.2018.01.008
квадрупольный (или нематический) порядок.
8.
В. Г. Барьяхтар, Б. А. Иванов, М. В. Четкин. УФН
Кроме того, как показал термодинамический
146, 417 (1985).
анализ свободной энергии и анализ спектров элемен-
тарных возбуждений, учет одноионной анизотропии
9.
A. Ivanov and D. D. Sheka. Phys. Rev. Lett. 72,
приводит к тому, что фазовый переход QFiM-FiM
404 (1994).
является переходом первого рода в отличие от слу-
10.
Е. А. Галкина, Б. А. Иванов. Письма в ЖЭТФ.
чая изотропного ферримагнетка, в котором анало-
61, 511 (1995).
гичный фазовый переход является переходом вто-
рого рода. Также нами показано, что в окрестно-
11.
H. V. Gomonay and V. M. Loktev, Phys. Rev. B
сти линии компенсации спинов подрешеток спектр
продольных возбуждений имеет антиферромагнит-
RevB.81.144427
ное поведение.
Необходимо отметить, что полученные нами ре-
12.
O. A. Tretiakov, D. Clarke, G.
-W. Chern,
Y. B. Bazaliy, and O. Tchernyshyov, Phys. Rev.
зультаты согласуются с результатам работ [45, 46],
в которых исследовались своства изотропного
PhysRevLett.100.127204
и обменно-анизотропного негейзенберговских фер-
римагнетиков с подрешетками S
= 1, σ
= 1/2.
13.
E. G. Galkina, B. A. Ivanov, S. Savel’ev, and F. Nori,
Как уже отмечалось ранее, учет легкоплоскостной
одноионной анизотропии в подрешетке с S
= 1
10.1103/PhysRevB.77.134425
существенно расширяет область устойчивости
QFiM-фазы по сравнению с изотропным феррима-
14.
O. Gomonay, T. Jungwirth, and J. Sinova, Phys.
Rev. Lett.
нетиком и, что наиболее интересно, делает переход
10.1103/PhysRevLett.117.017202
QFiM-FiM фазовым переходом первого рода. Та-
кое поведение рассматриваемой системы требует
15.
E. G. Galkina, B. A. Ivanov, Low Temp. Phys. 44,
подробного исследования динамики системы.
16.
R. Cheng, D. Xiao, and A. Brataas, Phys. Rev. Lett.
ЛИТЕРАТУРА
RevLett.116.207603
1. A. Slavin and V. Tiberkevich, IEEE Trans. Magn.
45, 1875 (2009).
17.
R. Khymyn, I. Lisenkov, V. Tyberkevych,
B. A. Ivanov and A. Slavin, Sci. Rep.
7,
43705
2. S. D. Bader and S. S. P. Parkin, J. S. Langer
(ed.), Annu. Rev. Condens. Matter Phys.
1,
18.
O. R. Sulymenko, O. V. Prokopenko, V. S. Tiberke-
vich, A. N. Slavin, B. A. Ivanov, and R. Khymyn,
phys-070909-104123
Phys.
Rev.
Applied
8,
064007
(2017).
3. V. V. Kruglyak, S. Demokritov, D. Grundler. J.
19.
B. A. Ivanov and A. L. Sukstanski, Zh. Eksp. Teor.
0022-3727/43/26/260301
Fiz. 84, 370 (1983).
4. A. V. Chumak, V. I. Vasyuchka, A. A. Serga, B. Hille-
20.
K." J. Kim, S. K. Kim, Y. Hirata, Se-Hyeok Oh,
T. Tono, D." H. Kim, T. Okuno, W. S. Ham, S. Kim,
10.1038/nphys3347
G. Go, Y. Tserkovnyak, A. Tsukamoto, T. Moriyama,
5. H. V. Gomonay and V. M. Loktev, Low Temp Phys
K. -J. Lee, and T. Ono, Nature Mater.
16, 1187
6. V. Baltz, A. Manchon, M. Tsoi, T. Moriyama,
21.
Е. Г. Галкина, К. Э. Заспел, Б. А. Ива-
T. Ono, and Y. Tserkovnyak, Rev. Mod Phys. 90,
нов, Н. Е. Кулагин, Л. М. Лерман. Письма
015005
(2018).
Phys.90.015005
S0370274X1919007X
415
О. А. Космачев, Я. Ю. Матюнина, Ю. А. Фридман
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022
22.
S. K. Kim and Y. Tserkovnyak, Appl. Phys.
37.
E. G. Galkina, B. A. Ivanov, and V. I. Butrim, Low
Temp. Phys.
1.4985577
10.1063/1.4890989
23.
C. E. Zaspel, E. G. Galkina, and B. A. Ivanov, Phys.
38.
A. F. Andreev and I. A. Grishchuk, Sov. Phys. JETP
Rev. Appl.
60, 267 (1984).
10.1103/PhysRevApplied.12.044019
39.
Е. Л. Нагаев, Магнетики со сложными обменны-
24.
Lisenkov, R. Khymyn, J. Åkerman, N. X. Sun, and
ми взаимодействиями, Наука, Москва (1988).
B. A. Ivanov, Phys. Rev. B 100, 100409(R) (2019).
40.
B. A. Ivanov and A. K. Kolezhuk, Phys. Rev. B
25.
Radu, K. Vahaplar, C. Stamm, T. Kachel, N. Pontius,
RevB.68.052401
H. A. Dürr, T. A. Ostler, J. Barker, R. F. L. .Evans,
R. W. Chantrell, A. Tsukamoto, A. Itoh, A. Kirilyuk,
41.
V. G. Bar’yakhtar, V. I. Butrim, A. K. Kolezhuk, and
B. A. Ivanov, Phys. Rev. B 87, 224407 (2013).
Th. Rasing, and A. V. Kimel, Nature London 472,
42.
E. G. Galkina, B. A. Ivanov, O. A. Kosmachev and
26.
T. A. Ostler, J. Barker, R. F. L. Evans, R. Chantrell,
Yu. A. Fridman. Low Temp. Phys. 41, 382 (2015).
U. Atxitia, O. Chubykalo-Fesenko, S. El Moussaoui,
L. Le Guyader, E. Mengotti, L. J. Heyderman,
43.
Yu. A. Fridman, O. A. Kosmachev, and
F. Nolting, A. Tsukamoto, A. Itoh, D. V. Afanasiev,
Ph. N. Klevets, J. Magn.
Magn.
Mater.
B. A. Ivanov, A. M. Kalashnikova, K. Vahap-
325,
125
(2013).
lar, J. Mentink, A. Kirilyuk, Th. Rasing, and
j.jmmm.2012.08.027
A. V. Kimel, Nature Commun.
3,
666
(2012).
44.
A. Läuchli, G. Schmid, and S. Trebst, Phys. Rev.
27.
J. H. Mentink, J. Hellsvik, D. V. Afanasiev,
RevB.74.144426
B. A. Ivanov, A. Kirilyuk, A. V. Kimel, O. Eriks-
son, M. I. Katsnelson, and Th. Rasing, Phys. Rev.
45.
A. V. Krivtsova, Ya. Yu. Matyunina, E. A. Polyan-
skaya, O. A. Kosmachev, and Yu. A. Fridman,
PhysRevLett.108.057202
J. Magn. Magn. Mater.
513,
167178
(2020).
28.
В. Г. Барьяхтара, В. И. Бутрим, Б. А. Иванов,
46.
А. В. Кривцова, Я. Ю. Матюнина,
10.1134/S00213640131800
Ю. А. Фридман, ЖЭТФ
158,
334
(2020).
DOI: 10.1134/S1063776120060059
29.
B. A. Ivanov, Low Temp. Phys.
45, 935 (2019).
47.
N. Papanikolaou, Nucl. Phys. B 305, 367 (1988).
30.
Yu. A. Fridman and O. A. Kosmachev, Phys. Solid
48.
A. V. Chubukov, J. Phys. Condens. Matter 2, 1593
State 51 (6), 1167 (2009).
(1990).
DOI: 10.1134/S1063783409060146
49.
K. Stevens, Proc. Phys. Soc. A 65, 209, (1952)
31.
Э. Л. Нагаев, УФН 136, 61 (1982).
50.
R. O. Zaitsev, Sov. Phys. JETP 41(1), 100 (1975).
32.
V. M. Loktev and V. S. Ostrovskii, Low Temp. Phys.
20, 775 (1994).
51.
В. В. Вальков, ТМФ 76:1, 143 (1988).
33.
T. Moriya, Phys. Rev. 117, 635 (1960).
52.
Yu. A. Fridman, O. A. Kosmachev, and
Ph. N. Klevets, J. Magn. Magn. Mater.
320,
34.
Yu. N. Mitsay, Yu. A. Fridman, D. V. Spirin,
435 (2008). DOI:10.1016/j.jmmm.2007.07.001
M. S. Kochmanski. Acta Phys. Pol. 97, 355 (2000).
53.
Ю. Н. Мицай, Ю. А. Фридман, ТМФ 81:2, 263
(1989).
35.
Yu. A. Fridman, and O. A. Kosmachev. J. Magn.
Magn. Mater.
54.
В. В. Вальков, С. Г. Овчинников, Квазичастицы
10.1016/S0304-8853(01)00464" 4
в сильно коррелированных системах, Изд-во СО
РАН, Новосибирск (2001).
36.
E. G. Galkina, V. I. Butrim, Yu. A. Fridman,
B. A. Ivanov, and F. Nori, Phys. Rev. B
55.
В. В. Вальков, Т. А. Валькова, С. Г. Овчинников.
ЖЭТФ 88, 550 (1985).
RevB.88.144420
416
