ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 3 (9), стр. 417-425
© 2022
ТЕОРИЯ ВИХРЕПОДОБНЫХ СТРУКТУР
В ПЕРФОРИРОВАННЫХ МАГНИТНЫХ ПЛЕНКАХ С УЧЕТОМ
РАЗМАГНИЧИВАЮЩИХ ПОЛЕЙ
Е. Б. Магадеев, Р. М. Вахитов*, Р. Р. Канбеков
Башкирский государственный университет, 450076 Уфа, Россия
Поступила в редакцию 22 апреля 2022 г.,
после переработки 25 мая 2022 г.
Принята к публикации 26 мая 2022 г.
Исследуются вихреподобные неоднородности, которые могут возникать в ферромагнитных пленках
с сильной одноосной анизотропией типа «легкая плоскость» при наличии в них антидотов, представляю-
щих собой искусственно созданные наноразмерные отверстия или немагнитные включения. Рассмотрены
особенности структуры нанообъектов такого типа в зависимости от геометрии отверстий, а также изуче-
но влияние размагничивающих полей на вихреподобные неоднородности, локализующиеся в окрестности
одного, двух или четырех отверстий. Показано, что приведенные аналитические оценки во всех случаях
находятся в хорошем согласии с результатами численного моделирования.
DOI: 10.31857/S0044451022090152
на свойства вихреподобных магнитных неоднород-
EDN: ELNJAY
ностей [12-14], причем к дефектам можно отнести
1. ВВЕДЕНИЕ
и полости цилиндрической формы, т. е. отверстия.
Согласно исследованиям они могут, с одной сторо-
В последнее время интенсивно исследуются и ак-
ны, влиять на устойчивость наблюдаемых магнит-
тивно обсуждаются особенности топологии и раз-
ных структур [15], в частности, способствовать уве-
нообразные (в том числе и уникальные) свойства
личению плотности образующихся скирмионов [16],
вихреподобных магнитных неоднородностей, к ко-
а с другой — индуцировать зарождение магнитных
торым относятся магнитные вихри, цилиндрические
скирмионов в некиральных магнетиках [11]. Послед-
магнитные домены, магнитные скирмионы, бимеро-
нее обстоятельство позволяет рассматривать отвер-
ны и т. е. [1-7]. Такое внимание к ним обусловлено
стия как своего рода источник зарождения вихре-
перспективами их использования в магнитной памя-
подобных неоднородностей, в том числе и в плен-
ти, нейроморфных вычислительных системах и дру-
ках с сильной легкоплоскостной анизотропией, ко-
гих устройствах спинтроники [5,6, 8]. В то же вре-
торые изучаются в данной работе. Очевидно, одна-
мя в работах [9, 10] на примере некоторых простей-
ко, что применение нанообъектов указанного типа
ших моделей показана возможность существования
на практике требует предварительного анализа вли-
еще одного типа вихреподобных неоднородностей,
яния на их структуру ряда факторов, присущих ре-
которые образуются в тонких магнитных пленках
альным магнитным пленкам, таких как геометриче-
с искусственно созданными отверстиями (в литера-
ские размеры отверстий и воздействие размагничи-
туре также встречается термин «антидот» [11]) или
вающих полей, чему и посвящено приведенное ис-
немагнитными включениями и могут управляться
следование.
внешними токами, протекающими через них. Ра-
нее пленки такой геометрии неоднократно рассмат-
ривались при изучении устойчивых состояний маг-
2. СТРУКТУРА ПРОСТЕЙШЕЙ
нитных вихрей и скирмионов. Такой интерес был
НЕОДНОРОДНОСТИ
обусловлен наличием в реальных пленках различ-
ного рода дефектов, которые существенно влияют
Пусть материал тонкой пленки, содержащей от-
верстия (осуществимость таких наноразмерных пер-
* E-mail: vakhitovrm@yahoo.com
фораций на практике подтверждается аналогичны-
417
Е. Б. Магадеев, Р. М. Вахитов, Р. Р. Канбеков
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022
ми экспериментами с графеном [17] и магнитными
виден отрезок, соединяющий центры отверстий, так
пленками [18-20]), представляет собой ферромагне-
что θ ∼ r-1, а значит, (∇θ)2 ∼ r-4. Это обеспечи-
тик с сильной одноосной анизотропией типа «легкая
вает сходимость интеграла (1) в области больших r,
плоскость», благодаря чему вектор намагниченно-
следовательно, энергия магнетика в рассматривае-
сти почти не выходит из плоскости пленки. Тогда
мом состоянии является конечной. Детальный рас-
энергия магнетика может быть приближенно пред-
чет (см. Приложение A) показывает, что она равна
ставлена в следующем виде [9, 10]:
√
∫
E = 4πk2Ahln(a/
R1R2).
(3)
E = A(∇θ)2hdS,
(1)
Распределение намагниченности в окрестности
где угол θ задает ориентацию вектора намагничен-
отверстий, задаваемое выражением (2) при k = 1,
ности на плоскости, A — обменный параметр, h —
схематически показано на рис. 1; при этом состо-
толщина пленки. Здесь предполагается, что вклад
яние с k = -1 получается из него симметричным
размагничивающих полей в рассматриваемом мате-
отражением, так что эти состояния физически эк-
риале значительно меньше вклада обменного взаи-
вивалентны.
модействия; их влияние — это предмет подробно-
го рассмотрения.
В случае пленки без топологических особенно-
3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
стей функционал (1) имеет единственный минимум
E = 0, достигаемый при θ = const, что соответствует
Соотношение (2) представляет собой приближен-
однородному распределению намагниченности. Од-
ное аналитическое выражение, справедливое в пре-
нако при наличии отверстий в пленке уравнение
деле бесконечно малых размеров отверстий, тем
Эйлера—Лагранжа для функционала (1), представ-
не менее, оно на качественном уровне правиль-
ляющее собой уравнение Лапласа Δθ = 0, может
но описывает структуру неоднородностей, образу-
иметь нетривиальные решения. В частности, при
ющихся в окрестности парных отверстий произ-
числе отверстий N = 1 такие решения имеют вид
вольной формы. В этом несложно убедиться путем
θ(r, φ) = kφ + const, где полярная система коорди-
численного моделирования с использованием про-
нат (r, φ) связана с центром отверстия, а k — произ-
граммного комплекса OOMMF [21]. На рис. 2 пока-
вольное целое число, которое будем называть топо-
зан пример уединенной неоднородности, структура
логическим зарядом по аналогии с терминологией,
которой была получена в результате расчетов на мо-
принятой, например, в теории скирмионов (при этом
дели образца в виде прямоугольного параллелепи-
величина k, разумеется, представляет собой топо-
педа, имеющего размеры 200 нм × 200 нм × 20 нм
логический инвариант принципиально иного рода,
(на рисунке изображена небольшая область пленки,
нежели топологический заряд скирмиона). В кон-
представляющая интерес). При этом антидоты бы-
тинуальном приближении все такие состояния яв-
ли выбраны в виде отверстий радиусом 10 нм, т. е.
ляются одинаково стабильными, независимо от зна-
при размере ячейки 2.5 нм они фактически имели
чения k, тем не менее, соответствующая магнитная
крестообразную форму (см. рис. 2). Как видим, что
неоднородность не является уединенной, и ее энер-
приведенное распределение намагниченности в точ-
гия при k = 0 неограниченно растет при увеличении
ности воспроизводит состояние с k = 1, предсказан-
размеров образца [10]. При N = 2 данное утвержде-
ное соотношением (2).
ние уже не всегда верно. Действительно, пусть плен-
Следует остановиться на том обстоятельстве, что
ка содержит два цилиндрических отверстия радиу-
поскольку глобальный минимум энергии (1) E = 0
сами R1 и R2, центры которых отстоят друг от дру-
достигается при однородном распределении намаг-
га на расстояние a ≫ R1, R2 (рис. 1). Тогда в силу
ниченности, расчет неоднородной структуры чис-
линейности уравнения Δθ = 0 оно имеет решение
ленными методами требует привлечения стохасти-
следующего вида:
ческого подхода (в работе [10] он был развит в при-
менении к численной оптимизации без использова-
θ = k(φ1 - φ2),
(2)
ния программного комплекса OOMMF). В рамках
где φ1, φ2 — полярные углы в системах коорди-
такого подхода расчет равновесного распределения
натах, связанных с центрами отверстий. Из рис. 1
намагниченности повторяется многократно, начина-
следует, что разность углов, входящая в соотноше-
ясь из различных стартовых точек оптимизации,
ние (2), равна углу, под которым из данной точки
выбираемых случайно. Далее все найденные мини-
418
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022 Теория вихреподобных структур в перфорированных магнитных пленках. . .
Рис. 1. Схема пленки с двумя отверстиями
заны два отверстия по диагонали) и E3 = 22.6 Ah
(связаны между собой все четыре отверстия).
С точки зрения континуальной модели, первые
два из состояний на рис. 3 описываются соотноше-
нием (2) при k = 1, а значит, их энергии могут быть
вычислены по формуле (3). Учитывая, что расстоя-
ние между центрами отверстий для второго состоя-
√
Рис.
2. Уединенная неоднородность, локализованная
ния равно a
2, получаем
на двух отверстиях
√
E1 = 4πAh ln(a/R), E2 = 4πAh ln(a
2/R).
мумы ранжируются по значениям энергии, и для
Для третьего состояния из Приложения B имеем
каждого значения выбирается по одному решению
√
(предполагается, что существование неэквивалент-
E3 = 8πAh ln(a/R
2).
ных минимумов, равных по величине, крайне ма-
Несложно видеть, что эта энергия может быть вы-
ловероятно), что и позволяет исследовать состоя-
ражена через первые две следующим образом:
ния с E = 0. В частности, состояние, показанное
на рис. 2, характеризуется энергией E = 14.4 Ah.
E3 = 4E1 - 2E2.
Несложно видеть, что при N > 2 соотношение,
Данное соотношение можно использовать в качестве
аналогичное (2), будет иметь вид
контрольного для проверки соответствия между ре-
θ=k1φ1 +k2φ2 +...+kNφN.
зультатами аналитических оценок и численного мо-
делирования. Подставляя в него ранее найденные
При этом условие конечности энергии системы вы-
величины E1 и E2, получаем E3 = 22.2 Ah, что ме-
ражается равенством k1 + k2 + . . . + kN = 0. Для
нее чем на 2 % отличается от расчетного значения
примера рассмотрим случай N = 4, поместив че-
E3 = 22.6 Ah.
тыре одинаковых отверстия радиусом R = 10 нм
Несмотря на то, что из приведенных на рис. 3
в вершины квадрата со стороной a = 40 нм. Расчеты
неоднородностей третья обладает наибольшей энер-
с использованием численного моделирования позво-
гией, именно ею будет ограничен дальнейший ана-
ляют получить распределения намагниченности, по-
лиз вихреподобных объектов, локализующихся в об-
казанные на рис. 3 (знаками отмечены отверстия,
ласти четырех отверстий. Дело в том, что эта
с которыми связаны заряды ±1). Энергии этих со-
структура, фактически, представляет собой связан-
стояний равны E1 = 14.1 Ah (связаны два отверстия
ное состояние двух неоднородностей первого ти-
по горизонтали или вертикали), E2 = 17.1 Ah (свя-
па, что подтверждается наличием энергии связи
419
Е. Б. Магадеев, Р. М. Вахитов, Р. Р. Канбеков
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022
Рис.
3. Уединенные неоднородности, локализованные
на четырех отверстиях
E3 - 2E1 = -4πAh ln2 < 0, а значит, она обладает
Рис. 4. Распределение намагниченности при конечных раз-
повышенной стабильностью. Это обуславливает ее
мерах отверстий
особую привлекательность для применения на прак-
тике.
и R2, то распределение намагниченности в образце
по-прежнему задается соотношением (2) при выпол-
4. СЛУЧАЙ ДВУХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
нении условий
ОТВЕРСТИЙ КОНЕЧНОГО РАЗМЕРА
Представим себе, что вещество, заполняющее от-
R21 = b1(a - b2), R22 = b2(a - b1),
(4)
верстия, является ферромагнитным, однако харак-
теризуется более слабым обменным взаимодействи-
где принято во внимание, что |O1O2| = a, а так-
ем, чем материал самой пленки. Тогда обменный
же введены обозначения |O1C1| = b1, |O2C2| = b2.
параметр A в выражении (1) становится функцией
Равенства (4) следует рассматривать как систему
координат, и соответствующее уравнение Эйлера—
уравнений относительно смещений b1 и b2, причем
Лагранжа принимает вид div(Agradθ) = 0. Отсю-
с учетом очевидных требований b1 < R1, b2 < R2
да ясно, что при переходе через границу отверстия,
эти величины определяются однозначно. В частном
где A испытывает скачок, непрерывно меняются как
случае R1 = R2 = R имеем
сама функция θ, так и проекция вектора Agradθ
на нормаль к границе. Следовательно, в пределе,
(
√
)
1
когда внутри отверстия A = 0, на внешней гра-
b1 = b2 =
a-
a2 - 4R2
2
нице отверстия должно выполняться соотношение
(grad θ)n = 0, где индексом n обозначена нормаль-
ная компонента. Дополняя этим граничным услови-
Заметим, что при небольших зазорах между от-
ем уравнение Лапласа Δθ = 0, мы получаем крае-
верстиями, когда a → R1 +R2, решение системы (4)
вую задачу для распределения намагниченности θ
оказывается близко к b1 = R1, b2 = R2, так что
внутри образца при наличии отверстий произволь-
|C1C2| → 0. Это значит, что при увеличении от-
ной формы, размер которых не мал в сравнении
носительных размеров отверстий масштабы неодно-
с расстоянием между ними. Покажем, что в случае
родности становятся все меньше. Более того, суще-
двух цилиндрических отверстий такая задача может
ственная часть неоднородности оказывается «выре-
быть решена аналитически.
зана» самими отверстиями (см. рис. 4), будучи ярко
Рассмотрим распределение вида (2) и введем
выраженной лишь в небольшой области между ни-
обозначения C1 и C2 для центров полярных си-
ми. Этот вывод находится в хорошем соответствии
стем координат, в которых заданы углы φ1 и φ2.
с результатами численного моделирования (см., на-
Несложно убедиться, что условие (gradθ)n = 0 ока-
пример, рис. 2) и означает, что при наличии несколь-
зывается выполнено для любой окружности, центр
ких пар отверстий в одной пленке локализующиеся
O которой лежит на продолжении отрезка C1C2,
на них вихреподобные объекты практически не бу-
а радиус равен
√OC1 · OC2 (эта ситуация являет-
дут искажать структуру друг друга. Данное обсто-
ся аналогом метода зеркальных изображений, хоро-
ятельство обеспечивает неплохие перспективы ис-
шо известным в электростатике; см. рис. 4). Сле-
пользования изучаемых перфорированных пленок
довательно, если пленка имеет два круглых отвер-
на практике в качестве основы для создания надеж-
стия с центрами в точках O1 и O2 и радиусами R1
ных носителей информации.
420
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022 Теория вихреподобных структур в перфорированных магнитных пленках. . .
Таблица.
Поведение размагничивающих полей
5. ВЛИЯНИЕ РАЗМАГНИЧИВАЮЩИХ
в случае одного отверстия
ПОЛЕЙ В СЛУЧАЕ ОДНОГО ОТВЕРСТИЯ
Для того чтобы ввести в рассмотрение размаг-
fi(r)
fe(r)
〈Φs〉
ничивающие поля, добавим к энергии (1) магнитной
(
)
1
k<0
0
r-R2-k
πM2s
пленки член следующего вида [22]:
k-2
r1-k
∫
1
k=0
r/2
R2/(2r)
0
Es = Φsh dS, Φs = -
HM,
2
k=1
-R
-r
2πM2s sin2 α
где M — вектор намагниченности в данной точке,
k=2
0
-r ln(r/R)
πM2s
а H — напряженность магнитного поля, которая
1
r
k-1
1
k>2
r
πM2s
удовлетворяет уравнениям Максвелла
k-2 Rk-2
k-2
rotH = 0, div(H + 4πM) = 0.
Кроме того, необходимо потребовать, чтобы значе-
Следовательно, мы можем ввести вспомогательную
ние fi(0) было конечным, а функция fe(r) возрас-
функцию ψ, такую что
тала при r → ∞ как можно медленней. Решив по-
лученные уравнения, мы далее можем найти плот-
H = -4πMs∇ψ, Δψ = divm,
(5)
ность энергии внутри образца из третьего соотноше-
Φs = 2πM2sm∇ψ,
ния (5), а именно
где Ms — намагниченность насыщения, а m — еди-
Φs =
ничный вектор в направлении M (при этом внутри
[
fe(r)]
отверстий мы полагаем m = 0).
= 2πM2
s
- sin2(θ-φ)f′e(r)+cos2(θ-φ)(k-1)
r
Пусть пленка содержит одно цилиндрическое от-
верстие радиусом R с центром в начале полярной
При k = 1 значение этого выражения не зависит
системы координат (r, φ). По-прежнему полагая, что
от угла φ; при других значениях k его можно усред-
влияние размагничивающих полей невелико в срав-
нить по значениям φ от 0 до 2π, так что
нении с обменным взаимодействием, будем считать,
[
fe(r)]
〈Φs〉 = πM2
-f′e(r) + (k - 1)
что распределение намагниченности внутри образ-
s
r
ца описывается тем же соотношением θ = kφ + α,
Конкретный вид функций fi(r) и fe(r), а также зна-
α = const, что и в случае энергии, выбранной в ви-
чения средней плотности энергии 〈Φs〉 для всевоз-
де (1). Тогда с учетом выражения
можных топологических зарядов k приведены в таб-
[
]
лице. Несложно заметить, что ни в одном из случа-
m=
- sin(θ - φ)er + cos(θ - φ)eφ
σ(r - R),
ев плотность энергии не зависит от расстояния r.
где σ(r) — функция Хевисайда, второе соотноше-
Более того, если при k = 1 использовать значение
ние (5) принимает следующий вид:
〈Φs〉, усредненное по углу α, или, что то же самое,
значение при α = π/4 (на рис. 2 и 3 видно, что это
k
Δψ = - sin(θ - φ)[
σ(r - R) + δ(r - R)],
направление является вполне типичным), то мож-
r
но считать, что соотношение 〈Φs〉 = πM2s выпол-
где δ(r) — дельта-функция Дирака. Отсюда вид-
няется при любых ненулевых значениях топологи-
но, что
ческого заряда. По этой причине в случае системы
{
нескольких отверстий плотность энергии размагни-
fi(r), r ≤ R,
чивающих полей в области самой системы также яв-
ψ = sin(θ - φ)
fe(r), r > R,
ляется приблизительно постоянной и равной πM2s,
если распределение намагниченности неоднородно.
причем неизвестные функции могут быть найдены
из следующей системы уравнений:
)
6. ВЛИЯНИЕ РАЗМАГНИЧИВАЮЩИХ
1
∂ (∂fi
(k - 1)2
r
-
fi = 0,
ПОЛЕЙ В СЛУЧАЕ НЕСКОЛЬКИХ
r ∂r
∂r
r2
ОТВЕРСТИЙ
)
1
∂ (∂fe
(k - 1)2
k
r
-
fe = -
,
r ∂r
∂r
r2
r
Изучим поведение размагничивающих полей
fe(R) = fi(R), f′e(R) - f′i(R) = -1.
в случаях N = 2 (рис. 2) и N = 4 (третья неоднород-
421
Е. Б. Магадеев, Р. М. Вахитов, Р. Р. Канбеков
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022
ность на рис. 3) на большом удалении от системы.
Выражение в скобках имеет порядок 1 при всех
При r
≫ a соотношения типа (2) приближенно
практически реализуемых соотношениях Rex/a
дают
(в частности, оно близко к 2 при значениях Rex/a
kan sinnφ
в диапазоне от
15
до
20), поэтому для обоих
θ=
,
(6)
rn
рассматриваемых значений N можно принять
где n = 1 для двух отверстий и n = 2 для четырех.
Es ∼ π2M2sa2h.
(9)
Заметим, что эта формула справедлива для отвер-
стий произвольного размера, однако значение вели-
Сравнивая это выражение, например, с (3), при-
чины a в ней может несколько отличаться от рассто-
ходим к выводу, что условием малости влияния
яния между центрами отверстий при N = 2 и сто-
размагничивающих полей на структуру изучаемых
роны квадрата при N = 4: в частности, для двух
неоднородностей является соотношение a ≪ L, где
отверстий, размеры которых сопоставимы с рассто-
√
введено обозначение L =
A/2πM2s.
янием между ними, параметру a в (6) соответствует
Используя выражение (7), можно также оценить
расстояние |C1C2| на рис. 4, а не |O1O2|, что мож-
изменение распределения намагниченности
(6),
но учесть количественно посредством условий (4).
непосредственно обусловленное влиянием раз-
Как и следовало ожидать, решения (6) удовлетво-
магничивающих полей. Для этого заметим, что
ряют уравнению Лапласа. Подставляя их во второе
эффективное магнитное поле, соответствующее
соотношение (5), имеем
энергии E + Es, имеет вид
(
)
nkan sin
(n + 1)φ - θ
Δψ =
2A
rn+1
Heff =
Δm + H,
Ms
Пренебрегая в этом соотношении величиной θ и ре-
вследствие чего уравнение Ландау—Лифшица [23]
шая полученное уравнение, находим
в статическом случае [Heff × m] = 0 с учетом пер-
kan sin(n + 1)φ
вого соотношения (5) может быть записано следую-
ψ=-
(7)
4rn-1
щим образом:
Подставляя это выражение в третье соотношение (5)
1 [
1 ∂ψ
∂ψ]
Δθ = -
sin(θ - φ)
+ cos(θ - φ)
(10)
и усредняя результат по углу φ, мы получаем сле-
L2
r ∂φ
∂r
дующее выражение для средней плотности энергии:
Пользуясь теорией возмущений, будем искать реше-
2n
1
k2a
ние уравнения (10) в виде θ = θ0 + θ1, где невоз-
〈Φs〉 =
πM2
(8)
4
s r2n
мущенное распределение θ0 задается формулой (6),
а θ1 представляет собой малую поправку первого
Чтобы вычислить полную энергию Es размаг-
порядка, обусловленную влиянием поля H. Тогда,
ничивающих полей при k = ±1, необходимо про-
пренебрегая θ в правой части (10) и подставляя (7),
интегрировать Φs по всему объему образца. Для
имеем
этого будем считать, что плотность энергии опре-
kan
[
]
деляется формулой (8) при r
> r0 и соотноше-
Δθ1 =
sinnφ - n sin(n + 2)φ
,
нием 〈Φs〉 = πM2s при r < r0, где значение па-
4rnL2
раметра r0 можно найти из соображений непре-
откуда θ1 = θ1m + Wθ0 + θ1r, где
рывности 〈Φs〉. Тогда для случая четырех отвер-
√
{
стий имеем r0 = a/
2 и Es = π2M2sa2h. В случае
kar
[sin 3φ + 4 ln r sin φ], n = 1,
32L2
двух отверстий, однако, выражение (8) убывает при
θ1m =
(11)
ka2
[sin 4φ - 2 sin 2φ],
n = 2,
32L2
r → ∞ недостаточно быстро и интеграл по объему
образца расходится. Этого можно избежать, огра-
W ≪ 1 — постоянная величина, а θ1r — некое ре-
ничив область интегрирования условием r < Rex,
шение уравнения Лапласа, не содержащее слагае-
где Rex имеет смысл характерного размера магнит-
мых, пропорциональных θ0. Сравнивая (11) с выра-
ной неоднородности с учетом факторов, выходящих
жением (6), можно заключить, что полученное ре-
за пределы рассматриваемой модели; тогда с учетом
шение имеет смысл только при условии r ≪ L, когда
r0 = a/2 получаем
θ1m ≪ θ0; ясно, что это условие выполняется во всем
(
)
объеме образца, если Rex ≪ L (при этом соотноше-
1
1
2Rex
Es = π2M2sa2h
+
ln
ние a ≪ L также выполняется автоматически).
4
2
a
422
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022 Теория вихреподобных структур в перфорированных магнитных пленках. . .
Довольно любопытным представляется вопрос
множитель 2 для случая N = 2 и множитель 1 для
о перераспределении обменной энергии в про-
случая N = 4 (красная и желтая линии). Несложно
странстве в связи с появлением поправки θ1.
видеть, таким образом, что рассмотренное прибли-
Локальное изменение плотности энергии равно
жение позволяет получить неплохие количествен-
Φes
= A(∇θ)2 - A(∇θ0)2
≈ 2A∇θ0∇θ1, откуда
ные оценки в довольно широком диапазоне значений
Φes = Φesm + Φes0 + Φesr, где
намагниченности насыщения.
Φesm = 2A∇θ0∇θ1m,
Φes0 = 2AW(∇θ0)2,
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Φesr = 2A∇θ0∇θ1r.
Из проведенного анализа следует, что вихрепо-
Несложно заметить, что в области a ≪ r ≪ L ос-
добные неоднородности изучаемого типа обладают
новной вклад в величину Φes дает первое слагаемое;
хорошей локализованностью в пространстве, кото-
усредняя его по углу φ, из (6) и (11) получаем
рая становится еще более ярко выраженной при раз-
мерах отверстий, сопоставимых с расстоянием меж-
2n
1
k2a
〈Φesm〉 = -
nπM2
= -n〈Φs〉.
ду ними, а также под влиянием размагничивающих
4
s r2n
полей. Тем самым эти факторы, которые могли бы
Таким образом, воздействие размагничивающих по-
существенно снизить надежность предсказаний, по-
лей приводит к снижению плотности обменной энер-
лученных в рамках простейших моделей, в действи-
гии (а при n = 2 — и плотности энергии в целом)
тельности не только не препятствуют, но, напротив,
на удалении от системы отверстий. В то же время
способствуют возможности использования рассмот-
функция θ0 минимизирует функционал (1), а зна-
ренных нанообъектов на практике. При этом учет
чит, интеграл Φes по всему объему образца должен
влияния обозначенных факторов сводится, по су-
быть равен нулю. Отсюда можно сделать вывод, что
ти, к внесению ряда поправок, которые не искажа-
обменная энергия неоднородности перераспределя-
ют наблюдаемую картину на качественном уровне.
ется в направлении ее центра, т. е. неоднородность
Так, в случае отверстий конечного размера область
становится еще более локализованной. Поскольку,
локализации и кривизна магнитной неоднородно-
как несложно убедиться, 〈Φesr〉 = 0, то отрицатель-
сти не обязательно совпадают с областью локали-
ный вклад Φesm может быть скомпенсирован толь-
зации и кривизной самих отверстий, что и приво-
ко за счет члена Φes0, порядок и знак которого
дит к необходимости соответствующих корректиро-
во всех точках пространства определяются коэффи-
вок. В случае же заметного влияния размагничива-
циентом W . Следовательно, W ∼ (a/L)2, причем
ющих полей следует иметь в виду, что «кажущие-
W > 0, поэтому θ0 входит в выражение для θ с ко-
ся» размеры системы отверстий, которые непосред-
эффициентом 1 + W > 1, что эквивалентно замене
ственно обуславливают структуру и поведение маг-
расстояния a в формуле (6) на несколько большее
нитной неоднородности, в действительности немно-
эффективное значение.
го превышают истинные геометрические размеры
Приведенные выше рассуждения основывались
этой системы.
на предположении, что a ≪ L, т. е. влияние размаг-
Таким образом, единственным существенным
ничивающих полей считалось относительно малым.
условием наблюдения вихреподобных неоднороно-
В случаях, когда это соотношение не выполняет-
стей в перфорированных ферромагнитных пленках
ся, расчет Es можно осуществить посредством чис-
является наличие в них сильной одноосной ани-
ленного моделирования с использованием OOMMF.
зотропии типа «легкая плоскость». Такая универ-
Вводя в рассмотрение размагничивающие поля и ва-
сальность открывает значительные перспективы ис-
рьируя намагниченность насыщения Ms в диапа-
пользования изучаемых объектов в наноэлектрони-
зоне от 105 А/м до 2 · 106 А/м, получаем зависимо-
ке: несложно видеть, что структуры, локализован-
сти энергии Es (рассчитанной как изменение полной
ные в области двух или четырех близкорасположен-
энергии системы по сравнению с результатом соот-
ных отверстий пленки, могут находится, по меньшей
ветствующего расчета энергии E без учета размаг-
мере, в одном из трех неэквивалентных состояний
ничивания) от отношения a/L, показанные на рис. 5
(одном однородном и двух неоднородных различа-
(синяя и зеленая линии). Для сравнения на том же
ющихся знаками топологических зарядов). Следо-
рисунке приведены графики, отвечающие примене-
вательно, на их основе могут быть созданы ячей-
нию приближенной формулы (9), в которой выбран
ки памяти, позволяющие кодировать информацию
423
9
ЖЭТФ, вып. 3 (9)
Е. Б. Магадеев, Р. М. Вахитов, Р. Р. Канбеков
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022
Рис. 5. График зависимости вклада Es размагничивающих полей в энергию образца от характерного расстояния a для
систем с двумя и четырьмя отверстиями
в троичной системе исчисления, что обеспечивает
быть включен в область интегрирования без потери
значительное увеличение плотности записи данных
точности результата. Тогда
на носителях.
∞
∫
∫
Финанстрование. Работа проведена в рамках
a2
G1 =
r1 dr1 dφ1.
государственного задания на выполнение научных
r21(r21 + r22)
исследований лабораториями (приказ MN-8/1356
0 R1
от 20.09.2021).
Рассчитывая этот интеграл с учетом того, что
r2
= r21 + a2 + 2r1acosφ1, и пренебрегая членами
2
). Ана-
порядка (R1/a)4, получаем G1 = 2π ln(a/R1
ПРИЛОЖЕНИЕ A. РАСЧЕТ ЭНЕРГИИ
логично G2 = 2π ln(a/R2), откуда и следует выра-
СОСТОЯНИЯ, ЛОКАЛИЗОВАННОГО
жение (3).
НА ДВУХ ОТВЕРСТИЯХ
Для начала заметим, что в полярной системе ко-
ПРИЛОЖЕНИЕ B. РАСЧЕТ ЭНЕРГИИ
ординат (r, φ) вектор ∇φ равен по абсолютной вели-
СОСТОЯНИЯ, ЛОКАЛИЗОВАННОГО
чине вектору r/r2 и составляет с ним постоянный
НА ЧЕТЫРЕХ ОТВЕРСТИЯХ
угол π/2. Учитывая это обстоятельство и подстав-
ляя (2) в (1), получаем
Распределение намагниченности, соответствую-
щее третьей неоднородности на рис. 3, описывается
∫ (r
)2
1
r2
следующим соотношением, аналогичным (2):
E = k2Ah
-
dS =
r21
r22
∫
θ=φ1 -φ2 +φ3 -φ4,
2
a
= k2Ah
dS = k2Ah(G1 + G2),
r21r2
2
где отверстия занумерованы по часовой стрелке. От-
сюда, по аналогии с Приложением A, получаем
где
∫ (r
)2
∫
∫
r2
r3
r4
2
1
a
a2
E = Ah
-
+
-
dS.
G1 =
dS, G2 =
dS.
r21
r22
r23
r2
4
r21(r21 + r22)
r22(r21 + r22)
Применяя тождество
Областью интегрирования G1 является вся плос-
кость за исключением кругов r1 < R1 и r2 < R2.
(a - b + c - d)2 =
Однако подынтегральное выражение G1 в области
2
= (a-b)2+(b-c)2+(c-d)2+(d-a)2-(a-c)2-(b-d)
r2 < R2 близко к a-2, а значит, круг r2 < R2 может
424
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022 Теория вихреподобных структур в перфорированных магнитных пленках. . .
и учитывая симметрию системы, имеем
9.
Е. Б. Магадеев, Р. М. Вахитов, Изв. РАН. Сер.
E = Ah(4M1 - 2M2), где
физ. 77, 1493 (2013).
∫ (r
)2
∫ (r
)2
r2
r3
10.
Е. Б. Магадеев, Р. М. Вахитов, Письма в ЖЭТФ
1
1
M1 =
-
dS, M2 =
-
dS.
115, 123 (2022).
r21
r22
r21
r2
3
11.
D. Navas, R. V. Verba, A. Hierro-Rodriguez et al.,
Пренебрегая тем, что круги, соответствующие от-
APL Matter. 7, 0811114 (2019).
верстиям 3 и 4, не входят в область интегриро-
вания M1, и повторяя рассуждения, приведенные
12.
A. R. Pereira, J. Appl. Phys. 97, 094303 (2005).
в Приложении A, получаем M1 = 4π ln(a/R). Инте-
грал M2 отличается от M1 только расстоянием меж-
13.
F. A. Apolonio, W. A. Moria-Melo, F. P. Crisafuli et
ду центрами кругов, которое в случае отверстий 1
al., J. Appl. Phys. 106, 084320 (2009).
√
√
и 3 равно a
2. Следовательно, M2 = 4π ln(a
2/R),
√
14.
D. Toscano, S. A. Leonel, P. Z. Coura et al.,
откуда окончательно имеем E = 8πAh ln(a/R
2).
Appl. Phys. Lett. 101, 252402 (2012).
15.
J. Muller, A. Rosch, Phys. Rev. B 91, 054410 (2015).
ЛИТЕРАТУРА
16.
M. Xu, J. Zhang, D. Meng et al., Phys. Lett. A 433,
1. T. Shinjo, T. Okuno, R. Hassdorf et al., Science 289,
128034 (2022).
930 (2000).
17.
Ю. И. Латышев, А. П. Орлов, А. В. Фролов и др.,
2. S. Muhlbauer, F. Jonietz, C. Pfleiderer et al., Science
Письма в ЖЭТФ 98, 242 (2013).
323, 915 (2009).
18.
U. Welp, V. K. Vlasko-Vlasov, G. W. Cratree et al.,
3. M. Lee W. Kang, Y. Onose et al., Phys. Rev. Lett.
Appl. Phys. Lett. 79, 1315 (2001).
102, 186601 (2009).
19.
M. V. Sapozhnikov, S. N. Vdovichev, O. L. Ermolaeva
4. T. Schulz, R. Ritz, A. Bauer et al., Nature Phys. 8,
et al., Appl. Phys. Lett. 109, 042406 (2016).
301 (2012).
20.
E. Valdes-Bango, M. Velez, L. M. Alvarez-Prado
5. K. Everschor-Sitte J. Masell, R. M. Reeve et al., J.
et al., AIP Advancez 7, 056303 (2017).
Appl. Phys. 124, 240901 (2018).
21.
M. J. Donahue, D. G. Porter, OOMMF User’s Guide,
6. М. В. Сапожников, О. В. Ермолаева, Е. В. Скоро-
version 2.0a3. National Institute of Standard and
ходов и др., Письма в ЖЭТФ 107, 378 (2018).
Technolog: Gaithersburg, MD, USA (2021).
7. J. Zang, M. Mostovoy, I. H. Han et al., Phys. Rev.
22.
A. Hubert, R. Shafer, Magnetic domains. Spinger-
Lett. 107, 136804 (2011).
Verlag, Berlin (2007).
8. G. Srinivasan, A. Sengupta, K. Roy, Sci. Rep. 6,
23.
Y. Nakatani, K. Yamada, A. Hirohata, Sci. Rep. 9,
29545 (2016).
13475 (2019).
425
9*
