ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 4 (10), стр. 509-521

АДИАБАТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ЯН-ТЕЛЛЕРОВСКИХ

КОМПЛЕКСОВ Cu²⁺F-8 В КРИСТАЛЛЕ ФЛЮОРИТА

М. Н. Сарычев^a, У. А. Л. Хоссениa,b*, И. В. Жевстовских^a,c, В. А. Уланов^d,e,

А. В. Егранов^f,g, В. Т. Суриков^h, Н. С. Аверкиевⁱ, В. В. Гудковa**

^a Уральский федеральный университет, 620002, Екатеринбург, Россия

^b Department of Physics, Faculty of Science, Benha University, 13511, Benha, Egypt

^c Институт физики металлов им. М. Н. Михеева

Уральского отделения Российской академии наук,

620137, Екатеринбург, Россия

^d Казанский государственный энергетический университет, 420066, Казань, Россия

^e Казанский физико-технический институт им. Е. К. Завойского

ФИЦ «Казанский научный центр Российской академии наук»,

420029, Казань, Россия

^f Институт геохимии им. А. П. Виноградова

Сибирского отделения Российской академии наук,

664033, Иркутск, Россия

^g Иркутский государственный университет, 664003, Иркутск, Россия

^h Институт химии твердого тела

Уральского отделения Российской академии наук,

620990, Екатеринбург, Россия

ⁱ Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе Российской академии наук,

194021, Санкт Петербург, Россия

Поступила в редакцию 2 июня 2022 г.,

после переработки 2 июня 2022 г.

Принята к публикации 6 июня 2022 г.

Представлены результаты ультразвуковых исследований в монокристалле флюорита CaF2 c изовалент-

ным замещением ионов кальция Ca²⁺ ионами меди, выполненных на частотах 23-163 МГц в интервале

температур 4-240 K. На температурных зависимостях поглощения и скорости продольных и поперечных

нормальных мод, связанных с модулями упругости cL = c44 + (c11 + c12)/2 и cE = (c11 - c12)/2, при

температурах ниже 80 K были обнаружены аномалии, типичные для релаксационных вкладов систем

ян-теллеровских комплексов. Ионы Cu²⁺ в кубическом окружении в основном состоянии обладают трех-

кратным орбитальным вырождением, описываются T ⊗ (e + t2)-задачей эффекта Яна- Теллера и име-

ют адиабатический потенциал, заданный в пятимерном пространстве тригональных и тетрагональных

симметризованных координат. Анализ экспериментальных данных позволил определить симметрийные

свойства экстремумов (глобальных минимумов и седловых точек) нижнего листа адиабатического потен-

циала, найти значения входящих в вибронный гамильтониан линейных (тетрагональной и тригональной)

и квадратичной констант вибронной связи ян-теллеровских комплексов Cu²⁺F-8 в матрице CaF2, энергий

ян-теллеровской стабилизации и координат этих экстремумов в пятимерном пространстве нормальных

координат.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 95-летию Э. И. Рашба

DOI: 10.31857/S004445102210008X

1. ВВЕДЕНИЕ

EDN: ENOJHV

Кристаллы, легированные 3d-ионами, находят

широкое применение в таких приложениях науки

и техники, как твердотельные лазерные и нели-

^* W. A. L. Hosseny

нейные оптические материалы, материалы для пре-

^** E-mail: v.v.gudkov@urfu.ru

образования инфракрасного излучения в видимое,

509

ЖЭТФ, вып. 4 (10)

М. Н. Сарычев, У. А. Л. Хоссени, И. В. Жевстовских и др.

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

для хранения информации и др. [1]. В основе этих

в матрицах ZnSe и CdSe ЯТ-комплексы тетраэдри-

приложений лежат оптические переходы между ос-

ческие, а во флюоритах — кубические. Ион Cr²⁺

новным электронным состоянием и возбужденны-

в основном состоянии в обоих окружениях име-

ми состояниями примеси. В случае орбитального

ет одинаковый терм⁵T₂(t²²e²) (см. табл. 1 в [3]),

вырождения энергетические состояния примесного

и с точки зрения описания эффекта ЯТ это иден-

иона определяются с учетом не только кристалли-

тичные случаи. Возникает вопрос, все ли ионы

ческого поля, но и электрон-вибронного взаимодей-

с трехкратным орбитальным вырождением в матри-

ствия, т. е. эффекта Яна - Теллера (ЯТ) [2-4]. Наи-

це со структурой флюорита формируют орторомби-

более важные взаимодействия, проявляющиеся, на-

чески искаженные ЯТ-комплексы?

пример, в оптических спектрах поглощения и из-

Следует отметить, что симметрийные свойства

лучения, происходят в ближайшей координацион-

глобальных минимумов могут быть определены

ной сфере. Объектом исследования становится ком-

и с помощью ЭПР-исследований. И данные, полу-

плекс, содержащий примесный ион и ближайшее

ченные методами физической акустики, насколь-

окружение.

ко нам известно, еще ни разу не вошли в про-

Традиционными методами исследования кри-

тиворечие с данными ЭПР. Однако для установ-

сталлов, легированных 3d-примесями, являются оп-

ления причинно-следственных связей желательно

тические и магниторезонансные [5, 6]. Ультразвуко-

иметь полный набор параметров, характеризующих

вые методы, широко применяемые в физике твер-

ЯТ-подсистему. Его можно получить из ультразву-

дого тела [7-9], являются менее распространенны-

ковых экспериментов, например, конкретизировать

ми при изучении эффекта ЯТ, несмотря на то, что

задачу эффекта ЯТ. Известно, что тетрагональные

первые эксперименты в этой области были выполне-

минимумы АП могут быть в случае как T ⊗ e-, так

ны в 60-х годах прошлого столетия (см. обзор [3]).

и T ⊗ (e + t₂)-задачи эффекта ЯТ. Проявление ано-

К достижениям работ того периода следует отне-

малий релаксационной природы только в тетраго-

сти то, что надежно были установлены релаксаци-

нальном упругом модуле позволяет рассматривать

онная природа [10] аномалий поглощения и диспер-

T ⊗ e-задачу эффекта ЯТ, в то время как наблю-

сии ультразвука, связанных с проявлением эффекта

дение аномалий как в тетрагональном, так и в три-

ЯТ [11], и предложены механизмы релаксации [12].

гональном упругих модулях связано с проявлением

В более поздних работах, выполненных уже в 2000-х

уже T ⊗ (e + t₂)-задачи эффекта ЯТ. В первом слу-

годах [13-18], было показано, что методы физиче-

чае АП представляет собой три независимых пара-

ской акустики позволяют получать новую информа-

болоида, во втором — односвязную поверхность, за-

цию об основном состоянии ЯТ-комплекса, в част-

данную в системе пяти симметризованных коорди-

ности, определять симмметрийные свойства экстре-

нат, и содержит не только минимумы, но и седловые

мумов (глобальных минимумов и седловых точек)

точки.

адиабатического потенциала (АП), значения кон-

Параметры глобальных минимумов и седловых

стант вибронной связи, входящих в вибронный га-

точек также можно определить из ультразву-

мильтониан, энергий ЯТ, стабилизации и коорди-

кового эксперимента. Кроме того, появляется

нат экстремумов АП, заданного в системе симмет-

возможность исследовать динамические свойства

ризованных координат (см., например, работу [13]

ЯТ-подсистемы: времена и механизмы релаксации,

и ссылки в ней).

в том числе туннельные. Следует подчеркнуть,

Накопленная в этой области информация явля-

что эта информация недоступна другим экс-

ется довольно обширной, однако есть нерешенные

периментальным методикам. В ультразвуковом

проблемы, к одной из которых можно отнести сле-

эксперименте проявляются времена релаксации

дующую. При изучении ЯТ-комплексов, сформи-

ЯТ-деформаций. Они связаны с перекрытием

рованных ионом Cr²⁺ в кристаллах ZnSe (II-VI,

волновых функций в соседних минимумах АП.

сфалерит [14]) и CdSe (II-VI, вюрцит [13]), гло-

В ЭПР-экспериментах изучается динамика маг-

бальные минимумы АП имеют тетрагональную сим-

нитной подсистемы: времена спин-решеточной

метрию, а в кристаллах со структурой флюорита

релаксации или спиновой дефазировки.

(SrF₂ [15] и CaF₂ [16, 17]) симметрия глобальных

В настоящей работе приведены результаты уль-

минимумов АП орторомбическая. В первом случае

тразвуковых исследований монокристалла флюори-

ЯТ-комплексы описываются в линейном по дефор-

та, легированного ионами Cu²⁺ малой концентра-

мациям вибронном гамильтониане, а второй слу-

ции. Обнаружено аномальное поведение в темпера-

чай требует квадратичного приближения. При этом

турных зависимостях поглощения и скорости про-

510

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Адиабатический потенциал ян-теллеровских комплексов. . .

дольных и поперечных ультразвуковых волн, свиде-

где E — полная энергия, Wk,m(Q) — электрон-

тельствующее о проявлении эффекта ЯТ, определе-

ные матричные элементы вибронной связи (часть

ны параметры, характеризующие АП и релаксацию

электрон-ядерного взаимодействия V (r, Q)):

ЯТ-центров, проведено сравнение этих параметров

с данными для других ЯТ-центров в кристаллах

∑

)

( ∂V

со структурой флюорита, а именно, для Cr²⁺ [15,17]

W (Q) = V (r, Q) - V (r, 0) =

Q_α +

∂Q_α 0

и Ni²⁺ [18].

∑(

)

∂²V

Q_αQ_β + . . . ,

(4)

+ 2

∂Q_α∂Q_β

2. АДИАБАТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ

α,β

ЯН-ТЕЛЛЕРОВСКОГО КОМПЛЕКСА

которые входят в адиабатический потенциал

ЯТ-комплексы в кристаллах, содержащих при-

меси, можно описать, учитывая их вклад в сво-

бодную энергию или любой другой термодинамиче-

ϵ_k(Q) = ϵ^′k(Q) + W_kk(Q),

(5)

ский потенциал. При малых концентрациях приме-

си эти комплексы считаются невзаимодействующи-

т. е. потенциальную энергию ядер в усредненном по-

ми между собой, что позволяет использовать мо-

лекулярную модель. В рамках этой модели ком-

ле электронов в состоянии ϕ_k(r), ϵ^′k — упругая энер-

плекс рассматривается как состоящий из ЯТ-иона

гия комплекса без учета вибронной связи.

и его ближайшего окружения. При более точном

В случае трехкратного орбитального вырож-

описании учитываются и следующие координацион-

дения АП определяется пятью симметризованны-

ные сферы. Адиабатическое приближение предпо-

ми координатами: тетрагональными Q_ϑ, Q_ε и три-

лагает различие инерциальных свойств электронов

гональными Q_ξ, Q_η, Q_ζ. Линейные константы виб-

и ядер и наличие равновесного электронного распре-

ронной связи входят в выражения для энергий

деления в любой мгновеннной ядерной конфигура-

ЯТ-стабилизации (экстремумов АП) [4]:

ции. Описание электрон-ядерной системы основано

на решении уравнения Шредингера с гамильтониа-

F2E

ном [4] вида

E^JTE =

(6)

2K_E

H = H_r + H_Q + V (r,Q),

(1)

где H_r включает в себя кинетическую энергию

где E^JTE — энергия ЯТ-стабилизации, соответствую-

электронов и электрон-электронное взаимодей-

щая экстремумам тетрагональной симметрии, K_E —

ствие, H_Q — кинетическая энергия ядер, V (r, Q) —

тетрагональная первичная силовая константа (ха-

энергия взаимодействия электронов и ядер между

рактеризующая упругую энергию ЯТ-комплекса без

собой, r и Q обозначают наборы соответствен-

учета вибронного взаимодействия), F_E — тетраго-

но электронных и ядерных координат. Опера-

нальная линейная константа вибронной связи:

тор V (r, Q) представляется в виде разложения

по ядерным смещениям относительно положения,



) 

( ∂V



соответствующего исходно равновесному комплексу

F_E = ϑ

ϑ

(7)

∂Q_ϑ

с Q_α = Qα0 = 0. Полная волновая функция Ψ(r,Q)

записывается в виде разложения по электронным

функциям ϕ_k(r) следующим образом:

Энергия ЯТ-стабилизации E^JTT , соответствующая

∑

экстремумам тригональной симметрии, определяет-

Ψ(r, Q) =

χ_k(Q)ϕ_k(r).

(2)

ся тригональной линейной константой вибронной

связи F_T и тригональной первичной силовой кон-

Решение уравнение Шредингера приводит к си-

стантой K_T :

стеме связанных уравнений с коэффициентами раз-

ложения χ_k(Q):

[

]

2 F2T

E^JTT =

(8)

H_Q - ϵ_k(Q) - E

χ_k(Q) +

3 K_T

∑



) 

W_k,m(Q)χ_m(Q) = 0,

(3)

( ∂V



F_T = η

η

(9)

m=k

∂Q_η

511

М. Н. Сарычев, У. А. Л. Хоссени, И. В. Жевстовских и др.

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

3. ВКЛАД ЯН-ТЕЛЛЕРОВСКОЙ

4) Выражение для относительного вклада

ПОДСИСТЕМЫ В МОДУЛИ УПРУГОСТИ

ЯТ-подсистемы c^JTij /c₀ в компоненты динамиче-

ского модуля упругости содержит зависимость

При проведении ультразвуковых исследований

от частоты только через параметр временной

с помощью фазочувствительной установки измеря-

(частотной) дисперсии ωτ (τ — время релаксации

ются изменения от внешнего параметра (темпера-

неравновесной добавки функции распределения

туры, магнитного поля) амплитуды и фазы сигна-

ЯТ-подсистемы):

ла, прошедшего через образец, из которых опреде-

ляются изменения поглощения Δα и фазовой ско-

рости Δv волны. Однако если экспериментальные

c^JTij

(c^JTij )^T

1 - iωτ

(11)

данные сравниваются с теоретическими расчетами,

c₀

1 + (ωτ)²

то обсуждение удобнее вести в терминах динами-

ческих (зависящих от частоты) комплексных моду-

лей упругости c. Заранее ограничиваем себя урав-

где (c^JTij )^T — изотермический вклад ЯТ-подсистемы

нениями движения в виде линейных дифференци-

в модуль упругости кристалла. Здесь и далее ис-

альных уравнений второго порядка, решениями ко-

пользуются обозначения Фогта для тензорных ком-

торых являются плоские волны малой амплитуды.

понент (см., например, стр. 30 в [8]).

Если пространственную и временную зависимости

Выражение для изотермического вклада в моду-

этих решений записать в виде exp[i(ωt - k· r)] и при

ли упругости определяется производной от плотно-

этом комплексный волновой вектор определить как

сти свободной энергии (см., например, § 10 в [20]):

k = (ω/v - iα)e_k, то

Δc

⁽ Δv

Δα⁾

)

(10)

( ∂²F

c₀

v₀

k₀

(c_ij )^T =

(12)

j ε→0

∂ε_i∂ε

где k0 = ω/v0, ω — циклическая частота волны,

v₀ = v(T₀), Δv = v(T)-v₀, Δc = c(T)-c₀, c₀ = c(T₀),

где ε_i — компоненты тензора деформаций. Вклад

Δα = α(T ) - α₀, α₀ = α(T₀), T₀ — некоторое фикси-

ЯТ-подсистемы F^JT определяется статистической

рованное значение температуры.

суммой Z (см., например, § 31 в [21]):

Переход к описанию экспериментальных данных

в терминах динамических модулей упругости обу-

словлен следующими обстоятельствами.

F^JT = -nk_BT lnZ,

(13)

1) Модули упругости, как и другие материаль-

(

∑

ΔE^Si )

ные тензоры, подчиняются соотношениям типа Кра-

Z =

exp -

(14)

k_BT

мерса - Кронига, что дает дополнительные возмож-

i=1

ности при интерпретации данных (общую связь

между поглощением и дисперсией звуковых волн

где n — концентрация ЯТ-комплексов, k_B — посто-

рассматривал Гинзбург [19]).

янная Больцмана, индекс «S» указывает симмет-

2) Физические величины (действительные и мни-

рийные свойства глобальных минимумов (тетраго-

мые компоненты модулей упругости), характери-

нальных E, тригональных T или орторомбических

зующие дисперсию и диссипацию энергии волны,

OR), m = 3, 4, 6 — число минимумов для случаев

представляются в одних и тех же единицах и могут

симметрии соответственно E, T , OR:

быть наглядно показаны кривыми в общей системе

координат.

3) Проявление эффекта ЯТ в ультразвуковом

⁽∂2 lnZ ⁾

(c^JTij )^T = -nk_BT

(15)

эксперименте описывается вкладом ЯТ-подсистемы

∂ε_i∂εj ε→0

в плотность свободной энергии, из которой путем

дифференцирования по компонентам относитель-

ных деформаций получается выражение для изотер-

мического вклада в модули упругости, содержащее

Выражения для ΔE^Si для ЯТ-комплекса в слу-

линейные константы вибронной связи.

чае кристалла со структурой флюорита были полу-

512

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Адиабатический потенциал ян-теллеровских комплексов. . .

чены в [22]:

низких температурах здесь ситауция может быть

обратная: фоновое поглощение может быть пре-

ΔEE1 = F_E aε₁,

(16)

небрежимо мало, а поглощение, обусловленное

ΔEE2 = F_E aε₂,

(17)

ЯТ-подсистемой, может иметь конечную величину.

ΔEE3 = F_E aε₃,

(18)

В связи с этим, относительно Imc^JTij возможны два

подхода. Первый предполагает уменьшение с тем-

2aF_T

ΔET1 =

(ε₁ + ε₂ + ε₃ + ε₄ + ε₅ + ε₆),

(19)

пературой скорости релаксации более быстрое, чем

линейное. Это приводит к нулевому поглощению

2aF_T

ΔET2 =

(ε₁ + ε₂ + ε₃ - ε₄ - ε₅ + ε₆),

(20)

при температуре, стремящейся к нулю, а значит,

при низких температурах ЯТ-вклад в поглощение

2aF_T

ΔET3 =

(ε₁ + ε₂ + ε₃ - ε₄ + ε₅ - ε₆),

(21)

можно представить как

2aF_T

α^JT = α(T) - α(T → 0).

ΔET4 =

(ε₁ + ε₂ + ε₃ + ε₄ - ε₅ - ε₆) ,

(22)

Это же самое допустимо, когда потенциальные ба-

ΔEOR1 = -

F_Eaε₁ + aF_T (ε₁ + ε₂ + ε₃ + ε₆),

(23)

рьеры (седловые точки) достаточно высоки и тун-

нельный механизм релаксации хоть и вносит вклад

ΔEOR2 = -

F_Eaε₁ + aF_T (ε₁ + ε₂ + ε₃ - ε₆),

(24)

в поглощение, но он мал, и имеет смысл его учиты-

вать, если мы интересуемся только низкотемпера-

ΔEOR3 = -

F_Eaε₂ + aF_T (ε₁ + ε₂ + ε₃ + ε₅),

(25)

турными механизмами релаксации. Признаком вы-

соких потенциальных барьеров δ может служить

ΔEOR4 = -

F_Eaε₂ + aF_T (ε₁ + ε₂ + ε₃ - ε₅),

(26)

положение пика релаксационного поглощения. На-

пример, в CaF₂ : Ni²⁺ пик поглощения при часто-

ΔEOR5 = -

F_Eaε₃ + aF_T (ε₁ + ε₂ + ε₃ + ε₄),

(27)

те 54 МГц наблюдается при довольно высоких тем-

пературах, около 60 K, что дает значение барьера

ΔEOR6 = -

F_Eaε₃ + aF_T (ε₁ + ε₂ + ε₃ - ε₄),

(28)

δ = E^JTOR - E^JTT = 410 см-1

[18]. Именно такой под-

ход использовался в большинстве работ.

где a — ребро кубического ЯТ-комплекса Cu²⁺F-8.

Однако эксперименты в CaF₂ : Cr²⁺ [23] пока-

Изотермические вклады в модули, полученные

зали, что в этом кристалле пик поглощения на час-

с использованием уравнений (16)-(28), приведены

тоте 54 МГц наблюдается при более низкой темпе-

в табл. 1.

ратуре (T ≈ 8 K) и его форма хорошо моделиру-

В ходе экспериментов измеряются температур-

ется тремя механизмами релаксации, рассмотрен-

ные зависимости поглощения и скорости ультра-

ными еще в [3]. Самый низкотемпературный меха-

звуковых волн, которые можно, используя уравне-

низм (туннельный) характеризуется скоростью ре-

ние (10), пересчитать в температурные зависимо-

лаксации, линейной по температуре (τ-1t = B_tT ),

сти мнимых и действительных составляющих ди-

что с учетом обратно пропорциональной зависимо-

намических модулей упругости. Важно помнить,

сти изотермического модуля от температуры приво-

что в данном случае речь идет о физических

дит к тому, что при низких температурах ЯТ-вклад

величинах, характеризующих кристалл в целом.

в поглощение (и Im c^JTij ) асимптотически стремится

ЯТ-подсистема вносит аддитивный вклад в плот-

к постоянной величине, а вклад в фазовую скорость

ность свободной энергии, а значит, и в модули упру-

(и Re c^JTij ) линейно зависит от температуры, стемясь

гости, поглощение и фазовую скорость. Этот вклад

к нулю при T → 0. Способ нахождения низкотемпе-

(уравнение (11)) необходимо выделить, потому что

ратурного значения α^JT (T → 0) также был предло-

именно он описывается выражением, содержащим

жен в работе [23] и использован позднее в [16]. Он

изотермические модули, приведенные в табл.

[

]

состоит в моделировании зависимости Im

Δc_ij (T )

и зависящие от линейных констант вибронной свя-

с помощью трех механизмов релаксации c последу-

зи F_E, F_T и параметра временной дисперсии ωτ.

ющей подгонкой параметров. В этом заключается

Представим интересующую нас тензорную

второй подход.

компоненту динамического модуля в виде суммы

ЯТ-вклада и фонового модуля:

c_ij = c^JTij + c^bij.

(29)

4. ЭКСПЕРИМЕНТ

Очевидно,

что

примесном кристалле

Кристаллы CaF₂ : Cu²⁺ были выращены в Фи-

Re c^bij

≫ Re |c^JTij |. Что касается Im c^bij , то при

зико-техническом институте им. Е. К. Завойско-

513

М. Н. Сарычев, У. А. Л. Хоссени, И. В. Жевстовских и др.

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Таблица 1. Изотермические вклады ЯТ-подсистемы в модули упругости кристалла со структурой флюорита для гло-

√

бальных минимумов АП симметрии S (a0 = a

3/2 — расстояние между ионами F^- и Ca²⁺)

(cJT11 )^T

(cJT12 )^T

(cJT44 )^T

(c^JTE )^T

(c^JTL )^T

na²⁰F2E

2 na²⁰F2E

na²⁰F2E

k_BT

^-27

k_BT

na²⁰F2T

16 na²⁰F2T

⁻27 kBT

k_BT

)

na²⁰F2E

na²⁰F2T

na²⁰F2E

na²⁰

⁽4

F2T +

F²

k_BT

216

^-54

k_BT

108

k_BT

го КазНЦ РАН методом Чохральского, детали

ЯТ-комплексы (рис. 1), при этом изовалентное заме-

которого изложены в работе

[24]. Номинально

щение ионами Cu приводит к трехкратно орбиталь-

чистые кристаллы CaF₂ были изготовлены ме-

но вырожденным ЯТ-центрам с термом²T2g(e4gt52g)

тодом Бриджмена - Стокбаргера в Институте

(см., например, табл. 1 в [3]). На основании данных

геохимии им. А. П. Виноградова СО РАН. Ана-

ЭПР установлено, что при концентрации ионов меди

лиз состава исследуемых кристаллов выполнялся

не более 0.5 ат. % (исследуемый нами кристалл по-

с помощью ELAN

9000

ICP

.S (Perkin-E. lmer

падает в эту категорию) образуются в основном ор-

SCIEX). Концентрация примеси меди составляла

торомбические центры [24], хотя известно, что ионы

n = (7.12 ± 0.03) · 10¹⁹ см-3.

Cu²⁺ в кристаллах со структурой флюорита могут

образовывать и офф-центры [25,26].

В кристаллах со структурой флюорита (про-

странственная группа Fm³m) 3d-ионы изовалент-

Ультразвуковые измерения проводились в Фи-

но замещают катионы Ca²⁺, формируя кубические

зико-технологическом институте УрФУ на уста-

новке, работающей по принципу перестраиваемого

по частоте высокочастотного моста. Для генерации

и регистрации ультразвуковых колебаний использо-

вались резонансные пьезопреобразователи, изготов-

ленные из ниобата лития. Погрешности измерений

изменений поглощения и фазовой скорости состав-

ляли соответственно 0.1 дБ и 10-5.

Были исследованы продольный c_L = (c₁₁ + c₁₂ +

+2c₄₄)/2 и тетрагональный c_E = (c₁₁-c₁₂)/2 модули

упругости. Модули c_L и c_E связаны с нормальными

модами, распространяющимися вдоль кристалло-

графической оси [110]: соответственно продольной

и поперечной, поляризованной вдоль оси [110]. При-

меры температурных зависимостей мнимых и дей-

ствительных составляющих динамических модулей

упругости, построенных на основе эксперименталь-

ных данных о поглощении и скорости исследован-

ных мод с использованием уравнения (10), приведе-

ны на рис. 2 и 3. Видно, что аномалии релаксацион-

ной природы проявляются в обоих модулях упруго-

сти, c_E и c_L (при этом изменения в c_L почти на поря-

док больше, чем в c_E ), что в соответствии с данны-

Рис. 1. (В цвете онлайн) Структура кристалла флюори-

ми табл. 1 означает, что глобальные минимумы АП

та: 3d-ион (в данной работе Cu²⁺) изовалентно замещает

в ЯТ-комплексах CaF₂Cu²⁺ обладают орторомбиче-

Ca²⁺ и, находясь в окружении восьми ионов фтора, фор-

ской симметрией, как и в кристаллах CaF₂ : Cr²⁺

мирует кубический ЯТ-комплекс

и CaF₂ : Ni²⁺.

514

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Адиабатический потенциал ян-теллеровских комплексов. . .

5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ВКЛАДА ЯН-ТЕЛЛЕРОВСКОЙ

ПОДСИСТЕМЫ В МОДУЛИ УПРУГОСТИ

Вклад ЯТ-подсистемы в модули упругости про-

является в виде пика в мнимой части и миниму-

ма в действительной части в области температур

T ≈ T₁. Температура T₁ определяется из условия

ωτ(T₁) = 1. Изотермические модули, как это следует

из табл. 1, обратно пропорциональны температуре.

В связи с этим положение пика релаксационного по-

глощения, строго говоря, не совпадает с T₁, но зна-

чение T₁ можно определить из максимума функции

[

]

f (T ) = Im

c^JT (T)

T/c₀.

С учетом определения T₁, выражение

(11) можно

Рис. 2. (В цвете онлайн) Температурные зависимости мни-

представить в виде

мой (кривая 1) и действительной (кривая 2) составляющих

[

]

c^JT

c^JT (T₁) T₁

модуля упругости cL = (c11 + c12 + 2c44)/2, измеренные

c₀

T 1 + (ωτ)²

на частоте ω/2π = 55.8 МГц в кристалле CaF2 : Cu²⁺.

[

]

Кривые 3 и 4 — те же самые, но измеренные на час-

c^JT (T₁) T₁

ωτ

+ 2i

(30)

тоте

55.5

МГц в номинально чистом кристалле CaF2.

c₀

T 1 + (ωτ)²

ΔcL = cL(T ) - c0, c0 = cL(T0), T0 = 4.2 K. Квадрат-

При этом из уравнения (11) следует, что

ные символы соответствует условию ωτ = 1

[

]

[

]

c^JT (T₁)

= -Im

c^JT (T₁)

(31)

На рис. 2 и 3 видно, что аномалии релаксацион-

ной природы в примесном кристалле на частоте

ω/2π ≈ 56-59 МГц наблюдаются при температу-

ре T

≈ 24-25 K. Можно ожидать, что потенци-

альные барьеры во флюорите CaF₂ : Cu²⁺ будут

ниже, чем в кристалле CaF₂ : Ni²⁺, и необходи-

мо применять второй из описанных методов выде-

ления ЯТ-вклада в модули, аналогичный исполь-

зованному для CaF₂ : Cr²⁺. Он состоит из а) вы-

читания фонового модуля Δc^bij (T ) из измеренного

в ходе эксперимента Δc_ij (T ) (при этом к мнимой ча-

сти должна быть добавлена величина c^JTij , соответ-

ствующая низкотемпературному пределу, посколь-

ку измеряются изменения модуля, а не сам модуль)

и б) моделирования c^JTij (T) с использованием выра-

Рис. 3. (В цвете онлайн) Температурные зависимости мни-

жения (30), в котором подгоночными параметрами

мой (кривая 1) и действительной (кривая 2) составляю-

являются следующие:

щих модуля упругости cE = (c11 - c12)/2, измеренные

[

]

[

]

на частоте ω/2π = 59.6 МГц в кристалле CaF2 : Cu²⁺.

c^JT (T₁)

T₁/c₀, Im

c^JT (T₁)

T₁/c₀,

Кривые 3 и 4 — те же самые, но измеренные на частоте

τ₀, V₀, B_t, B_t/Θ².

ω/2π = 57.1 МГц в номинально чистом кристалле CaF2.

Первые два подгоночных параметра задают мас-

ΔcE = cE (T ) - c0, c0 = cE (T0), T0 = 4.2 K

штаб изменений c^JTij (T ) (его действительной и мни-

мой частей) и должны удовлетворять соотноше-

При этом слагаемое τ-1a = τ-10 exp(-V₀/T ), описы-

нию (31), а остальные параметры определяют функ-

вающее активационный механизм, в основном опре-

циональную зависимость ЯТ-вклада в модули упру-

деляет форму кривых в области наибольших из-

гости от времени релаксации

менений модуля; слагаемое τ-1t

= B_tT, связан-

τ = (τ-1a + τ-1t + τ-1R)-1.

ное с туннельным механизмом, определяет форму

515

М. Н. Сарычев, У. А. Л. Хоссени, И. В. Жевстовских и др.

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

кривых в области низких температур; слагаемое

сталлу) мала, в особенности при низких темпера-

τ-1R = (B_t/Θ²)T³, связанное с двухфононными пере-

турах, а релаксационное поглощение существенно

ходами, — в промежуточной области. Результат об-

больше. Поэтому ошибка в определении фонового

работки экспериментальных данных, приведенных

поглощения незначительно влияет на результат. На-

на рис. 2, с помощью этой процедуры представлен

против, действительные части модулей, относящие-

на рис. 4.

ся к примесному и чистому кристаллам, имеют со-

поставимые по величине температурные изменения,

что, естественно, приводит к большей погрешности.

С помощью подгонки, результаты которой пред-

ставлены на рис. 4, мы определяем все параметры,

характеризующие время релаксации. Из них наибо-

лее существенным является энергия активации V₀,

которая определяет потенциальный барьер между

минимумами АП. Поэтому важно убедиться в досто-

верности проведенного моделирования, учитывая

большое число подгоночных параметров. Определив

низкотемпературное значение ЯТ-вклада в модули

упругости, используя для этого лишь два параметра

[

]

- Im

c^JTL (T₁)

T₁/c₀ и B (а точнее, — их произведе-

ние, т. е. фактически один), можно построить темпе-

ратурную зависимость времени релаксации и из нее

определить значение V₀.

Рис.

(В цвете онлайн) Температурные за-

Отметим, что температурную зависимость вре-

висимости мнимой (кривая

и действитель-

ной (кривая

частей величины c^JTL T /c0

мени релаксации можно получить и из данных

[

{

[

]

}]

[

]

ΔcL(T ) - ΔcbL(T )

+ i lim

c^JTL (T)

T /c0

о скорости ультразвука Re

c^JTL (T)

T/c₀) измеряя

T→0

Δv(T )/v₀ в примесном и номинально чистом кри-

где Δc^bL(T )

— модуль, соответствующий номинально

сталлах. Они имеют сопоставимые температурные

чистому кристаллу. Кривые

и 4 — модельные кри-

[

]

вые, полученные при Re

c^JTL (T1)

T1/c0

= -0.429 K,

изменения, что влияет на точность определения

[

]

[

]

c^JTL (T1)

T1/c0 = 0.562 K, τa = 3 · 10-12 exp(170/T) с,

c^JTL (T)

T/c₀, а значит, и τ(T).

τt = 6.5 · 10-7/T с, τR = 2 · 10-3/T³ с

Оптимальным вариантом является построение

температурной зависимости времени релаксации

Показанные на рис. 4 обе составляющие моду-

как по данным о поглощении, так и по данным

ля (кривые 1 и 2) моделируются одной и той же

о дисперсии. Это совершенно независимые измере-

температурной зависимостью времени релаксации.

ния, более того, обработка результатов проводится

При этом видно, что модельные и эксперименталь-

по разным формулам, что дает хороший инструмент

ные кривые хорошо совпадают при температурах

для верификации полученных результатов.

ниже 30 K, при более высоких температурах кри-

вые расходятся. Причина этого заключается в сле-

дующем. Выражение для времени релаксации, за-

6. ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ

писанное с учетом трех механизмов, соответствует

низким температурам, когда ЯТ-комплексы нахо-

В первых работах, публикующих данные о вре-

дятся на нижних энергетических уровнях в мини-

мени релаксации ЯТ-подсистемы, за температуру,

мумах АП. При повышении температуры начина-

соответствующую условию ωτ

= 1, принималась

ют заселяться более высокоэнергетические уровни

температура T_m, при которой наблюдался пик по-

(которые не учтены в выражениях (16)-(28)), и та-

глощения Δα(T ) [3, 11]. Учет температурной зави-

ких простых выражений как для времени релакса-

симости изотермического модуля привел нас к вы-

ции, так и для изотермических моделей уже не бу-

воду, что более точным определением температу-

[

]

[

]

дет. Величины Re

c^JTL (T₁)

T₁/c₀ и Im

c^JTL (T₁)

T₁/c₀

ры, соответствующей условию ωτ(T₁) = 1, является

несколько различаются по модулю, хотя должны

температура T₁ максимума функции Δα(T)T (или

[

]

быть равны. Это различие можно объяснить тем,

Δc_ij (T )

T ). Оба эти подхода дают близкие ре-

что температурная зависимость фонового поглоще-

зультаты, если пик поглощения наблюдается выше

ния (соответствующая номинально чистому кри-

20 K. Это подтверждается данными, приведенными

516

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Адиабатический потенциал ян-теллеровских комплексов. . .

на рис. 2 и 4, из которых видно, что максимумы

на кривых 1 имеют место при одной и той же тем-

пературе. Однако если пик поглощения наблюдается

при более низких температурах (как это, например,

имело место в CaF₂ : Cr²⁺ [16]), то становится замет-

ным различие значений T_m и T₁. Вывод выражений

[

]

1 Im

c^JT (T

T₁

τ =

[

]

ω Im

c^JT (T)

[

]

]₂

1_√

c^JT (T₁)

T₁

[

]

- 1,

(32)

c^JT (T)

√

[

]

c^JT (T₁)

T₁

Рис. 5. (В цвете онлайн) Зависимости времени релаксации

τ =

[

]

-1

(33)

c^JT (T)

от

обратной

температуры, полученные на о

снове данных

[

]

[

]

ΔcL(T )

/c0 (треугольники) и Im

ΔcL(T )

/c0 (кружки)

на частоте ω/2π = 55.8 МГц в кристалле CaF2 : Cu²⁺.

Штриховая кривая — результат моделирования времени

для температурных зависимостей времени релак-

релаксации с учетом трех механизмов, характеризуемых

сации τ(T) на основе экспериментальных данных

временами релаксации τa, τR и τt, значения которых при-

ведены в подписи к рис. 4. Квадратный символ соответ-

о мнимой и действительной частях модуля упруго-

ствует условию ωτ = 1

сти приведен в работе [16]. Зависимости τ(T) для

кристалла CaF₂ : Cu²⁺ показаны на рис. 5. Видно,

что при температурах ниже 25 K обе зависимости

практически совпадают. Различия взникают в обла-

сти более высоких температур, и причины этих раз-

личий те же, что и в случае различия эксперимен-

тальных зависимостей компонент модулей упруго-

сти и модельных кривых, учитывающих лишь энер-

гию основных состояний в минимумах АП и процес-

сы перехода между ними.

Для того чтобы убедиться, что параметры,

описывающие низкотемпературную релаксацию,

выбраны правильно, на рис.

приведены мо-

[

]

дельная кривая Im

c^JTL (T)_mod/c₀, рассчитанная

по формуле (30) с использованием значения для

[

]

c^JTL (T₁)

T₁/c₀ и выражений для τ_a, τ_t, τ_R, при-

Рис. 6. (В цвете онлайн) Температурные зависимости

веденных в подписи к рис. 4 (кривая 1), кривая 2 —

ЯТ-вклада в мнимую составляющую модуля cL: 1 — мо-

Im[c^JTL (T )]/c₀, т. е. температурная зависимость

дельная кривая, рассчитанная по формуле (30) с исполь-

[

]

зованием значений для Im

c^JTL (T1)

T1/c0, τa, τt, τR, при-

ЯТ-вклада в мнимую составляющую модуля c_L,

веденных в подписи к рис. 4, ω/2π = 55.8 МГц; 2 — экс-

которая представляет собой экспериментальную

[

]

периментальная кривая; 3 — разность между этими зави-

зависимость Im

Δc_L(T )

/c₀, смещенную на вели-

[

]

симостями (штриховой кривая). Квадратный символ соот-

чину Im

c^JTL (T₀)_mod/c₀, и штриховая кривая 3 —

ветствует условию ωτ = 1

разность между этими зависимостями. Видно, что

при температурах ниже 25 K разность между экспе-

7. ЛИНЕЙНЫЕ КОНСТАНТЫ ВИБРОННОЙ

риментальной и модельной кривыми минимальна,

СВЯЗИ И ЭНЕРГИИ ЯН-ТЕЛЛЕРОВСКОЙ

что свидетельствует о справедливости утвержде-

СТАБИЛИЗАЦИИ

ния о трех механизмах релаксции при низких

температурах и правильности выбора параметров,

Для вычисления линейных констант вибронной

характеризующих эти механизмы.

связи с использованием экспериментальных данных

517

М. Н. Сарычев, У. А. Л. Хоссени, И. В. Жевстовских и др.

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Таблица 2. Первичные силовые константы, линейные константы вибронной связи и энергии ЯТ-стабилизации

K_E, дин/см

K_T , дин/см

|F_E |, дин

|F_T |, дин

E^JTE , см-1

E^JTT , см-1

E^JTOR, см-1

6.12 · 10⁴

3.64 · 10⁴

1.08 · 10-4

1.10 · 10-4

479

1.11 · 10³

1.30 · 10³

следует воспользоваться уравнениями (11) и (30).

8. КВАДРАТИЧНАЯ КОНСТАНТА

Далее из записи в общем виде получить с учетом

ВИБРОННОЙ СВЯЗИ И КООРДИНАТЫ

изотермических модулей, приведенных в табл. 1, вы-

ЭКСТРЕМУМОВ

АДИАБАТИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА

ражения для конкретных тензорных компонент: c_E ,

c₄₄ (или c_L). Полученные уравнения записать для

Квадратичная константа вибронной связи W_ET

температуры T

= T₁ и решить их относительно

и координаты ортромбических глобальных миниму-

линейных констант вибронной связи. В результате

мов адиабатического потенциала могут быть рас-

имеем

считаны с помощью следующего уравнения [28]:

√

[

]

(A/B)² - (A/B) A + 1/4

cE0k_BT₁

c^JTE (T₁)

(39)

|F_E | =

144

(34)

E^JTE

1-A²

na²

cE0

√

[

]

где

9 cT0k_BT₁

c^JTT (T₁)

W_ET

|F_T | =

(35)

√

(40)

na²

cT0

K_EK_T

√

[

]

9 cL0k_BT₁

c^JTL (T₁)

F2E

W_ET F_E

(41)

|F_T | =

(36)

na²

cL0

K_EF

K_T и E^JTOR/E^JTE со-

Параметры A/B = F_T

√K_E/F_E√

держат величины, уже определенные нами и при-

где cβ0 = c_β (T₀), β = E, T, L. Полученные значения

веденные в табл. 2. В результате уравнение (39)

констант |F_E | и |F_T | в кристалле CaF₂ : Cu²⁺ при-

представляет собой квадратное уравнение относи-

ведены в табл. 2.

тельно A. В ультразвуковом эксперименте знак ли-

Энергии ЯТ-стабилизации, соответствующие

тетрагональным и тригональным седловым точкам,

Таблица 3. Координаты глобальных минимумов адиабати-

определяются с помощью выражений (6) и (8).

ческого потенциала

При этом предполагается, что первичные силовые

константы могут быть заданы как

Q_ϑ

Q_ε

Q_ξ

Q_η

Q_ζ

QOR1

QOR0ϑ

QOR0ζ

K_T = Mω2τ, K_E = K_T c_E/c₄₄,

(37)

QOR2

QOR0ϑ

-Q

0ζ

√

QOR3

-₂

Q^OR

QOR0ϑ

QOR0ζ

0ϑ

где M

= (m_Cu · 8m_F)/(m_Cu + 8m_F) — приве-

√

денная масса комплекса Cu²⁺F-8, ωτ — частота

QOR4

-¹² Q^OR

QOR0ϑ

-QOR0ζ

0ϑ

√

тригональной фононной моды, величина которой

QOR5

-¹² QOR0ϑ

QOR0ϑ

QOR0ζ

была установлена в оптическом эксперименте [27]

√

(ℏω_τ = 145 см-1). В случае орторомбических гло-

QOR6

-¹² QOR0ϑ

QOR0ϑ

-QOR0ζ

бальных минимумов АП энергия ЯТ-стабилизации

определяется нулевыми колебаниями, энергией ак-

Таблица

Положение тетрагональных седловых

тивации и наибольшей из энергий стабилизации, со-

точек адиабатического потенциала в координатах

ответствующих седловым точкам (согласно данным

(Q_ϑ, Qε, Qξ, Qη, Qζ); Q⁰ = FE/KE

табл. 2, это энергия E^JTT ):

QE1/QE0

QE2/QE0

QE3/QE0

(

√

)

(

√

)

(1, 0, 0, 0, 0)

-₂

,0, 0, 0

-¹² , -

,0, 0, 0

E^JTOR =

ℏω_τ + V₀ + E^JTT

(38)

518

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Адиабатический потенциал ян-теллеровских комплексов. . .

Таблица 5. Положение тригональных седловых точек адиабатического потенциала в координатах (Q_ϑ, Qε, Qξ, Qη, Qζ );

QT0 = 2FT /3KT

QT1 /QT0

QT2 /QT0

QT3 /QT0

QT4 /QT0

(0, 0, 1, 1, 1)

(0, 0, -1, 1, -1)

(0, 0, 1, -1, -1)

(0, 0, -1, -1, 1)

Таблица 6. Квадратичная константа вибронной связи WET и параметры, определяющие координаты экстремумов адиа-

батического потенциала, приведенные в табл. 3-5, для комплекса Cu²⁺F-8 в матрице CaF2

F_E, F_T

W_ET , дин/см

QE0,Å

QT0 ,Å

QOR0ϑ,Å

QOR0ζ,Å

F_E > 0

-1.55 · 10⁴

0.176

0.201

-0.184

0.380

F_T > 0

3.85 · 10⁴

—

0.300

0.618

F_E < 0

-1.55 · 10⁴

-0.176

-0.201

0.184

-0.380

F_T < 0

3.85 · 10⁴

—

-0.300

-0.618

F_E > 0

-3.85 · 10⁴

0.176

-0.201

0.300

-0.618

F_T < 0

1.55 · 10⁴

—

-0.184

-0.380

F_E < 0

-3.85 · 10⁴

-0.176

0.201

-0.300

0.618

F_T > 0

1.55 · 10⁴

—

0.184

0.380

нейных вибронных констант определить невозмож-

Однако среди измеряемых величин имеются

но, поэтому число решений возрастает до восьми:

не зависящие от концентрации примесей. В первую

четыре для положительного отнношения A/B (или

очередь, к ним относится время релаксации,

F_E/F_T ) и четыре для отрицательного. Примени-

из которого находится энергия активации V₀,

мость квадратичного приближения уравнения (4)

представляющая собой разность между энергией

для W (r, Q) ограничивает величину A неравенством

ЯТ-стабилизации, соответствующей наиболее низ-

|A| < 1 (т. е. |W_ET | <

√K_EK_T ).

кой седловой точке АП, и энергией нулевых коле-

Координаты глобальных минимумов АП пред-

баний в глобальном минимуме АП, отсчитанными

ставлены в табл. 3, при этом параметры, определя-

от энергии ЯТ-стабилизации, соответствующей

ющие их, выражаются через A и B:

глобальному минимуму. Второй параметр, не зави-

(

)

сящий от концентрации примеси, — это отношение

F_E

B - 2A

QOR0ϑ = -

(42)

линейных констант вибронной связи |F_T /F_E |. Эти

2K_EB (1 - A²)

константы зависят от концентрации, но одинаково,

F_T (2 - B)

поэтому их отношение не зависит от n.

QOR0ζ =

(43)

2K_T (1 - A²)

Величины V₀ и |F_T /F_E | для разных кристал-

лов, исследованных в ультразвуковых эксперимен-

Координаты седловых точек приведены в табл. 4

тах, приведены в табл. 7. Также там содержатся

и 5, а параметры, определяющие их, глобальные ми-

значения тригональных констант вибронной связи

нимумы, а также значения W_ET , — в табл. 6. К со-

(но здесь надо иметь в виду сказанное выше об оцен-

жалению, в формулы для вычисления перечислен-

ке этой величины снизу). Кристаллы перечислены

ных выше величин входит концентрация ЯТ-ионов,

в порядке возрастания V₀. Видно, что линейные кон-

а методы определения концентрации интересующе-

станты вибронной связи имеют порядок 10-4 дин,

го нас химического элемента позволяют получить

при этом |F_T | ≈ |F_E |.

суммарную величину — концентрацию ионов во всех

возможных зарядовых состояниях и всех возмож-

ных положениях в матрице кристалла (т. е. изме-

9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ренные нами значения констант вибронной связи

и энергий стабилизации являются оценками этих ве-

В данной работе представлены результаты

личин снизу).

ультразвуковых исследований кристалла флюорита

519

М. Н. Сарычев, У. А. Л. Хоссени, И. В. Жевстовских и др.

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Таблица 7. Энергии активации и линейные константы вибронной связи ЯТ-комплексов в кристаллах со структурой флю-

рита, исследованных ультразвуковыми методами

Кристалл

Основное состояние

V₀, см-1

|F_T /F_E |

|F_T |, дин

CaF₂ : Cr²⁺ [17]

⁵T2g(e2gt22g)

91.7

1.07

8.8 · 10-5

CaF₂ : Cu²⁺

²T2g(e4gt52g)

118

1.02

1.1 · 10-4

SrF₂ : Cr²⁺ [15]

⁵T2g(e2gt22g)

264

1.04

5.5 · 10-5

CaF₂ : Ni²⁺ [18]

³T1g(e4gt42g)

394

1.07

1.2 · 10-4

CaF₂

: Cu²⁺. На температурных зависимостях

М. М. Зарипов, В. Ф. Тарасов, В. А. Уланов,

поглощения и скоростей продольной и поперечной

Г. С. Шакуров, М. И. Попов, ФТТ 37, 806 (1995).

ультразвуковых волн были обнаружены аномалии,

V. V. Gudkov and J. D. Gavenda, Magnetoacoustic

типичные для релаксационных вкладов систем

Phenomena in Solids, Springer, New York (2000).

ЯТ-комплексов в модули упругости. При малых

концентрациях ионов меди образвуются ЯТ-центры

B. Luthi, Physical Acoustics in the Solid State,

с глобальными минимумами АП орторомбической

Springer, Berlin (2005).

симметрии, что согласуется с данными ЭПР [24].

В. В. Меньшенин, ЖЭТФ 160, 95 (2021).

ЯТ-комплекс Cu²⁺F-8 описывается квадратич-

ной T ⊗ (e + t₂)-задачей эффекта ЯТ. На основе

10.

C. Zener, Elasticity and Anelesticity of Metals, Univ.

экспериментальных данных были определены

of Chicago Press, Chicago (1948).

значения входящих в вибронный гамильтониан ли-

11.

M. D. Sturge, J. T. Krause, E. M. Gyorgy,

нейных (тетрагональной и тригональной), а также

R. C. LeCraw, and F. R. Merritt, Phys. Rev. 155,

квадратичной констант вибронной связи, энергий

218 (1967).

ЯТ-стабилизации и координат этих экстремумов

в пятимерном пространстве симметризованных

12.

R. Pirc, B. Zeks, and P. Gosar, J. Phys. Chem. Solids

координат.

27, 1219 (1966).

Финансирование. Работа выполнена при фи-

13.

Н. С. Аверкиев, И. Б. Берсукер, В. В. Гудков,

нансовой поддержке Российского научного фонда

И. В. Жевстовских, М. Н. Сарычев, С. Жерли-

(проект № 22-22-00735).

цын, C. Ясин, Ю. В. Коростелин, В. Т. Суриков,

ЖЭТФ 156, 87 (2019).

14.

V. V. Gudkov, I. B. Bersuker, I. V. Zhevstovskikh,

ЛИТЕРАТУРА

Yu. V. Korostelin, and A. I. Landman, J. Phys.: Con-

dens. Matter 23, 115401 (2011).

1. Optical Properties of 3d-Ions in Crystals: Spec-

troscopy and Crystal Field Analysis, ed.

15.

M. N. Sarychev, W. A. L. Hosseny, A. S. Bon-

N. M. Avram and M. G. Brik, Springer, New York

darevskaya, G. S. Shakurov, V. A. Ulanov,

(2013).

V. T. Surikov, I. V. Zhevstovskikh, N. S. Averkiev,

and V. V. Gudkov, AIP Conf. Proc. 2313, 030071

2. H. A. Jahn and E. Teller, Proc. Roy. Soc. London A

(2020).

161, 220 (1937).

16.

М. Н. Сарычев, А. С. Бондаревская, И. В. Жев-

3. M. D. Sturge, in Solid State Physics, Vol. 20, Acad.

стовских, В. А. Уланов, Г. С. Шакуров, А. В. Егра-

Press, New York and London (1967), p. 91.

нов, В. Т. Суриков, Н. С. Аверкиев, В. В. Гудков,

ЖЭТФ 159, 892 (2021).

4. I. B. Bersuker, The Jahn - Teller Effect, Cambridge

Univ. Press, Cambridge (2006).

17.

M. N. Sarychev, W. A. L. Hosseny, I. V. Zhevs-

tovskikh, V. A. Ulanov, G. S. Shakurov, A. V. Egra-

5. P. B. Oliete, V. M. Orera, and P. J. Alonso, Phys.

nov, V. T. Surikov, N. S. Averkiev, and V. V. Gudkov,

Rev. B 53, 3047 (1996).

J. Phys.: Condens. Matter 34, 225401 (2022).

520

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Адиабатический потенциал ян-теллеровских комплексов. . .

18. M. N. Sarychev, W. A. L. Hosseny, A. S. Bon-

23. М. Н. Сарычев, А. С. Бондаревская, И. В. Жев-

darevskaya, I. V. Zhevstovskikh, A. V. Egranov,

стовских, В. А. Уланов, Г. С. Шакуров, А. В. Егра-

O. S. Grunskiy, V. T. Surikov, N. S. Averkiev, and

нов, В. Т. Суриков, Н. С. Аверкиев, В. В. Гудков,

V. V. Gudkov, J. Alloy. Comp. 848, 156167 (2020).

Письма в ЖЭТФ 113, 52 (2021).

19. В. Л. Гинзбург, Акуст. журнал 1, 31 (1955).

24. В. А. Уланов, М. М. Зарипов, Е. П. Жеглов,

Р. М. Еремина, ФТТ 45, 71 (2021).

20. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая

физика. Т. VII. Теория упругости, Физматлит,

25. S. K. Hoffmann and V. A. Ulanov, J. Phys.: Condens.

Москва (2003).

Matter 12, 1855 (2000).

21. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая фи-

26. P. García Fernández, J. A. Aramburu, M. T. Bar-

зика. Т. V. Статистическая физика, Ч. I. Физ-

матлит, Москва (2002).

riuso, and M. Moreno, Phys. Rev. B 69, 174110

(2004).

22. N. S. Averkiev, I. B. Bersuker, V. V. Gudkov,

I. V. Zhevstovskikh, M. N. Sarychev, S. Zherlli-

27. W. Gehlhoff and W. Ulrici, Phys. St. Sol. (b) 102,

tsyn, S. Yasin, G. S. Shakurov, V. A. Ulanov, and

11 (1980).

V. T. Surikov, in Fluorite: Structure, Chemistry and

Applications, Nova Sci. Publ., New York (2019),

28. И. Б. Берсукер, В. З. Полингер, ЖЭТФ 66, 2078

Ch. 2, p. 111.

(1974).

521