ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 4 (10), стр. 584-597

ВЛИЯНИЕ ДАВЛЕНИЯ НА ЭЛЕКТРОННУЮ ЗОННУЮ

СТРУКТУРУ И ЦИРКУЛЯРНЫЙ ФОТОТОК В ТЕЛЛУРЕ

М. М. Глазов, Е. Л. Ивченко, М. О. Нестоклон^*

Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе Российской академии наук

194021, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 06 июня 2022 г.,

после переработки 09 июня 2022 г.

Принята к публикации 09 июня 2022 г.

Развита шестизонная kp-модель для описания зонной структуры теллура. В рамках эффективного га-

мильтониана, а также в методе функционала плотности (DFT) проанализировано влияние гидростатиче-

ской деформации на структуру зон. Определена параметризация kp-гамильтониана. В kp-методе просле-

жена трансформация зон при закрытии щели. Показано, что в DFT-подходе с нелокальным гибридным

обменно-корреляционным функционалом на основе функционала PBE при давлениях p ≲ 4 ГПа щель

в спектре теллура не закрывается. Выполнен расчет спектров междузонного поглощения света и цирку-

лярного фототока при прямых междузонных переходах в деформированном теллуре.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 95-летию Э. И. Рашба

DOI: 10.31857/S0044451022100157

стью реализации так называемых вейлевских точек

EDN: JUDFNW

в зонной структуре теллура [13-15]. Изучаются так-

же возможности создания устройств микроэлектро-

ники на основе Te [16], а также электронная струк-

1. ВВЕДЕНИЕ

тура и оптические свойства монослоев Te [17-19].

Зонная структура теллура в значительной

Теллур является одним из классических по-

лупроводников, насчитывающим давнюю и бога-

мере обусловлена спин-орбитальным взаимо-

тую историю исследований. Кристаллы теллура ки-

действием

[20]. В эффективном гамильтониане,

ральны и существуют в виде двух энантиомеров

описывающем состояния зоны проводимости, име-

с пространственными группами симметрии D⁴³ и D⁶³

ются линейные по волновому вектору электрона

в обозначениях Шенфлиса, или P3₁21 и P3₂21

спин-зависимые слагаемые, наподобие членов, пред-

в международной системе обозначений. Как и дру-

сказанных Э. И. Рашба для вюрцитных кристал-

гие киральные вещества, теллур обладает естествен-

лов [21, 22]. Примечательно, что спин-орбитальное

ной оптической активностью [1,2] и магнитокираль-

взаимодействие полностью снимает спиновое вы-

ной анизотропией [3], на нем впервые были об-

рождение состояний в двух верхних валентных

наружены циркулярный фотогальванический эф-

подзонах, причем энергетическое расстояние между

фект [4, 5] и оптическая активность, индуцирован-

ними сопоставимо с шириной запрещенной зоны.

ная током [6].

Изучение влияния гидростатического давления

В последние годы изучение теллура возобнови-

на электронную зонную структуру кристаллов тел-

лось с новой силой. Это связано с повышенным ин-

лура берет начало в 1930-х годах [23], см. также [24-

тересом к эффектам ориентации спинов электриче-

29]. С ростом давления кристаллическая структура

ским током в теллуре [7-10], фотогальваническим

теллура претерпевает ряд структурных превраще-

эффектам и эффектам увлечения электронов фо-

ний [30]. Первое из них — переход от тригональ-

тонами [11], к спиновой структуре электронных со-

ной фазы Te(I) с точечной группой симметрии D₃

стояний в этом материале [12], а также возможно-

к моноклинной фазе Te(II), причем при комнатной

температуре переход происходит при давлении при-

^* E-mail: glazov@coherent.ioffe.ru

мерно p_c = 4 ГПа, что установлено во многих ра-

584

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Влияние давления на электронную зонную структуру. . .

ботах: p_c=3.6 ГПа [23], 4.3 ГПа [31], 4.04 ГПа [32],

ный потенциал на основе PBE с экранировкой

4 ГПа [33-35]; в статье [36] указано, что в иссле-

Юкавы [46]). Результаты, полученные с исполь-

дованных образцах теллура в интервале давлений

зованием потенциала mBJ, качественно повторя-

4-4.5 ГПа фазы Te(I) и Te(II) сосуществуют. Также

ют результаты работы [13]. Однако этот подход

не оспаривается снижение ширины запрещенной зо-

сильно недооценивает ширину запрещенной зоны

ны теллура E_g с ростом давления при p < p_c [37-39].

объёмного Te без приложенного давления. Поэто-

В отличие от консенсуса относительно критическо-

му мы также выполнили расчёты зонной струк-

го значения p_c и знака производной ∂E_g/∂p < 0, нет

туры с использованием гибридного функционала

однозначности в ответе на вопрос о том, происхо-

YSPBE0. Этот функционал, аналогичный функцио-

дит ли переход полупроводник-металл еще в три-

налу HSE06 [47], считается на данный момент мак-

гональной фазе, т. е. при p < p_c, или в результа-

смально точным для описания зонной структуры

те превращения Te(I) → Te(II). Так, в эксперимен-

полупроводниковых материалов. К сожалению, он

тальных работах [40,41] утверждается, что с ростом

также обладает достаточно большой вычислитель-

давления ширина запрещенной зоны уменьшается,

ной сложностью, и до недавнего времени его реали-

но остается конечной вплоть до критического зна-

зация в основных пакетах для DFT-расчётов твёр-

чения p_c. Напротив, в двух других эксперименталь-

дых тел была ограничена.

ных работах указано, что схлопывание запрещен-

Развитая теория использована для расчета влия-

ной зоны в теллуре с ростом давления происходит

ния давления на спектральную зависимость цирку-

при p = 2 ГПа [42] или p = 3.5 ГПа [43]. Согласно

лярного фотогальванического эффекта в кристал-

недавно опубликованной работе [38] ширина запре-

лах теллура в рамках шестизонного kp подхода.

щенной зоны уменьшается от E_g = 0.3 эВ при p = 0

План статьи таков. В разд. 2 излагается ше-

до 0.14 эВ при p = 2.205 ГПа, а асимптотическая

стизонная kp-модель для описания энергетическо-

прямая E_g = a + bp при p = 4 ГПа принимает значе-

го спектра теллура вблизи H-точек зоны Бриллю-

ние меньше 0.03 эВ. Расчеты ab initio показывают,

эна. Раздел 3 содержит анализ электронной дис-

что запрещенная зона схлопывается и в зоне Брил-

персии в находящемся под давлением кристалле

люэна формируются вейлевские точки при p = 1.6

теллура с малым значением E_g, когда примени-

ГПа [13] или p ≈ 2.18 ГПа [14]. Таким образом, во-

ма упрощенная трехзонная модель, в которой учи-

прос о переходе теллура в металлическое состояние

тываются две спиновые ветви зоны проводимости

при p < p_c сохраняет актуальность и предполага-

и ближайшая к ней ветвь валентной зоны. Далее

ет дальнейшее экспериментальное и теоретическое

в разд. 4 в рамках kp-подхода обсуждается закры-

исследование.

тие щели и трансформация спектра при наличии

В настоящей работе зонная структура теллу-

гидростатического давления. Затем в разд. 5 приво-

ра исследуется в рамках шестизонной kp-модели,

дятся расчеты спектров поглощения и циркулярно-

включающей две спиновые подзоны проводимости

го фотогальванического эффекта. Раздел 6 посвя-

и четыре валентных подзоны. Ранее kp-анализ для

щен результатам DFT-расчетов и параметризаци-

недеформированного теллура проводился для четы-

ям kp-гамильтониана. Основные результаты работы

рех подзон валентной зоны [20, 44]. Кроме того, мы

приведены в разд. 7.

провели расчет зонной структуры теллура в мето-

де функционала плотности (DFT) и сравнили его

с результатами, полученными в kp-модели. На ос-

2. ШЕСТИЗОННАЯ kp-МОДЕЛЬ

нове сопоставления двух подходов определена пара-

метризация kp-гамильтониана, а также исследована

Напомним, что в недеформированном теллуре

зависимость параметров эффективного гамильтони-

прямая запрещенная зона реализуется в точке H зо-

ана от гидростатического давления. В kp-модели

ны Бриллюэна, см. рис. 1(a). Фактор-группа волно-

главным параметром, на который влияет давление,

вого вектора в этой точке D₃ совпадает с точечной

является ширина запрещенной зоны E_g.

группой симметрии кристалла.

Мы также проанализировали роль обменно-кор-

Для расчета эволюции зонной структуры

реляционного функционала в DFT-подходе. Для

теллура с ростом давления p мы воспользуемся

этого мы сравнили расчёты зонной структуры, вы-

kp-методом, аналогичным модели Кейна для по-

полненные с использованием модифицированного

лупроводников A₃B₅ и A₂B₆, см., например, [48].

функционала Беке -Джонсона (mBJ) [45] и нело-

В эффективном матричном гамильтониане H раз-

кального гибридного потенциала YSPBE0 (гибрид-

мерности 6 × 6 учтено kp смешивание состояний

585

М. М. Глазов, Е. Л. Ивченко, М. О. Нестоклон

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Рис. 1. (a) Зона Бриллюэна теллура в тригональной фазе. (b) Схематическая дисперсия зон при нулевом давлении в двух

направлениях H → A и H → K. Указаны неприводимые представления в точке H зоны Бриллюэна, по которым преобра-

зуются соответствующие базисные функции, см. (1). На вставке к панели (b) показана дисперсия электронов в валентной

зоне в увеличенном масштабе для k ∥ z. Параметры kp-модели приведены в табл. 1 (p = 0)

зоны проводимости Hc6 и валентных зон Hv4, Hv5

ные функции

и Hv′6 . Напомним, что спинорное представление H6

(



)



группы D₃ — двумерное, а представления H₄ и H₅ —

|Hv4〉 =

√

v,

v, -

одномерные. В пренебрежении спин-орбитальным

(



)

(2)



взаимодействием с далекими зонами базисные

|Hv5〉 =

√

v,

v, -

спинорные функции в вершине зоны Бриллюэна H

в выделенных зонах представляют собой произведе-

но мы при записи эффективного kp-гамильтониана

ния спиновых столбцов α ≡↑, β ≡↓ на орбитальные

будем использовать именно базисные функции

функции S, X и Y , рассчитанные в пренебрежении

|v, 3/2〉, |v, -3/2〉. Отметим, что симметрия по отно-

спин-орбитальным взаимодействием, а именно:

шению к инверсии времени связывает две долины H

и H^′, рис. 1(a). При этом функции S, X, Y в до-



лине H комплексно сопряжены с аналогичными

представление Hc6 :

c,

= ζαS,

функциями в долине H^′.



c, -

= ζβS,

Эффективный гамильтониан 6 × 6 представим



в виде суммы основного вклада H и малой поправки



X + iY

представления Hv4 + Hv5 :

v,

=α

√

δH. Оператор H — это блочная матрица



(1)

⎡

⎤



X - iY

H_cc H_cv H_cv′

v, -

=β

√

⎢

⎥

⎣H_vc H_vv H

vv^′

⎦

(3)



X + iY

v^′,

=β

√

H_v′_c H_v′_v H_v′_v′

представление Hv′6 :



X - iY

с блоками H_mn (m, n = c, v, v^′) размерности 2 × 2:

v^′, -

=α

√

H_cc = (E_g + εck)I,

где ζ — фазовый множитель, выбираемый так, что-

εck = A_ck2z + B^′ck2⊥,

(4)

бы междузонный матричный элемент P (см. ниже)

k2⊥ = k2x + k2y,

был вещественным. Несмотря на то, что функции S,

[

]

X и Y преобразуются по проективным представле-

βk_z Δ₂

ниям пространственных групп D⁴³ или D⁶³, при рас-

H_vv = -(Δ₂ + εvk)I +

Δ₂

-βk_z

(5)

чете матричных элементов можно считать, что они

эффективно характеризуются симметрией инвари-

εvk = Ak2z + B^′k2⊥,

анта (S) или пары координат x, y (X и Y ) (ось z

[

]

направлена вдоль оси третьего порядка). Отметим,

βk_z

H_v′_v′ = -(Δ₁ + Δ₂ + εvk)I +

(6)

что по представлениям H₄, H₅ преобразуются базис-

-βk_z

586

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Влияние давления на электронную зонную структуру. . .

[

]

Pk₊

ричные элементы

H_cv =



Pk_-

ℏ²ζ^∗



∂



[

]

P =-√

S

X ,

2m₀

∂x

Pk_-

H_cv′ =

(7)



ℏ²



∂



Pk₊

Q = -i

X

X ,

(8)

[

]

m₀

∂x

Qk₊

{



}

ℏ²



∂



H_vv′ =

β=

Re X



Y

Qk_-

m₀

∂z

и m₀ — масса свободного электрона. Мы придержи-

ваемся обозначения констант Δ₁, Δ₂, A_c, A, β со-

Здесь I — единичная матрица 2×2, Δ₁ и Δ₂ — кон-

гласно публикациям [20, 49]. В отличие от констан-

станты спин-орбитального расщепления валентной

ты B (или B_c) в [49] константа B^′ (B^′c) не содержит

зоны, а квадратичные по k диагональные слагаемые

kp-вклада от нижней зоны проводимости Hc6 (от ва-

возникают во втором порядке теории возмущений

с учетом далеких зон, введены вещественные мат-

лентных подзон Hv4, Hv5 и Hv′6 ).

Поправки к гамильтониану (1) можно назвать

релятивистскими, они включают линейные по k чле-

ны в зонах Hc6 и Hv′6

Таблица 1. Параметры kp-гамильтониана, полученные пу-

[

]

тем подгонки расчетов в методе DFT

β^c∥k_z β^c⊥k_-

δH_cc =

β^c⊥k₊

-β^c∥k_z

p, ГПа

[

]

(9)

E_g, эВ

0.346

0.217

0.146

0.097

βv′∥^kz

βv′⊥k-

δH_v′_v′ =

Δ₂, эВ

0.057

0.064

0.069

0.071

-βv′kz

βv′⊥k+

∥

Δ₁, эВ

0.278

0.267

0.253

и междузонные вклады

[

]

Δ_cv′ , эВ

-0.040

—

Δ_cv + Q_∥k_z

A_c, эВ ·Å2

62.000

62.580

78.850

94.000

δH_cv′ =

Δ_cv - Q_∥k_z

A^′v′ , эВ ·Å2

-40.000

-48.000

-69.000

-74.660

]

(10)

^[˜_Qk

A, эВ ·Å2

35.690

53.500

72.600

80.700

δH_vv′ =

Qk₊

B^′c, эВ ·Å2

2.000

—

B^′, эВ ·Å2

12.480

—

смешивающие зоны Hc6 и Hv′6 и

,Hv5 и Hv′6 , соот-

B^′v′ , эВ ·Å2

-6.774

-7.000

-7.580

-12.000

ветственно. Гамильтониан H_cv′ содержит как не за-

висящий от k вклад спин-орбитального смешива-

P, эВ · ^Å

3.309

—

ния (Δ_cv), так и линейные по k_z члены (Q_∥k_z ).

Q, эВ ·^Å

0.010

—

√

Параметр Δ_cv/

2 совпадает с матричным элемен-

β^c∥, эВ ·^Å

0.371

0.260

0.230

0.150

том оператора спин-орбитального взаимодействия

β, эВ ·^Å

2.000

2.320

2.350

〈H₁|T_x|H₃₁〉 из статьи [44], а параметр β^c∥ — c пара-

1.248

—

метром β_c в [49]. В отличие от коэффициента β в (7)

βv′∥,эВ·Å

′

коэффициент β^v∥

имеет релятивистскую малость.

β^c⊥, эВ ·^Å

-0.180

-0.250

-0.400

-0.500

Вследствие симметрии к инверсии времени пара-

-0.544

—

βv′⊥, эВ ·^Å

метр P и параметры, описывающие линейные по k

Примечание. Значения, которые не менялись при

спин-зависимые вклады в дисперсию носителей за-

подгонке, приведены один раз для p = 0. Пара-

ряда (β, β^c∥ и т. д.), имеют один и тот же знак в до-

метр линейного по k_z смешивания зон c и v^′ (га-

линах H и H^′, а параметры Δ₂ и Q различаются

мильтониан (10)) Q_∥

= 0; параметр, описываю-

знаками.

щий релятивистское смешивание зон v и v^′ в (10),

Q= 0. При подгонке учитывалось различие диспер-

3. ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ: ЗОНА

сии зон v и v^′, параметры затравочной дисперсии

ПРОВОДИМОСТИ Hc6 БЛИЗКА

зоны v^′ (представление Hv′6) εv^′k = A^v′ k^z + B^v′ k^⊥

К ВАЛЕНТНОЙ ПОДЗОНЕ Hv4

также приведены в таблице. Величина A^′v′ близка

к параметру A, описывающему зону v, а величина

Пусть энергетический зазор между зоной прово-

параметра B^′v′ слабо влияет на спектр зоны v^′.

димости и верхней валентной подзоной мал по срав-

587

М. М. Глазов, Е. Л. Ивченко, М. О. Нестоклон

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

нению с расстояниями до нижних валентных под-

но исключить из рассмотрения, и в базисе |c, 1/2〉,

зон. Такая модель адекватна для описания кристал-

|c, -1/2〉, |Hv4〉 получим гамильтониан 3 × 3

ла с малой E_g. Тогда валентные зоны Hv5 и Hv6 мож-

⎡

⎤

E_g + εck + β^c∥k_z

β^c⊥k_-

P₊k₊

⎢

⎥

⎣ β^c⊥k₊

E_g + εck - β^c∥k_z

P_-k_-

⎦,

(11)

√

P₊k_-

P_-k₊

-Δ₂ - εvk +

Δ²²

+ (βk_z )²

где εck = Δ2cv′ /(Eg + Δ + Δ2) + Ack^z +

B^′ck2⊥ и учтен энергетический сдвиг дна зоны проводимости за счет

спин-орбитального смешивания с далекой валентной зоной, εvk = Ak2z +

B^′k2⊥;

B^′c — коэффициент, подправ-

B^′ — коэффициент, подправ-

ленный с учетом kp-смешивания с нижними валентными зонами Hv5 и Hv′6 ;

ленный с учетом kp-смешивания с нижней валентной зоной Hv′6 :

(

)

B^′c = B^′c +

E_g + 2Δ₂

E_g + Δ₁ + Δ₂

B^′ = B^′ -

Δ₁ + Δ₂

и перенормированные матричные элементы оператора импульса

P₊ = c₊P, P_- = c_-P

с учетом линейного по k_z смешивания состояний в валентной зоне, характеризуемого коэффициентами

√

(

)

βk_z

c_± =

1±

√

Δ²²

+ (βk_z )²

Общие выражения для энергетического спектра, описываемого гамильтонианом (11), весьма громоздки,

поэтому мы остановимся на важных частных случаях. При k_z = 0, k_⊥ = 0 имеем

⎡

√

⎤

cv′

E_g +

B^′ck2⊥

β^c⊥k_-

Pk₊/

Eg +Δ+Δ2

⎢

√

⎥

⎢

⎥

⎣

β^c⊥k₊

B^′ck2⊥ Pk_-/

2⎦

Δ+√

√

Pk_-/

Pk₊/

B^′k²

⊥

Тогда три собственных значения энергии удовлетво-

Аналогичной дисперсией обладает энергетический

ряют уравнению

спектр при ϕ = 2π/3, 4π/3. При других направле-

[

]

ниях вектора k_⊥ простого разделения кубического

(εck⊥ - E)

(εck⊥ - E)(εvk⊥ - E) - P²

уравнения (12) на линейное и квадратное не про-

− βc2⊥ k2⊥(εvk

⊥

- E) + P²β2⊥ cos3ϕ = 0,

(12)

исходит, но угловая зависимость собственных энер-

(j = 1, 2, 3) сохраняет тригональную сим-

гий E_j

где εck⊥

= E_g + Δ2cv′/(Eg + Δ + Δ2) +

B^′ck2⊥,

метрию.

εvk⊥ =

B^′k2⊥ и ϕ — угол между двумерным век-

При k_z = 0, k_⊥ = 0 уравнение (12) распадается

тором k_⊥ и осью x. Это уравнение третьей степени

на три линейных:

при ϕ = 0 распадается на линейное и квадратное

уравнения, решения которых имеют вид

Δ2cv′

E1,2 = E_g +

+A_ck2z ±β^c∥k_z,

E_g + Δ + Δ₂

E₁ = εck

-β^c⊥k_x,

(14)

⊥

√

εck⊥ + β^c⊥k_x + εvk

⊥

E₃ = -Δ₂ - Ak2z + Δ²² + (βk_z)².

E2,3 =

(13)

]₂

На рис. 2 представлено сравнение дисперсии но-

√[εck

+β^c

k_x - εvk⊥

⊥

+P²k2x.

сителей заряда в рамках шестизонной модели (3)

588

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Влияние давления на электронную зонную структуру. . .

и упрощенного гамильтониана (11). Расчеты произ-

за счет спин-орбитального смешивания с валентной

водились для разных величин «затравочной» ши-

зоной, и щель закрывается примерно при

рины запрещенной зоны, т. е. параметра E_g в эф-

фективном гамильтониане. Видно хорошее согласие

E_g < E^Δ0 = -Δ2cv′/(Δ + Δ₂).

(17)

между расчетами в полной и упрощенной моделях.

≈ -4.5 мэВ.

В используемой параметризации E

Для ряда параметризаций kp-гамильтониана,

4. ЗАКРЫТИЕ ЩЕЛИ В ЭЛЕКТРОННОМ

однако, более важную роль могут играть квадратич-

СПЕКТРЕ ТЕЛЛУРА ПОД ДАВЛЕНИЕМ

ные по k_z члены в валентной зоне. Проанализируем

. Для этого введем

ответ в нулевом порядке по β_c

Перейдем теперь к анализу эффектов, связан-

характерную энергию

ных с закрытием щели в теллуре под давлени-

ем. Для модельных kp-расчетов будем считать, что

β²

(18)

гидростатическое давление приводит к уменьшению

2(A_c + A)

величины E_g в эффективных гамильтонианах (3)

Касание зон осуществится при

и (11), а другие исходные параметры модели (та-

кие как матричные элементы импульса и величи-

√

ны спин-орбитальных расщеплений зон) не меняют-

E² - Δ²²

k₀ =

(19)

ся. Такое приближение позволяет по меньшей ме-

β²

ре качественно понять суть эффекта, а результаты

причем вещественное решение возможно лишь при

DFT-расчетов, представленных в разд. 6, в целом

выполнении неравенства

подтверждают данные выводы, хотя и ставят под

сомнение возможность закрытия щели до перехода

β²

>Δ₂.

(20)

Te(I) → Te(II).

2(A_c + A)

Результаты численных расчетов ширины запре-

щенной зоны в зависимости от затравочной вели-

При этом запрещенная зона схлопнется при

чины E_g представлены на рис. 3(a). Видно, что

(E - Δ₂)²

при выбранной параметризации kp-гамильтониана

E′0 =

(21)

схопывание запрещенной зоны происходит при за-

травочной E_g

≈ -5 мэВ. На панелях (b) и (с)

Отметим, что при используемой нами параметриза-

рис. 3 показаны дисперсионные зависимости элек-

ции условие (20) не выполнено.

трона в случаях, когда запрещенная зона схлопну-

лась (b) и нет (c).

Аналитически эффект можно описать в рамках

5. ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ

упрощенной трехзонной модели для случая k_⊥ = 0.

И ЦИРКУЛЯРНЫЙ

ФОТОГАЛЬВАНИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ

Рассмотрим для иллюстрации простейшую ситуа-

цию, когда |βk_z | ≪ Δ₂, и пренебрежем для начала

Перейдем теперь к исследованию междузон-

спин-орбитальным смешиванием зон. Тогда ветви 2

ных оптических переходов и циркулярного фото-

и 3 дисперсии пересекутся при условии

гальванического эффекта в рамках шестизонной

(β^c∥)2

kp-модели. Мы ограничимся расчетами в случае, ко-

E_g < E₀ =

(15)

гда в спектре имеется запрещенная зона, и будем

4(A_c + A - β²/2Δ²²)

рассматривать лишь прямые междузонные перехо-

при

(

√

)

ды. Коэффициент поглощения кристалла

2E₀

E2g

|kz;1,2| =

1±

(16)

β^c∥

E20

α(ω) =

∫

∑

Здесь предполагается, что A_c, A, β^c∥ > 0. Критиче-

e²

d³k|e · v_ij|²δ[E_i(k) - E_j(k) - ℏω]. (22)

ское значение E_g = E₀, найденное по формуле (15),

πcnω

составляет около 1.5 мэВ, оно отмечено стрелкой

на рис. 3(a). В численном расчете с используемой

Здесь ω — частота падающего излучения; напомним,

нами параметризацией kp-модели, полученной в ме-

что m₀ — масса свободного электрона, n — показа-

тоде DFT (см. разд. 6), однако, оказывается важ-

тель преломления кристалла, e — комплексный век-

нее сдвиг вверх по энергии дна зоны проводимости

тор поляризации света, v_ij — матричные элементы

589

ЖЭТФ, вып. 4 (10)

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Влияние давления на электронную зонную структуру. . .

оператора скорости v = ℏ-1∂H/∂k между состояни-

электронов

ve и дырок

vh различная. Для ды-

ями валентной зоны j и зоны проводимости i, E_i(k),

рок при малых отстройках от края поглощения,

E_j(k) — соответствующие дисперсии. В (22) предпо-

ℏω - E_g

≪ Δ₂, скорость линейно растет с от-

лагается, что кристалл не легирован.

стройкой, а для электронов наблюдается заметная

Циркулярный фотогальванический эффект со-

немонотонность и смена знака. Это обусловлено

стоит в генерации постоянного электрического то-

наличием значительных линейных по k_z членов

ка, направление которого меняется на противопо-

в эффективном гамильтониане зоны проводимости

ложное при смене знака циркулярной поляризации,

в использумой нами параметризации, при этом

и описывается псевдотензором второго ранга γ_αβ,

в валентной зоне двугорбая структура выражена

где α, β — декартовы компоненты,

не очень явно (см. вставку к рис. 1). Это приводит,

в частности, к v_e, v_h = 0 на краю поглощения; этот

j_αβ = γ_αβκ_βI,

(23)

эффект наиболее ярко выражен для электронов

и проявляется еще ярче при уменьшении ширины

введена интенсивность света в кристалле I и вектор

запрещенной зоны.

κ = i[e × e^∗] ≡ P_circn, P_circ — степень циркуляр-

Отметим, что в кристаллах с линейной диспер-

ной поляризации излучения, n — единичный вектор

сией электронов и дырок, в частности, в полуметал-

в направлении распространения света. При распро-

лах Вейля, ожидается универсальная зависимость

странении света вдоль главной оси возникает про-

циркулярного фототока от частоты [53]. С умень-

дольный ток, причем соответствующую компоненту

шением E_g спектр электронов и дырок вблизи точ-

тензора γ_zz можно представить в виде [49,50]

ки H в теллуре становится близким к линейно-

му, см. рис. 2, однако эффективный гамильтони-

α(ω)

γ_zz(ω) = e

(v_eτ_e - v_hτ_h),

(24)

ан не может быть сведен к вейлевскому гамиль-

ℏω

тониану без наклона (tilt), поэтому в нашем слу-

где τ_e и τ_h — времена релаксации по импульсу соот-

чае и в согласии с работами [54, 55] универсальная

ветственно фотоэлектронов и фотодырок, а

спектрально-независимая величина фототока не на-

блюдается.

ve ∝

Циркулярный фотогальванический эффект

∫

∑

[

]

в недеформированном теллуре был расчитан

∝

d³kv_ii,z|e₊v_ij|²δ

E_i(k) - E_j(k) - ℏω

(25a)

в рамках трехзонного kp-гамильтониана в рабо-

тах [49, 56]. Для того чтобы продемонстрировать

связь с ранними работами [49,50,56], где в исполь-

vh ∝

∫

зуемой параметризации гамильтониана линейные

∑

[

]

по k члены в зоне проводимости были пренебрежи-

∝

d³kv_jj,z|e₊v_ij|²δ

E_i(k) - E_j(k) - ℏω

(25b)

мо малы, мы на рис. 5 представляем результаты

— их средние скорости, e₊ — орт правоциркулярной

расчета циркулярного фототока в такой парамет-

поляризации. В приведенных здесь и далее расчетах

ризации, где β_c = 0, а β взята в 1.25 раза больше,

мы используем для нахождения матричных элемен-

чем значение, приведенное в табл. 1. Остальные

тов оператора скорости и энергетического спектра

параметры взяты, как и в расчете на рис. 4, из таб. 1

шестизонный kp-гамильтониан, в отличие от подхо-

при давлении p = 0. Поведение кривых для v_e, v_h

да [51, 52], где для расчета оптического отклика Te

при 0 < ℏω - E_g ≲ Δ₂ согласуется с результатами

использовались волновые функции и энергии, най-

расчета в [56].

денные в методе DFT.

На рис. 4 представлены спектры поглощения

кристалла при различных ширинах запрещенной

6. ЗОННАЯ СТРУКТУРА ТЕЛЛУРА

зоны, панели (a-c), и зависимости скоростей v_e и v_h

В МЕТОДЕ ФУНКЦИОНАЛА ПЛОТНОСТИ

в (25a), (25b) от ℏω, панели (d-f). При E_g = 0.346 эВ

спектр поглощения имеет характерный для объ-

Для расчетов с помощью метода функциона-

√

емного полупроводника вид ∝

ℏω - E_g, вторая

ла плотности использовался пакет WIEN2k [57].

корневая особенность в спектре возникает при

Для исследования релаксации решетки и упругих

ℏω

= E_g + 2Δ₂, когда начинаются оптические

свойств — обменно-корреляционный функционал

переходы из нижней подзоны Hv5 (отмечено стрел-

SCAN [58]. Для расчета электронного спектра мы

кой). Спектральная зависимость скоростей для

брали два обменно-корреляционных функционала:

591

10*

М. М. Глазов, Е. Л. Ивченко, М. О. Нестоклон

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Рис. 4. (a-c) Коэффициент поглощения, обусловленный прямыми междузонными переходами и рассчитанный по зо-

лотому правилу Ферми (22) для разных ширин запрещенной зоны. Рассматривается циркулярно поляризованный свет,

падающий вдоль оси третьего порядка. Параметры расчета те же, что на рис. 2. (d-f) Спектр возбуждения циркулярного

фототока: зависимости скоростей ve (синие кривые) и vh (красные кривые) от энергии падающего фотона рассчитаны

по формулам (25). В численных расчетах δ-функция, описывающая закон сохранения энергии, заменена на лоренциан

с шириной Γ = Eg/1000, кроме панелей (c) и (f), где Γ = Eg/150. На панелях (c, f) затравочная ширина запрещенной

зоны 1 мэВ. Шероховатости кривых связаны с погрешностью численного расчета

модифицированный функционал Беке - Джонсона

6.1. Постоянные решетки и уравнение

(modified Becke - Johnson meta-GGA) [45], далее мы

состояния

его называем mBJ, а также гибридный функционал

Обратимся сначала к основным свойствам кри-

на основе функционала Пердью-Берка-Эрнцергофа

сталлической решетки теллура. Расчеты с парамет-

(PBE) c экранировкой Юкавы (Yukawa screened

ром R_MT

= 2.4 (значение по умолчению) пока-

PBE0 hybrid functional) [46], далее — YSPBE0.

зывают, что значения постоянных решетки полно-

592

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Влияние давления на электронную зонную структуру. . .

и формулой Розa -Вине [61]

V₀

E(V ) = E₀ + 2

14703.6

(B^′ - 1)²

[

(

)

× 2-

5 + 3B^′(η₂ - 1) - 3η₂

(

)]

× exp

(B^′ - 1)(η₂ - 1)

(27a)

)1/3

⁽V

η₂ =

[

]

1-η₂

p(V ) = 3B

exp

(B^′ - 1)(1 - η₂) .

(27b)

η²

Рис. 5. Спектр возбуждения циркулярного фототока: зави-

В этих формулах давление задается в ГПа,

симости скоростей ve (синие кривые) и vh (красные кри-

а энергии — в Ry. Из подгонки E(V ), приведен-

вые) от энергии падающего фотона при Eg = 0.346 эВ.

ной на рис.

6(a), были определены параметры

На вставке показан спектр поглощения. В численных рас-

V₀ = 688.44 ат.ед., B = 17.26 ГПа, B^′ = 8.6 (для

четах δ-функция, описывающая закон сохранения энергии,

уравнения Берча - Мурнагана) и V₀ = 688.31 ат. ед.,

заменена на лоренциан с шириной Γ = Eg/1000. Ше-

17.15

ГПа, B^′

8.79

(для уравнения

роховатости кривых связаны с погрешностью численного

Розa - Вине).

На вставке приведено отношение

расчета. Параметры расчета такие же, как и на рис. 4,

= c/a в зависимости от объема элементарной

но β^c = 0, β = 2.5 эВ ·^Å

ячейки и результат подгонки линейной зависимо-

(V ) = 1.401-0.00104(V -620). Это позволяет

стью r₀

стью сходятся при следующих параметрах базиса:

расчитывать p(V ), т. е. связать гидростатическое

R_MT K_max = 9.5, L_vns = 6, и улучшенная с фак-

давление с параметрами элементарной ячейки.

тором 4 сетка для быстрого преобразования Фу-

Уравнения состояния позволяют рассчитать дав-

рье. В k-пространстве сетка была 12 × 12 × 8. При

ление в зависимости от объема элементарной ячей-

этих параметрах для Te без внешнего давления

ки; обращая соответствующую зависимость, мы на-

постоянные решетки составляют a = 8.42 ат.ед.

шли V и c/a для теллура в зависимости от давления,

и c = 11.20 ат.ед., что отличается от эксперимен-

рис. 6(b). Разные уравнения состояния дают сов-

тальных данных менее, чем на 0.1 %.

падающие (в пределах численной погрешности) за-

Для расчета зонной структуры при заданном

висимости энергии от объема элементарной ячейки

давлении необходимо уравнение состояния теллура,

и давления от объема элементарной ячейки. Полу-

т. е. зависимость энергии E(V, r) кристалла от объе-

ченные результаты неплохо соответствуют данным

ма элементарной ячейки V и отношения парамет-

эксперимента [62].

ров решетки r = c/a, а также зависимость дав-

Мы также выполнили соответствующие расчеты

ления от этих параметров. При заданном объе-

с использованием функционала PBE, они приводят

ме элементарной ячейки V_i определялось равновес-

к несколько другим параметрам: V₀ = 709.32 ат. ед.,

ное отношение r₀(V_i), соответствующее минимуму

B = 17.78 ГПа, B^′

= 9.80 для уравнения со-

E₀(V_i) = E(V_i, r₀(V_i)), рассчитанному в DFT (от-

стояния Берча -Мурнагана и V0 = 709.38 ат.ед.,

метим, что соответствующая зависимость энергии

B = 17.58 ГПа, B^′ = 9.74 для уравнения состояния

от r при фиксированном объеме хорошо описыва-

Розa - Вине. Таким образом, PBE существенно пре-

ется параболой). Получившаяся зависимость E₀(V_i)

увеличивает значение постоянной решётки по срав-

подгонялась формулой Берча - Мурнагана [59, 60]

нению с экспериментальными значениями.

Интересно отметить, что при изменении давле-

E(V ) = E₀ +

ния постоянная решетки c (вдоль оси третьего по-

16 14703.6

[

]

рядка) практически не меняется, а постоянная ре-

×V₀

(η² - 1)³B^′ + (η² - 1)² · (6 - 4η²)

(26a)

шетки a меняется примерно на 4 % при давлении

)1/3

⁽V₀

η=

2 ГПа. При этом, поскольку атомы Te в решет-

ки формируют своего рода спирали (правовинто-

(

)

вые для пространственной группы D⁴³), то с уве-

p(V ) =

B(η⁷ - η⁵) 1 +

(B^′ - 4)(η² - 1)

(26b)

личением давления уменьшается как расстояние

593

М. М. Глазов, Е. Л. Ивченко, М. О. Нестоклон

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Рис. 6. (a) Рассчитанная энергия основного состояния E0(Vi) - E0(V0) в зависимости от объема элементарной ячей-

ки (точки) и подгонка по формулам (26) (кривая). На вставке приведено отношение c0(V )/a0(V ) (точки), линейная

аппроксимация (сплошная линия) и экспериментальные данные из работы [62] (зеленые крестики). (b) Связь между дав-

лением и объемом элементарной ячейки определяется формулой (26b) (кривая). Кресты — экспериментальные данные

из работы [62]

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

H→Γ

A→H→K

H→L

H→Γ

A→H→K

H→L

Рис. 7. Зонная структура Te при давлениях p = 0 ГПа (верхняя левая панель), p = 1 ГПа (верхняя правая панель),

p = 2 ГПа (нижняя левая панель), p = 3 ГПа (нижняя правая панель). Красные штриховые кривые — расчет по мето-

ду DFT, черные сплошные кривые — kp-модель с параметрами из табл. 1. На рисунке показана окрестность точки H

в различных направлениях. Диапазон изменения длины волнового вектора, отсчитанного от точки H, составляет 0.05 Å-1

между спиралями (описываемое постоянной решет-

нала YSPBE0 [46]. Использовались следующие па-

ки a), так и расстояние между атомами в спирали.

раметры метода DFT: R_MT = 2.4, R_MT K_max = 8.0,

В табл. 2 приведены значения параметров решетки

L_vns = 10, сетка в обратном пространстве 12×12×8.

для некоторых давлений.

Для расчета спин-орбитальных эффектов ис-

пользовались параметры по умолчанию, кроме

Emax = 7.0 [57]. Для данных параметров расчет

6.2. Электронный спектр и параметры

зонной структуры хорошо сходится. На рис.

kp-модели

представлены результаты DFT-расчета зонной

Расчет зонной структуры Te проводился с ис-

структуры при давлениях p

= 0, 1 ГПа, 2 ГПа

пользованием нелокального гибридного функцио- и 3 ГПа (красные штриховые линии) и их подгонка

594

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Влияние давления на электронную зонную структуру. . .

зоны. В рамках предложенной kp-модели исследо-

Таблица 2. Параметры решетки Te a, c в зависимости

вано изменение спектра кристалла при наличии гид-

от гидростатического давления

ростатического давления, рассчитаны спектры по-

p, ГПа

a, a.u

c, a.u

глощения и циркулярный фотогальванический эф-

0.0

4.4579

5.9275

фект в деформированном теллуре.

1.0

4.3521

5.9311

Также в рамках метода функционала плотности

опредены параметры кристаллической решетки тел-

1.5

4.3122

5.9306

лура, уравнение состояния и энергетический спектр.

2.0

4.2776

5.9294

Выполнена параметризация kp-гамильтониана. По-

2.5

4.2469

5.9277

казано, что в DFT-подходе с гибридным обмен-

3.0

4.2194

5.9256

но-корреляционным функционалом YSPBE0 при

давлениях p ≲ 4 ГПа щель в спектре теллура не за-

крывается.

в kp-методе (черные сплошные линии). Параметры

kp-модели, полученные путем подгонки, приведены

Фининсирование. Работа поддержана Россий-

в табл. 1.

ским научным фондом (грант № 19-12-00051).

Отметим, что как и ожидается из общих сооб-

ражений, наиболее сильная зависимость от гидро-

статического давления наблюдается у ширины за-

ЛИТЕРАТУРА

прещенной зоны E_g. С разумной точностью зави-

симость E_g от постоянной решетки a может быть

K. C. Nomura, Phys. Rev. Lett. 5, 500 (1960).

описана линейной функцией

Л. С. Дубинская, И. И. Фарбштейн, ФТТ 20, 753

E_g ≈ 0.346 + 0.548(a - 4.4579).

(28)

(1978).

G. L. J. A. Rikken and N. Avarvari, Phys. Rev. B

Квадратичный вклад мал, его величина близка

99, 245153 (2019).

к ошибке численного расчета.

Подчеркнем, что при всех давлениях, использу-

В. М. Аснин, А. А. Бакун, А. М. Данишевский,

емых в расчете, запрещенная зона не закрывается.

Е. Л. Ивченко, Г. Е. Пикус, А. А. Рогачев, Письма

Согласно интерполяции (28) щель должна закрыть-

в ЖЭТФ 28, 80 (1978).

ся при постоянной a ≈ 3.8265 ат. ед., что соответ-

V. M. Asnin, A. A. Bakun, A. M. Danishevskii,

ствует нереалистично большим давления p ≫ 4 ГПа.

E. L. Ivchenko, G. E. Pikus, and A. A. Rogachev,

Мы также выполнили расчеты с обменно-корре-

Sol. Such that. Commun. 30, 565 (1979).

ляционным потенциалом mBJ (аналогичные расче-

там в работе [13]). Такой расчет дает ширину запре-

Л. Е. Воробьев, Е. Л. Ивченко, Г. Е. Пикус,

щенной зоны примерно на 50 % меньше, чем расчет

И. И. Фарбштейн, В. А. Шалыгин, А. И. Штур-

с функционалом YSPBE0, при этом щель схлопы-

бин, Письма в ЖЭТФ 29, 485 (1979).

вается при давлении около 2.5 ГПа. Этот результат,

В. А. Шалыгин, А. Н. Софронов, Л. Е. Воробьев,

однако, гораздо хуже согласуется с эксперименталь-

И. И. Фарбштейн, ФТТ 54, 2045 (2012).

ными данными по ширине запрещённой зоны неде-

формированного Te, и мы не использовали его ре-

Tetsuya Furukawa, Yuri Shimokawa, Kaya

зультаты в нашем анализе.

Kobayashi, and Tetsuaki Itou, Nature Commu-

nications 8, 954 (2017).

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Tetsuya Furukawa, Yuta Watanabe, Naoki Oga-

sawara, Kaya Kobayashi, and Tetsuaki Itou, Phys.

В данной работе построена зонная теория теллу-

Rev. Research 3, 023111 (2021).

ра при наличии гидростатического давления. В рам-

10.

C. Şahin, J. Rou, J. Ma, and D. A. Pesin, Phys. Rev.

ках метода эффективного гамильтониана предло-

B 97, 205206 (2018).

жена шестизонная kp-модель зонной структуры,

включающей две спиновые подзоны проводимости

11.

V. A. Shalygin, M. D. Moldavskaya, S. N. Danilov,

и четыре валентных подзоны. Основной параметр,

I. I. Farbshtein, and L. E. Golub, Phys. Rev. B 93,

на который влияет давление — ширина запрещенной

045207 (2016).

595

М. М. Глазов, Е. Л. Ивченко, М. О. Нестоклон

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

12.

M. Sakano, M. Hirayama, T. Takahashi, S. Akebi,

27.

Y. Ohmasa, I. Yamamoto, M. Yao and H. Endo, J.

M. Nakayama, K. Kuroda, K. Taguchi, T. Yoshikawa,

Phys. Soc. Jpn 64, 4766 (1995).

K. Miyamoto, T. Okuda, K. Ono, H. Kumigashira,

28.

I. Yamamoto, Y. Ohmasa, H. Ikeda, and H. Endo, J.

T. Ideue, Y. Iwasa, N. Mitsuishi, K. Ishizaka, S. Shin,

Phys.: Condens. Matter 7, 4299 (1995).

T. Miyake, S. Murakami, T. Sasagawa, and T. Kondo,

Phys. Rev. Lett. 124, 136404 (2020).

29.

C. Hejny and M. I. McMahon, Phys. Rev. B 70,

184109 (2004).

13.

L. A. Agapito, N. Kioussis, W. A. Goddard III, and

N.P. Ong, Phys. Rev. Lett. 110, 176401 (2013).

30.

V. V. Braznkin, R. N. Voloshin, S. V. Popova, and

A. G. Umnov, J. Phys.: Condens. Matter 4, 141

14.

M. Hirayama, R. Okugawa, S. Ishibashi, S. Mu-

(1992).

rakami, and T. Miyake, Phys. Rev. Lett.

114,

206401 (2015).

31.

F. A. Blum and B. C. Deaton, Phys. Rev. A 137,

1410 (1965).

15.

K. Nakayama, M. Kuno, K. Yamauchi, S. Souma,

K. Sugawara, T. Oguchi, T. Sato, and T. Takahashi,

32.

S. N. Vaidya and G. C. Kennedy, J. Phys. Chem.

Phys. Rev. B 95, 125204 (2017).

Solids 33, 1377 (1972).

16.

Yifei Yang, Mingkun Xu, Shujing Jia, Bolun Wang,

33.

G. Parthasarathy and W. B. Holzapfel, Phys. Rev.

Lujie Xu, Xinxin Wang, Huan Liu, Yuanshuang Liu,

B 37, 8499 (1988).

Yuzheng Guo, Lidan Wang, Shukai Duan, Kai Liu,

34.

A. K. Bandyopadhyay and D. B. Singh, Pramana —

Min Zhu, Jing Pei, Wenrui Duan, Dameng Liu, and

J. Phys. 52, 303 (1999).

Huanglong Li, Nature Commun. 12, 6081 (2021).

35.

C.Hejny and M. I. McMahon, Phys. Rev. Lett.

91,

17.

Zhili Zhu, Xiaolin Cai, Seho Yi, Jinglei Chen, Yawei

215502 (2003).

Dai, Chunyao Niu, Zhengxiao Guo, Maohai Xie, Feng

Liu, Jun-Hyung Cho, Yu Jia, and Zhenyu Zhang,

36.

C. Marini, D. Chermisi, M. Lavagnini, D. Di Cas-

Phys. Rev. Lett. 119, 106101 (2017).

tro, C. Petrillo, L. Degiorgi, S. Scandolo, and P. Pos-

torino, Phys. Rev. B 86, 064103 (2012).

18.

GangQiu, Yixiu Wang, Yifan Nie, Yongping Zheng,

Kyeongjae Cho, Wenzhuo Wu, and Peide D. Ye, Nano

37.

A. Koma, T. Tani, and S. Tanaka, Phys. Stat. So-

Lett. 18, 5760 (2018).

lidi (b) 66, 669 (1974).

38.

J. F. Oliveira, M. B. Fontes, M. Moutinho, S. E. Row-

19.

Jinjin Wang, Yanrong Guo, Hong Shen, Yu-Yo Chen,

Rongjun Zhang, Yuxiang Zheng, Liangyao Chen,

ley, E. Baggio-Saitovitch, M. B. Silva Neto, and

C. Enderlein, Commun. Mater. 2, 1 (2021).

Songyou Wang, Yu Jia, Hong-Yi Chen, and Wan-

Sheng Su, RSC Adv. 9, 41703 (2019).

39.

V. B. Anzin, M. I. Eremets, Yu. V. Kosichkin,

A. I. Nadezhdinskii, and A. M. Shirokov, Phys. Stat.

20.

М. С. Бреслер, В. Г. Веселаго, Ю. В. Косичкин,

Solidi (b) 42, 385 (1977).

Г. Е. Пикус, И. И. Фарбштейн, С. С. Шалыт,

ЖЭТФ 57, 1479 (1969).

40.

В. В. Щенников, ФТТ 42, 626 (2000).

21.

Э. И. Рашба, ФТТ 1 407 (1959).

41.

K. Akiba, K. Kobayashi, T. C. Kobayashi,

R. Koezuka, A. Miyake, J. Gouchi, Y. Uwatoko, and

22.

Э. И. Рашба, В. И. Шека, ФТТ (сборник статей

M. Tokunaga, Phys. Rev. B 101, 245111 (2020).

II), 162 (1959).

42.

T. Ideue, M. Hirayama, H. Taiko, T. Takahashi,

23.

P. W. Bridgman, Polymorphism, Phys. Rev. 48, 893

M. Murase, T. Miyake, S. Murakami, T. Sasagawa,

(1935).

and Y. Iwasa, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 116,

25530 (2019).

24.

Th. Starkloff and J. D. Joannopoulos, J. Chem. Phys.

68, 579 (1978).

43.

D. Rodriguez, A. A. Tsirlin, T. Biesner, T. Ueno,

T. Takahashi, K. Kobayashi, M. Dressel, and

25.

U. Steigenberger, M. I. Eremets, S. G. Lapin,

E. Uykur, Phys. Rev. B 101, 174104 (2020).

M. von Ortenberg, A. M. Shirokov, and

Y. V. Kosichkin, J. Phys. C: Solid State Phys.

44.

T. Doi, K. Nakao, and H. Kamimura, J. Phys. Soc.

17 427 (1984).

Jpn 28, 36 (1970).

26.

A. Coker, T. Lee, and T.P. Das, Phys. Rev. B

22,

45.

F. Tran and P. Blaha, Phys. Rev. Lett. 102, 226401

2968 (1980).

(2009).

596

ЖЭТФ, том 162, вып. 4 (10), 2022

Влияние давления на электронную зонную структуру. . .

46. F. Tran and P. Blaha, Phys. Rev. B 83, 235118

54. Л. Е. Голуб, Е. Л. Ивченко, Б. З. Спивак, Письма

(2011).

в ЖЭТФ 105, 744 (2017).

47. J. Heyd and G. E. Scuseria, J. Chem. Phys.

118,

55. Н. В. Леппенен, Е. Л. Ивченко, Л. Е. Голуб,

8207 (2003); Erratum J. Chem. Phys. 124, 219906

ЖЭТФ 156, 167 (2019).

(2006).

56. Е. Л. Ивченко, Г. Е. Пикус, Ф в сб. Проблемы

48. E. L. Ivchenko, Optical Spectroscopy of Semiconduc-

современной физики под ред. В. М. Тучкевича

tor Nanostructures, Alpha Science Int., Harrow, UK

и В. Я. Френкеля, Наука, Москва (1980).

(2005), Sect. 2.1.3.

57. P. Blaha, K. Schwarz, F. Tran, R. Laskowski,

G. K. H. Madsen, and L. D. Marks, J. Chem. Phys.

49. Е. Л. Ивченко, Г. Е. Пикус, Письма в ЖЭТФ 27,

152, 074101 (2020).

640 (1978).

58. J. Sun, A. Ruzsinszky, and J. P. Perdew, Phys. Rev.

50. Н. С. Аверкиев, В. М. Аснин, А. А. Бакун,

Lett. 115, 036402 (2015).

А. М. Данишевский, Е. Л. Ивченко, Г. Е. Пикус,

А. А. Рогачев, ФТП 18, 639 (1984).

59. F. Birch, Phys. Rev. 71, 809 (1947).

51. S. S. Tsirkin, P. A. Puente, and I. Souza, Phys. Rev.

60. F. D. Murnaghan, Proceed. Nat. Acad. Sci. 30, 244

B 97, 035158 (2018).

(1944).

52. S.C. Liebscher, M. K. Hagen, J. Hader, J. V. Moloney,

61. P. Vinet, J. R. Smith, J. Ferrante, and J. H. Rose,

and S. W. Koch, Phys. Rev. B 104, 165201 (2021).

Phys. Rev. B 35, 1945 (1987).

53. F. de Juan, A. G. Grushin, T. Morimoto, and

62. R. Keller, W. B. Holzapfel, and H. Schulz, Phys. Rev.

J. E. Moore, Nature Commun. 8, 15995 (2017).

B 16, 4404 (1977).

597