ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 5 (11), стр. 657-662

КВАНТОВОЕ РАССЕЯНИЕ СВЯЗАННОЙ ПАРЫ НА ТРЕТЬЕЙ

ЧАСТИЦЕ В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ

А. М. Будылин^*, С. Б. Левин^**

Физический факультет, Санкт-Петербургский государственный Университет,

199034, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 16 августа 2022 г.,

после переработки 16 августа 2022 г.

Принята к публикации 03 сентября 2022 г.

В рамках дифракционного подхода рассматривается задача рассеяния 2 → 2(3) трех одномерных кван-

товых частиц с парными короткодействующими потенциалами притяжения. Решение задачи рассеяния

строится в терминах решения модельной неоднородной граничной задачи в круге большого радиуса с

условиями излучения на границе. Рассмотрены возможные физические приложения построенной моде-

ли.

DOI: 10.31857/S0044451022110050

В случае задачи рассеяния 3 → 3 похожая схема ре-

EDN: KYLNDE

шения была предложена в работе [4] и реализована

численно в работах [5, 6].

Отметим, что общая схема построения решения

задачи рассеяния 2 → 2(3) для случая трехмерных

1. ВВЕДЕНИЕ

заряженных частиц была предложена в работе [8]

Идеи дифракционного подхода в задаче рассея-

применительно к реакциям, связанным с накопле-

ния трех одномерных квантовых частиц были пред-

нием антипротонов [9-11]. Предлагаемая нами рабо-

ложены в работах [1-3] и получили дальнейшее раз-

та может рассматриваться как первый необходимый

витие в работах [4-7]. В перечисленных выше рабо-

шаг для реализации этой схемы в наиболее простой

тах рассматривалась задача рассеяния трех частиц

ситуации одномерных частиц и финитных парных

с парными потенциалами отталкивания.

потенциалов притяжения. С другой стороны пред-

лагаемая модель является полностью завершенной

Данная работа посвящена случаю парных по-

и имеет независимую ценность, например, при опи-

тенциалов притяжения, поддерживающих связан-

сании рассеяния нуклонов в параллельных пучках.

ные состояния в каждой паре. Решение задачи рас-

сеяния 2 → 2(3) будет построено в два этапа. на пер-

вом этапе мы предложим схему, позволяющую уста-

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

новить связь амплитуд рассеяния процессов 2 → 2 и

2 → 3. Эта связь будет получена в терминах некото-

Рассмотрим систему трех квантовых частиц, ди-

рого внешнего объекта - срезающей функции, вли-

намика которой описывается оператором Шредин-

яние которой будет нивелировано на втором эта-

гера

пе. На этом (втором) этапе будет предложен чис-

∑

∂²

H =-

+ v_i(x_i).

(1)

ленный механизм восстановления полного решения

∂x²

∂y²

i=1

задачи рассеяния во всем конфигурационном про-

странстве. Будет сформулирована граничная зада-

Мы полагаем, что парные потенциалы v_i, i = 1, 2, 3,

ча для неоднородного дифференциального уравне-

являются финитными, четными, неположительны-

ния в частных производных второго порядка в круге

ми и поддерживающими одно связанное состояние.

большого радиуса с условием излучения на границе.

Мы полагаемся здесь на критерий Калоджеро [12] (и

его обобщение для потенциалов, заданных на оси),

определяющий число связанных состояний в систе-

^* E-mail: a.budylin@spbu.ru

^** E-mail: s.levin@spbu.ru

ме двух тел. Мы полагаем также, что пара (x, y)

657

А. М. Будылин, С. Б. Левин

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

– есть пара координат Якоби, отвечающая системе

сти, причем ширина каждой полосы определяется

трех тел. Здесь x ∈ R, y ∈ R. Будем полагать, что

носителем соответствующего парного потенциала.

массы частиц и парные потенциалы одинаковы.

Каждый из "экранов"с индексом j определяет об-

ласть в конфигурационном пространстве, в которой

Мы будем изучать задачу рассеяния 2 → 2(3)

частицы в паре j совпадают, то есть выполняется

трех частиц на оси, то есть координата каждой час-

равенство x_j = 0. Таким образом, вдоль "экрана"с

тицы характеризуется вещественным числом. Точ-

индексом j меняется координата Якоби y_j, а ортого-

нее, мы будем изучать рассеяние связанной пары на

нально экрану меняется координата Якоби x_j . Знак

третьей частице, пользуясь формализмом дифрак-

координаты x_j определяется четностью перестанов-

ционного подхода, подробно описанным в работах

ки частиц в паре j, а знак координаты y_j опреде-

[1,2,4]. В рамках этого формализма конфигурацион-

ляется четностью перестановки частицы j и центра

ное пространство задачи есть плоскость Γ, каждая

масс пары частиц k и l. Мы полагаем здесь, что

из трех пар координат Якоби образует ориентиро-

тройка индексов (j, k, l) образована перестановкой

ванную систему координат на Γ, эти системы коор-

чисел (1, 2, 3).

динат (как и сами пары координат Якоби, отвеча-

Мы будем также полагать, что асимптотика ре-

ющие двум произвольным различным парным под-

шения уравнения Шредингера

системам) связаны преобразованием поворота. Пол-

ный носитель потенциала (объединение трех пар-

(H - E)Ψ = 0,

ных носителей потенциала) есть совокупность трех

пересекающихся в одной точке лучей-"экранов"l_j с

удовлетворяющая условиям излучения на

окрестностями. В данном случае финитных парных

бесконечности

конфигурационном

про-

потенциалов носитель полного потенциала есть объ-

странстве,

устроена

следующим образом

единение трех ориентированных полос на плоско-

√

∑

Ψ ∼ e-ip1y¹ϕ-1 (x₁) +

√

(2)

aτjj eipjy^j ϕjj (xj) + A(X, P)ei

j=1 τj ∈{+,-}

Здесь

(

)

(

)

√

X=X

∈R², P =

∈R², X =

x² + y²,

Мы используем обозначения k ∈ R и p ∈ R для мо-

плитудами aτjj Здесь индекс j = 1, 2, 3 обозначает

ментов, сопряженных по Фурье координатам Якоби

номер парной подсистемы, а индекс τ ∈ {+, -} опре-

xи y.

деляет четность перестановки координаты частицы

Будем полагать, что в начальном состоянии час-

j и центра масс подсистемы с индексом j. Иными

тицы пары j = 1 находятся в связанном состоянии

словами, индекс τ_j отвечает знаку координаты Яко-

ϕ-1 с энергией κ_j < 0. Функции ϕτjj удовлетворяют

би y_j и, таким образом, определяет "полуэкран"lτjj.

условию нормировки

Для расходящихся волн выполняются соотношения

∫

(3)

y_j > 0, p_j > 0 или y_j < 0, p_j < 0.

|ϕτjj (x)|²dx = 1, j = 1, 2, 3, τj ∈ {+, -}.

Отметим, что каждая расходящаяся волна с ам-

Отметим, что первое слагаемое в выражении (2)

плитудой aτjj определена лишь на том полуэкране,

который соответствует индексу τ_j . На полуэкран с

отвечает падающей волне. При этом выполняются

индексом -τ_j она продолжается нулем.

соотношения

y₁ < 0, p₁ > 0.

Наконец, третье слагаемое в выражении (2) от-

Второе слагаемое в выражении (2) отвечает супер-

вечает процессу распада 2 → 3 и описывает расхо-

позиции расходящихся волн (процессы 2 → 2) с ам- дящуюся волну с амплитудой A(X, P).

658

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Квантовое рассеяние связанной пары. ..

Мы собираемся построить теперь набор уравне-

3. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ,

СВЯЗЫВАЮЩИХ АМПЛИТУДЫ

ний, связывающих амплитуды aτjj процессов рассея-

РАССЕЯНИЯ ПРОЦЕССОВ 2 → 2 И 2 → 3

ния 2 → 2 и амплитуду A(X, P) процесса 2 → 3. При

этом решение уравнения Шредингера нам извест-

Введем радиальную срезающую функцию

но лишь в асимптотической области конфигураци-

ζ(X) ∈ C2[0,∞) следующим образом

онного пространства при X ≫ 1. Выведем срезаю-

⎧

щую функцию, которая срежет решение при ограни-

⎨

0, X < R₁, R₁ ≫ 1,

ченных и малых значениях X. Умножая точное ре-

ζ(X) =

растет от 0 до 1, R₁ < X < R₂,

(4)

шение задачи рассеяния (или его некоторую часть)

⎩

на такую срезающую функцию, мы получим но-

1, X > R₂.

вую функцию, которая останется точным решением

уравнения Шредингера при больших X, а при огра-

Введем также обозначение ψτjj (X) = eipjy^jϕjj (xj)

для рассеянной волны, отвечающей процессу 2 → 2,

ниченных и малых значениях X хотя и не будет уже

и обозначение

точным решением уравнения Шредингера, но поро-

ψτjj (X) ≡ ψjj (X)ζ(X) для рассеянной

волны, умноженной на срезающую функцию.

дит известную отличную от нуля невязку в ограни-

Подействуем оператором H - E на эрмитовски

ченной области конфигурационного пространства.

сопряженное точное решение Ψ^∗ и на функцию

ψ^τj

Этот факт позволит нам реализовать следую-

{

щую схему решения задачи рассеяния. На первом

(H - E)Ψ^∗ = 0,

этапе мы воспользуемся формулой Грина на плос-

(5)

(H - E

кости и найдем, пусть и в терминах некоторой сре-

ψτjj = -Qjj .

зающей функции, связь между амплитудами рассе-

Здесь обозначение Q^τj

использовано для невязки

яния процессов 2 → 2 и 2 → 3. При этом мы выде-

лим часть решения, отвечающую сингулярной части

функции

ψτjj в уравнении Шредингера. Домножим

матрицы рассеяния. Иными словами, мы свяжем

первое из уравнений системы (5) на функцию

ψτjj ,

кластерные решения задачи рассеяния (отвечающие

второе уравнение системы домножим на функцию

процессам 2 → 2) с расходящейся круговой волной

Ψ^∗, вычтем второе уравнение из первого и проин-

(отвечающей процессам 2 → 3). На втором этапе

тегрируем результат в круге B_R радиуса R > R₂.

решения задачи рассеяния мы построим неоднород-

Воспользовавшись формулой Грина, мы придем к

ную граничную задачу для той части решения, ко-

следующему соотношению

торая дополняет полный набор кластерных реше-

(

)

∫

ний, до полного решения задачи рассеяния. Асимп-

ψτjj

∂Ψ^∗

Ψ^∗ -

ψτj

(6)

dl = Qτjj Ψ^∗.

тотика этой неизвестной части решения ведет себя

∂n

∂BR

как расходящаяся круговая волна с гладкой ампли-

тудой и удовлетворяет условиям излучения на бес-

Отметим, что набор индексов {j, τ_j} описывает

конечности. В свою очередь, "срезанные"при огра-

один из шести полуэкранов, на каждом из которых

ниченных и малых значениях X кластерные волны

реализуется уравнение (6). При этом выделенным

породят неоднородность краевой задачи, которая во

является полуэкран, отвечающий падающей волне.

всех кластерных решениях кроме падающей волны

Рассмотрим два эти случая отдельно.

оказывается связанной с амплитудой расходящейся

Случай {j, τ_j } = {1, -}.

волны.

Соотношение (6) с учетом явного вида асимпто-

Реализуем теперь описанную выше схему.

тики (2) и условия нормировки (3) принимает вид

∫

√

e^-i

τj

A^∗(θ, P)

√

ip_jeiRpj cos(θ-θ

))Rdθ+

⁾ϕτjj (R sin(θ - θ

τj

√

∫

√

e^-i

τj

A^∗(θ, P)

√

EeiRpj cos(θ-θ

⁾ϕτjj (R sin(θ - θjj ))Rdθ + 2ipjajj ∗ =

τj

(

√

)

∫

√

dX.

(7)

659

А. М. Будылин, С. Б. Левин

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

√

∫

√

e^-i

Обозначение dτjj введено для узкой дуги окруж-

A^∗(θ, P)

√ i

EeiRp1 cos(θ-θ1)×

ности радиуса R в окрестности пересечения окруж-

d^-

ности и полуэкрана lτjj . На краях дуги djj функция

×ϕ-1(Rsin(θ - θ-1))Rdθ + 2ip₁a-1∗ =

ϕτjj обращается в нуль.

Отметим, что невязка Qτjj отлична от нуля в

∫

(

окрестности полуэкрана lτjj , в которой срезающая

= Q-1(X) a-1∗e-ip1y¹ϕ-1(x₁) + eip1y¹ϕ-1(x₁)+

функция ζ(X) меняется от ζ = 0 до ζ = 1, а именно,

R₁ < X < R₂. Ширина этой окрестности определя-

√

)

ется шириной носителя парного потенциала v_j . Та- )(

√

dX.

ким образом Qτjj ∼ O

, а площадь области

R2-R1

интегрирования в интеграле в правой части урав-

Теперь в интегральном члене в правой части урав-

нения (7) также имеет порядок R₂ - R₁. Значение

нения возникло дополнительное слагаемое, отвеча-

интегралов в левой части уравнения (7) определя-

ющее падающей волне. Повторяя вычисления, про-

ется методом стационарной фазы.

веденные в случае {j, τ_j} = {1, -} и учитывая этот

Окончательно,

дополнительный член, получаем окончательное вы-

√

ражение

√

2π

E)eiR(pj -

√

A^∗(θτjj , P)(pj +

E)ϕτjj (0)+

√

|p_j |

2π

(p₁ +

E)eiR(p1-

E)ϕ-1(0)

∫

|p1|

a-1∗ = A^∗(θ-1, P)

∫

Q-1(X)e^-ip1^y1 ϕ^-

(x₁)dX - 2ip₁

+ 2ip_jaτjj∗ = ajj ∗ Qjj (X)e-ipj y^j ϕjj (xj)dX.

(8)

(11)

∫

Q-1(X)eip1y¹ ϕ-1(x₁)dX

Угловая переменная θ, определяющая точку на гра-

нице круга B_R, меняется на промежутке [0, 2π).

- ∫ B^R

Q-1(X)e^-ip1^y1 ϕ-1(x₁)dX - 2ip₁

Стационарные точки θτjj , дающие основной вклад в

интегралы по границе круга B_R, совпадают с ше-

Отметим, что вклад второго слагаемого оказывает-

стью значениями, определяющими пересечения по-

ся пренебрежимо малым вследствие оценки

луэкранов lτjj с окружностью ∂BR. Мы учли также,



что, в свете сказанного выше, второе слагаемое под

∫



интегралом в правой части уравнения (7) имеет сле-



_≤

Q-1(X)eip1y¹ ϕ-1(x₁)dX



дующий порядок малости по сравнению с главным



вкладом.



(

)



∫ R2



Связь между амплитудами aτjj процессов рассея-



≤



e2ip1ydy

ния 2 → 2 и амплитудой A(X, P) процесса рассеяния

R₂ - R₁



R₂ - R₁

 R1

2 → 3 согласно уравнению (8) принимает вид

√

Таким образом, с точностью до величин следующего

√

2π

(p_j +

E)eiR(pj -

порядка малости справедливо уравнение связи

|pj |

E)ϕτjj (0)

∫

aτjj∗ = A^∗(θjj , P)

√

(x_j )dX - 2ip_j

Qτjj (X)e-ipj y^j ϕjj

2π

(p₁ +

E)eiR(p1-

E)ϕ-1(0)

|p1|

a-1∗ = A^∗(θ-1, P)

∫

(9)

Q-1(X)e^-ip1^y1 ϕ^-

(x₁)dX - 2ip₁

Случай {j, τ_j } = {1, -}.

(12)

Повторяя описанные в предыдущем разделе вы-

Полученные уравнения связи (9) и (12) оказыва-

кладки, нетрудно видеть, что уравнение связи (9)

ются достаточными при построения граничной за-

будет модифицировано. А именно, соотношение (6) с

дачи для полного решения задачи рассеяния.

учетом явного вида асимптотики (2) и условия нор-

мировки (3) приводит в этом случае к следующему

уравнению

4. ПОСТРОЕНИЕ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ

√

ДЛЯ ОПИСАНИЯ ПОЛНОГО РЕШЕНИЯ

∫

e^-i

A^∗(θ, P)

√

ip₁eiRp1 cos(θ-θ1)×

(10)

Построим теперь граничную задачу для полного

d^-

решения Ψ задачи рассеяния 2 → 2(3), опираясь на

×ϕ-1(R sin(θ - θ-1))Rdθ+

660

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Квантовое рассеяние связанной пары. ..

полученную выше систему связей (9) между ампли-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

тудами рассеяния aτjj процессов рассеяния 2 → 2 и

Построенная модель может рассматриваться как

амплитудой A(X, P) процесса рассеяния 2 → 3.

Запишем полное решение задачи рассеяния Ψ в

реализация метода, предложенного в работе [8] для

описания механизма накопления антипротонов [13,

следующем виде

14] в более простой ситуации одномерных частиц и

Ψ(X, P) = χ(X, P) + Φ(X, P),

(13)

короткодействующих парных потенциалов. Являясь

где первое слагаемое в выражении (13) содержит па-

необходимым шагом для реализации полной ситуа-

дающую волну и набор рассеянных волн, отвечаю-

ции, описанной в [8], предложенная модель имеет и

щих процессам рассеяния 2 → 2, срезанные функци-

собственную ценность. В рамках предложенной мо-

ей ζ(X) (4) на внешность круга большого радиуса с

дели можно рассматривать, например, задачу рас-

центром в начале координат

сеяния в параллельных пучках [15-17]. В ситуации,

[

когда угол рассеяния продуктов распада оказыва-

χ(X, P) ≡ e-ip1y¹ϕ-1(x₁) + .

ется малым, рассеяние двухчастичного кластера на

третьей частице в старшем порядке определяется

∑

]

именно изложенной выше схемой.

aτjj eipjy^j ϕjj (xj) ζ(X).

j=1 τj ∈{+,-}

Отметим также, что предложенная схема реше-

Неизвестная функция Φ(X, P) дополняет первое

ния задачи рассеяния трех частиц на оси открывает

слагаемое χ(X, P) до полного решения. Аналогич-

возможность аналитического (и численного) изуче-

ный подход был использован, например, в рабо-

ния задачи одномерного рассеяния 3 → 2(3) с пар-

те ( [5]). Мы будем следовать аналогичным иде-

ными потенциалами притяжения, развивая резуль-

ям. Согласно выражению (2) асимптотика функции

таты работы [6].

Φ(X, P) при X → ∞ имеет вид

√

Благодарности. Авторы выражают благодар-

√

(14)

ность Г.В.Розенблюму за полезные обсуждения.

Финансирование. Работа выполнена при фи-

где A(X, P) - гладкая функция на окружности.

Поскольку функция Ψ является точным реше-

нансовой поддержке Российского Научного Фонда

(гранта РНФ 22-11-00046).

нием уравнения Шредингера, для функции Φ(X, P)

получим уравнение

(H - E)Φ(X, P) = -S(X, P),

(15)

ЛИТЕРАТУРА

S(X, P) = (H - E)χ(X, P).

Отметим, что правая часть уравнения (15) S(X, P)

1. В. С . Буслаев, С. П. Меркурьев, С. П. Саликов,

определена с точностью до шести коэффициентов

в сб. Проблемы матем. физики, т.9, изд-во ЛГУ,

Ленинград, (1979), с. 14.

aτjj . В свою очередь, эти коэффициенты определе-

ны согласно (9) и (14) через определенные значения

функции Φ(X, P) на окружности радиуса R. Отме-

2. В .С .Буслаев, С. П. Меркурьев, С. П. Саликов,

Зап. Научн. Сем. ЛОМИ 84, 16 (1979).

тим также, что уравнение (15) на функцию Φ явля-

ется неоднородным, поскольку падающая волна не

3. M. Gaudin and B .Derrida, J. de Phys. 36, 1183

зависит от коэффициентов aτjj и, таким образом, не

(1975).

зависит от Φ.

Будем теперь рассматривать неоднородное урав-

4. V. S .Buslaev and S. B. Levin, in: Selected Topics in

нение (15) в круге большого радиуса R на плоскости

Mathematical Physics, Amer.Math.Soc.Transl. 225,

Γ с граничным условием вида

55 (2008).

)

⁽∂Φ

√

-i

EΦ |X=R = O(R-3/2).

(16)

5. V. S. Buslaev, S. B. Levin, P. Neittaannmäki, and T.

∂n

Ojala, J.Phys.A: Math.Theor. 43, 285205 (2010).

Решение поставленной граничной задачи в сумме с

функцией χ дает, согласно (13), полное решение ис-

6. В. С. Буслаев, Я. Ю. Коптелов, С. Б. Левин, Д. А.

ходной задачи рассеяния.

Стрыгина, ЯФ 76, 23 (2013).

661

ЖЭТФ, вып. 5 (11)