ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 5 (11), стр. 693-707

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СОЛИТОНОВ С ГРАНИЦЕЙ

ФЕРРОМАГНИТНОЙ ПЛАСТИНЫ

В.В. Киселев^*, А.А. Расковалов

Институт физики металлов им. М.Н. Михеева Уральского отделения

Российской академии наук, 620041, Екатеринбург, Россия

Физико-технологический институт Уральского федерального университета

620002, Екатеринбург, Россия

Поступила в редакцию 18 апреля 2022 г.,

после переработки 06 июня 2022 г.

Принята к публикации 06 июня 2022 г.

В рамках фокусирующего нелинейного уравнения Шредингера найдены и проанализированы солитонные

состояния полубесконечной ферромагнитной пленки при частичном закреплении спинов на её границе.

Показано, что солитоны делятся на два класса. Первый из них представляют локализованные вблизи края

пленки колебания намагниченности с дискретными частотами. Второй содержит движущиеся частице-

подобные объекты, ядра которых сильно деформируются у границы пленки, а затем упруго отражаются

от нее, восстанавливая форму солитонов, типичных для протяженного образца. Получена серия законов

сохранения для волнового поля, обеспечивающая локализацию солитонных колебаний около границы

образца и упругое отражение от нее движущихся солитонов. Показано, что изменение фазы внутренней

прецессии солитона при отражении зависит от характера закрепления краевых спинов.

DOI: 10.31857/S0044451022110104

Кроме того, учет магнитостатики делает задачу не

EDN: KZITUW

только неодномерной, но и нелокальной, и требует

корректного учета краевых условий на поверхности

образца.

1. ВВЕДЕНИЕ

Для анализа малоамплитудных возбуждений в

магнитных пленках обычно используется локальное

Пленки железо-иттриевых гранатов с толщиной

нелинейное уравнение Шредингера (НУШ):

от нескольких микрон до десятков микрон и длиной

∂2kω(k)

от нескольких до десятков сантиметров обладают

i∂_τ ψ -

∂2Xψ + g|ψ|²ψ = 0.

(1)

свойствами ферромагнитной среды в интервале от

1 ГГц до 20 Ггц. Этот частотный интервал интен-

Комплексное поле ψ(X, τ) описывает простран-

сивно исследуется благодаря возможности возбуж-

ственно-временную модуляцию бегущей активаци-

дения распространяющихся вдоль пленки обменно-

онной волны

дипольных спиновых волн. Одним из главных ре-

зультатов такого изучения явилось обнаружение со-

ψ(X, τ)eikx+iω(k)t ≡ ψ e^iθ,

литонов огибающей спиновых волн в ферромагнит-

где k и ω(k) — волновое число и частота основной

ных пленках [1-3]. Если в теории линейных волн об

гармоники, x и t — пространственная координата

эффектах обменного и диполь-дипольного взаимо-

и время, X, τ — соответствующие медленные пере-

действий принято говорить, когда соответствующие

менные. Отклонения нормированной намагниченно-

энергии сравнимы по порядку величины, то условия

сти m_i(x, t) (i = 1, 2, 3) от равновесного положения

образования и структура даже слабонелинейных со-

(0, 0, 1) выражаются через ψ(X, τ):

литонов во многом определяются не соотношением

энергий, а конкуренцией двух типов пространствен-

m₁ + im₂ = ψ e^iθ, m₃ ≈ -|ψ|²/2.

(2)

ной дисперсии - обменной и магнитостатической [4].

Упрощенный вывод НУШ предполагает дифферен-

^* E-mail: kiseliev@imp.uran.ru

цируемость закона дисперсии линейных спиновых

693

ЖЭТФ, вып. 5 (11)

В.В. Киселев, А.А. Расковалов

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

волн ω(k) по волновому числу k. Постоянная взаи-

В случае безграничной пластины (-∞ < x < ∞)

модействия волн g традиционно вычисляется в пре-

уравнение (5) эквивалентно условию коммутатив-

деле k → 0 из разложения по амплитуде колеба-

ности двух дифференциальных операторов, зави-

ний частоты однородного ферромагнитного резо-

сящих от комплексного спектрального параметра

нанса [5]. Однако в области малых волновых чисел

[10, 11]. Такое представление (U-V -пара) позволя-

(|kd| ≪ 1, d — толщина пленки) частота обменно-

ет найти отображение решений модели (5) в дан-

дипольных спиновых волн ω(k) является недиффе-

ные рассеяния вспомогательной спектральной зада-

ренцируемой функцией от k [6]. В работах [4, 7] по-

чи. В простейшем случае, когда ψ(x, t) стремится

казано, что при волновых числах k и частотах ω(k),

к нулю при x → ±∞, эволюция данных рассеяния

удовлетворяющих условиям

определяется линейными уравнениями и вычисля-

ется явно по заданному в начальный момент време-

L≫λ≫k-1> d≫a, λ ≪ c/ω,

∂2kω(k) = 0,

(3)

ни распределению намагниченности ψ(x, t = 0). Об-

допустима последовательная редукция уравнений

ратное спектральное преобразование позволяет по

нелинейной и нелокальной динамики ферромагнит-

данным рассеяния найти полное решение начально-

ной пластины при отсутствии закрепления спинов

краевой задачи для НУШ (5). Строго говоря, эти

на её поверхности и корректном учете обменных

результаты применимы лишь для протяженных об-

и магнитостатических взаимодействий к упрощен-

разцов. Поэтому основные приложения НУШ (5) и

ной локальной модели (1). Здесь L — размер об-

его обобщения нашли в нелинейной оптике и гид-

разца, λ — характерный размер магнитных неодно-

родинамике: при конструировании линий оптоволо-

родностей, a — постоянная решетки, c — скорость

конной связи и моделировании волновых процессов

света. Окрестности точек нулевой дисперсии, где

в водных бассейнах (см. [12-15] и цитированную там

∂2kω(k) ≈ 0 (из-за конкуренции обменной и маг-

литературу).

нитостатической дисперсий), а также длинноволно-

В случае конечных интервалов изменения

вые возбуждения с |kd|

< 1, требуют отдельно-

x невозможно получить простое отображение

го рассмотрения [4]. При последовательном выво-

начально-краевых условий, сформулированных для

де НУШ константа взаимодействия волн учитыва-

исходных полей, в данные рассеяния. Тем не менее,

ет неоднородности распределения намагниченности

традиционный метод обратной задачи рассеяния

вдоль нормали к пластине и нетривиально зависит

на всей оси -∞ < x < ∞ позволяет решить ряд

от волнового вектора основной гармоники и тол-

начально-краевых задач для волновых процессов на

щины пластины. В результате удается описать осо-

полуинтервале 0 ≤ x < ∞ [16-19]. В случае НУШ

бенности взаимодействия неоднородных по толщине

(5) для поля ψ(x, t) = χ(x, t) на полуоси 0 ≤ x < ∞

пластины и распространяющихся вдоль пластины

интегрируемыми оказываются практически важные

спиновых волн с близкими значениями не равных

краевые условия:

нулю волновых векторов. Использование этих ре-

[∂_xχ - βχ]|x=+0 = 0;

(6)

зультатов позволяет более тщательно перейти от мо-

дели (1) к наблюдаемым величинам.

χ → 0,

∂_xχ → 0

при x → +∞.

(7)

В достаточно тонких пленках при свободных

Положительная или отрицательная постоянная по-

поверхностных спинах переменным магнитным по-

верхностной анизотропии β определяет характер за-

лем возбуждается только нижняя ветвь спектра

крепления спинов на краю пленки. С физической

обменно-дипольных волн с почти однородным рас-

точки зрения параметр β учитывает одноионную

пределением намагниченности вдоль нормали к пла-

анизотропию и/или внешнее магнитное поле на гра-

стине [8]. Для нее существуют протяженные области

ни x = 0 образца. Эффективное магнитное поле и

волновых чисел (3), в которых g > 0, ∂2kω(k) < 0. А

ось анизотропии направлены по нормали к развитой

значит справедлив критерий Лайтхилла [9]

поверхности пленки.

g∂2kω < 0,

(4)

В предельном случае β → 0 первое соотношение

(6) переходит в условие Неймана ∂_xχ|x=+0 = 0 (сво-

допускающий формирование экспоненциальных

бодные спины на краю пластины); в формальном

«светлых» солитонов из локализованных импульсов

пределе |β| → ∞ оно сводится к условию Дирих-

внешнего воздействия. В этом случае модель (1)

ле: χ|x=+0 = 0 (полное закрепление спинов в точке

масштабными преобразованиями приводится к

x = 0).

стандартному виду фокусирующего НУШ:

В работах [16-19] предложена модификация ме-

i∂_tψ + ∂2xψ + 2|ψ|²ψ = 0.

(5)

тода обратной задачи рассеяния для решения НУШ

694

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Взаимодействие солитонов с границей ферромагнитной пластины

Рис. 1. Солитон, локализованный вблизи края образца, при α = 0 (a), α < 0, 2 ν x0 = ln[(ν + |α|)/(ν - |α|)] (б) и α > 0

(в)

рые необходимы для теоретического описания нели-

нейной динамики полубесконечной ферромагнитной

пленки. В разд. 3 дано решение начально-краевой

задачи для НУШ на полуоси. Преимущество мето-

да состоит не только в прямой связи с традици-

онной схемой интегрирования НУШ на интервале

-∞ < x < ∞ [11], но и в том, что в отличие от

других подходов [18, 19], он допускает обобщение и

открывает принципиальную возможность подробно-

го анализа квазиодномерных солитонов и дисперги-

рующих волн в полубесконечных образцах с инте-

Рис. 2. Двухсолитонное возбуждение (60) при α = ε|α|,

грируемыми краевыми условиями [20] в рамках ба-

ε = 1 (сплошные линии) и ε = -1 (штриховые линии)

зовых моделей Ландау-Лифшица для гейзенбергов-

в предельных положениях, соответствующих значениям

ского ферромагнетика и ферромагнетиков с квадра-

|χ|(x = 0) = |χ|min и |χ|(x = 0) = |χ|max

тичной по намагниченности анизотропией [4].

В разд. 4 получены явные формулы для соли-

на полуоси при заданном начальным возмущении

тонных возбуждений в полубесконечной пластине.

χ(x, t = 0) и краевых условиях (6), (7). Схема инте-

Показано, что существуют два класса солитонов.

грирования является аналогом метода «изображе-

Мультисолитоны первого из них локализованы

ний», используемого при решении линейных крае-

вблизи края x

= 0 пленки и представляют со-

вых задач электростатики с определенной простран-

бой приграничные колебания намагниченности

ственной симметрией. Однако в перечисленных ра-

со специфическими частотными и амплитудными

ботах анализ мультисолитонов отсутствует. Так, в

свойствами. Второй класс образуют движущиеся

[19] с самого начала обсуждаются лишь диспергиру-

частицеподобные объекты, которые упруго отража-

ющие волны без солитонов. В данной работе мы ис-

ются от края пленки. На больших расстояниях от

следуем начально-краевую задачу в полубесконеч-

края пленки они трансформируются в типичные

ной ферромагнитной пленке при наличии спиновых

для безграничной среды прецесcирующие маг-

волн и солитонов. Покажем, что солитоны вбли-

нитные солитоны, упруго сталкивающиеся друг с

зи границы пленки обладают качественно новыми

другом.

свойствами, которые отсутствуют в безграничной

В разд. 5 для полубесконечной ферромагнит-

среде. Исследуем изменения динамических свойств

ной пленки найдена серия локальных интегралов

и строение солитонов при разной степени закреп-

движения, каждый из которых представляет адди-

ления спинов на границе x = 0 образца. Получим

тивную сумму вкладов от солитонов и квазичастиц

новые законы сохранения для нелинейных коллек-

непрерывного спектра спиновых волн. Установлены

тивных возбуждений в полубесконечной пленке.

дополнительные законы сохранения, которые обес-

Статья организована следующим образом. В

печивают локализацию солитонов вблизи границы

разд. 2 приведены формулы работ [16, 17], кото-

образца или их отражение от нее.

695

В.В. Киселев, А.А. Расковалов

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Рис. 3. Солитон (66) в моменты времени t = ±t0, t0 ≫ 1 (сплошные линии), t = 0 при α = ∞ (штриховая линия) и t = 0

при α = 0 (штрихпунктирная линия)

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В частности,

выполняется

соотношение

T₀(x, y, λ)

= T-10(y, x, λ). Матричные функции

Напомним, что при решении начально-краевой

U (λ) и V (λ) имеют специальный вид:

задачи для НУШ на всей оси -∞ < x < ∞ поле

U^∗(λ^∗) = σ₂U(λ)σ₂, V^∗(λ^∗) = σ₂V (λ)σ₂,

(10)

ψ(x, t) предполагается нужное число раз дифферен-

цируемым по переменным x, t. Тогда уравнение (5)

Поэтому из (9) следует свойство инволюции

эквивалентно условию коммутативности двух опе-

раторов [11]:

T∗0(x, y, λ^∗) = σ₂ T₀(x, y, λ)σ₂.

(11)

Перейдем к рассмотрению НУШ (5) для поля

[∂_x - U(λ), ∂_t - V (λ)] = 0,

(8)

ψ(x, t) = χ(x, t) на полуоси 0 ≤ x < ∞ при крае-

вых условиях (6), (7). Для включения такой задачи

где

в классическую схему метода обратной задачи про-

должим поле χ(x, t) на всю ось четным образом. Для

iλ

U (λ) = -

σ₃ + i (ψ^∗σ₊ + ψσ_-),

этого зададим ψ(x, t) в виде непрерывной кусочно-

)

дифференцируемой функции

⁽λ²

V (λ) = i σ₃

- |ψ|²

{

χ(x, t),

x ≥ 0,

ψ(x, t) =

(12)

− [(∂_xψ - iλψ)σ_- - (∂_xψ^∗ + iλψ^∗)σ₊],

χ(-x, t), x < 0.

σ_i (i = 1, 2, 3) — матрицы Паули, σ_± = (σ₁ ± iσ₂)/2,

В точке x = 0 продолжение ψ(x, t) будет непре-

λ — комплексный спектральный параметр. Пред-

рывным:

ставление (8) можно переписать в проинтегрирован-

ψ(x = +0, t) = ψ(x = -0, t) = χ(x = 0, t),

ном виде, используя матрицу T₀(x, y, λ) трансляции

вдоль оси x из точки y в точку x. Здесь и далее,

но его первая производная претерпевает скачок [16,

где это не вызывает недоразумений, не указываем

17]:

зависимость от времени t. Матрица T₀(x, y, λ) удо-

∂_xψ|x=+0 - ∂_xψ|x=-0 = 2∂_xχ(x = +0, t).

влетворяет уравнениям [11]

Эти соотношения позволяют трактовать преж-

∂_xT₀(x, y, λ) = U(x, λ)T₀(x, y, λ),

нее краевое условие (6) как дополнительные огра-

∂_yT₀(x, y, λ) = -T₀(x, y, λ)U(y, λ),

(9)

ничения на поле ψ(x, t) в точке x = 0:

∂_tT₀(x, y, λ) = V (x, λ)T₀(x, y, λ) - T₀(x, y, λ)V (y, λ)

Δψ|x=0 = 0,

[Δ∂_xψ - 2ψ]|x=0 = 0,

(13)

с условиями T₀(x, x, λ) = I, det T₀(x, y, λ) = 1 и об-

которые аналогичны таковым в процедуре ин-

ладает свойством суперпозиции

тегрирования методом

«изображений» линеари-

зованного НУШ на полуоси 0 ≤ x < ∞. Здесь

T₀(x, z, λ)T₀(z, y, λ) = T₀(x, y, λ).

Δf|x=0 = f(x = +0) - f(x = -0).

696

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Взаимодействие солитонов с границей ферромагнитной пластины

Простой проверкой можно убедиться, что огра-

— базисные решения Йоста вспомогательной линей-

ничение (13) эквивалентно связи [20]

ной системы [11, 16]

V₊(λ)K(λ) - K(λ)V_-(λ) = 0,

(14)

∂_xT_± = U T_±.

(21)

где V_±(λ) ≡ V (λ)|x=±0, K(λ) = λI + i βσ₃, I — еди-

Их асимптотическое поведение

ничная матрица. Для учета связи (14) модифициру-

(

)

ем T₀(x, y, λ) и введем новую матрицу трансляции

iλxσ₃

T (x, y, λ) [16]:

T_±(x, t, λ) → exp

при x → ±∞

T (x, y, λ) =

согласовано с условием (7).

⎧

⎨T0(x, y, λ),

xy > 0,

Нетрудно проверить, что при x ≥ 0 матрица

p(x, t) в разложении решения Йоста T₊(x, t, λ) по об-

T₀(x, +0, λ)K(λ)T₀(-0, y, λ),

x>0>y,

⁼⎪⎩

ратным степеням λ (при λ → ∞)

T₀(x, -0, λ)K-1(λ)T₀(+0, y, λ), x < 0 < y,

(

) (

)

(15)

p(x, t)

iλxσ₃

T₊(x, λ) = I +

+ ... exp

включающую множители K(λ) и K-1(λ). Из пред-

ставления (15) заключаем, что новая матрица пере-

удовлетворяет соотношению

носа не является унимодулярной:

[σ₃, p] = 2(χ^∗σ₊ + χ σ_-).

det T (x, y, λ) = [λ² + β²](signx-signy)/2.

(16)

Для нее справедливы соотношения

Отсюда сразу находим явное решение НУШ (5)

при x

≥

в терминах матричного элемента

T (x, x, λ) = I при x = 0,

[T₊(x, t, λ)]₂₁:

(17)

T (x, y, λ) = T-1(y, x, λ) при x = y

[

]

⁽iλx⁾

χ(x, t) = - lim

[T₊(x, t, λ)]₂₁ exp

λ .

(22)

λ→∞

T (+0, -0, λ) = T-1(-0, +0, λ) = K(λ).

(18)

Свойство

четности

продолжения

При x = 0, y = 0 с учетом (14), (15) получаем для

ψ(x, t)

= ψ(-x, t) (12) ведет к дополнительной

T (x, y, λ) дифференциальные уравнения

симметрии матриц U и V :

∂_xT(x, y, λ) = U(x, λ)T(x, y, λ),

U (x, λ) = -σ₃U(-x, -λ)σ₃,

∂_yT(x, y, λ) = -T(x, y, λ)U(y, λ),

(19)

V (x, λ) = σ₃V (-x, -λ)σ₃,

∂_tT(x, y, λ) = V (x, λ)T(x, y, λ) - T(x, y, λ)V (y, λ)

с учетом которой из системы (19) следует про-

— те же, что и для безграничной пластины (9). Это

порциональность матричных функций T (x, y, λ) и

позволяет включить краевую задачу (6), (7) для

σ₃T(-x, -y, -λ)σ₃. Коэффициент пропорциональ-

НУШ (1) на полуоси 0 ≤ x < ∞ в схему обратной

ности фиксируется равенством (18)

задачи рассеяния на всей оси -∞ < x < ∞. В то

же время, специфика продолжения поля ψ(x, t) (12)

приводит к модификации расчетов. Остановимся на

T (x, y, λ) = sign(xy)σ₃T (-x, -y, -λ) ×

этом подробнее.

× σ₃[λ² + β²]^(signx-signy)/2, λ ∈ R.

(23)

Здесь мы воспользовались соотношением

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НУШ НА ПОЛУОСИ

МЕТОДОМ «ИЗОБРАЖЕНИЙ»

K(-λ)

K-1(λ) = -

λ² + β²

Прямая задача рассеяния

Следуя стандартной схеме метода обратной зада-

Поскольку K^∗(λ^∗) = σ₂K(λ)σ₂, формулы (11),

чи рассеяния на всей оси -∞ < x < ∞ [11], введем

(15) сохраняют прежнюю редукцию для новой мат-

матричные функции

рицы трансляции:

[

(

)]

iλy

T_±(x, t, λ) = lim

T (x, y, λ) exp

σ₃

(20)

y→±∞

T^∗(x, y, λ^∗) = σ₂T(x, y, λ)σ₂.

(24)

697

В.В. Киселев, А.А. Расковалов

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Из (16), (23), (24) находим ключевые свойства

Согласно (29), нули функции a(λ) либо входят па-

функций Йоста при λ ∈ R:

рами:

det T_±(x, λ) = [λ² + β²](signx∓1)/2,

λ_j = {λ_k, -λ^∗k}, Imλ_k > 0,

T_±(x, λ) = ±signxσ₃T_∓(-x, -λ)σ₃ ×

k = 1,2,...N, j = 1,2...2N;

(30)

(25)

× [λ² + β²](signx∓1)/2,

либо являются чисто мнимыми:

T^∗(x, λ) = σ₂T(x, λ)σ₂.

λj = {i νs}. νs

> 0, s = 1, 2, . . .M.

(31)

На вещественной λ-оси фундаментальные решения

определены одновременно, поэтому они связаны

Если a(λ_i) = 0 , то из (28) заключаем, что столб-

матрицей перехода T (λ):

цы T(1)-(x, λ_j ) и T⁽²⁾⁺(x, λ_j ) пропорциональны:

T_-(x, λ) = T₊(x, λ)T(λ),

(26)

T(1)-(x, λ_j) = γ(λ_j)T⁽²⁾⁺(x, λ_j).

(32)

алгебраическая структура которой определяется ре-

Продолжение комбинации двух последних ра-

дукциями (25):

венств (25) в комплексную λ-плоскость дает соот-

(

)

ношение

a(λ)

-b(λ)

T (λ) =

b(λ)

a(λ)

T_±(x, λ) = ±signxσ₁T^∗∓(-x, -λ^∗)σ₁ ×

a(λ)a(λ) + b(λ)^b(λ) = λ² + β²,

(27)

× [λ² + β²](signx∓1)/2,

(33)

a(λ) = a^∗(λ),

^b(λ) = b^∗(λ),

где значения λ выбираются в областях аналитично-

a^∗(-λ) = -a(λ), b(-λ) = -b(λ), λ ∈ R.

сти соответствующих столбцов. В частности, из (33)

находим

Введем обозначение T(i)± для i-ого столбца

матрицы T_±

= (T(1)±, T(2)±). Столбцы T(1)-(x, λ) и

T(1)-(x, λ) = -signxσ₁T(2)∗+(-x, -λ^∗) ×

T⁽²⁾⁺(x, λ) решений Йоста аналитически продол-

× [λ² + β²](signx+1)/2,

жаются с вещественной оси в область Imλ > 0,

(34)

T⁽²⁾⁺(x, λ) = signxσ₁T(1)∗-(-x, -λ^∗) ×

а столбцы T(2)-(x, λ) и T⁽¹⁾⁺(x, λ) будут аналити-

ческими функциями в нижней полуплоскости

× [λ² + β²](signx-1)/2,

Imλ < 0, кроме, может быть, простых полюсов

где Imλ > 0.

матрицы T₊(x, λ) при x < 0 в точках λ = ±iβ,

С помощью (32), (34) выводим связь нормиро-

унаследованных от матрицы K-1(λ).

вочных постоянных:

Из соотношения (26) получаем представление

для a(λ) в форме

γ(λ_k)γ^∗(-λ^∗k) = -(λ2k + β²), k = 1, 2, . . . N;

(35)

(1)

|γ(iν_s)|² = ν2s - β² > 0, s = 1, 2, . . . M.

(36)

det[T_-

(x, λ), T⁽²⁾⁺(x, λ)]

a(λ) =

det T₊(x, λ)

Ограничение (36) справедливо только при ν_s > |β|.

В пределе больших λ функции Йоста имеют

= [λ² + β²](1-signx)/2 det[T(1)-(x, λ), T⁽²⁾⁺(x, λ)].

(28)

асимптотики [16]:

Отсюда следует, что функция a(λ) допускает ана-

(

)

iλx

литическое продолжение в верхнюю полуплоскость

T₊(x, λ) = exp

σ₃

[I + o(1)], x > 0;

Imλ > 0, где в общем случае имеет нули, которые

(

)

будем предполагать простыми. Кроме того, она мо-

iλx

T₊(x, λ) = λ-1 exp

σ₃

[I + o(1)], x < 0;

жет иметь нуль в точке λ = i|β| (см. (15), (20), (28)).

(

)

(37)

Можно показать, что элемент a(λ) матрицы пере-

iλx

T_-(x, λ) = λ exp

σ₃

[I + o(1)], x > 0;

хода продолжается с вещественной оси в область

(

)

Imλ < 0, где выражается через a(λ^∗): a(λ) = a^∗(λ^∗).

iλx

Редукция a^∗(-λ) = -a(λ) (27) переносится с ве-

T_-(x, λ) = exp

σ₃

[I + o(1)], x < 0.

щественной оси в область Imλ > 0, где принимает

вид

Элемент a(λ) матрицы перехода восстанавлива-

a^∗(-λ^∗) = -a(λ).

(29)

ется по своим нулям, полюсам, асимптотическому

698

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Взаимодействие солитонов с границей ферромагнитной пластины

поведению при больших λ и коэффициенту отраже-

Представление (41) в пределе λ → +i0 с учетом

ния b(λ) [11, 16]:

последней из формул (25) дает значение

a(λ) =

a(λ = 0) = iβ det T₊(+0, λ) = iβ.

∏

(λ - λ_k)(λ + λ^∗k)

С другой стороны, из дисперсионного соотношения

= (λ + i α)

λ+iν_s

(λ + λ_k)(λ - λ^∗k)

(38) ввиду четности функции |b(μ)|² находим

s=1

k=1

(

)

∫

ln[1 - |b(μ)|²(μ² + β²)-1]

a(λ = 0) = i α (-1)^M

× exp

dμ

2πi

μ-λ

−∞

Таким образом, связь параметров α и β определена

равенством

Imλ > 0, α² = β².

(38)

β = α(-1)^M,

(43)

В формуле (38) N и M определяют соответственно

зависящим от числа мнимых нулей коэффициента

число комплексных (30) и чисто мнимых (31) нулей

a(λ).

коэффициента a(λ).

С помощью вспомогательного линейного уравне-

Для конкретизации в соотношении (38) связи

ния (21) мы построили отображение решений исход-

между параметром α и постоянной анизотропии β

ной начально-краевой задачи для НУШ на полу-

построим подходящее представление для элементов

оси в полный набор данных рассеяния. Он содержит

матрицы перехода. Таковое следует из (26) с учетом

спектральные плотности b(λ), где

(15) в пределе x → +0:

-∞ < λ < +∞,

T (λ) = T-1+(+0, λ) K(λ) T_-(-0, λ).

(39)

дискретные нули λ_j коэффициента a(λ)

Используя (33), при x → +0 выражаем T_-(-0, λ)

(Imλ_j

> 0) и нормировочные постоянные γ(λ_j)

через T₊(+0, λ):

= 1, 2, . . ., N + M). В новых переменных за-

T_-(-0, λ) = σ₁T∗+(+0, -λ^∗)σ₁,

дача интегрирования НУШ сводится к решению

линейных задач. Из последнего уравнения (19) вы-

и переписываем (39) в виде

текает привычная зависимость данных рассеяния

от времени:

T (λ) = T-1+(+0, λ)(λ + i βσ₃) σ₁T∗+(+0, -λ^∗)σ₁. (40)

Принимая во внимание, что det T₊(+0, λ) = 1, из

a(t, λ) = a(0, λ), b(t, λ) = b(0, λ) e-iλ2t,

(40) получаем полезные для дальнейшего анализа

γ(λ_j , t) = γ(0, λ_j) e-iλj t.

(44)

формулы для элементов матрицы перехода:

Значения постоянных интегрирования b(0, λ), λ_j ,

a(λ) = (λ + iβ)[T₊(+0, λ)]₂₂[T₊(+0, -λ^∗)]∗22-

γ(0, λ_j ) находим из уравнения (21) по заданно-

- (λ - iβ)[T₊(+0, λ)]₁₂[T₊(+0, -λ^∗)]∗12,

му начальному распределению намагниченности

χ(x, t = 0).

Imλ > 0;

(41)

Обратная задача рассеяния

b(λ) = -(λ + iβ)[T₊(+0, λ)]₂₁[T₊(+0, -λ^∗)]∗22+

Спектральная функция b(λ, t) параметризует

+ (λ - iβ)[T₊(+0, λ)]₁₁[T₊(+0, -λ^∗)]∗12,

спин-волновые цуги, которые расплываются с

λ∈R.

(42)

течением времени из-за преобладания эффектов

дисперсии над эффектами сжатия пакетов из-за

Напомним, что a(λ) является аналитической функ-

взаимодействия гармоник. Нули λ_j коэффициента

цией в верхней полуплоскости параметра λ. В (41)

a(λ) параметризуют структурно-устойчивые части-

она выражена через элементы столбца T⁽²⁾⁺(λ), ко-

цеподобные объекты — солитоны. Долгоживущим

торые аналитичны в той же области. Функция b(λ),

магнитным солитонам в отсутствие диспергирую-

напротив, не обладает какими-либо определенными

щих волн соответствует коэффициент a(λ) с нулями

свойствами аналитичности и определена лишь при

при условии b(λ) =^b(λ) ≡ 0.

λ ∈ R. Поэтому в правой части (42) следует брать

Для теоретического описания эволюции началь-

пределы компонент векторов T⁽²⁾⁺(λ) и T⁽¹⁾⁺(λ) из об-

ного распределения намагниченности в полубеско-

ластей их определения Imλ > 0 и Imλ < 0 на контур

нечной пластине с краевыми условиями (6), (7) сле-

−∞ < λ < ∞.

дует перейти от данных рассеяния к наблюдаемой

699

В.В. Киселев, А.А. Расковалов

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

величине χ(x, t). Специфика работ [16,17] состоит в

Рассмотрим кусочно-аналитическую функцию

том, что обратные отображения на интервалах

параметра λ:

⎧

0<x<∞ и

-∞<x<0

⎪T(1)-(x, λ)

⁽iλx⁾

⎨

exp

Imλ > 0,

a(λ)

оказываются разными и могут рассматриваться

F (x, λ) =

)

(47)

⎪

⁽iλ

независимо. Хотя построенные в конечном счете ре-

⎩T⁽¹⁾⁺(x, λ) exp

Imλ < 0.

шения НУШ — реальное при x > 0 и «фиктивное»

при x < 0 — связаны симметрией (12), соответству-

В силу оценок (46) ее значения в любой точке λ-

ющие им функции Йоста таким свойством не обла-

плоскости с помощью теоремы Коши выражаются

дают.

[10] через интеграл вдоль вещественной оси от скач-

Для

построения

искомых

решений

ка функции F (x, λ) при переходе этой оси, а также

ψ(x, t) = χ(x, t) задачи Коши для НУШ (5) с кра-

через вычеты функции T(1)-(x, λ) a-1(λ) exp (iλ x/2)

евыми условиями (6), (7) на интервале 0 < x < ∞

в нулях знаменателя a(λ). При α > 0 остаются толь-

исходим из первого столбца матричной связи (26)

ко вычеты в точках λ = λ_j (30), (31), в которых,

функций Йоста на вещественной λ-оси. Соответ-

согласно (32), имеем

ствующее равенство запишем в виде, удобном для

[

дальнейших вычислений:

⁽iλx^)]

Resλ=λj T(1)-(x, λ) a-1(λ) exp

(

)

T(1)-(x, λ)

⁽iλx⁾

exp

⁽iλ_j x⁾

a(λ)

= γ(λ_j)T⁽²⁾⁺(x,λ_j)[a^′(λ_j)]-1 exp

(

)

В отличие от [10] производные a^′(λ_j) и нормировоч-

)

⁽iλx

ные постоянные γ(λ_j ) теперь связаны редукциями

= T⁽¹⁾⁺(x, λ) exp

(29), (35), (36). При α < 0 элемент a(λ) в области

)

своей аналитичности имеет особый нуль λ = i|α|,

⁽iλx

+ T⁽²⁾⁺(x, λ)r(λ) exp

λ∈R,

(45)

поэтому у функции F (x, λ) в этой точке может по-

явиться полюс. В действительности таковой отсут-

где r(λ) = b(λ)/a(λ). Зависимость от времени t пока

ствует, так как согласно редукции (36) γ(i|α|) = 0, а

опускаем.

значит T(1)-(x, i|α|) = 0 при α < 0, x > 0.

Напомним,

что

векторная

функция

Интегральное представление для кусочно-

T(1)-(x, λ)a-1(λ) exp(iλx/2) является аналити-

аналитической функции F (x, λ) имеет вид

ческой в области Imλ > 0 всюду, кроме полюсов,

(

)

которые совпадают с нулями коэффициента a(λ)

∑

c_ny(x, λ_n)

(38). В общем случае их положения определяются

F (x, λ) =

λ-λ_n

формулами (30), (31). При α < 0 у элемента a(λ) в

∫

области Imλ > 0 появляется дополнительный осо-

T⁽²⁾⁺(x, μ)

⁽iμ x⁾

бый нуль λ = i |α|. Функция T⁽¹⁾⁺(x, λ) exp (iλ x/2)

dμ

r(μ) exp

(48)

2πi

μ-λ

будет аналитической в нижней полуплоскости пара-

−∞

метра λ. Асимптотическое поведение этих функций

где

при x > 0 и λ → ∞ дают формулы (см. (37), (38)):

(

)

y(x, λ_n) = T⁽²⁾⁺(x, λ_n) exp(i λ_nx/2),

T(1)-(x, λ)

⁽iλx⁾

⁽1⁾

exp

c_n = γ(λ_n)/a^′(λ_n), γ(λ_n)γ^∗(-λ^∗n) = -(α² + λ2n).

a(λ)

(

)

(46)

)

В этой и последующих формулах величины c_n и r(μ)

⁽iλx

⁽1⁾

T⁽¹⁾⁺(x, λ) exp

зависят от времени:

c_n(t) = c_n(t = 0)e^-iλ

^t,

r(μ, t) = r(μ, t = 0) e-iμ2t.

Процедура построения линейных интегральных

уравнений обратной задачи рассеяния для НУШ на

Последнее из свойств (25) переносится с веще-

полуоси (при 0 < x < ∞) отличается от таковой

ственной λ-оси в комплексную плоскость и для

на всей оси [10] лишь наличием дополнительных ре-

столбцов T⁽¹⁾⁺(x, λ) и T⁽²⁾⁺(x, λ) принимает вид

дукций и появлением у функции a(λ) особого нуля

λ = i|α| при α < 0. Обсудим, к чему это приводит.

T⁽¹⁾⁺(x, λ) = i σ₂ [T⁽²⁾⁺(x, λ^∗)]^∗, Imλ ≤ 0.

(49)

700

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Взаимодействие солитонов с границей ферромагнитной пластины

С учетом (49) представление (48) дает замкну-

где f(λ) = (λ + i α)/(λ - i α).

тую систему линейных интегральных уравнений для

Из системы (51) следует, что проекции векторов

расчета функций T⁽²⁾⁺(x, λ) при -∞ < λ < ∞ и дис-

y(x, t, λ_n) независимы. Согласно (47), (48), (22), со-

кретных значений y(x, λ_n) (Imλ_n > 0):

литонные решения НУШ выражаются через вторые

(

)

из них:

)

∑

⁽iλx

c_ny(x, λ_n)

∑

iσ₂[T⁽²⁾⁺(x, λ)]^∗ exp

λ-λ_n

χ(x, t) = -

c_n(t)y₂(x, t, λ_n),

0 ≤ x < ∞,

(54)

∫

T⁽²⁾⁺(x, μ)

⁽iμx⁾

и по построению удовлетворяют краевому условию

dμ

r(μ) exp

λ∈R;

2πi

μ - λ + i0

(6) с соотношением (43):

−∞

(

)

∑

-ixλ∗n

[∂_xχ - βχ]|x=0 = 0, β = (-1)^M α,

(55)

c_my(x, λ_m)e

iσ₂y^∗(x, λ_n) =

e-ixλn +

λ^∗n - λ_m

где M

— число нулей коэффициента ã(λ) вида

∫

)

λ = iν_s (ν_s > |α|).

T⁽²⁾⁺(x, μ)

⁽iμx

dμ

r(μ) exp

- ixλ^∗

2πi

μ-λ^∗n

−∞

(50)

4. АНАЛИЗ СОЛИТОНОВ В

ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ФЕРРОМАГНИТНОЙ

После того, как решение уравнений (50) найдено,

ПЛАСТИНЕ

формула (48) определяет значения функции F(x, λ)

Прецессирующие солитоны, локализованные

во всех точках верхней и нижней λ-полуплоскости.

около края пластины

Для солитонных состояний коэффициент отра-

Обсудим вначале коллективные возбуждения,

жения r(μ) ≡ 0 и значит функция F (x, λ) не име-

которые параметризуются мнимыми нулями функ-

ет скачка на вещественной оси λ. Поэтому оста-

ции ã(λ) (52). Оказывается, что все они отвечают

ются только алгебраические уравнения для расче-

неподвижным солитонам, ядра которых имеют ко-

та функций y^∗(x, λ_n) и y(x, λ_n). После простых пре-

лебательные степени свободы и локализованы около

образований можно исключить y^∗(x, λ_n) и получить

края x = 0 пластины.

замкнутую систему линейных уравнений для вычис-

Пусть M

ã(λ)

= (λ - iν)/(λ + iν)

ления y(x, λ_n):

и ν

|α|. Из соотношений

(53) найдем

√

(

)

(

)

|γ(i ν)|

(ν - α)/(ν + α) и запишем выраже-

∑

c^∗meix(λn-λm)

y(x, λ_n) =

eixλn +

ние для c₁(t) ≡ c(t) в виде

λ^∗m - λ_n

∑

⁽ν-α)1/2

c^∗mc_p eix(λn-λm)y(x, λ_p)

c(t) = 2ν

eiϕ(t), ϕ(t) = ν²t + δ₀,

(56)

(51)

ν+α

(λ^∗m - λ_n)(λ^∗m - λ_p)

p,m

— произвольная вещественная постоянная.

где δ₀

Формулы для мультисолитонов упрощаются, если

Тогда система (51) дает компоненты вектора y(i ν):

вместо функций γ(λ, t) и a(λ) ввести

ic^∗(t)e^-νx

γ(λ, t)

y₁(i ν) =

y₂(i ν) =

(57)

γ(λ, t) =

2νΔ(x)

Δ(x)

λ+iα

a(λ)

где Δ(x) = e^νx + |c(t)/(2ν)|²e^-νx, а формулы (54),

ã(λ) =

λ+iα

(55) дают солитонное решение НУШ:

∏

(λ - λ_k)(λ + λ^∗k)

√

(52)

c(t)

ν² - α²

λ+iν_s

(λ + λ_k)(λ - λ^∗k)

χ(x, t) = -

eiν2t+iδ0 ,

s=1

k=1

Δ(x)

ν ch(νx) + α sh(νx)

Тогда

ν² > α²,

0 < x < ∞,

(58)

c_n(t) = γ(λ, t)/ã^′(λ_n),

с краевым условием ∂_x ln χ|x=0 = -α (55). Солитон

(58) примыкает к краю x = 0 пластины. Согласно

γ(λ_n, t) γ^∗(-λ^∗n, t) = f(-λ_n),

(53)

формулам (2), компоненты намагниченности в ядре

γ(λ_n, t) = γ(λ_n, t = 0) e-iλn t,

солитона (58) совершают однородную прецессию с

701

В.В. Киселев, А.А. Расковалов

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

частотой ω = ν² вокруг нормали к плоскости плен-

Интересно, что при частичном закреплении спи-

ки.

нов на краю пленки (при |α| < ∞) частота прецессии

При α = 0 выражение (58) упрощается:

солитона (58) всегда больше определенного порого-

вого значения

χ(x, t) = -

eiν2t+iδ0 ,

(59)

ch(νx)

ω=ν² >α² =β².

и описывает солитон в отсутствие закрепления спи-

Для двухсолитонного возбуждения с двумя мни-

нов на границе x = 0 образца. В этом случае шири-

мыми нулями λ = i ν1,2 (52) функции c1,2(t) (53)

на солитона l ∽ ν-1, частота его прецессии ω = ν²

имеют вид

и максимальная амплитуда A = ν удовлетворяют

алгебраическим связям, которые допускают экспе-

^[ν₁ +ν₂](ν1,2 -α)1/2

риментальную проверку:

c1,2(t) = ±2 ν1,2

eiϕ1,2(t),

ν₁ - ν₂

ν1,2 + α

l-1 ∽

√ω ∽ A.

ν1,2 > |α|; ϕ1,2(t) = ν21,2t + δ1,2,

Для полубесконечной пластины при отсут-

где δ1,2 — произвольные вещественные постоянные.

ствии закрепления спинов на ее границе, когда

Вычисления, аналогичные прежним, дают решение

∂_xχ|x=0 = 0, энергия модели (5) записывается в

НУШ:

виде

χ(x, t) = -

[c₁(eν2x + e-ν2xf(-iν₂))+

∫∞

D₀

(

)

H =

|∂_xχ(x, t)|² - |χ(x, t)|⁴

dx.

+ c₂(eν1x + e-ν1xf(-iν₁))],

(60)

Слагаемые в скобках учитывают вклад обменно-

D₀ = e(ν1+ν2)^x + e-(ν1+ν2)^xf(-iν₁)f(-iν₂)+

дипольных взаимодействий, взаимодействие с по-

стоянным внешним магнитным полем и объемную

⁽ν₁ + ν₂)2 [e-(ν1-ν2) xf(-iν₁)+e(ν1-ν2) xf(-iν₂)]+

ν₁ - ν₂

энергию одноосной магнитной анизотропии [5, 7].

+ (c∗1c₂ + c₁c∗2)(ν₁ + ν₂)-2,

Солитон (59) локализован около границы x = 0

пленки, потому что притягивается к своему мнимо-

где f(-iν) = (ν - α)/(ν + α).

му изображению χ(-x, t) в нефизической области

В данном случае M = 2, поэтому поле (60) удо-

-∞ < x < 0.

влетворяет краевому условию ∂_x ln χ|x=0 = α (55).

Частичное закрепление спинов на границе плен-

Оно описывает нелинейную суперпозицию двух со-

ки и краевое условие [∂_xχ - βχ]|x=0 = 0 связаны с

литонов (58). Таковые локализованы около границы

появлением энергии поверхностной магнитной ани-

x = 0 образца в слоях толщиной порядка ν-11 и ν-12.

зотропии в функции Гамильтона системы:

Намагниченность в ядрах солитонов прецессирует с

∫∞

частотами ν²¹ и ν²² вокруг нормали к развитой по-

(

)

H =

|∂_xχ(x, t)|² - |χ(x, t)|⁴

dx + β|χ(x = 0, t)|².

верхности пленки.

Из-за взаимодействия солитонов амплитуда

каждого из них осциллирует с частотой |ν²¹ - ν²²|.

Когда постоянная β поверхностной анизотропии по-

Если для односолитонного состояния (58) компо-

ложительна, солитону энергетически выгоднее ото-

нента m₃ намагниченности на границе пленки была

двинуться от границы образца. В случае β < 0, на-

постоянной, то для двухсолитонного возбуждения

оборот, полная энергия системы снижается, когда

она совершает колебания с частотой |ν²¹ - ν²²| между

солитон плотнее прижимается к границе x = 0 плен-

двумя предельными значениями (см. рис. 2):

ки. Степень сжатия ядра солитона растет с увели-

чением |β|. В общем случае параметр α мультисо-

|χ(x = 0, t)|² = (ν²¹ - ν²²)²[ν²¹ + ν²² - 2α²-

√

литонов соотношением (43) связан с постоянной по-

-2

(ν²¹ - α²)(ν²² - α²) ×

верхностной магнитной анизотропии β. Для солито-

на (58) M = 1, а значит, β = -α. Структура такого

× cos(ϕ₁(t) - ϕ₂(t))]-1,

(61)

солитона вблизи границы x = 0 пленки количествен-

|χ|^2min = (ν²¹ - ν²²)²[(ν²¹ - α²)1/2 + (ν²² - α²)1/2]-2,

но и качественно меняется при изменении величины

|χ|^2max = (ν²¹ - ν²²)²[(ν²¹ - α²)1/2 - (ν²² - α²)1/2]-2.

и знака параметра α (см. рис. 1).

702

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Взаимодействие солитонов с границей ферромагнитной пластины

Когда нет закрепления спинов (при α = 0), из (61)

D = e-ix(λ0-λ0) + |f(-λ₀)|²eix(λ0-λ0)+

получаем

(

)₂

2|λ₀|

λ₀ + λ^∗

|ν₂ - ν₁| ≤ |χ(x = 0, t)| ≤ |ν₁ + ν₂|.

(



)



f(-λ0)

В общем случае мультисолитоны, параметризу-

|γ₀|²e-i(λ

-λ∗20)t +



ei(λ0-λ02)^t



γ₀



ющиеся разными наборами мнимых нулей (31) ко-

)₂

эффициента ã(λ), описывают серию долгоживущих

⁽λ₀ -λ∗0

приграничных колебаний намагниченности с дис-

λ₀ + λ^∗

(

)

кретными частотами амплитудной и фазовой моду-

ляции поля χ(x, t).

× f(-λ₀)ei(λ0+λ0)^x + f^∗(-λ₀

)e-i(λ0+λ0 )^x

Отражение движущихся солитонов от края

пластины

которое удовлетворяет краевому условию (55) с

Каждая пара комплексно сопряженных нулей

M = 2:

функции ã(λ) (30) параметризует один движущий-

∂_x lnχ|x=0 = α = β.

(63)

ся частицеподобный объект. На больших расстояни-

В справедливости (63) легко убедиться простой про-

ях от края пластины он принимает форму солито-

веркой с учетом равенств

на типичного для безграничной среды. Парные вза-

2iα

имодействия солитонов являются упругими: после

∂_xD|x=0 = 0,

1 - f(-λ₀) =

λ₀ + iα

столкновения у каждого из них изменяются только

2λ₀

начальная фаза внутренних колебаний и координа-

1 + f(-λ₀) =

λ₀ + iα

та центра. Между тем, около границы пленки из-за

взаимодействия с ней ядро движущегося солитона

Формула (62) описывает процесс распростране-

сильно деформируется. Взаимодействие с границей

ния частицеподобного возбуждения из внутренней

можно формально трактовать как взаимодействие

части пластины, где 0 < x < ∞, к границе x = 0,

реального солитона с фиктивным солитоном изоб-

его отражение от границы и последующее удаление

ражения. Поэтому столкновение каждого солитона

снова вглубь образца. Покажем, что на больших рас-

с краем пленки также оказывается упругим. Пояс-

стояниях от края пластины возбуждение (62) транс-

ним утверждение на примере простейшего солито-

формируется в движущийся прецессионный солитон

на, который параметризуют два нуля λ = λ₀, -λ∗0

безграничного образца. Для этого заметим, что ха-

(Imλ₀ > 0) коэффициента ã(λ) (52):

рактер решения (62) при значениях x ≫ 1 опреде-

ляется конкуренцией слагаемых в числителе с экс-

(λ - λ₀)(λ + λ∗0)

поненциальными множителями exp[±u(x + νt)/2],

ã(λ) =

(λ + λ₀)(λ - λ∗0)

exp[±u(x - νt)/2] и ведущих членов в знаменателе с

коэффициентами e^±ux, e^±uνt, где ν + i u = 2λ₀. По-

Из (53) находим функции c1,2(t):

скольку Imλ₀ > 0, параметр u всегда положителен.

2λ₀(λ₀ - λ∗0)

Примем для определенности, что параметр ν также

c₁(t) =

γ₀ e-iλ0 t,

положителен. Значения u и ν задают соответственно

(λ₀ + λ∗0)

размер l₀ ∽ u-1 солитона и его скорость. Действи-

2λ∗0(λ₀ - λ∗0)

c₂(t) =

f^∗(-λ₀) e-iλ02 t,

тельно, при x ≫ 1 в пределе t → ±∞ в системах от-

(λ₀ + λ∗0) γ^∗

счета, связанных с солитоном, когда x ∓ νt = const,

где γ0 — произвольная комплексная постоянная,

его структура описывается выражениями

f (λ) = (λ + i α)/(λ - i α). Формулы (51), (54) опре-

деляют солитонное решение модели (5):

χ(x, t → ±∞) ≈

[

)]

⁽ (u² - ν²) t

νx

)

≈ Imλ₀ exp i

+ϕ_±

⁽λ₀ -λ∗0

χ(x, t) = -

[

]

D λ₀ +λ^∗

[

× ch-1

(x ∓ νt - x_±) ,

(64)

⁽λ₀f(-λ₀)),

× λ₀γ₀e-iλ0t(eiλ0x + f^∗(-λ₀)e-iλ0x)+

ϕ₊ = arg(γ₀λ₀), ϕ_- = - arg

γ₀

]



λ∗0f^∗(-λ₀)

 2λ0γ0



 2λ0f(-λ0)



e-iλ02t(e-iλ0x + f(-λ₀)eiλ0x) ,

(62)

x₊ =

ln

,

x_- =



γ∗0

λ₀ +λ∗0

 (λ₀ + λ∗0)γ₀



703

В.В. Киселев, А.А. Расковалов

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Формулы (64) определяют простейший солитон без-

жение для простейшего из таких солитонов:

граничного образца [10, 11], движущийся вдоль оси

(

)

2i⁽u⁾

i (u² - ν²) t

x со скоростью ±ν. Из (64) следует, что на больших

χ(x, t) = -

exp

расстояниях от края x = 0 пленки единственным ре-

D ν

(

[

(

)

зультатом взаимодействия солитона с границей ока-

iνx

зывается изменение фазы внутренней прецессии и

× λ₀γ₀ exp

(x + ν t)

сдвиг центра солитона. В системах отсчета, связан-

(

)]

iνx

ных с солитоном, намагниченность совершает пре-

+ θexp

(x - ν t)

цессию с частотой Ω = (u² +ν²)/4 вокруг нормали к

[

(

)

плоскости пленки. Изменение начальной фазы пре-

λ∗0

iνx

exp

(x + ν t)

цессии солитона после его отражения от границы

γ∗0

(

)])

имеет вид

iνx

+ θexp

(x - ν t)

(66)

[

[ (

)]

⁽2|λ₀|)2

λ₀ - iα

D = 2 ch(ux) +

ch(u ν t + ln |γ₀|²)-

ϕ₊ - ϕ_- = arg λ₀

λ₀ + iα

]

)₂

⁽u

-θ

cos(νx)

Сдвиг фазы зависит от параметра закрепления по-

где ν + i u = 2λ₀, θ ≡ -1. Нетрудно проверить, что

верхностных спинов α (α² = β²), а также от ком-

(66) удовлетворяет краевому условию (65).

плексного числа λ₀ = (ν + i u)/2, вместо которого

Обратный случай свободных спинов (α

= 0)

можно использовать подходящие наблюдаемые ве-

описывается тем же выражением (66) при θ ≡ 1.

личины, например, ширину u-1 и скорость ν соли-

В этом случае f(-λ₀)

= 1. В обоих случаях,

тона или скорость ν солитона и частоту его прецес-

α = 0 и α → ∞, после отражения от границы

сии Ω. Отсюда следует, что измерение сдвига фазы

солитон имеет одинаковый сдвиг центра тяжести

солитона после его отражения от границы образца

Δx = x₊ - x_- = 4 u-1 ln γ₀ (рис. 3).

дает информацию о параметре α. Это обстоятель-

ство можно использовать для диагностики состоя-

ния спинов на краю пленки. В работе [21] теорети-

5. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ

чески предсказано и экспериментально подтвержде-

НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ В

но отражение солитона продольной деформации от

ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛЕНКЕ

торца нелинейно-упругого стержня. Подобные про-

цессы характерны и для солитонов в ферромагнит-

Рассмотренную процедуру можно интерпретиро-

ных пленках.

вать как нелинейный аналог решения методом Фу-

рье краевой задачи для линейного дифференциаль-

Полному закреплению спинов на краю пленки

ного уравнения. Действительно, в малоамплитуд-

соответствует условие Дирихле

ном пределе при отсутствии солитонов, когда спра-

ведливы соотношения

)

χ(x = 0, t) = 0,

(65)

⁽iλx

α = β, a(λ) = λ + iβ,

[T⁽²⁾⁺(x, λ)]₂ ≈ exp

волновое поле χ(x, t), найденное по формулам (48),

которое получается из общего условия (55) в преде-

(22), имеет вид

ле |β| = |α| → ∞. В этом случае функция ã(λ) (52)

не имеет чисто мнимых нулей, так как их существо-

∫

вание противоречит ограничению (36). Отсюда сле-

χ(x, t) ≈

dμ r(μ, t)e^ixμ =

2πi

дует, что при полном закреплении спинов отсутству-

-∞

ют долгоживущие локализованные колебания около

∫

[

]

грани x = 0 пластины. В то же время, в пластине

e^ixμ

e^-ixμ

dμ b(μ, t = 0)e-iμ2t

допустимо формирование движущихся мультисоли-

2πi

μ + iβ

μ - iβ

тонов. В пределе α → ∞ функция f(-λ₀) → -1,

x ≥ 0,

(67)

поэтому из (62) сразу находим аналитическое выра-

704

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Взаимодействие солитонов с границей ферромагнитной пластины

и, следовательно, связано с коэффициентом отра-

При n = 1 второе слагаемое в правой части равен-

жения r(μ) задачи рассеяния стандартным преоб-

ства отсутствует. Диагональная матрица Z(+0, λ)

разованием Фурье. При переходе к правой части

выражается через ω_n(x):

формулы (67) мы учли нечетность функции b(λ)

∫

∞

(27). Непосредственной проверкой легко убедится,

∑

что формула (67) дает решение линеаризованного

Z(+0, λ) =

[χ^∗(z) ω_n(z)(I + σ₃)-

λⁿ

n=1

уравнения (5) на интервале 0 < x < ∞ с краевыми

условиями (6), (7).

- χ(z) ω^∗n(z)(I - σ₃)]dz.

(70)

Хорошо известно, что далекие фурье-

После простых вычислений находим первые наи-

компоненты функций, не имеющих особенностей на

более важные из интегралов движения [16]:

вещественной оси, экспоненциально малы [22]. В

данной задаче из-за продолжения поля χ(x) на всю

a(λ)

2i N

вещественную ось его производные приобретают

√

H+...,

(71)

λ² + β²

λ³

скачки в точке x = 0. Когда волновое поле ψ(x) или

его производные имеют скачки на вещественной оси,

где

∫

∞

экспоненциальная малость его фурье-компонент

N =

|∂_xχ(x, t)|²dx -

r(μ) при μ → ∞ превращается в степенную [22].

Указанную закономерность преобразований Фурье

наследуют спектральные плотности b(μ) обратной

— число спиновых отклонений [23, 24], а

задачи рассеяния. В этом разделе мы получим

∫

∞

степенное разложение для коэффициента b(μ)

(

)

при μ → ∞. Для построения чисто солитонных

H =

|∂_xχ(x, t)|² - |χ(x, t)|⁴

dx+

возбуждений в полубесконечной пластине отличие

β³

функций b(μ) от тех, что были в безграничной

+ β|χ(x = 0, t)|² +

пластине, не существенно, так как для солитонов по

определению b(μ) ≡ 0. В то же время, мы покажем,

— функция Гамильтона (энергия) магнитных коле-

что условие b(μ) ≡ 0 приводит к дополнительным

баний в пленке.

законам сохранения для волнового поля на границе

образца, обеспечивающим локализацию солитонных

С другой стороны, ряд по степеням λ-1 для

колебаний вблизи края пленки и упругое отражения

функции a(λ) сразу следует из (38). Напомним,

движущихся солитонов от границы образца.

что β = (-1)^M α. Сравнение двух разложений для

√

λ² + β² дает явные формулы для N и H при

a(λ)/

Получим серию локальных интегралов движе-

наличии солитонов и диспергирующих волн в полу-

ния для солитонов и диспергирующих волн в пла-

бесконечной пластине:

стине из разложения по степеням λ-1 не зависящего

∫

∞

∑

от времени функционала a(λ). Воспользуемся фор-

N = n(μ)dμ + 2 Imλ_k + ν_s -

;

мулой (41) для a(λ), в которую введем представле-

k=1

ние функции Йоста T₊(+0, λ) в виде

∫

∞

∑

α³

T₊(+0, λ) = (I + W(+0, λ))eZ(+0,λ).

(68)

H =

μ²n(μ)dμ +

Imλ3k -

ν3s +

(72)

k=1

s=1

Разложение по обратным степеням λ антидиаго-

нальной матрицы W (x, λ) при x ≥ 0 получено в [11]:

Величина

∑

(

)

|b(μ)|

W (x, λ) =

[ω^∗n(x)σ₊ -ω_n(x)σ_-], x ≥ 0. (69)

n(μ) = -

λⁿ

n=1

2π

μ² + α²

Здесь ω₁ = χ(x), следующие коэффициенты опреде-

имеет смысл плотности спин-волновых мод с волно-

ляются рекуррентно:

вым числом μ. Дискретные слагаемые в (72) соот-

ветствуют аддитивным вкладам в интегралы дви-

∑

жения от разных солитонов.

ωn+1(x) = -i ∂_xω_n(x) - χ^∗(x)

ω_k(x)ω_n-k(x),

k=1

Покажем, что для полубесконечной пластины с

n = 1,2,

краевыми условиями (6), (7), в отличие от случая

705

В.В. Киселев, А.А. Расковалов

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

неограниченного образца, спектральная плотность

представляет сумму аддитивных вкладов от солито-

спиновых волн b(λ) в пределе λ → ∞ имеет не экспо-

нов и диспергирующих волн, существует серия но-

ненциальную, а степенную малость. Для этого вос-

вых законов сохранения для волнового поля на краю

пользуемся формулой (42). Вычисления упрощают-

пленки. Последние гарантируют возможность лока-

ся, если с помощью соотношения (49) правую часть

лизации солитоноподобных колебаний намагничен-

равенства (42) выразить через те же функции, что

ности около границы образца и упругое отражение

были использованы в формуле (41) для коэффици-

от нее движущихся солитонов.

ента a(λ):

Полученные формулы для мультисолитонов мо-

b(λ) = (λ + iβ)[T₊(+0, λ^∗)]∗12[T₊(+0, -λ^∗)]∗22+

гут быть использованы как пробные для аналитиче-

ского описания солитонных состояний вблизи гра-

+ (λ - iβ)[T₊(+0, λ^∗)]∗22[T₊(+0, -λ^∗)]∗12,

ниц образцов конечных размеров. Они полезны для

λ∈R.

(73)

верификации численных расчетов. Могут стать ос-

Используя соотношения (68)-(70), (73), находим

новой экспериментов по диагностике закрепления

спинов на поверхности образца, по измерению сдви-

асимптотическое разложение при λ ≫ 1 для функ-

ции b(λ):

га фазы солитонов после их отражения от границы.

∑

В заключение, обсудим условия зарождения со-

b(λ) = 2

(ω2k + i β ω2k-1)|x=0 ×

литонов в полубесконечной пленке. Пусть λ, T , A

λ2k-1

— характерный пространственный, временной мас-

k=1⎛

⎞

∫

∞

∑

штабы модуляций спиновой волны и их амплитуда

× exp^⎝2 i

χ^∗(z)ω2n(z)λ-2ndz⎠.

(74)

соответственно. Поскольку при образовании солито-

n=1 0

нов имеет место баланс эффектов дисперсии и нели-

нейности, из размерного уравнения НУШ (1) полу-

Первый член ряда имеет вид



чаем оценки:

)]

^[ 2i

(

)

( 1



b(λ) =

∂3xχ - β∂2xχ + 4β|χ|²χ



λ³

λ⁵

|∂2kω(k)|

x=0

λ² ∽

T ∽

(

∫

∞

))

gA²

( 1

× exp

χ^∗(z)∂_zχ(z)dz + O

λ²

λ⁴

Здесь ω(k) — зависящая от волнового числа k час-

тота основной гармоники, g — постоянная взаимо-

Разумеется, для чисто солитонных состояний все

действия волн. Напомним, что в области возбуж-

предэкспоненциальные множители в (74) обращают-

дения солитонов выполняется критерий Лайтхилла

ся в нуль. Для простейшего солитона (58) в справед-

(4). Пусть формирование солитонов (на границе или

ливости тождества

внутри пленки) происходит из импульсов продолжи-



тельностью τ_ext. Тогда λ ∽ c_gτ_ext, где c_g = ∂_kω(k) —

(

)



групповая скорость спиновых волн, и для пороговой

∂3xχ - β∂2xχ + 4β|χ|²χ



x=0

амплитуды накачки, начиная с которой возможно

генерирование солитонов, получаем оценку

легко убедиться прямой проверкой.

gA² ∽ |∂2kω(k)|/(c_gτ_ext)².

Таким образом, для мультисолитонов в полубес-

При этом для возможности образования солито-

конечной пластине (0 ≤ x < ∞) существует серия

нов огибающей должно выполняться неравенство

нетривиальных связей между полем χ(x, t) и его

λ ≫ k-1. Согласно [4,7], при τ_ext = 10-20нс в обла-

пространственными производными на границе x = 0

сти существования солитонных состояний k > 10³-

образца.

10⁴см-1. Рассмотрение меньших волновых чисел

недопустимо. Дело в том, что закон дисперсии ω(k)

не дифференцируем в точке k

= 0 и в окрест-

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ности этой точки нелинейная динамика магнитной

В работе показано, что в полубесконечной пла-

пленки описывается другим уравнением с нелокаль-

стине при любом локализованном начальном рас-

ным дисперсионным членом [25]. Нелокальная часть

пределении намагниченности кроме серии локаль-

магнитостатической дисперсии сглаживает неодно-

ных интегралов движения, каждый из которых

родности распределения намагниченности в пленке.

706

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Взаимодействие солитонов с границей ферромагнитной пластины

В результате в длинноволновом пределе отсут-

10.

В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П.

ствуют экспоненциальные солитоны типичные для

Питаевский, Теория солитонов: метод обрат-

локального НУШ. Вместо них формируются но-

ной задачи, Наука, Москва (1980).

вые слаболокализованные обменно-дипольные со-

11.

Л.Д. Фаддеев, Л.А. Тахтаджян, Гамильтонов

стояния типа алгебраических солитонов.

подход в теории солитонов, Наука, Москва

Генерирование солитонов, локализованных око-

(1986).

ло края пленки, из импульсов внешнего воздействия

происходит пороговым образом по амплитуде накач-

12.

Н.Н. Ахмедиев, А. Анкевич, Солитоны: нели-

ки. Изменение числа таких солитонов должно при-

нейные импульсы и пучки, Физматлит, Москва

водить к появлению дискретных частот резонанс-

(2003). N. Akhmediev and A. Ankiewicz, Solitons:

ных колебаний намагниченности около края образ-

Non-linear pulses and beams, Springer US (1997).

ца, проявляться в характерных частотных и ампли-

13.

Ю.С. Кившарь, Г.П. Агравал, Оптические со-

тудных модуляциях компоненты намагниченности,

литоны. От волоконных световодов к фотон-

перпендикулярной к плоскости пленки.

ным кристаллам, Физматлит, Москва (2005). Y.

Финансирование. Работы выполнена в рам-

S. Kivshar and G. P. Agrawal, Optical Solitons:

ках государственного задания министерства науки и

From fibers to photonic crystals, Academic Press

высшего образования РФ, тема «Квант» № AAAA-

(2003).

A18-118020190095-4.

14.

Н.Н. Розанов, Диссипативные оптические со-

литоны. От микро- к нано- и атто-, Физмат-

лит, Москва (2011).

ЛИТЕРАТУРА

15.

H. C. Yuen and B. M. Lake, Adv. Appl. Mech. 22,

1. Б.А. Калиникос, Н.Г. Ковшиков, А.Н. Славин,

67 (1982).

Письма в ЖЭТФ 38, 343 (1983).

16.

П.Н. Бибиков, В.О. Тарасов, ТМФ

79,

334

2. Б.А. Калиникос, Н.Г. Ковшиков, А.Н. Славин,

(1989).

ЖЭТФ 94, 159 (1988).

17.

V. O. Tarasov, Inverse Problems 7, 435 (1991).

3. В.A. Kalinikos, N.G. Kovshikov, and A.N. Slavin,

18.

И.Т. Хабибуллин, ТМФ 86, 43 (1991).

Phys. Rev. B. 42, 8658 (1990).

19.

A.S. Fokas, Physica D 35, 167 (1989).

4. А.Б. Борисов, В.В. Киселев, Квазиодномер-

ные магнитные солитоны, Физматлит, Москва

20.

Е.К. Склянин, Функц. ан. прил. 21, 86 (1987).

(2014).

21.

Г. В. Дрейден, А. В. Порубов, А. М. Самсонов,

И. В. Семенова, ЖТФ 71, 1 (2001).

5. А.К. Звездин, А.Ф. Попков, ЖЭТФ 84, 606

(1983).

22.

А.Б. Мигдал, Качественные методы в кванто-

вой теории, Наука, Москва (1979).

6. R.E. De Wames and T. Wolfram, J. Appl. Phys.

41, 987 (1970).

23.

A.M. Косевич, Е.А. Иванов, А.С. Ковалев,

Нелинейные волны намагниченности. Динами-

7. В.В. Киселев, А.П. Танкеев, А.В. Кобелев,

ческие и топологические солитоны, Наукова

ФММ 82, 38 (1996).

думка, Киев (1983).

8. Б.А. Калиникос, Изв. вузов. Физика 25,

24.

A.M. Kosevich, B.A. Ivanov, and A.S. Kovalev,

(1981).

Phys. Rep. 194, 117 (1990).

9. G.B. Whitham, Linear and nonlinear waves, John

25.

V.V. Kiselev and A.P. Tankeyev, J. Phys.:

Willey and Sons, inc. (1974).

Condens. Matt. 8, 10219 (1996).

707