ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 5 (11), стр. 730-736

ЭЛЕКТРОННАЯ СТРУКТУРА ОЦК-ЛИТИЯ В УСЛОВИЯХ

ВНЕШНЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ

В. А. Попов^*, А. В. Попов^**

Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова

656038, Барнаул, Россия

Поступила в редакцию 16 мая 2022 г.,

после переработки 09 июня 2022 г.

Принята к публикации 20 июня 2022 г.

На примере лития рассмотрена оригинальная методика описания возбужденных состояний электронов в

кристаллических структурах. Показано, что спектр электронов в литии претерпевает незначительные из-

менения при больших значениях параметра решетки вплоть до 8.77 боровских радиусов. Времена жизни

возбужденных электронов внешних состояний s- и p-симметрии существенно различаются при значениях

параметра решетки d < 8.77 боровских радиусов. Обнаружено метастабильное кристаллическое состо-

яние ОЦК-лития, почти не зависящее от мощности возбуждения при значении постоянной решетки,

равном 6.55 боровских радиуса, соответствующем значению постоянной ОЦК-решетки лития в основном

состоянии.

DOI: 10.31857/S004445102211013X

В работе [10] проведено сравнение результатов рас-

EDN: LAAGNI

чета различными методами теоретического исследо-

вания кластеров лития.

Стоит отметить, что электронная структура и

1. ВВЕДЕНИЕ

связанные с ней физико-химические свойства для

кристаллического лития в основном состоянии изу-

Литий является одним из наиболее изученных

чалась давно и многими авторами (см., например,

щелочных металлов. Он имеет единственный ва-

работы [11-13] и ссылки к ним). Результаты ис-

лентный электрон, что позволяет с легкостью ис-

следования электронного строения лития от малых

пользовать модель почти свободных электронов. В

кластеров Li_n (n = 4-40) до объемного металла и

связи с этим первые успехи были достигнуты в

поверхностей представлены в обзоре [14]. Свойства

изучении электронной структуры так называемо-

электронов металлического лития в условиях теп-

го «объемного» лития. Позже появились работы

ловых, оптических, рентгеновских и примесных воз-

по структурным свойствам малых кластеров лития.

буждений настолько небольшой интенсивности, что

Так, в работе [1] впервые были изучены структуры

позволило пренебречь изменениями энергетической

Li₃ и Li₄, в работе [2] — кластеры Li_n (n = 3-6), а в

зонной структурой, рассмотрены в [15-17]. Однако

работе [3] проведено первое систематическое изуче-

вопрос о механизме формирования кристаллическо-

ние зависимости геометрии кластера от электронной

го лития в условиях внешнего воздействия остается

структуры. Дальнейшие исследования были направ-

открытым. Электроны формируемых систем испы-

лены на уточнение ранее обнаруженных структур и

тывают орбитальные переходы, приводящие к обра-

поиск новых стабильных структур [4-8]. В работе [9]

зованию возбужденных структур с различным вре-

на примере кластеров лития было показано, что ме-

менем жизни, что добавляет существенные трудно-

таллические кластеры похожи в электронном строе-

сти не только при теоретическом описании, но и при

нии на простые молекулы. Так, электронные состо-

экспериментальном изучении происходящих процес-

яния и химические связи кластеров Li₄, Li₁₀ и Li₈

сов. При этом особого внимания заслуживают мето-

схожи с молекулами F₂, N₂, и CH₄ соответственно.

ды, основывающиеся на первых принципах кванто-

вой механики, не требующие введения каких-либо

^* E-mail: pva379@mail.ru

^** E-mail: Popov.Barnaul@mail.ru

эмпирических параметров.

730

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Электронная структура ОЦК-лития в условиях внешнего воздействия...

Один из подходов к описанию возбуждений опи-

чета систем с небольшим числом электронов, даже

рается на формализм многочастичной теории воз-

при использовании адаптивных схем расчета [25,26].

мущений, позволяющей учесть все взаимодействия

В настоящей работе рассмотрена методика описа-

между частицами. Данная теория дает адекватные

ния электронной структуры кристаллического ли-

результаты в случае, если возмущения малы [18]. Ес-

тия в условиях внешнего воздействия с учетом изме-

ли же возмущения велики, то возникает ряд труд-

нений энергетических уровней, позволяющая в рам-

ностей технического характера. При этом остает-

ках единого подхода оценить время жизни возбуж-

ся открытым вопрос и об учете сплошного спек-

дения.

тра в задаче на собственные значения энергии элек-

тронов. До сих пор отсутствуют четкие критерии,

позволяющие ограничить бесконечный набор дис-

2. МЕТОД РАСЧЕТА

кретных состояний и континуум. Для описания ди-

намики электронов в металлах часто используют

Известно, что спектр оператора Гамильтона си-

теорию ферми-жидкости. При этом низкоэнергети-

стемы электронов в кристалле включает бесконеч-

ческие возбуждения системы описываются с помо-

ное число дискретных состояний и континуум. Это

щью невзаимодействующих фермионов — квазича-

существенно затрудняет использование даже одно-

стиц, являющихся, по сути, долгоживущими воз-

электронных функций при решении спектральной

буждениями, скорость затухания которых опреде-

задачи. К сожалению, четкие критерии, позволя-

ляется мнимой частью собственной энергии квази-

ющие ограничить набор дискретных состояний и

частицы. Эволюция такой системы описывается при

учесть вклад сплошного спектра, отсутствуют. Один

помощи одночастичной функции Грина. Для функ-

из способов преодоления этих трудностей, предло-

ции Грина системы с обычным кулоновским взаи-

женный в работе [27], заключается в усреднении

модействием между электронами существует стро-

полной энергии электронов по всем значениям вол-

гое уравнение движения, включающее двухчастич-

нового вектора k в зоне Бриллюэна, позволяющем

ную функцию Грина, однако решение этого уравне-

в результате существенно сократить численные рас-

ния в настоящее время затруднено. Формально точ-

четы.

ная система уравнений, позволяющая получить са-

Следуя работе [27], представим полную энергию

мосогласованное решение для функции Грина, бы-

E_T всех электронов многоатомной системы в ви-

ла получена Хедином [19]. Тем не менее для опи-

де суммы кинетической энергии E_K , энергии куло-

сания многих систем используются именно прибли-

новского электронно-ядерного взаимодействия E_N ,

жения, из которых наиболее популярным являет-

энергии кулоновского взаимодействия электронов

ся GW-приближение. При этом наилучшее согла-

E_E, энергии кулоновского взаимодействия ядер E_C,

сие с экспериментальными данными достигается в

обменно-корреляционного взаимодействия электро-

случае слабых возмущений многоэлектронной си-

нов E_EX :

стемы. Более того, в ряде случаев наблюдается несо-

ответствие экспериментальным данным, например,

E_T = E_K + E_N + E_E + E_C + E_EX.

(1)

при описании изоляторов Мотта и получении фото-

эмиссионного спектра материалов [20]. Хорошо со-

В каждом из перечисленных слагаемых в (1) зало-

гласующееся с экспериментом описание свойств си-

жено суммирование по состояниям, занятым элек-

стемы взаимодействующих частиц можно получить,

тронами, с номерами i и волновым векторам k.

используя теорию функционала электронной плот-

Волновую функцию в кристаллической ячейке

ности [21]. Основная сложность при реализации дан-

разложим по полному набору базисных функций

ного подхода заключается в том, что необходимо по-

{φ_n(r)}:

лучить точный функционал, универсальный вид ко-

∑

(

)

торого неизвестен [22,23]. Многоконфигурационное

Ψ_ik(r) =

C_ij

S-1/2

φ_n(r).

(2)

приближение, позволяющее учесть все взаимодей-

j,n

ствия электронов, дает наилучшее совпадение с экс-

периментальными данными [24]. Однако ряды, ре-

Здесь C_ij — коэффициенты разложения, S — мат-

ализующие данный подход, чрезвычайно слабо схо-

рица интегралов перекрывания, отличная от еди-

дятся, а расчеты настолько трудоемки ввиду экспо-

ничной, если функции φ_n(r) не ортонормированы.

ненциального роста вычислительных затрат с уве-

В качестве φ_n(r) выберем кристаллические функции

личением числа частиц, что применяются для рас-

гауссова типа. Для состояний s-симметрии предста-

731

В. А. Попов, А. В. Попов

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

вим их в виде суммы по R_p — векторам прямой ре-

волнового вектора k зоны Бриллюэна в выражении

шетки при больших α_n:

для полной энергии (1), может быть пренебрежимо

малой. При этом аналитически выполненное усред-

)3/4

∑

⁽2α_n

нение позволяет существенно сократить численные

φ_n(r) =

√

exp{ik · R_p-

расчеты.

Ω p

После того, как выполнено интегрирование по

- α_n|R_p - r + a_n|²}, α_n ≥ α₀,

(3)

волновым векторам k в выражении для полной энер-

и в виде суммы по K_p — векторам обратной решетки

гии (1), из условия минимума может быть получе-

на система алгебраических уравнений для вычисле-

при малых α_n:

ния вариационных коэффициентов C_ij — теперь уже

(

{

)3/4 ∑

средних по зоне Бриллюэна:

2π

φn(r) =

exp i(K_p + k) · (r - a_n)-

α_nΩ2

HC = ESC.

(6)

}

|K_p + k|

α_n ≤ α₀.

(4)

4α_n

Здесь E

— диагональная матрица собственных

значений, C

— матрица собственных векторов,

Здесь a_n — вектор, указывающий положение атома

— матрица интегралов перекрывания функ-

в ячейке объемом Ω,

ций гауссового типа, H — матрица с элементами

K_max

оператора кинетической энергии, кулоновского

α₀ =

(5)

2R_max

электрон-ядерного взаимодействия, кулоновского

взаимодействия электронов, кулоновского вза-

— параметр сходимости, выбираемый так, чтобы обе

имодействия ядер и обменно-корреляционного

суммы по решеткам в (3) и (4) имели одинаково

взаимодействия электронов, вычисленных на

быструю сходимость до максимальных значений ра-

базисных функциях (3), (4).

диусов R_max и K_max сфер, охватывающих близкое

Стоит отметить, что ОЦК-литий (с объемной

друг к другу число узлов как по векторам прямой

гранецентрированной решеткой) имеет энергетиче-

решетки R_p в (3), так и по векторам обратной ре-

ские зоны, заполненные лишь наполовину. Изло-

шетки K_p в (4). Отметим, что построенная функ-

женный же выше метод основывается на интегри-

ция (3) удовлетворяет теореме Блоха, а представле-

ровании по всей зоне Бриллюэна в предположении,

ние (4) есть результат фурье-преобразования функ-

что все энергетические зоны полностью заполнены

ции (3) к сумме по векторам обратной решетки.

и слабо зависят от волнового вектора. Однако, как

Важно, что функции p-, d-, f-, . . . симметрии легко

показано в [28], предложенный подход дает прием-

получить через функции s-симметрии (3) и (4) диф-

лемые результаты для ОЦК-лития даже без увели-

ференцированием по компонентам вектора a_n. От-

чения размеров ячейки.

метим, что эта идея лежит в основе последующих

Далее перейдем к учету внешнего воздействия.

аналитических вычислений методом дифференци-

Для начала рассмотрим матрицу оператора кинети-

рования всех матричных элементов.

ческой энергии с элементами

В каждом слагаемом выражения (1) для пол-

∫

(

)

ной энергии выполним интегрирование по волновым

ℏ²

K₁₂ ≡ φ∗1(r)

△ φ₂(r)d³r.

(7)

векторам k в зоне Бриллюэна для каждой поло-

сы с номером i в предположении слабой зависимо-

сти спектра и волновой функции от волнового век-

Здесь оператор Лапласа △ в сферической системе

тора k. Это предположение вполне оправдано для

координат содержит угловую часть

остовных состояний. Для внешних состояний оно бу-

(

)

∂

∂²

дет также приемлемым для полос, полностью запол-

Λ=

sinθ

(8)

sinθ ∂θ

∂θ

sin² θ ∂ϕ²

ненных электронами, и тем точнее, чем уже поло-

са с номером i. Отметим, что при кратном увели-

собственные значения которой обычно представля-

чении размера ячейки прямой решетки во столько

ют в виде

же раз уменьшается размер зоны Бриллюэна, следо-

Λ = -l(l + 1).

(9)

вательно, энергетические полосы сужаются. Таким

образом, при достаточно больших размерах ячей-

Если собственные функции оператора (8) регуляр-

ки прямой решетки погрешность, вносимая от за-

ны, то l в (9) принимает только целочисленные зна-

ранее выполненного усреднения по всем значениям

чения l = 0, 1, 2, . . .

732

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Электронная структура ОЦК-лития в условиях внешнего воздействия...

Поскольку любое внешнее воздействие на элек-

возбуждения для квадрата момента импульса мож-

трон приводит к изменению ее импульса и момента

но вычислить по формуле

импульса, собственные значения соответствующих

∑

′

L₁₂ ≡ (S-1/2)1n

B+nkΛ

B_ki(S-1/2)_ijMj2.

(12)

им операторов также изменяются. Если не накла-

ijn

дывать периодических граничных условий на соб-

ственные функции оператора (8) по полярной уг-

Здесь при α ≤ α₀

ловой переменной θ, то собственные значения (9)

∫

оператора (8) будут произвольными. Не будем огра-

∑

ℏ²

d³r

ничиваться рассмотрением только целочисленных

M₁₂ ≡

(u + iv) ϕ∗1(r)ϕ₂(r)

|R_p + r|²

значений орбитального квантового числа l. В об-

(

)

щем случае можно считать его комплексным чис-

ℏ²π²

∑

K2p

(u + iv)S₁₂

exp iK_p · a -

лом, L = l + x + iy, где l пусть по-прежнему прини-

mΩ

K_p

4α

p=0

мает только целочисленные значения l = 0, 1, 2, . . .

(13)

Это позволяет включить в рассмотрение нерегуляр-

ные решения, описывающие спонтанный распад ор-

и при больших значениях α ≥ α₀

битальных возбуждений за конечное время τ, кото-

рое в соответствии с принципом неопределенностей

ℏ²(u + iv)

Гейзенберга обратно пропорционально ширине энер-

M₁₂ =

S₁₂×

гетического уровня, Γ ∼ ℏ/τ

[29]. При этом веро-

∑

^{√

erfc(i√α - α0|Rp + a|)

ятность обнаружить электрон в данном состоянии

πα

exp(-α|R_p+a|²)+

i|R_p + a|

будет затухать по экспоненциальному закону вида

(

)

exp(-Γ t/ℏ). Волновая функция

2π² [∑

K2p

{ (

)

}

exp iK_p · a -

iΓ

K_p

4α

p=0

Ψ(r, t) = ψ(r) exp

-i E -

(10)

ℏ

)

^(√α - α₀

^√α-α₀]},

описывающая состояния с затуханием, по-прежнему

× erfc

K_p

(14)

4αα₀

παα₀

удовлетворяет нестационарному уравнению Шре-

дингера

α₁a₁ + α₂a₂

a≡

α≡α₁ +α₂,

∂Ψ(r, t)

iℏ

= HΨ(r, t)

(11)

α₁ + α

∂t

теперь уже с комплексными значениями энергии

u ≡ x(x + 2l + 1) - y², v ≡ y(2x + 2l + 1),

ϵ = E - iΓ/2 в задаче (6) на собственные значения.

B_ki — элементы собственных векторов сферической

В этом случае каждый матричный элемент опера-

части оператора Лапласа, вычисленные на функци-

тора кинетической энергии можно записать в виде

ях s-симметрии (3) и (4), представимые через про-

суммы двух слагаемых. Первое из них представим в

екции векторов a₁ и a₂ на оси декартовой системы

виде (7), таком же, как и для невозмущенной зада-

координат. Величина

чи. Далее перейдем к рассмотрению второго слага-

емого, описывающего орбитальные возбуждения.

∫

Стоит отметить, что такой подход не содержит

Λ₁₂ ≡ ϕ∗1(r)Λϕ₂(r)d³r =

предположений о типах возбуждений, а потому поз-

){α

(

( α₁α₂

1α2

воляет включить в рассмотрение возбуждения лю-

= 4S₁₂

|a1xa2y - a2xa1y|²+

α₁ + α₂

бой природы и мощности. В рамках данной идеи

)

было получено аналитическое решение спектраль-

+ |a1xa2z - a2xa1z|² + |a1ya2z - a2ya1z

|2 -

ной задачи для атома водорода, которое продемон-

}

стрировало широкие возможности для описания как

-a1xa2x + a1ya2y + a1za2z

(15)

основного состояния, так и возбужденных электрон-

ных состояний атома водорода [30]. Также предло-

изменение k-го собственного значения сферической

женный подход к описанию электронных возбужде-

части оператора Лапласа Λ^′k запишем через Λk —

ний в атомах был обобщен на случай многоатомных

k-е собственное значение этого оператора:

систем типа кластеров [31].

В общем случае многоцентровой задачи, напри-

(16)

Λ^′k = (lk + x + iy)(lk + x + iy + 1) - Λk,

мер, при описании возбуждений кластера в кристал-

√

лической ячейке, матричные элементы оператора

l_k =

0.25 + Λ_k - 0.5.

733

В. А. Попов, А. В. Попов

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Перебирая все возможные значения орбитально-

го квантового числа L в комплексной области, на-

пример, при |x| < 0.5 и |y| < 0.5, можно просле-

дить по минимуму полной энергии возбужденного

кластера в кристаллической ячейке и за его спек-

тральными характеристиками в процессе поиска са-

мосогласованных решений уравнения Шредингера.

Отметим, что такой подход приводит к решению си-

стемы алгебраических уравнений (6) для каждого

из множества добавок x и y к целочисленному значе-

нию l, при этом параметр x отвечает за штарковский

сдвиг энергетических уровней при y = 0, а параметр

Рис. 1. Действительная часть ReE полной энергии в рид-

y — за уширение этих уровней при x = 0.

бергах для электронов ОЦК-лития в зависимости от па-

Чтобы улучшить сходимость суммы по узлам

раметра решетки d в боровских радиусах при x = 0 и

кристаллической решетки в выражении для по-

y = 0,±4 · 10-4,±8 · 10-4

тенциальной энергии кулоновского взаимодействия

ядер

∑

Z_iZ_je²

E_C =

(17)

|R_p - a_i + a_j |

ijp

можно воспользоваться стандартным методом

Эвальда [32]. Результат представим в виде

(∑

∑

erfc(√α|Rp - ai + aj |)

E_C

=e²

Z_iZ_j

|R_p - a_i + a_j |

[∑

(

4π

K2p )

exp iK_p · (a_i - a_j) -

K2p

4α₀

p=0

])

Рис. 2. Мнимая часть ImE полной энергии в ридбер-

(18)

гах для электронов ОЦК-лития в зависимости от пара-

4α₀

метра решетки d в боровских радиусах при x

= 0 и

В дальнейшем в качестве обменно-

y = 0,±4 · 10-4,±8 · 10-4

корреляционной энергии E_EX в (1) будем использо-

вать стандартное выражение для обменной энергии

область его применимости, был выбран литий —

в приближении Хартри-Фока. Однако стоит от-

один из простейших и достаточно хорошо изучен-

метить, что предложенная методика вычисления

ных химических элементов. Известно, что металли-

энергетической структуры электронов в условиях

ческий литий в кристаллическом состоянии имеет

внешнего воздействия может быть применена для

ОЦК кристаллическую решетку. Поэтому для ве-

описания возбуждений путем обобщения метода

рификации предлагаемого подхода к описанию воз-

функционала электронной плотности с различными

буждений все расчеты были выполнены для ОЦК-

обменно-корреляционными потенциалами.

лития. В соответствии с изложенной выше идеей для

моделирования процесса кристаллизации лития из

газовой фазы будем изменять постоянную ОЦК ре-

3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА И

шетки d от 20 до 3 боровских радиусов. Результа-

ОБСУЖДЕНИЕ

ты соответствующих расчетов полной энергии при

x = 0 и y = 0,±4 · 10-4,±8 · 10-4 представлены на

Для удобства воспользуемся атомной системой

рис. 1, 2.

единиц, в которой постоянная Планка ℏ = 1, квад-

рат заряда электрона e²

= 2, масса электрона

Отметим, что действительная часть ReE пол-

m = 1/2. Тогда энергия будет измеряться в ридбер-

ной энергии электронной системы ОЦК-лития на

гах, а расстояние — в боровских радиусах.

рис. 1, практически не зависящая от параметра воз-

Чтобы выяснить, насколько оправданным явля-

буждения |y| < 10-3, имеет минимум при значении

ется описанное выше приближение, и исследовать

d = 6.55 боровских радиусов. При этом же значе-

734

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Электронная структура ОЦК-лития в условиях внешнего воздействия...

нии постоянной решетки d мнимая часть ImE пол-

ной энергии на рис. 2 обращается в нуль при всех

значениях |y| < 10-3. Условие ImE = 0 указыва-

ет на неограниченно долго живущее состояние кри-

сталлического ОЦК-лития только при значении по-

стоянной решетки d = 6.55 боровских радиуса. При

d < 8.77 боровских радиусов мнимая часть ImE пол-

ной энергии плавно стремится к нулю (см. рис. 2),

что указывает на увеличение времени жизни рас-

сматриваемых неравновесных состояний, вплоть до

равновесного значения постоянной решетки d = 6.55

боровских радиуса. Отметим, что значение посто-

янной решетки d = 6.55 боровских радиуса лежит в

Рис.

3. Действительная часть En спектра электронов

пределах разброса данных, полученных другими ав-

ОЦК-лития в зависимости от параметра решетки d в бо-

торами (см. работы [11-13] для основного состояния

ровских радиусах при x = 0 и y = 8 · 10-4

ОЦК-лития). Таким образом, результаты расчетов

указывают на стабилизацию системы кристалличе-

ского лития только при равновесном значении по-

стоянной ОЦК-решетки.

Потенциальный барьер, равный 0.095Ry, с мак-

симумом при значении постоянной ОЦК-решетки

d = 8.77 боровских радиусов (рис. 1) в возбужден-

ном литии оказался заметно меньше энергии связи

ОЦК-лития, равной 0.122Ry [33]. За пределами это-

го барьера при d > 8.77 боровских радиусов мнимая

часть ImE полной энергии тем больше отстоит от

нуля, чем больше d (рис. 2). Таким образом, по ме-

ре увеличения значения параметра решетки d сни-

жается вероятность образования кристаллического

Рис. 4. Мнимая часть Γn спектра электронов ОЦК-лития

лития в ОЦК-структуре. Отметим, что в работе [34]

в зависимости от параметра решетки d в боровских ради-

были исследованы зарождающиеся структуры ли-

усах при x = 0 и y = 8 · 10-4

тия в плазменном потоке гелия, в том числе обна-

ружены метастабильные малые кластеры лития с

межатомными расстояниями около 13 боровских ра-

тронов в литии претерпевает незначительные изме-

диусов, играющие важную роль в процессе нуклеа-

нения при больших значениях параметра решетки

ции.

вплоть до 8.77 боровских радиусов. Времена жизни

На рис. 3, 4 приведены энергетические состоя-

возбужденных электронов внешних состояний как

ния электронов симметрии 1s, 2s, 2p в неравновес-

s-, так и p-симметрии существенно различаются при

ном ОЦК-литии при x = 0 и y = 8 · 10-4. Прочие

значениях параметра решетки d < 8.77 боровских

уровни энергии здесь не приводятся, чтобы не за-

радиусов. Обнаружено неограниченно долго живу-

громождать рисунок. Результаты расчета показы-

щее стабильное кристаллическое состояние ОЦК-

вают, что при всех внешних состояний электронов.

лития, почти не зависящее от мощности возбужде-

Энергии E2s и E2p практически совпадают на рис. 3.

ния при значении постоянной решетки, равной 6.55

Однако значения Γ2s и Γ2p, обратно пропорциональ-

боровских радиусов, соответствующем эксперимен-

ные времени жизни этих возбуждений, существенно

тальному значению постоянной ОЦК решетки ли-

различаются при d < 8.77 боровских радиусов на

тия в основном состоянии.

рис. 4.

Финансирование. Работа выполнена при фи-

нансовой поддержке Министерства науки и высшего

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

образования Российской Федерации (FZMM-2020-

0002).

В рамках предложенной методики описания воз-

бужденных состояний показано, что спектр элек-

735

В. А. Попов, А. В. Попов

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

ЛИТЕРАТУРА

16.

V. A. Popov, Comput. Mater. Sci. 14, 67 (1999).

A. L. Companion, J. Chem. Phys. 50, 1165 (1969).

17.

В. А. Попов, ФТТ 7, 1185 (1998).

B. T. Pickup, Proc. Roy. Soc. London A333, 69

18.

T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators,

(1973).

Springer (1966).

I. Boustani, W. Pewestorf, P. Fantucci et al., Phys.

19.

L. Hedin, Phys. Rev. A 139, 796 (1965).

Rev. B 35, 9437 (1987).

20.

L. Reining, Wiley Interdiscip. Rev. Comput. Mol. Sci.

J. Blanc, V. Bonacic-Koutecky, M. Broyer et al., J.

8, e1344 (2017).

Chem. Phys. 96, 1793 (1992).

21.

P. Hohenberg and W. Kohn, Phys. Rev. B 136, 864

A. M. Sapse, P. von R. Schleyeret et al., Lithium

(1964).

Chemistry: a Theoretical and Experimental Overview,

Wiley-Interscience, New York (1995).

22.

А. М. Сарры, М. Ф. Сарры, ФТТ 54, 1237 (2012).

R. Fournier, J. B. Y. Cheng, and A. Wong, J. Chem.

23.

А. Н. Ипатов, ЖЭТФ 137, 226 (2010).

Phys. 119, 9444 (2003).

24.

H. Lischka, D. Nachtigallova, A. J. Aquino et al.,

A. N. Alexandrova and A. I. Boldyrev, J. Chem.

Chem. Rev. 118, 7293 (2018).

Theory Comput. 1, 566 (2005).

25.

C. F. Fischer, M. Godefroid, T. Brage et al., J. Phys.

B. G. A. Brito, E. L. Verde, G-Q. Hai et al., J. Mol.

B: At. Mol. Opt. Phys. 49, 182004 (2016).

Model. 27, 207 (2021).

26.

D. S. Levine, D. Hait, N. M. Tubman et al., J. Chem.

L. Cheng and J. Yang, J. Chem. Phys. 138, 141101

(2013).

Theory Comput. 16, 2340 (2020).

10.

B. G. A. Brito, L. Candido, J. N. T. Rabelo et al.,

27.

А. В. Попов, ФТТ 50, 759 (2008).

Chem. Phys. Lett. 616-617, 212 (2014).

28.

A. Popov, Mol. Phys. 117, 1833 (2019).

11.

W. Y. Ching and J. Callaway, Phys. Rev. B 9, 5115

29.

А. В. Попов, Опт. и спектр. 93, 5 (2002).

(1974).

12.

J. Callaway, X. Zou, and D. Bagayoko, Phys. Rev. B

30.

A. V. Popov, Can. J. Phys. 99, 387 (2021).

27, 631 (1983).

31.

A. Popov, Int. J. Quant. Chem. 119, e26045 (2019).

13.

K. Doll, N. M. Harrison, and V. R. Saunders, J. Phys.:

32.

A. Popov and V. Popov, J. Math. Chem. 58, 2399

Condens. Matter 11, 5007 (1999).

(2020).

14.

R. Rousseau and D. Marx, Chem. Eur. J. 6, 2982

(2000).

33.

С. В. Чернов, Матем. моделирование 1, 36 (1989).

15.

В. А. Попов, ЖЭТФ 110, 1474 (1996).

34.

А. В. Попов, В. А. Попов, ЖТФ 89, 1170 (2019).

736