ЖЭТФ, 2023, том 163, вып. 3, стр. 387-391

О ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫХ СВОЙСТВАХ ДВУМЕРНОЙ

МОДЕЛИ РЭЛЕЯ

Б. Я. Балагуров^*

Институт биохимической физики им. Н. М. Эмануэля Российской академии наук

119334, Москва, Россия

Поступила в редакцию 13 ноября 2022 г.,

после переработки 13 ноября 2022 г.

Принята к публикации 20 ноября 2022 г.

Рассмотрены гальваномагнитные свойства двумерной модели Рэлея изотропной матрицы с двоякопе-

риодическим расположением включений круговой формы с фазовым переходом металл - диэлектрик.

Для соответствующего тензора эффективной проводимости σe получено выражение, справедливое во

всей предпороговой (вплоть до соприкосновения кругов) критической области окрестности точки пе-

рехода. Выяснено поведение составляющих тензора σe в слабом и сильном магнитных полях.

DOI: 10.31857/S0044451023030100

Для бинарных композитов с фазовым переходом

EDN: QEQFON

металл - диэлектрик такие величины, как коэффи-

циент Холла и магнитосопротивление, получили до-

статочно подробное теоретическое описание [2, 3] в

1. ВВЕДЕНИЕ

случае малой напряженности магнитного поля H. В

Изучение гальваномагнитных свойств проводя-

то же время теоретическое изучение гальваномаг-

щих материалов представляет общефизический ин-

нитных характеристик неоднородных сред при про-

терес и позволяет определить как их электронную

извольном H наталкивается на серьезные трудно-

структуру, так и индивидуальные характеристики

сти.

носителей заряда подвижность и эффективную

Определенный прогресс в решении этой пробле-

массу. Возможность извлечения подобной инфор-

мы достигнут для двумерных моделей композитов.

мации из экспериментальных данных основана на

Так, в работе [4] с помощью преобразования симмет-

подробно разработанной микроскопической теории

рии вычислены составляющие тензора эффектив-

гальваномагнитных явлений в однородных провод-

ной проводимости σ_e двумерной бинарной системы

никах [1]. Аналогичные исследования проводимо-

со случайным распределением компонент с половин-

сти в присутствии магнитного поля проводятся и

ным составом. Из результатов этой работы следует,

для композиционных материалов. При этом гальва-

что для рассмотренной в ней модели омическая со-

номагнитные характеристики компонент считаются

ставляющая σ_xe тензора σ_e при H → ∞ ведет себя

заданными, так как могут определяться на соот-

аномальным образом: σ_xe ∝ 1/H вместо обычного

ветствующих однородных образцах. В данном слу-

σ_x ∝ 1/H².

чае представляет интерес влияние на гальваномаг-

Обсуждаемая задача для двумерного бинарного

нитные характеристики композита в целом соотно-

композита получила точное решение в работе [5],

шения между свойствами компонент, концентрации

где составляющие тензора σ_e произвольной подоб-

и пространственного распределения, т. е. структуры

ной системы выражены через гальваномагнитные

композита. При этом особый интерес представляет

характеристики отдельных компонент и безразмер-

изучение этих явлений в композитах с фазовым пе-

ную эффективную проводимость этой модели при

реходом металл - диэлектрик, что дает возможность

H = 0. Использование представлений гипотезы по-

получать дополнительную информацию и о самом

добия [6] позволило рассмотреть [5] поведение эф-

фазовом превращении.

фективных гальваномагнитных характеристик дву-

мерного случайно-неоднородного композита с фа-

^* E-mail: byabalagurov@mail.ru

зовым переходом металл- диэлектрик во всей кри-

387

Б. Я. Балагуров

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

тической области

окрестности точки перехода.

и являющаяся функцией двух аргументов. При

В результате оказалось, что при концентрации, от-

h → 0 и p → p_c, где

личной от критической, аномальная проводимость

σ_xe ∝ 1/H существует в конечном интервале маг-

p_c = 1 -

(2)

нитных полей. Для применения общих формул ра-

боты [5] к моделям другой структуры (например,

критическая концентрация (порог протекания),

регулярной) достаточно знать эффективную прово-

величина f стремится к нулю, так что в рассмат-

димость σ_e этой системы в отсутствие магнитного

риваемой модели происходит фазовый переход ме-

поля.

талл - диэлектрик.

Вычисление эффективной проводимости σ_e

В окрестности точки этого перехода безразмер-

композитов является крайне сложной задачей даже

ная эффективная проводимость имеет вид [8]

при H

= 0. Точные аналитические выражения

{

[

]}

для σ_e известны только для некоторых двумер-

f (p, h) =

ξ₀ + 2h ln

- g(γ)

γ =

(3)

ных моделей. Для упомянутой выше бинарной

ξ₀

∫

∞

случайно-неоднородной системы величина σ_e опре-

(

)

делена только при фиксированной (критической)

g(γ) = -γ e^-γx ln

1-e^-x

dx.

(4)

концентрации

[7]. В то же время для двумер-

ной модели Рэлея эффективная проводимость σ_e

Здесь

вычислена для всей критической предпороговой

√

a² - r²⁰

4p_c

области [8].

ξ₀ =

ξ²⁰ =

τ,

(5)

В настоящей работе рассмотрены гальваномаг-

где

нитные свойства двумерной модели Рэлея в области

p-p_c

фазового перехода металл- диэлектрик. Использо-

τ =

(6)

p_c

вание общих формул из [5] и выражения для без-

размерной эффективной проводимости при H = 0

параметр близости к точке перехода по концен-

из [8] позволило определить гальваномагнитные ха-

трации.

рактеристики этой модели во всей предпороговой

Выражения (3), (4) для проводимости f(p, h)

критической области и при произвольных магнит-

справедливы в предпороговой (a ≥ r₀, τ ≥ 0) крити-

ных полях. Оказалось, в частности, что при кри-

ческой (ξ₀ ≪ 1, h ≪ 1) области. Для функции g(γ)

тической концентрации (пороге протекания) омиче-

имеем разложения

ская составляющая тензора σ_e в пределе H → ∞

π²

π⁴

меняется следующим образом: σ_xe ∝ H^-2 ln H, вме-

γ ≪ 1 : g(γ) =

γ - ζ(3)γ² +

γ³ + . . . ,

(7)

сто обычного закона σ_x ∝ 1/H².

2. ПРОВОДИМОСТЬ МОДЕЛИ ПРИ H = 0

γ ≫ 1 : g(γ) =

Согласно работе [5], для определения гальвано-

магнитных характеристик двумерной модели Рэлея

= ln γ + C +

+...

(8)

2γ

12 γ²

120 γ⁴

необходимо знать ее эффективную проводимость σ_e

в отсутствие магнитного поля. Обсуждаемая модель

Здесь

∑

представляет собой изотропную матрицу проводи-

ζ(3) =

= 1.202 . . .

(9)

мости σ₁ с системой круговых включений радиуса

n³

n=1

r₀ и проводимости σ₂. Центры кругов расположены

и C = 0.577... постоянная Эйлера. Для прово-

в узлах квадратной решетки периода 2a. Эффектив-

димости f(p, h) в двух предельных случаях имеем

ная проводимость σ_e такой модели является функ-

соответственно

цией трех основных аргументов: σ_e = σ_e(p; σ₁, σ₂),

где p = (4a² - πr²⁰)/(2a)²

безразмерная концен-

h≪ξ₀ ≪1:

трация (доля занимаемой площади) первой компо-

ненты, т. е. матрицы. В дальнейшем будет исполь-

2 h

f (p, h) = ξ₀

(h)2 +

зоваться безразмерная эффективная проводимость

πξ₀

ξ₀

f (p, h), вводимая согласно

}

(h)3

ζ(3)

+...

(10)

ξ₀

σ_e(p; σ₁, σ₂) = σ₁f(p, h), h = σ₂/σ₁

(1)

388

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

О гальваномагнитных свойствах двумерной модели Рэлея

В формуле (17) R₁ и R₂ коэффициенты Холла

ξ₀ ≪ h ≪ 1 :

для первой и второй компонент.

{

(

)

(ξ₀)²

Таким образом, в двумерном случае эффектив-

f (p, h) = h

-C

ный коэффициент Холла R_e полностью определяет-

6π h

(

)₄

}

ся величиной f(p, h) и для рассматриваемой модели

ξ₀

(11)

Рэлея может быть вычислен с помощью выражений

60π h

(3), (4) в любой точке предпороговой критической

области. В двух предельных случаях (10), (11) по-

3. СЛАБЫЕ МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ

лучаем

Предположим, что двумерная модель Рэлея за-

h²

h≪ξ₀ : R≃1-π²

(19)

нимает плоскость xy, так что вектор напряженности

ξ²

поперечного магнитного поля H направлен вдоль

π²

h≫ξ₀ : R≃1-

[

]₂ ,

(20)

оси z. В этом случае проводимость компонент опи-

ln(b/h)

сывается тензорами σ₁ и σ₂, где

(

)

где ln b = -C и учтено, что h ≪ 1. Согласно (19)

σ_xi σ_ai

σ_i =

i = 1,2

(12)

и (20), в обоих предельных случаях величина R не

−σ_ai σ_xi

превосходит единицы.

В квадратичном по H приближении аналогич-

Здесь σ_xi омическая, а σ_ai холловская состав-

но (13) имеем

ляющие тензора проводимости σ_i. В слабом магнит-

ном поле напряженности H холловские составляю-

σ_xe = σ_e + δσ_xe, δσ_xe ∝ H²,

(21)

щие линейны по H (σ_ai ∝ H), а для омических со-

ставляющих имеем

где σ_e

эффективная проводимость при H = 0.

Согласно [5, 9],

σ_xi ≃ σ_i + δσ_xi, δσ_xi ∝ H².

(13)

(σ_a1 - σ_a2)2

Здесь σ_i проводимость i-й компоненты при H = 0.

δσ_xe = ψ₁δσ_x1 + ψ₂δσ_x2 +

χ.

(22)

σ₁

Тензор эффективной проводимости σ_e имеет вид,

В формуле (22) функции ψ₁ = ψ₁(p, h), ψ₂ = ψ₂(p, h)

аналогичный (12):

(

)

и χ = χ(p,h) в рассматриваемом двумерном случае

σ_xe σ_ae

выражаются через проводимость f(p, h):

σ_e =

(14)

-σ_ae σ_xe

∂f(p,h)

ψ₁ = f - hf^′, ψ₂ = f^′; f^′ =

(23)

Холловская составляющая σ_ae тензора σ_e также ли-

∂h

нейна по H и имеет следующий вид [5, 9]:

f - hf^′ - fϕ_a

χ=

(24)

1-h²

σ_ae = σ_a2 + (σ_a1 - σ_a2)ϕ_a(p, h).

(15)

из формулы (16). В двух предельных случаях

с ϕ_a

В двумерном случае функция ϕ_a(p, h) может быть

(10), (11) получаем

выражена через безразмерную эффективную прово-

димость f(p, h):

h≪ξ₀ ≪1:

f² - h

ϕ_a =

(16)

ψ₁ ≃

ξ₀, ψ₂ ≃

χ≃

ξ₀,

(25)

1-h²

ξ₀

В линейном по H приближении основной ис-

ξ₀ ≪ h ≪ 1 :

следуемой характеристикой является коэффици-

ент Холла R, определяемый следующим образом

ψ₁ ≃

h, ψ₂ ≃

χ≃

(26)

R = H^-1σ_a/σ². Здесь σ проводимость в отсут-

ствие магнитного поля. Для эффективного коэффи-

где ln d = -C - 1.

циента Холла R_e из (15) и (16) находим

Для тензора удельного сопротивления ρ имеем

(

)

1 σ_ae

R₂

ρ_x ρ_a

R_e =

=h²

+ (R₁ - h²R₂)R,

(17)

ρ= σ^-1 =

(27)

H σ^2e

f²

(

)

−ρ_a ρ_x

ϕ_a(p, h)

h²

σ_x

σ_a

R(p, h) =

[

]₂ =

(18)

ρ_x =

ρ_a = -

(28)

1-h²

f²

f (p, h)

σ^2x + σ^2a

σ^2x + σ²

389

Б. Я. Балагуров

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

Поэтому для магнитосопротивления получаем

где, как обычно, h = σ₂/σ₁. Поэтому λ ≃ h ≪ 1 при

)

β ≪ 1 и λ ≃ h/β² ≪ h при β ≫ 1.

ρ_xe(H) - ρ_xe(0)

(δσ_xe

σ^2ae

Если система находится достаточно ¾далеко¿

(29)

ρ_xe(0)

σ_e

σ²

от порога протекания (критической концентрации),

так что ξ₀ ≫ λ, то

4. СИЛЬНЫЕ МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ

f (p, λ) ≃ f_d =

ξ₀,

(36)

Задача о гальваномагнитных свойствах двумер-

ного композита имеет решение для произвольной

где f_d = f(p, 0). В этом случае из общих формул (30)

двухкомпонентной изотропной модели [5]. Соглас-

и (31) с учетом (35) и (36) следует

но [5] (см. также [9]), для составляющих σ_xe и σ_ae

β≪1: σ_xe =σ₁f_d, σ_ae =σ_a2 +σ_a1f^2d,

(37)

тензора эффективной проводимости σ_e имеют место

следующие выражения:

β ≫1:

σ_x1σ_x2(1 - λ²)f

σ_xe =

(30)

σ₁f_d

σ_a2 + σ_a1β²f^2d

λ(1 - f²)σ_x1 + (f² - λ²)σ_x2

σ_xe =

σ_ae =

(38)

1+β²f^2d

1+β²f

σ_a2λ(1 - f²)σ_x1 + σ_a1(f² - λ²)σ_x2

σ_ae =

(31)

λ(1 - f²)σ_x1 + (f² - λ²)σ_x2

Отсюда имеем

Здесь

1 ≪ β ≪ 1/f_d :

σ₂

{[

σ_xe = σ₁f_d, σ_ae =

+σ₁βf^2d,

(39)

λ=

(σ_x1 + σ_x2)² + (σ_a1 - σ_a2)²

]¹/2 -

4σ_x1σ_x2

σ₁ 1

σ₁

[

β ≫ 1/f_d : σ_xe =

σ_ae =

(40)

]¹/2}2

f_d β²

(σ_x1 - σ_x2)² + (σ_a1 - σ_a2)²

(32)

Выражение (39) для σ_xe справедливо при всех

и f

= f(p,λ)

безразмерная эффективная про-

β ≪ 1/f_d вплоть до β = 0. При β ≫ 1/f_d ве-

водимость рассматриваемой модели f(p, h) с заме-

личины σ_xe и σ_ae имеют нормальные асимптотики

ной аргумента h на λ. Отметим, что для бинарной

(σ_xe ∝ 1/β², σ_ae ∝ 1/β), однако выход на них ¾затя-

случайно-неоднородной двумерной системы с поло-

нут¿ и происходит при экстремально больших маг-

√

винным составом имеем f(¹/₂, λ) =

λ [7], так что

нитных полях.

из (30), (31) с учетом (32) для σ_xe и σ_ae следуют

В непосредственной близости к порогу протека-

выражения (см. [5]), несколько обобщающие соот-

ния согласно (11) имеем

ветствующие результаты работы [4].

Будем считать, что для обсуждаемого бинарно-

ξ₀ ≪ λ : f(p, λ) =

λ ln

≪ 1.

(41)

го композита с фазовым переходом металл- диэлек-

трик неравенства σ_x2 ≪ σ_x1 и σ_a2 ≪ σ_a1 выполня-

Отсюда

ются при любой напряженности магнитного поля H.

)

2σ₂

σ₂

В этом случае для величины λ из (32) имеем

β≫1: σ_xe =

β2 ,

σ_ae =

(42)

πβ²

σ_x1σ_x2

λ≃

≪ 1.

(33)

В этой области концентраций омическая составля-

σ^2x1 + σ²

ющая σ_xe тензора эффективной проводимости зави-

Далее для проводимостей σ_xi и σ_ai будем использо-

сит от напряженности магнитного поля аномальным

вать модельные формулы из [1]

образом: σ_xe ∝ H^-2 lnH. При критической концен-

трации (p = p_c, ξ₀ = 0) величина σ_xe аномальным

σ_i

σ_iβ_i

образом зависит от H при напряженности магнит-

σ_xi =

σ_ai =

(34)

1+β²ⁱ

1+β²

ного поля, удовлетворяющей условию β ≫ 1. Если

же p = p_c, но ξ₀ мало (ξ₀ ≪ λ), то эта зависимость

Здесь σ_i проводимость i-й компоненты при H = 0

ограничена со стороны больших магнитных полей.

и β_i ∝ H холловский параметр. Положив, как и

Действительно, условие ξ₀ ≪ λ ∝ h/β² выполняет-

в [4], β₁ = β₂ = β, из (33) с учетом (34) получим

ся при β² ≪ h/ξ₀. Поэтому аномальное поведение

величины σ_xe

ограничено интервалом напряженно-

√

λ=

≪ 1,

(35)

стей магнитного поля 1 ≪ β ≪

h/ξ₀.

1+β²

390