ЖЭТФ, 2023, том 163, вып. 4, стр. 461-466

ОБ ИНТЕГРАЛЕ ПО ВРЕМЕНИ ОТ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО

ПОЛЯ

Р. М. Фещенко^a*

^a Физический институт им. П.Н. Лебедева Российской академии наук

199991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 11 октября 2022 г.,

после переработки 3 декабря 2022 г.

Принята к публикации 13 декабря 2022 г.

Рассмотрен интеграл по времени в бесконечных пределах от электрического или магнитного поля (инте-

грал Бессонова) и показано, что он равен нулю для любой конфигурации свободного электромагнитного

поля, полная энергия которой равна нулю. Обсуждается связь равенства нулю интеграла Бессонова с

невозможностью излучения или поглощения фотона свободной заряженной частицей. Получены точные

выражения поля излучения, а также его преобразования Фурье, для электрического заряда, у которого

скачком меняется скорость движения, и показано, что интеграл Бессонова от подобного излучательного

поля равен нулю, как и следует из общего утверждения. В заключение, показано, что не равный нулю

интеграл Бессонова от поля излучения ускоренно движущегося электрического заряда, о котором сооб-

щается в ряде работ, возникает из-за некорректного разделения полного поля ускоренно движущегося

заряда на излучательную и неизлучательную части.

DOI: 10.31857/S0044451023040028

Что касается свободного электромагнитного по-

EDN: KZALYM

ля (например, поля конечного электромагнитного

импульса или поля излучения конечной системы за-

рядов и токов) в отсутствие каких-либо зарядов и

1. ВВЕДЕНИЕ

токов, то ситуация является в какой-то мере не яс-

ной. Утверждается, что в большинстве случаев ин-

Интеграл по времени от электрического или маг-

теграл (1) равен нулю для любого электромагнитно-

нитного поля как для свободного, так и для несво-

го импульса с конечной полной энергией [2], но ино-

бодного (связанного) электромагнитного поля, яв-

гда приводятся примеры свободных полей с ненуле-

ляется предметом исследования в течении достаточ-

вым интегралом Бессонова [3]. Сложность здесь со-

но продолжительного времени. Речь здесь идет об

стоит в поиске точных аналитических моделей элек-

интеграле вида

тромагнитных импульсов с конечной энергией (см.,

+∞

например, [4, 5]). Интерес также представляет про-

I_E = E(r, t)dt,

(1)

межуточная ситуация, когда одновременно присут-

-∞

ствует как поле излучения, так и статическое или

индукционное поле. В этом случае утверждается,

где E — вектор электрического поля, а r и t — коор-

что интеграл вида (1) даже от излучательной части

динаты и время. Величина, аналогичная (1), может

полного поля может быть не равен нулю [2, 5, 6].

быть введена и для магнитного поля. Очевидно, что

Заметим, что задача вычисления интегралов ви-

в произвольном электромагнитном поле интеграл I_E

да (1) для полей движущихся зарядов имеет отноше-

не равен нулю. Для доказательства этого утвержде-

ние к определению так называемого тормозного из-

ния достаточно рассмотреть статическое электриче-

лучения малых частот для системы взаимодейству-

ское поле или стационарное магнитное поле. Инте-

ющих заряженных частиц. В частности, известно,

грал вида (1) иногда называется интегралом Бессо-

что в этом случае спектральная плотность энергии

нова [1].

излучения не зависит от частоты в пределе малых

^* E-mail: rusl@lebedev.ru

частот и, следовательно, не обращается в нуль при

461

Р. М. Фещенко

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

нулевой частоте (детали см. в [7]). Последнее, как

Рассмотрим далее фурье-гармонику поля (4):

будет показано ниже, вовсе не означает, что инте-

грал Бессонова I_E от поля излучения в этом случае

∫

не равен нулю.

E_ω(r) = Ee^-iωt dt =

Целью настоящей статьи является доказатель-

-∞

∫

ство общего утверждения о равенстве нулю интегра-

eik′rE₊(k^′, ω)δ(ω^′ - ω)d³k^′ =

ла вида (1) в поле произвольного свободного элек-

(2π)²

∮

тромагнитного импульса с конечной энергией. Бу-

ω²

дет показано, что равенство интеграла Бессонова в

eiωn′rE₊(n^′, ω)dn^′,

(6)

(2π)²

этом случае связано с невозможностью для свобод-

4π

ного электрона поглотить или испустить свободный

предел которой при ω → 0 есть интеграл Бессо-

фотон. Помимо этого будет рассмотрен случай, ко-

нова I_E . Из выражения (6) следует, что для того

гда присутствуют также и статические и индукцион-

чтобы выполнялось неравенство I_E = 0, амплитуда

ные поля, создаваемые электрическими зарядами, и

E₊(n^′, ω) должна при ω → 0 расходиться по край-

будет показано, что это утверждение сохраняет силу

ней мере как ∝ 1/ω². Однако в этом случае полная

и в случае поля излучения ускоренно движущихся

энергия поля

зарядов.

∫

W =

|E₊(k^′, ω^′)|² d³k^′ =

(2π)⁴

2. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

∞

∫

∮

СВОБОДНОГО ПОЛЯ

ω^′2|E₊(n^′, ω)|² dn^′ dω^′ =

(2π)⁴

4π

Пусть имеется некоторое свободное электромаг-

∫

∞

∫

∞

нитное поле, не имеющее никаких пространствен-

dω^′

= W_ω′ dω^′ ∼

= ∞,

(7)

ных или временных особенностей. Тогда его элек-

ω^′2

трическое поле должно удовлетворять уравнениям

где W_ω′ — спектральная плотность энергии, будет

∂²E

ΔE =

(2)

бесконечной. В равенстве (7) было учтено, что энер-

∂t²

гия магнитного поля равна энергии электрического

∇E =0,

(3)

поля для свободного электромагнитного поля, а так-

же соотношение (5).

наиболее общее решение которых может быть пред-

Из равенства (7) следует важное утверждение:

ставлено как

∫

Утверждение 1 Если электромагнитный им-

пульс в свободном пространстве обладает конеч-

E(r, t) =

eik′r×

(2π)³

ной полной энергией, то интеграл (1) равен нулю

(

)

в любой точке пространства.

× E₊(k^′, ω^′)eiω′t + E_-(k′, ω′)e-iω′t d3k′,

(4)

Данное утверждение также справедливо и для маг-

где k^′ — волновой вектор, а ω^′ = |k^′| — частота¹⁾.

нитного поля этого импульса. В частности, из этого

Комплексные трехмерные спектральные амплитуды

следует, что некоторые утверждения, сделанные в

E₊(k) и E_-(k) должны быть, в силу (3), ортогональ-

статье [3], являются ошибочными и для приведен-

ны вектору k, а в остальном выбираются произволь-

ных примеров свободных полей или интеграл Бес-

ными. Они связаны между собой соотношением

сонова на самом деле не равен нулю, или поля не

являются регулярными во всем пространстве.

E₊(k^′, ω^′) = E^∗-(-k^′, ω^′),

(5)

Можно отметить, что из приведенных выше рас-

суждений следует, что амплитуда E₊(n, ω) конечно-

следующим из вещественности поля E. Амплитуды

го электромагнитного импульса может быть разло-

могут быть также представлены как функции от

жена в следующий ряд:

n^′ = k^′/ω^′ и ω^′: E₊(n^′, ω^′) и E_-(n^′, ω^′).

E^-1+(n)

∑

E₊(n, ω) =

+ E^s+(n)ω^s,

(8)

¹⁾ Здесь и везде далее скорость света c = 1.

s=0

462

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Об интеграле по времени. . .

где коэффициенты E^s+(n) — некоторые функции уг-

по заданной траектории. При этом интеграл Бес-

ловых переменных, которые могут быть в свою оче-

сонова I_E соответствует движению частицы вдоль

редь разложены в ряд по сферическим функциям.

прямой линии (в частном случае — покоящаяся ча-

Заметим, что в выражении (8) расходящийся при

стица), т.е. переданному полем частице импульсу в

ω → 0 член появляется (как будет показано ниже)

первом порядке теории возмущений или в так назы-

только в поле излучения ускоренно движущейся за-

ваемом одновершинном приближении в квантовой

ряженной частицы.

электродинамике. Однако известно, что свободная

Рассмотрим в качестве примера поле дипольного

заряженная частица (электрон) в силу законов со-

электромагнитного импульса (см. детали в [8,9]), ко-

хранения энергии и импульса не может ни поглотить

торое, как было упомянуто в работе [9], является оп-

свободный фотон, ни излучить его. С другой сто-

тимальным с точки зрения концентрации электро-

роны, частица, движущаяся по кривой траектории

магнитной энергии в центре импульса. Можно пока-

(несвободная частица) будет в общем случае иметь

зать, что для такого импульса амплитуда E₊(n, ω)

не равный нулю интеграл (11).

выражается как

Таким образом, равенство нулю интеграла Бес-

сонова для конечного электромагнитного импуль-

E₊(n, ω) = 2πiωf(ω)(A₀ × n),

(9)

са является простым следствием законов сохране-

где A0 — произвольный вектор, а f(ω) — пре-

ния энергии и импульса для заряженных частиц и

фотонов. И это свойство представляется достаточно

образование Фурье от произвольной вещественной

функции, задающей форму импульса (см. [8]). То-

общим и поэтому должно выполняться для любого

мыслимого электромагнитного импульса с конечной

гда фурье-гармоника (6) будет равна

энергией, подтверждая тем самым доказанное выше

∮

iω³f (ω)

Утверждение 1.

E_ω(r) =

A₀ × n^′eiωrn′ dn^′ =

2π

4π

]

[cosωr

sinωr

= 2ω³f(ω)

(A₀ × n_r),

(10)

4. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ

ωr

(ωr)²

ЧАСТИЦЫ В СПЕКТРАЛЬНОМ

где n_r = r/r и r = |r|. Выражение (10) стремится к

ПРЕДСТАВЛЕНИИ

нулю при ω → 0 по крайней мере как ω³, что озна-

чает равенство нулю интеграла Бессонова (1) для

Рассмотрим теперь поле излучения ускоренно

поля излучения диполя.

движущейся заряженной частицы. Для наших целей

достаточно рассмотреть поле только одной части-

цы, поскольку, в силу линейности уравнений поля,

3. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА

утверждения, полученные для этого простого слу-

чая, могут быть распространены на электромагнит-

Релятивистски инвариантным обобщением инте-

ное поле, создаваемое произвольной системой заря-

грала (1) является следующее четырехмерное век-

дов и токов. Можно также считать, что рассматри-

торное выражение:

ваемая частица меняет свою скорость скачком, а в

+∞

остальное время движется равномерно и прямоли-

I^iE =

F^ik(x(s))u_k(s)ds,

(11)

нейно. Это допустимо, поскольку нас интересует из-

−∞

лучение только в области малых частот и в пределе

при нулевой частоте.

где интегрирование ведется вдоль четырехмерной

Выпишем теперь общее выражение для четырех-

кривой x(s), задаваемой единичным четырехмер-

мерных фурье-гармоник четырехмерного векторно-

ным вектором uⁱ(s) = dxⁱ(s)/ds, а F^ik — тензор

го потенциала свободного электромагнитного поля

электромагнитного поля. Интеграл Бессонова (1)

через фурье-гармоники 4D-тока jⁱ(k), породившего

получается из (11), если взять пространственные

это поле [10]:

компоненты 4D-вектора I^iE в случае, если 4D-вектор

u постоянен и равен uⁱ(s) = (1, 0) .

Можно заметить, что выражение (11) представ-

Aⁱ(k) = i8π²sign(k⁰)δ(k²)jⁱ(k),

(12)

ляет собой приращение 4D-импульса ΔPⁱ заряжен-

ной частицы с единичным зарядом и массой, полу-

где sign(y) = 2θ(y) - 1, θ(y) — функция единичной

чаемое ей при движение в электромагнитном поле

ступеньки и kⁱ = (k⁰, k) — четырехмерный волновой

463

Р. М. Фещенко

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

вектор. Тогда тензор электромагнитного поля будет

5. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ

иметь вид

ЧАСТИЦЫ В КООРДИНАТНОМ

ПРЕДСТАВЛЕНИИ

F^im(k) = 8π²sign(k⁰)δ(k²)(kⁱj^m(k) - k^mjⁱ(k)). (13)

Несмотря на соображения, приведенные выше, в

Известно, что для заряженной частицы, движущей-

литературе [2, 5] встречаются утверждения о воз-

ся по траектории xⁱ(s), фурье-гармоники тока опре-

можности излучения ускоренно движущейся заря-

деляются выражением [7]

женной частицей так называемых «необыкновен-

∫

ных» или униполярных импульсов с не равным нулю

jⁱ(k) = e^ikx(s)uⁱ(s)ds,

(14)

интегралом Бессонова. Такие утверждения основы-

ваются на анализе выражения для поля ускоренно

которое для свободной частицы (с единичным за-

движущейся частицы в координатном представле-

рядом), скачком меняющей свою скорость в момент

нии с выделением членов, имеющих на бесконечно-

t ∼ s = 0 от v₁ до v₂, будет иметь вид

сти асимптотику ∝ 1/r и, как утверждается, соот-

[

]

ветствующих полю излучения. Очевидно, что утвер-

uⁱ²

uⁱ¹

jⁱ(k) =

(15)

ждения, сделанные в упомянутых выше статьях, и

i ku₂

ku₁

Утверждение 1 несовместимы между собой. Поэто-

√

где u^ia = γ_a(1, v_a), γ_a = 1/

1 - v^2a, a = 1,2. Тогда

му вопрос о причине такого расхождения нуждается

для положительно частотной части E₊ в разложе-

в дополнительном изучении.

нии (4) с учетом формулы (13) можно написать

Необходимо отметить, что разделение электро-

[

магнитного поля движущейся заряженной частицы

2πi

v₂

v₁

на статическое и индукционное поля с одной сторо-

E₊(n, ω) =

1 - nv₂

1 - nv₁

ны и на излучение — с другой стороны не являет-

(

)]

v₂

v₁

ся однозначным. В импульсном представлении это

−n

(16)

1 - nv₂

1 - nv₁

сделать достаточно просто: в выражении для по-

ля излучения (4) коэффициент пропорциональности

Выражение (16) обратно пропорционально частоте

между потенциалами и токами есть известная функ-

ω и соответствует первому члену в разложении (8).

ция Паули-Йордана D(k), равная разности запазды-

Отсюда на основе общего Утверждения 1 следует,

вающего Π_ret(k) и опережающего Π_adv(k) пропага-

что интеграл Бессонова (1) для электромагнитного

торов электромагнитного поля [11]:

поля импульса, излученного ускоренно движущейся

заряженной частицей, будет тоже равен нулю.

D(k) = i8π²sign(k⁰)δ(k²) = Π_ret(k) - Π_adv(k).

(18)

Для спектральной плотности полной энергии,

определенной в (7), получаем константу

Однако в координатном представлении выделение

∮



поля излучения представляет собой более слож-



v₂

v₁

W_ω =



ную задачу. Рассмотрим, например, формулу для

4π²

1 - nv₂ -

1 - nv₁

электрического поля ускоренно движущегося заря-

4π

(

)

да (см. формулу (1.1) в работе [2]):

v₂

v₁

²

-n



(17)

 d

1 - nv₂

1 - nv₁

E(r, t) =

что означает расходимость полной энергии по верх-

(1 - v²)(n_r - v)

n_r × ((n_r - v) × v)

(19)

нему пределу интегрирования. Однако данная рас-

R²(1 - n_rv)³

R(1 - n_rv)³

ходимость связана лишь с нефизическим предполо-

жением о мгновенном изменении скорости частицы

где R = |r - r^′(t^′)|, r^′(t) задает траекторию движе-

и, следовательно, о бесконечном ускорении. Одна-

ния заряда, а v — ускорение частицы. Все скорости,

ко более важным результатом здесь является схо-

координаты и ускорения берутся в момент времени

димость интеграла от (17) на нижнем пределе ин-

t′ = t-R для учета запаздывания. Поскольку инте-

тегрирования, означающая, что, если ускорение за-

грал по времени от второго слагаемого в (19), обыч-

ряженной частицы конечно, то энергия излученного

но отождествляемого с излучением, очевидно не ра-

электромагнитного импульса будет тоже конечной.

вен нулю (особенно, если скорость меняется скач-

Формула (17) совпадает (после некоторого пре-

ком), то это считается доказательством того, что ин-

образования) с выражением для спектральной плот-

теграл (1) от поля излучения ускоренно движуще-

ности тормозного излучения малых частот из [7].

гося заряда может быть в принципе не равен нулю.

464

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Об интеграле по времени. . .

Возникает вопрос: а действительно ли второе

выражение:

слагаемое в (19) (не являющееся в общем случае ре-

)

шением уравнений для свободного поля (2), (3)) со-

(γ₂(r - v₂t)

γ₁(r - v₁t)

θ(r² - t²)-

ответствует полю излучения? С одной стороны, поле

R³²

R³

[(

)

(и интеграл от него по времени) в этом случае убы-

n_r - v₂

n_r - v₁

δ(r - t)+

вает при r → ∞ как 1/r. С другой стороны, в точном

1-v₂n_r

1-v₁n_r

(

)

]

выражении для поля, например, для дипольного им-

n_r + v₂

n_r + v₁

пульса (10), присутствуют члены [8], на бесконечно-

δ(r + t)

(23)

1+v₂n_r

1+v₁n_r

сти ведущие себя как 1/r². Слагаемые, ведущие себя

как 1/r², также должны присутствовать в коорди-

Можно показать, что магнитное поле выражается

натном эквиваленте выражения (16), поскольку оно

как H = ∇× A и является поперечным в отличие от

пропорционально 1/k, что после обратного преобра-

электрического поля (23), а вектор Пойнтинга бу-

зования Фурье должно как раз дать член, пропор-

дет равен, соответственно, S = n_r|H|²/(4π). Пол-

циональный 1/r². Можно также заметить, что инте-

ная длительность излученного электромагнитного

грал в бесконечных пределах по времени от перво-

импульса составляет 2r. На границах импульса име-

го слагаемого в (19) вполне может убывать как 1/r

ются резкие (дельтообразные в данной модели) пи-

при r → ∞, как и интеграл от второго слагаемо-

ки поля. Путем прямого вычисления несложно по-

го. Это становится очевидно, если заметить, что при

казать, что интеграл Бессонова (1) от выражения

больших по модулю временах R ∝ |t|. Таким обра-

(23) равен точно нулю. Также выражение (23) содер-

зом, можно заключить, что отождествление второ-

жит члены имеющие на бесконечности асимптотику

го слагаемого в (19) с полем излучения (в том чис-

∝ 1/r², как предполагалось выше.

ле для целей вычисления интеграла (1)) является

Причину, по которой интеграл Бессонова от (23)

некорректным.

равен нулю, можно понять, если обратить внима-

ние на то, что это выражение является разностью

В качестве иллюстрации сделанных выше выво-

двух волн: сходящейся и расходящейся. Интегралы

дов рассмотрим поле в координатном представле-

Бессонова от этих волн равны друг другу и при вы-

нии, соответствующее амплитуде (16) поля излуче-

читании дают нуль. Такая структура поля излуче-

ния заряда, скачком меняющего свою скорость. Для

ния связана с общим определением (18) для функ-

его вычисления проще всего сначала определить по-

ции Паули-Йордана как разности двух пропагато-

тенциалы поля Aⁱ = (A⁰, A), применяя обратное

ров: запаздывающего и опережающего. Интегралы

преобразование Фурье к выражению (12) (с учетом

Бессонова от запаздывающей и опережающей ча-

формулы (15)) и при этом предполагая, что ско-

стей поля излучения равны друг другу и, следова-

рость v₁ (или v₂) равна нулю. Затем выражения для

тельно, их разность равна нулю, что приводит нас

потенциалов при уже ненулевой скорости v₁ (или

опять к общему Утверждению 1.

v₂) находятся применением соответствующих пре-

Можно отметить, что экспериментальные изме-

образований Лоренца для потенциалов и координат.

рения интеграла Бессонова для импульсов от неко-

Это дает

торых источников электромагнитных волн (в том

числе терагерцового диапазона), в которых были по-

)

(γ₂

γ₁

лучены ненулевые его значения [12], можно объяс-

A⁰ =

θ(r² - t²),

(20)

R₂

R₁

нить существованием там неучтенных электростати-

)

(v₂γ₂

v₁γ₁

ческих полей. Такие поля может быть трудно кон-

θ(r² - t²),

(21)

R₂

R₁

тролировать в эксперименте.

где

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе рассмотрено произвольное

R^2a = r² + γ^2a(v_ar)²-

свободное электромагнитное поле с конечной энер-

- 2γ^2a(v_ar)t + (γ^2a - 1)t²,

(22)

гией и показано, что для него интеграл Бессоно-

ва (1) всегда равен нулю. Также показано, что ра-

венство нулю интеграла Бессонова прямо связано с

v_a = |v_a|, a = 1, 2. Теперь для электрического по-

невозможностью в силу законов сохранения энергии

ля E = -∇A⁰ - ∂A/∂t можно получить следующее

465

Р. М. Фещенко

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

и импульса для свободной заряженной частицы по-

P. Saari and I.M Besieris, Foundations 2,

199

глотить или испустить свободный фотон.

(2022).

В работе рассмотрен случай ускоренно движу-

Z. Wang, Q. Lin, and Z. Wang, Phys. Rev. E 67,

щейся заряженной частицы и получено точное вы-

016503 (2003).

ражение для ее поля излучения (в импульсном и

координатном представлениях) в случае, когда ско-

Р.М. Архипов, М.В. Архипов, Н. Н. Розанов, КЭ

рость ее движения меняется скачком. Показано, что

50, 801 (2020) [R.M. Arkhipov, M.V. Arkhipov,

при правильном выделении поля излучения из пол-

and N.N. Rosanov, Quantum Electronics 50, 801

ного электромагнитного поля ускоренно движущей-

(2020)].

ся частицы интеграл Бессонова от такого, должным

R. Arkhipov, M. Arkhipov, A. Pakhomov,

образом определенного, поля излучения всегда ра-

вен нулю, как и должно следовать из общего утвер-

I. Babushkin, and N. Rosanov, Laser Phys. Lett.

19, 043001 (2022).

ждения первого раздела.

Имеющиеся в литературе утверждения, что ин-

Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория поля, Нау-

теграл Бессонова от поля излучения уско ренно дви-

ка, Москва (1988).

жущейся заряженной частицы может быть отличен

от нуля, являются ошибочными и связаны с исполь-

И. А. Артюков, А. В. Виноградов, Н. В. Дьяч-

зованием некорректных выражений для поля излу-

ков и Р. М. Фещенко, КЭ 50, 187 (2020) [I.A.

чения, в которых на самом деле присутствуют до-

Artyukov, A.V. Vinogradov, N.V. D’yachkov, and

бавки от статического или индукционного поля, ко-

R.M. Feshchenko, Quantum Electronics 50, 187

торые и обеспечивают неравенство нулю интеграла

(2020)].

Бессонова.

I. Gonoskov, A. Aiello, S. Heugel, and G. Leuchs,

Phys. Rev. A 86, 053836 (2012).

Благодарности. Автор выражает благодар-

ность А. В. Виноградову и И. А. Артюкову за по-

10.

R.M. Feshchenko and A.V. Vinogradov, Physica

лезные обсуждения.

Scripta 94, 065501 (2019).

11.

Д. Ширков, Н. Боголюбов, Квантовые поля,

Наука, Москва (1993).

ЛИТЕРАТУРА

12.

М. В. Архипов, А. Н. Цыпкин, М. О. Жукова,

1. N.L. Popov and A V. Vinogradov, Foundations 1,

А. О. Исмагилов, А. В. Пахомов, Н. Н. Розанов

169 (2021).

и Р. М. Архипов, Письма в ЖЭТФ 115, 3 (2022)

[M.V. Arkhipov, A.N. Tsypkin, M.O. Zhukova,

2. Е. Г. Бессонов, ЖЭТФ 80, 852 (1981) [E.G.

A.O. Ismagilov, A.V. Pakhomov, N.N. Rosanov,

Bessonov, Sov. Phys. JETP 53, 433 (1981)].

and R.M. Arkhipov, JETP Letters 115, 3 (2022)].

466