ЖЭТФ, 2023, том 163, вып. 5, стр. 660-668

ЧЕРНАЯ ДЫРА И ТЕМНАЯ МАТЕРИЯ В СИНХРОННОЙ

СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Б. Э. Мейерович^a*

^a Институт физических проблем им. П. Л. Капицы Российской академии наук

119334, Москва, Россия

Поступила в редакцию 16 декабря 2022 г.,

после переработки 16 декабря 2022 г.

Принята к публикации 22 декабря 2022 г.

Статическое состояние черной дыры во взаимодействии с темной материей рассмотрено в синхронной

системе координат. Также как и в координатах Шварцшильда, в синхронных координатах существует

регулярное статическое сферически симметричное решение системы уравнений Эйнштейна и Клейна-

Гордона, описывающее состояние материи, предельно сжатой собственным гравитационным полем. Так-

же нет ограничения на массу. Также существуют два гравитационных радиуса, с граничными условиями

на которых, решения не являются единственными. В отличие от координат Шварцшильда, в синхронных

координатах определитель метрического тензора и компонента g¹¹ (r) не обращаются в нуль на грави-

тационных радиусах. В синхронных координатах, в отличие от координат Шварцшильда, в сферическом

слое между гравитационными радиусами сигнатура метрического тензора не нарушена. В синхронных

координатах уравнения Эйнштейна и Клейна-Гордона сводятся к системе второго (а не четвертого) по-

рядка. Решения получены аналитически, так что численных расчетов не потребовалось. Определен гра-

витационный дефект массы в модели λψ⁴. Полная масса материи оказывается втрое больше массы

Шварцшильда, определяемой удаленным наблюдателем при сопоставлении с гравитацией Ньютона.

DOI: 10.31857/S004445102305005X

g₀₀

= e2F0 фиксирует знаки компонент метриче-

EDN: BDKUFJ

ского тензора g₀₀

> 0, g₁₁

< 0 и детерминанта

g = detg_ik < 0. Мы все строго следовали гипоте-

зе Эйнштейна. Вот цитата из его статьи [2]: "Если

1. ВВЕДЕНИЕ. В КООРДИНАТАХ

окажется, что в каком-нибудь месте четрехмерного

ШВАРЦШИЛЬДА

континуума

√-g обращается в нуль, то это будет

означать, что в этом месте конечному координат-

При рассмотрении гравитационного поля, созда-

ному объему соответствует бесконечно малый есте-

ваемого сферически симметричной материей, при-

ственный объем. Будем считать, что этого ни-

нято исходить из метрики Шварцшильда [1]:

где нет. В таком случае g не может менять свой

знак; мы примем, в соответствии со специальной

ds² = g_ikdxⁱdx^k =

теорией относительности, что g всегда имеет конеч-

(

)₂

(

)

ное и отрицательное значение. Это допущение яв-

=e2F0

dx⁰

- e2F1dr² - r²

dθ² + sin² θdϕ²

(1)

ляется некоторой гипотезой о физической при-

роде рассматриваемого континуума и в то же вре-

В этих координатах на расстоянии от центра

мя правилом, касающимся выбора системы коорди-

∫r

нат."Конец цитаты.

ρ (r) = eF1(x)dx

Обращение детерминанта метрического тензора

в нуль не обязательно связано с наличием физиче-

ской особенности. Это может быть спецификой вы-

длина окружности в плоскости θ = π/2 равна 2πr.

бранной системы отсчета. Например, в плоской сфе-

Экспоненциальное представление g₁₁

= -e2F1 и

рической метрике

(

)₂

(

)

^* E-mail: meierovich@mail.ru

ds² =

dx⁰

- dr² - r²

dθ² + sin² θdϕ²

660

ЖЭТФ, том 163, вып. 5, 2023

Черная дыра и темная материя . . .

определитель

описывающее состояние материи к которому может

привести коллапс, пришлось отказаться от фикси-

det g_ik = -r⁴ sin² θ

рующего знак представления g₁₁ = -e2F1. Достаточ-

но ограничиться более слабым условием регулярно-

обращается в нуль в центре r = 0 и на полюсах

сти: все инварианты метрического тензора конечны.

θ = 0 и θ = π. А в декартовых координатах везде

Компоненты метрического тензора g_ik и определи-

det g_ik = -1, так что физической особенности ни в

тель det g_ik, а также их знаки, не инвариантны от-

центре, ни на полюсах нет.

носительно преобразований координат.

Полагая в метрике (1)

При поиске статического решения уравнений

g₁₁ = -e2F1 ,

Эйнштейна, описывающего то состояние, к которо-

мы фиксируем знак компоненты g₁₁. Тем самым, не

му может привести гравитационный коллапс, есте-

заботясь о наличии или отсутствии особенности, мы

ственно считать, что гравитационное взаимодей-

исключаем из рассмотрения возможность g₁₁ > 0

ствие является доминирующим, но не нарушаю-

как якобы нефизическую. При этом система коор-

щим квантовых свойств материи. То есть бозоны

динат оказывается неполной [3-5]. Возникает кри-

остаются бозонами, а фермионы — фермионами. В

тическая масса M_cr (для нейтронных звезд порядка

соответствии с принципом исключительности Пау-

массы Солнца), так что при M > M_cr регулярных

ли, при нулевой температуре в равновесии ферми-

статических решений уравнений Эйнштейна не су-

оны поодиночке заполняют все квантовые состоя-

ществует [6-8]. Решение Шварцшильда [1]

ния, начиная от основного и кончая уровнем Фер-

ми, занимаемого последним фермионом. При массе

(

)(

)₂

dr²

M < M_cr в статическом состоянии гравитационное

ds² =

dx⁰

1 - r_g/r

сжатие скомпенсировано упругостью фермионов.

(

)

−r²

dθ² + sin² θdϕ²

(2)

При M > M_cr упругости фермионов не достаточно

чтобы сдержать силу гравитационного сжатия. Для

не является регулярным в центре r = 0, хотя и

вырожденного релятивистского ферми-газа крити-

описывает гравитационное поле в вакууме вдали от

ческая масса M_crf

∼ M^3Pl/m^2f [8]. Масса Планка

√

сферически симметричной материи независимо от

M_Pl =

cℏ/k = 2.177·10^-5 г, m_f — масса фермиона,

массы

k — гравитационная постоянная. Для нейтронных

M =

r_g,

звезд (масса нейтрона m_f = 1.67 · 10^-24г) критиче-

ская масса M_crf ∼ 10³³ г — порядка массы Солнца.

наблюдаемой удаленным наблюдателем. При

M < M_cr метрика (2) асимптотически совпадает с

Статическое состояние бозонной материи энерге-

регулярным решением в статье [5] при r ≫ r_g.

тически более предпочтительно, чем фермионной. В

Считается, что объекты с массой больше кри-

отличие от фермионов, все бозоны в равновесии при

тической подвержены неограниченному сжатию [9].

нулевой температуре находятся в основном состоя-

Отсутствие в метрике (1) статических решений для

нии. Это ультра квантовое состояние материи назы-

объектов с массой больше критической не вяжется

вается конденсатом Бозе-Эйнштейна. В равновесии

с существованием в центре нашей галактики Млеч-

концентрации частиц, вступающих в реакции пре-

ный Путь объекта с массой на 7 порядков боль-

вращения одних в другие, зависят от температуры

ше массы Солнца [10]. Неограниченно сжимающи-

и давления, и не зависят от каналов реакции ( [11],

еся объекты в центрах галактик принято называть

§101). Если исходить из современной Стандартной

черными дырами. Черные дыры в центрах галак-

Модели элементарных частиц [12], то в состоянии

тик, как и сами галактики, существуют столь же

равновесия доминирующими могут быть массивные

долго, сколько существует Вселенная. Если считать,

Z и W бозоны, скалярный бозон Хиггса, а также

что сжатие безостановочно, то в центрах галактик

бозонные квазичастицы спаренных фермионов (эф-

мы встречаемся с сингулярностью вопреки гипотезе

фект Купера [13]). Волновой функцией конденса-

Эйнштейна, что этого нигде нет. Если учесть, что

та нейтральных бозонов является классическое ска-

в процессе коллапса с ростом давления происходят

лярное поле ( [14], §30). Лагранжиан L комплексного

химические реакции превращения нейтронов в бо-

скалярного поля ψ имеет вид

лее "элементарные частицы", то это может замед-

лить и даже остановить сжатие. Чтобы найти регу-

лярное статическое решение без ограничения массы,

L = g^ikψ^∗,iψ_,k - U (ψ^∗ψ).

661

Б. Э. Мейерович

ЖЭТФ, том 163, вып. 5, 2023

При большой массе конденсата в разложении потен-

Из другого уравнения Эйнштейна ( [22], уравнение

циала

(100.4))

)₂

(

)

(

)

(mc

g^rr

1 - r(lg g⁰⁰)^′

+ 1 = κr²T^rr

(5)

|ψ|²

|ψ|² +

λ|ψ|⁴ + . . .

(3)

ℏ

видно, что поскольку g^rr (r_h) = 0, давление

основным является первый член — источник грави-

тации, m — масса покоя бозона. Если в потенциа-

p (r_h) = -T^rr (r_h) = -1/κr^2h

ле (3) оставить только первый член разложения, то

это значит, что рассматривается конденсат, состоя-

не обращается в нуль на поверхности конденсата.

щий из идеального газа невзаимодействующих бозо-

Отрицательное давление означает, что гравитацион-

нов. Второй и следующие члены — поправки, учи-

ные силы направлены на сжатие газа бозонов, а не

тывающие негравитационные взаимодействия бозо-

на разлет.

нов, включая упругость конденсата. Учет только

На сфере r = r_h черная дыра граничит с тем-

первых двух членов разложения в потенциале (3)

ной материей. Наблюдаемые проявления темной ма-

с λ = const — это феноменологическая модель. Ее

терии, такие как кривые вращения галактик, адек-

можно, назвать "λψ⁴".

ватно описываются продольным векторным полем

[23]. Ковариантная дивергенция векторного поля —

Равновесие гравитирующего скалярного поля

рассматривалось в ряде работ применительно к чер-

это скаляр, удовлетворяющий уравнению Клейна—

Гордона также как и скалярная волновая функция

ным дырам и гипотетическим бозонным звездам,

бозе-конденсата, но только с другой массой кван-

см. [15-19] и ссылки в них. Как и у фермионов, с

ограничением g11 = -e2F1 равновесие гравитиру-

та. Можно пошутить, что дивергенция продольного

поля темной материи — это волновая функция бозе-

ющего вырожденного бозе газа существует, толь-

ко если масса M конденсата меньше критической

конденсата, вывернутая наизнанку. Условие непре-

рывности давления на границе раздела позволило

массы M_crb ∼ M^2Pl/m_b [20]. Для массивных бозо-

нов Стандартной Модели (с массой покоя m_b около

определить зависимость скорости на плато враще-

ния галактики от массы черной дыры (формула (68)

100 ГэВ/c²) критическая масса конденсата бозонов

M_crb ∼ 10¹² г. Это всего лишь порядка миллиона

в [21]).

тон.

Если в потенциале (3) оставить только первый

член разложения (приближение идеального бозе-

Я позволил себе проверить, что получится, если

газа без учета упругости), то волновая функция кон-

отказаться от ограничения g₁₁ = -e2F1, фиксирую-

денсата расходится логарифмически в центре [21].

щего знак минус. Оказывается, без этого ограниче-

Регулярное в центре статическое решение системы

ния статическое решение системы уравнений Эйн-

уравнений Эйнштейна и Клейна—Гордона с массой

штейна и Клейна—Гордона с массой M > M_cr су-

M > M_cr существует в модели λψ⁴ при наличии ба-

ществует [21]. В координатах Шварцшильда в этом

ланса упругости и плотности конденсата [24]. В ко-

решении имеют место два реальных гравитацион-

ординатах Шварцшильда система уравнений Эйн-

ных радиуса. Метрическая компонента g^rr (r) два-

штейна и Клейна-Гордона, приведенная к канони-

жды меняет знак: при r = r_g внутри конденсата, и

ческому виду, состоит из четырех уравнений пер-

при r = r_h > r_g на его поверхности. В сферическом

вого порядка, разрешенных относительно производ-

слое r_g < r < r_h компонента g^rr (r) > 0, и сигнату-

ных (уравнения (21)-(24) в работе [24]). Правые ча-

рой метрики становится (+, +, -, -).

сти этих уравнений не удовлетворяют условиям тео-

Из уравнения Эйнштейна

(

[22], уравнение

ремы существования и единственности на сферах

(100.6))

r = r_g и r = r_h, где g^rr = 0. Решение с граничными

(g^rr)^′ + (1 + g^rr) /r = κrT⁰⁰

(4)

условиями регулярности в центре r = 0 существует,

но оно является единственным только в интервале

следует, что если сфера r

= r_h является по-

0 ≤ r < r_g. Решение с граничными условиями на

верхностью конденсата, то есть плотность энергии

сферах r = r_g и r = r_h не являются единственными.

ε (r) = T⁰⁰ (r) = 0 при r < r_h и T⁰⁰ (r) = 0 при r ≥ r_h,

то

Эта свобода позволяет найти решение с любой мас-

сой M > M_cr, а также обеспечить баланс на границе

g^rr (r_h) = 0,

черной дыры с темной материей.

В координатах Шварцшильда в модели λψ⁴ ста-

dg^rr

(r_h)

тические состояния черной дыры определяются дву-

662

ЖЭТФ, том 163, вып. 5, 2023

Черная дыра и темная материя . . .

мя свободными параметрами. Один из них λ харак-

В синхронной системе отсчета статическая сфе-

теризует упругость конденсата. λ однозначно задает

рически симметричная метрика

плотность конденсата в центре и внутренний грави-

(

)₂

(

)

тационный радиус r_g. Внутри сферы r < r_g уравне-

ds² =

dx⁰

- e2F1(r)dr² - e2F2(r)

dθ² + sin² θdϕ²

нием состояния конденсата является

(8)

содержит две функции F₁ (r) и F₂ (r), зависящие от

p = -ε/3,

(6)

одной координаты r, при этом

∫

а плотность энергии ε и метрическая компонента

eF1(r)dr

g00 не зависят от r. Второй свободный параметр

обеспечивает существование регулярного статиче-

ского решения с произвольной массой M в диапа-

— расстояние от центра. В отличие от метрики

зоне M_cr < M < ∞ [25].

Шварцшильда (1), длина центральной окружности

равна не 2πr, а 2πeF2(r). В синхронной системе от-

счета важную роль играют радиусы r = r_g и r = r_h,

2. В СИНХРОННОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

с граничными условиями на которых решения си-

стемы уравнений Эйнштейна и Клейна-Гордона не

Система отсчета, в которой g₀₀ = 1, g_0α = 0, на-

являются единственными. Однако теперь компонен-

зывается синхронной ( [22], §97). В этом параграфе

та g¹¹ (r) не обращается в нуль на сферах r = r_g и

показано, что, с одной стороны, перейти к синхрон-

r = r_h. Поэтому, как это привычно всем, в метри-

ной системе отсчета можно в любом пространстве-

ке (8) я могу использовать экспоненциальные пред-

времени. С другой стороны, утверждается, что за-

ставления

полняющая пространство материя не может, вообще

g₁₁ (r) = -e2F1(r), g₂₂ (r) = -e2F2(r).

говоря, покоиться относительно синхронной систе-

мы отсчета. Исключение может иметь место лишь в

Подстановкой

частных случаях. Это утверждение основано на том,

что в синхронной системе отсчета в статике компо-

∫

нента тензора Риччи R⁰⁰ = 0, а выражение в правой

dx = eF1(r)dr, x (r) = eF1(r)dr, F₂(r) = F₂ (x (r))

стороне уравнения Эйнштейна

(9)

(

)

R⁰⁰ = κ

T⁰⁰ - T/2

= κ(ε + 3p)/2

(7)

метрика (8) приводится к виду, содержащему всего

одну функцию F₂ (x):

при любом распределении материи положительно.

(

)₂

(

)

Обратим внимание, что давление p положительно,

ds² =

dx⁰

- dx² - e2F2(x)

dθ² + sin² θdϕ²

(10)

когда материя стремится к расширению, и отрица-

В метрике (10) координата x является истинным

тельно, когда материя стремится к сжатию. С точ-

расстоянием от центра. Тензор Риччи диагональ-

ки зрения, изложенной в [22], §97, состояние кон-

ный:

денсата, сжатого до ультрарелятивистского преде-

R⁰⁰ = 0,

ла (6) собственным гравитационным полем, можно

(

)

рассматривать как "исключение в частном случае".

R¹¹ = 2

F^′22 + F^′′2

(11)

Еще со времен Эддингтона [26] и Лемэтра [27] из-

R²² = R³³ = 2F^′22 + F^′′2 - e-2F2.

вестно, что гравитационный радиус r_g, на котором

в метрике Шварцшильда компонента g^rr (r_g) = 0,

В независящем от времени гравитационном поле

не является физической особенностью. В задаче

энергия является интегралом движения. Волновая

4 к §100 в [22] приведено преобразование метри-

функция конденсата бозонов в состоянии с опреде-

ки Шварцшильда (2) к конформно-евклидовому ви-

ленной энергией E на частицу

ду. Не единственность решения системы уравнений

(

)

x⁰, x

= eiEx0/ℏcψ (x)

Эйнштейна и Клейна-Гордона с граничными усло-

виями именно на гравитационных радиусах r = r_g

удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона

и r = r_h, где grr (r) = 0 является особенностью мет-

(√

)

рики Шварцшильда [25]. В конформно-евклидовом

∂U

- det g_ikg^lmψ,l

ψ.

виде g^rr (r) в нуль не обращается.

√- detg_ik

∂ |ψ|²

663

Б. Э. Мейерович

ЖЭТФ, том 163, вып. 5, 2023

Радиальная часть ψ (x) волновой функции

Λ = (ℏ/mc)2 λ - параметр, характеризующий упру-

(

)

x⁰, x

подчиняется уравнению

гость конденсата в модели λψ⁴. С учетом (16), тен-

]

зор энергии-импульса конденсата

[(

)₂

(E)2

)₂

ψ^′′ + 2F^′2ψ^′ =

+ λ|ψ|² -

ψ.

(12)

(mc

ℏ

ℏc

T⁰⁰ ≡ ε =

|ψ|² ,

ℏ

(17)

В отличие от метрики Шварцшильда, в этом урав-

)₂

1(mc

нении коэффициент при старшей производной (рав-

T^ik ≡ -δ^ikp =

|ψ|² , i > 0,

ℏ

ный единице) нигде не обращается в нуль.

Лагранжиан скалярного поля

соответствует уравнению состояния p = -ε/3 ма-

терии, сжатой ее собственным гравитационным по-

L = g^ikψ^∗,iψ_,k - U (ψ^∗ψ)

лем до ультрарелятивистского предела. Уравнения

Эйнштейна (13) с тензором Риччи (11) и тензором

не зависит от производных метрического тензора

энергии-импульса (17)

g_ik. Тензор энергии-импульса конденсата легко вы-

(

)

числяется по формуле

F^′22 + F^′′2

= -2κ |p|,

(18)

2F^′22 + F^′′2 - e-2F2 = -2κ |p|

(19)

T_ik = -g_ikL + 2∂L/∂g_ik.

определяют метрическую функцию F₂ (x). Эти

Получим

уравнения не независимы. Исключаем F^′′2 , а также

(

)

вычитаем (19) из (18). Получаем

E² + m²c

T⁰⁰ =

λ|ψ|²

|ψ|² + |ψ^′|² ,

(ℏc)²

F^′22 - e-2F2 = -κ |p|,

(20)

(

)

E² - m²c

F^′′2 + e-2F2 = 0.

(21)

T¹¹ =

λ |ψ|²

|ψ|² - |ψ^′|² ,

(ℏc)²

Поскольку ψ = const (15), плотность энергии ε и

(

)

E² - m²c

давление p (17) тоже константы. Так что уравнение

T²² = T³³ =

λ |ψ|²

|ψ|² + |ψ^′|² .

(21) - это продифференцированное уравнение (20).

(ℏc)²

Умножением на e2F2 уравнение (20) приводится

В синхронной системе отсчета R⁰⁰ = 0 (11). Поэтому

к виду

√

удобно работать с уравнениями Эйнштейна в пред-

deF2

1 - κ|p|(e^F2)².

(22)

ставлении

(

)

Частная производная

8π

R^ik = κ T^ik -

δ^ikT

κ=

(13)

√

c⁴

∂

1 - κ|p|(e^F2)²

k = 6.67 · 10-8 см³/(г·с²) — гравитационная посто-

∂e^F2

янная. Поскольку R⁰⁰ = 0 (11), из уравнения (13)

терпит разрыв при eF2 = (κ |p|)^-1/2. Согласно тео-

следует:

реме существования и единственности (см. [28], §3)

(

)

2E² - m²c

eF2 = (κ |p|)^-1/2 является решением уравнения (22).

T⁰⁰ -

T =

λ|ψ|²

|ψ|² = 0.

(14)

Но оно не единственное:

(ℏc)²

(√

)

В формуле (14) E², λ и m²c⁴ постоянные величи-

eF2 =

√

sin

κ |p| (x - x₀)

κ |p|

ны. Поэтому волновая функция конденсата ψ тоже

является константой:

тоже является решением уравнения

(22), здесь

x₀

— константа интегрирования. Компоненте

ψ = const, ψ^′ = 0.

(15)

g₂₂ (x)

-e2F2(x) метрики

(10) присущи два

решения: независящая от x константа

Из соотношений (12) и (14) с учетом (15) определя-

ется энергия бозона E в связанном основном состо-

g₂₂ (x) = - (κ |p|)^-1

янии и баланс упругости Λ с плотностью |ψ|² кон-

денсата:

и осциллирующая функция

(√

)

E² =

m²c⁴, Λ |ψ|² = -2

(16)

g₂₂ (x) = - (κ |p|)^-1 sin²

κ |p| (x - x₀)

664

ЖЭТФ, том 163, вып. 5, 2023

Черная дыра и темная материя . . .

которые периодически совпадают при

- это то же аналитическое решение, что и фор-

мула (41) в [24] в координатах Шварцшильда. В

x = x₀ + (κ|p|)-1/2 π (n + 1/2), n = 0,1,2,...

этом можно убедиться, положив в формуле (23)

g₂₂ (r) = -r² и разрешить это уравнение относитель-

В соответствии с (9), в общем решении для мет-

но eF1(x). Получится

рики (8) осциллирующее решение

κε

⎛

⎞

g¹¹ (x) = -e-2F1(x) = -1 +

x²,

∫

√

g₂₂ (r) = - (κ |p|)^-1 sin² ⎝

κ |p| eF1(x)dx⎠

(23)

как в формуле (41) в [24] (с точностью до обозначе-

ний).

И в метрике Шварцшильда, и в синхронной мет-

содержит произвольную функцию F₁ (x), r₀- кон-

рике, внутренний гравитационный радиус r_g- это

станта интегрирования. При -p = ε/3 → 0 (в ваку-

граница центральной области, в которой решение

уме) решение (23) устанавливает в метрике

является единственным и независящим от массы

(

)₂

(

)

ds² =

dx⁰

+ g11 (r)dr² + g22 (r)

dθ² + sin² θdϕ²

всего конденсата. В области r > r_g решение с гра-

ничным условием g₂₂ (r_g) = (κ |p|)^-1 не является

связь g₁₁ (r) с g₂₂ (r):

единственным. Эта неоднозначность позволяет вы-

брать решение, соответствующее данной массе кон-

⎛

⎞₂

∫

√

денсата. Разница состоит в том, что в координатах

1 (g^′

22)

g₁₁ =

g₂₂ (r) = -⎝

-g₁₁ (x)dx⎠ .

Шварцшильда в точках ветвления r_g и r_h метриче-

g₂₂

ская компонента g¹¹ (r) = 0, а в синхронной системе

отсчета (10) g¹¹ (r) = -1 и нигде в нуль не обраща-

Одна из этих двух функций произвольная.

ется.

Как и в координатах Шварцшильда, услови-

В метрике

ем регулярности в центре является g₁₁ (0) = -1.

(

)₂

(

)

Из формулы (23) видно, что при этом условии

ds² =

dx⁰

- dr² + g₂₂ (r)

dθ² + sin² θdϕ²

g₂₂ (r) → -r² при r → 0, и отношение длины окруж-

ности к радиусу стремится к 2π.

корень детерминанта

√- det g_ik = |g₂₂ (r)| sin θ. Пол-

В конкретном случае F₁ (x) = 0 решением, регу-

ная масса внутри сферы радиуса r получается ин-

лярным в центре, является

тегрированием компоненты T⁰⁰ ≡ ε :

(√

)

∫

g₂₂ (r) = -e2F2(r) = -

sin²

κ |p|r

(24)

κ |p|

M (r) =

dϕ sin θdθ T⁰⁰ (r) |g₂₂ (r)| dr.

(27)

c²

Оно является единственным только в интервале

0 ≤ r < r_g. Здесь

Согласно (26) интегрирование (27) в области r < r_g

дает

r_g =

√

(25)

(

)

κ |p|

2ε

πr

M (r) =

πr - r_g sin

r≤r_g.

c²

— внутренний гравитационный радиус. В области

> r_g уравнению (22) с граничным условием

rg. В области r > rg

e2F2(rg) = 1/κ |p| удовлетворяют оба решения,

(

)

(√

)

M (r) =

r_g

r>r_g.

(28)

g₂₂ (r) = -

sin²

κ |p|r

κ |p|

Энергия E одной частицы в конденсате (16)

меньше энергии покоя той же частицы в вакууме.

g₂₂ (r) = -

Структура статического состояния гравитирующих

κ |p|

бозонов в конденсате отличается от невзаимодей-

Решение в синхронной системе отсчета

ствующих частиц в вакууме. В модели λψ⁴ упру-

⎧

)

(√

⎨

гие столкновения частиц происходят без диссипа-

-^1κ|p| sin²

κ |p|r

, r<r_g,

g₂₂ (r) = -e2F2(r)

ции. В этой модели видно, что треть полной энергии

=⎩- 1

r≥r_g,

κ|p|

расходуется на создание связанного состояния бозо-

(26)

нов. Вторая треть обеспечивает баланс плотности и

665

Б. Э. Мейерович

ЖЭТФ, том 163, вып. 5, 2023

упругости. И только одна треть исходной массы по-

Из уравнения (32) получаем

коя остается источником гравитационного поля вне

φ^r (r) = Ce-2F2(r),

конденсата. Если граница конденсата r_h ≫ r_g, то

полная масса черной дыры (28) втрое превосходит

где С — константа интегрирования. Исключая из

(33) и (34) F^′′2, приходим к уравнению

формулу Шварцшильда M =c22k^rh^{.Таковэнерге-}

тический расклад гравитационного дефекта массы

F^′22 = e-2F2 + κV^′0C²e-4F2 .

черной дыры в модели λψ⁴.

Умножением на e4F2 приводим это уравнение к виду

)₂

2F2

( de

3. ТЕМНАЯ МАТЕРИЯ В СИНХРОННЫХ

= e2F2 + κV ^′0C²

КООРДИНАТАХ

(r) в син-

и определяем метрическую компоненту g₂₂

Сфера r = r_h это граница, разделяющая чер-

хронной системе отсчета:

ную дыру и темную материю. Проявления темно-

g₂₂ (r) = -e2F2 = κV^′0C² - (r + D)² , r > r_h.

(35)

го сектора (например, плато на кривых вращения

галактик [23]) адекватно описываются с помощью

От лагранжиана темной материи (29) требуется,

продольного векторного поля φ_i [29]. Лагранжианом

чтобы константа V^′0 была отрицательной. Заметим,

поля φ_i является

что V^′0 < 0 является также условием регулярности

(

)₂

в центре (формула (39) в [29]). Две константы ин-

φm;m

- V (φⁿφ_n).

(29)

(

)_-1

тегрирования C² = -

κ² |p| V^′0

и D = -r_h в (35)

Для гравитирующих, но не взаимодействующих

обеспечивают плавный переход гравитационного по-

друг с другом объектов темного сектора потенциал

ля через границу черной дыры и темной материи:

⎧

(√

)

dV (x)

⎪

−¹

sin²

κ |p|r

r<r_g,

V (φⁿφ_n) = V₀ + V^′0φⁿφ_n , V^′0 =

при x = 0.

⎨

κ|p|

g₂₂ (r) =

−_κ|

rg < r < rh,

(36)

⎪

В уравнениях Эйнштейна V₀ является простой

⎩

−^1κ|p| - (r - r_h)² ,

r>r_h.

добавкой к космологической постоянной (формула

(62) в [29]). Это проявляется в однородном расши-

Связь (25) позволяет выразить g₂₂ (r) через гра-

рении Вселенной в масштабах, много больших чем

витационные радиусы r_g и r_h :

расстояния между галактиками. В масштабе чер-

⎧

(

)

⎪

π r

ной дыры расширение Вселенной ничтожно. Поэто-

-4π2 r^2g

sin²

r<r_g,

⎨

2 rg

му тензор энергии-импульса темной материи

g₂₂ (r) =

−4π2 r^2g,

(37)

rg < r < rh,

⎪

((

)₂

)

⎩

−4π2 r^2g - (r - r_h)² , r > r_h.

T^ki = δ^ki φ^m;m

-V^′0φ^mφm

+ 2V ^′0φ^kφ_i.

(30)

В отличии от (3)

0.2

r_J

r_K

)₂

( μc

V′0 =-

= -λ^-2,

ℏ

0.2

где λ — длина волны де-Бройля квантов темной ма-

0.4

терии. Масса покоя кванта темной материи μ на

много порядков меньше массы покоя бозонов m. Вне

0.6

черной дыры правая часть уравнений Эйнштейна

0.8

(13), в соответствии с (30), имеет вид

{

1.0

(

)₂

φm;m

- V ^′0(φ^r)², i = r,

T^ki -

Tδ^ki =

(

)

(31)

1.2

φm;m

²,

i = r.

С тензором Риччи (11) и тензором (31) уравнения

Рис. 1. Компонента метрического тензора g22 (r) в син-

Эйнштейна вне черной дыры r > r_h сводятся к

хронной системе координат (37) (сплошная красная ли-

ния). Параметры rg = 1 и rh = 5 выбраны для наглядно-

R⁰⁰ : φ^m;m = (φ^r)^′ + 2F^′2φ^r = 0,

(32)

сти. В реальности r_h на много порядков больше rg. Пунк-

R¹¹ : F^′22 + F^′′2 = -κV^′0(φ^r)²,

(33)

тирная линия - это g22 (r) = -r² в координатах Шварц-

R²² :

2F^′22 + F^′′2 - e-2F2 = 0.

(34)

шильда (2)

666

ЖЭТФ, том 163, вып. 5, 2023

Черная дыра и темная материя . . .

На рисунке приведена компонента метрического

Academie derWissenschaften: Berlin, Germany,

тензора g₂₂ (r) (37) в синхронной системе координат

1916; pp. 189-196.

(для ясности показано красной сплошной линией).

Einstein, A. Die Grundlage der allgemeinen

Параметры r_g = 1 и r_h = 5 выбраны для наглядно-

Relativitatstheorie. Ann. Phys. 1916, 49, 769-822.

сти. В действительности гравитационные радиусы

черных дыр r_h и r_g один больше другого на много

M. D. Kruskal, Phys. Rev. 119, 1743 (1960).

порядков.

Волновая функция темной материи

G. Szekers, Publ. Mat. Debrecen 7, 285 (1960).

]_-1

[(

)₂

I. D. Novikov, On the Evolution of a Semiclosed

2 λr_g

2r_g

φ^r (r) =

+ (r - r_h)2

r≥r_h

World, Doctoral dissertation,

Shternberg

π κ

Astronomical Institute, Moscow (1963).

быстро убывает с расстоянием от черной дыры.

S. Chandrasekhar, Astrophys. J. 74, 81 (1931).

Исторически название радиуса поверхности чер-

ной дыры r_h горизонтом событий связано с тем, что

L. D. Landau, Phys. Zs. Sowjet. 1, 285 (1932).

в координатах Шварцшильда компонента метриче-

J. R. Oppenheimer and G. Volkoff, Phys. Rev. 55,

ского тензора g^rr (r_h) = 0. Тот факт, что g^rr обра-

374 (1939).

щается в нуль на тех же радиусах r_g и r_h, (с гранич-

ными условиями на которых решения уравнений не

J. R. Oppenheimer and H. Snyder, Phys. Rev. 56,

единственные), является исключительно свойством

455 (1939).

метрики Шварцшильда. В синхронных координа-

тах g^rr на этих гравитационных радиусах остается

10.

S. Gillessen, F. Eisenhauer, S. Trippe, T.

конечным. Я не вижу оснований считать, что для

Alexander, R. Genzel, F. Martins, and T. Ott,

удаленного наблюдателя интерфейс черной дыры и

Astrophys. J. 692, 1075 (2009).

темной материи r_h является горизонтом событий.

11.

Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Статистическая

Глобальный проект сети телескопов под названи-

физика. Часть 1, Москва, Наука-физматлит

ем The Event Horizon Telescope (Телескоп горизонта

(1995).

событий) фактически нацелен на исследование об-

ласти границы раздела черной дыры и темной мате-

12.

https://en.wikipedia.org/wiki/Standard Model.

рии. Привлекает внимание возможность увидеть не

13.

L. N. Cooper, Phys. Rev. 104, 1189 (1956).

только фасад, но и обратную сторону черной дыры

особым путем гравитационного линзирования (см.

14.

Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Статистическая

[30] и приведенные там ссылки). Регулярное стати-

физика. Часть 2, Москва, Физматлит (2000).

ческое решение для черной дыры с массой сильно

больше массы Солнца найдено только при наличии

15.

G. Baym, T. Hatsuda, T. Kojo, P. D. Powell,

границы с темной материей, а не в вакууме [24]. На

Y. Song, and T. Takatsuka, arXiv:1707.04966v1

мой взгляд, при гравитационном линзировании чер-

(2018).

ной дыры удобно исходить из статической синхрон-

16.

M. Colpi, S.L. Shapiro, and I. Wasserman, Phys.

ной метрики с компонентой g₂₂ (r) (37):

Rev. Lett. 57, 2485 (1986).

(

)

(

)₂

ds² =

dx⁰

- dr² -

r^2g + (r - r_h)²

17.

R. Friedberg, T. D. Lee, and Y. Pang, Phys. Rev.

π²

(

)

D 35, 3640 (1987).

dθ² + sin² θdϕ²

r>r_h.

(38)

18.

D. J. Kaup, Phys. Rev. 172, 1331 (1968).

Вопрос о движении материи в метрике (38) вы-

19.

D. F. Torres, S. Capozziello, and G. Lambiase,

ходит за рамки этой статьи.

Phys. Rev. D 62, 104012 (2000).

20.

Б. Э. Мейерович, ЖЭТФ 154, 1000 (2018).

ЛИТЕРАТУРА

21.

B. E. Meierovich, Universe 5, 198 (2019).

1. K. Schwarzschild, Uber das Gravitationsfeld eines

Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie;

22.

Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория поля, Нау-

Sitzungsberichte der Koniglich Preuischen

ка, Москва (1973).

667

ЖЭТФ, вып. 5