ЖЭТФ, 2023, том 164, вып. 3 (9), стр. 365-379

О МЕТОДИКАХ ОЦЕНКИ ДЕПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ ПОТЕРЬ

УЛЬТРАХОЛОДНЫХ НЕЙТРОНОВ В МАГНИТНЫХ

ЛОВУШКАХ

Г. Н. Клюшников^*, А. П. Серебров

НИЦ ¾Курчатовский институт¿

Петербургский институт ядерной физики имени Б.П. Константинова

188300, Гатчина, Ленинградская обл., Россия

Поступила в редакцию 14 февраля 2022 г.,

после переработки 19 апреля 2023 г.

Принята к публикации 3 мая 2023 г.

Задача о нахождении деполяризационных потерь нейтронов возникает в связи с необходимостью опре-

деления систематической погрешности экспериментов с магнитным удержанием ультрахолодных нейтро-

нов в ловушках. В настоящей работе рассматриваются три методики оценки вероятности деполяризации

нейтронов: классическая, квантовомеханическая и приближенная. Разработанные методики применяют-

ся к оценке вероятности деполяризации ультрахолодных нейтронов в двух магнитных ловушках: ловушке

коллаборации Лос-Аламосской национальной лаборатории США (LANL) и ловушке, проектируемой в

лаборатории физики нейтрона ¾НИЦ Курчатовский институт¿-ПИЯФ. Показано, что все три методики

могут успешно применяться для количественной оценки деполяризации. Это имеет особое значение для

сравнения теоретических предсказаний с результатами измерений в экспериментах по определению вре-

мени жизни нейтрона.

DOI: 10.31857/S0044451023090055

хранения холодных нейтронов в ограниченной ва-

EDN: KCIVPF

куумной полости за счет отталкивания нейтронов

от областей с сильным магнитным полем указал

В. В. Владимирский в 1960 г. В своей работе [2]

1. ВВЕДЕНИЕ

он рассмотрел условия, необходимые для сохране-

ния ориентации спина относительно магнитного по-

Задача об определении потерь нейтронов вслед-

ля и дал конкретные примеры магнитных полей,

ствие деполяризации возникает при решении мно-

обеспечивающих хранение нейтронов. Тема магнит-

гих задач фундаментальной физики на реакторах:

ного хранения получила развитие в исследованиях,

измерения времени жизни нейтрона [1-6], опреде-

проведенных экспериментаторами из Курчатовско-

ления коэффициента асимметрии A, а также при

го института (КИ) и Научно-исследовательского ин-

решении технических задач, например, при оцен-

ститута ядерных реаторов (НИИАР) [3]. Впослед-

ке эффективности поляризаторов ультрахолодных

ствии этой группой ученых было получено первое

нейтронов (УХН) в областях с сильным магнитным

значение времени жизни нейтрона методом удержа-

полем [7, 8].

ния УХН в полости. Позже в Институте теорети-

Идея о возможности отражения нейтронов от

ческой и экспериментальной физики (ИТЭФ) была

магнитного барьера в статическом магнитном поле

создана ловушка для УХН с электромагнитами, поз-

была впервые высказана В. Паулем в 1951 г. Эти

волившая удерживать нейтроны со временем хра-

представления впоследствии были развиты и ис-

нения больше 700 с в простой односвязной обла-

пользованы для создания экспериментальной уста-

сти под действием гравитационного и неоднородного

новки по измерению времени жизни нейтрона сек-

магнитного полей [4].

ступольной магнитной ловушки, изогнутой в виде

тора [9]. В СССР на принципиальную возможность

Магнитная ловушка на постоянных магнитах

была спроектирована и изготовлена в ПИЯФ РАН

^* E-mail: klyushnikov_gn@pnpi.nrcki.ru

в 2001 г. [5]. Ловушка была сделана из постоянных

365

Г. Н. Клюшников, А. П. Серебров

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

магнитов и представляла собой расположенную вер-

по спинорам Паули находились как решения обык-

тикально цилиндрическую двадцатиполюсную маг-

новенных дифференциальных уравнений, получа-

нитную систему с конической нижней частью. Ее

ющихся из стационарного уравнения Шредингера

конструкция предусматривала возможность реги-

со спинором χ. При этом рассматривались только

страции потерь нейтронов в процессе хранения [6].

вертикальные перемещения нейтронов. В результате

в [19] вероятность деполяризации на одном отскоке

Первые эксперименты по определению времени

оценена значениями от 2.6 · 10^-23 в полуклассиче-

жизни нейтрона были осуществлены в 50-е годы

ском подходе до 10^-20 в ВКБ-приближении.

XX века при помощи пучкового метода определения

вероятности распада нейтрона [10]. В эксперимен-

тах этого направления измерялась скорость распада

Анализ деполяризационных потерь в экспери-

нейтрона внутри выделенной области нейтронного

менте LANL был продолжен в [20], где основное

пучка благодаря регистрации протонов в распадной

внимание было уделено рассмотрению перемещений

области [11,12]. Методом, основанным на хранении

нейтрона с ненулевой горизонтальной составляю-

УХН в гравитационных или магнитных ловушках,

щей скорости. Именно такие перемещения, как по-

экспериментаторы начали пользоваться в 80-х гг. и

казано в [20], являются основной причиной депо-

с тех пор постоянно повышают точность своих изме-

ляризационных потерь в объеме магнитного хра-

рений [13]. Когда проявилось расхождение в резуль-

нения. К решению задачи были применены три

татах измерения времени жизни нейтрона, получен-

подхода: квантовомеханический, математический и

ных с одной стороны в пучковых экспериментах и с

полуклассический. В квантовомеханическом подхо-

другой стороны в экспериментах с хранением УХН в

де искались функции-коэффициенты разложения

магнитно-гравитационных ловушках [1, 14, 15], воз-

спинора χ по базисным спинорам. В математиче-

никла необходимость детального анализа экспери-

ском подходе амплитуда деполяризации была полу-

ментов обеих групп, тщательного поиска в них си-

чена как решение обыкновенного дифференциаль-

стематических ошибок и путей дальнейшего увели-

ного уравнения в предположении об асимптотиче-

чения точности измерений [16, 17]. Одним из воз-

ском представлении функции Эри. В полуклассиче-

можных важнейших источников систематических

ском подходе так же, как и в квантовомеханическом,

ошибок в экспериментах с хранением в магнитно-

рассматривалось разложение волновой функции по

гравитационных ловушках являются деполяризаци-

собственным состояниям, однако собственные функ-

онные потери, возникающие вследствие переворота

ции и коэффициенты разложения предполагались

спина нейтронов в областях с сильными градиента-

зависящими от времени t, а не от пространствен-

ми магнитного поля.

ных переменных. В результате анализа, проведен-

ного в [20], получена вероятность деполяризации на

Основоположником теоретического изучения де-

одном отскоке порядка 10^-10 для ведущего магнит-

поляризации нейтронов в неоднородном статиче-

ного поля 0.05 Тл и горизонтальной составляющей

ском магнитном поле является итальянский физик

скорости нейтрона 3 м/с.

Э. Майорана [18]. В применении к анализу экспе-

риментов по измерению времени жизни нейтрона

первые оценки деполяризационных потерь УХН бы-

ли сделаны в [19]. Вычисления в [19] были про-

Помимо деполяризации, происходящей при дви-

деланы для ловушки, использовавшейся в экспе-

жении нейтронов в объеме хранения, возможна де-

рименте по определению времени жизни нейтро-

поляризация за счет некогерентного квазиупруго-

на в Лос-Аламосской национальной лаборатории

го рассеяния нейтронов на протонах молекул стен-

США (LANL). Авторы использовали для оценки

ки ловушки, а также за счет изменения траекторий

амплитуды переворота спина полуклассический ме-

нейтронов при отражении от стенки. Теоретическо-

тод и приближение Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна

му исследованию этих механизмов деполяризации

(ВКБ-приближение). В полуклассическом методе

УХН посвящена работа [21]. В настоящей статье мы

отыскивалась амплитуда переворота спина в ниж-

ограничимся рассмотрением деполяризации, проис-

ней точке поворота, затем вероятность деполяри-

ходящей при движении нейтронов в объеме хране-

зации на одном отскоке от поверхности записы-

ния, и не будем учитывать деполяризацию при от-

валась в виде квадрата этой амплитуды. В ВКБ-

ражении от стенок. Также мы будем пренебрегать

приближении коэффициенты разложения спинора χ

затуханием колебаний магнитного момента.

366

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

О методиках оценки деполяризационных потерь...

2. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТИ

Тогда система дифференциальных уравнений

ДЕПОЛЯРИЗАЦИИ

(1), (2) примет вид

2.1. Классический подход. Уравнения Блоха

=v_x,

dv_x

∂µ_x

∂µ_y

∂µ_z

Рассмотрим ультрахолодный (следовательно,

B_x +

B_y +

B_z+

∂x

нерелятивистский) нейтрон с массой m и средним

∂B_x

∂B_y

∂B_z

значением магнитного момента µ, движущийся в

+µ_x

+µ_y

+µ_z

∂x

суперпозиции магнитного поля с индукцией B и

гравитационного поля mg. Уравнения движения

=v_y,

такого нейтрона в декартовой системе координат

dv_y

∂µ_x

∂µ_y

∂µ_z

Oxyz будут

B_x +

B_y +

B_z+

∂y

∂B_x

∂B_y

∂B_z

+µ_x

+µ_y

+µ_z

∂y

= ∇(µ · B) + mg.

(1)

=v_z,

dv_z

∂µ_x

∂µ_y

∂µ_z

B_x +

B_y +

B_z+

∂z

∂B_x

∂B_y

∂B_z

Динамика среднего значения магнитного момен-

+µ_x

+µ_y

+µ_z

- mg,

та в магнитном поле будет описываться уравнения-

∂z

dµ_x

ми Блоха

= γn (µ_yB_z - µ_zB_y),

dµ_y

= γn (µ_zB_x - µ_xB_z),

(4)

dµ

dµ_z

= γ_mµ × B,

(2)

= γn (µ_xB_y - µ_yB_x),

d(∂µx)

(∂µ_y

∂B_z

∂µ_z

∂B_y)

=γ_n

B_z + µ_y

B_y - µ_z

∂x

где постоянная γ_m

= -1.83 · 10⁸/(Тл·с)

гиро-

d(∂µ_x)

(∂µ_y

∂B_z

∂µ_z

∂B_y)

=γ_n

B_z + µ_y

B_y - µ_z

магнитное отношение для нейтрона. (2) аналогично

∂y

по форме уравнению Гейзенберга для ожидаемых

d(∂µ_x)

(∂µ_y

∂B_z

∂µ_z

∂B_y)

=γ_n

B_z + µ_y

B_y - µ_z

значений элементов матрицы Паули, приведенных

∂z

в [22] для случая постоянного по модулю магнитно-

d (∂µ_y)

(∂µ_z

∂B_x

∂µ_x

∂B_z)

=γ_n

B_x + µ_z

B_z - µ_x

го поля, вращающегося вокруг одной из осей коор-

∂x

динат с постоянной угловой скоростью.

d (∂µ_y)

(∂µ_z

∂B_x

∂µ_x

∂B_z)

=γ_n

B_x + µ_z

B_z - µ_x

∂y

В дальнейших рассуждениях будем называть µ

d (∂µ_y)

(∂µ_z

∂B_x

∂µ_x

∂B_z)

магнитным моментом, всегда имея в виду его сред-

=γ_n

B_x + µ_z

B_z - µ_x

нее значение.

∂z

(∂µ_z)

(∂µ_x

∂B_y

∂µ_y

∂B_x)

=γ_n

B_y + µ_x

B_x - µ_y

Будем предполагать, что справедливы соотноше-

∂x

ния для частных производных

d (∂µ_z)

(∂µ_x

∂B_y

∂µ_y

∂B_x)

=γ_n

B_y + µ_x

B_x - µ_y

∂y

)

d (∂µ_z

(∂µ_x

∂B_y

∂µ_y

∂B_x)

(∂µ_i

∂

( dµ_i )

=γ_n

B_y + µ_x

B_x - µ_y

(3)

∂z

∂x_j

∂x_j dt

Система (4) должна быть дополнена начальными

Условия (3) будут выполнены, если члены с ком-

условиями для координат x, y, z, компонент скоро-

понентами ускорения нейтрона w_j , возникающие в

сти v_x, v_y, v_z, компонент магнитного момента µ_x,

правой части (3), меньше членов с компонентами

µ_y, µ_z и производных компонент магнитного момен-

скорости нейтрона v_j .

та по координатам ∂µ_i/∂x_j.

367

Г. Н. Клюшников, А. П. Серебров

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

Если в равенствах

Дадим теперь два определения, которые потре-

буются в дальнейшем. Пусть B(t) индукция поля

∂(µ_iB_i)

∂µ_i

∂B_i

B_i + µ_i

(5)

в момент времени t, B(t + Δt) индукция поля

∂x_j

через малый промежуток времени Δt. Примем за α

угол между векторами B(t) и B(t + Δt) и рассмот-

пренебречь членами с производными ∂µ_i/∂x_j, то (4)

рим предел

сведется к системе уравнений

ν = lim

(9)

Δt→0 Δt

=v_x,

Величина ν будет угловой скоростью вращения век-

dv_x

∂B_x

∂B_y

∂B_z

тора B.

=µ_x

+µ_y

+µ_z

Вторая важная характеристика магнитного поля

∂x

ω частота обращения спина вокруг поля B, или

=v_y,

ларморова частота прецессии спина.

dv_y

∂B_x

∂B_y

∂B_z

=µ_x

+µ_y

+µ_z

∂y

2.2. Приближенный способ оценки

(6)

вероятности деполяризации через квадрат

=v_z,

отношения частот

dv_z

∂B_x

∂B_y

∂B_z

=µ_x

+µ_y

+µ_z

- mg,

Задачу вычисления вероятности неадиабатиче-

∂z

dµ_x

ских переходов решал немецкий физик В. Гюттин-

= γn (µ_yB_z - µ_zB_y),

гер. В 1931 г. он получил уравнения для нахож-

dµ_y

дения коэффициентов разложения волновой функ-

= γn (µ_zB_x - µ_xB_z),

ции частицы со спином в магнитном поле в одном

dµ_z

частном случае. Дж. Швингер получил более общие

= γn (µ_xB_y - µ_yB_x).

уравнения для коэффициентов разложения волно-

вой функции и решил эти уравнения для несколь-

Систему обыкновенных дифференциальных уравне-

ких практически важных примеров, в том числе для

ний (6) также следует дополнить начальными усло-

магнитного поля, постоянного по модулю и враща-

виями.

ющегося с постоянной угловой скоростью [23].

Будем считать, что в начальный момент времени

В работе [23] использовался угол α, через кото-

магнитный момент нейтрона µ₀ направлен проти-

рый были записаны вероятность системы остаться в

воположно индукции магнитного поля в точке пус-

том же квантовом состоянии

ка B₀:

)

(

)

µ₀ ↑↓ B₀,

(7)

→

→-

= cos²

(10)

т. е. угол θ между средним значением спина нейтро-

на σ и B равен 0 при t = 0. Модуль вектора µ равен

и вероятность перехода в состояние с противополож-

ным спином

µ = 1.913µ_nucl,

(8)

(

)

→-

= sin²

(11)

где µ_nucl ядерный магнетон.

Для системы (4) помимо начальных значений ко-

И. Раби также рассмотрел задачу о вероятности пе-

ординат и скоростей, а также условия (7) будем за-

реворота спина нейтрона в магнитном поле, враща-

давать производные∂µi равными нулю при t = 0._∂x

ющемся с постоянной угловой скоростью. Задача из-

Система (4) является более точной, чем (6), по-

начально решалась в неподвижной системе коорди-

этому в общем случае следует пользоваться ей. Од-

нат. В работе [24] получено выражение для вероят-

нако на практике разница в решениях (4) и (6) про-

ности обнаружить нейтрон в состоянии со спином

является только на достаточно больших временах

(-1/2) через угловую скорость поворота поля и лар-

наблюдения.

морову частоту прецессии спина.

При таком рассмотрении характеристикой депо-

В 1954 г. И. Раби с соавторами решил задачу о

ляризации, как будет показано далее, является ве-

вероятности обнаружить нейтрон в квантовом со-

личина

стоянии со спином (-1/2) в системе координат, дви-

1 - cosθ

Δcos θ =

= sin²

жущейся вместе с нейтроном [25]. Предполагалось,

368

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

О методиках оценки деполяризационных потерь...

что вектор магнитной индукции вращается с посто-

(12) для вероятности деполяризации на одном от-

янной угловой скоростью вокруг некоторой оси в

скоке ограничено, поскольку вычисление cos θ явля-

пространстве. Были найдены вероятности P_(1/2) и

ется затратным по времени вычисления для прак-

P_(-1/2), где (1/2) и (-1/2)

проекции спина ней-

тически интересных магнитных систем.

трона на направления B и -B. Вероятность P_(-1/2)

определялась по формуле

2.3. Квантовомеханическая оценка

1 - cosθ

вероятности деполяризации

P_(-1/2) =

(12)

В работе [20] оценка вероятности деполяризации

где θ угол между вектором B в неподвижной си-

за счет переворота спина нейтронов сделана для

стеме координат и магнитным моментом нейтрона.

магнитного поля, удовлетворяющего следующим

В работе [26] рассмотрена задача о нахождении

условиям (система координат та же, что в [20]):

вероятностей P_(1/2) и P_(-1/2) в системе координат,

1) модуль магнитного поля |B| зависит только от

связанной с нейтроном, в предположении, что маг-

вертикальной координаты y;

нитное поле в подвижной системе координат враща-

2) угол φ, определяемый через соотношение

ется с произвольной угловой частотой ν(t). Сделан

tg φ = B_y/B_x, зависит только от горизонтальной

вывод о том, что в общем случае для определения

координаты x;

компонент волновой функции ψ₊ и ψ_- нужно ре-

3) угол θ, определяемый через соотношение

шить интегро-дифференциальное уравнение с неиз-

cosθ

= B_z/B, зависит только от вертикальной

вестной функцией Δ(t). Однако, как подчеркивает-

координаты y.

ся в [26], в большинстве практически интересных

Первое предположение означает, что градиент

случаев для оценки вероятности нахождения систе-

∇|B| имеет только одну ненулевую компоненту. Вто-

мы в состоянии (-1/2)

рое и третье предположения накладывают ограни-

P_(-1/2) = ||ψ_-||²

(13)

чения на геометрию магнитного поля B.

При сделанных предположениях вероятность де-

достаточно воспользоваться простым выражением

поляризации на одном отскоке можно записать так:

для волновой функции

ν_x

θ² + (Kv_xsin θ)2

ψ_- = i

sin

(14)

p(t) =

(17)

4ω

√

где n =

(ω - ν_z)² + ν^2x, ν вектор угловой скоро-

где K = 2π/L, L постоянная магнитной структу-

сти поворота поля.

ры, ω_L ларморова частота прецессии спина.

Будем предполагать, что |B(t)| и ν(t) - функции,

меняющиеся настолько медленно, что выполняются

условия

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

v∇B/(γB²) ≪ 1, ν/ω ≪ 1.

(15)

Применим теперь методики оценки деполяриза-

Первое из условий (15) означает, что поле B меня-

ции, основанные на трех описанных выше методах, к

ется медленно по модулю, второе медленно по на-

двум магнитным ловушкам: ловушке эксперимента

правлению. Тогда выражение (12) и квадрат волно-

LANL и магнитной ловушке, проект которой разра-

вой функции (14) могут служить локальными оцен-

батывается в настоящее время в лаборатории физи-

ками вероятности деполяризации. Если мы будем

ки нейтрона НИЦ ¾Курчатовский институт¿ - ПИ-

возводить в квадрат не локальную, а среднюю ве-

ЯФ.

личину отношения частот, то получим из (13) и (14)

Перед выполнением деполяризационных расче-

формулу

тов мы проведем независимое вычисление магнит-

E₂

1D ν

ных полей. Для ловушки LANL это необходимо, что-

P_(-1/2) =

(16)

бы проверить, насколько сильно аналитическое маг-

где угловыми скобками в (16) обозначено усредне-

нитное поле, использованное в [20], отличается от

ние по координатам и скоростям нейтронов.

реального поля, и как возможное отличие влияет на

Таким образом, (16) может служить приближен-

итоговую оценку деполяризации нейтронов. Будем

ной формулой для оценки вероятности деполяри-

использовать геометрию магнитной системы, задан-

зации на одном отскоке. Использование формулы

ную в [27].

369

Г. Н. Клюшников, А. П. Серебров

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

-0.5

-1

-2

-1

0.5

x, m

2 -0.5

y, m

Рис. 1. Линии, вдоль которых вычислялась индукция внутреннего магнитного поля (показаны черным цветом)

3.1. Магнитное поле ловушки эксперимента

2) скругление краев контура, вычисление по-

LANL

ля одного витка в форме прямоугольника со

скругленными краями,

Решение задачи о нахождении магнитного по-

ля ловушки эксперимента LANL осуществлялось по

3) нахождение поля девяти витков путем приме-

следующему плану.

нения преобразования поворота поля от одного

1. Расчет основного (внутреннего) магнитного

витка на заданный угол. Создание калькулято-

поля магнитной ловушки эксперимента LANL

ра внешнего магнитного поля.

поля, создаваемого основной магнитной поверхно-

стью:

3. Определение результирующего поля магнит-

ной системы как суперпозиции внутреннего и внеш-

1) параметризация магнитной поверхности,

него магнитных полей.

2) разбиение поверхности на элементарные

ячейки-магниты, задание полярности каждой

Расчет основного магнитного поля

ячейки,

Будем использовать декартову систему коорди-

3) нахождение поля одной магнитной полосы для

нат Oxyz с осью z, направленной вертикально вверх.

четырех различных ориентаций полос,

В этой системе координат самой нижней точкой маг-

нитной поверхности будет (0, 0, -1) м.

4) вычисление поля от всей магнитной поверхно-

Поверхность, на которой располагаются магни-

сти. Создание калькулятора внутреннего маг-

ты, создающие основное магнитное поле, вместе

нитного поля.

с контрольными линиями представлена на рис. 1.

Поверхность составлена из элементарных магнитов

2. Расчет внешнего (ведущего) магнитного поля -

в виде равномерно намагниченных прямоугольных

тороидального поля, создаваемого витками солено-

параллелепипедов размера 5.08 × 1.27 × 2.54 см. Та-

идов:

ким образом, период магнитной структуры состав-

1) нахождение поля одного (центрального) витка

ляет 5.08 см, основное изменение ориентации маг-

прямоугольной формы,

нитного поля будет происходить вдоль оси y.

370

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

О методиках оценки деполяризационных потерь...

0.8

0.6

0.4

0.2

-100

-50

100

-92

-90

-88

-86

-84

-82

-80

x, cm

z, cm

Рис. 2. Зависимость |B(x)| в y- слое. 1 поле задано

Рис. 4. Зависимость |B(z)| вдоль вертикальной прямой

численно, 2 поле задано аналитически

для двух полей расчетного (кривая 1) и аналитического

(кривая 2)

1.5

6. Вычисление компонент поля B^′(r - r_c) в ло-

кальной системе координат.

7. Пересчет компонент поля B(r - r_c) в непо-

движной системе координат, суммирование.

Результаты расчета внутреннего магнитного по-

ля представлены на рис. 2-4. На рис. 1 показаны

0.5

линии, вдоль которых вычислялось магнитное поле

для рис. 2 и рис. 3.

На рис. 2 показано изменение модуля магнитной

индукции |B| от координаты x в одном из сечений

-50

100

y, cm

поверхности плоскостью y = const (будем называть

такое сечение y-слоем). Для аналитического маг-

Рис. 3. Зависимость |B(y)| в x- слое. 1 поле задано

нитного поля из [20] модуль |B| постоянен в плоско-

численно, 2 поле задано аналитически

сти z = const. Для криволинейной поверхности ана-

логом плоскости z = const является поверхность,

параллельная поверхности магнитов. Зависимость

Для вычисления поля магнитной поверхности

|B(x)| на рис. 2 дана для основной плоскости (высо-

была разработана и записана в виде программного

та над магнитами нулевая). Видно отклонение гра-

кода процедура из следующих действий.

фика от горизонтальной прямой, соответствующей

1. Вычисление координат z торцов элементарных

аналитически заданному полю.

магнитов с помощью уравнения поверхности z(x, y).

На рис.

приведен график зависимости |B|

2. Создание матрицы с координатами базиса

от координаты y в x-слое. Видны колебания мо-

Френе в каждой точке разбиения.

дуля индукции, отражающие влияние магнитной

3. Определение координат центра текущего маг-

структуры, создаваемой отдельными прямоуголь-

нита.

ными параллелепипедами. Однако такие отклоне-

4. Выбор одной из четырех возможных ориента-

ния по абсолютной величине не превышают 0.2 Тл

ций текущего магнита.

в области без влияния краевых эффектов.

5. Нахождение координат вектора относительно-

Для исследования зависимости внутреннего маг-

го положения точки наблюдения r - r_c в локальной

нитного поля от вертикальной координаты z были

системе координат с использованием матриц A и C.

построены графики функций |B|(z) для фиксиро-

В матрице A записаны координаты базиса Френе в

ванных значений координат x и y. Один из таких

рассматриваемой точке, C представляет собой мат-

графиков дан на рис. 4 вместе с графиком функции

рицу поворота.

371

Г. Н. Клюшников, А. П. Серебров

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-0.5

0.5

-1

y, m

x, m

Рис. 5. Полная геометрия магнитной системы массива Хальбаха (витки, создающие ведущее поле, показаны черным

цветом)

На рис. 5 показана полная геометрия магнитной

системы массива Хальбаха вместе с системой девяти

B=B₀e-1.21(z-z0),

(18)

колец, создающей внешнее магнитное поле.

Поле одного кольца с током было вычислено по

где B₀ = 0.82 Тл модуль поля на поверхности,

закону Био-Савара-Лапласа

z₀

координата нижней точки поверхности магни-

тов в см. График функции (18) показан на рис. 3

красным цветом.

∫

µ₀

j × (r - r^′)dV

Из рис. 4 становится заметным более быстрое

B(r) =

(19)

4π

|r - r^′|³

спадание магнитного поля в действительности по

сравнению с теоретической моделью. Рассмотрение

где интегрирование производилось по всем элемен-

|B|(z) при других x и y показало, что изменение

там тока j.

реального магнитного поля с ростом координаты

Вычисленное внешнее магнитное поле оказалось

z неравномерное и существенно зависит от выбора

отличным от однородного и от ведущего поля, ис-

точки (x, y).

пользованного в [20]. Указанное отличие от однород-

ного поля объясняется тем, что, во-первых, между

соседними витками есть ненулевое расстояние, а во-

Расчет внешнего магнитного поля

вторых, витки повернуты друг относительно друга,

Для задания геометрии внешнего (ведущего)

а не параллельны одной плоскости. Так, например,

магнитного поля в плоскости Oyz был построен пря-

x-компонента магнитной индукции будет равна 0 в

моугольник размеров 220 × 90 см со скругленны-

центре только того витка, который лежит в плоско-

ми углами, радиус скругления был взят равным 5

сти Oyz.

см. Центр прямоугольника был смещен относитель-

На рис. 6 показан график зависимости модуля

но начала координат по оси z вниз на 80 см.

индукции магнитного поля, вычисленный вдоль ду-

Остальные прямоугольники были получены из

ги окружности, в нижней точке касающейся магнит-

основного поворотом на угол arccos(2/3)/4 вокруг

ной поверхности массива Хальбаха. Максимальное

оси y.

значение |B| не превышает 50 Гс.

372

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

О методиках оценки деполяризационных потерь...

-3

мента LANL является ее конструкционная простота

5x 10

и удобство сборки.

Зависимость модуля индукции магнитного поля

B от координаты y для z = 1.05 см (высота над по-

верхностью магнитов 0.5 мм) приведена на рис. 9.

Локальные максимумы магнитного поля достигают-

ся на стыках между соседними магнитами, миниму-

мы в серединах магнитов.

На рис. 10 показана зависимость B(x, y) для то-

чек (x, y), удаленных на 1 мм от плоскости ведущего

магнита. Целью введения ведущего магнита являет-

ся увеличение абсолютного минимума поля в объе-

-100

-50

100

x, cm

ме ловушки и уменьшение пространственной неод-

нородности магнитного поля.

Рис. 6. Зависимость |B(x)| для внешнего магнитного по-

ля. Поле вычислено вдоль дуги окружности, касающейся

в нижней точке магнитной плоскости

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДИК

ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТИ

3.2. Магнитное поле новой ловушки

ДЕПОЛЯРИЗАЦИИ

ультрахолодных нейтронов проекта ПИЯФ

4.1. Оценка вероятности деполяризации в

Магнитная система новой ловушки УХН, раз-

магнитном поле массива Хальбаха

работанной в лаборатории физики нейтрона НИЦ

¾Курчатовский институт¿-ПИЯФ, представляет со-

Для получения оценки вероятности деполяриза-

бой совокупность пяти магнитных граней в виде усе-

ции в магнитной ловушке был применен алгоритм

ченной пирамиды и магнита, создающего ведущее

вычисления среднего. Оценка проводилась по фор-

магнитное поле (см. рис. 7). Из пяти граней одна

муле (16). Опишем кратко алгоритм вычисления

является горизонтальной, четыре остальные грани

среднего.

наклонены к ней под углом 60^◦ каждая. Магнит, со-

Разыгрывается координата z в соответствии с за-

здающий ведущее поле, представляет собой равно-

висимостью плотности нейтронов от высоты. Далее

мерно намагниченный в направлении оси Ox пря-

разыгрываются координаты x и y внутри поверх-

моугольный параллелепипед. Грани составлены из

ности массива Хальбаха с равномерным распреде-

вплотную прилегающих друг к другу малых маг-

лением в z-слое. В каждой точке рассматривается

нитов размерами 4 × 3 × 2 см. Магнитный момент

множество из 1000 различных направлений началь-

каждого магнита перпендикулярен плоскости гра-

ной скорости нейтрона. Модуль скорости в расчетах

ни, в которой он лежит. На горизонтальной грани

принимается равным 3 м/с. Распределение началь-

полярность магнитного момента меняется вместе с

ных скоростей по направлениям вылета считается

координатой y (магнитный момент сонаправлен или

изотропным.

противоположно направлен оси z) и не меняется для

Для каждого элементарного события пуска в

фиксированного значения y при изменении x. Маг-

выбранном направлении из точки (x, y, z) определя-

нитные моменты магнитов боковых граней ориен-

ется отношение частот ν/ω.

тированы согласованно с моментами магнитов го-

После расчета отношения частот ν/ω для каждо-

ризонтальной грани. Период магнитной структуры

го события находится величина P_(-1/2) по формуле

по координате y на боковых гранях увеличен в 2 ра-

(16).

за по сравнению с периодом магнитной структуры в

В результате проделанных вычислений было по-

горизонтальной магнитной плокости, равным 6 см.

лучено, что вероятность деполяризации, оцененная

На рис. 8 показаны различия в полярности маг-

по квадрату отношения частот, составляет 4.4·10^-9.

нитов массива Хальбаха и новой магнитной ловуш-

Также для магнитного поля эксперимента LANL

ки ПИЯФ, лежащих в одном сечении. Как следует

было проведено численное решение системы уравне-

из геометрии ловушки, представленной на рис. 7, и

ний (4) с начальными данными (2.1)-(8) для различ-

из правила расположения магнитов, показанного на

ных начальных координат и скоростей нейтронов.

рис. 8, технологическим преимуществом рассматри-

Для контроля вычислений производился пересчет

ваемой ловушки по сравнению с ловушкой экспери-

траекторий по системе (6). В результате расчетов

373

Г. Н. Клюшников, А. П. Серебров

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

100

-100

-50

100

-100

y, cm

x, cm

Рис. 7. Схема магнитной ловушки УХН, разработанной в лаборатории физики нейтрона НИЦ ¾Курчатовский институт¿-

ПИЯФ: четыре магнитные грани, соединенные в виде усеченной пирамиды, и ведущий магнит

1.5

0.5

-50

y, cm

Рис. 8. Сравнение двух магнитных схем: 1) схема новой

Рис. 9. Зависимость модуля индукции магнитного поля от

магнитной ловушки ПИЯФ, 2) схема ловушки эксперимен-

координаты y при x = 0 и h = 0.5 мм

та LANL. Стрелками показаны ориентации магнитов на

длине, равной периоду магнитной структуры

Таблица 1. равнение разных методик оценки вероятности

деполяризации для эксперимента LANL

было найдено, что среднее значение отклонения ко-

синуса угла θ составляет 0.5〈1 - cos θ〉 = 2.3 · 10^-8. В

[20] проделано вычисление функции p(t) по формуле

0.5 〈1 - cos θ〉

max(p)

0.5〈ν/ω〉²

(17). Максимальное значение max(p) функции p(t),

соответствующее вероятности деполяризации на од-

2.3 · 10^-8

10^-8

4.4 · 10^-9

ном отскоке, для ведущего поля 5 мТл составило

10^-8. Эти значения вместе с рассчитанными в на-

стоящей работе объединены в Табл. 1.

но использовать величину 0.5〈ν/ω〉². Отличие зна-

Полученная оценка P_-1/2 = 4.4 · 10^-9 хорошо

чения вероятности p от среднего отклонения ко-

согласуется со средним значением функции p. Это

синуса 0.5〈1 - cos θ〉 можно объяснить недостаточ-

означает, что для оценки вероятности деполяриза-

ным для достоверного определения среднего коли-

ции в рассматриваемой магнитной ловушке мож-

чеством статистических испытаний.

374

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

О методиках оценки деполяризационных потерь...

Рис. 10. Зависимость модуля индукции магнитного поля от координат x и y на расстоянии 1 мм от поверхности ведущего

магнита

4.2. Сравнение классического и

одни и те же моменты времени. Таким образом, в

квантовомеханического подхода на примере

области высот h ≥ 10 см к описанию динамики ней-

новой магнитной ловушки проекта ПИЯФ

трона и его спина применим квантовомеханический

подход, изложенный в

[20]. Оценки вероятности

Условия, накладываемые на магнитное поле

деполяризации, даваемые классической и кванто-

[20], оказываются выполненными для новой

вомеханической методиками, в этой области дают

магнитной ловушки ПИЯФ с хорошей точностью

результаты, близкие по порядку величины и по

для z > 11 см, т. е. в той области, где преобла-

точкам экстремума функций.

дающим является ведущее магнитное поле. Было

проведено сравнение вероятностей, вычисленных

4.3. Оценка вероятности деполяризации для

по изменению cos θ из (4), и с помощью квантовоме-

ловушки проекта ПИЯФ по приближенной

ханического подхода по формуле (17). Компоненты

методике

начальной скорости нейтрона были взяты равными

v_x0 = 0.2 м/с, v_z0 = -3 м/с. Результаты сравнения

С использованием описанного выше алгоритма

приведены на рис. 11. На рисунке синим цветом

было найдено среднее значение отношения частот

показан график величины 0.5(1 - cos θ), красным

для поля магнитной ловушки проекта ПИЯФ, пока-

график функции p(t), определяемой по формуле

занной на рис. 7. Вычисления проводились для двух

(17). Нейтрон начал свое движение на высоте

моделей ловушки. В первой модели не учитывалось

h = 15 см, закончил движение на высоте h = 10 см.

влияние углов сочленения наклонных граней и маг-

Вероятность обнаружения нейтрона в состоянии с

нитной подложки. Для такой конфигурации поля

перевернутым спином оказалась величиной порядка

среднее значение отношения частот оказалось рав-

10^-10 и росла во время движения, что объясняется

ным

перемещением нейтрона за время наблюдения в

область с более слабым магнитным полем. Из

〈ν/ω〉 = 1.4 · 10^-5,

(20)

рис. 11 видно, что функции p(t) и (1 - cosθ)/2

вероятность деполяризации на одном отскоке соста-

возрастают и имеют близкие средние значения в

вила, таким образом, 10^-10.

конечный момент времени. Следовательно, в обла-

сти z > 11 см в новой магнитной ловушке проекта

Учет влияния углов сочленения наклонных

ПИЯФ для оценки вероятности деполяризации на

плоскостей и подложки

одном отскоке применима формула (12).

Предварительные расчеты показывают, что

Поясним более подробно разницу в использован-

функции p(t) и (1 - cosθ)/2 имеют максимумы в

ных моделях магнитного поля. В упрощенном ва-

375

Г. Н. Клюшников, А. П. Серебров

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

рианте поля рассматривались не все магниты на-

8.8

· 10-4. Поскольку максимальное отношение

клонных магнитных плоскостей, а только магниты в

(τ_n/τ_dep)_max на практике обычно примерно в 4 раза

форме прямоугольных параллелепипедов заданного

превосходит среднее τ_n/〈τ_dep〉, то относительная

размера 4×3×2 см. Магниты предполагались выпол-

ошибка измерения τ_n будет меньше 2.2 · 10^-4 при

ненными из сплава NdFeB. В плоскости z = const

(τ_n/τ_dep)_max < 10^-6.

всегда находилось целое число магнитных паралле-

Таким образом, проведенные расчеты дают осно-

лепипедов, те магниты, которые выходили за линию

вание полагать, что в эксперименте ПИЯФ с новой

пересечения двух соседних наклонных плоскостей,

магнитной ловушкой будет обеспечена приемлемая

не учитывались. Во втором, более точном варианте

систематическая погрешность, связанная с деполя-

область пространства в окрестности линии пересече-

ризационными потерями УХН.

ния плоскостей заполнялась магнитами сплошь. По-

сле целого числа магнитов-параллепипедов в каж-

4.4. Примеры магнитных систем с большой

дом z- слое располагались магниты той формы и

деполяризацией

размеров, которые требовались для полного задания

всех наклонных магнитных плоскостей. Ориентация

Приведем теперь два примера, когда вероят-

ность деполяризации нейтронов в ловушках будет

таких дополнительных магнитов задавалась согла-

значительно выше, чем в рассмотренных примерах.

сованно с ориентацией остальных магнитов плоско-

сти. Также было учтено поле магнитной подложки

Пусть магнитное поле обладает той же конфи-

гурацией, как в проекте новой магнитной ловуш-

из стали марки АРМКО. Предполагалась, что под-

ложка имеет толщину 1 см и находится строго под

ки ПИЯФ (усеченная пирамида вместе с ведущим

магнитом), но в 10 раз слабее этого поля по моду-

каждой из магнитных плоскостей. При этом все маг-

ниты горизонтальной магнитной плоскости задава-

лю. Тогда направление поля в каждой точке будет

тем же, что и ранее, а модуль магнитной индукции

лись одинаково в первом и во втором случае.

Более точное вычисление магнитного поля, про-

уменьшится в каждой точке магнитного хранения в

10 раз. Если прежде максимум индукции на высоте

изведенное описанным выше способом, повысило

0.5 мм над поверхностью горизонтальных магнитов

сделанную оценку вероятности деполяризации на

одном отскоке до 7.2 · 10^-10. Это значение получает-

был равен B_max = 1.2 Тл, то теперь он будет 0.12 Тл.

Ослабление поля повлечет уменьшение средней ско-

ся меньше аналогичной величины для эксперимента

LANL 4.4 · 10^-9.

рости нейтронов примерно в 3.2 раза. Исходя из это-

го задаваемая в расчете на деполяризацию скорость

Рассмотрим среднюю скорость деполяризации

нейтронов была уменьшена с 1.5 до 0.5 м/с. Резуль-

тат оценки вероятности деполяризации по прибли-

〈τ^-1dep〉,

(21)

женной методике дал в этом случае величину 10^-9.

где τ_dep характерное время деполяризации, угло-

Таким образом, ослабление магнитного поля в 10

вые скобки означают усреднение. Связь между ве-

раз дало увеличение деполяризации в 10 раз.

роятностью деполяризации p и средней скоростью

В качестве второго примера было рассмотре-

деполяризации τ^-1dep дается формулой

но аналитически заданное магнитное поле ловушки

p = T〈τ^-1dep〉,

LANL с плоской системой магнитов

где T период вертикальных колебаний нейтрона.

B=B_H+B₁,

(23)

Величина τ_dep входит в формулу для вычисления

скорости потерь

где

B_H = B₀e^-Kz(cos(Kx), 0, -sin(Kx))

τ^-1 = τ^-1n + τ^-1dep,

(22)

магнитное поле массива Хальбаха,

где общая скорость потерь τ^-1 складывается из по-

терь нейтронов вследствие β-распада τ^-1n и потерь

B₁ = (0, B₁₀ρ/(ρ - z), 0)

нейтронов из-за деполяризации τ^-1dep. Если домно-

жить обе части (22) на время жизни нейтрона τ_n,

ведущее магнитное поле, B₀ = 0.82 Тл индук-

то можно получить, что относительная ошибка из-

ция поля на поверхности магнитов, K = 121 м^-1,

мерения времени жизни будет ∼ τ_n/τ_dep.

B₁₀ < 0.1 Тл параметр ведущего магнитного по-

Поэтому если, например, средняя скорость

ля, равный магнитной индукции ведущего поля на

деполяризации (21) меньше 10^-6, то относитель-

поверхности магнитов, ρ = 1.5 м [20]. В расчете ниж-

ная ошибка измерения τ_n будет не превосходить

няя граница B₁₀ была принята равной 4 · 10^-5 Тл.

376

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

О методиках оценки деполяризационных потерь...

-7

-8

-9

-10

-11

-12

−13

200

400

600

800

1000

, G

Рис. 12. Зависимость десятичного логарифма максималь-

ной вероятности деполяризации от параметра ведущего

Рис. 11. Сравнение вероятностей деполяризации, вычис-

магнитного поля для модели ¾аналитическое поле мас-

ленных по формуле (17) и через cos θ из уравнений (4)

сива Хальбаха+ведущее магнитное поле, плоская система

магнитов¿

Известно, что деполяризация нейтронов в такой

ловушке уменьшается с усилением ведущего поля

оценке при малых значениях B₁₀. Как видно из гра-

B₁₀. Это утверждение было проверено с помощью

фика на рис. 12, при B₁₀ → 0 увеличение квадра-

разработанной приближенной методики оценки де-

та отношения (24) замедляется. В этой области зна-

поляризации.

чений B₁₀ уменьшается минимум магнитного поля

Для этого была исследована зависимость вели-

и перестает с хорошей точностью выполняться вто-

чины, равной половине квадрата максимального от-

рое из условий (15) условие медленного поворота

ношения частот

1(ν)2

поля B.

(24)

ω max

от параметра ведущего поля B₁₀. (24) отличается от

4.5. Сравнение областей применимости

оценки вероятности деполяризации

разработанных методик

E₂

1D ν

Как уже отмечалось ранее, квантовомеханиче-

(25)

ская методика оценки вероятности деполяризации

тем, что расчет отношения частот для нее произво-

может использоваться только в том случае, когда

дится не для всех z, а для фиксированного значения

магнитное поле удовлетворяет определенным требо-

z = 4 см. Выбор z объясняется тем, что при z = 4 см

ваниям. Для произвольного неоднородного магнит-

для B₁₀ = 50 Гс наблюдается максимальная деполя-

ного поля эта оценка, вообще говоря, не примени-

ризация. Модуль начальной скорости нейтронов по-

ма. Классическая методика работает хорошо, когда

лагается равным 3 м/с, пуск производится в наибо-

угловая скорость вращения вектора поля B в си-

стеме координат, движущейся вместе с нейтроном,

лее опасном для деполяризации направлении оси x.

может считаться постоянной по модулю и по направ-

лению. Это будет иметь место при выполнении усло-

Результаты вычислений представлены на рис. 12.

вий (15). Поэтому различие в результатах примене-

Из рисунка видно, что деполяризация нейтронов в

ния квантовомеханической и классической методик,

поле (23) убывает с усилением ведущего поля. При

обнаруживаемое на рис. 11, имеет две возможные

B₁₀ = 50 Гс значение выражения (24) получается

причины:

равным 1.8 · 10^-8.

1) нарушение требований, накладываемых на маг-

Подставляя в (14) p_max = 1.67 · 10^-8, T = 0.29 с,

нитное поле (для расчета берется реальное поле, а

мы получаем, что относительная погрешность из-

не аналитическое (23));

мерения времени жизни меньше

5 · 10^-5. При

2) нарушение условий адиабатичности вследствие

B₁₀ = 4 · 10^-5 Тл получается p_max = 4.7 · 10^-8 и

движения в области со слабым магнитным полем.

погрешность менее 1.38 · 10^-4. Такой результат мо-

жет свидетельствовать об излишне оптимистичной

377

ЖЭТФ, вып. 3 (9)

Г. Н. Клюшников, А. П. Серебров

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

Вместе с тем, как показали расчеты, квантово-

жизни нейтрона в магнитной ловушке LANL. Обна-

механическая и классическая методики дают очень

ружены значительные отклонения действительного

близкие результаты в аналитически заданном поле

магнитного поля от аналитического, использовав-

(23), где строго выполняются условия, накладывае-

шегося в [20]. Однако, как показал расчет, эти от-

мые на поле, плавно изменяются все динамические

клонения не оказывают существенного влияния на

характеристики и с высокой точностью выполняют-

вероятность деполяризации. Для определения доли

ся условия (15).

деполяризованных нейтронов в магнитных ловуш-

Возможным путем развития классической мето-

ках можно использовать оценку через квадрат отно-

дики оценки деполяризации может быть усреднение

шения частот (16). Вероятно, оценка через sin²(θ/2)

величины (12) по траекториям, полученным в ре-

также применима, но для ее использования необхо-

зультате анализа множественной динамики нейтро-

дим множественный расчет, который очень затратен

нов на основе уравнений (4). Решение системы диф-

по времени, и специальная процедура усреднения.

ференциальных уравнений следует проводить для

Выполнен расчет магнитного поля магнитной

всех возможных значений начальных координат и

ловушки УХН, проект которой разработан в лабо-

скоростей. Если выбрать время наблюдения за од-

ратории физики нейтрона Петербургского институ-

ной частицей небольшим (несколько мкс), можно

та ядерной физики им. Б. П. Константинова. Для

получить значение cos θ, близкое к мгновенному в

найденного поля была проделана оценка вероятно-

рассматриваемой точке. Затем усреднение 〈1-cos θ〉

сти деполяризации на одном отскоке. Оценка дала

нужно провести по найденным таким образом зна-

значение 7.2·10^-10, что обеспечивает относительную

чениям.

ошибку измерения времени жизни нейтрона менее

Для применимости приближенной оценки ве-

10^-4. Это означает, что применение новой ловушки

роятности деполяризации достаточно выполнения

в эксперименте по определению времени жизни ней-

только второго условия (15), поскольку в этом слу-

трона является принципиально возможным, а так-

чае важно лишь, чтобы магнитное поле вращалось

же более выгодным по характеристикам ловушки и

медленнее, чем спин нейтрона вращается вокруг

простоте ее монтажа.

магнитного поля. Вследствие схожих условий при-

Благодарности. Авторы выражают благодар-

менимости классическая и приближенная методики

ность А. Н. Мурашкину, Э. А. Коломенскому, С. Н.

дают близкие результаты даже при существенной

Иванову и А. К. Фомину за полезное обсуждение во

неоднородности поля B.

время работы над статьей.

Финансирование. Исследование выпол-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

нено при финансовой поддержке Российско-

го научного фонда, грант

№

23-22-00169,

В настоящей работе дано обоснование трем ме-

https://rscf.ru/project/23-22-00169/.

тодикам численной оценки вероятности деполяриза-

ции нейтронов на одном отскоке в объеме хранения

магнитной ловушки. Классическая методика заклю-

ЛИТЕРАТУРА

чается в численном решении расширенной системы

дифференциальных уравнений Блоха для различ-

1. C. Patrignani et al., Particle Data Group. Chin. Phys.

ных начальных данных и вычислении среднего зна-

C. 40, 100001 (2017).

чения величины sin²(θ/2). Приближенная методика

состоит в расчете среднего значения отношения час-

2. Владимирский В. В., ЖЭТФ. 4, 39, 1062 (1960).

тоты поворота магнитного поля к ларморовой час-

тоте прецессии спина и взятии половины квадрата

3. Ю. Ю. Косвинцев, Ю. А. Кушнир, В. И. Морозов

этого значения. Квантовомеханическая методика за-

и др., Письма в ЖЭТФ. 70, 27 (1978).

ключается в вычислении функции p(t), соответству-

4. Ю. Г. Абов, В. В. Васильев, В. В. Владимирский

ющей вероятности деполяризации на одном отско-

и др., Письма в ЖЭТФ. 369, 44 (1986).

ке, в той области, где магнитное поле удовлетворяет

определенным условиям.

5. В.Ф. Ежов и др., Письма в ЖТФ. 24, 64. (2001).

Для применения разработанных методик про-

изведен независимый расчет магнитного поля экс-

6. В. Ф. Ежов, В. Л. Рябов, Письма в ЖЭТФ. 117,

периментальной установки по измерению времени

93 (2023).

378

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

О методиках оценки деполяризационных потерь...

7. Ю.А. Мостовой, К.Н. Мухин, О.О. Патаракин,

17. А. П. Серебров, УФН 189, 635 (2019).

Нейтрон вчера, сегодня, завтра, УФН 166, 987

18. E. Majorana, Il Nuovo Cimento 9, 43 (1932).

(1996).

19. P. L. Walstrom et al., Nucl. Instrum. Methods Phys.

8. F. Wietfeldt and G.L. Greene, The Neutron Lifetime,

Res. A 82, 599 (2009).

Rev. of Mod. Phys. 83, 1173 (2011).

20. A. Steyerl et al., Phys. Rev. C 86, 065501 (2012).

9. W. Paul and F. Anton, Z. Phys. C Particles and

Fields 45, 25 (1989).

21. Yu. N. Pokotilovski, JETP Lett. 76, 131 (2002); 78,

10. J. M. Robson, Phys.Rev. 83, 349 (1951).

422(E) (2003).

11. P. E. Spivak et al., JETP Lett. 67, 1735 (1988).

22. H. Kuwabara, Y. Yamauchi, and A. Pratt, J. of the

Kor. Phys. Soc. 62, 1286 (2013).

12. A. T. Yue, M. S. Dewey, D. M. Gilliam et al., Phys.

Rev. Lett. 111, 222501 (2013).

23. J. Schwinger, Phys. Rev. 51, 648 (1937).

13. R. W. Jr. Pattie, N. B. Callahan, C. Cude-Woods

24. I. I. Rabi, Phys. Rev. 51, 652 (1937).

et al., Science

11;

360

(6389):627

(2018); DOI:

25. I. I. Rabi, N. F. Ramsey, and J. Schwinger, Rev. Mod.

10.1126/science.aan8895. Epub 2018 May 6. PMID:

Phys. 26, 167 (1954).

29731449.

26. И. М. Матора, Ядерная физика 16, 624 (1972).

14. A. P. Serebrov et al., Phys. Lett. B 605, 72 (2005).

27. A. Saunders, D. Salvat, E. Adamek et al., UCNτ :

15. A. P. Serebrov and A. K. Fomin, Phys. Proc. 199, 17

Study of Lifetime Measurement in a Magneto-

(2011).

Gravitational Trap/Next Generation Experiments to

16. А.П. Серебров, УФН 185, 1179 (2015).

Measure the Neutron Lifetime, (2014) p. 135.

379