ЖЭТФ, 2023, том 164, вып. 3 (9), стр. 432-444
© 2023
ДИНАМИКА ВИХРЕЙ В СВЕРХПРОВОДЯЩЕЙ ПОЛОСКЕ MoN
С БОКОВЫМ РАЗРЕЗОМ
C. C. Уставщиковa,b*, М. Ю. Левичевa, И. Ю. Пашенькинa, Н. С. Гусевa, С. А. Гусевa,
Д. Ю. Водолазовa
a Институт физики микроструктур Российской академии наук
603950, Нижний Новгород, Россия
b Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского
603950, Нижний Новгород, Россия
Поступила в редакцию 18 апреля 2023 г.,
после переработки 24 апреля 2023 г.
Принята к публикации 24 апреля 2023 г.
Экспериментально и теоретически исследованы транспортные характеристики сверхпроводящих полосок
MoN с одиночным разрезом около одного из краев сверхпроводника в нулевом и слабом магнитных полях.
Наличие разреза позволяет реализовать режимы с одним или несколькими одновременно движущимися
вихрями Абрикосова, число которых контролируется величиной приложенного тока. На вольт-амперной
характеристике изменение количества вихрей сопровождается появлением ¾кинка¿, хорошо различимо-
го на зависимости дифференциального сопротивления от тока. Это позволяет найти среднюю скорость
v вихрей (в том числе и одиночного вихря) и диапазоны токов/напряжений с известным количеством
движущихся вихрей. Найденная таким способом скорость вихрей для наших сверхпроводящих полосок
оказалась слабо зависящей от тока и близка к максимальному значению vmax ≈ 3 км/c, когда проис-
ходит переход сверхпроводника в нормальное состояние. Величина максимальной скорости сравнима с
известными значениями для сверхпроводников типа Nb, NbN, YBCO, но в несколько раз меньше, чем
в сверхпроводниках типа MoSi, NbC, Pb. Обсуждается, что различие максимальных скоростей вихрей
связано с разными временами изменения модуля сверхпроводящего параметра порядка в различных
сверхпроводящих материалах.
DOI: 10.31857/S0044451023090122
Достижение высоких скоростей движения
EDN: KDXEJW
вихрей Абрикосова ограничено возникновени-
ем неустойчивости и срывом
скачкообразным
необратимым переходом вольт-амперной характе-
1. ВВЕДЕНИЕ
ристики (ВАХ) в нормальное состояние при токе
В сверхпроводящих тонкопленочных системах
I∗ ≪ Idep (Idep ток распаривания сверхпровод-
исследование динамики вихрей Абрикосова чрез-
ника). Неустойчивость вихревого движения может
вычайно важно для фундаментального понимания
быть обусловлена как джоулевым нагревом [13, 14],
коллективного поведения взаимодействующих вих-
так и альтернативным неравновесным механизмом,
рей, а также для создания условий, обеспечивающих
связанным с зависящим от времени изменением
достижение максимальной скорости движения вих-
модуля сверхпроводящего параметра порядка в
рей [1,2], которая необходима в некоторых приложе-
коре движущегося вихря [15, 16], или их комбина-
ниях: детектирование отдельных фотонов [3], гене-
цией [17, 18]. Для достижения большой скорости
рация акустического черенковского излучения [4-6],
вихрей необходимо сочетание двух факторов: высо-
генерация спин-поляризованных волн [7,8], откры-
кой структурной однородности и большой скорости
вающих новые возможности для современной спин-
охлаждения квазичастиц, т. е. малого времени
троники [9-12].
релаксации энергии неравновесных электронов.
Высокая скорость релаксации энергии характерна
* E-mail: sergey@ipmras.ru
для неупорядоченных сверхпроводников [1,2,19,20],
432
ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023
Динамика вихрей в сверхпроводящей полоске MoN. . .
однако зачастую объемный пиннинг препятствует
ство кинков на ней, можно найти точное количество
достижению высокой скорости вихрей [21-24].
вихрей и их скорость при токе и напряжении, соот-
Стандартная методика определения максималь-
ветствующих n-му кинку:
ной скорости вихрей vmax заключается в следую-
щем: в магнитном поле с индукцией B измеряются
e Vn
1 Vn
vn = w
=w
,
(1)
ВАХ тонкопленочного мостика (полоски), изготов-
πℏ n
Φ0 n
ленного из исследуемого сверхпроводящего матери-
где Vn напряжение n-го кинка, а vn средняя ско-
ала, и определяется напряжение срыва V∗(B) в нор-
рость для n вихрей в цепочке, w длина цепочки,
мальное состояние (или в состояние с более высоким
e заряд электрона. В недавних работах [29,30] эта
сопротивлением). Для нахождения vmax использу-
идея для определения максимальной скорости вих-
ются соотношение Джозефсона
рей была реализована для сверхпроводника MoSi,
V ∗ = nΦ0vmax/W
где боковой разрез был сделан с помощью галиево-
го FIB (focused ion beam). На ВАХ полоски MoSi с
и выражение для количества вихрей
боковым разрезом были обнаружены кинки, пред-
n = BLW/Φ0
сказанные в работе [27]. При этом найденная макси-
мальная скорость вихрей 12 км/с согласуется с ре-
(Φ0
квант магнитного потока, L длина полоски,
зультатом, полученным стандартным методом в сла-
W ее ширина), приводящее к следующей простой
связи:
бых полях для аналогичной полоски MoSi без раз-
vmax (B) = V∗L/B.
реза [2].
В нашей работе мы использовали этот метод
В слабых полях такой метод дает ошибку (при-
водит, например, к немонотонной зависимости
для исследования динамики вихрей в сильноне-
упорядоченном сверхпроводнике MoN с большим
vmax (B) [25, 26]), связанную с неопределенностью
типа 0/0 при B → 0 (когда V∗ → 0) и невозмож-
нормальным удельным сопротивлением в нулевом
и слабом магнитных полях. Исследуемые полос-
ностью определить число вихрей n в слабых полях
B < Bs/2 ∼ Φ0/4πξW (Bs/2 поле входа первого
ки MoN характеризуются достаточно низкими зна-
чениями тока пиннинга и критическим током Ic
вихря, ξ
длина когерентности) в резистивном
состоянии, поскольку их число определяется вели-
в нулевом поле, близким к току распаривания
чиной тока и естественными дефектами на краю
(Ic(B = 0) ≈ 0.5 Idep) [25], что говорит об их до-
статочно высокой однородности. В этом отноше-
полоски.
Одним из решений данной проблемы может быть
нии материал MoN похож на сверхпроводники ти-
па MoSi [2] или NbC [1], где пиннинг также мал и
использование сверхпроводящей полоски с искус-
ственным краевым дефектом в виде длинного и уз-
критический ток в нулевом поле близок к току рас-
паривания. Мы обнаружили кинки на ВАХ полосок
кого бокового разреза. Для физически схожей систе-
мы (полоски с двумя разрезами на противополож-
MoN, определили максимальную скорость вихрей в
нулевом магнитном поле, vmax ≈ 3 км/с, и эволю-
ных краях) Асламазовым и Ларкиным было теоре-
тически предсказано [27], что резистивное состоя-
цию ВАХ в слабых полях. Величина vmax оказалась
близкой к значению для таких сверхпроводников,
ние в нулевом магнитном поле реализуется в виде
как Nb, NbN [26, 31] или YBCO [32, 33], но значи-
движущейся цепочки вихрей/антивихрей, входящих
в полоску через противоположные разрезы, при-
тельно меньше, чем для MoSi [2], NbC [1] и Pb [34],
где она превышает 10 км/с.
чем изменение количества пар вихрей/антивихрей
на единицу приводит к особенности на ВАХ в ви-
Таким образом, несмотря на схожие параметры
де ¾кинка¿. Наличие кинков связано с отталкива-
полосок MoSi и MoN (близкие критические темпера-
нием между вихрями, когда уже вошедшие вихри
туры, удельные сопротивления, геометрические раз-
препятствуют входу следующих вихрей. В каком-то
меры образцов и разрезов), различие в величинах
смысле данный эффект схож с немонотонным изме-
максимальных скоростей вихрей достигает 4 раз при
нением намагниченности с ростом магнитного поля
примерно одной и той же температуре. Мы связыва-
в сверхпроводниках малых размеров, когда вошед-
ем это различие с разницей во временах релаксации
шие вихри увеличивают энергетический барьер для
энергии неравновесных электронов в этих материа-
входа следующих вихрей [28].
лах, приводящей к существенно различным време-
Таким образом, измеряя ВАХ сверхпроводящей
нам изменения модуля сверхпроводящего параметра
полоски с боковым разрезом и определяя количе-
порядка и различной вязкости движения вихрей.
433
C. C. Уставщиков, М. Ю. Левичев, И. Ю. Пашенькин и др.
ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023
a
b
U
B
60nm
I
c
V
d
I*,V*
Ir
Ic
I
Рис. 1. Схемы исследуемой сверхпроводящей полоски с поперечным разрезом (a ) и области разреза (b ), общая схема
ВАХ образца (c) и распределение плотности тока вблизи разреза (d )
2. ЭКСПЕРИМЕНТ
на с помощью электронного микроскопа на полувы-
соте разреза), длина разреза ℓ равнялась 280 нм и
В работе исследована серия сверхпроводящих
1300 нм. Критический ток в нулевом поле при тем-
полосок (ширина W = 2.5 мкм, длина L = 30 мкм),
пературе жидкого гелия для полоски без разреза
изготовленных плазмохимическим травлением из
равнялся Ic(B = 0) = 2 мА (критическая плотность
тонкой пленки нитрида молибдена MoN с после-
тока примерно 4·106 А/см2). Увеличение длины раз-
дущим формированием бокового разреза. Пленки
реза приводит к уменьшению критического тока до
были выращены методом магнетронного напыления
1 мА при ℓ = 280 нм и 0.49 мА при ℓ = 1300 нм.
с базовым уровнем вакуума около 1.5 · 10-7 мбар
Транспортные измерения проводились стандарт-
на стандартных кремниевых подложках размером
ным четырехточечным методом в режиме постоян-
10×10 мм2 без удаления оксидного слоя. Напыление
ного заданного тока в транспортном гелиевом сосу-
молибдена осуществлялось в атмосфере смеси газов
де Дьюара при нормальном атмосферном давлении.
Ar : N2 = 10 : 1 при давлении 1 · 10-3 мбар при ком-
При измерениях в магнитном поле образец был пол-
натной температуре. Толщина слоя d = 20 нм была
ностью погружен в жидкость (температура кипения
измерена методом рентгеновской дифрактометрии.
4.2 К). Магнитное поле ориентировано по нормали
Сверху был напылен защитный слой кремния тол-
к поверхности образца. Для подавления высокочас-
щиной 5 нм. Удельное сопротивление при темпера-
тотного шума используется симметричный аналого-
туре 10 K составило ρ = 150 мкОм·см (R□ = 75 Ом).
вый двухкаскадный RC-фильтр с шириной полосы
Δf1/2 = 5 кГц при комнатной температуре.
Критическая температура сверхпроводящего пере-
хода равна 7.2 К, длина когерентности ξ ≈ 6.4 нм,
лондоновская глубина проникновения λ ≈ 400 нм,
3. КИНКИ НА ВАХ
откуда пирловская (эффективная) глубина проник-
На рис.2 приведены резистивные участки ВАХ
новения Λ = λ2/d ≈ 8 мкм.
образцов в нулевом магнитном поле до скачка в
Разрез на краю полоски (рис. 1b) был сформи-
нормальное состояние. Резистивное состояние пол-
рован с помощью сфокусированного пучка ионов
ностью определяется движением вихрей, как было
галлия. Ширина разреза составляла 60 нм (измере-
показано на аналогичных образцах в работе [35] по
434
ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023
Динамика вихрей в сверхпроводящей полоске MoN. . .
a
b
12
10
8
6
4
2
0
c
0.15
0.10
0.05
0.00
0.15
dV/dI, Ω
n=3
0.10
n=2
n=1
no cut, Ic = 2.03mA
0.05
280nm, Ic = 1.03mA
1300nm, Ic= 0.42mA
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
∆I = I - Ic,
mA
Рис. 2. (В цвете онлайн) ВАХ образцов в области резистивного состояния (a) и дифференциальное сопротивление (b, c)
10
0.15
5
a
b
I
> 0
I
> 0
5
0.10
4
0
0.05
3
-5
0.00
2
-10
I
< 0
-0.05
1
-15
I
< 0
-20
-0.10
0
0.5
1
0
1.5
0
5
10
15
|I|
,
m
A
|V|, μV
Рис. 3.
(В цвете онлайн) Серия ВАХ для полосок с разрезом длиной
ℓ = 280нм в перпендикулярном магнитном поле (a)
и серия зависимостей дифференциального сопротивления dV /dI
от напряжения (b). Величина магнитного поля отобра-
жается цветом линий
результатам микроволновых измерений, где на ВАХ
на
единицу. В промежутках между кинками в каж-
наблюдались ступени Шапиро.
ды
й момент времени есть n или n -
1 вихрь, тогда
как при напряжении (токе), соответ
ствующем кин-
Резистивные участки ВАХ безгистерезисные, по-
ку,
есть точно n вихрей. Численное
моделирование
ка ток не превышает тока срыва в нормальное со-
показывает (см. разд. 5), что кинки
на ВАХ соот-
стояние (I > I∗ на рис.1c). На резистивном участке
вет
ствуют минимумам dV/dI на рис
.2. Дальнейшее
ВАХ наблюдаются особенности типа ¾кинк¿, осо-
увеличение тока приводит к срыву на ВАХ скач-
бенно хорошо различимые на дифференциальном
кообразному переходу в нормальное
состояние.
сопротивлении dV/dI (рис.2b,c). Как показано в
работе [27], кинки на ВАХ соответствуют измене-
На рис.3 приведена серия ВАХ в
магнитном по-
нию количества вихрей, одновременно находящихся
ле,
перпендикулярном поверхности образца. В при-
в сверхпроводнике. С ростом тока каждый после-
сут
ствии магнитного поля сверхток складывается
дующий кинк связан с увеличением числа вихрей
из
экранирующего, транспортного и вихревого то-
435
C. C. Уставщиков, М. Ю. Левичев, И. Ю. Пашенькин и др.
ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023
ков. Для положительного направления тока, I > 0,
ℓ = 28
0 nm
с ростом магнитного поля суммарная плотность то-
I < 0
I >
0
ка вблизи вершины разреза уменьшается, а попереч-
25
ное распределение плотности тока напротив разреза
становится более однородным, что приводит к росту
20
критического тока I+c и одновременному уменьше-
нию тока срыва I+∗ (см. рис. 3a, V > 0); и наобо-
рот, для отрицательного направления тока I-, кри-
15
тический ток I-c уменьшается и возрастает ток сры-
ва I-∗ (см. рис.3a, V < 0). Более подробно такая
невзаимность по отношению к направлению проте-
10
кания тока рассмотрена в работе [36] для гибридной
структуры MoN/Cu.
5
В слабых магнитных полях кинки на резистив-
ном участке ВАХ наблюдаются до 2 мТл для поло-
жительного направления тока и до 4 мТл для отри-
0
цательного. Для положительного направления тока
-4
-2
0
2
4
B, mT
в полях более 2 мТл срыв в нормальное состояние
наблюдается сразу по достижении критического то-
ℓ = 1300nm
ка. Для отрицательного направления тока для по-
I < 0
I > 0
лей выше 4 мТл кинки на ВАХ не наблюдаются, что,
25
видимо, связано со входом вихрей в полоску не толь-
ко в области разреза.
20
Для всех значений магнитного поля сделаны
оценки напряжения Vn (индекс соответствует номе-
ру минимума, соответствующего числу вихрей в це-
15
почке) для локальных минимумов на зависимости
dV/dI от тока I, соответствующих кинкам на ВАХ
(значения отмечены символами ¾◦¿ на рис. 4 и 3b).
10
Поиск минимумов dV/dI проведен с использовани-
ем вейвлет-преобразования [37]. Как видно на рис.4,
5
для каждого n напряжение имеет линейную зави-
симость от магнитного поля: Vn = knB + bn. Cо-
ответствующие прямые, полученные методом наи-
0
меньших квадратов, изображены на рис. 4 сплошны-
-4
-2
0
2
4
B, mT
ми линиями. Для направлений поля и токов, соот-
ветствующих рис.3, коэффициенты kn > 0, а напря-
Рис. 4. (В цвете онлайн) Диаграмма напряжения кинков
жение Vn и средняя скорость вихрей vn возрастают
на ВАХ (символы ◦), соответствующих заданному числу
вихрей в цепочке для заданной величины перпендикуляр-
с ростом поля.
ного магнитного поля. Измерения проводились для одного
На рис.4 зелеными символами ¾◦¿ обозначе-
направления магнитного поля B: знак поля на рисунке сов-
ны значения напряжений кинков Vn(0) < V∗(0),
падает со знаком измерительного тока. Символами ¾⋆¿
доступные в эксперименте; недоступные значения
обозначены напряжения срыва ВАХ, характер зависимо-
обозначены символы ¾⊗¿ (фактически это линей-
сти обозначен черными штриховыми линиями
ная экстраполяция). Видно, что в наших образцах
отсутствует эквидистантность напряжения кинков:
2 км/с для Nb, NbN [26,31], MoN [25,38] и 3 км/с для
Vn(0) = n V0(0), где V0(0)
напряжение первого
YBCO [32, 33])
кинка. На рис. 5 приведены значения средней скоро-
Оценки скорости на основе реально измеренных
сти vn(0), полученные по формуле (1) для Vn(0). Ха-
и экстраполированных значений напряжения обра-
рактерная величина средней скорости около 3 км/с
зуют линейную зависимость, за исключением слу-
по порядку величины совпадает с величинами, по-
чая, когда в цепочке только один вихрь (n = 1).
лученными для различных низкотемпературных и
Линейный рост скорости противоречит модели Ас-
высокотемпературных сверхпроводников (примерно
ламазова - Ларкина (АЛ), в которой оценка скоро-
436
ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023
Динамика вихрей в сверхпроводящей полоске MoN. . .
5.0
5.0
ℓ = 280nm
ℓ = 280 nm
FluxFlow
4.5
ℓ = 1300nm
4.5
ℓ = 1300 nm
Instability
4.0
4.0
3.5
3.5
3.0
3.0
2.5
2.5
2.0
2.0
Resistive
State
1.5
1.5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
n
n
Рис. 5. (В цвете онлайн) Средняя скорость вихрей в ну-
Рис. 6. (В цвете онлайн) Максимальная средняя скорость
левом магнитном поле для заданного числа вихрей в це-
как функция числа вихрей в последовательности в магнит-
почке. Символами ¾◦¿ обозначены измеренные значения,
ном поле вблизи нестабильности потока вихрей
символами ¾⊗¿ значения, не доступные для измерения
полученные по формуле (1) (рис. 6), имеют прак-
из-за срыва ВАХ
тически линейную зависимость от числа вихрей
сти не зависит от числа вихрей, vn = const. В то
для обоих образцов. Наибольшее значение скоро-
же время линейная зависимость возникает в неста-
сти v∗n достигается при n = 1 в магнитном поле
ционарной теории Гинзбурга - Ландау (ГЛ), см. ра-
около 2 мТл.
боту [30] и разд.4, а также в рамках модели Лон-
Транспортные характеристики нашей системы
донов для разреза с конечным углом разворота [32].
в зависимости от магнитного поля можно условно
В работе [30] похожая линейная зависимость vn(0)
разделить на три участка (рис. 7). В области I есть
наблюдалась для MoSi, тогда как максимальная ве-
резистивный участок на ВАХ, но кинки отсутству-
личина скорости была значительно больше и дости-
ют, что, по-видимому, связано с входом вихрей через
гала 12 км/с.
естественные дефекты на краю образца за предела-
Качественное различие поведения системы в слу-
ми разреза. В области II на ВАХ наблюдаются кин-
чае одного вихря проявляется в различии не толь-
ки. Для транспортного тока в диапазоне Ic < I < I∗
ко средних скоростей, но и в наклоне полевой за-
есть возможность оценить среднюю скорость вих-
висимости напряжения, k1 = dV1/dB. Возможно,
рей v∗ в момент срыва и мощность P∗ (рис. 7c,d),
причина такого отклонения заключается в неучете
рассеиваемую в виде джоулева тепла. В области III
конечного времени зарождения вихря. Таким обра-
ток срыва совпадает с критическим током, Ic = I∗,
зом, оценка средней скорости вихревого движения
и резистивный участок отсутствует. Иными слова-
по первому кинку может давать завышенный ре-
ми, вход уже первого вихря приводит к развитию
зультат, выходящий за пределы общей тенденции.
неустойчивости и срыву полоски в нормальное со-
стояние. Объяснением для этого эффекта являет-
4. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ВИХРЕВОГО
ся ¾выравнивание¿ распределения плотности тока
ДВИЖЕНИЯ
напротив разреза, что следует из расчетов, приве-
Максимально достижимая скорость вихрей
денных ниже (см. рис. 9b). Из соображений симмет-
фактически ограничена срывом ВАХ вследствие
рии максимум Ic соответствует максимально сим-
неустойчивости вихревого движения. На рис. 3 и 4
метричному распределению плотности тока и рав-
срыв происходит при напряжении V∗ и обозначен
новероятному входу пары вихрь-антивихрь (напро-
символами ¾⋆¿. Для каждого n напряжение V∗n
тив разреза). Дальнейшее увеличение поля приво-
определяется как пересечение прямых Vn(B) и
дит к тому, что критический ток начинает опреде-
кривой V∗(B) (обозначены на рис. 4 синими сим-
ляться входом антивихрей со стороны, противопо-
волами ¾◦¿). Максимальные средние скорости v∗n,
ложной разрезу.
437
C. C. Уставщиков, М. Ю. Лев
ичев, И.Ю. Пашенькин и др.
ЖЭТФ, том
164, вып. 3 (9), 2023
ℓ = 280nm
ℓ = 130
0nm
a
II
III
b
I
II
III
1.5
∗
1.0
I
Ic
∗
I
0.5
Ic
4
c
d
20
3
2
10
1
0
0
-3
0
3
-20
-10
0
10
B, mT
B, mT
Рис. 7. (В цвете онлайн) Диаграммы полевых зависимостей критического тока Ic и тока срыва I∗ (a,b), а также рассеива-
емой электрической мощности (c,d ) для полосок с различной длиной разреза. Скорость в момент срыва ВАХ обозначена
зелеными символами ¾◦¿
Заметим, что мощность P∗, рассеиваемая в мо-
гого рассеяния, обеспечивающего быструю термали-
мент срыва, сильно зависит от поля, что может
зацию внутри электронной подсистемы и установле-
свидетельствовать о не чисто тепловом механизме
ние электронной температуры Te, отличной от фо-
нестабильности [39].
нонной температуры Tp и температуры подложки T0
(предполагается, что Tp = T0 и Te - T0 ≪ T0). Вре-
мя релаксация электронной температуры равнялось
5. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
τE = 30τc (τc = ℏ/kBTc), как и в [35]. Необходимо от-
метить, что в рамках выбранной модели некоторые
Мы выполнили численное моделирование дина-
результаты (наличие кинков, структуры движуще-
мики вихрей в сверхпроводящей полоске с боко-
гося массива вихрей) слабо зависят от выбора τE,
вым разрезом, используя двумерное нестационарное
так как до перехода к токам, близким к току по-
уравнение ГЛ [40] и уравнение теплопроводности,
явления ¾вихревой речки¿ (линии проскальзывания
описывающее изменение электронной температуры
фазы) и срыва в нормальное состояние, нагрев слаб,
за счет джоулева разогрева (детальное описание мо-
и рост/уменьшение τE приводит просто к уменьше-
дели приведено в работе [35]). Данная модель да-
нию/росту I∗.
ет качественнное понимание физических процессов
в резистивном состоянии, поскольку, строго говоря,
В расчетах ширина сверхпроводящей полоски
она количественно верна только вблизи Tc.
была выбрана равной W
= 200 ξc (что примерно
Использованная модель справедлива при усло-
вдвое меньше экспериментальной при характерном
вии малого времени электрон-электронного неупру-
для MoN значении ξc ≃ 6.2 нм, где ξ2c = ℏD/kBTc,
438
ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023
Динамика вихрей в сверхпроводящей полоске MoN. . .
a
b
0.3
e
0.2
d
c
0.1
b
a
-3
c
-10-3
0.0
10
B/B
5
c2
4
-10-3 B
c2
+ 3.0
3
-0.5 × 10-3 B
c2
+
2.0
2
zero field
+ 1.0
0.5 × 10-3 B
c2
1
-3
10
B
c2
0
0.2
0.3
0.4
0.5
I/Idep
Рис. 8. (В цвете онлайн) Рассчитанные ВАХ (a) и дифференциальное сопротивление (b) для нескольких магнитных
полей. На рис. a и b cимволами ¾◦¿ обозначены точки с целым числом n вихрей в цепочке, символами ¾⋆¿ точки
срыва ВАХ. Зависимости dV /dI изображены со смещением по оси абсцисс для улучшения визуального восприятия
для MoN коэффициент диффузии D ≃ 0.4 см2/с [38,
Расчетные ВАХ при постоянном токе и их про-
41]). Выбор длины полоски, равной ее ширине, ми-
изводные приведены на рис. 8a,с. Напряжения, соот-
нимизирует влияние токовых контактов на динами-
ветствующие целому числу вихрей (символы ¾◦¿ на
ку вихрей вблизи разреза и позволяет уменьшить
рис. 8) не образуют эквидистантной последователь-
время вычислений. Длина разреза ℓ = 50ξc, а шири-
ности, предсказанной в модели АЛ [27], что каче-
на 6ξc выбрана из того соображения, что при такой
ственно совпадает с экспериментом. Кроме того, на-
ширине при всех токах в сверхпроводнике реализу-
пряжения, соответствующие заданному числу вих-
ется вихревой веер (когда количество вихрей стано-
рей n, образуют линейную зависимость от магнитно-
вится больше одного). На границах разреза с ваку-
го поля как в численном счете, так и в эксперимен-
умом использовалось граничное условие dΨ/dn = 0,
те (см. рис.8b и 4). Скорость вихрей слабо меняется
где Ψ = Δ exp(iφ) комплексный сверхпроводящий
с ростом тока, рост напряжения связан в основном
параметр порядка, Δ и φ его модуль и фаза. По-
с ростом количества вихрей при увеличении тока,
стоянный транспортный ток дается в единицах то-
как и в модели АЛ. Резкий рост напряжения при
ка распаривания ГЛ Idep , напряжение в единицах
I ∼ Ic объясняется быстрым уменьшением времени
V0 = kBTc/|e|, напряженность магнитного поля в
входа вихря Ten (I) при увеличении тока, где он вно-
единицах B0 = Φ0/2πξ2c.
сит большой вклад в общий период Ttot = Ten + Tfl
439
C. C. Уставщиков, М. Ю. Левичев, И. Ю. Пашенькин и др.
ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023
a
js / jdep
B=0
zero field
0.7
0.6
e
d
0.5
c
b
0.4
a
0.3
b
c
e
3
3
0 5×10
Bc2
0 5 × 10
Bc2
d
f
3
3
1.0 × 10
Bc2
1.0 × 10
Bc2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
|
|/|
0|
Рис. 9. (В цвете онлайн) Распределение модуля параметра порядка при токе, предшествующем срыву ВАХ
(Tfl
время пролета вихря поперек полоски, напря-
стантность напряжений, обсуждаемая выше, также
жение при этом V = πℏ/|e|Ttot ). При токах, при ко-
не связана с наличием веера, так как данный эф-
торых появляются кинки на ВАХ, имеем Ten ≪ Tfl,
фект существует и для узкого разреза, когда реали-
и можно считать, что Ttot ≃ Tfl .
зуется цепочка вихрей, а также в модели Лондонов
для разреза конечной ширины [32]. Вихревой веер
При выбранной ширине разреза в полоске все-
ранее наблюдался экспериментально в работе [42]
гда реализуется вихревой веер из-за поочередного
для полоски MoSi с краевым дефектом, однако кин-
входа вихрей с разных углов разреза (для узкого
ки на ВАХ обнаружены не были. Возможно, их от-
разреза с шириной не более 2ξc характерно наличие
сутствие связано с достаточно большой температу-
цепочки вихрей в нулевом поле [35], как и в модели
рой эксперимента, так как кинки также пропадали
АЛ [27]). Причиной возникновения веера является
с ростом температуры [30]. В нашем сверхпроводни-
отталкивание между вихрями одного знака, причем
угол расходимости веера зависит от числа вихрей,
ке кинки становились экспериментально неразличи-
мыми при T ≳ 6.5 К, при этом vmax ≈ 1.3 км/с, что,
что особенно хорошо заметно вблизи срыва (рис. 9).
вероятно, связано с увеличением роли флуктуаций
Заметим, что наличие вихревого веера, а не цепочки
вблизи Tc.
не приводит к исчезновению кинков на ВАХ. Дей-
ствительно, наличие кинков связано со влиянием на
На рис.9b показан профиль усредненной по вре-
вход вихрей вблизи разреза уже вошедших вихрей, а
мени плотности сверхтока js поперек полоски на-
этот эффект остается и в вихревом веере. Неэквиди-
против разреза при нескольких значениях тока
440
ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023
Динамика вихрей в сверхпроводящей полоске MoN. . .
I > Ic в нулевом магнитном поле. Виден большой
полному подавлению параметра порядка и форми-
градиент ∇js, что означает координатно-зависящую
рованию нормальной перемычки. Джоулев нагрев
скорость вихрей напротив разреза. С увеличением
внутри нормальный перемычки ведет к формирова-
тока, величина js на противоположном от разреза
нию нормального домена, быстро расширяющегося
краю полоски увеличивается, что приводит ко вхо-
до размеров всей полоски.
ду антивихрей при I ≥ 0.5Idep при наших пара-
метрах. Это сопровождается усложнением динами-
6. ОБСУЖДЕНИЕ
ки вихрей, появлением нескольких периодов на вре-
менной зависимости V (t) и приводит к более сильно-
Полученное значение максимальной скорости
му росту напряжения с увеличением тока, что видно
вихрей в полоске MoN с разрезом оказалось близким
на рис. 8a. Приложение отрицательного магнитно-
к значению vmax ≈ 2.5 км/с, полученному в слабых
го поля увеличивает градиент ∇js напротив разреза
полях B ∼ Bs стандартным методом [25, 38]. Таким
(при этом критический ток уменьшается по сравне-
образом, как используемый метод для определения
нию с Ic(B = 0) и увеличивается диапазон токов,
максимальной скорости вихрей, так и стандартный
где существует резистивная ветка с движущимися
метод дают приблизительно одинаковые результаты
вихрями), тогда как положительное поле его умень-
(если не идет речь о совсем малых полях B ≪ Bs).
шает, что сопровождается ростом Ic в слабых полях
Сравнение экспериментальных данных с числен-
и уменьшением диапазона токов с вихревой рези-
ными показывает, что для полоски MoN с разре-
стивной веткой.
зом неустойчивость вихревого движения связана с
Срыв ВАХ в численном эксперименте происхо-
упорядочением движения вихрей, т. е. с коллектив-
дит при близких значениях транспортного тока для
ным эффектом, приводящим к появлению вихревой
всех представленных значений малых магнитных
речки линии проскальзывания фазы. Аналогичный
полей (символы ¾⋆¿ на рис. 8a). Вблизи тока срыва
вывод можно сделать и для полоски без разреза,
распределение плотности тока в целом приближает-
во всяком случае в слабых полях, что следует из
ся к равномерному, как показано на рис. 9b. Только
их близких максимальных скоростей вихрей. По-
при достаточно больших полях (здесь не показаны),
видимому, то же самое можно сказать и про полоски
когда вихри начинают входить в полоску не толь-
MoSi, где величины v∗ для полосок с разрезом и без
ко через разрез или напротив него, ток I∗ начинает
разреза также близки [2, 30].
уменьшаться с ростом поля.
Необходимо отметить четырехкратное различие
На рис.9a,c-f изображена серия расчетных про-
скоростей v1 даже одиночных вихрей (при напряже-
странственных распределений параметра порядка
ниях, соответствующих первому кинку на ВАХ) для
вблизи срыва ВАХ в случайный момент времени.
двух схожих (по материальным параметрам кри-
Темно-синие области напротив разреза представля-
тической температуре, удельному сопротивлению,
ют собой нормальные сердцевины вихрей. Посколь-
геометрическим размерам, величине критических
ку параметр порядка обладает конечным временем
токов) сверхпроводников MoN и MoSi. По-видимому
релаксации τΔ, при достаточно высокой скорости
такое различие можно объяснить различным влия-
движения вихрей параметр порядка не успевает вос-
нием неравновесных эффектов на динамику сверх-
становиться за время пролета вихря: τΔ ∼ w/nv [43].
проводящего параметра порядка в этих материалах.
В таком случае между сердцевинами вихрей появ-
Действительно, при I ∼ Ic в области напротив раз-
ляются области подавленного параметра порядка
реза плотность тока близка к плотности тока распа-
(светло-желтые и голубые области на рис. 9). Подав-
ривания по всей ширине полоски (см. рис. 8b). Это
ление параметра порядка Δ приводит к увеличению
означает, что на входящий вихрь будет действовать
скорости движения вихрей, так как вихрю легче
большая сила Лоренца, приводящая к большой ско-
двигаться в области с уже подавленным модулем па-
рости вихря уже при I ∼ Ic, а значит, и большому
раметра порядка. Дальнейшее повышение тока при-
влиянию неравновесных эффектов. Движение вихря
водит к смыканию линии подавленного параметра Δ
сопровождается изменением во времени параметра
и формированию вихревой речки, являющейся ана-
порядка Δ в его коре, что в свою очередь является
логом линии проскальзывания фазы [44, 45]. Дви-
источником неравновесия электронов/квазичастиц.
жение вихрей внутри линии проскальзывания фазы
Одним из таких следствий может являться сильное
имеет нестабильный характер, их скорость растет
замедление изменения параметра порядка во време-
со временем, и абрикосовские вихри превращаются
ни, что было показано теоретически [46] и продемон-
в аналог джозефсоновских вихрей, что приводит к
стрировано в экспериментах по подавлению сверх-
441
9
ЖЭТФ, вып. 3 (9)
C. C. Уставщиков, М. Ю. Левичев, И. Ю. Пашенькин и др.
ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023
изменил величину напряжения, тогда как наличие
a
кинков и вихревого веера осталось без изменения.
5
Увеличение этого коэффициента привело также к
0.20
появлению линии проскальзывания фазы при мень-
4
шем токе что, по-видимому, связано с увеличением
3
τΔ и более медленному возрастанию Δ в области за
0.15
прошедшим вихрем. Количественное сравнение тео-
2
рии и эксперимента здесь затруднительно, так как
1
предположение о локальном равновесии в экспери-
0.10
менте нарушается. При v = 2 км/с проход вихря на
0.35 0.40 0.45 0.50
расстояние 2ξ ≈ 12 нм (размер кора вихря) требу-
I/Idep
ет времени 2ξ/v ≈ 6 пс, что значительно меньше
любого характерного времени τep для любого низ-
0.05
(A)
котемпературного сверхпроводника [1, 2, 26, 49]. Од-
(B)
нако физические последствия обсуждаемого меха-
низма возникновения неравновесия должны остать-
b
ся и в этом предельном случае, что частично следует
3
из результатов работы [50], в которой исследовалась
динамика параметра порядка Δ за пределами при-
менимости локального приближения.
2
Отметим, что переход при I > I∗ в полоске MoN
происходит в нормальное состояние, тогда как по-
лоска MoSi переходит в более резистивное, но не
1
нормальное состояние. Предположительно большая
разница в значениях τep для MoN и MoSi позволяет
качественно объяснить и этот эффект.
0.35
0.40
0.45
0.50
I/Idep
7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рис. 10. (В цвете онлайн) Рассчитанные ВАХ для полоски
В нашей работе экспериментально исследованы
с разрезом в нулевом магнитном поле при различных зна-
транспортные характеристики сверхпроводящих по-
чениях коэффициента при dΨ/dt в нестационарном урав-
лосок MoN с одиночным разрезом около одного из
нении ГЛ, отвечающего за время изменения параметра по-
краев полоски в слабых магнитных полях. На рези-
рядка Δ = |Ψ|. Синяя кривая A соответствует значению
стивном участке ВАХ обнаружены кинки, которые
коэффициента πℏ/8kB Tc, красная B
4(πℏ/2kB Tc)
соответствуют увеличению на единицу числа вихрей
в полоске при изменении тока. Идентификация чис-
проводимости импульсом тока [47,48]. В случае мед-
ла вихрей в полоске позволяет оценить их среднюю
ленного изменения Δ (на масштабе времени неупру-
скорость, которая в нашем случае достигает 3 км/с.
гого электрон-фононного неупругого рассеяния τep)
Сравнение с теоретическими расчетами позволяет
это приводит ко времени изменения Δ:
сделать утверждение, что переход сверхпроводни-
τΔ ∼ τGL τepΔ/ℏ ≫ τGL,
ка в нормальное состояние происходит из-за преоб-
разования цепочки/веера движущихся вихрей в ли-
где τGL = ℏ/kB(Tc - T ) время изменения Δ без
нию проскальзывания фазы и последующего разви-
учета неравновесных эффектов. Этот эффект учи-
тия тепловой неустойчивости. Сравнение со сверх-
тывается в модифицированном (обобщенном) вре-
проводником MoSi, имеющим близкие сверхпрово-
менном уравнении ГЛ, где τep входит в коэффици-
дящие параметры, но в четыре раза более высокую
ент при dΔ/dt [49]. Качественно этот эффект мож-
скорость вихрей, указывает на различные времена
но учесть и в обычном временном уравнении ГЛ,
неупругого рассеяния электронов на фононах в этих
меняя величину коэффициента при dΨ/dt. Так, на
материалах, что влияет на скорость вихрей даже
рис. 10 показаны рассчитанные ВАХ при двух значе-
при I ∼ Ic.
ниях этого коэффициента: как в обычном уравнении
ГЛ (πℏ/8kBTc), так и в четыре раза большем значе-
Финансирование Работа выполнена в рамках
нии 4(πℏ/2kBTc). Рост этого коэффициента сильно
госзадания ИФМ РАН FFUF-2021-0020.
442
ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023
Динамика вихрей в сверхпроводящей полоске MoN. . .
ЛИТЕРАТУРА
13.
J. Bardeen and M. J. Stephen, Theory of the Motion
of Vortices in Superconductors, Phys. Rev.
140,
1.
O. V. Dobrovolskiy, D. Yu. Vodolazov, F. Porrati,
A1197 (1965).
R. Sachser, V. M. Bevz, M. Yu. Mikhailov, A. V. Chu-
mak, and M. Huth, Ultra-Fast Vortex Motion in a
14.
M. Tinkham, Introduction to Superconductivity,
Direct-Write Nb-C Superconductor, Nature Comm.
McGraw-Hill New York (1996).
11, 3291 (2020).
15.
А. И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников, Нелинейная
2.
B. Budinska, B. Aichner, D.Yu. Vodolazov, M.Yu. Mi-
проводимость сверхпроводников в смешанном
khailov, F. Porrati, M. Huth, A.V. Chumak, W. Lang,
состоянии, ЖЭТФ 68, 1915 (1975).
and O. V. Dobrovolskiy, Rising Speed Limits for
16.
Л. Е. Мусиенко, И. М. Дмитриенко, В. Г. Волоц-
Fluxons via Edge-Quality Improvement in Wide MoSi
кая, О нелинейной проводимости тонких пленок
Thin Films, Phys. Rev. A 17, 034072 (2022).
в смешанном состоянии, Письма в ЖЭТФ 31, 603
3.
D. Y. Vodolazov, Single-Photon Detection by a Dirty
(1980).
Current-Carrying Superconducting Strip Based on the
Kinetic-Equation Approach, Phys. Rev. A 7, 034014
17.
A. I. Bezuglyj and V. A. Shklovskij, Effect of Self-
(2017).
Heating on Flux Flow Instability in a Superconductor
near Tc, Physica C 202, 234 (1992).
4.
B. I. Ivlev, S. Mejia-Rosales, and M. N. Kunchur,
Cherenkov Resonances in Vortex Dissipation in
18.
D. Yu. Vodolazov, Flux-Flow Instability in a Strongly
Superconductors, Phys. Rev. B 60, 12419 (1999).
Disordered Superconducting Strip with an Edge
Barrier for Vortex Entry, Supercond. Sci. Technol.
5.
L. N. Bulaevskii and E. M. Chudnovsky, Sound Gene-
32, 115013 (2019).
ration by the Vortex Flow in Type-II Superconductors,
Phys. Rev. B 72, 094518 (2005).
19.
K. S. Ilin, M. Lindgren, M. Currie, A. D. Semenov,
6.
O. V. Dobrovolskiy, Q. Wang, D. Yu. Vodolazov,
G. N. Goltsman, and R. Sobolewski, Picosecond Hot-
B. Budinska, R. Sachser, A. V. Chumak, M. Huth,
Electron Energy Relaxation in NbN Superconducting
and A. I. Buzdin, Cherenkov Radiation of Spin
Photodetectors, Appl. Phys. Lett. 76, 2752 (2000).
Waves by Ultra-Fast Moving Magnetic Flux Quanta,
20.
L. Zhang, L. You, X. Yang, J. Wu, C. Lv, Q. Guo,
W. Zhang, H. Li, W. Peng, Z. Wang, and X. Xie,
7.
A. Shekhter, L. N. Bulaevskii, and C. D. Batista,
Hotspot Relaxation Time of NbN Superconducting
Vortex Viscosity in Magnetic Superconductors due
Nanowire Single-Photon Detectors on Various
to Radiation of Spin Waves, Phys. Rev. Lett. 106,
Substrates, Sci. Rep. 8, 1486 (2018).
037001 (2011).
21.
A. V. Silhanek, A. Leo, G. Grimaldi, G. R. Berdiyo-
8.
A. A. Bespalov, A. S. Melnikov, and A. I. Buzdin,
rov, M. V. Milosevic, A. Nigro, S. Pace, N. Verellen,
Magnon Radiation by Moving Abrikosov Vortices in
W. Gillijns, V. Metlushko, B. Ilic, Xiaobin Zhu, and
Ferromagnetic Superconductors and Superconductor-
V. V. Moshchalkov, Influence of Artificial Pinning on
Ferromagnet Multilayers, Phys. Rev. B 89, 054516
Vortex Lattice Instability in Superconducting Films,
(2014).
New J. Phys. 14, 053006 (2012).
9.
A. V. Chumak, V.I. Vasyuchka, A. A. Serga, and
22.
V. A. Shklovskij, A. P. Nazipova, and O. V. Dobro-
B. Hillebrands, Magnon Spintronics, Nature Phys.
volskiy, Pinning Effects on Self-Heating and Flux-
11, 453 (2015).
Flow Instability in Superconducting Films Near Tc,
10.
D. Bozhko, V. Vasyuchka, A. Chumak, and A. Serga,
Phys. Rev. B 95, 184517 (2017).
Magnon-Phonon Interactions in Magnon Spintronics,
23.
O. V. Dobrovolskiy, V.A. Shklovskij, M. Hanefeld,
M. Zorb, L. Kohs, and M. Huth, Pinning Effects on
10.1063/10.0000872.
Flux-Flow Instability in Epitaxial Nb Thin Films,
11.
I. A. Golovchanskiy, N. N. Abramov, V. S. Stolyarov,
Supercond.Sci. Technol. 30, 085002 (2017).
V. V. Bolginov, V. V. Ryazanov, A. A. Golubov, and
A. V. Ustinov, Ferromagnet/Superconductor Hybridi-
24.
A.I.Bezuglyj, V.A. Shklovskij, R.V. Vovk, V. M. Bevz,
zation for Magnonic Applications, Adv. Func. Mater
M. Huth, and O. V. Dobrovolskiy, Local Flux-Flow
28, 1802375 (2018).
Instability in Superconducting Films near Tc, Phys.
Rev. B 99, 174518 (2019).
12.
O. V. Dobrovolskiy, R. Sachser, T. Brächer, T. Böt-
tcher, V. V. Kruglyak, R. V. Vovk, V. A. Shklovskij,
25.
S. S. Ustavschikov, M. Yu. Levichev, I. Yu. Pashen-
M. Huth, B. Hillebrands, and A. V. Chumak, Mag-
kin, A. M. Klushin, and D. Yu. Vodolazov, Approa-
non-Fluxon Interaction in a Ferromagnet/Supercon-
ching Depairing Current in Dirty Superconducting
ductor Heterostructure, Nature Phys. 15, 477 (2019);
Strip Covered by Low Resistive Normal Metal,
Supercond.Sci. Technol. 34, 015004 (2021).
443
9*
C. C. Уставщиков, М. Ю. Левичев, И. Ю. Пашенькин и др.
ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023
26.
G. Grimaldi, A. Leo, P. Sabatino, G. Carapella, A. Ni-
38.
N. Haberkorn, Thickness Dependence of the Flux-
gro, S. Pace, V. V. Moshchalkov, and A. V. Silhanek
Flow Velocity and the Vortex Instability in Nanocrys-
Speed limit to the Abrikosov Lattice in Mesoscopic
talline γ-Mo2N Thin Films, Thin Solid Films 759,
Superconductors, Phys. Rev. B 92, 024513 (2015).
139475 (2022).
27.
Л. Г. Асламазов, А. И. Ларкин, Эффект Джо-
39.
Z. L. Xiao, P. Voss-deHaan, G. Jakob, T. Kluge,
зефсона в широких сверхпроводящих мостиках,
P. Haibach, H. Adrian, and E. Y. Andrei, Flux-
ЖЭТФ 68, 766 (1975).
Flow Instability and its Anisotropy in BSCCO
28.
A. K. Geim, S. V. Dubonos, J. G. S. Lok, M. Henini,
Superconducting Films, Phys. Rev. B 59, 1481 (1999).
and J. C. Maan, Paramagnetic Meissner Effect in
40.
B. I. Ivlev and N. B. Kopnin, Electric Currents and
Small Superconductors, Nature 396, 144 (1998).
Resistive States in Thin Superconductors, Adv. Phys.
29.
V. M. Bevz,
B. Budinska,
S. Lamb-Camarena,
33, 47 (1984).
S. O. Shpilinska,
C. Schmid, M. Yu. Mikhailov,
W. Lang, and O. V. Dobrovolskiy, Vortex Chains
41.
Y. Korneeva, I. Florya, S. Vdovichev, M. Moshkova,
and Vortex Jets in MoSi Microbridges, Phys. Status
N. Simonov, N. Kaurova, A. Korneev, and G. Golts-
man, Comparison of Hot Spot Formation in
pssr.202200513.
NbN and MoN Thin Superconducting Films After
30.
V. M. Bevz, M. Yu. Mikhailov, B. Budinská, S. Lamb-
Photon Absorption, IEEE Trans. Appl. Supercond.
27, 2201504 (2017).
Camarena, S. O. Shpilinska, A. V. Chumak, M. Ur-
bánek, M. Arndt, W. Lang, and O. V. Dobrovol-
42.
A. I. Bezuglyj, V. A. Shklovskij, B. Budinska, B. Aich-
skiy, Vortex Counting and Velocimetry for Slitted
ner, V. M. Bevz, M. Yu. Mikhailov, D. Yu. Vodola-
Superconducting Thin Strips, Phys. Rev. Appl. 19,
zov, W. Lang, and O. V. Dobrovolskiy, Vortex Jets
034098 (2023).
Generated by Edge Defects in Current-Carrying Su-
31.
A. Leo, G. Grimaldi, R. Citro, A. Nigro, S. Pace,
perconductor Thin Strips, Phys. Rev. B 105, 214507
and R. P. Huebener, Quasiparticle Scattering Time
(2022).
in Niobium Superconducting Films, Phys. Rev.B 84,
43.
D. Y. Vodolazov and F. M. Peeters, Rearrangement of
014536-1-7 (2011).
the Vortex Lattice due to Instabilities of Vortex Flow,
32.
M. J. M. E. de Nivelle, G. J. Gerritsma, H. Rogalla,
Phys. Rev. B 76, 014521 (2007).
Coherent Vortex Motion in YBaCuO Nanobridges
Prepared by a Substrate-Etching Technique, Physi-
44.
Л. Г. Асламазов, С. В. Лемпицкий, Резистивное
ca C 233, 185 (1994).
состояние в широких сверхпроводящих пленках,
ЖЭТФ 84, 2216 (1983).
33.
M. V. Pedyash, G. J. Gerritsma, D. H. A. Blank, and
H. Rogalla, Coherent Vortex Motion in Superconduc-
45.
С. В. Лемпицкий, Линии проскальзывания фазы в
ting Nanobridges Based on YBCO Thin Films, IEEE
широких сверхпроводящих пленках, ЖЭТФ 90,
Trans. Appl. Supercond. 5, 1387 (1995).
793 (1986).
34.
L. Embon, Y. Anahory, Z. L. Jelic, E. O. Lachman,
46.
M. Tinkham, Nonequilibrium, Superconductivity,
Y. Myasoedov, M. E. Huber, G. P. Mikitik, A. V. Sil-
Phonons, and Kapitza Boundaries, in Proceedings of
hanek, M. V. Milosevic, A. Gurevich, and E. Zeldov,
NATO Advanced Study Institutes, Vol. B65, ed. by
Imaging of Super-Fast Dynamics and Flow Instabi-
K. E. Gray, Plenum Press, New York (1981), p. 231.
lities of Superconducting Vortices, Nature Comm. 8,
85 (2017).
47.
J. A. Pals and J. Wolter, Phys. Lett. A 70, 150 (1979).
35.
C. C. Уставщиков, М. Ю. Левичев, Н. Ю. Пашень-
48.
F. S. Jelila, J. P. Maneval, F. R. Ladan, F. Chibane,
кин, Н. С. Гусев, С. А. Гусев, Д. Ю. Водолазов,
A. Marie-de-Ficquelmont, L. Mechin, J. C. Villegier,
Отрицательное дифференциальное сопротивле-
M. Aprili, and J. Lesueur, Phys. Rev. Lett. 81, 1933
ние и ступеньки Шапиро в полоске MoN с раз-
(1998).
резом, Письма в ЖЭТФ 115, 658 (2022).
49.
R. J. Watts-Tobin, Y. Krahenbuhl, and L. Kramer,
36.
C. C. Уставщиков, М. Ю. Левичев, Н. Ю. Пашень-
кин, Н. С. Гусев, С. А. Гусев, Д. Ю. Водолазов, Ди-
Nonequilibrium Theory of Dirty, Current-Carrying
Superconductors: Phase-slip Oscillators in Narrow
одный эффект в сверхпроводящей гибридной по-
Filaments near Tc, J. Low Temp. Phys. 42,
459
лоске Cu/MoN с боковым разрезом, ЖЭТФ 162,
(1981).
262 (2022).
37.
P. Du, W. A. Kibbe, and S. M. Lin, Improved Peak
50.
D. Y. Vodolazov and F. M. Peeters, Strong Influence
Detection in Mass Spectrum by Incorporating Con-
of Nonlocal Nonequilibrium Effects on the Dynamics
tinuous Wavelet Transform-Based Pattern Matching,
of the Order Parameter in a Phase-Slip Center: Ring
Bioinformatics 22, 2059 (2006).
Studies, Phys. Rev. B 81, 184521 (2010).
444
