ЖЭТФ, 2023, том 164, вып. 3 (9), стр. 445-456

О ТОЧНОМ РЕШЕНИИ ДЛЯ ЖИДКОСТИ ЛАТТИНЖЕРА С

ОТТАЛКИВАНИЕМ И ОДНОЙ ТОЧЕЧНОЙ ПРИМЕСЬЮ

В.В. Афонин^*, В.Ю. Петров

Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе Российской академии наук

194021, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 27 февраля 2023 г.,

после переработки 27 февраля 2023 г.

Принята к публикации 5 мая 2023 г.

Проанализировано выражение для кондактанса одномерного канала, полученное с помощью хорошо из-

вестного точного решения. Показано, что в случае сильного электрон-электронного взаимодействия са-

мая медленная (линейная) по частоте асимптотика кондактанса определяется поведением взаимодей-

ствия в области перехода от одномерного движения к трехмерному, реализующемуся вблизи примеси.

DOI: 10.31857/S0044451023090134

Здесь M параметр ультрафиолетового обрезания,

EDN: KEFLBU

ω частота внешнего поля,

√

v_c =

1 + V₀/π > 1

1. ВВЕДЕНИЕ

перенормированная скорость Ферми. (В работе

будет обсуждаться простейшая задача: однокомпо-

История изучения сильновзаимодействующих

нентные отталкивающиеся фермионы и точечное e-

одномерных электронов насчитывает уже более 50

e-взаимодействие:

лет. Первоначально эта задача рассматривалась

как простейшая точно решаемая модель, позво-

V_e-e = V₀δ(x - y).

ляющая вычислить любую n-частичную функцию

Грина в случае сильного фермион-фермионного

Все скорости измеряются в единицах скорости Фер-

взаимодействия. После появления технологий по

ми, ℏ = 1.)

производству одномерных баллистических каналов

Случай сильного e-e-взаимодействия (при

она стала актуальной и для физики твердого тела,

ν = v_c - 1 ≳ 1) обсуждался в ограниченном числе

в которой и пролучила название жидкости Лат-

работ. Уже в первых работах [1, 3] было высказано

тинжера (LL). Одновременно с этим встал вопрос

утверждение о том, что аномальную частотную

о влиянии электрон-примесного (e-i) рассеяния

зависимость кондактанса (ω^2ν/M^2ν; M параметр

на свойства LL. Учет e-i-рассеяния выводил эту

ультрафиолетового обрезания), полученную для

задачу (даже в простейшем случае одной упругой

слабого e-e-взаимодействия, можно экстраполи-

примеси) из класса точно решаемых теорий. Сразу

ровать в область сильного взаимодействия. Оно

после появления пионерских работ [1-4] стало ясно,

поддерживалось с помощью точного решения, суще-

что упругое рассеяние качественно меняет свойства

ствующего в гамильтониане Кейна-Фишера (КФ)

одномерного канала. К настоящему времени до-

при v_c = 2 и дававшего квадратичную зависимость

стигнуто достаточно хорошее понимание вопросов,

от частоты. К этому же выводу пришли авто-

связанных с упругим рассеянием, в случае слабого

ры работ [5, 6], использовавшие для вычислений

электрон-электронного (e-e) рассеяния:

термодинамический анзац Бете. Противоположное

утверждение было выдвинуто в работе [7]. В ней бы-

ло проанализировано выражение для кондактанса,

ν = v_c - 1 ≪ 1, ν ln

≪ 1.

(1)

|ω|

справедливое при очень слабом e-i-взаимодействии

и любом ν. Оно давало ту же частотную зависи-

^* E-mail: vasili.afonin@mail.ioffe.ru

мость коэффициента отражения при ν < 1/2. При

445

В.В. Афонин, В.Ю. Петров

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

Ψ^†

> 1/2 (область сильного e-e-взаимодействия)

где

(0) и

(0)

операторы рождения правого и

инфракрасная расходимость в ответе для кондак-

левого электронов. Он не содержит прошедшей вол-

танса пропадала, а главный вклад в кондактанс

ны. Нетрудно убедиться, что гамильтониан такого

давала ультрафиолетовая область (точнее, об-

типа не может правильно описывать рассеяние на

ласть перехода ∼ 1/M), в которой эффективное

точечной примеси на малых длинах. Для этого до-

e-e-взаимодействие (учитывающее существование

статочно проинтегрировать линеаризованное урав-

точечной примеси) существенно ослаблялось. В

нение Шредингера без взаимодействия по бесконеч-

результате частотная зависимость кондактанса

но малому интервалу вокруг примеси и получить

становилась равной |K₀|²|ω|/M. (Здесь K₀

ко-

равенство, в котором левая часть нечетна при ин-

эффициенты прохождения электронов без учета

версии, а правая четна:

e-e-взаимодействия.) Кроме того, отсюда сразу сле-

∫

довало, что в случае сильного e-e-взаимодействия

i[Ψ_R(ǫ) - Ψ_R(-ǫ)] = dyV_impΨ_L(y)δ(y).

скейлинговый анализ для нашей задачи оказы-

-ǫ

вается неприменимым. (Он возможен только для

инфракрасно-расходящихся задач). Поэтому в

Попытка же исправить такую чисто математиче-

случае сильного e-e-взаимодействия становится

скую некорректность с помощью введения плавного

принципиально важным правильное описание уль-

одномерного потенциала (такого что правая часть

трафиолетовой области в исходном гамильтониане.

этого выражения была бы равна нулю) означает пе-

(В отличие от области слабого взаимодействия, где

реход от точечной к дальнодействующей примеси, а

эффекты, связанные с e-e-взаимодействием, опре-

ответы этой задачи качественно отличаются от слу-

деляются инфракрасным масштабом ∼ v_c/|ω| и,

чая точечной примеси. (Под точечной примесью мы

следовательно, не требуют пристального внимания

понимаем примесь, размер которой a_i удовлетворя-

к ультрафиолетовой области.)

ет условию p_F a_i ≪ 1.) В такой некорректности нет

На сегодняшний день, видимо, единственным на-

большой беды, если длинноволновые эффекты дают

дежным источником информации для случая силь-

вклад, параметрически бoльший, чем инфракрасная

ного e-e-взаимодействия в подходе КФ являются

область (ν < 1/2). (C большoго расстояния рассея-

точные решения при v_c = 2 (см., например, [1-3]

ние на примеси выглядит точечным.) Однако даже в

и др.) и при v_c = 1/2 [8], существующие только для

этом случае она приводит к существованию нефизи-

гамильтониана КФ. Сравнение полученных с их по-

ческих ультрафиолетовых расходимостей в наблю-

мощью ответов для наблюдаемых величин с резуль-

даемых величинах (и поэтому соответствующие сла-

татами работы [7] позволит понять причины, приво-

гаемые нельзя считать малыми), стартующих уже

дящие к разным частотным зависимостям кондак-

с точки v_c = 1 (невзаимодействующие электроны).

танса, и, если это окажется возможным, устранить

Все вклады в частотно-зависящий кондактанс, су-

их. Часто это удается сделать за счет правильной

ществующие даже для невзаимодействующих элек-

схемы ренормировки ультрафиолетовых вкладов.

тронов, являются артефактом не очень корректно-

го в ультрафиолетовой области подхода и должны

быть просто опущены. Однако ситуация осложняет-

ся, когда речь идет о вкладах в наблюдаемую вели-

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

чину от ультрафиолетовой области, вычисленных с

КАЧЕСТВЕННОЕ ОБСУЖДЕНИЕ ЭФФЕКТА

помощью точного решения гамильтониана КФ при

КЕЙНА-ФИШЕРА

одном значении v_c. Но и в этом случае есть вы-

ход: имея аналитическое выражение, нетрудно про-

В настоящее время для описания e-i-рассеяния

верить, как изменится ответ для наблюдаемой ве-

почти общепринятым является подход КФ. В нем

личины при исключении из него вклада от области

в гамильтониан с линейным спектром и электрон-

глубокого ультрафиолета (длин волн, много мень-

электронным взаимодействием типа плотность-

ших 1/M). Если окончательный ответ покажет, что

плотность вводится возможность перехода правого

вклад от ультрафиолетовой области существен, то

электрона в левый в точке расположения примеси

(см. [1-3, 5, 6]):

такую величину нельзя будет ¾просто вычислить¿,

имея точное выражение, полученное из гамильтони-

∫

ана (2), потому что сам гамильтониан КФ в области

H_KF = dxdy[Ψ†R(x)V_impδ(x)δ(x - y)ΨL(y) + H.c.],

малых длин некорректен. Вопрос о возможности су-

(2)

ществования вклада от ультрафиолетовой области и

446

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

О точном решении для жидкости Латтинжера. . .

способе его вычисления в этом случае потребует от-

ши вычисления приводят к этой же картине). Ха-

дельной физической аргументации.

рактерный размер такого двойного слоя поряд-

Вначале обсудим вопрос о том, какие физические

ка размера примеси. (Кроме того, за препятствием

величины определяют ультрафиолетовое обрезание

существует еще достаточно протяженный ламинар-

M. Прежде всего нам необходимо разделить пол-

ный след, который уже описывается чисто одномер-

ную волновую функцию электрона на правую и ле-

ной теорией с линеаризованным гамильтонианом.)

вую ¾частицы¿, т.е. выделить огибающую на фоне

В случае точечной примеси этот эффект означает

быстрых осцилляций в выражении

существование скачка заряда в точке x = ±0. По-

этому единственным вариантом появления конеч-

Ψ(x, t) = exp(ip_F x)ΨR(x, t) + exp(-ip_F x)ΨL(x, t).

ного заряда вокруг δ-функционной примеси явля-

Грубо говоря, нам надо ¾усреднить¿ это выражение

ется существование ультрафиолетовых расходимо-

по масштабам Δx ≫ 1/p_F . В нашей задаче это усло-

стей в аналитических выражениях для электронной

вие позволяет разделить полную волновую функ-

концентрации в точке x → ±0, которые должны

цию электрона на падающую и отраженную волны

быть ¾вычислены¿ до перехода к длинноволновому

на расстоянии ≳ 1/p_F от примеси. Кроме того, необ-

гамильтонану. Критерием правильности регуляри-

ходимо вспомнить о конечной толщине канала и за-

зации расходящихся выражений для концентрации

метить, что волновая функция отраженной от то-

электронов в нашем случае являлось появление δ-

чечной примеси частицы будет зависеть от расстоя-

функционных источников, связанных с прямым на-

√

ния от примеси, равного

y² + z² + x², где y, z ко-

рушением киральной симметрии, в аналитическом

ординаты в плоскости перпендикулярного сечения

выражении для адлеровской аномалии при сохра-

канала, а x вдоль его оси. Таким образом, если

нении уравнения неразрывности для полного элек-

все три переменные одного порядка, то переменные

трического заряда. (Для того чтобы оба эти требо-

¾не делятся¿, и провести независимое от продольно-

вания выполнялись, достаточно потребовать калиб-

го движения усреднение трехмерного гамильтони-

ровочной инвариантности выражений для электрон-

ана по волновой функции поперечного размерного

ной плотности [9, 10].) Такие ультрафиолетовые рас-

квантования в этой области невозможно. Для этого

ходимости имеют понятную физическую природу

требуется условие x ≫ d, где d поперечный раз-

и обязаны существовать при любом способе описа-

мер канала. Таким образом, ультрафиолетовое об-

ния e-i-рассеяния на короткодействующей примеси.

резание в подходах КФ и работы [7], т. е. масштаб,

Несмотря на то, что двойной слой заряда локализо-

начиная с которого электроны можно считать одно-

ван вблизи примеси на микроскопическом масштабе,

мерными, определяется величиной max(1/p_F ; d), а

его существование важно для одномерной области,

глубокий ультрафиолет это область вблизи при-

так как он приводит к возникновению в ней полей,

меси, в которой в нашей задаче электроны должны

искажающих волновую функцию основного состо-

описываться как трехмерные частицы.

яния системы без примеси. Частотная зависимость

Постановка задачи об электрон-примесном рас-

кондактанса это и есть проявление эффектов, свя-

сеянии в работе [7] принципиально отличается от

занных с экранировкой одномерными электронами

подхода КФ. В качестве первого шага (до выво-

электрических полей, появившихся из-за существо-

да длинноволнового гамильтониана) мы учли, что

вания двойного слоя и ламинарного следа. Только

разделение полной волновой функции электрона на

после решения граничной задачи можно приступать

волновые функции правого (Ψ_R) и левого (Ψ_L) элек-

к выводу длинноволнового гамильтониана.

тронов вблизи примеси на длинах ∼ a_i невозмож-

Из всего это обсуждения следует, что гамильто-

но. Для такой задачи стандартным способом реше-

нан, полученный в [7], и гамильтониан КФ это

ния является учет примесного рассеяния как гра-

разные теории. Они различаются поведением реше-

ничного условия до линеаризации исходного урав-

ний в области глубокого ультрафиолета (на масшта-

нения Шредингера второго порядка. Эта процеду-

бах ≪ 1/M). В первом подходе вклад от этой обла-

ра усложняется из-за существования сильного e-

сти в наблюдаемые величины мал и в случае сильно-

e-взаимодействия. Кратко она изложена в работе

го e-e-взаимодействия. (Отсутствие ультрафиолето-

[7]. Однако на качественном уровне ответы мож-

вых расходимостей прямое следствие регуляриза-

но понять, обратившись к хорошо известному отве-

ции аналитических выражений для скачка заряда.)

ту гидродинамической задачи: любой поток (а тем

Поэтому вклад от всей ультрафиолетовой области

более одномерный), встретив препятствие, образует

в наблюдаемые величины, полученный с помощью

горб перед препятствием и впадину за ним (и на-

подхода со сшивкой, определяется верхней границей

447

В.В. Афонин, В.Ю. Петров

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

переходной области. (Tеория сходится в ультрафи-

мерной системе невозможен. Однако при доказа-

олетовой области, а единственный связанный с ней

тельстве теоремы имелась ввиду бесконечная систе-

масштаб

1/M.) Это позволило вычислить частот-

ма. Для нее легко показать, что корреляционная

ную зависимость кондактанса, но коэффициент при

функция двух бозонов уменьшается экспоненциаль-

ней оказался неуниверсальным и зависел от деталей

но на длинах больших r_c ∼ v_c/T и степенным об-

e-e-взаимодействия на длинах ∼ 1/M. Что касается

разом на длинах меньших r_c. Но в канале конечной

КФ-подхода, то он нуждается в уточнении, касаю-

длины экспонециальная асимптотика может просто

щемся области глубокого ультрафиолета. Аналогич-

¾не поместиться¿ в образце. Это дает возможность

ную некорректность подходов в ультрафиолетовой

оценить температуру такого фазового перехода как

области часто оказывалось возможным компенсиро-

T_c ∼ v_c/L. При меньшей температуре в конечном

вать схемой ренормировки ультрафиолетовых вкла-

одномерном канале возможен фазовый переход вто-

дов. При этом одним из критериев правильности

рого рода. (Мы считаем число уровней продольного

окончательных ответов для нас будет являться ду-

квантования N_e ∼ p_F L ≫ 1. Это позволяет заме-

альность задач с притяжением и отталкиванием¹⁾.

нить римановские суммы по p_n интегралами, но в

Для того чтобы сформулировать правило рабо-

главном порядке по 1/N_e не требует предела L → ∞.

ты с ультрафиолетовыми вкладами в КФ-подходе,

Таким образом, мы можем проводить вычисления,

необходимо обсудить вид основного состояния, ко-

как в случае бесконечного образца, но сохранить ко-

торый, с нашей точки зрения, реализуется в LL

нечную L в критериях фазового перехода. Отметим,

c отталкиванием (канал без примеси). Обычная

что предел ω → 0 в определении кондактанса нужно

интерпретация основного состояния LL основана

понимать в смысле ω ≪ v_c/L [8]. Это условие имеет

на существовании аномалий в корреляторах типа

простой физический смысл: внешнее поле должно

плотность-плотность. Они ассоциировались с пай-

быть почти постоянным все время пролета квазича-

ерлсовской нестабильностью, показывающей (в слу-

стицы через одномерный канал.)

чае однокомпонентных фермионов) ¾тенденцию к

Для того чтобы доказать правильность этих

образованию волны зарядовой плотности¿ с волно-

утверждений, нами была вычислена волновая функ-

вым вектором, равным удвоенному импульсу Фер-

ция основного состояния для LL (|Ω〉). Эта зада-

ми [11]. Конечно, такое состояние возможно, однако

ча не является точно решаемой, и аналитическое

кулоновское взаимодействие в одномерных системах

выражение для нее может быть написано только

очень сильное. Поэтому для его реализации требует-

в пределе бесконечно сильного e-e-взаимодействия.

ся достаточно большая энергия. Понятно, что основ-

В этом приближении |Ω〉 представляет из себя вол-

ное состояние, состоящее из электронейтральных

новую функцию, описывающую настоящий кираль-

комплексов, имело бы меньшую энергию. Электро-

ный конденсат (с ненулевой плотностью) и состоя-

нейтральность означает, что оно должно состоять из

щий из точечных электронейтральных комплексов

электронов и дырок, двигающихся в одном направ-

[13]. Важным свойством таких одномерных фаз, су-

лении. Единственным кандидатом на такие ¾экси-

ществующим и в |Ω〉, является появление в теории

тоноподобные¿ образования могут быть комплек-

еще одной характерной температуры, T_d = v_F /L,

сы, состоящие из киральных пар типа â^†Rb^†L (здесь

температуры вырождения. Ниже T_d аномальное

â/b операторы уничтожения электрона/дырки),

среднее 〈Ω|â^†Rb^†L|Ω〉 = 0 (несмотря на существова-

представляющие из себя бозе-частицы. Поэтому все

ние конденсата), а выше отлично от нуля. Дело в

они должны ¾накапливаться¿ в основном состоя-

том, что матричный элемент 〈Ω|â^†Rb^†L|Ω〉 = 0 толь-

нии, образуя конденсат с макроскопически большим

ко в том случае, когда |Ω〉 представляет из себя па-

(растущим с увеличением объема) числом частиц.

кет, состоящий из состояний с разным числом пар

Обычным аргументом против такой картины явля-

â^†Rb^†L, а характерная разность энергий этих состоя-

ется так называемая теорема Ландау [12], соглас-

ний порядка v_F /L < T_c. В этой работе мы предпола-

но которой фазовый переход второго рода в одно-

гаем, что T ≪ T_d (в противном случае при выводе

выражения (5) необходимо учитывать аномальные

средние). В высокотемпературной области (T ≳ T_K )

¹⁾ В работе [7] было показано, что перенормированный ко-

эффициент отражения для LL c притяжением получается из

аналитическое выражение для |Ω〉 соответствует со-

коэффициента прохождения для LL c отталкиванием заме-

стоянию, в котором киральные пары коррелирова-

ной vc; K0 ↔ v^c1; R0. Это свойство точное и справедливое

ны только на расстоянии ∼ r_c. Таким образом, наше

при любых виде и силе e-e-взаимодействия. При доказатель-

основное состояние не противоречит теореме Лан-

стве предполагалась только сходимость (хотя бы асимптоти-

ческая) ряда теории возмущений.

дау. При уменьшении силы e-e-взаимодействия по-

448

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

О точном решении для жидкости Латтинжера. . .

лучить аналитическое выражение для |Ω〉 не пред-

оставшийся левый электрон уйдет от примеси. Он

ставляется возможным, но можно показать, что кор-

будет восприниматься как отраженный примесью

реляторы типа 〈Ω|bL(x)â_R(x)â^†R(y)b†L(y)|Ω〉 убывают

правый электрон,

степенным образом. Это дает воэможность оценить

â^†R; â^†L +b†L → â^†Rb^†L; â^†L.

число киральных пар в образце [13]:

Важно, что вероятность этого процесса будет про-

N_cir ∼ L^β,

0 < β ≤ 1.

порциональна макроскопически большому числу

Таким образом, в реальной ситуации основное со-

¾правых¿ пар конденсата, а так как сумма вероят-

стояние LL это тоже состояние с дальним поряд-

ностей всех возможных процессов равна единице, то

вероятность обычного рассеяния электрона на при-

ком (фаза БКТ [14]). В свете изложенного выше ста-

новится понятным, почему исходные электроны не

меси будет иметь малость 1/N_cir. В результате это-

являются элементарными возбуждениями ферми-

го в задаче пропадает единственный канал рассея-

жидкости. Как и в теории сверхпроводимости, ими

ния, содержавший прошедшую волну. В итоге одно-

являются нормальные возбуждения над правиль-

мерный проводник и оказывается закрытым для по-

ным основным состоянием, определяемые условием

стоянного тока. Таким образом, бесконечно слабое

â_χ|Ω〉 = 0 [15] (а не над сферой Ферми исходных

e-i-рассеяние ¾разрезает¿ канал. Эта качественная

электронов). Волновая функция такой квазичасти-

картина очень хорошо видна в точном решении при

цы, двигающейся вправо (χ_R), представляет из себя

v_c = 2. Согласно выражению (13) ¾отраженная от

сложный (нелинейный) пакет из правых электронов

примеси¿ волна (это майоран ß) не входит в выраже-

и левых дырок, ортогональный |Ω〉 и имеющий элек-

ние для гамильтониана рассеяния (11). Такое может

трический заряд e₀/√vc. Это есть не что иное, как

быть только в том случае, когда процесс рассеяния

правый квазиэлектрон, двигающийся вместе с поля-

нарушает в подсистеме квазичастичных возбужде-

ризационным облаком. Поэтому его заряд не кван-

ний какой-нибудь закон сохранения. В данном слу-

туется в единицах заряда свободного электрона, e₀

чае электрического заряда (см. выражение (7)).

(ср. с [16]).

Чтобы этого не произошло во всей системе, и рожда-

Переход к квазичастичному представлению в га-

ется частица ß. Обычный канал примесного рассея-

∑

мильтониане КФ дает ключ к пониманию физи-

ния входил бы в гамильтониан как_n,m V_n,mΦ_nß_m,

√

ческой причины ¾закрытия¿ одномерного канала

но он имел бы малость 1/

N_cir.

сколь угодно слабым примесным рассеянием. Она

Для того чтобы понять роль ультрафиолетовой

реализуется для e-e-взаимодействия любой силы,

области в процессе e-i-рассеяния, вспомним, что e-

но становится очевидной в рассматриваемой зада-

e-взаимодействие оказывается аномально сильным

че. В ней примесная часть гамильтониана рассеяния

в одномерном случае, потому что пакеты, создан-

оказывается пропорциональной полю χ (т. е. верши-

ные из фермионов с линейным спектром, вообще

ны не сохраняют электрический заряд, см. уравне-

не расплываются. Это приводит к тому, что в LL

ние (7)). Это означает, что процесс рассеяния не

два взаимодействующих пакета одинаково сильно

сводится к рассеянию квазичастицы на примеси: в

взаимодействуют все время нахождения в одномер-

нем обязан участвовать конденсат. Появление то-

ной области. Подходя на расстояние порядка 1/M к

чечной примеси искажает волновую функцию кон-

примеси, пакеты начинают расплываться, так как в

денсата. Это делает волновую функцию падающей

этой области электроны уже не описываются чисто

на примесь квазичастицы неортогональной к ново-

одномерной теорией. Расплываются сначала мед-

му основному состоянию, что приводит к появлению

ленно (начало переходной области), а потом, подхо-

дополнительного канала ¾отражения квазичастиц

дя к трехмерной области глубокого ультрафиолета,

от примеси¿, аналогичного андреевскому отраже-

быстро. На масштабе ≪ 1/M e-e-взаимодействие

нию в сверхпроводнике [17]. Обсудим его подробнее.

становится трехмерным, т.е. слабым по сравнению с

Для этого разделим волновую функцию квазичасти-

одномерным. Таким образом, в случае отталкивания

цы, двигающейся вправо, на электронную и дыроч-

по мере ¾увеличения размерности¿ канала пропа-

ную части. Тогда из-за неортогональности волновых

дает причина неустойчивости основного состояния

функций нового основного состояния и квазичасти-

невзаимодействующих электронов при включении

цы и существования флуктуативных процессов об-

e-e-взаимодействия. Как следствие этого, в обла-

разования электрон-дырочных пар левых электро-

сти глубокого ультрафиолета (на расстоянии ∼ d от

нов падающий на примесь правый электрон может

примеси) пропадает киральный конденсат (по край-

¾подхватить¿ левую дырку и уйти в конденсат, а

ней мере в случае точечного e-e-взаимодействия).

449

В.В. Афонин, В.Ю. Петров

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

Эта картина качественно отличается от LL с при-

что весь ультрафиолетовый вклад в кондактанс мо-

тяжением, потому что в последнем случае сфера

жет сводиться только к вкладу от переходной об-

Ферми неустойчива относительно бесконечно слабо-

ласти. Но она в лучшем случае будет описываться

го притяжения в любой размерности. Из-за этого

одномерной теорией только по порядку величины, и

упругая примесь в случае притяжения ¾не разреза-

то только тогда, когда вклад от области ≤ 1/M,

ет¿ канал. (На самом деле, последнее утверждение

полученный с помощью одномерных формул, бу-

это одномерная модификация общей теоремы Ан-

дет определяться верхней границей переходной об-

дерсона для сверхпроводимости [18].) К сожалению,

ласти. Качественно эта картина будет совпадать с

построить аналитическую теорию для короткодей-

той, которая получилась в подходе со сшивкой. Су-

ствующей примеси, справедливую во всей ультра-

щественное различие будет состоять только в том,

фиолетовой области, невозможно. Для этого нужно

что последняя привела к ней ¾автоматически¿ (без

непрерывным по размерности образом описать пе-

дополнительных соображений), но для этого потре-

реход от одномерной области к трехмерной, решая

бовалась регуляризация скачка заряда и дальней-

в переходной области и проблемы калибровочно-

шие достаточно трудоемкие (особенно для отталки-

инвариантного определения расходящегося произве-

вания) вычисления. В результате этих вычислений

дения двух фермионных операторов, взятых в одной

оказалось, что корреляционная функция, получаю-

точке (аномалия Адлера [9,10]). Поэтому при об-

щаяся в подходе со сшивкой и определяющая си-

суждениии вопроса о величине ультрафиолетового

лу e-e-взаимодействия, не расходится, а стремит-

вклада в кондактанс нам придется обходиться каче-

ся в области глубокого ультрафиолета к констан-

ственными соображениями.

те. Это и привело к тому, что в случае сильного

Учитывая то, что мы рассматриваем точечное

e-e-взаимодействия вклад в наблюдаемую величи-

e-e-взаимодействие, нахождение электронов в обла-

ну дала только переходная область, а изменение ви-

сти глубокого ультрафиолета (трехмерного движе-

да эффективного e-e-взаимодействия в этой обла-

ния) означает, что они относительно слабо взаимо-

сти сводилось к перенормировке затравочного e-e-

действуют друг с другом, т.е. не могут образовать и

взаимодействия и не изменяло частотной зависимо-

новую киральную пару. А это означает, что область

сти кондактанса.

глубокого ультрафиолета не может давать вклад в

аномально сильный канал рассеяния, связанный с

существованием конденсата. (То есть все, что мо-

3. BЫЧИСЛЕНИЕ КОНДАКТАНСА

жет давать эта область, должно сводиться к пере-

Для вычисления кондактанса одномерного ка-

нормировке затравочной амплитуды e-i-рассеяния,

нала удобно воспользоваться ответом, полученным

не зависящей от частоты.) Отсюда следует, что если

в работе [8] и позволяющим выразить кондактанс

аналитическое выражение для частотно-зависящего

через частотно-зависящую (ΔS(ω) = S(ω) - S(0))

кондактанса, следующее из точного решения в моде-

часть фейнмановского коррелятора:

ли КФ, показывает, что небольшое изменение ответа

в ультрафиолетовой области не сводится к перенор-

S(t₁ - t₂) = 〈T {ŝ(t₁), ŝ(t₂)}〉,

(3)

мировке затравочной амплитуды e-i-рассеяния, то

вклад этой области в наблюдаемую величину есть

где {.., ..}

антикоммутатор, а ŝ(t) равен

артефакт теории, связанный с некорректностью га-

мильтониана (2) в области глубокого ультрафиоле-

ŝ(t) = 2i[Ψ†L(t, x = 0)ΨR(t, x = 0)-

та. Поэтому он должен быть экстрагирован из вы-

- Ψ^†R(t, x = 0)ΨL(t, x = 0)].

(4)

ражения для наблюдаемой величины, связанной с

изменением числа киральных пар конденсата. Это

Физический смысл оператора ŝ(t)

это кираль-

есть дополнительное условие, позволяющее исполь-

ный заряд, уходящий в конденсат (мы определи-

зовать некорректный в области глубокого ультра-

ли киральный заряд как +1 для R-электронов и

фиолета гамильтониан КФ в случае сильно взаи-

модействующих электронов²⁾. Отсюда следует и то,

Гелл-Манна-Лоу он вводится регуляризацией), начиная с ко-

торого область глубокого ультрафиолета не дает вклада в

²⁾ Это утверждение фактически совпадает с исходным

наблюдаемые величины. Все отличие от ¾обычной¿, расходя-

предположением теории ренормгруппы: наблюдаемые вели-

щейся на ультрафиолете задачи при vc = 1/2 [8] состоит в

чины, вычисленные с помощью неизвестного нам точного га-

том, что при vc = 2 выражение для кондактанса, вычислен-

мильтониана, сходятся. Это означает, что в ультрафиолето-

ное с помощью точного решения гамильтониана КФ, сходит-

вой (не в инфракрасной) области есть масштаб (в подходе

ся.

450

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

О точном решении для жидкости Латтинжера. . .

−1 для L-электронов). Вычисление этого корреля-

имодействует с точечной примесью [19] и тоже дает

тора надо проводить при вещественных частотах,

вклад в баллистический ток. Константа связи опре-

а для перехода к кондактансу (запаздывающий от-

деляется величиной Δ:

клик) его фурьял надо продолжить по правилу

√

|ω| → +

ω² + iδ³⁾. В итоге кондактанс может быть

ln Δ = ln (

)+γ_E,

2π

записан в виде

где M ультрафиолетовое обрезание. Формально

e²⁰

оно возникает из-за того, что произведение ферми-

G(ω) =

V^2impReΔS(|ω|).

(5)

4v^2c|ω|

онных операторов, взятых в одной точке, в одно-

мерном случае всегда расходится. Эта расходимость

Отметим, что в правой части (5) нужно учиты-

отражает тот факт, что на длинах ∼ 1/M рассея-

вать только зависящий от частоты вклад отношения

ние становится трехмерным, а одномерные форму-

ΔS(ω)/|ω|. Дело в том, что не зависящая от ω часть

лы бозонизации неприменимыми. Отсюда следу-

этого отношения фактически не может быть вычис-

ет, что гамильтониан (6) (как и исходный гамильто-

ленa в рамках данного подхода, так как окончатель-

ниан КФ) неприменим в ультрафиолетовой области

ный ответ для линейного отклика, полученный в [8],

(на расстояниях ≤ 1/M). При v_c = 2 (m = 1) он

содержал еще и произвольное решение однородного

имеет вид

уравнения. Коэффициент, с которым это решение

входит в ответ, должен определяться физическим

∫

условием. В случае отталкивания условие состоит

H_χ = v_c dxχ^†2(x)i∂_x χ₂(x) +

в полном закрытии канала при ω = 0. Его всегда

[

]

можно удовлетворить при любой величине постоян-

+γ₂

χ^†2(x = 0) + χ₂(x = 0) ,

(7)

ной части ΔS(ω)/|ω| за счет решения однородного

где

√

уравнения.

γ₂ = V_imp

exp(γ_E)M/2π.

Как уже отмечалось, причина, по которой вза-

имодействие одномерных фермионов с линейным

Получившаяся вершина рассеяния нормальных ква-

спектром оказывается аномально сильным, состо-

зичастиц на примеси показывает, что электрический

ит в том, что в этом случае пакеты, созданные из

заряд в подсистеме нормальных возбуждений не со-

таких фермионов, не расплываются. Отсюда сле-

храняется. Это означает, что в переходе принима-

дует и то, что любое возбужденное состояние с

ет участие конденсат. Поэтому нам потребуется еще

данной энергией может быть представлено в ви-

одна динамическая переменная. Ее удобно ввести,

де большого числа различных пакетов, состоящих

используя представление Гинье. Для этого введем

как из четного числа фермионов (бозе-частицы),

пространственно-однородное майорановское поле

ζ,

так и из нечетного числа (фермионы). Математи-

такое что

чески это выражается в существовании соотноше-

ζ^† =

ζ,

ζ² = 1,

∂_x ζ = 0,

ний, дающих возможность представить любой одно-

мерный фермион как пакет бозонов (формулы бозо-

которое антикоммутирует со всеми фермионными

низации). Это дало возможность написать выраже-

операторами. С его помощью мы можем предста-

ние для операторов нормальных возбуждений LL c

вить поле χ₂ в виде

точечным e-i-взаимодействием [15]. Учет электрон-

∞

∫

примесного рассеяния в гамильтониане (2) при вы-

χ₂(x = 0) = (dp)[ζâ(p) +b†(p)ζ],

(8)

полнении условия 2/v_c = m², m = 1, 2, 3, ..., добав-

ляет к свободному гамильтониану нормальных воз-

буждений слагаемое

так как это не противоречит фермионным коммута-

ционным свойствам. Такое введение квазиэлектро-

1-1/vc

∝

√

V_imp×

нов и квазидырок предпочтительно, когда верши-

ны гамильтониана не сохраняют заряд. Если заряд

[

]

χ₂(0)∂_x χ₂(0). . . ∂^m-1x χ₂(0) + H.c.

(6)

сохраняется, то независимая переменная

ζ в конце

концов ¾вылетит¿ из теории. В случае несохранения

Здесь χ₂ квазичастица, рассеивающаяся на при-

заряда в подсистеме квазичастичных возбуждений

меси, а второе (ортогональное ему) поле χ₁ не вза-

она позволит нам учесть процессы, протекающие в

конденсате, но существенные для отражения нор-

³⁾ Вопрос, связанный с аналитическим продолжением, по-

дробно обсужден в [8].

мальных квазичастиц от примеси.

451

В.В. Афонин, В.Ю. Петров

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

Подставляя (8) в (7), мы убедимся, что с приме-

может быть приведен к квадратичной форме про-

сью взаимодействует только поле

стым сдвигом поля

Φ_n на постоянную величину, так

√

как это будет противоречить правилу антикоммута-

α(p) = [a(p) + b(p)]/

ции. Однако гамильтониан (11) может быть пред-

ставлен как квадратичный, если считать перемен-

а ортогогальная ему комбинация

ную

ζ нулевой компонентой поля

Φ:

√

β = [a(p) - b(p)]/

Φ₀ =

ζ/

не войдет в примесную часть гамильтониана, воз-

см. [20]. В результате (11) уже приводится к квад-

никшую из (2). Она будет описывать квазиэлектро-

ратичной форме с сохранением правил антиком-

ны или квазидырки, возникновение которых требу-

мутации для полей

Φ_n. Вычисление кондактанса

ется законом сохранения электрического заряда во

облегчается тем, что коррелятор S(t) (уравнение

всей системе (нормальные возбуждения и конден-

(3)) определяется функцией Грина 〈ŝ(t, 0)ŝ(0, 0)〉.

сат). Далее нам будет удобно перейти в майоранов-

Таким образом, вся нетривиальная часть вычисле-

ское представление

ний связана только с полем

ζ(t) в гайзенбергов-

ском представлении. После диагонализации (перехо-

χ₂(x) =

√ [ß(x) + iΦ(x)]

(9)

да к невзаимодействующим полям

λ_n) все сведется

к замене

λ_n →

λ_n exp(-iǫ_nt).

и выразить майораны

ß(x) и Φ(x) через операторы

рождения и уничтожения квазиэлектронов и квази-

В Приложениии B показано, что функция Грина

дырок. Сравнивая определения (9) и (8), имеем

〈ζ(t)ζ(0)〉 выразится через функцию Грина свобод-

λ_n

ных полей

(t):

ß(p) =

β(p)θ(p) +

β^†(-p)θ(-p),

(10)

exp(-iǫ_nt)

Φ(p) = -iα(p)θ(p) + iα^†(-p)θ(-p).

〈ζ(t)ζ(0)〉 = -16γ2 ∑

µ² + ǫ

n=0

В результате весь вклад от примесного рассеяния

× (θ(t)θ(n) - θ(-t)θ(-n)).

(14)

в (7) определяется только полем

Φ и гамильтониан

равен

√

Здесь µ = γ²²/v_c ∼ MV^2imp параметр ультрафио-

H_imp = iγ₂

2ζ1∑

Φ(p_n).

(11)

летового обрезания этого коррелятора. Дальнейшее

n=0

вычисление S(t) сводится к вычислению произведе-

ния 〈ζ(t, 0)ζ(0, 0)〉〈ß(t, 0)ß(0, 0)〉 (здесь

свобод-

В него не входит майоран

ß. Эта волна возникает

ные майораны, ¾отраженные от примеси¿, а t имеет

как следствие закона сохранения полного электри-

смысл времени, отсчитанного от момента ¾отраже-

ческого заряда всей системы, и толькоß входит в вы-

ния¿ квазичастицы от примеси). В Приложении A

ражение для ŝ. (То есть только коррелятор полей ß

показано, что в термодинамическом пределе (глав-

входит в выражение для перенормированного взаи-

ный член по параметру 1/ML ≪ 1) спектр квазича-

модействием коэффициента отражения электронов

стиц λ(k) тоже равен ǫ(k) = v_ck. В итоге получаем

от примеси и определяет кондактанс). Заметим, что

(4) отличается от гамильтониана (2) общим коэф-

∞

∫

(γ^s2γ₂)²

dǫ exp (-iǫ|t|)

фициентом и относительным знаком слагаемых. По-

S(t) = 32i

(15)

вторяя предыдущие вычисления, имеем

π²v_c

(µ² + ǫ²)|t|

[

]

ŝ(x = 0) = -2iγ^s2

χ^†2(x = 0) - χ₂(x = 0) ,

(12)

Это выражение четно по t, поэтому ReΔS(ω) опре-

деляется функцией Раабе

где γ^s2 = γ₂/V_imp. После подстановки в эту формулу

∫∞

выражения (9) получаем

sin (ǫµt)

R_a(µt) = dǫ

∫

1+ǫ²

√

ŝ(x = 0) = 2i

2γ^s2 ζ (dp)ß(p).

(13)

медленно убывающей на асимптотике µt → 0 (как

В отличие от бозонного гамильтониана, линейный

µt ln(µt) [21]). В итоге весь коррелятор оказывается

по полю член в фермионном гамильтониане (11) не

растущим в области глубокого ультрафиолета.

452

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

О точном решении для жидкости Латтинжера. . .

В таком случае нам надо убедиться, что изме-

S_ac(t) ∼ S(t).) Таким образом,

нение выражения (15) в области глубокого ультра-

фиолета (где гамильтониан КФ неправильно опи-

ReΔS(ω) = -(8γ^s2γ₂)²

сывает e-i-рассеяние) не изменяет частотной зави-

π²µv_c

∞

∫

симости кондактанса. Это можно сделать, просто

1 - cos(ωt)

обрезав вклад от (15) в кондактанс на масштабе

× dt

R_a(µt).

(16)

∼ 1/M. Если вклад от области ≤ 1/M мал,

1/µ

то такая процедура вообще не изменит окончатель-

Вычитая и добавляя к полученному ответу вклад от

ный ответ. Он совпадет с точным (в математиче-

области (0, 1/µ), получаем два выражения. Первое

ском смысле) ответом гамильтониана КФ. В этом

слагаемое (Δ₁S(ω) от области (0, ∞))

¾пороговое¿

случае его некорректность на малых длинах будет

(под интегралом по ǫ из-за cуществования закона

несущественна. (Точно так же, как в случае слабо-

го e-e-взаимодействия, когда ответы от инфракрас-

сохранения энергии при упругом расссеянии носи-

телей на примеси возникает множитель θ(|ω| - ǫ)).

ной области параметрически велики по сравнению

с вкладом от ультрафиолета.) Далее мы убедимся

Оно равно

в том, что такое изменение коррелятора S(t) ка-

|ω|

чественно изменит частотную зависимость кондак-

ReΔ₁S(ω) = -2(4γ^s2γ₂)²

arctg

(17)

πµv_c

танса, т.е. роль ультрафиолетовой области не сво-

дится к перенормировке затравочной амплитуды

и приводит к ответу, полученному в работах [1-

рассеяния электронов на примеси. В таком случае

6], представляя из себя точное (в математическом

мы должны вспомнить, что исходный гамильтони-

смысле слова) решение гамильтониана КФ⁴⁾.

ан неправилен в области глубокого ультрафиолета,

Однако в результате вычитания у нас появилось

а выражение (15) справедливо лишь на асимтотике

еще одно слагаемое

t ≫ 1/µ, когда родившееся возбуждение ß находит-

∫

ся далеко от примеси. Заметим, что в этой области

∝ dτ sin² (ωτ/µ)R_a(τ)/τ,

асимптотический ряд теории возмущений

∑ (2m + 1)!

в котором интеграл по времени определяется верх-

(µ|t|)^2m+1

ним пределом интегрирования, где R_a(τ) ∼ 1. Это

m=0

слагаемое мало по сравнению с первым членом раз-

сходится к R_a(µt). Поэтому можно воспользовать-

ложения arctg(|ω|/µ), но последнее сокращает бал-

ся тем, что в этой области нам известна аналити-

листический вклад в линейном отклике. В кондак-

ческая функция, к которой сходится весь ряд, а

танс входят лишь следующие члены разложения

модель КФ в данном случае приводит к сходяще-

арктангенса. Вычитание же дает линейный по час-

муся в ультрафиолетовой области выражению для

тоте член, который в области малых частот и опре-

частотно-зависящего вклада в кондактанс. Тогда мы

деляет асимптотику кондактанса. Физическая при-

можем получить ответы с точностью до коэффи-

чина смены асимптотики c ω² на |ω| состоит в том,

циента порядка единицы. Это удается потому, что

что на временах t ≤ 1/µ энергия плохо определена.

правильное, но неизвестное нам в ультрафиолетовой

Поэтому вероятность рождения новой киральной

области, выражение для интересующего нас корре-

пары, определяющая поток квазиэлектронов, дви-

лятора S_ac(t) при t ∼ 1/µ должно еще совпадать

гающихся от примеси, не содержит δ-функционного

по порядку величины с (15), а вклад в частотно-

множителя, выражающего закон сохранения энер-

зависящий кондактанс от области глубокого уль-

гии. В результате это слагаемое не имеет порога в

трафиолета, вычисленный с помощью S_ac(t), может

подынтегральном выражении по энергии. Это при-

сводиться лишь к перенормировке затравочной ам-

водит к тому, что вклад в кондактанс дает и область

плитуды e-i-рассеяния и не имеет права менять ча-

больших энергий. В итоге

стотную зависимость кондактанса. В таком случае

|ω|

можно для получения порядковой оценки кондак-

G(ω) = e²⁰V^2impc

(18)

танса просто обрезать выражение для коррелятора

на t ∼ 1/µ. (Конечно только тогда, когда вычисле-

⁴⁾ В работе [5] получена полная частотная зависимость

ния показывают, что наблюдаемая величина опре-

кондактанса (уравнение (5.6)), следующая из точного реше-

деляется верхней границей переходной области, где

ния для гамильтониана КФ и совпадающая с (17).

453

В.В. Афонин, В.Ю. Петров

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

где c

численный коэффициент порядка 1, пе-

ПРИЛОЖЕНИЕ.

ренормирующий амплитуду затравочного электрон-

ПРИВЕДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНИАНА К

примесного рассеяния из-за e-e-взаимодействия в

ДИАГОНАЛЬНОЙ ФОРМЕ

переходной области. Отметим, что такая ¾регуля-

А. ¾Уравнение Шредингера¿ для матрицы

ризация¿ ультрафиолетового вклада приводит к

поворота

дуальным ответам для жидкостей Латтинжера c

отталкивающимися и притягивающимися ферми-

Для того чтобы вычислить коррелятор S(ω), нам

онами. Как отмечалось выше, это свойство точ-

необходимо перейти от шредингеровского представ-

ное, оно должно выполняться для любого e-e-

ления к гайзенберговскому. Это легко делается в

взаимодействия. Кроме того, эти ответы совпадают

случае свободных фермионов, в котором отличие од-

с результатами, полученными из подхода со сшив-

ного представления от другого сводится к появле-

кой. Это позволяет надеяться на то, что более лег-

нию множителя exp (-iǫ_nt). Для этого нужно при-

кий с вычислительной точки зрения гамильтониан

вести (11) к диагональной форме. Отметим, что пе-

КФ, дополненный этим правилом, можно использо-

ременная ζ (теперь Φ_n=0), входящая в гамильтони-

вать и в случае сильного e-e-взаимодействия.

ан, описывает изменение (а не полное число) ки-

ральных пар в основном состоянии. Отсюда следует,

что матрица поворота определяется только процес-

сами рассеяния, т.е. переходами между состояниями

Φ_n ↔ Φ_n′; n, n^′ = 0 и Φ_n ↔ Φ₀. Поэтому матрица,

приводящая (11) к диагональной форме, имеет вид

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

∑

λ(ǫ_n) =

S(ǫ_n, p_m)Φ(p_m) + Z(ǫ_n)Φ₀,

m=0

Подводя итог, можно сказать, что в случае силь-

(19)

1∑

ного e-i-взаимодействия самая медленная (линей-

λ₀ =

T (p_m)Φ(p_m).

ная по частоте) асимптотика кондактанса определя-

m=0

ется поведением e-e-взаимодействия в области пере-

(Аргументы элементов этой матрицы записывают-

хода от одномерного движения носителей заряда к

ся как ǫ_n, p_m, чтобы не путать индексы повернутых

трехмерному, реализующемуся на масштабах поряд-

и неповернутых полей; в этих обозначениях ǫ_n

ка толщины канала. Все отличие дуальных теорий с

энергия ¾повернутых¿ полей, а v_cp_m

¾неповер-

v_c = 2 и v_c = 1/2 (притяжение и отталкивание) воз-

нутых¿.)

никает из-за того, что в случае притяжения вклад в

Обратная матрица перехода может быть записа-

кондактанс от ультрафиолетовой области расходит-

на в виде

ся [8]. Однако в обеих задачах линейный по часто-

1∑

те вклад возникает из-за отсутствия закона cохра-

Φ(pm1) =

S^-1(ǫn1 , pm1 )λ(ǫn1 ) + Z^-1(pm1 )λ₀,

нения энергии в области малых времен. Несмотря

n1=0

на это, точной дуальности в подходе с гамильтониа-

(20)

1∑

Φ₀ =

T^-1(ǫn1 )λ(ǫn1 ).

ном КФ нет: в ответах совпадают только частотные

зависимости самой медленной асимптотики. Исхо-

n1=0

дя из того, что эти две теории имеют принципиаль-

Для того чтобы получить выражения для эле-

но разное поведение в ультрафиолетовой области,

ментов обратной матрицы, подставляем уравнения

определяющей кондактанс в случае сильного e-e-

(20) в (19):

взаимодействия, следует ожидать и разной зависи-

мости от силы e-e-взаимодействия ответов подхода

1∑

λ(ǫ_n) =

S(ǫ_n, p_m)[

S^-1(ǫn1 , p_m)λ(ǫn1 ) +

КФ для притяжения и отталкивания при произволь-

m=0

n1=0

ном v_c. Получившееся выражение для кондактанса

1∑

и качественная картина явления находится в соот-

+ Z^-1(ǫ_n)λ₀] + Z(ǫ_n)

T^-1(ǫn1 )λ(ǫn1 ).

ветствии и с результатами работы [7].

n1=0

Варьируя это выражение по λ_n, имеем

Благодарности. Автор благодарит Я.М. Бель-

1∑

S(ǫ_n, p_m)S^-1(ǫ_n, p_m) + Z(ǫ_n)T^-1(ǫ_n).

тюкова и Ю.М. Гальперина за обсуждение работы и

m=0

чтение рукописи.

454

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

О точном решении для жидкости Латтинжера. . .

∑

1∑

С другой стороны,

+ 2iγ₂Φ₀

S(ǫ_n, pm1 ) - iγ₂Z(ǫ_n)

Φ_n =

1=0

n=0

{λ(ǫ_n), λ(ǫ_m)} = Lδ_n,-m.

)

(1 ∑

= -ǫ_n

S(ǫ_n, pm1)Φ(pm1) + Z(ǫn)Φ0

Подставляя сюда уравнение (19), получаем

m1=0

∑

Это соотношение должно выполняться на любых по-

S(ǫ_n, p_m)S(ǫ_-n, p_-m) + Z(ǫ_-n)Z(ǫ_n).

лях Φ, поэтому

m=0

(21)

(ǫ_n - v_cp_m)S(ǫ_n, p_m) = iγ₂Z(ǫ_n),

(23)

Сравнивая эти два выражения, видим, что

∑

ǫ_nZ(ǫ_n) = -2iγ₂

S(ǫ_n, pm1 ).

S^-1(ǫ_n, p_m) = S(ǫ_-n, p_-m), T^-1(ǫ_n) = Z(ǫ_-n).

m1=0

(22)

В итоге мы получили уравнение, определяющее

Для того чтобы получить уравнения для матрицы

спектр:

поворота, нам надо сравнить коммутатор

1∑

ǫ_n = 2γ²

(24)

²L

ǫ_n - v_cp_m

[λ(ǫ_n), H_λ]_- = ǫ_nλ(ǫ_n)

m=0

Переходя к безразмерной энергии y_n = Lǫ_n/2πv_c,

с этим же коммутатором, записанным в терминах

получаем

¾неповернутых¿ полей Φ. Таким образом, нам надо

вычислить коммутатор

γ₂

y_n = d²[π ctg(πy_n) -

], d² = 2L(

)² ≫ 1, (25)

y_n

2πv_c

[∑

∑

v_c

или

p_n Φ_-nΦˆn + 2iγ2Φ0

Φ_n,

πd²y_n

n=0

tg(πy_n) =

]

d² + y²

1∑

√

S(ǫ_n, p_m)Φ(p_m) + Z(ǫ_n)Φ₀

Заметим, что [γ₂] ∼

M, поэтому термодинамиче-

m=0

ский переход в нашем случае означает пренебреже-

ние поправками по 1/ML при ML ≫ 1, но не тре-

Слагаемое с кинетической энергией дает

бует предела L → ∞. В нулевом приближении по

∑

v_c

этому параметру ищем решение в виде

S(ǫ_n, pm1 )pm1 Φ(pm1 ).

m1=0

y_n = n + δy_k, n ≫ δy_n.

Осталось рассмотреть коммутатор

Тогда сдвиг вокруг каждой точки y_n = n удовлетво-

[

ряет соотношению

1∑

2iγ₂Φ₀

Φ_n, Z(ǫ_n)Φ₀ +

(

)

πn

n=0

δy_n =

arctg

]

1 + (n/d)²

∑

S(ǫ_n, pm1 )Φ(pm1 )

где arctg определен в интервале (-π/2, π/2).

m1=0

В итоге спектр есть

Первое слагаемое дает

(

))

2πv

πn

ǫ_n =

arctg

(26)

∑

1 + (n/d)²

-iγ₂Z(ǫ_n)

Φ_n,

n=0

при условии n ≫ δy_n. Но при n ≫ 1 это усло-

вие всегда выполнено, так как arctg определен в

а второе

интервале (-π/2, π/2), т.е. ∼ 1. Отсюда следует,

∑

что сдвиг уровней мал и им можно принебречь. И

2iγ₂Φ₀

S(ǫ_n, pm1 ).

мы имеем спектр, удовлетворяющий периодическим

m1=0

граничным условиям: y_n = n. Переход в термоди-

В итоге получаем равенство

намический предел совершается обычным образом,

ML ≫ 1, а 2πn/L = k не зависит от L. В итоге

∑

v_c

спектр не рассеивающихся на примеси полей тоже

S(ǫ_n, pm1 )pm1 Φ(pm1 ) +

равен ǫ(k) = v_ck.

m1=0

455

В.В. Афонин, В.Ю. Петров

ЖЭТФ, том 164, вып. 3 (9), 2023

B. Вычисление матрицы поворота

L. I. Glazman, K. A. Matveev, and Yue D, Phys.

Rev. B 49, 1966 (1994).

Соотношения (20) и (22) позволяют выразить по-

ле Гинье через поля, диагонализующие гамильтони-

P. Fendley, A. W. W. Ludwig, and H. Saleur, Phys.

ан (λ_n), а условие нормировки, записанное в виде

Rev. B 52, 8934 (1995).

(21) с учетом первого уравнения системы (23), дает

P. Fendley, A. W. W. Ludwig, and H. Saleur, Phys.

возможность вычислить нужный нам элемент мат-

рицы поворота Z(ǫ_n):

Rev. Lett. 74, 3005 (1995).

В. В. Афонин, В. Ю. Петров, Письма в ЖЭТФ

)₂

∑

( γ₂

Z(ǫ_n)Z(-ǫ_n)

97, 587 (2013).

2πv_c

(y_n - m₁)²

m1=0

В. В. Афонин, ЖЭТФ 163, 238 (2023).

+ Z(y_n)Z(-y_m) = L.

(27)

M. Peskin and D. Schroeder, An Introduction to

Для вычисления суммы, стоящей в этом выраже-

Quantum Field Theory, Addison-Wesley (1996).

нии, заметим, что

10.

S. L. Adler and R. F. Dashen, Current

(

)

∑

Algebras and Applications to Particle Physics,

-∂_y

= -∂_y π ctg(πy) -

W. A. Benjamin Inc, New York-Amsterdam

y_n - m₁

m1=0

(1968).

(

)

1 - sin²(πy)

=π²

11.

V. J. Emery, in Highly Conducting One-Dim-

sin²(πy)

y²

ensional Solids, Plenum Press, New York (1979),

y^2k

= π² + π2 ctg²(πy) -

=π² +

p. 327.

y²

d²

d⁴

12.

L. D. Landau, Sov. Phys. JETP 7, 19 (1937).

В итоге, пренебрегая поправками по 1/L, получаем

окончательное выражение для элементов матрицы

13.

В. В. Афонин, В. Ю. Петров, ЖЭТФ 101, 637

перехода к диагональному виду:

(2008).

√

2iγ₂sign(ǫ_n)

14.

J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless, J. Phys. C 6,

Z(ǫ_n) =

√

(28)

1181 (1973).

µ² + ǫ²

√

15.

V. V. Afonin and V. Yu. Petrov, Found. Phys. 40,

2γ²² sign(ǫ_n)

190 (2010).

S(ǫ_n, p_m) = -√

(29)

µ² + ǫ²ⁿ(ǫ_n - v_cp_m)

16.

K.-V. Pham, M. Gabay, and P. Lederer, Fractional

где µ = γ²²/v_c ∼ M. Это позволяет выразить поле

Excitations in the Luttinger Liquid, Phys. Rev. B

Гинье в гайзенберговском представлении через поля

61, 1637 (2000).

свободных квазичастиц λ(ǫ_n):

17.

А. Ф. Андреев, ЖЭТФ 46, 1823 (1964).

∑

4iγ₂

sign(ǫ_n)

ζ(t) = -

√

λ(ǫ_n) exp (-iǫ_nt).

(30)

18.

P. G. d’Gennes, Superconductivity of Mettals

µ² + ǫ²

n=0

and Allows, W. A. Benjamin Inc., New York-

Amsterdam (1966).

ЛИТЕРАТУРА

19.

В. В. Афонин, В. Ю. Петров, Письма в ЖЭТФ

109, 797 (2019).

1. C. L. Kane and M. P. A. Fisher, Phys. Rev. B 46,

15233 (1992).

20.

J. von Delft and H. Schoeller, cond-mat/9805275

v3 (1998).

2. A. Furusaki and N. Nagaosa, Phys. Rev. B 47,

21.

H. Bateman and A. Erdelyi, Higher Transcendental

4631 (1993).

Functions, New York, Mc. Graw-Hill Book

3. A. Furusaki, Phys. Rev. B 56, 9352 (1997).

Company (1953), Vol. 2, p. 148.

456