Лёд и Снег · 2020 · Т. 60 · № 4

УДК 532.5

doi: 10.31857/S2076673420040060

Конвекция воздуха в снежном покрове морского льда

¹Арктический и Антарктический научно-исследовательский институт, Санкт-Петербург, Россия;

²Всероссийский научно-исследовательский институт рыбного хозяйства и океанографии, Москва, Россия;

³Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия

*bogorodski@aari.ru

Air convection in snow cover of sea ice

P.V. Bogorodskiy^1*, V.A. Borodkin¹, V.Yu. Kustov¹, А.А. Sumkina^2,3

¹Arctic and Antarctic Research Institute, St. Petersburg, Russia; ²Russian Federal Research Institute of Fisheries and Oceanography,

Moscow, Russia ³Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia

*bogorodski@aari.ru

Received August 21, 2019 / Revised March 27, 2020 / Accepted June 10, 2020

Keywords: convective instability, critical Rayleigh number, thermodynamic model.

Summary

For the first time, data on stability of stationary convective filtration within infinite horizontal layer of snow cov-

ering the flat surface of floating ice is presented in this article. An analytical solution of the linearized problem

was obtained with the use of the Galerkin method, and the parametric analysis of the problem was performed.

It was found that the stability criteria (Rayleigh filtration numbers) obtained with consideration for the heat

exchange of snow cover with the atmosphere did not exceed the known value of 4π² for a horizontal porous

layer with impermeable isothermal boundaries. As expected, the interaction with the atmosphere has the most

significant impact on the critical Rayleigh numbers, while influence of variations in snow density and ice thick-

ness and the thickness of the underlying layer of ice are small. Based on data of ice and meteorological obser-

vations made in the winter of 2015/16 in the Western part of the Laptev Sea together with calculations of the

fast ice evolution, the values and temporal variability of temperature gradients and the Rayleigh numbers in the

snow cover were obtained using a thermodynamic model. It was found that both, the model and observed mag-

nitudes, exceeded their critical values determined by solving the stability problem. The conclusion is made that

the convective regime of the heat transfer does really exist in the snow cover, and thus its contribution to the

thermal and mass balance of sea ice during winter period should be taken into account.

Citation: Bogorodskiy P.V., Borodkin V.A., Kustov V.Yu., Sumkina А.А. Air convection in snow cover on the sea ice. Led i Sneg. Ice and Snow. 2020. 60 (4):

557-566. [In Russian]. doi: 10.31857/S2076673420040060.

Поступила 21 августа 2019 г. / После доработки 27 марта 2020 г. / Принята к печати 10 июня 2020 г.

Ключевые слова: конвективная неустойчивость, критическое число Рэлея, термодинамическая модель.

Построено решение задачи устойчивости воздуха в снежном покрове на морском льду. Рассмот-

рены различные варианты динамических и тепловых граничных условий, проведено параметриче-

ское исследование задачи. Выполнено сравнение данных моделирования с результатами расчётов

для реальных ледовых и метеорологических условий.

Введение

крове на плавающих льдах, нахождение которых

на поверхности воды в холодное время года обес-

Природные льды, как правило, покрыты

печивает необходимый перепад температуры на

слоем снега, состоящего из ледяного скелета и

его внешних границах. Безусловно, что из-за ва

наполненных паровоздушной смесью пор [1].

риаций давления у поверхности причиной на

При превышении вертикальным градиентом

рушения теплового режима снежного покрова

температуры некоторого порогового значения

может стать ветер, однако для этого его скорость

внутри снега начинается конвекция, значитель

должна превышать 10 м/с [3]. Другие возможные

но интенсифицирующая его тепло- и массо

причины ветровой накачки не столь значитель

обмен с граничащими средами [2]. Особенно

ны. Быстрое возмущение давления воздуха, вы

благоприятные условия для возникновения не

званное турбулентностью, незначительно из-за

устойчивости воздуха создаются в снежном по

высокой частоты и низкой амплитуды. Измене

 557 

Морские, речные и озёрные льды

ние барометрического давления вызывает сжа

ризуется коэффициентами пористости ε, про

тие и расширение воздуха в поровом простран

ницаемости K, теплопроводности λ_s и удельной

стве, но его скорость слишком незначительна,

теплоёмкости c_s, лёд - коэффициентом тепло

чтобы иметь сколько-нибудь значимый эффект.

проводности λ_i. Поры снега заполнены возду

Задача устойчивости равновесия воздуха в одно

хом, который считается насыщенным, с плот

родном слое снега рассматривалась в ряде работ,

ностью ρ_a, коэффициентами кинематической

начиная, по-видимому, с [2], однако её океано

вязкости ν, удельной теплоёмкостью с_a и тепло

логический аспект всё ещё изучен мало.

вым расширением β. Используется следующее

Цель настоящей работы состоит в определе

уравнение его состояния: ρ_a = ρ₀(1-βT), где ρ₀ -

нии условий возникновения макроскопического

среднее значение плотности; T - температура.

движения воздуха в снежном покрове морского

В состоянии равновесия градиент температуры

льда и возможности их реализации в естествен

в слое снега A = (T₀ - T_b)/ξ_s, где индексы «0» и «b»

ных условиях. Для её достижения получено ана

относятся к поверхностям «снег-лёд» и «воздух-

литическое решение линеаризованной зада

снег» соответственно. Обычно для исследования

чи устойчивости, описываемое общей системой

устойчивости вводятся нормальные возмущения,

уравнений гидродинамики, содержащей уравне

пропорциональные exp[(-ωt) + i(k_xx + k_yy)], где

ния движения, переноса тепла и неразрывности.

ω - декремент затухания; t - время; k_x и k_y - вол

Для различных типов граничных условий оце

новые числа. Задача для нейтральных монотонных

нены критические параметры основного уров

возмущений (ω = 0) в приближении Дарси-Бус

ня неустойчивости равновесия воздуха с учётом

синеска хорошо известна [4-6] и в терминах без

тепло- и массообмена поверхности снега с ат

размерных амплитуд вертикальной компоненты

мосферой и льдом. Показано, что при типичных

скорости W и возмущений температуры в снеге θ и

значениях теплофизических параметров возду

во льду θ_i может быть записана в следующем виде:

ха, льда и воды основной вклад в изменение кри

W" - k²W = -k²Raθ;

(1а)

терия неустойчивости (фильтрационного числа

θ" - k²θ = -W;

(1б)

Рэлея) вносит энергообмен снежного покрова с

θ_i" - k²θ_i = 0,

(1в)

атмосферой, а влияние естественных вариаций

плотности снега и толщины льда незначитель

где Ra = εgβKA ξs2M/νχ_s - фильтрационное число

но. С помощью расчётов по термодинамической

Рэлея; k² = kx2 + ky2; k_x и k_y - волновые числа;

модели и данным ледовых и метеорологических

M = (ερ_ac_a/ρ_sc_s)(1+Ls2ρw0 /R_wΘ₀₂ρ_ac_a) - коэффици

наблюдений на стационаре Арктического и Ант-

ент, учитывающий процессы конденсации и ис

арктического научно-исследовательского инсти

парения пара при движении воздуха в снеге;

тута «Мыс Баранова» (архипелаг Северная Земля,

χs = (λs /ρscs)(1+L²ρw0 λs /RwDwΘ02) - эффективный

запад моря Лаптевых) зимой 2015/16 г. оценены

коэффициент температуропроводности; ρw0 - на

значения и временнáя изменчивость чисел Рэлея.

сыщающая плотность пара при 0 °С; R_w и D_w - га

Проанализирована возможность возникновения

зовая постоянная и коэффициент диффузии во

конвективного режима теплопередачи в реальном

дяного пара в воздухе соответственно; Θ₀ = 273 K;

снежном покрове, сделан вывод о необходимости

L_s - удельная теплота испарения снега; штрихи

учёта его вклада в тепловой и массовый баланс

обозначают дифференцирование по z.

морского льда в зимний период.

Верхняя граница снега (z = 1) может быть как

проницаемой, так и (в случае смерзания снеж

ных кристаллов) непроницаемой для воздуха.

Постановка и решение задачи

В первом случае (вариант «а») граничное усло

вие получается из обращения в ноль горизон

Для определения порога неустойчивости рас

тального градиента давления, во втором (вари

сматривается слой снега плотностью ρ_s и вы

ант «б») - нормальной компоненты скорости

сотой ξ_s на поверхности морского льда тол

фильтрации. Температурным граничным усло

щиной ξ_i. Начало координат выбирается на их

вием для этой границы служит пропорциональ

общей границе, ось z направлена вертикально

ность плотности теплового потока возмущению

вверх, оси x и y - горизонтально. Снег характе

температуры. На границе раздела снега и льда

 558 

П.В. Богородский и др.

(z = 0) ставятся условия её непроницаемости,

Порог неустойчивости

непрерывности температуры и теплового пото

ка. На границе льда и воды (z = -ξ) температура

Вид функций (3) зависит от характеристик

фиксирована и равна температуре замерзания.

контактирующих сред, входящих в безразмер

Таким образом, амплитуды возмущений опре

ные комплексы h, λ и ξ и представляющих собой

деляются из системы обыкновенных линейных

параметры задачи. Наибольшую изменчивость

однородных уравнений с однородными гранич

теплофизических свойств из-за вариаций плот

ными условиями:

ности имеет снег [8], свойства воздуха и льда в

рамках настоящей постановки задачи можно

W(0) = 0, θ(0) = θ_i(0), λθ_i'(0) = θ'(0);

(2а,б,в)

считать постоянными. Согласно [9], плотность

θ'(1) + h θ(1) = 0, W(1) = 0 или W'(1) = 0;

(2г,д)

снегав арктическом бассейне растёт от 250 кг/м³

θ_i(-ξ) = 0,

(2е)

в сентябре до 320 кг/м³ в мае и в среднем близка

где λ = λ_i/ λ_s; ξ = ξ_i/ ξ_s; h = (ρ_ac_aξ_sU / ρ_sc_sχ_s) ×

к 292,5 кг/м³. Соответствующие ей величины ко

× (1 + ρw0 Ls2/ρ_ac_aR_wΘ₀₂) - безразмерный коэф

эффициентов теплопроводности, пористости и

фициент теплоотдачи (число Био); U - характер

проницаемости снега могут быть найдены по

ная скорость потока воздуха вблизи поверхности.

простым зависимостям: λ_s = 10^-3ρ_s, ε = 1-ρ_s/ρ_i и

Краевая задача (1) - (2) относится к харак

K = 1,096 ·10^-8exp(-0,00957ρ_s) [10, 11]. Для рас

теристическим; её собственными числами явля

чётов использовались следующие значения теп-

ются критические числа Рэлея, а собственными

лофизических параметров сред: ε = 0,68;

функциями - амплитуды критических возмуще

K = 6,67·10^-8 м²; λs = 0,29 Вт/(м

°С);

ний. Соответствующие нейтральные кривые в

с_s = 1,38·10³ Дж/(кг °С); L_s = 2850·10³ Дж/кг;

плоскости Ra, k разграничивают области устой

χs = 4·10^-8 м²/с; ca = 10³ Дж/(кг °С); ρ = 1,29 кг/м³;

чивости и неустойчивости и позволяют найти ми

ρw0 = 6,2·10-4 кг/м3; ν = 1,308·10-5 м2/с;

нимальные значения числа Ra. Приближённое

β = 3,67·10^-3 1/°С; R_w = 4,6·10³ Дж/(кг °С);

решение в аналитической форме может быть по

ρ_i = 910 кг/м³; λ_i = 2,23 Вт/(м °С). Это позволяет

лучено методом Галеркина. Аппроксимируя ско

приближённо оценить коэффициенты M и h

рость функцией W = sin(nπz/2) для варианта «а»

значениями 1,7 и 8·10³ξ_sU соответственно [5, 12].

и W = sin(nπz) для варианта «б», после ряда стан

Толщина морского льда, как правило, суще

дартных для метода процедур (математический

ственно превосходит высоту снега (при ξ_i < 5 см

формализм описан в работе [7]) для основного

ξ_s = 0; при 5 ≤ ξ_i ≤ 20 см ξ_i = 20ξ_s; при 20 см < ξ_i

уровня неустойчивости (n = 1) для вариантов «а»

ξi = 10ξs [13]), так что типичным для ξ, по-

и «б» получаются следующие формулы:

видимому, является интервал 2,5 ≤ ξ < ∞ (значения

ξ < 2,5, ведущие к перегрузке льда и погружению

(3а)

границы снег-лёд в воду, не рассматривались).

Поскольку задача - многопараметриче

ская, при расчётах минимальных критических

чисел Ra_min и соответствующих значений вол

(3б)

новых чисел k_min использовалась вариация од

ного из параметров при неизменности двух дру

гих (таблица). Как и ожидалось, для открытой

поверхности снега числа Ra_min оказались почти

в два раза меньше, чем для закрытой, а числа

k_min примерно в полтора раза больше. Такое по

вышение порога устойчивости, как и смеще

ние волновых чисел в коротковолновую часть

спектра, связано со стабилизирующим действи

ем вязких сил вблизи непроницаемой границы.

При этом наибольшее влияние на увеличение

Ra_min для обоих вариантов граничных условий

оказало число Био, вариации которого от 0 до ∞

 559 

Морские, речные и озёрные льды

пературу его внешних границ T_b и T₀из данных

Минимальные критические значения Ra_min и k_min горизон-

тального слоя снега при различных параметрах задачи

метеонаблюдений. Модель реализует вариант

Граничные условия

классической фронтальной схемы (Стефана), в

Параметры

вариант «а»

вариант «б»

котором лёд и морская вода разделены плоской

постоянные

меняющиеся

Ra_min

k_min

Ra_min

k_min

границей фазового перехода ξ_i(t), движущейся

b = 0

9,29

1,48

38,23

3,03

вглубь за счёт охлаждения контактирующей с ат

λ= 8; h = 10

b = 10

21,49

2,07

38,31

3,05

мосферой верхней границы, температура кото

b = 1000

27,76

2,18

38,34

3,05

рой находится из уравнения теплового баланса.

λ = 6,97

21,32

2,06

38,04

3,02

Турбулентные потоки явного и скрытого тепла

b = 10; h = 10

λ = 7,62

21,46

2,07

38,27

3,04

рассчитываются по интегральным аэродинами

λ = 8,92

21,59

2,08

38,48

3,06

ческим формулам, длинноволновый радиаци

h = 3

21,49

2,07

38,31

3,05

онный баланс - по линеаризованной формуле

b = 10; λ = 8

h = 100

21,49

2,07

38,31

3,05

Ангстрёма [15]. Коротковолновая радиация иг

h = 1000

21,49

2,07

38,31

3,05

норируется. Поток тепла через снежно-ледяной

покров принимается постоянным, что означает

соответствуют переходу от теплоизолированной

самоподобное изменение температуры с глуби

границы к изотермической.

ной (температурный профиль T(z,t) считается

Физически это объясняется увеличением эф

линейной функцией координаты z) и позволяет

фективных размеров области развития возмуще

пренебречь производной температуры по време

ний из-за распространения в них температурных

ни в уравнении теплопроводности из-за более

волн. Основное увеличение порога неустойчиво

быстрого, по сравнению со временем движения

сти для вариантов «а» и «б» соответствует повыше

фронта кристаллизации, установления темпера

нию безразмерного коэффициента теплоотдачи

турного поля во льду. В этом случае положение

от нуля до величин порядка 10²; его дальнейший

неизвестной границы ξ_i(t) определяется из усло

рост практически не влияет на рост Ra_min. Расчёты

вия Стефана в виде

также показали, что в пределах наблюдаемых ва

риаций плотности снега и толщин нижележащего

слоя льда их влияние на порог неустойчивости не

(4)

значительно. Для непроницаемой верхней грани

цы при стремлении к идеально теплопроводным

где T₀ = [T_b(t)ξ_i(t)λ_s + k_iλ_s(t)T_f]/[ξ_i(t)λ_s + ξ_s(t)λ_i];

границам значения Ra_min и k_min стремятся к своим

ξi0 - начальная толщина льда; T_f = T_eq - γS -

известным предельным величинам - 4π² (39,48) и

температура замерзания морской воды солёно

π [7]. Критический градиент температуры в снеж

стью S; T_eq и γ - константы; L - скрытая теплота

ном покрове для принятых значений параметров

фазового перехода.

снега примерно равен 18,85·10^-3 Ra/ξs2; его превы

В качестве атмосферного форсинга моде

шение приводит к возникновению конвективных

ли использовались среднесуточные значения

потоков воздуха с горизонтальными масштабами

данных стандартных измерений температу

порядка 2πξ_s/k_s [5]. Согласно данным таблицы,

ры и влажности воздуха, атмосферного давле

для слоя снега высотой 0,2 м это даёт значения

ния, скорости ветра и общей облачности зимой

градиентов от 4,4 до 13,1 °С/м и размеров от 0,8

2015/16 г. на стационаре ААНИИ «Мыс Барано

до 0,6 м для варианта «а» и от 17,9 до 18,1 °С/м и

ва» [16], расположенном на южном берегу про

около 2 м для варианта «б».

лива Шокальского (рис. 1). Динамика высоты

снежного покрова задавалась данными 22 серий

морфометрических измерений, выполненных в

Наблюдения и расчёты

этот же период на ледовом полигоне стациона

ра размером 100 × 80 м в узлах регулярной сетки

Для оценки температурных градиентов и

с шагом 20 м (35 точек). Полигон располагался

чисел Рэлея в реальном снежном покрове ис

на ровном участке припая бухты Амба, макси

пользовалась термодинамическая модель льдо

мально удалённом от торосов, застругов, надду

образования [14], позволяющая рассчитать тем

вов и других неоднородностей снежно-ледяного

 560 

П.В. Богородский и др.

Рис. 1. Архипелаг Северная Земля.

Район исследований (стационар ААНИИ «Мыс Баранова») отмечен красным кружком

Fig. 1. The Severnaya Zemlya Archipelago.

The study area (AARI Station «Mys Baranova») is marked with a red circle

покрова на расстоянии около 0,6 км от берега и

рение температуры с дискретностью 30 мин и

0,7 км от метеостанции. Периодичность измере

пространственным разрешением 2 см в период с

ний высоты снега и толщины льда, для которых

5 января по 26 марта 2016 г. позволило достаточ

использовались снего- и ледомерные рейки, со

но точно измерить как температуру на границах

ставляла 10 дней до достижения последним тол

снега и льда, так и их толщину по характерным

щины 1 м и 15 дней - после.

точкам перегиба температурных профилей (см.

Помимо модельных расчётов, градиенты тем

рис. 2, б). К сожалению, к началу наблюдений

пературы и числа Рэлея оценивались по данным

она уже в 4-5 раз превышала толщину молодых

прямых измерений в слоях воздуха, снега, льда и

льдов, которые вносят основной вклад в форми

воды с помощью цепочки из 240 малоинерцион

рование среднего потока тепла через ледяной по

ных термодатчиков (термокосы) SIMBA Финско

кров в зимний период [15].

го метеорологического института [17], вморожен

ных в лёд вблизи полигона. Первые 15 датчиков

располагались над верхней границей льда, вторые

Результаты

15 шли по ней, остальные размещались в толще

замерзающей воды (рис. 2, а). Относительно не

Термодинамическая модель (4) интегри

высокая точность датчиков (±0,2 °C) компенси

ровалась на 211 суток - с начала становления

ровалась их высокой чувствительностью (0,06 °C)

припая до начала его интенсивного солнечного

и стабильностью показаний. Синхронное изме

прогрева (1 октября 2015 г. - 1 мая 2016 г.). Сне

 561 

Морские, речные и озёрные льды

Рис. 2. Схема размещения датчиков термокосы в снежно-ледяном покрове и подлёдном слое пролива Шо

кальского (а) и измеренный ей типичный профиль температуры (б)

Fig. 2. Layout of thermistor string installed in ice cover (a) and the typical temperature profile measured by it (б)

гонакопление на льду отставало от начала льдо

мерное нарастание и отсутствие подвижек в

образования на 12 сут., солёность воды счита

период становления, перепад высот снега в пер

лась постоянной и равной 30 ‰. Зима 2015/16 г.

вых числах апреля на полигоне достигал 21 см

характеризовалась сильной изменчивостью по

(рис. 4, а), толщин льда - 26 см (см. рис. 4, б).

годных условий, типичной для западной части

При таком разбросе значений лучшая согласо

моря Лаптевых. Среднесуточные значения тем

ванность результатов наблюдений и модели

пературы и влажности воздуха колебались от 0

рования маловероятна; из-за детерминистиче

до -32 °С и от 63 до 98%, атмосферного давле

ского характера термодинамической модели,

ния - от 970 до 1040 дБ, скорости ветра - от 0 до

противоречащего стохастической природе про

20 м/с и общей облачности - от 0 до 10 баллов.

цессов, формирующих толщину льда в конкрет

Как следствие, интенсивность составляющих

ном месте, модельная оценка может не совпа

теплового баланса подстилающей поверхности

дать с измеренными значениями.

варьировала в широких пределах. Об этом сви

Особенность градиентов A (рис. 5, а) и чисел

детельствует и динамика коэффициента тепло

Ra (см. рис. 5, б) за весь ледовый период, вы

обмена, соответствующая колебаниям высоты

численных по модельным оценкам температуры

снега и скорости ветра (рис. 3, а).

подстилающей поверхности и границы раздела

Судя по данным расчётов, простая термо

«снег-лёд» (кривые 1), - убывающий характер

динамическая модель (4) достаточно адекват

первых и возрастающий - вторых, объясняет

но воспроизвела рост припая в бухте Амба (см.

ся как понижением температуры воздуха, так и

рис. 3, б). Некоторое завышение (до 10 см) мо

ростом высоты снежного покрова. Нетрудно за

дельной толщины льда в течение первых 60 сут.

метить, что даже при исключении из расчётов

нарастания и небольшое занижение (до 5 см)

ветреных дней со скоростью ветра выше 10 м/с

после 75 сут. по сравнению с измеренными объ

эти оценки многократно превосходят критиче

ясняется, прежде всего, естественной неодно

ские значения, полученные из решения задачи

родностью снежно-ледяного покрова, а также

устойчивости (1)-(2). То же самое можно ска

вариациями теплофизических характеристик

зать и о величинах A и Ra, построенных по дан

снега, принятых в расчётах постоянными. Из

ным термометрических измерений (кривые 2).

мерения показали, что, несмотря на равно

Сходный характер обоих распределений с 5 ян

 562 

Морские, речные и озёрные льды

тренных планами ледовых исследований на ста

ционаре ААНИИ.

На основе наблюдений, по-видимому, мо-

жет быть прояснён важный вопрос о величине

вклада конвективного потока воздуха в тепло

перенос, остающийся из-за сложности тепло

обмена между обеими фазами снега в рамках

настоящей работы открытым. Однако прибли

зительно оценить его эффективность можно ис

ходя из известной физической закономерности

для свободной конвекции, связывающей числа

Нуссельта Nu и Рэлея Ra:

Nu = BRa^m,

(5)

где В и m - независимые от толщины слоя кон

станты.

Полагая, что процесс нарастания неустойчи

вости воздуха, насыщающего пористый слой, по

аналогии с горизонтальным слоем жидкости [18]

носит циклический характер и что в момент до

стижения поверхностью максимального охлаж

дения имеет место равенство Nu = 1, из (5) сле

дует, что

B = 1/Ra_min,

(6)

Рис. 5. Динамика градиента температуры (а) и чисел

поскольку для горизонтального пористого слоя

Рэлея (б), рассчитанных по данным моделирования с

Nu~Ra [19] (для сравнения: для жидкости

1 октября 2015 по 17 мая 2016 г. (1) и прямых измере

ний 5 января - 26 марта 2016 г. (2)

Nu~Ra^1/3). Подстановка данных таблицы в (5) -

(6) приводит к 0,0465 < B < 0,1076 для варианта

Fig. 5. Dynamics of temperature gradient (a) and Ray

leigh numbers (b) calculated according to the simulation

граничных условий «а» и 0,0260 < B < 0,0262 -

data from 1 October 2015 to 17 May 2016 (1) and the ther

для варианта «б». Последнее даёт зависимость,

mal observations data from 5 January to 26 March 2016 (2)

достаточно близкую к Nu~0,0297Ra в случае

Ra > 250 для горизонтального пористого слоя с

варя по 26 марта 2016 г. закономерно объясня

изотермическими непроницаемыми граница

ется линейной зависимостью числа Рэлея от

ми [20]. Таким образом, при величине примерно

градиента температуры в условиях практиче

в 10-40 раз меньше чисел Рэлея (см. рис. 5, б)

ски постоянной высоты снега. Видно, что при

числа Нуссельта колеблются от 10 до 150, харак

сопоставимом характере распределений чисел

теризуя соответствующее превышение суммар

А и Ra амплитуды кривых 1 меньше, чем кри

ного (т.е. обусловленного конвекцией и диффу

вых 2, при том, что средние величины первых

зией паровоздушной смеси) теплового потока

несколько ниже. Это можно объяснить как есте

над чисто диффузионным.

ственной неравномерностью толщин и высот

снега и льда, так и методическими погрешно

стями определения температур внешних границ

Выводы

снежного покрова и, прежде всего, температуры

подстилающей поверхности контактными ме

Критические числа Рэлея, полученные из ре

тодами. Для их минимизации необходима по

шения линеаризованной задачи для основно

становка дистанционных измерений с помощью

го уровня неустойчивости, не превышают из

акустических высотомеров, электромагнитных

вестного для горизонтального пористого слоя

толщиномеров и ИК-радиометров, предусмо

с непроницаемыми изотермическими грани

 564 

П.В. Богородский и др.

цами значения 4π². Наибольшее влияние на их

атмосферы с замерзающим морем, особенно в

величину оказывает взаимодействие с атмо-

начальный период льдообразования, наиболее

сферой, тогда как влияние вариаций плотности

интенсивный с точки зрения теплового и дина

снега и толщины нижележащего слоя льда не

мического взаимодействия обеих сред.

велико. Несмотря на известные издержки мо

дельного и наблюдательского подходов в опре

Благодарности. Авторы выражают признатель

делении чисел Рэлея, связанные, прежде всего,

ность инженеру В.В. Мовчану за помощь в про

с недостатками используемых параметризаций,

ведении термометрических измерений. Работа

пространственной неоднородностью толщины

выполнена при поддержке Минобрнауки РФ

снежно-ледяного покрова и методикой изме

(проект RFMEFI61617X0076 «Изменчивость

рений, существенное превышение рассчитан

Арктической трансполярной системы»).

ными величинами параметров неустойчивости

своих пороговых значений не вызывает сомне

Acknowledgements. The authors are gratitude to engi

ний. Конвективная составляющая суммарного

neer V.V. Movchan for the assistance in carrying out

теплового потока в поровом пространстве снеж

thermometric measurements. This study was support

ного покрова на один-два порядка превыша

ed by the Ministry of Science and Higher Education

ет диффузионную, что указывает на необходи

of the Russian Federation (project «Changing Arctic

мость её учёта в энерго-, массо- и газообмене

Transpolar System» RFMEFI61617X0076).

Литература

References

1. Снег: Справочник / Ред. Д.М. Грей, Д.Х. Мэйл. Л.:

1. Gray D.M., Mail D.H. Sneg. Snow. Leningrad: Hydro

Гидрометеоиздат, 1986. 751 с.

meteoizdat, 1986: 751 p. [In Russian].

2. Palm E., Tveitreid M. On heat and mass flux through

2. Palm E., Tveitreid M. On heat and mass flux through dry

dry snow // Journ. of Geophys. Research. 1979. V. 84.

snow. Journ. of Geophys. Research. 1979, 84: 745-749.

P. 745-749.

3. Colbeck S.C. Air movement in snow due to windpump

3. Colbeck S.C. Air movement in snow due to wind

ing. Journ. of Glaciology. 1989, 35 (120): 209-213.

pumping // Journ. of Glaciology. 1989. V. 35. № 120.

4. Powers D., O’Neill K., Colbeck S.C. Theory of natu

P. 209-213.

ral convection in snow. Journ. of Geophys. Research.

4. Powers D., O’Neill K., Colbeck S.C. Theory of natural

1985, 90 (D6): 10641-10649.

convection in snow // Journ. of Geophys. Research.

5. Zhekamukhov M.K., Zhekamukhova I.M. On convective

1985. V. 90. № D6. P. 10641-10649.

instability of air in snow cover. Inzhenerno-Fizicheskiy

5. Жекамухов М.К., Жекамухова И.М. О конвектив

Zhurnal. Journ. of Eng. Physics and Thermophysics.

ной неустойчивости воздуха в снежном покрове //

2002, 75 (4): 65-72. [In Russian].

Инж.-физ. журнал. 2002. Т. 75. № 4. С. 65-72.

6. Zhekamukhov M.K., Shukhova L.Z. Convective instabil

6. Жекамухов М.К., Шухова Л.З. Конвективная не

ity of air in the snow. Prikladnaya Mekhanika i Tekh-

устойчивость воздуха в снеге // Журнал приклад

nicheskaya Fizika. Journ. of Applied Mechanics and

ной механики и технической физики. 1999. Т. 40.

Technical Physics. 1999, 40 (6): 54-59. [In Russian].

№ 6. С. 54-59.

7. Gershuni G.Z., Zhukhovitsky E.M. Konvektivnaya ustoy-

7. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная

chivost' neszhimayemoy zhidkosti Convective stability of

устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука,

incompressible fluid. Moscow: Nauka, 1972: 392 p. [In

1972. 392 с.

Russian].

8. Осокин Н.И., Сосновский А.В., Чернов Р.А. Коэф

8. Osokin N.I., Sosnovskiy A.V., Chernov R.A. Effective

фициент теплопроводности снега и его измен

thermal conductivity of snow and its variations. Krios-

чивость // Криосфера Земли. 2017. Т. XXI. № 3.

fera Zemli. Earth’s Cryosphere. 2017, XXI (3): 60-68.

С. 60-68.

[In Russian].

9. Warren, S.G., Rigor I G., Untersteiner N., Radionov V.F.,

9. Warren S.G., Rigor I.G., Untersteiner N., Radionov V.F, Bry-

Bryazgin N.N., Aleksandrov Y.I., Colony R. Snow depth

azgin N.N., Aleksandrov Y.I., Colony R. Snow depth on

on Arctic sea ice // Journ. of Climate. 1999. V. 12.

Arctic sea ice. Journ. of Climate. 1999, 12 (6): 1814-1829.

№ 6. P. 1814-1829.

10. Pavlov A.V. Monitoring kriolitozony. Monitoring of

10. Павлов А.В. Мониторинг криолитозоны. Новоси

cryolithozone. Novosibirsk: Geo, 2008: 229 p. [In

бирск: Изд-во «Гео», 2008. 229 с.

Russian].

 565 

Морские, речные и озёрные льды

11. Sommerfeld R.A., Rocchio J.E. Permeability measure

ments on new and equitemperature snow // Water Re

ments on new and equitemperature snow. Water Re

sources Research. 1993. V. 29. № 8. Р. 2485-2490.

sources Research. 1993, 29 (8): 2485-2490.

12. Жекамухова И.М. О коэффициентах теплопро

12. Zhekamukhova I.M. On the coefficients of thermal con

водности и диффузии водяного пара в снежном

ductivity and diffusion of water vapor in the snow cover.

покрове // Инж.-физ. журнал. 2004. Т. 77. № 4.

Inzhenerno-Fizicheskiy Zhurnal. Journ. of Eng. Physics

С. 128-131.

and Thermophysics. 2004, 77 (4): 128-131. [In Russian].

13. Доронин Ю.П. К вопросу о нарастании морского

13. Doronin Yu.P. On the issue of increasing sea ice. Prob-

льда // Проблемы Арктики и Антарктики. 1959.

lemy Arktiki i Antarktiki. Problems of Arctic and Ant

№ 1. С. 78-83.

arctic. 1959, 1: 78-83. [In Russian].

14. Богородский П.В., Марченко А.В., Пнюшков А.В.,

14. Bogorodsky P.V., Marchenko A.V., Pnyushkov A.V.,

Огородов А.С. Особенности формирования при

Ogorodov A.S. Formation of fast ice and its influence

пайного льда в береговой зоне замерзающих

on the coastal zone of the Arctic seas. Okeanologiya.

морей // Океанология. 2010. Т. 50. № 3. С. 345-

Oceanology. 2010, 50 (3): 345-354. [In Russian].

354.

15. Makshtas A.P. Teplovoy balans arkticheskikh l'dov v

15. Макштас А.П. Тепловой баланс арктических

zimniy period. Heat balance of Arctic ice in the winter

льдов в зимний период. Л.: Гидрометеоиздат, 1984.

period. Leningrad: Hydrometeoizdat, 1984: 66 p. [In

66 с.

Russian].

16. Электронный ресурс: http://www.aari.ru/main.

16. http://www.aari.ru/main.php?lg=0&id=405.

php?lg=0&id=405.

17. http://data.meereisportal.de/data/datenportal/bojen/

17. Электронный ресурс: http://data.meereisportal.de/

doc/info_Thermistor.pdf.

data/datenportal/bojen/doc/info_Thermistor.pdf.

18. Fedorov K.N., Ginsburg A.I. Pripoverkhnostniy sloy

18. Федоров К.Н., Гинзбург А.И. Приповерхностный

okeana. The subsurface layer of the Ocean. Leningrad:

слой океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1988. 303 с.

Hydrometeoizdat, 1988: 303 p. [In Russian].

19. Cherkaoui A.S.M., Wilcock W.S.D. Characteristics of

high Rayleigh number two-dimensional convection in

an open-top porous layer heated from below // Journ.

an open-top porous layer heated from below. Journ. of

of Fluid Mechanics. 1999. V. 394. P. 241-260.

Fluid Mechanics. 1999, 394: 241-260.

20. Otero J., Dontcheva L.A., Jonston H., Worthing R.A.,

Kurganov A., Petrova G., Doering C.R. High-Rayleigh

number convection in fluid-saturated porous layer //

number convection in fluid-saturated porous layer.

Journ. of Fluid Mechanics. 2004. V. 500. P. 263-281.

Journ. of Fluid Mechanics. 2004, 500: 263-281. doi:

doi: 10.1017/S0022112003007298.

10.1017/S0022112003007298.

 566 