Лёд и Снег · 2020 · Т. 60 · № 4

УДК 559.3/5

doi: 10.31857/S2076673420040066

Волновые структуры в ледяном поле и их влияние на прочность солёного льда

¹Институт проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, Россия; ²Крыловский государственный научный

центр, Санкт-Петербург, Россия; ³Санкт-Петербургский морской технический университет, Санкт-Петербург, Россия

*evp@ipmnet.ru

Wave structures in the ice field and influence of them on the strength of salt ice

V.P. Epifanov^1*, K.E. Sazonov^2,3

¹Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia;

²Krylov State Research Center, St. Petersburg, Russia; ³Saint-Petersburg State Maritime Technical University, St.Petersburg, Russia

*evp@ipmnet.ru

Received May 19, 2020 / Revised July13, 2020 / Accepted September 9, 2020

Keywords: dynamic metamorphism, ice field, interference, local hardness, spatial-temporal variability.

Summary

The heterogeneity of the strength of the ice field of the dynamic type of formation with an area of 800 m²

was investigated in time and space. It is shown that stationary periodic wave structures are formed in a

closed volume of an ice field lying on the surface of a liquid in a rectangular basin. In a case of absence of

any external influences, the dominant source of elastic waves in the ice is the coherent radiation of them

on freezing of water, i.e. the ice field itself. Another wave structures, i.e. standing waves, form secondary

ice textures in the ice field with diminished strength. Local hardness of ice was chosen as the criterion of

strength. The recurrence of local hardness values as a function of coordinates of the measurement points in

the longitudinal and transverse profiles of the ice field was determined. The hardness values vary from 40 to

60% with an axial force measurement error of 5%. The experimental relations are approximated by periodic

curves, in which the maxima and minima of local hardness correlate with the nodes and antinodes of stand-

ing waves, respectively. The decrease in local ice hardness in the secondary textures is explained by high-fre-

quency dynamic metamorphism. The wavelengths corresponding to bending-gravitational and longitudinal

waves are identified, with the interference of which stationary periodic wave structures are formed. A simi-

lar regularity of changes in local hardness was revealed also in a river ice. The results obtained allow us to

consider nonlinear wave phenomena as one of the factors controlling the spatial-temporal variability of the

ice strength characteristics.

Citation: Epifanov V.P., Sazonov K.E. Wave structures in the ice field and influence of them on the strength of salt ice. Led i Sneg. Ice and Snow. 2020.

60 (4): 623-636. [In Russian]. doi: 10.31857/S2076673420040066.

Поступила 19 мая 2020 г. / После доработки 13 июля 2020 г. / Принята к печати 9 сентября 2020 г.

Ключевые слова: динамический метаморфизм, интерференция, ледяное поле, локальная твёрдость, пространственно-временнáя

изменчивость.

Установлено, что в ледяном поле динамического типа формирования под действием стоячих волн

образуются стационарные периодические волновые структуры. Определены масштабы таких

структур. Изменение локальной твёрдости объясняется высокочастотным динамическим мета-

морфизмом льда в зонах пучностей стоячих волн. Показано, что источником упругих колебаний

может быть когерентное излучение упругих волн при замораживании воды. Формирование анало-

гичных волновых структур в природном льде подтверждено полевыми измерениями твёрдости в

речном ледяном покрове. Нелинейные волновые явления рассматриваются как один из факторов

пространственно-временнóй изменчивости прочностных характеристик льда.

Введение

ных условиях также пытались анализировать

формирование текстур льда с малой динами

В течение длительного времени волновой

ческой вязкостью под действием волн конеч

метаморфизм льда как совокупность деформа

ной амплитуды, включая физическое моде

ционных структурно-текстурных его изменений

лирование движения льда в придонных слоях

в ледяном покрове остаётся объектом научных

ледников [5]. Однако до сих пор недостаточно

исследований, например [1-4]. В лаборатор

изучены вопросы, связанные с влиянием ре

 623 

Прикладные проблемы

зонансных явлений на пространственную из

Предмет исследования, методики и аппаратура

менчивость прочностных свойств льда, а также

сценарии влияния импульсов напряжений или

В качестве представительного объекта ис

волн на процесс разрушения ледяного поля. Ло

следований выбрано ледяное поле моделиро

гическое продолжение исследований волново

ванного льда в ледовом бассейне Крыловского

го метаморфизма льда - физическое моделиро

государственного научного центра [6] площа

вание формирования ледяных полей и прямое

дью 800 м²(длина ледяного поля 80 м, ширина

исследование их пространственно-временных

10 м). С двух сторон по периметру оно примо

прочностных характеристик.

рожено к твёрдым вертикальным стенкам и к

одной торцевой (наклонной) стенке бассейна.

Бассейн прямоугольной формы на 80% (64 м)

Постановка задачи исследований

длины заполнялся водой до уровня 2 м, а остав

шаяся часть (16 м) заполнялась до уровня 4 м.

Цель настоящей работы - изучение влияния

Моделированный лёд готовился путём «засе

волновых процессов на прочность природного

ва» ледяными гранулами водной поверхности

льда в частично замкнутых объёмах. Необходи

воды. Для этого холодная солёная вода распы

мо было установить признаки, характеризую

лялась в атмосфере ледового бассейна при тем

щие повторяемость волновых движений, и опре

пературе воздуха -20 ÷ -25 °С [6]. Осевшие на

делить результаты этих движений. Концепция

поверхность воды ледяные частицы со средним

исследования состоит в том, что из-за неиз

диаметром 0,5 мм «спекались» и формировали

бежных случайных толчков в ледяном поле при

ледяной каркас, подобный снегу. Такой лёд, по

сутствуют малые собственные колебания, ко

классификация Н.В. Черепанова [7], соответ

торые вызывают параметрический резонанс,

ствует льду типа В9. Солёность воды составляет

действие которого проявляется в локальном по

13,2 ‰, льда - 6,7 ‰. Прочность моделирован

вышении пластичности льда. Индикаторами

ного льда на изгиб - 18 кПа, на сжатие - 38 кПа,

волновых процессов при этом становятся вто

модуль деформации Е = 22 МПа, средняя плот

ричные текстуры льда. Для замкнутого объёма

ность - 930 кг/м³ (приведены средние значе

простой формы, например ледового бассейна в

ния); толщина льда - от 40 до 53 мм. С методи

виде прямоугольного параллелепипеда, повто

ческой точки зрения такие свойства льда, как

ряемость волновых движений будет проявлять

низкий модуль упругости и высокая гомологиче

ся в периодичности вторичных текстур, соот

ская его температура (0,95), а также остаточные

ветствующих чередованию пучностей и узлов

напряжения, возникающие при формировании

стоячих волн. В качестве объекта исследова

ледяного поля, наиболее соответствуют выпол

ния выбран солёный лёд - материал, имеющий

нению поставленной задачи исследования.

практическую значимость и заведомо обеспечи

Твёрдость моделированного льда измеряли

вающий большой эффект ввиду низкого моду

с помощью портативного пенетрометра, снаб

ля. Сначала была исследована пространственно-

жённого крестообразным наконечником [8].

временнáя изменчивость прочностных свойств

Наконечник такой формы имеет высокую чув

ледяного поля в ледовом бассейне. В качестве

ствительностью к структуре, поскольку при миде

критерия прочности выбрана локальная твёр

левом сечении 2,5 см² имеет рабочую поверхность

дость, которая многократно определяется в

72,8 см² и при измерениях контактирует с боль

продольных и поперечных профилях ледяно

шим количеством ледяных кристаллов. Синхрон

го поля. Применялся комплексный подход, ос

но с измерениями твёрдости регистрировали па

нованный на акустико-механическом методе.

раметры акустической эмиссии. Число измерений

Эта часть исследований выполнялась в Крылов

локальной твёрдости в продольных и поперечных

ском государственном научном центре (Санкт-

профилях ледяного поля было достаточным для

Петербург) [6]. Затем достоверность формиро

построения аппроксимирующей функции, харак

вания волновых текстур проверялась в условиях

теризующей пространственную неоднородность

естественного залегания на речном льде (река

прочности ледяного поля (до 125 точек на кри

Десна под Москвой).

вую). Структура льда определялась по шлифам

 624 

В.П. Епифанов, К.Е. Сазонов

в поляризованном свете. В условиях залегания

количественное исследование микроструктуры

льда выполняли с помощью акустических мето

дов: акустической эмиссии и импульсно-фазово

го. Комплексный подход позволяет связать мик-

роструктуру льда и акустические характеристики

с макромеханикой льда. Акустические параметры

отражают изменение структуры льда в интеграль

ном виде, поэтому их связь с микроструктурой да

ётся в виде простых уравнений без потери досто

верности. Методики измерений и используемая

аппаратура приведены в работе [8].

Рис. 1. Зависимость твёрдости льда от координаты точ

Результаты исследований

ки измерений в профиле по ширине ледового бассейна:

1 - экспериментальная кривая; 2 - аппроксимация

Типичная зависимость локальной твёрдо

Fig. 1. Dependence of ice hardness on the coordinate of

сти льда от координаты точек измерений в по-

the measurement point in the profile along the width of

перечном профиле ледового бассейна пред

the ice pool:

1 - experimental curve; 2 - approximation

ставлена периодической кривой 1 на рис. 1.

Вариации твёрдости составляют 43±2% в интер

вале от 26 до 60 кПа при ошибке измерений осе

людается максимум локальной твёрдости и эти

вой силы 5%. Локальная твёрдость σ_T определя

максимумы на кривой соответствуют узлам ско

лась путём измерения осевой силы Р, которая

ростей стоячей волны (лёд приморожен к стен

воздействует на наконечник с миделевым сече

ке), максимальное уменьшение прочностных

нием S = 2,5 см², и рассчитывалась по формуле

характеристик льда следует ожидать в пучностях

σ_T = P/S. Периодическое чередование миниму

скоростей стоячей волны. Отметим, что энергия

мов и максимумов на кривой 1 (см. рис. 1) ука

колебаний стоячей волны локализована между

зывает на волновую природу изменения проч

соседними пучностями давления и скорости.

ностных свойств льда. Поскольку в поперечном

Именно в объёмах с характерным размером λ/2

профиле ледяное поле ограничено плоскими па

происходит переход из упругой (потенциальной)

раллельными стенками бассейна, при нормаль

в кинетическую энергию и обратно. Из-за лока

ном падении бегущей волны на границу раздела

лизации циклических деформаций происходит

соприкасающихся сред (льда и бетона) возника

накопление дислокаций и уменьшение локаль

ет стоячая волна. Условия формирования стоя

ной твёрдости (усталостное разупрочнение).

чей волны определяются отношением волновых

Сравнение экспериментальных зависимо

сопротивлений бетона ρ_kV_k и льда ρ₀V₀:

стей локальной твёрдости от точек измерений,

полученных для поперечных профилей на раз

m0k = (ρ_kV_k)/(ρ₀V₀) = (1800·3770)/(980·3800) = 1,8. (1)

ных длинах бассейна, позволяет сделать вывод,

Согласно рассчитанному по соотноше

что плоскости узловых линий параллельны стен

нию (1) значению величины m0k, границу разде

кам бассейна. Данный экспериментальный факт

ла лёд-бетон нельзя считать ни абсолютно жёст

подтверждает также формирование стоячей

кой, ни абсолютно податливой. Часть упругой

волны между стенками бассейна. Проведённые

энергии отразится от стенки бассейна и в виде

эксперименты говорят о волновой природе из

отражённой волны наложится на падающую

менений прочностных свойств льда и конкре

волну. В результате в ледяном поле сформиру

тизируют её функциональную структуру, ха

ется стоячая волна, а во льду будет наблюдаться

рактерную для стоячей волны. Таким образом,

сочетание стоячей и бегущей волн.

экспериментальная кривая локальной твёрдости

Поскольку, согласно экспериментальным

(кривая 1 на рис. 1) представляет собой зеркаль

данным (кривая 1 на рис. 1), вблизи стенок наб-

ное отражение узлов и пучностей стоячей волны.

 625 

Прикладные проблемы

Стоячая волна, как колебания с периодиче

рентное излучение упругих волн при послой

ски изменяющейся амплитудой и с характерным

ном намораживании льда, а также при контакт

пространственным чередованием узлов и пучно

ном взаимодействии льда со стенками бассейна

стей, образуется в результате сложения (интерфе

в процессе замораживания воды (включая тер

ренции) волн. В рассматриваемом случае плоская

мические напряжения).

стоячая волна формируется внутри ледяного поля

Текстура моделированного льда форми

между твёрдыми боковыми стенками бассейна.

руется в результате совместного влияния ква

Если ледяное поле приморожено к идеально твёр

зистатических и динамических напряжений.

дой стенке, то на ней образуются узел скорости и

Динамические напряжения возникают при рас

пучность перепада давления. При сложении пада

пространении во льду упругих волн. В стоячей

ющей и отражённой волн, имеющих одинаковые

волне они локализованы в ограниченных объёмах

амплитуды А₀, частоты и длины волн λ, смеще

льда (между соседними пучностями давления и

ние χ в результирующей (стоячей) волне записы

скорости), в которых и происходят деформацион

вается в виде следующего уравнения:

ные изменения структуры. Именно условия, воз

никающие при переходе потенциальной энергии

χ = (2А₀|sin(2πx/λ)|)cosωt,

(2)

колебаний стоячей волны в кинетическую, ока

где ω - циклическая частота; х, t - переменные

зываются определяющими для реализации дис

значения соответственно длины и времени.

локационного метаморфизма льда. Возникшие в

Поскольку расстояние между соседними уз

этих объёмах льда изменения структуры «замо

лами или пучностями равно λ/2, по экстремумам

раживаются» и рассматриваются как новый эле

на кривой 1 рис. 1 определяется длина волны λ,

мент текстуры ледяного поля. Квазистатические

а уравнение (2) может быть использовано для

напряжения возникают во льду уже при фазо

аппроксимации полученной экспериментальной

вом переходе воды, например, при её послойном

зависимости. При жёстком креплении ледяного

замораживании. Кроме напряжений, которые

поля к стенкам бассейна смещение и скорость

развиваются внутри образующегося слоя льда,

на границе равны нулю, фазы смещения и ско

усиливающее влияние на механизм воздействия

рости меняются на 180°, а коэффициент отраже

упругих волн и на структуру моделированного

ния определяется из соотношения

льда оказывают также термические напряжения,

особенно в условиях бокового стеснения. Влия

Rk0 = (m₀₀ - 1)/(m_kk + 1) = 0,8/2,8 = 0,29.

(3)

ние остаточных напряжений на накопление де

Для условий эксперимента, согласно урав

формационных дефектов и механизм рекристал

нению (3), в лёд возвращается около 30% энер

лизации - предмет дальнейших исследований.

гии падающей волны. Поскольку при отраже

Таким образом, каждое значение измерен

нии волн от границ контакта льда со стенкой

ной твёрдости представляет собой реплику ло

бассейна неизбежны потери энергии, амплитуда

кальной прочности льда, структура которой

отражённой волны оказывается меньше ампли

сформировалась под бóльшим или меньшим

туды падающей волны. Соответственно в узлах

воздействием стоячей волны. Минимальная

амплитуда стоячей волны уменьшается не до

твёрдость льда соответствует пучностям стоячей

нуля, а до некоторого минимального значения,

волны. Именно здесь динамическая вязкость

причём незатухающие стоячие волны могут су

льда уменьшается, а следовательно, снижается

ществовать в ледяном поле только при наличии

и его твёрдость (механизм динамической рекри

источников упругих волн, которые должны ком

сталлизации) [5]. Напротив, максимальное зна-

пенсировать потери энергии.

чение твёрдости отвечает области узловой точки

Условно выделены два типа источников

стоячей волны, в которой скорость деформации

упругих волн - внешние и внутренние. К внеш

минимальна. Чередование максимумов и мини

ним относятся колебания, создаваемые дви

мумов на экспериментальной кривой 1 рис. 1 -

жущейся тележкой, и периодические нагруз

результат накопления деформационных дефек

ки, связанные с осаждением замёрзших капель

тов в характерных объёмах льда. Медленное

воды, включая источники внешних шумов. Под

изменение амплитуды кривой 1 на рис. 1 обус-

внутренними источниками понимается коге

ловлено модуляцией, т.е. наложением, по край

 626 

В.П. Епифанов, К.Е. Сазонов

ней мере, двух колебаний - несущей и модули

ва, например, на оз. Байкал. Дополнительный

рующей частоты. По расстоянию между двумя

локальный нагрев в пучностях стоячей волны

соседними максимумами на эксперименталь

способствует уменьшению зернограничного тре

ной кривой 1 определена длина волны λ = 2 м

ния, снижению предела текучести и увеличению

(продольная волна). В результате аналогичной

пластичности. Можно ожидать, что максималь

процедуры с модулирующей волной (кривая 2)

ная эффективность этих факторов проявится на

установлена длина волны λ = 5 м (изгибно-гра

стадиях кристаллизации воды и формирования

витационная волна). Изгибно-гравитационная

каркаса ледяного поля.

волна длиной λ = 5 м (кривая 2) модулирует про

Для выявления основных закономерностей

дольную волну длиной λ = 2 м (кривая 1) с глу

формирования волновых структур и их влияния

биной модуляции около 0,2. Обычно для иссле

на прочность ледяного поля была выполнена

дования волновых процессов с такой длиной

серия экспериментов. В отличие от предыдущих

волны в качестве датчиков применяют геофоны.

экспериментов измерения локальной твёрдо

В рассматриваемом случае использовано свой

сти выполнялись в продольных профилях ледяно-

ство льда сохранять в «замороженном» виде вто

го поля на разном удалении от стенок бассейна

ричную текстуру льда, которая сформировалась

и в разные промежутки времени после «засева».

в узлах и пучностях стоячей волны и проявля

Такая постановка процедур измерений локаль

ется в периодической зависимости локальной

ной твёрдости предполагала получить ответ на

твёрдости льда от координаты точек измерений.

вопросы, как во времени происходит накопле

Независимое подтверждение такой интер

ние деформационных дефектов и какой фактор

претации выделенных длин волн - оценка фа

можно считать доминирующим в эволюции де

зовой скорости продольной волны. Согласно

формационных дефектов. Первоначально пред

Д.Е. Хейсину [9], при толщине плавающего льда

полагалось, что к основным источникам волн

много меньше длины волны h << λ фазовая ско

относятся технологические вибрации и движу

рость записывается в виде

щаяся нагрузка, создаваемая массой осаждаю

щихся ледяных гранул. Эксперименты показали

V = b{ρ₀(k₀h)³(3(ρ_a + ρ₀k₀h))^-1[1 - (а/b)²]}^1/2,

(4)

(рис. 2), что ледяной каркас образуется посте

где h = 0,041 м; a = (22 МПа/930 кг/м³)^1/2 =

пенно, но процесс его формирования начина

153,8 м/с и b = 0,65 а = 100 м/с - соответст

ется сразу, как только гранулы льда касаются

венно скорости продольных и сдвиговых волн;

свободной поверхности воды. По данным изме

ρ₀, ρ_a - соответственно плотности льда и воды;

рения локальной твёрдости и фотосъёмки мик-

k₀ = 2π/λ - волновое число.

рошлифов условно выделены два этапа форми

Подставляя в формулу (4) значения величин,

рования ледяного каркаса.

соответствующие обозначениям, находим фа

Первый этап. Выполненные через 1 ч после

зовую скорость распространения V = 12,8 м/с

приготовления поля моделированного льда из

и частоту колебаний f = V/λ = 6,4 Гц. Рассчи

мерения локальной твёрдости (кривая 2 на рис. 2)

танные значения фазовой скорости не проти

показали, что твёрдость льда достигла своего

воречат опубликованным в работе [4]. Близ

«половинного» значения. Однако акустические

кая частота колебаний 5 Гц зарегистрирована в

свойства льда и условия на границе его контакта

спектре контактного разрушения при пенетра

со стенками бассейна продолжают непрерывно

ции льда. В рассматриваемом случае необрати

меняться, соответственно смещаются положе

мые изменения структуры льда под действием

ния максимумов и минимумов стоячей волны.

энергии акустической волны происходят в ос

Поэтому чёткие контуры вторичных текстур

новном в результате комбинированного воздей

льда не успевают сформироваться. Отметим, что

ствия конечной амплитуды колебаний и стати

дальнейшее образование ледяного поля (процесс

ческих напряжений. Отметим, что остаточные

спекания замёрзших капель воды и метамор

локальные напряжения присутствуют во льду с

физм льда) происходило без воздействия «внеш

момента замораживания воды. Подтверждение

них» факторов, например, технологической

этому - визуально наблюдаемые трещины на

вибрации и движущейся нагрузки. Поскольку

больших толщинах природного ледяного покро

процесс вторичного метаморфизма продолжал

 627 

Прикладные проблемы

Рис. 2. Зависимость силы сопротивления солёного льда внедрению крестообразного наконечника от коор

динаты измерений:

1 - по данным измерений, выполненных через 20 ч; 2 - по данным измерений, выполненных в течение часа после «засева»

Fig. 2. The dependence of the resistance force of salt ice to the introduction of a cruciform tip on the coordinate of

measurements:

1 - according to measurements taken after 20 hours and 2 - within an hour after «seeding»

ся при отсутствии внешних вибраций, источник

живание льда к бортам бассейна. Кроме того,

колебаний должен был находиться внутри ледя

необходимы два достаточных условия: первое -

ного поля. Такой источник, по-видимому, коге

присутствие источника гармонических коле

рентное излучение упругих волн при заморажи

баний; второе - напряжённое состояние льда.

вании воды, т.е. само ледяное поле [10].

Как показал эксперимент, эти условия взаимо-

Второй этап. Через 20 ч после «засева» (кри

связаны. Под завершённостью здесь понимается

вая 1 на рис. 2) влияние «внутренних» факторов

формирование не только жёсткого ледяного кар

проявилось в полной мере, а время оказалось до

каса, его способность сохранять вторичную тек

статочным для завершения формирования вол

стуру, но и установление адгезионного контакта

новой картины прочностных свойств ледяного

со стенками бассейна. Отметим, что жёсткость

поля. Это, однако, не означает, что на первом

ледяного каркаса и степень его примерзания к

этапе формирования ледяного каркаса влияние

стенкам бассейна определяют волновую струк

волновых структур не проявлялось. Напротив,

туру и эффективность её влияния на локальную

половинная прочность ледяного каркаса была

твёрдость и прочность льда.

достигнута уже к первому часу и происходила

Исследования микрошлифов моделирован

под волновым воздействием, но акустические

ного льда непосредственно по месту залегания

свойства ледяного каркаса и условия на границе

на разных этапах подготовки ледяного поля по

контакта непрерывно менялись. Такая лабиль

казали, что образование ледяного каркаса сопро

ность условий и свойств не позволила локали

вождается замораживанием воды между ледяны

зоваться дефектам. Необходимая для этого ста

ми гранулами. Замораживание изменяет условия

бильность свойств и условий была достигнута

не только на границе контакта льда со стенка

только на втором этапе формирования ледяного

ми бассейна, но и в ледяном поле (расширение

каркаса, и картина такого влияния проявилась в

льда, нормальные напряжения и излучение ко

полной мере (кривая 1 на рис. 2).

герентных колебаний). Дальнейшие микроско

Анализ рис. 2 показывает, что необходимое

пические исследования текстур формирующе

условие для завершения формирования вол

гося льда планируется проводить в направлении

новой структуры в ледяном поле - примора

совершенствования методики их визуализации.

 628 

В.П. Епифанов, К.Е. Сазонов

Рис. 3. Зависимость твёрдости от координаты точки измерений вдоль ледового бассейна:

1 - экспериментальная кривая; 2 - аппроксимация (модулирующая волна)

Fig. 3. The dependence of hardness on the coordinate of the measurement point along the ice pool:

1 - experimental curve; 2 - approximation (modulating wave)

Метод пенетрации оказался более «чувствитель

этих структур на локальную твёрдость моделиро

ным» к формированию вторичных текстур, чем

ванного льда подтвердились многочисленными

работа со шлифами в поляризованном свете.

измерениями локальной твёрдости в продоль

Напряжения, возникающие при заморажи

ных профилях ледяного поля.

вании воды, вызывают локальные деформаци

На рис. 3 представлена типичная экспери

онные изменения структуры льда, сопровожда

ментальная зависимость локальной твёрдости

ющиеся излучением упругих волн. В результате

от точки измерений для продольного профиля

возникают волновые структуры, которые, в свою

ледяного поля (кривая 1). Аналогичные каче

очередь, формируют «замёрзшие волны» в ледя

ственные зависимости получены для продоль

ном поле. Комплексное воздействие этих фак

ных профилей с разным удалением от бортов

торов изменяет текстуру ледяного каркаса по

бассейна. Осцилляции локальной твёрдости, по

всей его толщине и отражается в локальной не

лученные для продольного профиля (кривая 1 на

однородности, проявляющейся в профилях мак-

рис. 3), как и в предыдущих сериях измерений

роскопических характеристик прочности льда,

(см. рис. 1 и 2), свидетельствуют об интерферен

оцениваемой по его твёрдости. На этой стадии

ции волн. Картина наблюдаемого явления свя

формирования ледяного поля внутренний ис

зана главным образом с механизмом накопления

точник излучения оказывает доминирующее

дислокаций и увеличением их подвижности под

влияние, что подтверждает кривая 2 на рис. 2.

действием переменных напряжений и скоростей

Интервал значений локальной твёрдости мо

в стоячей волне. Мерная база в продольном про

делированного льда зависит, при прочих равных

филе составляла 65 м и содержала 125 точек из

условиях, от режима замораживания, толщины

мерений. Осцилляции локальной твёрдости про

ледяного поля и температуры воздуха. Эти фак

исходят в интервале от 36 до 104 кПа. Такой же

торы в процессе экспериментов изменялись в

интервал осцилляций наблюдался в предыдущей

небольшом интервале своих штатных значений,

серии измерений (кривая 1 на рис. 2).

поэтому в настоящей статье не рассматривают

При сравнении экспериментальных зависи

ся. Внимание было сосредоточено на законо

мостей локальной твёрдости в профилях вдоль

мерностях формирования стационарных перио

и поперёк ледового бассейна установлено, что

дических волновых структур. Выводы о влиянии

в обоих случаях они имеют вид периодических

 629 

Прикладные проблемы

функций, характерных для волнового процес

ности амплитуд стоячих волн. По определению,

са. Условно выделены масштабы периодических

эти линии должны быть расположены парал

повторений экстремумов локальной твёрдости

лельно боковым стенкам бассейна и их коорди

(2, 5 и 40 м). Пределы прочности льда, оцени

наты должны быть фиксированы. Это было бы

ваемой по его твёрдости, изменяются в близких

возможно, если бы граница контакта была иде

пределах значений этой величины и зависят от

альная (жёсткая вертикальная гладкая стенка

толщины ледяного поля и температуры возду

бассейна с коэффициентом отражения 100%),

ха. Этим объясняются небольшие расхождения

а условия на границе лёд-стенка были бы не

абсолютных значений локальной твёрдости для

изменные (адгезионный контакт стабилен, гра

льда разных серий измерений (под серией изме

диент температуры равен нулю). Практически

рений понимаются все измерения, выполнен

всегда присутствует градиент температуры, как

ные для ледяного поля конкретной даты при

и отклонения от идеальных условий.

готовления). Длина волны λ = 2 м соответствует

Так, для поперечного профиля (лёд примо

бегущей продольной волне, механизм генерации

рожен к боковым стенкам бассейна) отноше

которой обусловлен, по-видимому, резонансны

ние волновых сопротивлений льда ρ₀V₀ и бето

ми колебаниями вторичной текстуры ледяного

на ρ_kV_k равно 1,8 при коэффициенте отражения

поля, образовавшейся в результате метаморфиз

R_0К = 0,29. Для продольного профиля (один

ма льда. Колебания с длинами волн 5 и 40 м от

торец приморожен к стенке, другой контакти

вечают изгибно-гравитационным волнам. Зна

рует с водой) эти величины также будут равны

чения этих длин волн обусловлены геометрией

соответственно 1,8 и 0,29, а отношение волно

ледового бассейна.

вых сопротивлений льда ρ₀V₀ и воды ρ_аV_а соста

Таким образом, осцилляции локальной твёр

вит 2,5 при коэффициенте отражения R_0А = 0,43.

дости льда есть зеркальное отражение фазовой

Поэтому от свободного края ледяного поля в лёд

поверхности амплитуды (проекции скорости)

будет отражаться на 14% больше упругой энер

стоячей волны. Для плоской стоячей волны ам

гии волн. В связи с этим влияние волновых

плитуда колебаний может быть вычислена по

структур изначально будет другое, чем в попе

уравнению [11]

речном профиле. Кроме того, толщина ледяных

полей, в которых выполнялись серии измере

χ = А₀cos(πm/а)x cos(πn/b)y,

(5)

ний, изменялась от 40 до 53 мм. Если рассматри

где m, n - число колебаний, которое укладывает

вать эту связь линейной, то различия составят

ся соответственно по длине ледяного поля

26%. Все эти погрешности, казалось бы, не так

а = 80 м и ширине бассейна b = 10 м (m, n = 1, 2,

велики, но суммарное их влияние может стать

3…∞; m = n ≠ 0).

существенным. Отметим также, что ледяной по

Для рассматриваемого случая уравнение (5)

кров в бассейне не идеален ни по толщине льда,

записывается в следующем виде:

ни по градиенту температур. Не исключено и

влияние поглощения колебательной энергии, и

χ = А₁cos(πm/а)x cos(πn/b)y + А₂cosπx cosπy,

(6)

её излучение ледяным полем. По этой причине

где А₁ и А₂ - амплитуды складывающихся волн,

колебательная скорость в узлах стоячих волн не

определяются из эксперимента (см. рис. 1 и 3).

будет достигать нуля.

Модельное представление волновых струк

Тем не менее, наблюдаемый эффект немоно

тур в ледяном поле - уравнение (6) - качествен

хромности заслуживает особого внимания как

но соответствует экспериментальным зависи

одна из особенностей формирования волновых

мостям его локальной твёрдости от координаты

структур и их влияния на прочностные свойства

точки измерений (см. рис. 1-3). Из него сле

солёного льда. На практике выбор точки «нуле

дует, что фазовая поверхность амплитуды стоя-

вого отсчёта» - координаты узловых линий, как

чих волн в ледяном поле не монохромна. Также не

правило, содержит систематическую погреш

монохромна, по данным экспериментов, и по

ность (свою для каждого профиля). Понятно,

верхность локальной твёрдости ледяного поля.

что сравнивать однородные эксперименталь

Следствие такой немонохромности - присут

ные величины можно только при условии пол

ствие линий узловых точек на фазовой поверх

ной идентичности условий. Поэтому приходит

 630 

В.П. Епифанов, К.Е. Сазонов

ся очень внимательно оценивать возможность

шим количеством воздушных включений. Ниж

традиционных сопоставлений так называемых

ний прозрачный слой льда толщиной 39 см имел

«средних» значений прочностных характеристик

плотность ρ = 909±5 кг/м³ и был образован кри

ледяного поля.

сталлами со средним диаметром 1-2 см длиной

Итак, в ледовом бассейне прямоугольной

до 12 см. Температура воздуха во время измере

формы под воздействием комбинированных ис

ний составляла -10 °С.

точников излучения волн создаётся квазиста

Локальная твёрдость природного льда опре

ционарная периодическая волновая структура.

делялась с помощью портативного пенетромет-

Под совместным действием волновых полей и

ра [8], но в методику измерений были внесены

остаточных напряжений формируется вторич

изменения. Так, крестообразный наконечник

ная текстура моделированного льда, а следова

был заменён на наконечник с шаровой рабо

тельно, изменяются его прочностная характе

чей поверхностью (радиус 40 мм). Максималь

ристика и динамическая твёрдость. Эффект от

ная осевая сила соударения увеличена до 650 Н

воздействий стоячих волн усиливается остаточ

за счёт повышения начальной скорости соуда

ными напряжениями, возникшими в процес

рения с 0,8 до 2,3 м/с. Это позволило создать

се формирования ледяного поля, включая сжи

среднее контактное давление, при котором пла

мающие (термические) напряжения со стороны

стические деформации льда становятся домини

боковых стенок бассейна. Собственные резо

рующими, а локальная твёрдость - достаточно

нансные частоты ледяного поля определяются

чувствительной к его строению. Расчётная тол

упругостью льда, его геометрией, вторичными

щина льда, которая формирует «отклик» в виде

текстурами и условиями на границе (обжатие на

деформационной зависимости «напряжение-

боковых стенках бассейна).

время», составляет около 0,3 м, а время соуда

Эффект изменения прочности моделиро

рения - доли миллисекунды. Время очистки от

ванного льда под действием волновых структур

снега локальной площадки, на которой выпол

заслуживает дальнейшего исследования, пре

нялись измерения, не превышало 10-15 с.

жде всего в плане возможного «переноса» ре

Измерения вели на площадках, располо

зультатов, полученных в бассейне, на природ

женных через каждые 2 м поперёк и вдоль русла

ный лёд в условиях залегания. Однако различия

реки. Результаты измерений приведены на рис. 4

прочностных и структурных характеристик мо

в виде зависимостей приведённой твёрдости

делированного и природного льда делают воз

σ_i/σ_10м от координаты измерений. За точку при

можность такого переноса не вполне очевид

ведения выбрана твёрдость льда на площадке,

ной. Контролируемые условия формирования

удалённой от правого берега на 10 м (прямоли

моделированного льда в бассейне, а также прак

нейный участок русла реки). Явно выраженная

тически неограниченная возможность приме

периодичность кривой 1 и отсутствие такой же

нения измерительной аппаратуры позволили до

периодичности на кривой 2 рис. 4 свидетель

стичь бóльшей определённости в интерпретации

ствуют о возможном воздействии на структу

экспериментальных результатов, чем это было

ру речного льда стоячих волн, возникающих

бы возможно изначально в природном льде по

между берегами реки. Наблюдаемые отклоне

месту залегания.

ния (кривая 1) от точки приведения превышают

С учётом накопленного опыта разработан

30%, тогда как относительная ошибка измере

ный подход был применён для исследования

ний твёрдости однородного материала составля

локальной твёрдости природного ледяного по

ет не более 1%.

крова на подмосковной реке Десне (55°30′ с.ш.

Из рис. 4 видно, что наибольшая простран

и 37°26′ в.д.). Речной лёд в виде пластины тол

ственная изменчивость твёрдости льда наблю

щиной 0,48 м с двумя слоями разной структу

дается поперёк русла реки (кривая 1), особен

ры имел типичное строение ледяного покрова

но вблизи припая, а меньшая - вдоль её русла

пресных водоёмов [12]. Верхний слой мелкокри

(кривая 2). Это не противоречит условию об

сталлического льда толщиной 9 см и плотностью

разования стоячих волн в речном льде. В рас

ρ = 887±5 кг/м³ при -10 °С образован кристал

сматриваемом случае берега реки служат не

лами со средним диаметром 0,1÷0,2 см с неболь

только отражателем волн, но и препятствием,

 631 

Прикладные проблемы

Рис. 4. Зависимость локальной твёрдости речного покрова от координаты точки измерений:

1 - поперёк русла реки; 2 - вдоль русла реки

Fig. 4. The dependence of the local hardness of the river cover on the coordinate of the measurement point:

1 - across the river bed; 2 - along the river bed

способствующим возникновению термических

щей из n (двух или более) идентичных матери

напряжений. Так, при суточных колебаниях

альных точек, имеющих одинаковую массу m

температуры, особенно при резком ночном по

и соединённых упругими связями одинаковой

холодании, речной покров прогибается вниз,

жёсткости k [5]. Для определения эффективных

а при резком потеплении - вверх. Берега при

размеров подвижных элементов строения мо

этом играют роль бокового ограничителя. Тер

делированного льда использован амплитудно-

мические напряжения и разные условия кон

частотный анализ, основанный на точном ре

такта ледяного поля с левым и правым берегами

шении дифференциального уравнения (модель

реки несколько усложняют картину, но эффект

гармонического осциллятора). Эффективные

периодического изменения локальной твёрдо

размеры R подвижных элементов льда определя

сти всё ещё остаётся достаточно чётко выражен

лись по формуле [5]

ным. Отметим, что закономерности формирова

R = (k/(16π³ f ²ρ₀))^1/3.

(7)

ния периодических волновых структур в речном

ледяном покрове (длины волн метрового диа

Подставляя в уравнение (7) значения

пазона) те же самые, что и в моделированном

плотности кристаллической решётки льда

льде. В обоих случаях их образование обуслов

ρ₀ = 916,8 кг/м³, жёсткости связи k = 56 Н/м и

лено формой и габаритами ледяного поля, отно

частоты для первого f₁ = 2,7 Гц и последующе

шением волновых сопротивлений льда и грунта,

го максимума f₂ = 2616 Гц, получаем следую

геометрией ледяного поля и неровностью бере

щие значения характерных размеров текстуры

гов реки (размер и наклон поверхности контак

ледяного поля: R₁ = 26 мм и R₂ = 0,25 мм. Рас

та льда с грунтом). Таким образом, полевые из

считанные таким образом размеры совпадают с

мерения динамической локальной твёрдости в

толщиной ледяного поля (52 мм) и диаметром

поперечном профиле речного ледяного покрова

(~0,5 мм) ледяных гранул, которые образуются

(природный лёд) качественно подтвердили ре

при замораживании распыляемой воды в пере

зультаты, полученные в ледовом бассейне на мо

охлаждённой атмосфере ледового бассейна.

делированном льде.

Исследуемый тип льда называется мелкозер

Образование в ледяном покрове вторичных

нистым (FG) моделированным льдом [13], кото

текстур льда с уменьшенной прочностью объ

рый нарастает ламинирующими слоями над по

ясняется накоплением деформационных де

верхностью воды в ледовом бассейне. Структура

фектов. Для количественной оценки размеров

этого льда определялась по шлифам до проведе

подвижных элементов ледяного каркаса были

ния измерений и в процессе контактного разру

использованы акустические спектры, генери

шения (при пенетрации) по акустическим спек

руемые при его контактном разрушении. Связь

трам. Верификация модели в рабочем диапазоне

между микро- и макросвойствами льда устанав

от 2 Гц до 20 кГц устанавливалась сопоставле

ливалась с помощью линейной модели, состоя

нием значений рассчитанных эффективных раз

 632 

В.П. Епифанов, К.Е. Сазонов

меров осцилляторов с экспериментально опре

периментальным данным определены длины

делёнными размерами кристаллов льда. Данные

бегущих волн, построена фазовая поверхность

анализа акустических спектров контактного раз

волновых структур, а также оценены размеры

рушения льда использовались для контроля про

подвижных элементов структуры льда. Полу

цессов формирования ледяного поля в ледовом

ченные данные сопоставлены с теоретически

бассейне и динамики движения корпусов судов

рассчитанными их значениями. Непротиворе

в моделированном льде [14]. Результаты иссле

чивость полученных результатов данным и вы

дований можно использовать для определения

водам других исследователей позволяет рас

пространственно-временнóй неоднородности

сматривать влияние волн на формирование

любых других ледяных полей, а также для дис

вторичных структур льда как один из факторов

танционного изучения контактного разрушения

пространственно-временнóй неоднородности

льда, включая взаимодействие придонного льда

прочностных свойств ледяных полей.

с ложем ледников.

На волновой характер пластических дефор

маций впервые обратил внимание А.В. МакРей

нольдс [16], который исследовал прерывистую

Обсуждение результатов

неоднородную пластическую деформацию поли

кристаллов с помощью метода диффракционной

Исследована пространственно-временнáя

решётки. Дж.Ф. Белл [17] продолжил эти иссле

изменчивость локальной твёрдости солёного

дования, используя метод акустической эмиссии.

льда в ледяном поле динамического типа форми

Генерация импульсов напряжений при пластиче

рования. Установлена повторяемость значений

ской деформации остаётся объектом исследова

локальной твёрдости как функции координат

ния и в настоящее время как фактор воздействия

точек измерения в продольных и поперечных

на пластическое течение льда [18]. Однако дей

профилях ледяного поля. Экспериментальные

ствие акустических волн на пластичность льда

зависимости твёрдости как функции координат

всё ещё исследовано недостаточно. Перспектив

имеют вид стационарных периодических вол

ность таких исследований показана на примере

новых структур. Этот факт послужил основа

влияния расходящихся и сходящихся фронтов

нием рассматривать осцилляции значений ло

импульсов напряжений на структуру льда в огра

кальной твёрдости как результат формирования

ниченном объёме (сопло Лаваля) [5, 14].

вторичных текстур льда (динамический мета

В настоящей работе формирование волновых

морфизм) в узлах и пучностях стоячих волн в ле

структур и их влияние на прочность льда иссле

дяном поле. Индикаторами волновых процессов

довались в ледяном поле солёного льда площа

стали вторичные текстуры льда, которые коли

дью 800 м². Измерения локальной твёрдости в

чественно определяли по значениям локальной

различные промежутки формирования ледяно

твёрдости. Полученные закономерности в виде

го поля подтвердили, что основным источником

периодических зависимостей локальной твёрдо

упругих колебаний может быть когерентное из

сти ледяного поля отражают влияние волновых

лучение упругих волн при замораживании воды,

процессов на прочность солёного льда. Факти

т.е. само ледяное поле. Энергии этого излучения

чески разработан метод исследования волновых

оказалось достаточно для образования вторич

структур в ледяном поле, лежащем на гидравли

ных текстур льда при наличии остаточных на

ческом основании.

пряжений, возникающих в случае послойного

В интерпретации экспериментальных ре

намораживания ледяного поля. Достоверность

зультатов использованы известные факты: излу

формирования волновых текстур в условиях

чение акустических волн при фазовом перехо

естественного залегания проверена на речном

де (замораживании воды) [10]; возникновение

льде толщиной 0,49 м (подмосковная р. Десна).

остаточных напряжений при послойном замо

Влияние волновых структур на прочностные

раживании льда [15]; формирование вторич

и реологические свойства льда может быть про

ных текстур льда с пониженной динамической

слежено при решении задач контактной механи

вязкостью и, следовательно, прочностью под

ки разрушения льда. Ключевой момент здесь -

действием импульсов напряжений [5]. По экс

понимание волновых процессов, происходящих

 633 

Прикладные проблемы

в ледяных полях, и условий, определяющих фор

в качестве одной из причин пространственно-

мирование волновых структур и прочностные

временнóй изменчивости текстуры, а следова

характеристики промежуточных слоёв. Разрабо

тельно, и прочностных свойств ледяных полей.

танная методика полевых испытаний и реали

С этой целью была измерена локальная твёрдость

зующая этот подход измерительная аппаратура

ледяного поля динамического типа формирова

позволяют выполнять исследования ледяных и

ния площадью 800 м², лежащего на поверхности

снежных полей как для научных целей, так и для

жидкости в бассейне прямоугольной формы и

практических приложений.

примороженного с трёх сторон к его бортам. Экс

периментальные зависимости локальной твёрдо

сти как функции координат точек измерения в

Заключение

продольных и поперечных профилях имеют вид

стационарных периодических волновых структур.

Настоящая публикация - завершающая

Осцилляции твёрдости составляют от 40 до 60%

часть цикла работ, посвящённых решению фун

при погрешности измерений 5-7%.

даментальной проблемы гляциологии о коли

Установлено, что стационарные перио

чественной связи микроструктуры льда с его

дические волновые структуры в ледяном поле

макроскопическими свойствами, а именно: не

формируются в результате интерференции из

линейным волновым процессам во льду и их

гибно-гравитационных и продольных волн.

влиянию на формирование вторичных тек

Подтверждён волновой механизм метаморфиз

стур в природном льде. Исследуемые меха

ма солёного льда. Рассчитаны фазовые скоро

низмы позволяют понять, как и почему про

сти. Получено соответствие теории и экспери

исходят подвижки ледников, чем объясняется

мента. Волновой динамический метаморфизм

пространственно-временнáя неоднородность

реализуется при смешанном типе возбуждения.

ледяных и снежных покровов, а также наметить

Доминирующий источник упругих волн в ледя

пути к изучению механики контактного разру

ном поле при отсутствии внешних воздействий

шения льда в придонных слоях ледников. Как

(промышленные или сейсмические вибрации) -

всякая замкнутая задача, она имеет реальные

когерентное излучение в самом льде.

практические приложения уже на данном этапе

Дополнительные исследования динамиче

решения, например, совершенствование мето

ской локальной твёрдости в речном ледяном по

дик, связанных с испытанием моделей судов и

крове подтвердили формирование аналогичных

ледостойких сооружений в ледовом бассейне в

стационарных периодических волновых струк

зависимости от условий на фрикционном кон

тур в природном льде. Количественно определе

такте, параметров движения модели, а также фи

но влияние волновых структур на прочностные

зико-механических и прочностных свойств льда.

свойства ледяного поля как одного из возмож

Долгое время в экспериментальной механике

ных факторов пространственно-временнóй из

движения больших и малых объёмов льда игно

менчивости льда в условиях залегания. Получен

рировалось влияние нелинейных волновых про

ные результаты могут быть использованы при

цессов. Рассматривались в основном линейные

определении ледовых нагрузок на плавучие и

процессы и соответствующие им дифференци

стационарные морские платформы, при разра

альные уравнения, которые не отражали фунда

ботке эффективных технологий проектирования

ментальных свойств реального льда (механика

корпусов ледоколов и судов ледового плавания,

ледников Паундера и многочисленные совре

а также для понимания движения льда в придон

менные модели). Наконец наступил критиче

ных слоях ледников.

ский момент, когда не в зарубежных, а в отече

ственных журналах был опубликован ряд статей,

Благодарности. Работа выполнена при поддерж

открывающих новое направление исследований

ке РФФИ (грант № 20-01-00649_a).

в современной гляциологии. Было исследовано

также влияние волновых процессов на прочность

Acknowledgments. This work was supported by the

природного льда в частично замкнутых объёмах.

Russian Foundation for Basic Research, project

Волновой метаморфизм льда рассматривается

№ 20-01-00649_a.

 634 

В.П. Епифанов, К.Е. Сазонов

Литература

References

1. Хейсин Д.Е. Динамика ледяного покрова // Ме

1. Kheysin D.Ye. Ice cover dynamics. Mekhanika i fizika le-

ханика и физика ледяного покрова. М: Наука,

dyanogo pokrova. Mechanics and physics of ice cover. M:

1983. С. 152-163.

Nauka, 1983: 152-163. [In Russian].

2. Букатов А.Е. Волны сжатия в ледяном покрове //

2. Bukatov A.Ye. Compression waves in ice cover. Volnovyye

Волновые движения жидкости: теория и экспе

dvizheniya zhidkosti: teoriya i eksperimenty. Wave mo

рименты. Геофизика. 1985. № 10. С. 24-32.

tion of a fluid: theory and experiments. Geofizika. 1985,

3. Гаврило В.Л., Трипольников В.П. Результаты ис

10: 24-32. [In Russian].

следования изгибно-гравитационного резо

3. Gavrilo V.L., Tripol'nikov V.P. The results of the study of flex

нанса в морских льдах // Теория и прочность

ural-gravitational resonance in sea ice. Teoriya i prochnost'

ледокольного корабля. Горький: Изд-во ГПИ,

ledokol'nogo korablya. The theory and strength of an ice

1982. С. 28-34.

breaker ship. Gor'kiy: GPI, 1982: 28-34. [In Russian].

4. Козин В.М. Резонансный метод разрушения ле

4. Kozin V.M. Rezonansnyy metod razrusheniya ledyanogo

дяного покрова. Изобретения и эксперимен

pokrova. Izobreteniya i eksperimenty. Resonant destruc

ты. М.: Академия естествознания, 2007. 355 с.

tion method. Inventions and experiment. M.: Akademiya

5. Епифанов В.П. Влияние импульсов напря

Yestestvoznaniya. 2007: 355 p. [In Russian].

жений на структуру льда в промежуточном

5. Еpifanov V.P. The effect of stress pulses on the structure

слое // ДАН. 2018. Т. 479. № 6. С. 629-633.

of ice in the intermediate layer. Doklady Akademii Nauk.

6. Денисов В.И., Сазонов К.Е., Тимофеев О.Я.

Reports of the Academy of Sciences. 2018, 479 (6): 629-

Новые экспериментальные возможности

633. [In Russian].

Крыловского государственного научного цен

6. Denisov V. I., Sazonov K. E., Timofeev O. Ya. New experi

тра по изучению ледовых воздействий на объ

mental capabilities of the Krylov State Scientific Center

екты морской техники. // Арктика: экология и

for the study of ice impacts on objects of marine technol

экономика. 2015. № 3 (19). С. 76-81.

ogy. Arktika: ekologiya i ekonomika. Artika: ecology and

7. Черепанов Н.В. Классификация льдов природ

economics. 2015, 3 (19): 76-81. [In Russian].

ных водоёмов // Тр. ААНИИ. 1976. Т. 331.

7. Cherepanov N.V. Classification of ice in natural reservoirs.

С. 77-99.

Trudy Instituta Arktiki i Antarktiki. Proc. of AARI. 1976,

8. Епифанов В.П. Влияние естественных факторов

331: 77-99. [In Russian].

на морфологию снежного покрова // Вестн.

8. Epifanov V.P. The influence of natural factors on the mor

Кольского науч. центра РАН. 2018. № 3 (10).

phology of snow cover. Vestnik Kol'skogo nauchnogo tsen-

С. 155-162.

tra RAN. Bulletin of the Kola Science Center RAS. 2018,

9. Хейсин Д.Е. К задаче упруго-пластического из

3 (10): 155-162. [In Russian].

гиба ледяного покрова // Тр. ААНИИ. 1964.

9. Kheysin D.Ye. To the problem of elastic-plastic bending of

Т. 267. С. 143-149.

the ice cover. Trudy Instituta Arktiki i Antarktiki. Proc. of

10. Епифанов В.П., Нестеров С.В. Электромаг

AARI. 1964, 267: 143-149. [In Russian].

нитная эмиссия как метод количественных

10. Epifanov V.P. Nesterov S.V. Electromagnetic emission as

исследований пластической деформации

a method of quantitative studies of ice plastic deforma

льда // Процессы в геосредах. 2019. № 4 (22).

tion. Protsessy v geosredakh. Processes in geomedia. 2019,

С. 480-489.

4 (22): 480-489. [In Russian].

11. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений

11. Sretenskiy L.N. Teoriya volnovykh dvizheniy zhidkosti.

жидкости. М.: Главная редакция физико-ма

Theory of wave motion of a liquid. M.: Nauka, 1977:

тематической литературы Изд-ва «Наука»,

816 p. [In Russian]

1977. 816 с.

12. Savel'yev B.A. Stroyeniye i sostav prirodnykh l'dov. The

12. Савельев Б.А. Строение и состав природных

structure and composition of natural ice. M.: MGU,

льдов. М.: Изд-во МГУ, 1980. 280 с.

1980: 280 p. [In Russian].

13. Von Bock und Polach R.U.F., Franz R.U., Ettem-

13. Von Bock und Polach R.U.F., Franz R. U., Ettemab R.,

ab R., Gralhera S., Kellnera L. Stendera M.

Gralhera S., Kellnera L. Stendera M. The non-linear be

The non-linear behavior of aqueous model ice

havior of aqueous model ice in downward flexure. Cold

in downward flexure // Cold Regions Science

Regions Science and Technology. 2019, 36 (1-3): 47-70.

and Technology. 2019. 36 (1-3). Р. 47-70. doi.

doi.org/10.1016/j.coldregions.

org/10.1016/j.coldregions.

14. Epifanov V.P., Sazonov K.Ye. The influence of standing

14. Епифанов В.П., Сазонов К.Е. Влияние стоя

waves on the local strength of the ice field. Doklady Aka-

чих волн на локальную прочность ледяного

demii Nauk. Reports of the Academy of Sciences. 2019,

поля // ДАН. 2019. Т. 489. № 6. С. 30-35.

489 (6): 30-35. [In Russian].

 635 