Лёд и Снег · 2022 · Т. 62 · № 4

УДК 551.321:551.324

DOI: 10.31857/S2076673422040148, EDN: MHMLAJ

Влияние льдообразования в трещинах на поле температур в холодном слое ледника

Институт географии РАН, Москва, Россия

*glchern@igras.ru

Effect of ice formation in crevasses to the temperature field in the cold layer of glacier

G.A. Chernyakov^*, R.A. Chernov

Institute of Geography, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia

*glchern@igras.ru

Received May 2, 2022 / Revised June 15, 2022 / Accepted October 7, 2022

Keywords: modeling, polythermal glacier, Svalbard, Arctic.

Summary

The work focuses on modeling the warming of a glacier due to heat release during the refreezing of melt-

water in glacier crevasses (cryo-hydrologic warming). The simulation is performed for a polythermal Arctic

glacier with a regular network of crevasses filled with water at 0 °C, for the1-year period of freezing of water

in crevasses in the cold layer of a glacier, below the active layer. The upper (active layer base) and lower (ini-

tial cold-temperate transition surface) boundaries of the cold layer are considered horizontal planes; the cre-

vasses are assumed to be identical narrow straight parallel water-filled channels. These assumptions allow

considering the corresponding mathematical problem in a 2D setting. The time-dependent temperature dis-

tribution in the modeled domain is calculated explicitly as the solution to a 2D initial boundary value prob-

lem for the heat equation with spatially distributed heat sources that model the network of crevasses. The ini-

tial temperature distribution and the spatial parameters of the model are set based on the field data from the

polythermal glacier Austre Grønfjordbreen (Svalbard). For a fixed geometry of the crevasses (the distance

between neighboring crevasses is 10 m, the depth is 10 m, the width is of order 0.1 m) we performed an ana-

lytical-solution-based simulation of the temperature field at the end of a year-long period of heating vary-

ing the active layer base temperature (-3, -2 °C) and the initial thickness of the cold layer (20, 40, 60 m).

The results suggest that the temperature field is more influenced by the cold layer thickness than the upper

boundary temperature. The maximum temperature increment is 1-2 °C depending on the simulated case.

The cold-temperate transition surface shifts up under the crevasse area by a maximum of 3.4 m (only in the

case of 20-m cold layer). The temperature field remains unperturbed at a distance of 20 m or more in any

direction from the crevasse zone. Our results may be useful for quantitative comparison of cryo-hydrologic

warming with other factors of the temperature state of glaciers.

Citation: Chernyakov G.A., Chernov R.A. Effect of ice formation in crevasses on the temperature field in the cold layer of a glacier. Led i Sneg. Ice and

Snow. 2022, 62 (4): 512-526 [In Russian].

doi: 10.31857/S2076673422040148, edn: mhmlaj:

Поступила 2 мая 2022 г. / После доработки 15 июня 2022 г. / Принята к печати 7 октября 2022 г.

Ключевые слова: моделирование, политермический ледник, Шпицберген, Арктика.

Для условий ледника Восточный Грёнфьорд (Западный Шпицберген) выполнено моделирование

изменений температурного поля в холодном слое в конце годового периода отепления за счёт

замерзания воды в трещинах. Показано, что температура в леднике повысится на 1-2 °C, граница

холодного и тёплого льда сместится вверх максимум на 3,4 м, возмущения температурного поля

распространятся не далее 20 м от области трещиноватости.

Введение

никовыми трещинами. В ряде работ изучались

механические процессы: формирование и рас

Для большинства ледников характерно на

пространение трещин в толще ледника, эволю

личие трещин, причём трещиноватость способ

ция их геометрической формы, дренаж талой

на оказывать влияние на баланс массы ледников

воды по трещинам и колодцам и др. (Weertman,

(Colgan et al., 2016). Помимо полевых исследо

1970; Alley et al., 2005; Everett et al., 2016; Duddu

ваний, известно множество работ по моделиро

et al., 2020). Водоносные трещины воздействуют

ванию физических явлений, связанных с лед

на термическое состояние ледников посредством

 512 

Г.А. Черняков, Р.А. Чернов

двух основных физических механизмов: 1) кон

но тёплой левой (западной) ветви политермиче

дуктивной теплопередачи от более тёплой талой

ского ледника Восточный Грёнфьорд (Западный

воды к окружающему холодному льду; 2) выде

Шпицберген), для которой характерна трещи

ления скрытой теплоты кристаллизации воды в

новатость. Предложена математическая модель,

трещинах. Указанные два процесса иногда объ

описывающая процесс замерзания воды в лед

единяют под общим названием гидрологическо

никовых трещинах в течение года и обусловлен

го механизма отепления холодного льда (cryo-

ное фазовым переходом распространение тепло

hydrologic warming, CHW) (Phillips et al., 2010).

ты в холодной толще ледника ниже активного

Это явление находится находится в центре вни

слоя. Модель основана на аналитических мето

мания данного исследования. Значение гидроло

дах расчёта. Поскольку для ледника Восточный

гического отепления для динамики ледников за

Грёнфьорд характерны низкие скорости движе

ключается в том, что оно снижает вязкость льда,

ния льда (не более 5 м/год на поверхности) и вли

ускоряет его течение, изменяет базальные усло

яние динамического фактора на термический

вия и в конечном счёте вносит свой вклад в дина

режим ледника незначительно (Вшивцева, Чер

мику баланса массы ледника (Colgan et al., 2016).

нов, 2017), в модели не учитываются адвекция

К числу наиболее ранних работ по модели

температуры и деформационный разогрев.

рованию отепления ледников в результате кри

В 2011-2015 гг. в ходе экспедиционных иссле

сталлизации воды в трещинах относится (Jarvis,

дований на леднике Восточный Грёнфьорд полу

Clarke, 1974). В работе (Phillips et al., 2010) пред

чены полевые данные, позволяющие сделать вы

ложена модель гидрологического отепления для

воды о характере влияния снежного покрова и

ледниковых щитов. В ряде более поздних иссле

абляции на термический режим приповерхност

дований различные модели, учитывающие CHW,

ного слоя ледника (Чернов и др., 2015; Вшивцева,

применены для объяснения динамики и терми

Чернов, 2017). Результаты работы помогут оце

ческого состояния ледников Гренландии (Phillips

нить вклад гидрологического отепления в дина

et al., 2013; Luthi et al., 2015; Poinar et al., 2017;

мику температурного поля политермического

McDowell et al., 2021). В статье (Gilbert et al.,

ледника для условий Западного Шпицбергена.

2020) представлена термомеханическая модель

с учётом перколяции и кристаллизации воды в

трещинах для горного ледника в Гималаях. В ста

Объект исследования

тье (Казанский, 1988) термодинамика замерза

ния талой воды в снежно-фирновой толще рас

Климатические изменения на Шпицбергене

сматривается в рамках модели фильтрации. В

обусловили значительное сокращение ледников

работах (Исенко, 2000; Исенко, Мавлюдов, 2000)

и изменение их термического режима. Эти про

моделировалось формирование и эволюция дре

цессы особенно масштабно проявились в цен

нажных каналов в холодных ледниках с учётом

тральной и западной частях Шпицбергена, где

тепловыделения и фазовых переходов.

распространено горное оледенение (Pfeffer et

В период летнего таяния на поверхности по

al., 2014; Чернов, Муравьев, 2018). Ледник Вос

лярных ледников образуется значительное ко

точный Грёнфьорд расположен южнее залива

личество талой воды, часть которой перехваты

Грёнфьорд, на побережье которого находится

вается трещинами и ледниковыми колодцами и

пос. Баренцбург. С 2011 г. на леднике проводят

проникает в толщу ледника. Её влияние на по

ся гляциологические исследования, которые

лярные ледники трудно переоценить, поэтому

включают измерения баланса массы ледника,

значительное внимание уделяется оценкам за

скорости движения льда, а также термометрию

пасов воды в ледниках, а также изменению их

верхнего слоя ледника. Ледник содержит север

термического режима и характера движения льда

ную экспозицию, площадь около 6 км² и макси

(Глазовский, Мачерет, 2014). В настоящей рабо

мальную длину 5,5 км; перепад высот составля

те моделируется влияние гидрологического от

ет 400 м. Поверхность ледника полога, а средний

епления льда на температурное поле в холодном

уклон поверхности равен 5°. Ледник состоит из

слое политермического ледника в Арктике. Мо

двух потоков льда, которые сливаются в его цен

делирование выполнено для условий относитель

тральной части на уровне 250 м. В верховье лед

 513 

Ледники и ледниковые покровы

ник имеет два ледораздела с ледником Фритьоф;

ника. На уровне этой модели ширина трещин

восточный ледораздел - высоту 440 м, запад

и внутренние процессы рассмотрены как тон

ный - около 390 м. До 2015 г. на восточном ле

кие протяжённые тепловыделяющие элемен

доразделе ледника ежегодно сохранялся оста

ты. В «крупномасштабной» модели применяется

ток снежного покрова, но в последующие годы

уравнение теплопроводности с функцией ис

сезонный снежный покров стаивал полностью.

точников тепловыделения, явный вид которой

В настоящее время ледник лежит ниже клима

предварительно определяется с помощью «мел

тической снеговой линии. Измерения, выпол

комасштабной» модели.

ненные в 2014-2016 гг., показали небольшую

Физическая модель. Для моделирования из

скорость движения льда, которая в среднем со

менений поля температур в леднике при замер

ставила 3,5 м/год. Трещины на леднике отме

зании воды в трещинах применяется идеали

чены лишь в верховье ледника на ледоразделах.

зированная физическая модель с упрощённой

Ширина трещин редко превышает 20-30 см.

геометрией. При этом моделируется часть хо

Глубина трещин небольшая, по отдельным из

лодной толщи ледника, расположенная ниже

мерениям около 10-20 м. Типичные расстояния

активного слоя. Область решения задачи (рис. 1)

между соседними трещинами составляют 2-10 м.

представляет собой бесконечный в горизон

тальных направлениях плоский слой, огра

ниченный плоской подошвой активного слоя

Методы исследования

ледника сверху и изначально плоской поверх

ностью контакта холодного и тёплого льда

Общая характеристика модели. В основе ра

снизу (cold-temperate transition surface, CTS).

боты - идея комбинирования двух математиче

Толща ледника, заполняющая указанную об

ских моделей, описывающих процессы разных

ласть, считается однородной с плотностью

масштабов. «Мелкомасштабная» модель опи

ρ = 900 кг/м³. Теплофизические характеристики

сывает процесс намораживания льда на стенки

среды также постоянны: удельная теплоёмкость

трещины, заполненной водой. Она позволяет

c = 2092 Дж/ (кг °C); коэффициент теплопрово

рассчитать величину теплового потока от воды

дности λ = 2,21 Вт/(м °C). Температура основа

ко льду в каждый момент времени, а также ди

ния активного слоя T_s (°C) считается постоян

намику и длительность процесса замерзания.

ной. В начальный момент, до начала замерзания

«Крупномасштабная» модель описывает распро

трещин с водой, поле температур в моделируе

странение тепла от регулярной сети трещин и

мом слое ледника однородно в горизонтальных

эволюцию температурного поля в толще лед

направлениях и характеризуется линейным ро

Рис. 1. Схема моделируемой области ледника (вертикальное сечение).

В правой верхней части рисунка узкими прямоугольниками показаны трещины

Fig. 1. Scheme of the simulated area of the glacier (vertical section).

In the upper right part of the figure, crevasses are shown by narrow rectangles

 514 

Г.А. Черняков, Р.А. Чернов

стом температуры с глубиной. Соответствующий

начало координат O - с верхней точкой крайней

вертикальный градиент температуры определя

трещины (см. рис. 1). Тогда температура T (°C)

ется температурой на глубине подошвы актив

будет функцией координат x, y (м) и времени t (с):

ного слоя и первоначальной толщиной H (м) той

T = T(x, y, t). Эта функция считается решением

части холодного слоя ледника, которая располо

следующей начально-краевой задачи для уравне

жена ниже активного слоя. В начальный момент

ния теплопроводности:

этот градиент равен -T_s/H (при T_s < 0 °C). Также

ρc(∂T/∂t) = λ((∂²T/∂x²) + (∂²T/∂y²)) + F(x, y, t),

примем, что на нижней границе области в вер

-∞ < x < ∞, 0 < y < H, 0 < t ≤ t_*;

(1)

тикальном направлении действует постоянный

тепловой поток, соответствующий данному гра

T |t = 0 = T_s(1 - y/H), -∞ < x < ∞, 0 < y < H;

(2)

диенту температуры.

T |y = 0 = T_s, -∞ < x < ∞, 0 ≤ t ≤ t_*;

(3)

В верхней части моделируемой области на

ходятся несколько одинаковых плоских верти

(∂T/∂y)|y = H = -T_s/H, -∞ < x < ∞, 0 ≤ t ≤ t_*,

(4)

кальных трещин, бесконечно протяжённых вдоль

где (1) - уравнение теплопроводности с источ

некоторого горизонтального направления. Тре

ником тепловыделения F(x, y, t); (2) - начальное

щины расположены параллельными рядами, и

условие; (3) - краевое условие на верхней грани

расстояния между соседними трещинами равны.

це области; (4) - краевое условие на нижней гра

Ширина трещины считается одинаковой в любой

нице области.

её части и мала по сравнению с расстоянием

Объёмная плотность тепловыделения. Плот

между трещинами. Глубина h каждой трещины

ность тепловых источников (Вт/м³), моделиру

в пределах рассматриваемой области составля

ющих выделение теплоты в трещинах при замер

ет 10 м. Считается, что H > h. В начальный момент

зании воды:

времени t = 0 трещины заполнены водой при тем

пературе 0 °C. Поскольку лёд, окружающий тре

(5)

щины, имеет отрицательную температуру, в них

начнётся замерзание воды, сопровождающееся

отеплением льда. Процесс будет продолжаться

где q(t) - плотность теплового потока, проходя

щего через стенки замерзающей трещины, Вт/м²;

до полного замерзания воды в момент t = t_*. Этот

процесс может быть смоделирован при помощи

δ - дельта-функция Дирака; N - количество

уравнения теплопроводности для трёхмерной

трещин; n - индекс суммирования; l - расстоя

области с плоскими источниками тепловыделе

ние между соседними трещинами, м; θ - функ

ния, соответствующими трещинам пренебрежимо

ция Хевисайда, определяемая как

малой ширины. Более того, при описанных усло

θ(z) = 1 при z ≥ 0 и θ(z) = 0 при z < 0.

виях поле температур в рассматриваемой области

в каждый момент времени - двумерное, посколь

Отметим, что режим тепловыделения в зоне

ку оно однородно в направлении, вдоль которо

трещин характеризуется исключительно зависи

го трещины имеют бесконечную протяжённость.

мостью q(t), в то время как остальные величины,

Это позволяет моделировать распространение

входящие в правую часть выражения (5), описы

тепла в данной области на основе двумерной за

вают пространственное распределение тепловых

дачи теплопроводности с одномерными (линей

источников.

ными) тепловыми источниками.

Получим явный вид функции q(t) на осно

Начально-краевая задача. Выполнено модели

ве одномерной задачи Стефана о фазовом пе

рование двумерного распределения температур в

реходе. Согласно решению этой задачи, пере

произвольной вертикальной плоскости, перпен

мещение межфазной границы ξ(t) за время t,

дикулярной направлению бесконечной протя

отсчитываемое от начала процесса, определяет

жённости трещин. Введена в этой плоскости пря

ся выражением

моугольная система координат Oxy следующим

ξ(t) = αt^½,

(6)

образом: горизонтальную ось Ox - вдоль верх

ней границы области на уровне основания актив

где α - некоторая постоянная, м с^-½; в задаче

ного слоя ледника; вертикальную ось Oy - вниз;

фронт фазового перехода представляет собой пло

 515 

Ледники и ледниковые покровы

скую границу «лёд-вода», смещающуюся в про

На основе формулы (11) получено прибли

цессе намораживания льда на стенки трещины.

жённое выражение для плотности теплового по

При выводе формулы для q(t) рассмотрена

тока, распространяющегося от замерзающей

отдельная трещина, где начальный момент одна

ледниковой трещины. В качестве полуограни

из её стенок лежит в плоскости x = 0. Непод

ченного тела в постановке вышеизложенной

вижная координатная ось x направлена перпен

задачи - выступает лёд, а в качестве границы

дикулярно плоскости межфазного фронта (см.

тела - стенка трещины. Температура воды у гра

рис. 1). Фронт движется в положительном на

ницы области льда постоянно равна 0 °C. Вместо

правлении оси x, из чего следует, что α > 0. Ус

однородной начальной температуры тела T₀ вы

ловие Стефана на границе раздела фаз в случае,

бранная усреднённая по высоте начальная тем

когда вода в трещине находится при температу

пература ледяной стенки трещины

ре 0 °C (однофазная задача Стефана), имеет сле

дующий вид:

(12)

λ(∂T/∂x)| x → ξ(t) = ρL(d ξ/dt),

(7)

При выводе выражения для применено

начальное условие (2). Учитывая, что через две

где производная в левой части равенства - одно

стенки трещины поступает удвоенный тепло

сторонняя и вычисляется при x, стремящемся к ко

вой поток, и учитывая формулу (12), получено

ординате фронта ξ(t) со стороны твёрдой фазы

окончательное выражение для плотности те

(льда); L = 3,335·10⁵ Дж/кг - удельная теплота кри

плового потока, исходящего от замерзающей

сталлизации воды. Другое граничное условие на

трещины:

поверхности раздела фаз - равенство температуры

обеих фаз температуре фазового перехода, т.е. 0 °C.

q(t) = -2 (λρc/(πt))^½ = T_s((h/H) - 2)(λρc/(πt))^½. (13)

Плотность теплового потока, проходящего через

Время замерзания. Выведена формула для

границу раздела фаз выражается формулой

расчёта времени полного замерзания воды в

q(t) = 2λ(∂T/∂x)| x → ξ(t).

(8)

трещинах t_*. Приравнивая тепловые потоки (9)

и (13):

Множитель 2 в выражении (8) связан с тем,

что слой льда намораживается на две стенки тре

α = -2 L^-1(λc/(πρ))^½.

(14)

щины, а шириной трещины в масштабе ледника

Подставив в (14) вместо его выражение по

мы пренебрегаем. Из формул (6)-(8) получаем:

формуле (12):

q(t) = αρL/t^½.

(9)

α = T_sL^-1((h/H) - 2)(λc/(πρ))^½.

(15)

Вместе с тем распределение температур в

Предполагается, что намораживание льда на

теле, занимающем полупространство (x > 0), на

обе стенки трещины происходит с одинаковой

границе которого (x = 0) поддерживается посто

скоростью, поэтому граница раздела фаз с каж

янная нулевая температура, а начальная темпе

дой стороны трещины шириной d (м) за время

ратура T₀ одинакова для всего тела, имеет следу

(с) переместится на расстояние d/2. Из фор

ющий вид (Карслоу, 1947):

мулы (6) следует, что вода в трещине полностью

замёрзнет за время t_* = d ²/(4α²). Подставив в по

T(x, t) = T₀erf(0,5x(at)^-½),

(10)

следнюю формулу выражение (15) для α, полу

где a = λ/(ρc) - коэффициент температуропровод

чается выражение для времени замерзания воды

в трещинах:

ности, м²/с;

- функция ошибок.

= πρL²H ²d ²/(4λcTs2(2H - h)²).

(16)

Из закона теплопроводности Фурье и фор

мулы (10) следует, что плотность теплового по

Решение начально-краевой задачи. Распределе

тока на границе тела с начальной температурой

ние температур в моделируемой области ледни

T₀ < 0 °C составит

ка можно найти, решив задачу теплопроводно

сти (1)-(4) с функцией источников теплоты (5)

q|x = 0 = -λ(∂T/∂x)|x = 0 = -T₀(λρc/(πt))^½.

(11)

и плотностью теплового потока (13). С помощью

 516 

Г.А. Черняков, Р.А. Чернов

метода функций Грина получено аналитическое

модельных случаях. Для каждого такого случая

решение этой задачи (Полянин, 2007):

задавалось значение K достаточно большое,

чтобы погрешность решения в конечный мо

мент времени не превосходила 0,1 °C. Основные

модельные расчёты выполнялись для момента

t = 365 сут., где значения K обеспечивают доста

точную точность результата. При уменьшении

значения t верхняя оценка погрешности по фор

муле (19) незначительно возрастает. Расчёт тем

пературы по формуле (18) и визуализация ре

, (17)

зультатов выполнены в системе компьютерной

математики Maple.

где a = λ/(ρc).

Аппроксимация решения. Точное решение (17)

содержит достаточно сложную структуру и не

Параметры модели

пригодно для получения численных значений

температуры в отдельных точках. Однако это ре

При расчёте температурного поля независимо

шение может быть заменено аппроксимацией,

варьировались два параметра толщи ледника -

достаточно точной для выполнения модельных

температура на нижней границе активного слоя

расчётов. Эта аппроксимация, основанная на за

ледника (T_s) и толщина части холодного льда, на

мене ряда в формуле (17) его частичной суммой,

ходящейся ниже этой границы (H). Моделирова

имеет следующий вид:

ние выполнялось для двух значений температу

ры в основании активного слоя: T_s = -3 и -2 °C.

Толщина активного слоя в леднике Восточный

Грёнфьорд составляет около 8 м (Чернов и др.,

2015). Подобные значения температуры харак

терны для левой ветви ледника Восточный Грён

фьорд на соответствующих глубинах (Чернов

и др., 2015; Вшивцева, Чернов, 2017). По данным

, (18)

радиозондирования глубина поверхности раз

дела холодного и тёплого льда на леднике Вос

где K - номер последнего сохраняемого члена ряда.

точный Грёнфьорд варьирует от 20 м в верховьях

Аналитически можно получить верхнюю

левой ветви до 75 и 130 м в пределах правой ветви

оценку погрешности замены точного реше

и языка соответственно (Василенко и др., 2014;

ния (17) его аппроксимацией (18)

Сосновский и др., 2016); средняя толщина хо

лодного слоя ледника составляет около 61 м (Ма

черет и др., 2019; Мачерет и др., 2021). Исходя

из данных о распределении холодного и тёплого

льда в леднике, выполнены модельные расчёты

для H, равного 20, 40 и 60 м. Случай T_s = -3 °C и

(19)

H = 20 м не был рассмотрен, так как соответству

ющие ему условия не характерны для ледника

справедливую во всей области, заданной в (1).

Восточный Грёнфьорд.

В частности, из формулы (19) следует, что при

Начальная ширина трещин d определялась

K = 750 погрешность решения для t = 365 сут.¹

на основе формулы (16) с учётом условия, что

заведомо меньше 0,1 °C в каждой точке области

время полного замерзания трещин t_* превыша

решения задачи во всех рассмотренных ниже

ет один год. Так, при T_s = -2 °C и H = 20 м наи

меньшая (с точностью до сантиметра) ширина

¹Здесь и далее время переведено из расчётных единиц (с)

трещины, замерзающей больше года, составляет

в сутки (сут.).

0,13 м; при T_s = -2 °C и толщине холодного слоя

 517 

Ледники и ледниковые покровы

40 и 60 м дольше года будут замерзать трещины

температурного поля в центральной части зоны

шириной 0,16 м и более; при T_s = -3 °C и мощ

трещиноватости и ниже неё, т.е. дальнейшее

ности холодной толщи 40 и 60 м минимальные

увеличение N практически не влияет на распре

значения ширины составят 0,23 и 0,24 м соот

деление температур в этой области.

ветственно. Таким образом, при ширине трещин

не менее 0,24 м льдообразование будет продол

жаться больше года во всех рассмотренных ва

Результаты

риантах моделирования. Отмечено, что в моде

ли изначальная ширина трещины (при условии

На рис. 2 представлены результаты модели

d ≥ 0,24 м) не влияет на режим тепловыделения

рования температурного поля в леднике через

в пределах одного года после начала процесса.

365 сут. после начала замерзания воды в трещи

Также при моделировании варьировались такие

нах при температуре подошвы активного слоя

параметры, как расстояние между соседними

-2 °C и толщине нижележащего холодного слоя

трещинами l и количество трещин N. В итоге за

20 м. На рис. 3 показана картина поля темпе

фиксированы значения l = 10 м, N = 8. Выбор

ратур при толщине холодного слоя 40 м и тем

значения l = 10 м связан с тем, что при уменьше

пературах основания активного слоя -3 °C (см.

нии этого расстояния на несколько метров мо

рис. 3, а) и -2 °C (см. рис. 3, б). Результаты рас

дельные вычисления показывают физически не

чётов при H = 60 м, T_s = -3 и -2 °C качествен

реалистичный результат: нагревание льда вблизи

но сходны с соответствующими результатами

трещин до положительных температур. Выбор

для H = 40 м, T_s = -3 и -2 °C. Более подробно

числа трещин N = 8 связан с тем, что при таком

рассмотрен случай T_s = -2 °C, H = 20 м - един

числе трещин формируется стабильная картина

ственный, при котором изменяется положение

Рис. 2. Температурное поле в леднике в конце годового периода льдообразования в трещинах при начальной

температуре на глубине основания активного слоя ледника -2 °C и начальной толщине нижележащего хо

лодного слоя 20 м.

Градация цвета 1-10 соответствует изменению температуры на 0,2 °C; 10 - температура 0 °C. Красным отмечены трещи

ны. Глубина отсчитывается от основания активного слоя ледника

Fig. 2. Temperature field in the glacier at the end of the annual period of ice formation in crevasses at an initial tem

perature at a depth of the base of the active layer of the glacier -2 °C and an initial thickness of the underlying cold

layer 20 m.

Color gradation 1-10 corresponds to a temperature change of 0.2 °C; 10 - temperature 0 °C. Crevasses are marked in red. Depth is

measured from the base of the active layer of the glacier

 518 

Г.А. Черняков, Р.А. Чернов

Рис. 3. Температурное поле в леднике в конце годового периода льдообразования в трещинах при толщине

холодного слоя 40 м:

а - при температуре -3 °C; б - при температуре -2 °C. Градация цвета соответствует изменению температуры на 0,2 °C.

Красным отмечены трещины. Глубина отсчитывается от основания активного слоя ледника

Fig. 3. Temperature field in the glacier at the end of the annual period of ice formation in crevasses with a cold layer

thickness of 40 m:

а - at a temperature of -3 °C; б - at a temperature of -2 °C. The color gradation corresponds to a temperature change of 0.2 °C.

Crevasses are marked in red. Depth is measured from the base of the active layer of the glacier

границы холодного и тёплого льда. Для этого

Сравнение рассмотренных модельных слу

случая дополнительно построены: горизонталь

чаев указывает на то, что температура в основа

ные профили температуры на различных глу

нии активного слоя T_s влияет в основном на аб

бинах (рис. 4, а); вертикальные профили тем

солютное значение температуры в той или иной

пературы в центральной части зоны трещин на

точке расчётной области спустя год после на

различных расстояниях до ближайших трещин

чала тепловыделения, в то время как структура

(рис. 4, б); графики эволюции температуры в

температурного поля и, в частности, конфигу

трёх точках посередине зоны трещин на различ

рация изотерм определяются в большей степе

ных глубинах (рис. 5).

ни толщиной холодного слоя H (см. рис. 2, 3).

 519 

Ледники и ледниковые покровы

Рис. 4. Температура в леднике в конце годового периода льдообразования в трещинах при начальной темпе

ратуре основания активного слоя -2 °C и начальной толщине холодного слоя 20 м:

а - горизонтальные профили на различных глубинах: 1 - на глубине 5 м; 2 - на глубине 10 м; 3 - на глубине 15 м; б -

вертикальные профили в центральной части зоны трещин: 4 - на расстоянии 1 м от ближайшей трещины; 5 - на рассто

янии 5 м от соседних трещин; 6 - начальный профиль. Глубина отсчитывается от основания активного слоя ледника

Fig. 4. Temperature in the glacier at the end of the annual period of ice formation in cracks at the initial temperature

of the base of the active layer -2 °C and the initial thickness of the cold layer 20 m:

а - horizontal profiles at different depths: 1 - at a depth of 5 m; 2 - at a depth of 10 m; 3 - at a depth of 15 m; б - vertical profiles

in the central part of the crack zone: 4 - at a distance of 1 m from the nearest crack; 5 - at a distance of 5 m from neighboring

cracks; 6 - initial profile. Depth is measured from the base of the active layer of the glacier

Моделирование показывает, что максимальная

щины холодного слоя (составляет около 1 °C

величина разогрева льда за счёт кристаллиза

при T_s = -2 °C, H = 20 м; 1,2 °C при T_s = -2 °C,

ции воды возрастает по мере увеличения тол

H = 40 м; 1,3 °C при T_s = -2 °C, H = 60 м). В ещё

 520 

Г.А. Черняков, Р.А. Чернов

Рис. 5. Годовая динамика температуры в центральной части области трещиноватости на различных глубинах

при начальной температуре основания активного слоя -2 °C и начальной толщине холодного слоя 20 м:

1 - на глубине 5 м; 2 - на глубине 10 м; 3 - на глубине 15 м. Глубина отсчитывается от основания активного слоя ледника

Fig. 5. Annual temperature dynamics in the central part of the crevassed area at different depths at the initial tempera

ture of the base of the active layer -2 °C and the initial thickness of the cold layer 20 m:

1 - at a depth of 5 m; 2 - at a depth of 10 m; 3 - at a depth of 15 m. The depth is measured from the base of the active layer of the glacier

большей степени наибольшая величина разо

мерзающих трещин. На глубине нижней грани

грева зависит от температуры в основании ак

цы зоны трещин и ниже температура повышает

тивного слоя (1,8 °C при T_s = -3 °C, H = 40 м;

ся в течение всего года, поскольку волна тепла

1,9 °C при T_s = -2 °C, H = 60 м) и достигается в

приходит туда с запозданием. Соответственно и

областях ледника между трещинами. На глубине

охлаждение льда в этой области начнётся позже,

около 5 м ниже зоны трещин разогрев менее зна

чем в более высоких горизонтах. Аналогич

чителен - не превосходит 0,5 °C при T_s = -2 °C и

ная динамика температуры на разных глубинах

0,7 °C при T_s = -3 °C - и слабо зависит от мощ

имеет место и в остальных модельных случаях.

ности холодной толщи. Также на этой глубине в

Результаты моделирования в случае T_s = -2 °C,

области ниже трещин горизонтальный градиент

H = 20 м показывают, что граница холодного

температур, существенный в пределах зоны тре

и тёплого льда, изначально расположенная на

щин, почти полностью затухает (см. рис. 4, а).

20 м глубже подошвы активного слоя, относи

Вертикальные профили температуры в области

тельно равномерно сместится вверх в области

трещиноватости к концу годового периода по

ниже центральной части зоны трещин до глуби

ступления тепла подвергаются заметному возму

ны около 16,6 м (см. рис. 2, см. рис. 4, б). Таким

щению, однако расстояние до ближайшей тре

образом, толщина холодного льда в этой обла

щины влияет на вертикальное распределение

сти за счёт тепловыделения в трещинах может

температур незначительно (см. рис. 4, б).

сократиться примерно на 3,4 м. Вблизи грани

Темпы нагревания льда существенно зависят

цы зоны трещиноватости сокращение холод

от глубины (см. рис. 5). При T_s = -2 °C, H = 20 м

ной толщи, согласно расчёту, будет меньше и

на глубине 5 м ниже основания активного слоя

составит около 2,4 м. Дополнительный приток

максимальные значения температуры достига

тепла со стороны замерзающих трещин к тёпло

ются за время около 200 сут., после чего начи

му льду, находящемуся ниже CTS, может вы

нается постепенное охлаждение, связанное с

звать таяние и образование воды (Глазовский,

ослаблением мощности теплового потока от за

Мачерет, 2014).

 521 

Ледники и ледниковые покровы

При толщине холодного слоя 40 и 60 м не

дится усреднение начальной температуры льда по

зависимо от температуры в основании активно

глубине трещины; рассматривается регулярная сеть

го слоя (-3 или -2 °C) уже на глубине 30 м воз

бесконечных по горизонтальной протяжённости

мущения температурного поля в конце годового

трещин и др. Одна из принятых гипотез наиболее

периода льдообразования в трещинах практи

существенно влияет на результаты моделирования:

чески отсутствуют (менее 0,02 °C). Таким обра

выражение для постоянной α, характеризующей

зом, значимый разогрев льда будет происходить

скорость намораживания льда и интенсивность те

в пределах 20-метровой холодной толщи, нахо

пловыделения, найдено исходя из предположения

дящейся ниже зоны трещин. Также в этих мо

о равенстве выражений (9) и (13) для теплового по

дельных случаях смещение CTS вверх за один

тока - вычисляемого на основе задачи Стефана и

год пренебрежимо мало - менее 0,1 м.

с помощью задачи о распространении теплоты в

Самостоятельный интерес представляет во

полупространстве с постоянной температурой на

прос о максимальном возможном сокращении

его границе. Однако выражение (14) для параме

холодной толщи ледника в предположении,

тра α согласуется с соответствующими формула

что льдообразование в трещинах и нагревание

ми, применёнными в работах (Rubin, 1995; Alley et

льда происходят в течение длительного време

al., 2005; van der Veen, 2007), с точностью до заме

ни, больше года. Расчёты показали, что в случае

ны начальной температуры твёрдой фазы T₀ её ус

Ts = -2 °C, H = 20 м CTS поднимется вверх при

реднённой температурой . Численные значения

мерно на 7,2 м за время около 1300 сут. (более

параметра α во всех моделируемых нами случаях

3,5 лет), после чего в результате ослабления те

имеют один порядок и варьируют от 1,15·10-5 м с^-½

плового потока от замерзающих трещин уровень

при T_s = -2 °C, H = 20 м до 2,11·10^-5 м с^-½ при

CTS вновь будет понижаться. Согласно модели,

Ts = -3 °C, H = 60 м.

при данных начальных условиях дольше 1300 сут.

Отмечено, что выражения для теплового по

будет замерзать вода в трещинах шириной 0,25 м

тока (9) и (13) получены в предположении, что

и более. При начальной толщине холодного слоя

существует единичная трещина, заполненная за

40 и 60 м вне зависимости от температуры на верх

мерзающей водой. В действительности, темпера

ней границе области (-3 или -2 °C) сокращение

турные поля, определяемые близкорасположен

холодной толщи заняло бы существенно большее

ными тепловыми источниками (трещинами),

время - около 5300 и 11500 сут. соответственно,

интерферируют, что может изменять интенсив

однако такой длительный процесс льдообразо

ность действия каждого источника. Разработка

вания был бы возможен лишь в очень широких

модели для системы взаимодействующих тепло

трещинах (0,5-1,5 м), какие не характерны для

вых источников и расчёт соответствующих тем

ледника Восточный Грёнфьорд. Граница раздела

пературных полей в леднике - отдельная задача,

холодного и тёплого льда в этих модельных случа

которая может быть решена в ходе дальнейших

ях переместится вверх не более чем на 7 м.

исследований.

Во всех рассмотренных случаях начальное

Для более точного описания процесса важно

поле температур остаётся практически невозму

получить полевые данные о темпах сокращения

щённым во всех горизонтах на расстоянии 20 м

трещин с водой на ледниках архипелага Шпиц

и более от зоны трещин в горизонтальном на

берген. Выполнив измерения ширины трещин

правлении (см. рис. 2, 3 и рис. 4, а).

в разные моменты времени и аппроксимировав

полученную эмпирическую зависимость, опре

делено реалистичное значение постоянной α,

Обсуждение результатов

отвечающей за длительность и интенсивность

моделируемых процессов. Наблюдения на лед

При моделировании гидрологического отепле

нике Восточный Грёнфьорд показали, что его

ния ледника были приняты некоторые упрощаю

левая ветвь теплее правой на 1,5-2 °C во всех го

щие предположения: тепловой поток на глубине

ризонтах ниже активного слоя, и это различие

начального положения CTS считается постоян

в температурах объясняется преимущественно

ным; при вычислении плотности теплового пото

теплоизолирующим действием более мощного

ка, исходящего от замерзающей трещины, прово

снежного покрова на левой ветви, который пре

 522 

Г.А. Черняков, Р.А. Чернов

пятствует зимнему выхолаживанию (Вшивцева,

ная величина разогрева льда к концу годового

Чернов, 2017). При этом термический эффект

цикла в зависимости от параметров модели ва

льдообразования в трещинах, характерных глав

рьирует между 1 и 2 °C. При сравнительно малой

ным образом для левой ветви, не учитывался.

толщине холодного слоя (20 м) ниже зоны тре

Результаты моделирования позволяют предпо

щин за счёт тепловыделения в течение года про

ложить, что отепление льда за счёт снежного по

изойдёт относительно равномерное сокращение

крова на левой ветви в действительности меньше

холодной толщи на 3,4 м. Если тепловыделение

приведённых значений на величину гидрологи

продолжится, то холодная толща сократится на

ческого отепления, которая, варьирует в зависи

максимальную величину 7,2 м за время около

мости от свойств сети трещин, мощности холод

1300 сут. При большей начальной толщине хо

ной толщи и других параметров.

лодного слоя (40 и 60 м) эффект смещения гра

Сравнение результатов моделирования с дан

ницы холодного и тёплого льда к концу годового

ными скважинной термометрии на леднике Вос

цикла практически не наблюдается в результа

точный Грёнфьорд показывает близкое соответ

тах моделирования; возмущения температурно

ствие как по масштабам вариаций температур,

го поля затухают в пределах 20-метрового слоя

так и по их абсолютным значениям. Так, тем

льда ниже области трещин. Кроме того, во всех

пература на глубине около 13 м в скважине № 1

модельных случаях температура остаётся прак

(Чернов и др., 2015), находящейся в области тре

тически неизменной на расстоянии около 20 м

щиноватости в верховье левой ветви ледника, из

по горизонтали от зоны трещиноватости.

меняется между -1,2 и -0,7 °C по данным по

Таким образом, моделирование позволяет

вторных измерений температуры в скважинах в

оценить возможный вклад гидрологического

2012-2014 гг., в то время как модельный расчёт

механизма отепления холодного льда в общую

для случая T_s = -2 °C, H = 20 м, близкого к натур

динамику температурного поля ледника и даёт

ным условиям в районе данной скважины, пока

основания для количественного сопоставления

зывает на соответствующей глубине (5 м ниже по

данного эффекта с другими факторами термиче

дошвы активного слоя) вариации температуры в

ского состояния ледника, в частности теплоизо

пределах между -1,5 и -0,6 °C (см. рис. 4, б).

лирующим действием снежного покрова.

Благодарности. Математическая модель разрабо

Заключение

тана при поддержке Мегагранта (соглашение

№ 075-15-2021-599, 08.06.2021); модельные

Предложена аналитическая модель для рас

эксперименты для условий ледника Восточный

чёта температурного поля в холодном слое арк-

Грёнфьорд проводились в рамках темы Государ

тического политермического ледника (ниже ак

ственного задания № 0148-2019-0004/FMGE-

тивного слоя), учитывающая тепловыделение

2019-0004/АААА-А19-119022190172-5 «Оледе

при кристаллизации воды температурой 0 °C в

нение и сопутствующие природные процессы

регулярной сети плоских параллельных ледни

при изменениях климата». Авторы благодарны

ковых трещин (расстояния между соседними

Ю.Я. Мачерету и А.В. Сосновскому за плодот

трещинами и их глубины фиксированы - 10 м).

ворные обсуждения научной проблематики.

Трещины считаются независимыми тепловыми

Acknowledgments. The development of the mathematical

источниками. На основе модели для различных

model was supported by the Megagrant project (agree

начальных условий, характерных для разных об

ment No. 075-15-2021-599, 08.06.2021); model ex

ластей ледника Восточный Грёнфьорд, произ

periments for the conditions of the Austre Grønfjord

ведён расчёт эволюции поля температур к концу

breen glacier were carried out within the framework of

годового периода льдообразования в трещинах.

the topic of the State task No. 0148-2019-0004/

Показано, что изначальная толщина холодного

FMGE-2019-0004/АААА-А19-119022190172-5

слоя (20, 40 или 60 м) сильнее влияет на карти

«Glaciation and related natural processes under cli

ну температурного поля по сравнению с таким

mate change». The authors are grateful to Yu.Ya. Ma

фактором, как температура в основании актив

cheret and A.V. Sosnovsky for fruitful discussions of

ного слоя ледника (-3 или -2 °C). Максималь

scientific problems.

 523 

Ледники и ледниковые покровы

Литература

References

Василенко Е.В., Глазовский А.Ф., Лаврентьев И.И., Ма-

Vasilenko E.V., Glazovsky A.F., Lavrentiev I.I., Macher-

черет Ю.Я. Изменение гидротермической струк

et Y.Y. Changes of hydrothermal structure of Austre

туры ледников Восточный Гренфьорд и Фритьоф

Grønfjordbreen and Fridtjovbreen glaciers in Sval

на Шпицбергене // Лёд и Снег. 2014. Т. 54. № 1.

bard. Led i Sneg. Ice and Snow. 2014, 54 (1): 5-19.

C. 5-19. doi: 10.15356/2076-6734-2014-1-5-19.

doi: 10.15356/2076-6734-2014-1-5-19. [In Russian].

Вшивцева Т.В., Чернов Р.А. Пространственное рас

Vshivtseva T.V., Chernov R.A. Spatial distribution of snow

пределение снежного покрова и поле темпера

cover and temperature in the upper layer of a poly

тур в верхнем слое политермического ледни

thermal glacier. Led i Sneg. Ice and Snow. 2017, 57 (3):

ка // Лёд и Снег. 2017. Т. 57. № 3. С. 373-380. doi:

373-380. doi: 10.15356/2076-6734-2017-3-373-380.

10.15356/2076-6734-2017-3-373-380.

[In Russian].

Глазовский А.Ф., Мачерет Ю.Я. Вода в ледниках. Ме

Glazovsky A.F., Macheret Yu.Ya. Voda v lednikakh. Metody

тоды и результаты геофизических и дистанцион

i rezul'taty geofizicheskikh i distantsionnykh issledovaniy.

ных исследований. М.: «ГЕОС», 2014. 528 с.

Water in glaciers. Methods and results of geophysical

Исенко Е.В. Моделирование каналов в холодных лед

and remote sensing studies. M.: GEOS, 2014: 528 p.

никах // Материалы гляциол. исследований. 2000.

[In Russian].

Вып. 89. С. 194-199.

Isenko E.V. Modelling of channels in cold glaciers. Mate-

Исенко Е.В., Мавлюдов Б.Р. Об интенсивности вре

rialy Glyatsiologicheskikh Issledovaniy. Data of Glacio

зания русел ледниковых водотоков // Материалы

logical Studies. 2000, 89: 194-199. [In Russian].

гляциол. исследований. 2000. Вып. 89. С. 200-205.

Isenko E.V., Mavlyudov B.R. On the incision rates of gla

Казанский А.Б. Термодинамика впитывания талой

cier water flow channels. Materialy Glyatsiologicheskikh

воды в снежно-фирновую толщу // Материалы

Issledovaniy. Data of Glaciological Studies. 2000, 89:

гляциол. исследований. 1988. Вып. 61. С. 58-62.

200-205. [In Russian].

Карслоу Г.С. Теория теплопроводности. М.-Л.: Гос.

Kazanskiy A.B. Thermodynamics of melt-water soaking

изд-во технико-теоретич. литературы, 1947. 288 с.

into snow-firn thickness. Materialy Glyatsiologicheskikh

Мачерет Ю.Я., Глазовский А.Ф., Лаврентьев И.И.,

Issledovaniy. Data of Glaciological Studies. 1988, 61:

Марчук И.О. Распределение холодного и тёплого

58-62. [In Russian].

льда в ледниках на Земле Норденшельда (Шпиц

Carslaw H.S. Teoriya teploprovodnosti. Theory of thermal

берген) по данным наземного радиозондирова

conductivity. M.-L.: Gosudarstvennoye izdatel'stvo tekh

ния // Лёд и Снег. 2019. Т. 59. № 2. С. 149-166.

niko-teoreticheskoy literatury, 1947: 288 p. [In Russian].

doi: 10.15356/2076-6734-2019-2-430.

Macheret Y.Y., Glazovsky A.F., Lavrentiev I.I., Marchuk

Мачерет Ю.Я., Глазовский А.Ф., Василенко Е.В., Лав-

I.O. Distribution of cold and temperate ice in glaciers

рентьев И.И., Мацковский В.В. Сравнение гидро

on the Nordenskiold Land, Spitsbergen, from ground-

термической структуры двух ледников Шпицбер

based radio-echo sounding. Led i Sneg. Ice and Snow.

гена и Тянь-Шаня по данным радиозондирова

2019, 59 (2): 149-166. doi: 10.15356/2076-6734-2019-

ния // Лёд и Снег. 2021. Т. 61. № 2. C. 165-178.

2-430. [In Russian].

doi: 10.31857/S2076673421020079.

Macheret Y.Y., Glazovsky A.F., Vasilenko E.V., Lavren-

Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнени

tiev I.I., Matskovsky V.V. Comparison of hydrother

ям математической физики. М.: Физматлит, 2007.

mal structure of two glaciers in Spitsbergen and Tien

592 с.

Shan based on radio-echo sounding data. Led i Sneg.

Сосновский А.В., Мачерет Ю.Я., Глазовский А.Ф., Лав-

Ice and Snow. 2021, 61 (2): 165-178. doi: 10.31857/

рентьев И.И. Гидротермическая структура поли

S2076673421020079. [In Russian].

термического ледника на Шпицбергене по дан

Polyanin A.D. Spravochnik po lineynym uravneniyam

ным измерений и численного моделирования //

matematicheskoy fiziki. Handbook of linear equations

Лёд и Снег. 2016. Т. 56. № 2. C. 149-160. doi:

of mathematical physics. M.: Fizmatlit, 2001: 592 p.

10.15356/2076-6734-2016-2-149-160.

[In Russian].

Чернов Р.А., Васильева Т.В., Кудиков А.В. Темпера

Sosnovsky A.V., Macheret Y.Y., Glazovsky A.F., Lavrentiev

турный режим поверхностного слоя ледни

I.I. Hydrothermal structure of a polythermal glacier in

ка Восточный Грёнфьорд (Западный Шпицбер

Spitsbergen by measurements and numerical modeling.

ген) // Лёд и Снег. 2015. Т. 55. № 3. С. 38-46. doi:

Led i Sneg. Ice and Snow. 2016, 56 (2): 149-160. doi:

10.15356/2076-6734-2015-3-38-46.

10.15356/2076-6734-2016-2-149-160. [In Russian].

Чернов Р.А., Муравьев А.Я. Современные изменения

Chernov R.A., Vasilyeva T.V., Kudikov A.V. Temperature

площади ледников западной части Земли Норден

regime of upper layer of the glacier East Grönfjord

шельда (архипелаг Шпицберген) // Лёд и Снег.

breen (West Svalbard). Led i Sneg. Ice and Snow. 2015,

 524 

Г.А. Черняков, Р.А. Чернов

2018. Т. 58. № 4. C. 462-472. doi: 10.15356/2076-

55 (3): 38-46. doi: 10.15356/2076-6734-2015-3-38-46.

6734-2018-4-462-472.

[In Russian].

Alley R., Dupont T., Parizek B., Anandakrishnan S. Access

Chernov R.A., Muraviev A.Y. Contemporary changes in the

of surface meltwater to beds of sub-freezing glaciers:

area of glaciers in the western part of the Nordenskjold

Preliminary insights // Annals of Glaciology. 2005.

Land (Svalbard). Led i Sneg. Ice and Snow. 2018, 58

V. 40. P. 8-14. doi: 10.3189/172756405781813483.

(4): 462-472. doi: 10.15356/2076-6734-2018-4-462-

Colgan W., Rajaram H., Abdalati W., McCutchan C., Mot-

472. [In Russian].

tram R., Moussavi M.S., Grigsby S. Glacier crevass

Alley R., Dupont T., Parizek B., Anandakrishnan S. Access

es: Observations, models, and mass balance implica

of surface meltwater to beds of sub-freezing glaciers:

tions // Reviews of Geophysics. 2016. № 54. P. 119-

Preliminary insights. Annals of Glaciology. 2005, 40:

161. doi: 10.1002/2015RG000504.

8-14. doi: 10.3189/172756405781813483.

Duddu R., Jiménez S., Bassis J. A non-local continuum poro-

Colgan W., Rajaram H., Abdalati W., McCutchan C., Mot-

damage mechanics model for hydrofracturing of surface

tram R., Moussavi M.S., Grigsby S. Glacier crevass

crevasses in grounded glaciers // Journ. of Glaciology.

es: Observations, models, and mass balance implica

2020. V. 66. № 257. P. 415-429. doi: 10.1017/jog.2020.16.

tions. Reviews of Geophysics. 2016, 54: 119-161. doi:

Everett A., Murray T., Selmes N., Rutt I.C., Luckman A.,

10.1002/2015RG000504.

James T.D., Clason C., O'Leary M., Karunarathna H.,

Duddu R., Jiménez S., Bassis J. A non-local continuum po

Moloney V., Reeve D.E. Annual down-glacier drainage

ro-damage mechanics model for hydrofracturing of sur

of lakes and water-filled crevasses at Helheim Glacier,

face crevasses in grounded glaciers. Journ. of Glaciol

southeast Greenland // Journ. of Geophys. Research:

ogy. 2020, 66 (257): 415-429. doi: 10.1017/jog.2020.16.

Earth Surface. 2016. V. 121. № 10. P. 1819-1833. doi:

Everett A., Murray T., Selmes N., Rutt I.C., Luckman A.,

10.1002/2016JF003831.

James T.D., Clason C., O'Leary M., Karunarathna H.,

Gilbert A., Sinisalo A., Gurung T.R., Fujita K., Maha-

Moloney V., Reeve D.E. Annual down-glacier drain

rjan S.B., Sherpa T.C., Fukuda T. The influence of

age of lakes and water-filled crevasses at Helheim Gla

water percolation through crevasses on the thermal

cier, southeast Greenland. Journ. of Geophys. Re

regime of a Himalayan mountain glacier // The Cryo

search: Earth Surface. 2016, 121 (10): 1819-1833. doi:

sphere. 2020. V. 14. № 4. P. 1273-1288. doi: 10.5194/

10.1002/2016JF003831.

tc-14-1273-2020.

Gilbert A., Sinisalo A., Gurung T.R., Fujita K., Maharjan

Jarvis G.T., Clarke G.K.C. Thermal effects of crevassing

S.B., Sherpa T.C., Fukuda T. The influence of water

on Steele glacier, Yukon Territory, Canada // Journ.

percolation through crevasses on the thermal regime of

of Glaciology. 1974. V. 13. № 68. P. 243-254. doi:

a Himalayan mountain glacier. The Cryosphere. 2020,

10.3189/S0022143000023054.

14 (4): 1273-1288. doi: 10.5194/tc-14-1273-2020.

Lüthi M.P., Ryser C., Andrews L.C., Catania G.A.,

Jarvis G.T., Clarke G.K.C. Thermal effects of crevassing

Funk M., Hawley R.L., Hoffman M.J., Neumann T.A.

on Steele glacier, Yukon Territory, Canada. Journ.

Heat sources within the Greenland Ice Sheet: dissipa

of Glaciology. 1974, 13 (68): 243-254. doi: 10.3189/

tion, temperate paleo-firn and cryo-hydrologic warm

S0022143000023054.

ing // The Cryosphere. 2015. V. 9. № 1. P. 245-253.

Lüthi M.P., Ryser C., Andrews L.C., Catania G.A., Funk M.,

doi: 10.5194/tc-9-245-2015.

Hawley R.L., Hoffman M.J., Neumann T.A. Heat sourc

McDowell I.E., Humphrey N.F., Harper J.T., Meierbach-

es within the Greenland Ice Sheet: dissipation, temper

tol T.W. The cooling signature of basal crevasses in

ate paleo-firn and cryo-hydrologic warming. The Cryo

a hard-bedded region of the Greenland Ice Sheet //

sphere. 2015, 9 (1): 245-253. doi: 10.5194/tc-9-245-2015.

The Cryosphere. 2021. V. 15. № 2. P. 897-907. doi:

McDowell I.E., Humphrey N.F., Harper J.T., Meierbachtol T.W.

10.5194/tc-15-897-2021.

The cooling signature of basal crevasses in a hard-bedded

Pfeffer W.T., Arendt A.A., Bliss A., Bolch T., Cogley J.G.,

region of the Greenland Ice Sheet. The Cryosphere. 2021,

Gardner A.S., Hagen J.O., Hock R., Kaser G., Kien-

15 (2): 897-907. doi: 10.5194/tc-15-897-2021.

holz C., Miles E.S., Moholdt G., Mölg N., Paul F.,

Pfeffer W.T., Arendt A.A., Bliss A., Bolch T., Cogley J.G.,

Radić V., Rastner P., Raup B.H., Rich J., Sharp M.J.,

Gardner A.S., Hagen J.O., Hock R., Kaser G., Kien-

The Randolph Consortium. The Randolph Glacier In

holz C., Miles E.S., Moholdt G., Mölg N., Paul F.,

ventory: a globally complete inventory of glaciers //

Radić V., Rastner P., Raup B.H., Rich J., Sharp M.J.,

Journ. of Glaciology. 2014. V. 60. № 221. P. 537-552.

The Randolph Consortium. The Randolph Glacier In

doi: 10.3189/2014JoG13J176.

ventory: a globally complete inventory of glaciers.

Phillips T., Rajaram H., Steffen K. Cryo-hydrologic warm

Journ. of Glaciology. 2014, 60 (221): 537-552. doi:

ing: A potential mechanism for rapid thermal response

10.3189/2014JoG13J176.

of ice sheets // Geophys. Research Letters. 2010. № 37.

Phillips T., Rajaram H., Steffen K. Cryo-hydrologic warm

L20503. doi: 10.1029/2010GL044397.

ing: A potential mechanism for rapid thermal response

 525 

Ледники и ледниковые покровы

Phillips T., Rajaram H., Colgan W., Steffen K., Abdalati W.

of ice sheets. Geophys. Research Letters. 2010, 37:

Evaluation of cryo-hydrologic warming as an explana

L20503. doi: 10.1029/2010GL044397.

tion for increased ice velocities in the wet snow zone,

Phillips T., Rajaram H., Colgan W., Steffen K., Abdalati W.

Sermeq Avannarleq, West Greenland // Journ. of

Evaluation of cryo-hydrologic warming as an explana

Geophys. Research: Earth Surface. 2013. V. 118. № 3.

tion for increased ice velocities in the wet snow zone,

P. 1241-1256. doi: 10.1002/jgrf.20079.

Sermeq Avannarleq, West Greenland. Journ. of Geo

Poinar K., Joughin I., Lilien D., Brucker L., Kehrl L., No-

phys. Research: Earth Surface. 2013, 118 (3): 1241-

wicki S. Drainage of Southeast Greenland Firn Aqui

1256. doi: 10.1002/jgrf.20079.

fer Water through Crevasses to the Bed // Journ.

Poinar K., Joughin I., Lilien D., Brucker L., Kehrl L., No-

of Front. Earth Sci. 2017. V. 5. P. 5. doi: 10.3389/

wicki S. Drainage of Southeast Greenland Firn Aquifer

feart.2017.00005.

Water through Crevasses to the Bed. Journ. of Front.

Rubin A.M. Propagation of magma-filled cracks // Annu.

Earth Sci. 2017, 5: 5. doi: 10.3389/feart.2017.00005.

Rev. Earth. Pl. Sc. 1995. V. 23. № 1. P. 287-336. doi:

Rubin A.M. Propagation of magma-filled cracks. Annu.

10.1146/annurev.ea.23.050195.001443.

Rev. Earth. Pl. Sc. 1995, 23 (1): 287-336. doi: 10.1146/

van der Veen C.J. Fracture propagation as means of rapidly

annurev.ea.23.050195.001443.

transferring surface meltwater to the base of glaciers //

van der Veen C.J. Fracture propagation as means of rap

Geophys. Research Letters. 2007. № 34. L01501. doi:

idly transferring surface meltwater to the base of gla

10.1029/2006GL028385.

ciers. Geophys. Research Letters. 2007, 34, L01501.

Weertman J. Can a water-filled crevasse reach the bot

doi: 10.1029/2006GL028385.

tom surface of a glacier? // IASH publ. 1973. V. 95.

Weertman J. Can a water-filled crevasse reach the bottom

P. 139-145.

surface of a glacier? IASH publ. 1973, 95: 139-145.

 526 