Лёд и Снег · 2022 · Т. 62 · № 4

УДК 539.3/5

DOI: 10.31857/S2076673422040154, EDN: MIBXSE

Двойная периодичность механических свойств тонкого ледяного поля,

сформированного в условиях бокового стеснения

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук, Москва, Россия

*evp@ipmnet.ru

Double periodicity of mechanical properties of a thin ice field formed

under conditions of lateral constraint

V.P. Epifanov*, S.A. Lychev

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia

^*evp@ipmnet.ru

Received May 19, 2022 / Revised June 21, 2022 / Accepted October 7, 2022

Keywords: constrained deformation during freezing, ice, modal analysis, plate, resistance to through penetration, viscoelastic.

Summary

Experimental data and results of theoretical modeling of the bending of a viscoelastic floating ice plate

formed under constrained deformation are analyzed. When a thin plate of ice is frozen on the water sur-

face under conditions of constrained deformation, which may be caused, for example, by the rigid walls

of the pool, periodic changes in physical properties occur in it, in particular, periodic penetration resis-

tance. Experimental results confirming this fact were obtained during tests of a thin ice cover at the Krylov

State Research Center (Saint-Petersburg, Russia). A characteristic feature of the test results is that their spa-

tial distributions can be represented with sufficient accuracy as an overlap of two periodic functions with

significantly different periods: long-wave and short-wave components. In this paper, a detailed analysis of

experimental data is given, which makes it possible to isolate these components. Furthermore, the theoreti-

cal model that explains the physical causes for double periodicity is proposed. The model assumes visco-

elastic quasi-static deformation of the ice plate caused by small fluctuations of the water level in the basin

and random disturbances of its surface. An analytical solution for the model case of cylindrical bending

is derived. The solution is presented in the form of an expansion in terms of eigenfunctions of differen-

tial operators generated by the boundary value problem under study. It has been established that when a

thin plate of ice freezes under conditions of constrained deformation, there are at least two reasons for the

appearance of a periodic structure: a general loss of stability as an elastic structure and a local loss of stabil-

ity by a viscoelastic-plastic mechanism. The results obtained can be used in the development of the theory

of ice compression, in assessing the causes of variation in the local strength of ice fields and the possibility of

their artificial destruction.

Citation: Epifanov V.P., Lychev S.A. Double periodicity of mechanical properties of a thin ice field formed under conditions of lateral constraint. Led i Sneg.

Ice and Snow. 2022, 62 (4): 591-606. [In Russian].

doi: 10.31857/S2076673422040154, edn: mibxse

Поступила 19 мая 2022 г. / После доработки 21 июня 2022 г. / Принята к печати 7 октября 2022 г.

Ключевые слова: вязкоупругость, ледяное поле, модальный анализ, сопротивление сквозной пенетрации, стеснённое

деформирование при замораживании.

Обсуждаются двойная периодичность (cжатие в плоскости ледяного поля и реологический

характер локализации и накопления изгибных деформаций в нём), методы её экспериментальной

идентификации, математическое моделирование и причины появления. Установлены две причины

возникновения периодичности: общая потеря устойчивости упругой конструкции и локальная неу-

стойчивость по вязкоупругому механизму. Первая зависит от геометрии пластины в целом и усло-

вий её закрепления, вторая - от толщины, усилия обжатия и физико-механических свойств льда.

Введение

риал, лёд имеет специфические особенности,

которые проявляются, в частности, в сложных

Известно, что строение и эволюция криос

реологических соотношениях, определяющих

феры Земли во многом определяются свойства

эволюцию его напряжённо-деформированного

ми льда (Постникова, Рыбак, 2021). Как мате

состояния, и в разнообразии его поликристал

 591 

Морские, речные и озёрные льды

лических структур, сформированных при раз

щённом виде с помощью линейных уравне

личных условиях залегания. Разработка моде

ний технической теории пластин (Тимошенко,

лей гляциологических процессов предполагает

Войновский-Кригер, 1966). При этом краевые

достоверное знание соответствующих характе

условия деформирования ледяной пластины

ристик льда в условиях залегания (Bock et al,

выбирают заведомо соответствующими не

2019; Box et al, 2017). Однако из-за многочис

значительным силам сжатия в срединной пло

ленных технических трудностей определить эти

скости пластины, которые слабо влияют на её

характеристики в процессе полевых испыта

изгибные деформации. В большинстве работ

ний сложная, а иногда и невыполнимая задача.

пластина считается тонкой и рассматривает

Именно поэтому реологические свойства льда

ся как свободно плавающая (Fox, Squire, 1994;

часто определяют в лабораторных условиях на

Meylan, 2021) или как консольно закреплённая

образцах, история формирования и простран

(Staroszczyk, Hedzielski, 2004). Это, с одной сто

ственные масштабы которых могут сильно от

роны, облегчает моделирование изгиба пласти

личаться от естественных условий. По этой

ны (Тимошенко, Войновский-Кригер, 1966.),

причине важно выделить наиболее значимые

а с другой - не позволяет в полной мере учесть

факторы, влияющие на напряженно-деформи

совокупность факторов, приводящих к появле

рованное состояние льда в ледяном поле и эво

нию двойной периодичности. В работе пред

люцию его механических свойств, и учесть их

лагается модификация математической моде

как при теоретическом описании, так и в лабо

ли ледяной пластины, учитывающая усилия

раторном моделировании.

обжатия и вязкоупругий механизм накопле

Установлено, что к таким факторам относят

ния изгибных деформаций, которая позволяет

ся cжатие в плоскости ледяного поля и реологиче-

объяснить причину появления второго (корот

ский характер локализации и накопления изгибных

коволнового) периода.

деформаций в нём, возникающие в процессе его

Отмечено, что учёт сжимающих сил в пло

формирования в условиях стеснённого дефор

скости упругой пластины, проводился для пре

мирования. Эти факторы приводят к развитию в

дельных значений напряжений, приводящих

ледяном поле периодически чередующихся об

или к постановке задачи устойчивости (Воль

ластей с изменёнными физико-механическими

мир, 1963), или к нелинейной задаче для гиб

свойствами (по отношению ко льду, сформи

ких пластин (Ciarlet, 1988). Условия докритиче

рованному без стеснения его деформирования).

ского стеснённого деформирования, особенно

Это подтверждается экспериментальными на

при формировании ледяных полей, остава

блюдениями, в частности, значениями усилий

лись недостаточно исследованными. Посколь

пенетрации, измеряемых с достаточно малым

ку стеснённое деформирование льда проявля

шагом (Епифанов, Сазонов, 2020). Особенность

ется всякий раз при замораживании воды не

пространственного распределения этих изме

только между берегами рек, но также между бе

нений представлена как сумма двух периодиче

регом и дрейфующим льдом или между непод

ских функций. Предмет работы - обсуждение

вижными льдами, теоретическое исследование

такой двойной периодичности, методов её экс

этого феномена и воспроизведение его в лабо

периментальной идентификации, математиче

раторных условиях имеет широкий круг прило

ского моделирования и объяснения причин её

жений. Экспериментальное исследование фе

появления с позиций механики континуума.

номена двойной периодичности выполнено в

В настоящее время существуют разнообраз

Крыловском государственном научном центре

ные аналитические и численные методы ис

(Санкт-Петербург, Россия). С помощью метода

следования напряжённо-деформированного

пенетрации получен массив эксперименталь

состояния ледяного поля (Staroszczyk, 2019).

ных данных, первоначальная обработка кото

Однако в большинстве теоретических исследо

рых подтвердила периодичность прочностных

ваний свойства льда описывают усреднённы

свойств ледяного поля и позволила оценить

ми характеристиками в упругой постановке. В

пространственные периоды (1 и 5 м) в различ

частности, в (Box et al, 2017; Fox, Squire, 1994;

ных поперечных сечениях ледяного поля (Епи

Meylan, 2021) изгиб рассматривается в упро

фанов, Сазонов, 2020).

 592 

В.П. Епифанов, С.А. Лычев

В предыдущих исследованиях для теорети

Экспериментальные результаты

ческого описания периодичности применялась

аппроксимация экспериментальных данных с

Представление экспериментальных данных

помощью упругих мод-колебаний жёстко за

кусочно-постоянными функциями. Детали техни

креплённой прямоугольной пластины в пред

ческой реализации измерений изложены в (Епи

положении, что неоднородность, возникающая

фанов, Сазонов, 2020). Краткое изложение для

в ней, подобна распределению напряжений в

одного сечения дано в (Епифанов, Лычёв, 2022).

пластине, потерявшей устойчивость плоской

Далее приведены данные измерений силы пене

формы по упругой схеме. Этот подход доста

трации в четырёх поперечных сечениях ледяного

точно хорошо воспроизводит период 5 м, ко

поля. Ледяная пластина имеет размер 80 × 10 м².

торому соответствует фундаментальная мода

Координаты точек измерения, значения усилий

упругой системы. Волновая составляющая дли

пенетрации и продольная координата x сечений,

ной 1 м формально может быть представлена

в которых выполнялись измерения приведены

некоторой высокочастотной модой. При этом,

на рис. 1. На рисунке экспериментальные зна

однако, возникал вопрос: по какой причине в

чения силы пенетрации F_nm и поперечные коор

потерявшей устойчивость плоской форме пла

динаты мест измерения пенетрации p_nm указаны

стины существенным образом проявляется ко

точками. По значениям измерений F_nm и коорди

ротковолновая мода с периодом 1 м? Анализ

натам p_nm, m = 1, … s, соответствующим сечению

ледяной пластины как упругой системы не по

n и номеру точки m (s - общее число точек изме

зволяет ответить на этот вопрос. Кроме того,

рения) задаются кусочно-постоянные функции

экспериментально установлено, что вклад пе

риодичности в распределение свойства со

противляемости многократно увеличивается

со временем. Этот экспериментальный факт

свидетельствует о протекании релаксацион

ных процессов, которые не могут быть учтены

в упругой модели.

Необходим новый подход, учитывающий,

которые определяют интерполяцию экспери

что вторичное состояние достигается из-за рео-

ментальных данных нулевого порядка между

логических эффектов по прошествии некото

точками измерения и экстраполируют крайние

рого времени и зависит только от локальных

значения до границ бассейна. Графики этих

свойств ледяного поля (от физико-механиче

функций также приведены на рис. 1.

ских свойств и толщины, а не от условий закре

Основные периоды и их пространственные из-

пления всей пластины в целом). В рамках рабо

менения. В предшествующих работах (Епифа

ты предлагается учесть эти экспериментальные

нов, Сазонов, 2020; Epifanov, Sazonov, 2021) экс

факты за счёт моделирования ледяного поля

периментальные данные аппроксимировались

как вязкоупругой пластины и применять из

тригонометрическими функциями и с их по

вестный теоретический факт о развитии во вре

мощью оценивались коротковолновые (1 м) и

мени вторичного периодического напряжён

длинноволновые (5 м) периоды. Несмотря на

но-деформированного состояния, связанного

простоту, такой подход содержал существенный

с неупругим характером деформирования ле

недостаток: тригонометрические функции, пе

дяной пластины (Stig-Göran Sjölind. 1985; Епи

риоды которых определялись из условия наи

фанов, Сазонов, 2020). Этот подход представ

лучшего совпадения с экспериментальными

ляется весьма продуктивным для преодоления

данными, в общем случае не образовывали ор

указанных здесь трудностей. При этом сохра

тогональную систему, и из-за взаимного влия

няется ограничение по величине действующих

ния выбор аппроксимирующих функций был

сил. Силы сжатия в пластине считаются докри

не единственным. Это приводило к потере объ

тическими. Соответственно, влияние нелиней

ективности представления данных. В работе

ных эффектов на форму изгиба окажется заве

применяется иной подход. Для выделения двух

домо малым и слабо влияющим на результат.

пространственных периодов из кусочно-посто

 593 

Морские, речные и озёрные льды

Рис. 1. Экспериментально определённые силы пенетрации в продольных сечениях ледяного поля:

а - 55 м; б - 56 м; в - 57 м; г - 58 м; точками указаны места в поперечном профиле бассейна и значения измерений

Fig. 1. Experimentally determined penetration forces in the longitudinal sections of the ice field:

а - 55 m; б - 56 m; в - 57 m; г - 58 m; points indicating the location in the transverse profile and measurement values

янных представлений экспериментальных дан

ных применялась ортонормированная система

(1)

функций (φ0n, φ1n, φ2n). Первая из них - постоян

В качестве φ^kn применялись функции, по

ная, а две другие - квазипериодические, перио

лучаемые в результате процесса ортогонализа

ды которых непрерывно изменяются в заданном

ции Грама-Шмидта системы неортогональных

диапазоне. Таким образом, аппроксимация экс

функций:

периментальных данным может быть записана

в виде

ψ0n = 1, ψ1n = sin(Ω_nx +

f~_n(x) = A0n φ0n(x) + A1n φ1n(x) + A2n φ2n(x).

ψ1n = sin(ω_nx + ε_n), ω_n > Ω_n.

(2)

Свойство ортогональности позволяет неза

Первая функция характеризует постоянную

висимо выделить длинно- и коротковолновую

составляющую экспериментальных данных, вто

составляющие, хотя для его обеспечения при

рая - длинноволновую составляющую, третья -

ходится отказаться от строгой периодичности и

коротковолновую. Процедура ортогонализации

заменить её квазисвойством. Однако, как видно

даёт следующий результат:

из приведённых далее конкретных вычислений,

отклонение от строгой периодичности оказыва

ется небольшим и не вносит какого-либо значи

мого вклада в анализ. Не погружаясь в техниче

ские детали, отметим, что ортонормированность

(3)

понимается в смысле следующего скалярного

произведения:

 594 

В.П. Епифанов, С.А. Лычев

Рис. 2. Аппроксимирующие функции при различных значениях параметров:

Ω = 1, ω = 6, є = ε = 0 (а); Ω = 2,5, ω = 3, є = ε = 0 (б); линия: 1 - длинноволновая; 2 - коротковолновая; 3 - константа

Fig. 2. Approximating functions for different values of the parameters:

Ω = 1, ω = 6, є = ε = 0 (а); Ω = 2.5, ω = 3, є = ε = 0 (б); line: 1 - long-wave; 2 - shortwave; 3 - constant

Здесь β_n, δ_n, σ_n, ν_n, ζ_n - числовые параметры,

чии волновых параметров Ω_n и ω_n эти функции

определяемые по произвольно принимаемым

близки к периодическим. Нарушение периодич

значениям для волновых Ω_n, ω_n и фазовых

, ε_n

ности, вызванное процедурой ортогонализации,

характеристик по следующим формулам:

существенно меньше погрешностей, вносимых

разбросом исходных данных. На рис. 2 приведе

ны аппроксимирующие функции с существен

но различными значениями волновых параме

тров (a) и для сравнения - с близкими (б).

Из рис. 2 следует, что дальнейшее примене

ние полученных аппроксимирующих функций (4)

ограничено существенно различными значения

ми волновых параметров, что не противоречит их

априорной оценке в 1 и 5 м. Определение параме

тров Ω_n, ω_n,

, ε_n для каждого сечения n осущест

влялось из условия минимума невязки

||f_n - f~n||→min

(4)

(Ω_n,ω_n, ,εn) (0,3)×(3,10)×(0,2π)×(0,2π).

Здесь норма ||.|| определяется скалярным

произведением (1), а коэффициенты A0n, …, A2n

вычисляются как проекции на элементы орто

нормированной системы:

Aⁱⁿ = f_n, φⁱⁿ, i = 0,1,2.

(5)

Выбор волнового диапазона и его разбие

Отметим, что система функций (3), будучи

ние на длинноволновую (0-3) м^-1 и коротковол

ортонормированной, сохранила качественные

новую (3-10) м^-1 продиктованы предваритель

свойства системы (2): первая функция пред

ной эмпирической оценкой экспериментальных

ставляет собой постоянную составляющую,

данных. С помощью явных выражений для

вторая - длинноволновую, третья - коротко

функций φⁱⁿ (3) интегралы (5) могут быть вычис

волновую. Кроме того, при достаточном разли

лены по элементарным формулам:

 595 

Морские, речные и озёрные льды

Волновые и фазовые параметры функций для сечений а-г

х, м

A0n, Н

A1n, Н

A2n, Н

Ω_n, 1/м

ω_n, 1/м

ε_n

33,1

-3,16

-1,45

1,18

6,06

4,97

1,72

32,74

-2,15

-1,26

1,25

7,71

2,85

6,28

34,11

2,45

-1,37

1,25

7,01

0,85

1,71

33,48

1,85

-1,47

0,77

7,20

3,54

3,21

дельно даны все три слагаемых этой комбина

ции. Результаты убедительно иллюстрируют на-

личие двух пространственных периодов. Малый

разброс волновых параметров ω_n и соответст

вующих коэффициентов A2n коротковолновых

составляющих характеризует коротковолновую

компоненту как феномен, связанный с локальны-

ми свойствами ледовой пластины. Значительно

больший разброс параметров длинноволновой

компоненты также имеет ясную физическую ин-

терпретацию, связанную с потерей устойчивости

(либо квазиколебаниями) всей ледовой пластины в

целом. Действительно, длинноволновая компо

нента определяется фундаментальной формой,

сечения которой для различных продольных ко

ординат различаются, так как различны условия

на границе контакта льда со стенкой бассейна.

Сравнение рассчитанных итоговых значений

волновых параметров с их эмпирическими аппрок-

симациями. Рассчитанное среднее значение ито

говой величины длинноволнового параметра

Ω_n = 1,11±0,17, м^-1 близко к ранее полученной

априорной оценке - 1, м^-1. Этот факт согласует

Приведённые вычисления показывают, что

ся с представлениями об его упругом характере.

норма невязки (4) выражается через элементар

Соответствующее среднее значение этого перио-

ные функции, экспериментально найденные

да в изгибной форме вязко-упругой пластины

значения Fⁱⁿ, pⁱⁿ, i = 1, 2, …, s, а также волновые

равно λ_n = 0,9 м при разбросе 15%. Сравнение

и фазовые параметры Ω_n, ω_n,

, ε_n. Вместе с тем

рассчитанного итогового значения волново

зависимость от последних оказывается суще

го параметра и соответствующего ему значения

ственно нелинейной. Это делает неэффектив

периода 0,9 м с ранее полученной априорной

ными алгоритмы прямого поиска минимума, а

оценкой 1 м позволяет утверждать, что новый

определение волновых и фазовых параметров,

способ обработки экспериментальных резуль

минимизирующих невязку, осуществлялось ме

татов позволяет придать им более строгое опи

тодом Монте-Карло с равномерным распреде

сание, но не указывает на ошибочность ранее

лением пробных значений в области поиска.

использованного априорного подхода. Другой

Для каждого сечения проводилось 10⁶ вычис

результат анализа экспериментальных данных -

лений. Результаты вычислений представлены

среднее значение итоговой величины коротко

в таблице и на рис. 3. На рис. 3 для различных

волнового параметра Ω_n = 7,0±0,5 м^-1. Ему соот

сечений заливкой показано отличие кусочно-

ветствует пространственный период λ_n = 0,14 м

постоянных функций, представляющих собой

при разбросе ±7%. Отмечено, что эта величина

интерполяцию экспериментальных данных, от

почти на порядок (в 6,4 раза) меньше, чем пери

аппроксимирующей комбинаций, а также от

од упругой моды.

 596 

В.П. Епифанов, С.А. Лычев

Рис. 3. Аппроксимации экспериментальных данных в различных сечениях:

а - 55 м; б - 56 м; в - 57 м; г - 58 м; 1 - длинноволновые; 2 - коротковолновые; 3 - постоянные составляющие

Fig. 3. Approximations of experimental data in various sections:

a - 55 m; б - 56 m; в - 57 m; г - 58 m; 1 - long-wave; 2 - shortwave; 3 - constant components

Анализ полученных результатов позволяет

(пенетрация, изгиб), в других - результатом

утверждать присутствие двойной периодичности

процесса разрушения (прорезание).

(1 и 0,14 м) в сериях экспериментальных данных

На рис. 4 показан канал, прорезаемый в мо

(см. рис. 3). Вторая периодичность проявляет

делированном льде вертикальным цилиндри

ся через некоторое время после замораживания.

ческим индентором, движущимся вдоль ледо

Об этом свидетельствуют данные, приведённые

вого бассейна с постоянной скоростью 1 мм/c.

в работе (Епифанов, Сазонов, 2020) для одно

Диаметр индентора 30 мм, температура воздуха

го и того же сечения, но в различные моменты

-5 °С; на инденторе жёстко закреплён пьезоэлек

времени - сразу после засева водной поверх

трический датчик. Схема измерительной линии

ности ледяными частицами и по прошествии

дана в работе (Епифанов, Глазовский, 2010).

20 часов. Из анализа этих экспериментальных

Ось индентора ориентирована вертикально, и

данных следует, что эволюция второй периодич

прорезание льда происходит боковой поверхно

ности имеет явные релаксационные свойства, в

стью индентора. Зависимость силы прорезания

силу которых её влияние значительно усилива

от смещения представляется обычно периодиче

ется во времени. Замечено, что коротковолновая

ской (пилообразной) кривой. По числу максиму

периодичность появляется не только в описан

мов (n = 23) на мерной базе L = 4,3 м определён

ном выше эксперименте, но и в других, методи

период Λ = L/n = (4,3 м/23) = 0,19 м. Полученное

ка проведения которых существенно различает

значение оказывается одного порядка со сред

ся (изгиб ледяных клавиш, прорезание ледяного

ним значением периода λ = 0,14 м, измеренным

поля, акустическая эмиссия). В одних экспери

методом пенетрации. Механизм этой периодич

ментах эта периодичность выражена в виде ре

ности в англоязычной литературе обозначается

зультата условий формирования ледяного поля

как stick-slip.

 597 

Морские, речные и озёрные льды

Рис. 4. Прорезание ледяного поля вертикальным индентором:

а - зависимость силы сопротивления от смещения на мерной базе 0,03 м со скоростью 1 мм/с; б - рабочий момент процесса

Fig. 4. Cutting through the ice field with a vertical indenter:

a - dependence of the resistance force on the displacement on a measured base of 0,03 m at a speed of 1 mm/s; б - the working

moment of the process

На экспериментальной кривой выбран про

в плоскости ледяной пластины и её изгибе. Из

извольный участок с двумя максимумами (см.

этого следует, что двойная периодичность меха

рис. 4, а). При таком разрешении по смеще

нических свойств льда в обоих случаях получена

нию проявляются особенности механическо

в условиях докритического стеснённого дефор

го поведения льда. Отмечено, что при прореза

мирования. Это позволяет применять получен

нии лёд не только пластически деформируется,

ные результаты к широкому кругу реальных си

но и хрупко разрушается. Пластичность под

туаций, включая ледяные поля.

тверждается выдавливанием льда из контактной

зоны (см. рис. 4, б), а упругость - присутствием

экстремумов на восходящем участке экспери

Теоретическая модель

ментальной кривой (см. рис. 4, а). Это не про

тиворечит предположению, что наблюдаемая

Идея, которую предлагается положить в ос

периодичность механических свойств льда обу

нову теоретической интерпретации двойной пе

словлена упругопластическими процессами.

риодичности, состоит в разделении изгиба на

Для независимого подтверждения досто

две составляющие. Первая соответствует изги

верности протекания пластических процессов

бу на фундаментальной моде всей пластины в

исследована структура льда в ледяной пласти

целом, а вторая характеризуется накоплением

не, полученной замораживанием воды в ванне

возмущений с пространственной периодично

прямоугольного сечения 50 × 25 см² с жёстки

стью, отвечающей её вязкоупругим свойствам.

ми бортами. На рис. 5 показаны шлифы льда в

Для верификации этой идеи требуется выпол

поляризованном свете. При сравнении шлифов

нить математическое моделирование напря

льда, полученных замораживанием воды в ванне

жённого состояния пластины льда с учётом

с жёсткими стенками и в бассейне Крыловского

указанных выше особенностей её вязкоупруго

государственного научного центра, обнаружены

го деформирования и сопоставить результаты

общие характерные признаки: округлая форма

с экспериментальными данными. В исходных

ледяных кристаллитов (и их малый размер).

данных (Епифанов, Сазонов, 2020) сила обжа

Именно округлая форма кристаллитов - дока

тия ледяной пластины непосредственно не при

зательство пластических процессов при сжатии

водится. Косвенная оценка этого параметра, ко

 598 

В.П. Епифанов, С.А. Лычев

Рис. 5. Структура шлифов льда, полученного замораживанием воды в ванне (а) и в ледяном поле (б).

Размер координатной сетки 2 × 2 мм²

Fig. 5. The structure of the ice section, obtained by freezing water in the bath (a) and in the pool (б).

The size of the coordinate grid is 2 × 2 mm²

торую можно получить из условия жёсткости

этот вид нагружения считается основным. Ма

контура бассейна и объёмного расширения льда

териал пластины предполагается однородным,

при замораживании, оказывается чрезвычайно

изотропным, отклик которого определяется

грубой в виду присутствия в толще льда пор и

вязкоупругим законом Фойгта. При всех этих

включений. В связи с этим усилие обжатия будет

предположениях начально-краевая задача в ква

определяться в ходе математического модели

зистатическом приближении может быть сфор

рования из условия наилучшего согласования с

мулирована следующим образом:

экспериментальными данными.

Учитывая, что в рассматриваемом экспе

рименте (Епифанов, Сазонов, 2020) ледяная

пластина имеет длину в 10 раз превышающую

ширину, а вдоль длинных сторон пластина при

морожена к жёстким бортам, её деформацию

Здесь w - прогиб пластины; E^~ - цилиндри

можно определить в рамках модели цилиндри

ческая жёсткость; R^~ - аналогичная характери

ческого изгиба. Поддерживающее действие воды

стика, определяемая вязкой составляющей от

под пластиной представлено моделью винкле

клика, т.е.:

ровского основания, жёсткость которого опре

деляется архимедовой силой, приложенной к

погружённой части. Предполагается, что пла

стина однородна и при отсутствии изгиба са

моуравновешена. Изгиб может быть вызван не

где E - модуль Юнга льда; R - модуль, характе

которой поперечной нагрузкой на пластину, а

ризующий вязкое деформирование льда (модуль

также изменением уровня воды в бассейне, ко

вязкости); h - толщина пластины; ν - коэффи

торое из-за того, что пластина приморожена к

циент Пуассона льда; P - погонная сила сжатия,

бортам, эквивалентно приложению равномер

приложенная к длинным сторонам пластины;

но распределённой поперечной нагрузки. Далее

ρ - плотность воды; g - ускорение свободного

 599 

Морские, речные и озёрные льды

падения; q - поперечная нагрузка; w₀ - началь

ные отклонения от равновесного состояния.

(7)

Решение начально-краевой задачи предла

гается отыскивать в виде суммы двух функций:

Здесь V_n определяются из решений обобщен

w (y, t) = w_e(y) + w_v(y, t). Первая функция w_e(y) за

ной задачи Штурма-Лиувилля

висит только от пространственной переменной и

представляет собой постоянную во времени (или

изменяемую по тому же закону, что и закон из

(8)

менения поперечной нагрузки q) составляющую

изгиба. Вторая w_v(y,t) определяет эволюцию из

В обеих постановках задачи Штурма-Ли

гиба, обусловленную вязкими свойствами льда.

увилля допускают решения в элементарных

Такое представление решения позволяет сфор

функциях. Опуская очевидные детали их по

мулировать две независимые краевые задачи от

строения, приведём окончательный результат.

носительно этих функций. Подобная декомпози

ция даёт возможность выделить часть решения,

которая соответствует длинноволновой состав

ляющей прогибов, и часть, отвечающую корот

(9)

коволновой составляющей.

Краевая задача относительно w_e имеет следу

ющий вид:

Начально-краевая задача относительно w_v за

писывается так:

Решения обеих задач представим в форме

разложений по собственным функциям диффе

ренциальных операторов, порождаемых каждой

Здесь λ_n находятся как корни трансцендент

из них. При этом решение первой задачи будет

ного уравнения

таким:

(6)

Решение V_n задачи (8) определяется теми

же формулами, в которых вместо приведённых

где W_n определяются из решений классической

выше выражений для μ₁, μ₂ следует использовать

задачи Штурма-Лиувилля

Решение второй задачи может быть пред

ставлено в аналогичной форме:

 600 

В.П. Епифанов, С.А. Лычев

а ξ_n удовлетворяют уравнению

0,01 МПа, получим верхнюю оценку для погон

ного усилия сжатия P < 500 Н/м. В действитель

ности, из-за наличия пор и дефектов структуры

льда эта сила меньше. Уточнение её значения

может получено из условия наилучшей аппрок

Отмечена особенность решения второй за

симации длинноволновой составляющей экс

дачи. Пространственная периодичность этого

периментальных данных с помощью w_e (6) либо

решения определяется значениями μ₁ и μ₂, ко

из условий наилучшей аппроксимации коротко

торые будучи корнями одного и того же алге

волновой составляющей посредством w_v (7). Воз

браического уравнения, удовлетворяют соотно

можность построения двух оценок одной и той

шению (различия не делаются между μ₁ и μ₂ и

же величины позволяет показать их адекватность

индексы отпускаются):

в случае, если найденные значения будут близки.

Построенные теоретические решения опре

деляют изгиб пластины, который непосредствен

но не определялся в эксперименте. Последние

Эта зависимость имеет максимум при

дают распределение усилий сквозной пенетра

ции пластины льда, а чтобы связать эксперимент

и теорию, требуются дополнительные следую

(10)

щие предположения: предполагается, что обла

сти, в которых развиваются максимальные на

Учитывая форму решения (7), в котором

пряжения, испытывают рекристаллизацию и

каждое слагаемое умножается на e^ξn^t, можно ут

уменьшение пористости, в результате в них воз

верждать, что члены разложения c максималь

никает упрочнение и, как следствие, повышен

ными значениями ξ_n будут уменьшаться мед

ное сопротивление пенетрации. Распределение

леннее других и через некоторое время станут

максимальных интенсивностей напряжений, вы

доминирующими. Именно этот эффект наблю

званных изгибом по форме (9), в рамках кинема

дается в натурных испытаниях, когда после за

тических гипотез технической теории пластин

мораживания тонкого ледяного слоя в бассейне

может быть определено следующим образом:

в нём через некоторое время возникает коротко

S ≈ α|∂²w/∂y²|,

волновая периодичность свойств.

где α - коэффициент, зависящий от физико-гео-

метрических параметров пластины.

Верификация модели

При идентификации длинноволновой со

ставляющей решения (6) варьировались па

В расчётах по приведённым здесь формулам

раметры α и при фиксированных значениях

применялись следующие исходные данные: тол

L = 10 м, r = 24, причём r определяется по при

щина пластины льда: h = 5×10^-2 м, модуль Юнга

ведённым выше исходным данным. Находились

E = 35 МПа, коэффициент Пуассона ν = 0,3,

величины α и

, отвечающие наименьшим ква

плотность воды ρ = 1000 кг/м³, модуль вязкости

дратичным отклонениям теоретических значе

R = 3 МПа·с.

ний от экспериментальных. В результате анали

Так как прямых измерений сил сжатия пла

за четырёх сечений получены такие результаты:

стины не проводилось, их величина определя

λ₁ = 24,5, которым отвечает следующее

лась косвенно. Поскольку объёмное расширение

выражение для фундаментальной моды

воды при замораживании велико (около 9%), на

W₁ = 0,202 cos(0,172y) - 0,202 cos(0,685y) +

пряжения, которые при этом могли бы возник

+ 0,236 sin(0,172y) - 0,059 sin(0,685y).

нуть в пластине льда, существенно превышают

предел текучести. В этой связи в качестве верх

Этим значениям соответствует усилие об

ней оценки следует использовать значения сил,

жатия P = 200 Н/м. Наложение теоретических

развиваемых в ледяной пластине в предельном

распределений на длинноволновые представ

состоянии. Полагая, что предел текучести льда

ления экспериментальных данных приведе

 601 

Морские, речные и озёрные льды

Рис. 6. Отличие распределений максимальных интенсивностей напряжений по балочному приближению (2)

от длинноволновой (1) составляющей экспериментальных данных на усилиях пенетрации для поперечных

сечений а-г бассейна

Fig. 6. The difference between the distributions of maximum stress intensities according to the beam approxima

tion (2) from the long-wavelength (1) component of the experimental data on the penetration forces for the cross sec

tions а-г of the basin

ны на рис. 6, на котором для различных сече

иллюстрирующие эволюцию прогибов, найден

ний заливкой показаны отличия распределений

ных по (7), приведены на рис. 7. Начальные из

интенсивностей напряжений (нормирован

гибы соответствуют двум различным простран

ных соразмерно экспериментальным данным)

ственным масштабам. Левая поверхность (а)

и длинноволновой составляющей эксперимен

соответствует возмущению 70% ширины пла

тальных данных о пенетрации. Видно хорошее

стины, правая (б) - 10%. Видно, что изгибы, вы

совпадение на первом сечении. Совпадения для

званные возмущением малой области, затухают

последующих сечений не столь явные, но наб-

во времени существенно медленнее изгибов, вы

людаемый на них фазовый сдвиг легко объяс

званных возмущением более широкой области.

нить грубым приближением модели цилиндри

При этом протяжённость малой области близка

ческого изгиба, не учитывающим двумерное

к периоду коротковолновой составляющей экс

распределение интенсивности в пластине.

периментальных данных. Образно говоря, вто

Идентификация усилия обжатия P по корот

рой начальный изгиб оказывается в «резонансе»

коволновой составляющей проводилась с помо

с собственными характеристиками пластины и

щью зависимости (10), из которой следует, что P

след этого возмущения длительное время сохра

можно определить по среднему значению μ, т.е.:

няется. Выделяя подобные следы из случайных

возмущений, вязкоупругая система проявляет

P = 2ρg/μ².

свойства фильтра, создавая со временем упоря

Среднее значение коротковолнового параме

доченную структуру, которая и наблюдается в

тра μ по четырём сечениям составило μ = 7,16.

форме коротковолновых составляющих экспе

Соответственно P = 382,5 Н/м. Поверхности,

риментальных данных.

 602 

В.П. Епифанов, С.А. Лычев

Рис. 7. Эволюция прогибов при возмущениях на интервалах различной протяжённости:

а - 70%; б - 10% ширины пластины

Fig. 7. Evolution of deflections under disturbances at intervals of different lengths:

а - 70%; б - 10% of the plate width

Верификация модели осуществлена путём

характеристику льда. Особенностью результа

сопоставления значения сжимающей силы, най

тов измерений - периодичность свойства со

денной из анализа длинноволнового распреде

противляемости пенетрации с двумя основными

ления, со значением, которое определено по ко

пространственными периодами, причём пери

ротковолновой части. Несмотря на то, что они

одичность слабо проявляет себя сразу после за

различаются почти в два раза, их значения одно

мораживания ледяного покрова, однако уже

го порядка. Отличия могут быть объяснены не

через несколько часов её вклад в распределение

достаточной точностью моделирования условий

свойств сопротивляемости многократно усили

адгезионного контакта на бортах. Сила сжатия,

вается (Епифанов, Сазонов, 2020).

найденная по коротковолновой составляющей,

Показано, что пространственные распреде

оказалась близкой к теоретическому пределу

ления периодичности с достаточной точностью

(которое было определено ранее по пределу те

могут быть представлены как наложение двух

кучести льда), что позволяет в большей степени

периодических функций с существенно разны

доверять именно этому значению.

ми периодами: длинноволновой и коротковол

новой составляющими. На их основе выделены

эти составляющие и предложена теоретическая

Обсуждение экспериментальных данных

модель, объясняющая физические причины воз

никновения двойной периодичности. Модель

Методом пенетрации проведены исследова

предполагает вязкоупругое квазистатическое де

ния зависимости сопротивления пенетрации от

формирование ледяной пластины, вызванное

поперечных координат в четырёх сечениях тон

малыми колебаниями уровня воды в бассейне и

кого ледяного покрова прямоугольного бассейна

случайными возмущениями её поверхности.

с размерами 100 × 10 м. По постановке выпол

В рамках модели предполагается квазиста

ненные исследования отличаются от традици

тический изгиб пластины, вызванный медлен

онных своим подходом. Исследовались законо

ными малыми изменениями уровня воды в бас

мерности распределения локальной твёрдости

сейне и случайными силовыми воздействиями

в ледяном поле как результат воздействия пе

на её внешнюю поверхность. Первая причина

риодических структур изгиба на прочностную

приводит к упругим изгибаниям ледяного по

 603 

Морские, речные и озёрные льды

крова, форма которых, в основном, определя

только в смысле их порядков, которые оказа

ется его фундаментальной изгибной модой. Это

лись одинаковыми.

подтверждается образованием напряжённых об

Независимое количественное подтвержде

ластей в окрестности бортов и в середине ледя

ние достоверности протекания пластических

ного поля, где происходит упрочнение льда и,

процессов в ледяном поле следует из зависи

как следствие, возрастает сопротивление пене

мости силы сопротивления от времени в экспе

трации. Вторая причина - случайные малые воз

рименте по прорезанию ледяного поля верти

мущения, носящие релаксационный характер,

кальным индентором, а также подтверждается

которые обусловлены произвольно распреде

формой кристаллитов в шлифах льда и анали

лёнными во времени и пространстве локальны

зом сигналов акустической эмиссии (Епифанов,

ми поперечными нагружениями. Они вызывают

Глазовский, 2010). Комплексные измерения

изгиб, мгновенная форма которого также имеет

реологических и акустических характеристик

случайный характер, но из-за вязкоупругих

льда позволяют установить закономерности де

свойств льда последействие, связанное с релак

формационной перестройки структуры льда, а

сационными процессами, приобретает некото

также определить характерные масштабы ис

рую упорядоченность. В рамках модели пока

точников излучения. Полученное значение ко

зано, что эта упорядоченность связана с вполне

эффициента неоднородности, которое опре

определённым экстремальным значением пока

делялось как отношение среднего значения к

зателя экспоненциальных координатных функ

максимальному значению прочности в испы

ций, которое зависит от локальных физико-

таниях на одноосное сжатие, например, в ра

геометрических свойств ледяной пластины и в

боте (Беккер, 2017) равное 0,75, совпадает с его

некоторой степени - от условий её закрепления.

оценками, полученными на речном и модели

В результате многократных случайных изгиба

рованном льде (Епифанов, Сазонов, 2020). По-

ний и последующих релаксационных процессов

видимому, обнаруженная локальная периодич

выделяется превалирующая составляющая, что

ность механических свойств льда может быть

и объясняет появление локальных зон упрочне

одной из причин вариаций значений прочности

ния, пространственное распределение которых

ледяного покрова, определяемых по месту его

подобно представлениям коротковолновой со

залегания.

ставляющей экспериментальных данных об осе

вой силе пенетрации.

Верификация модели осуществлена путём

Заключение

сопоставления значения сжимающего усилия,

найденного из анализа длинноволнового рас

Анализ экспериментальных данных и ре

пределения, со значением, которое определено

зультаты теоретического моделирования изги

по коротковолновой части. Несмотря на то, что

ба вязкоупругой плавающей ледяной пластины,

они различаются почти в два раза, их значения

сформированной в условиях стесненного дефор

можно признать согласованными, поскольку

мирования, позволяют сделать ряд выводов.

подбор фундаментальной моды при идентифи

1. В ходе процесса замораживания и после

кации длинноволновой части позволяет весь

дующего неупругого деформирования в ледя

ма грубо оценить силу сжатия. Дело в том, что

ной пластине образуется двойная периодичность

существенное различие в теоретических и экс

физико-механических свойств.

периментальных данных наблюдается вблизи

2. Больший период соответствует фундамен

опорных точек и используемый алгоритм под

тальной упругой моде пластины и может быть

бора параметров определил эти параметры из

теоретически прогнозирован из анализа чисто

условия наименьших отклонений именно в этих

упругой моды потери устойчивости сжатой пла

областях. Вместе с тем условия приморажива

стины.

ния к бортам характеризуются довольно слож

3. Периодичность с коротким периодом про

ными зависимостями и их представление как

являет реологический характер и может быть те

жёсткое закрепление - весьма приближённое.

оретически объяснена развитием вязкоупругих

Поэтому сопоставлять значения сил следует

деформаций в пластине.

 604 

В.П. Епифанов, С.А. Лычев

4. Математическое моделирование вязкоупру

льда. В связи с этим первую причину можно оха

гой плавающей пластины показывает, что из воз

рактеризовать как условно структурную, а вто

мущений с различными пространственными пе

рую - как условно материальную (связанную с

риодами наибольшее влияние оказывают лишь те,

формированием вторичной текстуры).

период которых лежит в достаточно узком диапа

Теоретически оценены напряжения на кон

зоне, который зависит от реологических свойств

тактной поверхности стенок ледового бассейна,

льда и толщины пластины, но не зависит от усло

возникающие при формировании ледяного поля.

вий её закрепления. Теоретически определённый

Сила сжатия, найденная по коротковолновой со

диапазон соответствует экспериментально опре

ставляющей, оказалась близкой к своему теоре

делённому коротковолновому периоду. Этот факт

тическому пределу (определён по пределу теку

позволяет объяснить физические причины воз

чести льда). Это позволяет в большей степени

никновения второй периодичности физико-меха

доверять именно этому значению. При дальней

нических свойств ледяной пластины, сформиро

ших исследованиях периодичности, возникаю

ванной в условиях стеснённого деформирования.

щей при формировании ледяного поля в условиях

Статистический анализ результатов показал

стеснения, следует учитывать двумерность ледя

хорошее согласование теоретических и экспе

ной пластины, моделирование слоя жидкости и

риментальных данных. Оценка согласованности

исследование этих эффектов для льда большего

может быть количественно определена коэффи

масштаба. Полученные результаты могут быть ис

циентами вариации, вычисленными по последо

пользованы при разработке теории сжатия льдов,

вательностям измерений и теоретическим оцен

решении задач, связанных с формированием льда

кам периодов. Для первой (длинноволновой)

в ограниченных водных пространствах полярных

периодичность их значения составили 4%, а для

морей, а также при оценке причин вариации ло

второй (коротковолновой) - 15%. Таким обра

кальной прочности ледяных полей и возможно

зом, при замораживании тонкой пластины льда

стей их искусственного разрушения.

в условиях стеснённого деформирования при

чин возникновения периодической структуры,

Благодарности. Работа выполнена при финансо

как минимум, две: общая потеря устойчивости

вой поддержке гранта РФФИ № 20-01-00649

как упругой конструкции и локальная потеря

«Численно-экспериментальное исследование

устойчивости по вязкоупругопластическому ме

нелинейных волновых явлений при контактном

ханизму. Первая причина порождает периодич

разрушении льда».

ность, которая зависит от геометрии пластины

Acknowledgments. This work was supported by

в целом и условий её закрепления; вторая при

RFBR grant № 20-01-00649 «Numerical and ex

чина вызывает периодичность, которая зависит

perimental study of nonlinear wave phenomena in

только от толщины, усилия обжатия и свойств

contact ice destruction».

Литература

References

Беккер Ф.Е., Фарафонов А.Э, Помников Е.Е. Неодно

Bekker F.E., Farafonov A.E., Pomnikov E.E. Heterogeneity

родность ледяных полей // Вестн. Инженерной

of ice fields. Vestnik Inzhenernoy Shkoly DVFU. Bulle

Школы ДВФУ. 2017. Т. 33. № 32. С. 64-71.

tin of the School of Engineering. 2017, 3 (32): 64-71.

Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Гос.

[In Russian].

изд-во физ.-мат. литературы, 1963. 879 с.

Volmir А.S. Ustoychivostʹ uprugikh sistem. Stability of elas

Епифанов В.П., Глазовский А.Ф. Акустические харак

tic systems. M.: Gosudarstvennoye izdatelʹstvo fiziko-

теристики как индикатор особенностей движения

matematicheskoy literatury, 1963: 879 p. [In Russian].

льда в ледниках // Криосфера Земли. 2010. Т. XIV.

Epifanov V.P., Glazovsky A.F. Acoustic characteristics as an

№ 4. С. 42-55.

indicator of the features of ice movement in glaciers.

Епифанов В.П., Лычёв С.А. Периодичность механиче

Kriosfera Zemli. Cryosphere of the Earth. 2010, XIV

ских свойств льда, возникающая при формирова

(4): 42-55.

нии ледяного поля в условиях стеснения // ДАН.

Epifanov V.P., Lychev S.A. Periodiciy of the Mechanical

Физика. Технические науки. 2022. Т. 502. С. 24-

Properties of Ice Resulting from the Formation of an

30. doi: 10.31857/S2686740021060092.

Ice Field under Compression. Doklady Rossiiskoi Aka-

 605 

Морские, речные и озёрные льды

Епифанов В.П., Сазонов К.Е. Волновые структуры в

demii Nauk. Fizika. Tekhnicheskie Nauki. 2022, 67 (1):

ледяном поле и их влияние на прочность солёно

5-10. doi: 10.1134/ S1028335821120041. [In Russian].

го льда // Лёд и Снег. 2020. T. 60. № 4. С. 623-636.

Epifanov V.P., Sazonov K.E. Wave structures in the ice

doi: 10.31857/S2076673420040066.

field and their influence on the strength of salt ice.

Постникова Т.Н., Рыбак О.О. Глобальные гляциоло

Led i Sneg. Ice and Snow. 2020, 60 (4): 623-636. doi:

гические модели: новый этап в развитии методов

10.31857/S2076673420040066. [In Russian].

прогнозирования эволюции ледников. Часть 1.

Postnikova T.N., Rybak O.O. Global glaciological mod

Общий подход и архитектура моделей // Лёд и

els: a new stage in the development of methods for

Снег. 2021. T. 61. № 4. С. 620-636. doi: 10.31857/

predicting the evolution of glaciers. Part 1. Gener

S2076673421040111.

al approach and architecture of models. Led i Sneg.

Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и

Ice and Snow. 2021, 61 (4): 620-636. doi: 10.31857/

оболочки. М.: Наука, 1966. 636 с.

S2076673421040111. [In Russian].

Box F., Vella D., Style RW., Neufeld J.A. Indentation of

Timoshenko S.P., Voinovsky-Krieger S. Plastinki i obolochki.

a floating elastic sheet: geometry versus applied ten

Plates and shells. M.: Nauka, 1965: 636 p. [In Russian].

sion // Proceedings of the Royal Society. 2017. V. 473.

Box F., Vella D., Style RW., Neufeld J.A. Indentation of a

P. 1-22. doi: 10.1098/rspa.2017.0335.

floating elastic sheet: geometry versus applied tension.

Ciarlet P.G. Mathematical Elasticity. V. II: Theory of

Proceedings of the Royal Society. 2017, 473: 1-22. doi:

Plates. North-Holland, 1988. 262 p.

10.1098/rspa.2017.0335.

Epifanov V.P., Sazonov K.E. Wave metamorphism of

Ciarlet P.G. Mathematical Elasticity. V. II: Theory of

ice // Journ. of Physics: Conf. Series 2021. V. 1959

Plates. North-Holland, 1988: 262 p.

№ 012019. P. 1-7. doi: 10.1088/1742-6596/1959/1/

Epifanov V. P., Sazonov K. E. Wave metamorphism of ice.

012019.

Journ. of Physics: Conf. Series. 2021, 1959 (012019): 1-7.

Fox C., Squire V.A. On the Oblique Reflexion and

doi: 10.1088/1742-6596/1959/1/012019.

Transmission of Ocean Waves at Shore Fast Sea

Fox C., Squire V.A. On the Oblique Reflexion and Transmis

Ice // Philosophical Transactions: Physical Sciences

sion of Ocean Waves at Shore Fast Sea Ice. Philosophical

and Engineering. 1994. V. 347. № 1682. P. 185-218.

Transactions: Physical Sciences and Engineering. 1994,

http://www.jstor.org/stable/54236.

347 (1682): 185-218. http://www.jstor.org/stable/54236.

Meylan M.H. Time-Dependent Motion of a Floating

Meylan M.H. Time-Dependent Motion of a Floating Cir

Circular Elastic Plate // Journ. of Fluids. 2021. V. 6.

cular Elastic Plate. Journ. of Fluids. 2021, 6 (1): 29.

№ 1. 29 p. doi: 10.3390/ fluids6010029.

doi: 10.3390/ fluids6010029.

Staroszczyk R. Ice Mechanics for Geophysical and Civil

Engineering Applications. GeoPlanet: Earth and

Engineering Applications. GeoPlanet: Earth and Plan

Planetary Sciences. Springer Nature Switzerland AG,

etary Sciences. Springer Nature Switzerland AG. 2019:

2019. 344 p. doi: 10.1007/978-3-030-03038-4_1.

344 p. doi: 10.1007/978-3-030-03038-4_1.

Staroszczyk R., Hedzielski B. Creep Buckling of a Wedge-

Staroszczyk, R., Hedzielski, B. Creep Buckling of a Wedge-

Shaped Floating Ice Plate // Engineering Transac

Shaped Floating Ice Plate. Engineering Transac

tions. 2004. V. 52. № 1-2. P. 111-130. doi: 10.24423/

tions. 2004, 52 (1-2): 111-130. doi: 10.24423/eng

engtrans.472.2004.

trans.472.2004.

Stig-Göran Sjölind. Visco-elastic buckling analysis of float

Stig-Göran Sjölind. Visco-elastic buckling analysis of

ing ice sheets // Cold Regions Science and Technol

floating ice sheets. Cold Regions Science and Tech

ogy. 1985. V. II. № 3. P. 241-246. doi: 10.1016/0165-

nology. 1985, II (3): 241-246. doi: 10.1016/0165-

232X(85)90048-5.

Von Bock, Polach R.U.F., Franz R.U., Ettemab R., Gral-

hera S., Kellnera L., Stendera M. The nonlinear behav

ior of aqueous model ice in downward flexure // Cold

ior of aqueous model ice in downward flexure. Cold

Regions Science and Technology. 2019. V. 36. № 1-3.

Regions Science and Technology. 2019, 36 (1-3): 47-

Р. 47-70. doi: 10.1016/j.coldregions

70. doi: 10 1016/j coldregions.

 606 