МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

2019 год, том 31, номер 11, стр. 47-60



ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ

С ПРЕДЕЛЬНЫМ ВОЗРАСТОМ МОЩНОСТЕЙ

2019 г.

Н.Н. Оленев^1,2

¹ ВЦ ФИЦ ИУ РАН

nolenev@mail.ru

² Российский университет дружбы народов

DOI: 10.1134/S0234087919110042

Динамика дифференцированных по моментам создания и ограниченных по возрас-

ту производственных мощностей на микроуровне задает производственную функ-

цию на макроуровне. Микроописание основано на гипотезе о падающей с постоян-

ным темпом мощности и постоянном числе рабочих мест от момента создания

производственной единицы до ее ликвидации при превышении предельного воз-

раста. Аналитическое выражение для эндогенной производственной функции с за-

данным максимальным возрастом мощностей получено на характерных режимах

экспоненциального роста с постоянной долей новых мощностей. Рассмотрен пере-

ходный режим роста с меняющейся приростной фондоемкостью новых мощностей.

Параметры производственной функции можно определить и при значительных из-

менениях в доле новых мощностей в суммарной мощности, которые происходили в

экономике России. Для этого в численных расчетах производственной функции

использована исходная микроэкономическая модель динамики производственных

мощностей. Параметры оценены косвенно на основе сравнения результатов расче-

тов по модели со статистическими данными 1970-2017 гг. Полученное значение

среднего предельного возраста мощностей A=25 для экономики России объясняет

исчезновение в 2017 г. инфляции издержек. Идентификация параметров эндоген-

ной производственной функции показала также, что значение средней приростной

фондоемкости для всей экономики России значительно снизилось с 1970 г. по

2017 г. Снижение объясняется увеличением доли сырьевых отраслей в выпуске.

Ключевые слова: эндогенная производственная функция, производственная мощ-

ность, идентификация параметров, экономика России, предельный возраст мощно-

стей, приростная фондоемкость.

IDENTIFICATION OF A PRODUCTION FUNCTION WITH AGE LIMIT FOR

PRODUCTION CAPACITIES

N.N. Olenev^1,2

¹Dorodnicyn Computing Centre, FRC CSC RAS

²RUDN University

Н.Н. Оленев

The micro-level dynamics of the age-limited vintage production capacity sets a macro-

level production function. The micro-description is based on the hypothesis of a capacity

falling at a constant rate and a constant number of workplaces from the moment the pro-

duction unit is created to its liquidation when the age limit is exceeded. An analytical ex-

pression for the endogenous production function with a given maximum age of capacity

was obtained in characteristic exponential growth modes with a constant share of new

capacity. It is conceded a transitional growth mode with a changing incremental capital

intensity of the new capacities. The parameters of the production function can be deter-

mined even with significant changes in the share of new capacities in the total capacity

that occurred in the Russian economy. For this, the initial microeconomic model of pro-

duction capacity dynamics was used in numerical calculations of the production function.

The parameters are estimated indirectly on the basis of a comparison of the results of cal-

culations by the model with statistical data 1970-2017. The obtained value of the average

age limit of capacities A = 25 for the Russian economy explains the vanishing of cost in-

flation in 2017. Identification of the parameters of the endogenous production function

also showed that the value of the average incremental capital intensity for the entire Rus-

sian economy decreased significantly from 1970 to 2017. The decrease is explained by

the increase in the share of primary industries in output.

Key words: endogenous production function, production capacity, identification of pa-

rameters, Russian economy, age limit of capacities, incremental capital intensity.

1. Введение

Предельный возраст производственных мощностей входит в парамет-

ры производственной функции [1]. Классическую производственную функ-

цию идентифицируют по временным рядам выпуска и производственных

факторов. Агрегированная производственная функция зависит от внешних

параметров модели, ее идентификация представляет собой сложную задачу

и может быть решена за счет высокоскоростных расчетов [2].

В настоящей работе компактно представлен вывод аналитического вы-

ражения агрегированной производственной функции с учетом предельного

возраста мощностей [1] для характерных режимов роста. В отличие от [1]

используем новое уравнение для динамики приростной фондоемкости. В [1,

3, 4] представлены результаты идентификации новой производственной

функции для ряда стран. Поскольку экономика России в 1970-2017 гг. не

была на характерном режиме роста, производственную функцию при иден-

тификации находим численно, используя исходное микроописание динами-

ки мощностей. Представлены результаты и процедура идентификации про-

изводственной функции, дана экономическая интерпретация.

Первым задачу получения агрегированной производственной функции

по исходному распределению производственных возможностей фирм отрас-

ли поставил Х. Хаутеккер [5]. Он показал, что производственная функция

Идентификация производственной функции с предельным возрастом мощностей

Кобба-Дугласа получается из распределения Парето на микроуровне. В [6]

рассмотрена обратная операция по получению исходного распределения

для классической производственной функции CES. Понятие производст-

венной мощности (максимально возможного выпуска) ввел Л. Йохансен [7],

он применил его вместо понятия капитала в построении производственных

функций конкретных отраслей экономики Норвегии и Швеции [8].

А.А. Петров и И.Г. Поспелов систематически применяли в макромоде-

лях экономики агрегированные по распределению мощностей производст-

венные функции [9]. А.А. Шананин в [10] провел исследование агрегиро-

ванных производственных функций многих переменных, установил одно-

значность производственных функций и функций прибыли. В [11] получен

новый класс агрегированных производственных функций для падающей с

постоянным темпом мощности с фиксированным числом рабочих мест.

Другое направление исследований агрегированных производственных

функций использует капитал в качестве производственного фактора. В [12]

форма производственной функции на макроуровне выводится из распреде-

ления идей на микроуровне. В [13] уровень общей факторной производи-

тельности производственной функции зависит от распределения особых

шоков на микроуровне, вызывающих создание и ликвидацию рабочих мест.

В [14] показано, что технологическое меню [12] есть специальный случай

понятия множества поддержки, выяснена связь производственных функций

и технологических меню. «Модель идей» генерирует CES-функцию.

Эти два направления дают эквивалентные результаты, если коэффици-

ент фондоемкости не меняется. В настоящей работе коэффициент фондоем-

кости меняется, что дает существенное отличие от другого направления.

2. Производственные функции, представимые распределением произ-

водственных мощностей по технологиям

Настоящая работа является естественным продолжением [11]. Напом-

ним здесь основные результаты [11], а также укажем на их применение.

Гипотеза 0. В каждый момент времени t число рабочих мест на про-

изводственной единице фиксировано с момента ее создания   t , а произ-

водственная мощность m(t,) уменьшается с постоянным темпом   0 .

В соответствии с гипотезой 0 мощность m(t,)  J ()exp((t  )) па-

дает, а трудоемкость (t,)  ()exp((t  )) растет. Здесь J () - началь-

ная мощность, () - начальная трудоемкость в момент создания  .

2.1. Агрегированная производственная функция. В случае гипотезы 0

производственная функция [9] f (t, x)  Y (t) / M (t) (загрузка суммарной

мощности) на сбалансированном росте имеет вид [11]

Н.Н. Оленев



1





f (t,x)

11



1 



x (t)

(1)

где   0 - темп научно-технического прогресса, наименьшая трудоемкость

d dt  (t)(t),

(0)  

(2)

а доля новых мощностей (t)  J (t) / M (t) на сбалансированном росте Y(t)

J (t), M (t) ~ exp(t) постоянна:   const. В замкнутой экономике

Y(t)  C(t)  b J(t),

(3)

где b - коэффициент приростной фондоемкости, C(t) - потребление. По-

этому на сбалансированном росте C(t) ~ exp(t) , если b  const .

2.2. Задача косвенной идентификации модели экономики. Пусть N





внешних параметров заданы на гиперкубе размерности N :

aa

stat

Пусть часть макропоказателей имеет статистические аналоги:

X t),

tt

i1,...,M В качестве критерия близости расчетных и статисти-

0,...,

ческих временных рядов используют индекс несовпадения Тейла:









stat



X t)

X t)



X t)





X t)

(4)





tt











tt















Свертка критериев близости (4) может быть такой:





1T





max



1





a aa

2.3. Прогноз конца 2006 г. о кризисе в экономике России 2008 г. Мо-

дель с производственными мощностями, дифференцированными по момен-

там создания, наводит на мысль, что рост экономики после кризиса 1998 г.

был связан с загрузкой старых мощностей. В конце 2006 г. была рассмотре-

на задача идентификации динамической модели экономики типа Рамсея

[15]. В результате ее решения [15, c.98] был предсказан кризис 2008 г. Если

бы на этот прогноз среагировали сразу же, то можно было избежать паде-

ния ВВП в 2009 г. и последующей стагнации за счет перехода к росту путем

создания новых более производительных мощностей.

3. Динамика производственных мощностей с ограничением по возрасту

Теперь в отличие от гипотезы 0 будем предполагать, что производст-

венные мощности имеют некий предельный возраст A(t)   , после которо-

го они не используются. Это естественное ограничение для расчетов.

Идентификация производственной функции с предельным возрастом мощностей

Гипотеза 1. Число рабочих мест на производственной единице остает-

ся неизменным с момента ее создания

  t до момента ликвидации

 A(t),где A(t) - максимальный возраст мощностей, а производственная

мощность m(t,) уменьшается с постоянным темпом   0 .

Тогда суммарная мощность

M t)



J()exp((t

))d



описы-

tA t)



вается дифференциально-разностным уравнением

dM (t) dt  J (t)  M (t)  (1 dA(t) dt)J (t  A(t))exp(A(t)),

(5)

где скорость изменения предельного возраста мощностей ограничена свер-

ху: A(t) / dt  1, поскольку выбывшие мощности не возвращаются.

Производственная функция задается неявно [1] по условию оптималь-

ной загрузки мощностей трудовыми ресурсами L(t), начиная с наиболее

производительных в нулевом возрасте до возраста (t, L(t))  A(t) :

Y t)



()exp(

(

))

,

L t)



 )J()



(6)



(t,L(t))

4. Производственная функция с ограничением по возрасту A  const

Здесь переформулированы утверждения [1, c.146-148].

4.1. Связь темпа роста мощностей  с параметрами ,  и A. Не-

посредственно из уравнения для суммарной мощности (5) вытекает

Лемма 1. Если задан предельный возраст мощностей A  const  0 , а

суммарная мощность M (t) растет с постоянным темпом  , при этом со-

храняя долю новых мощностей  постоянной:

M(t)  M

exp



t



  J(t)/ M(t)  const,

то темп роста суммарной мощности  определяется соотношением

  (,A),

(7)

где (, A) - единственное действительное решение

1/  exp(A)

(8)

на интервале (0,) при условии существования решения A  1/  .

4.2. Производственная функция на сбалансированном росте. На ос-

нове леммы 1 здесь может быть сформулирована

Н.Н. Оленев

Теорема 1. Пусть на режиме сбалансированного роста с темпом 

M (t)  M

exp(t), Y (t)  Y

exp(t), J (t)  J

exp(t), C(t)  C

exp(t)

(9)

в замкнутой экономике (3) выполнены следующие условия:

а) верна гипотеза 1 о фиксированном числе рабочих мест и падении

мощности с темпом  до некоего предельного возраста A(t);

б) фиксирован максимальный возраст мощностей A(t)  A  const ;

в) фиксирован коэффициент приростной фондоемкости b(t)bconst ;

г) уменьшается наименьшая трудоемкость (t) вследствие научно-

технического прогресса в соответствии с (2): d(t) / dt  (t)(t) .

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) доля новых мощностей постоянна: (t)  J (t) / M (t)    const ;

2) динамика суммарной производственной мощности (5) на сбаланси-

рованном росте (9) задает связь темпа роста  с параметрами производ-

ственной функции ,, A как неявную функцию   (,, A) от этих па-

раметров (7), (8);

3) соотношения (6) дают следующее выражение для производствен-

ной функции Y (t)  M (t) f (t, x) :

()/()

f (t,x)



11



 



x (t)





;

(10)



 

4) отношение средней трудоемкости мощностей к наименьшей по-

стоянно: x (t)  L(t) M (t)(t)  const.

В соответствии с теоремой 1 производственная функция содержит па-

раметры ,,,

A t)

, причем для определения  через ,, A используется

трансцендентное уравнение (8) и равенство (7). Если из (7), (8) исключить

  ( ) / (1exp(( )A)) и подставить в (10), то полученный вид бу-

дет удобен для исследования золотого правила роста Солоу [11].

4.3. Связь с полученной ранее производственной функцией. Из тео-

ремы 1 вытекает справедливость следующих двух ее следствий.

Следствие 1. Новая производственная функция на сбалансированном

росте (10), (7), (8) с учетом ограничения мощностей по максимальному

возрасту A и с фиксированным коэффициентом приростной фондоемкос-

ти b при A   дает производственную функцию с неограниченными по

возрасту мощностями (1).

Следствие 2. На сбалансированном росте (9) с темпом  с фиксиро-

ванным коэффициентом приростной фондоемкости b и с заданным макси-

Идентификация производственной функции с предельным возрастом мощностей

мальным возрастом мощностей A число занятых в экономике трудящихся

L(t) за счет научно-технического прогресса (2) в силу утверждения 4 тео-

ремы 1 растет с меньшим темпом      , чем остальные объемные

макропоказатели, при этом средний уровень потребления занятых растет

с темпом    ,

L(t)  L

exp



(  )t



c t)

C t)/

L t)

exp



t



4.4. Производственная функция на переходном режиме роста с

уменьшающимся коэффициентом приростной фондоемкости b(t) . В [3,

4, 1] при идентификации параметров изучаемой модели отмечено, что для

многих стран мира характерен режим роста не с постоянным, а с изменяю-

щимся коэффициентом приростной фондоемкости b(t) . Это справедливо и

для экономики России 1970-2017 гг.

Численные эксперименты [4] показали, что динамика макроэкономиче-

ских показателей лучше отражает статистику, если предположить, что темп

изменения коэффициента приростной фондоемкости b(t) пропорционален

доле новых мощностей (t) , то есть изменение b(t) похоже по форме на

изменение наименьшей трудоемкости (t) в соответствии с (2):

db(t) dt  (t)b(t), b(0)  b

(11)

На основе утверждения 3 из работы [1, c.147,148] и леммы 1 в условиях

изменения b(t) в соответствии с (11) здесь сформулирована новая

Теорема 2. Пусть в замкнутой экономике (3) с меняющейся фондоем-

костью Y (t)  C(t)  b(t) J (t) , на режиме роста суммарной мощности и

ВВП с темпом  ,

M (t)  M

exp(t), Y (t)  Y

exp(t),

(12)

выполнены следующие условия:

а) коэффициент приростной фондоемкости b(t) уменьшается в со-

ответствии с (11) с темпом (t) , где   const  0;

б) доля новых мощностей фиксирована,

(t)  J(t) / M(t)    const ;

(13)

в) верна гипотеза 1 о фиксированном числе рабочих мест и падении

мощности с темпом  до достижения предельного возраста A(t);

г) фиксирован максимальный возраст мощностей A(t)  A  const ;

д) уменьшается наименьшая трудоемкость (t) вследствие научно-

технического прогресса в соответствии с уравнением (2).

Н.Н. Оленев

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) производственная функция f (t, x) (загрузка суммарной мощности)

на переходном режиме (12), (11), (13) имеет вид (10), (7), (8);

2) отношение средней трудоемкости к наименьшей x / (t)  const ;

3) темп роста числа трудящихся, занятых в экономике,      ;

4) доля потребления в выпуске C(t) / Y (t) увеличивается, а доля накоп-

ления b(t)J (t)) / Y (t) уменьшается, при этом среднее потребление c(t) 

C(t)/ L(t) растет с темпом, превышающим его значение на сбалансиро-

ванном росте  .

5. Результаты идентификации производственной функции

Аналитическое выражение для производственной функции получено

для двух характерных режимов роста. Для российской экономики привыч-

ны переходные режимы. Параметры производственной функции по россий-

ским данным 1970-2017 гг. будем идентифицировать по исходной микро-

модели, предполагая вариабельность доли (t) новых мощностей в сум-

марной мощности. Тем самым мы можем определить характерные для рос-

сийской экономики значения параметров этой производственной функции.

5.1. Условие на среднюю загрузку мощности. По определению вы-

пуск не превышает производственной мощности. В качестве суммарного

выпуска в односекторной модели рассмотрим ВВП. Будем считать, что для

каждого года t справедливо неравенство

Y t)



J t)exp(

))



J t)exp(

))

dM t),



tX t)

tA

где X (t) - максимальный возраст загрузки мощностей в году t, A - пре-

дельный возраст мощностей, который предполагается фиксированным.

В [16] показано, что в реальной экономике резервные мощности со-

ставляют порядка 30%. Учитывая переходный характер процессов в эконо-

мике России, полагаем среднюю загрузку мощностей здесь порядка 60%.

5.2. Результаты идентификации параметров модели. При косвенной

идентификации параметров в качестве критерия близости статистических

L t)

и рассчитанных по модели L(t) временных рядов числа занятых в

экономике по российским данным 1970-2017 гг. использовалась модифика-

цияN_L критерия ТейлаT_L :

1T



L t)

L t)

L t)



max

(14)





tt

 



tt







a aa

Идентификация производственной функции с предельным возрастом мощностей

При такой модификации параллельный расчет [2] значительно ускоряется,

ибо расчет квадратного корня исключен. Искомые параметры a в (14) - это

,,,

, ,



. Лучшее значение критерия



0.9283

достигнуто при

следующих значениях параметров:

5.598лет, 0.430, 0.03155ле

^ ,



2.512чел.лет на 1млн. руб. 2010 г., 0.3465, A

лет,



0.05ле

^ ,

так что оценка начального распределения производственных мощностей

m(t

, )  J (t

) exp(0.05(t

 )), где

0t

 A - возраст.

5.3. Макроэкономические показатели идентификации. Рис.1 оцени-

вает качество идентификации модели по близости рассчитанных по модели

и статистических временных рядов для числа занятых в экономике L(t).

Колебания отклонений связаны с жесткостью модели.

Рис.1. Расчет числа занятых по модели

Рис.2. Расчет среднего возраста мощностей

Lmod и статистика по числу занятых

avrAge и максимального возраста

в экономике Lstat в 1970-2017 гг.

их загрузки mxAge в 1970-2017 гг.

Рис.2 представляет оценку среднего возраста производственных мощ-

ностей avrAge и максимального возраста их загрузки mxAge. Последний

возраст рассчитан из условия, что мощности загружаются трудовыми ре-

сурсами, начиная с наименьшего возраста (с лучшей производительностью

труда) до исчерпания трудовых ресурсов. В реальности частично загружа-

ются все учитываемые мощности, а переход на новые мощности замедлен.

На рис.3 показана динамика производственной функции f (t, x) (за-

грузки суммарной мощности) и доли накопления в ВВП в 1970-2017 гг.

Видно, что доля накопления в ВВП в постсоветское время снизилась почти

в три раза, а загрузка имеющихся мощностей к середине 90-х гг. XX в. упа-

ла в два раза, а затем выросла до обычного уровня в 60-70%.

Рис.4 показывает динамику доли (t) новых мощностей в суммарной

мощности в сравнении с фиксированным темпом  падения мощностей

вследствие износа. В середине 90-х гг. XX в. доля (t) опускалась ниже  ,

не обеспечивая возмещения даже физического износа мощностей.

Н.Н. Оленев

Рис.3. Загрузка производственных мощ-

Рис.4. Доля новых мощностей в суммар-

ностей f (x) и доля накопления в

ной  и темп деградации мощнос-

ВВП b(t)J(t)/Y(t) в 1970-2017гг.

тей  в 1970-2017 гг.

Рис.5. Коэффициент приростной фондо-

Рис.6. Трудоемкости наименьшая  и

емкости b в 1970-2017 гг.

средняя  в 1970-2017 гг.

Рис.5 представляет динамическое снижение коэффициента приростной

фондоемкости b(t) в 1970-2017 гг. из-за роста доли сырьевых отраслей.

Рис.6 представляет оценку по модели динамики наименьшей трудоем-

кости  и средней трудоемкости загруженных мощностей  .

5.4. Микроэкономические показатели идентификации. Рис. 7 пред-

ставляет распределение производственных мощностей m(t,) по моментам

их создания  для характерных лет t  1991, 1997, 2008, 2010, 2015, 2017.

Производственные мощности на этих графиках измеряются в трлн. руб.

2010 г. Черным цветом закрашены полностью загруженные мощности, а бе-

лым - резервные. В реальной экономике резервные мощности имеются для

всех моментов их создания [16]. В t  1991 г. доля новых мощностей упала.

В дальнейшем, как видно на графике для t  1997 г., это падение продолжи-

лось. После 1998 г. загрузка старых мощностей перестала убывать. На гра-

фике t  2008 г. видно, что загружены старые мощности, что были загруже-

ны в t  1997 г. В t  2008 г. загрузка мощностей достигла насыщения. За-

тем она начала сокращаться, см. t  2010, 2015, 2017 гг. В реальной эконо-

Идентификация производственной функции с предельным возрастом мощностей

мике резервные мощности частично используются, и поэтому они влияют

на инфляцию издержек. Из графиков при t  2015, 2017 гг. видно, что тол-

стый хвост мощностей в 2017 г. исчез, а значит, инфляция издержек с этого

момента практически прекратилась.

Рис.7. Распределение производственных мощностей m(t,) по годам создания

 (в трлн. руб. 2010 г.) в годы t=1991, 1997, 2008, 2010, 2015, 2017.

6. Заключение

Отметим здесь некоторые интересные экономические выводы из ре-

зультатов идентификации параметров производственной функции, которые

получены с помощью высокоскоростных расчетов на кластере. Во-первых,

выводы из того, что в России средний максимальный возраст мощностей A

составляет 25 лет (возраст инвестиций A + 1=26 лет).

Н.Н. Оленев

1. Инфляция издержек, вызываемая ростом трудоемкости на старых

мощностях, в 2017 г. закончилась (1991 + 26=2017). Старые мощности вы-

шли из употребления, вместе с ними ушла инфляция издержек.

2. Для поддержки небольшой инфляции, необходимой для исправления

структурных перекосов, можно повысить минимальную зарплату, тем са-

мым сокращая смертность населения и увеличивая спрос на отечественную

продукцию. Можно увеличить расходы бюджета.

3. Дальнейший рост без высокой инфляции возможен только за счет

инвестиций в новые мощности, старые мощности загружать невыгодно.

4. Для ввода в строй производственных мощностей с новыми техноло-

гиями будет востребована наука.

5. Эмиссией денег можно стимулировать рост, инфляция ограничена.

6. Для загрузки новых производственных фондов надо готовить кадры.

7. Для перехода к сбалансированному росту при проведении экономи-

ческой политики следует таргетировать (обеспечивать минимально необхо-

димую) долю новых производственных мощностей , которая в силу след-

ствия 2 из теоремы 1 связана с темпом экономического роста  соотношени-

ем     , где  - темп прироста числа занятых в экономике. При под-

становке полученных выше результатов идентификации мы получим мини-

мально необходимый темп роста =0.049. Это значит, что в течение не-

скольких лет, до тех пор, пока не окрепнут частные инвестиции в экономи-

ку, понадобятся соответствующие государственные инвестиции, например,

в инфраструктуру.

Во-вторых, предельный возраст мощностей - это дополнительное уп-

равление, и изложенные выше выводы справедливы при сложившемся в на-

шей стране условии его постоянства. Для достижения большего темпа роста

российской экономики средний предельный возраст производственных

мощностей надо снижать, принимая соответствующие меры.

Приложение 1

Доказательство теоремы 1. Утверждение 1 следует непосредственно

из (9). Для получения утверждения 2 (другой формы представления леммы

1) достаточно разделить (5) на M (t), найти производную от M (t) в полу-

ченном уравнении в соответствии с (9) и воспользоваться утверждением 1.

Выражение для производственной функции (10) утверждения 3 тоже непо-

средственно следует из подстановки в соотношения (6) постоянной доли

новых мощностей  . Поскольку на сбалансированном росте (9) величины

M(t) и Y(t) растут с постоянным темпом, то f (t,x)  const , поэтому из (10)

следует утверждение 4, что завершает доказательство теоремы 1.

Идентификация производственной функции с предельным возрастом мощностей

Доказательство теоремы 2. В соответствии с леммой 1 темп роста 

(7) определяется соотношением (8). Уравнение (8) имеет единственное по-

ложительное решение, если производная левой части этого уравнения боль-

ше производной правой части при   0, что обеспечивает условие A  1/ 

леммы 1. Утверждение 1 следует из подстановки (7), (8) в параметрическое

выражение для производственной функции (6). В результате получим соот-

ношение (10). Утверждение 2 следует из определения производственной

функции Y (t)  M (t) f (t, x) и равенств (10), (12). Утверждение 3 следует из

утверждения 2, условия (13) и уравнения (2) для динамики наименьшей

трудоемкости. Для доказательства утверждения 4 заметим, что из условия

(13) следует, что темп роста новых мощностей J (t) совпадает с темпом

роста суммарной мощности M (t), а в силу (11), (12) доля накопления в вы-

пуске падает

b(t)J (t) / Y (t)  (b

)exp(t), соответственно, доля по-

требления C(t) / Y (t)  1 b(t)J (t) / Y (t) растет. Среднее потребление на пе-

реходном режиме в силу утверждения 2 определяется соотношением

c(t) 



f (x / (t))b

exp



t



(t)







exp



t



то есть среднее потребление на переходном режиме (при x / (t)  const )

растет быстрее, чем на режиме сбалансированного роста (9). Что и заверша-

ет доказательство теоремы 2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Н.Н. Оленев. Производственная функция с учетом ограничения производственных

мощностей по возрасту // Труды МФТИ, 2017, т.9, №3(35), с.143-150.

N.N. Olenev Proizvodstvennaia funktsyia s uchetom ogranicheniia proizvodstvennykh

moshchnostri po vozrastu // Trudy MFTI, 2017, t.9, №3(35), s.143-150.

2. С.А. Немнюгин. Введение в программирование на кластерах.  М.: 2016, 247 c.

S.A. Nemniugin. Vvedenie v programmirovanie na klasterakh.  M.: 2016, 247 s.

3. N. Olenev. Economy of Greece: an evaluation of real sector // Bulletin of Political Econ-

omy, Serials Publ., 2016, v.10, №1, p.25-37.

4. N. Olenev. Identification of an aggregate production function for Polish economy // Quan-

titative Methods in Economics, 2019, v.19, №4, p.430-439.

5. H.S. Houthakker. The Pareto distribution and the Cobb-Douglas production function in ac-

tivity analysis // Review of Econ. Studies, 1955-56, v.23(1), №60, p.27-31.

6. D. Levhari. A note of Houthakker's aggregate production function in a multifirm industry //

Econometrica, 1968, v.36, №1, p.151-154.

7. L. Johansen. Production functions and the concept of capacity // Recherches recentes sur la

fonction de production, Collection. Econ. math. et economet., 1968, v.2, p.49-72.

Н.Н. Оленев

8. L. Johansen. Production functions: an integration of micro and macro, short run and long

run aspects / Contributions to economic analysis, v.75, Amsterdam, London, North-

Holland publ. co., 1972, 274 p.

9. А.А. Петров, И.Г. Поспелов. Системный анализ развивающейся экономики: к теории

производственных функций.I // Изв. АН СССР, Техн. киб., 1979, № 2, c.18-27.

A.A. Petrov, I.G. Pospelov. Sistemnyj analiz razvivayushchejsya ekonomiki: k teorii proiz-

vodstvennykh funktsii. I // Izv. AN SSSR, Tekhn. kib., 1979, № 2, c.18-27.

10. А.А. Шананин. Исследование одного класса производственных функций, возникаю-

щих при макроописании экономических систем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,

1984, т.24, №12, с.1799-1811.

англ. пер.: A.A. Shananin. Investigation of a class of production functions arising in the

macro description of economic systems // USSR Comput. Math. & Math. Phys. (GB),

1984, v.24, №6, p.127-134.

11. Н.Н. Оленев, А.А. Петров, И.Г. Поспелов. Модель процесса изменения мощности и

производственная функция отрасли хозяйства / Математическое моделирование:

Проц. в сложн. экон. и эколог. сист.  М.: Наука, 1986, с.46-60.

N.N. Olenev, A.A. Petrov, I.G. Pospelov. Model protsessa izmeneniia moshchnosti i proiz-

vodstvennaia funktsiya otrasli khozyaistva / Matematicheskoe modelirovanie: Prots. v

slozhn. ekon. i ekolog. sist.  M.: Nauka, 1986, s.46-60.

12. C.I. Jones. The shape of production function and the direction of technical change // Quar-

terly Journal of Economics, 2005, v.120, №2, p.517-549.

13. R. Lagos. A model of TFP // Review of Economic Studies, 2006, v.73, p.983-1007.

14. V. Matveenko. Anatomy of production functions: a technological menu and a choice of the

best technology // Econ. Bull., 2010, v.30, №3, p.1906-1913.

15. Н.Н. Оленев, Р.В. Печенкин, А.М. Чернецов. Параллельное программирование в

MATLAB и его приложения.  М.: ВЦ РАН, 2007, 120 c.

N.N. Olenev, R.V. Pechenkin, A.M. Chernecov. Parallelnoe programmirovanie v MATLAB

i ego prilozheniya.  M.: VC RAN, 2007, 120 s.

16. Н.Н. Оленев. Модель жизненного цикла основных фондов и производственная функ-

ция, учитывающая резервы мощностей // Мат. мод., 1995, т.7, №7, c.19-33.

N.N. Olenev. Model zhiznennogo tsikla osnovnyh fondov i proizvodstvennaya funktsiya,

uchityvayushchaya rezervy moshchnostej // Mat. mod., 1995, t.7, №7, s.19-33.

Поступила в редакцию 20.05.2019

После доработки 20.05.2019

Принята к публикации 01.07.2019