МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
2019 год, том 31, номер 6, стр. 82-94
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
ОКОЛО ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛ
2019 г.
В.Н. Булгаков, В.П. Котенев, Ю.С. Ожгибисова
АО "ВПК "НПО машиностроения"
МГТУ им. Н.Э. Баумана
v.n.bulgakov@vpk.npomash.ru, y.s.ozhgibisova@vpk.npomash.ru
DOI: 10.1134/S0234087919060054
При высокоскоростном обтекании наиболее нагруженными в тепловом отношении
являются, как правило, затупленные элементы тел сложной формы, где газодина-
мические параметры испытывают значительные изменения. В связи с этим боль-
шое значение имеет быстрая оценка теплового нагружения на затупленных телах.
Рассматриваются уравнения ламинарного пограничного слоя при установившемся
осесимметричном течении сжимаемого совершенного газа, записанные в специ-
альных координатах. В качестве граничного условия на стенке принято условие
«прилипания», а на границе - равенство скорости и температуры соответствующим
значениям внешнего потока. В методе Польгаузена вводят понятия толщины вы-
теснения и толщины потери импульса, находят связи для отношения этих величин
к толщине пограничного слоя и выводят дифференциальное уравнение для опреде-
ления формпараметра пограничного слоя, через который определяют остальные
характеристики пограничного слоя. Модификация метода Польгаузена проводится
для того, чтобы упростить процедуру расчета, исключив из неё дифференциальные
уравнения. Аналогично скорости в виде полинома четвертой степени представля-
ется специальная функция, в которую входит энтальпия и безразмерный «кинети-
ческий» параметр, подлежащий определению. Для нахождения коэффициентов по-
линома используются граничные условия на стенке и на границе пограничного
слоя. Кинетический параметр определяется по-разному для тел различной формы.
Приводятся результаты применения предложенного метода для расчета тепловых
потоков, численное исследование которых также приведено в ряде работ в рамках
полных систем уравнений Навье-Стокса и Прандтля. Сравнение результатов сви-
детельствует об эффективности изложенного метода.
Ключевые слова: пограничный слой, вязкость, метод Польгаузена, сверхзвуковое
обтекание, тепловой поток, звуковая точка.
Аналитическое исследование ламинарного пограничного слоя около затупленных тел
83
ANALYTICAL STUDY OF LAMINAR BOUNDARY LAYER
NEAR BLUNTED BODIES
V.N. Bulgakov, V.P. Kotenev, Iu.S. Ozhgibisova
JSC «MIC «Mashinostroeniia»
Bauman Moscow State Technical University
In high-speed flow, blunt body elements having an irregular shape due to which gas dy-
namic parameters undergo considerable changes are, as a rule, the most thermally loaded
parts. In this connection, quick evaluation of thermal loading on blunt bodies is impor-
tant. Laminar boundary layer equations given in special coordinates in the constant axi-
symmetric flow of a compressible perfect gas are considered. The «adhesion» condition
is accepted as a boundary condition on the wall, and equality of speed and temperature to
the corresponding values of the external flow is accepted on the border. In the Pohl-
hausen's method, concepts of displacement thickness and momentum thickness are intro-
duced, relations between these values and the boundary layer thickness are established,
and a differential equation is derived to define the boundary layer form-parameter using
which other characteristics of the boundary layer are identified. The Pohlhausen's method
is modified in order to simplify the calculation, excluding from it the differential equa-
tions. Similar to velocity, a special function which includes enthalpy and dimensionless
«kinetic» parameter to be determined is introduced as a biquadratic polynom. Boundary
conditions on the wall and on the border of the boundary layer are used to determine the
polynom coefficients. The kinetic parameter is defined in a different way for bodies of
various shapes. Application results of the proposed method for calculation of thermal
flows which numerical analysis is also given in number of papers within full systems of
Navier-Stokes and Prandtl equations. Comparison of the results shows efficiency of the
proposed method.
Key words: boundary layer, viscosity, Pohlhausen method, supersonic flow, heat trans-
fer, sonic point.
1. Введение
При высокоскоростном обтекании наиболее нагруженными в тепловом
отношении являются, как правило, затупленные элементы тел сложной фор-
мы, где газодинамические параметры испытывают значительные изменения
[1-6]. В данной работе предлагается аналитический метод для проведения
многокритериальных серийных расчетов.
2. Математическая постановка
Рассмотрим уравнения ламинарного пограничного слоя при устано-
вившихся осесимметричных течениях сжимаемого совершенного газа.
Введем следующие обозначения: пусть нижний индекс «0» соответст-
84
В.Н. Булгаков, В.П. Котенев, Ю.С. Ожгибисова
вует параметрам на стенке (поверхность обтекаемого тела), а «1» - пара-
метрам на границе пограничного слоя, x - координата, направленная вдоль
образующей тела, а y - по нормали к ней. Дальнейшие исследования будем
проводить в координатах:
y
1
(x)
1
x,
dy
(1)
(x,y)
10
(x)
1
Здесь - динамическая вязкость,
dy
- приведенная толщина по-
1
0
граничного слоя, т.е. 0 1, 0 y (x) , где (x) - толщина погранслоя.
Система уравнений пограничного слоя в этих переменных имеет вид
2
2
u u
u
dP
u
1
1
u
,
2
2
x
x
dx
1
1
P
P
P
1
0
0,
y
1
ur
ur
r
0,
(2)
x
x
y
2
2
2
2
h h
h
dP
1
h
u
1
1
1
u
u
,
2
2
2
x
x
dx
Pr
1
1
1
P
h
, P RT .
1
Здесь - плотность, u и - проекции вектора скорости на направления x и
y, r - цилиндрический радиус тела, P - давление, h - энтальпия, Pr - чис-
ло Прандтля, R - газовая постоянная, T
- температура, - показатель
адиабаты.
Граничные условия на стенке и на границе пограничного слоя:
u
0
при y 0 ,
(3)
0
0
uu
,
hh
при y (x) .
(4)
1
1
Коэффициент динамической вязкости газов определяется с помощью
формулы Сазерленда или с использованием степенной зависимости:
Аналитическое исследование ламинарного пограничного слоя около затупленных тел
85
3/2
T
T
T
00
a
5
,
T
273
K,
T
110 K,
1.7210
Па с,
(5)
a
00
a
T
T
T
a
00
a
/
T/T
h/h
(6)
0
0
0
Из уравнения движения на стенке следует:
2
2
u
1
dP
0 1
(x),
(7)
2
2
u
1
dx
0
1
где
uu/u
(x)
- безразмерная скорость,
u
(x) - скорость на границе по-
1
1
граничного слоя, (x) - формпараметр пограничного слоя.
Используя граничные условия (3), (4) и равенство нулю первой и вто-
рой производных от скорости по координате на границе пограничного
слоя, находим коэффициенты a, b, c и d полинома Польгаузена [7-9]:
2
3
4
ua(x)b(x)
c(x)
d(x)
2
3
4
2/6
( / 2)
/22
1/6
(8)
3. Параметры на границе пограничного слоя
Дальнейшее рассмотрение будем производить, используя результаты по
распределению давления на поверхности затупленных тел, полученные в [10]:
/(
1)
2
P
1
k
,
(9)
2
P
1
k
0
1
1
где k
, 90, - угол между осью тела и вектором
2
3(
90)
скорости,
- положение звуковой точки,
P - давление торможения.
0
Применение формулы (9) предполагает, что давление найдено из не-
вязкого обтекания. Известно, что при достаточно больших числах Рейнольд-
са распределения давления, полученные из решения уравнений Навье-Стокса
и Эйлера, близки.
Формула (9) позволяет вычислить параметры на границе пограничного
слоя:
2
u
/ H 2(1h
) ,
(10)
1
1
(
1)
где
h
h
H (P P)
, H - полная энтальпия (энтальпия торможения).
1
1
0
86
В.Н. Булгаков, В.П. Котенев, Ю.С. Ожгибисова
Далее в работе безразмерные параметры с чертой также отнесены к
значению H.
4. Адиабатическая стенка
Для адиабатической стенки тепловой поток равен нулю, а температура
на поверхности тела вычисляется по формуле
T
1
e
2
h
1
M
(11)
e
T
2
Здесь T - температура набегающего потока,
h
Pr
1
Pr
- так на-
e
h1
зываемая адиабатическая энтальпия, соответствующая теплоизолированной
поверхности.
На рис.1 приведены данные адиабатической температуры на сфере, по-
лученные при решении задачи обтекания в точной вязкой постановке при
помощи численного интегрирования для M
2.94
[11]. Сплошной линией
обозначены результаты применения соотношения (11) с использованием
формулы (9), а точками - данные работы [11].
Рис.1. Адиабатическая температура на стенке на поверхности сферы: Pr 0.7 ,
M
2.94
Результаты, полученные по соотношению (11), хорошо согласуются с
данными численного расчета, что подтверждает точность формулы (9).
5. Оценка формпараметра
Будем рассматривать режим относительно холодной стенки, т.е. она
нагревается и тепловой поток Q к ней положителен.
На стенке выполнены условия
u
0
(12)
x
x
0
0
0
Аналитическое исследование ламинарного пограничного слоя около затупленных тел
87
Продифференцируем первое уравнение системы (2) с учетом (12):
3
2
1
u
u
6c
(13)
3
2
2b
0
0
0
Из (5), с учетом
hc
T , гдеcP - коэффициент теплоемкости, следует
P
1
3
h
1
h
0
(14)
2
T
T
h
h
00
0
0
0
0
0
1
2
Здесь
T
T
1
M
- температура в точке торможения, M - число
0
2
Маха набегающего потока, T определяется с помощью таблиц стандарт-
ной атмосферы по заданным числам Маха M и Рейнольдса Re
V R
0
, где
R
- значение радиуса кривизны в точке торможения.
0
Для степенной зависимости (6) производная принимает вид
1
h
(15)
h
0
0
0
Так как Q 0 , то
(h )
0. Из формул (8), (13) - (15) получаем
0
0 < < 4.
(16)
6. Распределение энтальпии в пограничном слое
Проведем модификацию метода Польгаузена, исключив из процедуры
дифференциальное уравнение. Представим в виде полинома четвертой сте-
пени следующую функцию:
2
u
2
3
4
h x)
h
p x)q x)
s x)
t x)
,
(17)
0
2
где (x) - безразмерный «кинетический» параметр, подлежащий определе-
нию. При 1 соотношение (17) дает полную энтальпию единицы массы
газа.
Для определения коэффициента p используем (13) - (17), q - последнее
уравнение (энергии) системы (2) с учетом граничных условий (3) и (17).
Для нахождения s продифференцируем уравнение энергии с учетом (12),
88
В.Н. Булгаков, В.П. Котенев, Ю.С. Ожгибисова
(17) и дополнительного условия
h
const , которое, как правило, использу-
0
ется в расчетах, тогда
2
2
2
h
123
u
u
0
1
1
p
,
q
Pr
2
,
s
Pr
2
.
(18)
2
6
2
6
3
h
0
Здесь
или в зависимости от того, какой закон для
'
2
T
T
h
00
0
0
вязкости используется.
7. Определение формпараметра пограничного слоя
Согласно формуле (17) применительно к границе пограничного слоя:
h
p
2q
3s
4t
(19)
1
Для определения
(h )
продифференцируем уравнение движения
1
2
u
u
u
системы (2) с учетом того, что
0
и
0:
2
x
1
1
1
2
3
u
u
1
dP
1
1
u
(20)
1
2
3
x
dx
1
1
1
1
1
2
3
P
1
h
1
1
h dP
u
1
Поскольку
0
, то
и
. Учи-
2
3
h
h
dx
1
1
1
1
h
12
0
тывая (7), (8) и (20), получим искомое выражение:
h
1
1
1
Комбинация уравнений (17) и (19) на границе пограничного слоя дает
соотношение для определения формпараметра :
2
3
h
12
3
0
2
Pr
1
h
2
Pr
1h
2
1
1
6
6
12
0
41
1
1
h
h
h
(21)
1
0
1
1
8. Определение кинетического параметра
Кинетический параметр (x) определяется по-разному для тел различ-
ной формы. В случае сферы положим Pr и уравнение (21) для опреде-
Аналитическое исследование ламинарного пограничного слоя около затупленных тел
89
ления формпараметра сводится к линейному. Для сферы отношение радиу-
са R миделевого сечения к длине L есть 1. Геометрию тел большого и ма-
лого удлинения будем рассматривать с помощью эллипсоидов.
R
1
1
Выбор
Pr
дает хороший результат для тел малого уд-
2
L
2
линения ( R L 1), т.е. уравнение (21) сводится к квадратному. Для тел
большого удлинения ( R L 1) решаем кубическое уравнение (21), положив
R
2
1Pr. Корень во всех случаях выбирается так, чтобы формпа-
L
раметр соответствовал оценке (16).
9. Уточнение формпараметра пограничного слоя
На критической линии будем считать, что
(h )
0. Это оправды-
1
вается тем, что здесь достигается энтальпия восстановления, совпадающая с
максимальной полной энтальпией. Тогда из (21) можно определить значе-
36h
0
ние формпараметра в точке торможения:
(90)
9h
4(1h
)
0
0
Введем поправочный коэффициент
(90) /
(90) , где параметр
0
() найден с помощью (21). Окончательно формпараметр пограничного
0
слоя представим в виде
()
() .
0
После определения формпараметра () и коэффициента t, с помо-
щью соотношения (17) можно построить профиль h. На рис.2 представлено
типичное поведение функции h с характерным максимумом внутри погра-
ничного слоя.
Рис.2. Распределение энтальпии: Pr 0.7 , M
2.94,
0.7.
10. Расчет тепловых потоков
Тепловой поток определяется следующим соотношением согласно (1),
du
1
du
1
1
(7) и (18) и с учетом того, что
:
dx
R()
d
90
В.Н. Булгаков, В.П. Котенев, Ю.С. Ожгибисова
Q
h
h
0
0
Q
Pr
y
Pr
y
0
0
0
90
1
2
1
2
123
du
123
du
1
1
1
1
,
(22)
3
2
3
2
R()
d
R()
d
90
где
Q
- значение теплового потока в точке торможения, R() - радиус
0
кривизны образующей тела.
11. Пересчет тепловых потоков
Формулу (22) будем применять, когда
h
0.15 0.35. Известно, что
0
коэффициент теплопередачи слабо зависит от величины
h
. Поэтому если
0
h
лежит вне этого отрезка, будем осуществлять пересчет теплового пото-
0
ка, предварительно рассчитанного для указанного диапазона. Для реализа-
ции такого подхода представим тепловой поток в следующем виде с учетом
того, чтоhe H и
A c
- коэффициент теплопередачи:
P
Q
Ac
h
h
P
e
0
Q
(
A c
)
1h
0
P
90
0
Поэтому для пересчета будем использовать следующее выражение:
(Q
/ Q
)
(h
h
)
(1
h
)
0
e
0
0
(23)
(Q
/
Q
)
(h
h
)
(1
h
)
0
C
e
0C
0C
Индекс «C », означает, что
h
не входит в указанный выше диапазон.
0C
12. Результаты
Рассмотрим результаты применения формул (22) и (23) для расчета те-
пловых потоков для сферы и эллипсоидов с различным отношением полу-
осей n b a , численное исследование которых также приведено в работах
[12-15] в рамках полных систем уравнений Навье-Стокса и Прандтля. В
[12,13] используется степенной закон для вязкости, а в [14,15] - формула
Сазерленда.
На всех графиках результаты работы [12] показаны символом «круг», а
результаты работы [14] - символом «черный круг». Сплошная линия - ре-
зультаты данной работы, полученные с использованием степенной зависи-
мости, а штриховой пунктир - применение в работе формулы Сазерленда.
Аналитическое исследование ламинарного пограничного слоя около затупленных тел
91
Результаты для сферы в сравнении с работой [12] приведены в зависи-
мости от угла , а для эллипсоидов - в зависимости от длины дуги вдоль
образующей тела S .
Рис.3. M
4.11, n 1, Pr 0.72 ,
Рис.4. M
10, n 1, Pr 0.72 ,
h
0.25, 0.5 .
h
0.25, 0.5 .
0
0
Рис.5. M
6, n 1, Pr 0.72 ,
Рис.6. M
10, n 1, Pr 0.72 ,
h
0.35, 0.5 .
h
0.35, 0.5 .
0
0
Рис.7. M
10
, a 1, b 0.5, n 0.5 ,
Рис.8. M
10, a 1, b 1.5, n 1.5,
Pr 0.75 ,
h
0
0.16 , 0.5 .
Pr 0.75 ,
h
0
0.16 , 0.5 .
Рис.9. M
6,
a2, b1, n 0.5, Pr0.7, Рис.10. M
3,
a2, b1, n 0.5, Pr0.7,
h
0.05, 0.7 , T
260
h
0.05, 0.7 , T
260
0
0
92
В.Н. Булгаков, В.П. Котенев, Ю.С. Ожгибисова
Рис.11. M
10, n 1, Pr 0.7 ,
h
0.05, Рис.12. M
6, n 1, Pr 0.7 ,
h
0.05,
0
0
0.7, T
260
0.7, T
260
Рис.13. M
6,
a =2/3, b 1, n 1.5, Pr0.7, Рис.14. M
3,
a =2/3, b 1, n 1.5, Pr0.7,
h
0.05, 0.7 , T
260
h
0.05, 0.7 , T
260
0
0
Рис.15. M
10, a0.5, b
1
, n2, Pr0.7, Рис.16. M
3,
a0.5, b1, n2, Pr0.7,
h
0.05, 0.7 , T
260
h
0.05, 0.7 , T
260
0
0
13. Выводы
Разработан аналитический метод для получения информации о пара-
метрах обтекания тел. На основе дифференциальных уравнений погранич-
ного слоя, записанных в специальных переменных, удается быстро опреде-
лять формпараметр пограничного слоя, который в совокупности с зависи-
мостью для определения давления [10] используется в дальнейших расчетах
для нахождения тепловых потоков на телах различного удлинения.
Проведено сравнение с результатами работ различных авторов для вы-
яснения диапазона применимости метода. Сопоставление результатов с из-
вестными численными данными [12-15] показали хорошее согласование
тепловых потоков, что позволяет сделать вывод о корректности аналитиче-
ского моделирования, а также о достоверности полученных результатов.
Аналитическое исследование ламинарного пограничного слоя около затупленных тел
93
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
А.В. Братчев, Е.Г. Ватолина, В.В. Горский и др. Под ред. В.В. Горского. Математи-
ческое моделирование тепловых и газодинамических процессов при проектировании
летательных аппаратов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011, 212 с.;
A.V. Bratchev, E.G. Vatolina, V.V. Gorskiy i dr. Pod red. V.V. Gorskogo. Matematiches-
koe modelirovanie teplovykh i gazodinamicheskikh protsessov pri proektirovanii letatel-
nykh apparatov. - M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2011, 212 s.
2.
Б.А. Землянский, В.В. Лунев, В.И. Власов и др. Под ред. Б.А. Землянского. Конвектив-
ный теплообмен летательных аппаратов. - М.: Физматлит, 2014, 380 с.;
B.A. Zemlyanskiy, V.V. Lunev, V.I. Vlasov i dr. Pod red. B.A. Zemlyanskogo. Konvektiv-
nyi teploobmen letatelnykh apparatov. - M.: Fizmatlit, 2014, 380 s.
3.
Ю.И. Димитриенко, В.П. Котенев, А.А. Захаров. Метод ленточных адаптивных сеток
для численного моделирования в газовой динамике. - М.: Физматлит, 2011, 280 с.;
Yu.I. Dimitrienko, V.P. Kotenev, A.A. Zakharov. Metod lentochnykh adaptivnykh setok
dlia chislennogo modelirovaniia v gazovoi dinamike. - M.: Fizmatlit, 2011, 280 s.
4.
С.Т. Суржиков. Радиационная газовая динамика спускаемых космических аппара-
тов. Многотемпературные модели. - М.: ИПМех РАН, 2013, 706 с.;
S.T. Surzhikov. Radiatsionnaia gazovaia dinamika spuskaemykh kosmicheskikh apparatov.
Mnogotemperaturnye modeli. - M.: IPMekh RAN, 2013, 706 s.
5.
С.Т. Суржиков. Расчетное исследование аэротермодинамики гиперзвукового обтека-
ния затупленных тел на примере анализа экспериментальных данных. - М.: ИПМех
РАН, 2011, 192 с.;
S.T. Surzhikov. Raschetnoe issledovanie aerotermodinamiki giperzvukovogo obtekaniia
zatuplennykh tel na primere analiza experimentalnykh dannykh. - M.: IPMekh RAN,
2011, 192 s.
6.
Ю.Д. Шевелев. Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики. - М.:
Наука, 1986, 368 с.;
Iu.D. Shevelev. Prostranstvennye zadachi vychislitelnoy aerogidrodinamiki. - M.: Nauka,
1986, 368 s.
7.
Г.Н. Абрамович. Прикладная газовая динамика. - М.: Наука, 1969, 824 с.;
G.N. Abramovich. Prikladnaia gazovaia dinamika. - M.: Nauka, 1969, 824 s.
8.
В.В. Лунев. Течение реальных газов с большими скоростями. - М.: Физматлит, 2007,
327 с.;
V.V. Lunev. Techenie realnykh gazov s bolshimi skorostiami. - M.: Fizmatlit, 2007, 327 s.
9.
П.Н. Романенко. Гидродинамика и тепломассообмен в пограничном слое. - М.:
Энергия, 1974, 464 с.;
P.N. Romanenko. Gidrodinamika i teplomassoobmen v pogranichnom sloe. - M.: Energiia,
1974, 464 s.
10. В.П. Котенев. Точная зависимость для определения давления на сфере при произ-
вольном числе Маха сверхзвукового набегающего потока // Математическое моде-
лирование, 2014, т.26, №9, с.141-148;
англ. пер.: V.P. Kotenev. Exact relation for determining the pressure distribution on a
sphere at an Arbitrary Mach number in a supersonic incoming flow // Mathematical mod-
els and computer simulations, 2015, v.7, №2, p.128-133.
94
В.Н. Булгаков, В.П. Котенев, Ю.С. Ожгибисова
11. P. Kutler, S.R. Chakravarthy, C.P. Lombard. Supersonic flow over ablated nosetips using
an unsteady implicit numerical procedure // AIAA Paper 78-213, 1978, 14 p.
12. И.Г. Брыкина, В.И. Сахаров. Сравнение приближенных аналитических и численных
решений для тепловых потоков при сверхзвуковом обтекании тел вязким газом //
Изв. РАН, МЖГ, 1996, №1, с.125-132;
I.G. Brykina, V.I. Sakharov. Comparison of approximate analytical and numerical solutions
for heat fluxes in viscous supersonic flow past a body // Fluid Dynamics, 1996, v.31, №1,
p.107-113.
13. И.Г. Брыкина. Методы расчета теплопередачи и трения при пространственном ги-
перзвуковом ламинарном обтекании тел во всем диапазоне чисел Рейнольдса. - М.:
МГУ им. М.В. Ломоносова, 2013, автореферат диссерт. докт. физ.-мат. наук.
I.G. Brykina. Metody rascheta teploperedachi i trenia pri prostranstvennom giperzvukovom
laminarnom obtekanii tel vo vsem diapazone chisel Rejnoldsa. - M.: MGU im. M.V. Lo-
monosova, 2013, avtoreferat dissert. dokt. fiz.-mat. nauk.
14. Н.П. Колина. Ламинарный пограничный слой на затупленных осесимметричных те-
лах различной формы // Труды ЦАГИ, 1968, № 1106, с. 268-328;
N.P. Kolina. Laminatnyj pogranichnyj sloj na zatuplennykh osesimmetrichnykh telakh
razlichnoy formy // Trudy TSAGI, 1968, № 1106, p. 268-328.
15. В.А. Башкин, Н.П. Колина. Ламинарный пограничный слой на эллипсоидах враще-
ния // Известия АН СССР «Механика жидкости и газа», 1966, № 8.
V.A. Bashkin, N.P. Kolina. Laminarnyj pogranichnyj sloj na ellipsoidakh vrashcheniia //
Izvestia AN SSSR «Mekhanika zhidkosti i gaza», 1966, № 8.
Поступила в редакцию 06.12.18
После доработки 06.12.18
Принята к публикации 11.02.19
