Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 1, с. 3 - 9

Об измерении формфакторов Сакса в процессах без переворота

и с переворотом спина протона

М. В. Галынский¹⁾

Объединенный институт энергетических и ядерных исследований - Сосны НАНБ, 220109 Минск, Беларусь

Поступила в редакцию 5 октября 2018 г.

После переработки 15 октября 2018 г.

Принята к публикации 15 ноября 2018 г.

Установлен физический смысл разбиения формулы Розенблюта на сумму двух слагаемых, содер-

жащих только квадраты формфакторов Сакса. Предложен новый метод их независимого измерения в

упругом процессе ep → ep в случае, когда начальный покоящийся протон полностью поляризован вдоль

направления движения конечного протона.

DOI: 10.1134/S0370274X19010016

Введение. Эксперименты по изучению электри-

явлении передачи поляризации от продольно поля-

ческого (G_E ) и магнитного (G_M ) формфакторов про-

ризованного начального электрона к конечному про-

тона (ФФП), так называемых формфакторов Сак-

тону. Он основан на формуле, полученной в [2] для

са (ФФС), ведутся с середины 1950-х гг. в реакции

отношения формфакторов G_E и G_M через отноше-

упругого рассеяния электрона на протоне. В случае

ние степеней поперечной P_t и продольной P_l поляри-

неполяризованных электронов и протонов все экспе-

заций рассеянного протона:

риментальные данные о поведении ФФП были по-

µ_p G_E

P_t E₁ + E₂

(θ_e)

лучены с использованием формулы Розенблюта [1]

R≡

tan

(2)

G_M

P_l

для дифференциального сечения упругого процесса

Прецизионные эксперименты, основанные на ис-

ep → ep в лабораторной системе отсчета (ЛСО), где

начальный протон покоится:

пользовании формулы (2), были проведены в JLab

[4-7] в области 0.5 ≤ Q² ≤ 8.5 ГэВ², в которой при

(

)

dσ

α²E₂ cos²(θ_e/2)

τ_p

0.5 ≤ Q² ≤ 5.6 ГэВ², как оказалось, для отношения

G^2E +

G²

(1)

dΩ_e

R с ростом Q² имеет место линейное убывание

4E³¹ sin⁴(θ_e/2) 1 + τp

R = 1 - 0.13(Q² - 0.04) ≈ 1 - Q²/8,

(3)

Здесь τ_p = Q²/4M², Q² = -q² = 4E₁E₂ sin²(θ_e/2) -

квадрат переданного протону импульса, M - масса

что свидетельствует о более быстром убывании

протона; E₁, E₂, θ_e - соответственно, энергии началь-

формфактора G_E по сравнению с G_M .

ного и конечного электронов и угол рассеяния элек-

Повторные, более точные измерения отношения

трона в ЛСО; α = 1/137 - постоянная тонкой струк-

R, основанные на использовании метода Ахиезера-

туры; ε - степень линейной (поперечной) поляриза-

Рекало [7] и метода Розенблюта [8], подтвердили на-

ции виртуального фотона [2, 3] с областью изменений

личие расхождений. Подробное изложение современ-

0 ≤ ε ≤ 1, ε^-1 = [1 + 2(1 + τ_p)tan²(θ_e/2)].

ного состояния этой проблемы имеется в обзоре [9].

Формула Розенблюта (1) получена в приближе-

Физический смысл разбиения формулы Ро-

нии механизма однофотонного обмена, при этом мас-

зенблюта на сумму двух слагаемых, содержа-

са электрона положена равной нулю.

щих только G^2E и G^2M . В настоящей работе пред-

С помощью формулы (1) было установлено, что

ложен новый метод экспериментального измерения

экспериментальная зависимость ФФС от Q² вплоть

квадратов ФФС с использованием процесса упруго-

до Q² ≈ 6 ГэВ² является дипольной, при этом для

го рассеяния ep → ep, в котором G^2E и G^2M могут

отношения R ≡ µ_pG_E/G_M справедливо R ≈ 1, где

быть определены независимо друг от друга прямы-

µ_p - магнитный момент протона, µ_p = 2.79.

ми измерениями сечений процесса без переворота и с

В работе Ахиезера и Рекало [2] был предложен

переворотом спина протона в случае, когда началь-

метод измерения отношения ФФС, основанный на

ный (покоящийся) протон полностью поляризован в

направлении движения рассеянного протона. Насто-

¹⁾e-mail: galynski@sosny.bas-net.by

ящая работа является развитием нашей работы [10].

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

М. В. Галынский

Рассмотрим спиновые 4-векторы s₁ и s₂ началь-

дает только слагаемое, содержащее G^2M , при этом по-

ного и конечного протонов с 4-импульсами q₁ и q₂

ляризационные множители ω₊ и ω_- при G^2E и G^2M

в произвольной системе отсчета (ПСО). Условия ор-

равны нулю (ω₊ = 0) и единице (ω_- = 1). Это позво-

тогональности (s_iq_i = 0) и нормировки (s²ⁱ = -1)

ляет переписать сечение (7) процесса ep → ep, выде-

позволяют однозначно определить выражения для

лив явным образом вклады сечений без переворота

их временных (s_i0) и пространственных (s_i) компо-

(σ^↑↑) и с переворотом (σ^↓↑) спина протона:

нент si = (si0, si) через их 4-скорости vi = qi/M,

dσδ1,δ2

v_i = (v_i0, v_i) следующим образом:

=ω₊σ^↑↑ + ω_-σ^↓↑,

(9)

dΩ

(c_iv_i) v_i

τ_p

s_i = (s_i0, s_i), s_i0 = v_i c_i, s_i = c_i +

(4)

σ^↑↑ = σ_M G^2E, σ^↓↑

=σ_M

G^2M ,

(10)

1+v_i0

где σ_M - выражение, стоящее перед скобками в (7).

где единичные трехмерные векторы c_i (c²ⁱ = 1) на-

Усредняя и суммируя выражение (9) по поляриза-

зываются осями спиновых проекций (i = 1, 2).

циям начального и конечного протонов, для сечения

В ЛСО, где q₁ = (M, 0), q₂ = (q₂₀, q₂), выберем

Розенблюта (1), обозначаемого σ_R = dσ/dΩ_e, полу-

оси спиновых проекций c₁ и c₂ так, чтобы они совпа-

чаем другое представление:

дали с направлением движения конечного протона:

σ_R = σ^↑↑ + σ^↓↑.

(11)

c = c₁ = c₂ = n₂ = q₂/|q₂|.

(5)

Следовательно, физический смысл разбиения

Тогда спиновые 4-векторы начального (s₁) и конеч-

формулы Розенблюта на сумму двух слагаемых,

ного протонов (s₂) в ЛСО принимают вид:

содержащих только G^2E и G^2M , заключается в том,

что оно является суммой сечений без переворота и

s₁ = (0, n₂), s₂ = (|v₂|, v₂₀ n₂), n₂ = q₂/|q₂|.

(6)

с переворотом спина протона (11) в случае, когда

Предлагаемый метод основан на выражении для

начальный покоящийся протон полностью поля-

дифференциального сечения процесса ep → ep в

ризован вдоль направления движения конечного

ЛСО, полученном в настоящей работе для случая,

протона. При этом электрический G_E и магнитный

когда начальный и конечный протоны поляризова-

G_M ФФС определяют вклады матричных элементов

ны и имеют общую ось спиновых проекций c (5):

(МЭ) протонного тока в случае переходов протона

без переворота и с переворотом спина.

α²E₂ cos²(θ_e/2)

dσδ1,δ2

В очевидности данной трактовки можно легко

dΩ_e

4E³¹ sin⁴(θ_e/2) 1 + τp

убедиться с помощью следующих простых рассуж-

)

(1+δ₁δ₂

1-δ₁δ₂ τ_p

дений. Формулу Розенблюта (1) в случае неполя-

G^2E +

G²

(7)

ризованных частиц можно рассматривать (см. (28))

как сумму сечений без переворота и с переворотом

где δ1,2 - удвоенные значения проекций спина на-

спина начального протона, который должен быть

чального и конечного протонов на общую ось спи-

полностью поляризован вдоль некоторого направле-

новых проекций c (5); при этом -1 ≤ δ_1,2 ≤ 1.

ния, определяемого кинематикой процесса. В ЛСО

Отметим, что формула (7) разбивается на сумму

таким выделенным направлением может являться

двух слагаемых, которые отвечают за вклады пере-

только направление движения рассеянного протона,

ходов без переворота (∼ G^2E ) и с переворотом спи-

поскольку других направлений просто нет.

на протона (∼ G^2M ), что обеспечивают поляризаци-

Отметим, что в современной литературе, в том

онные множители ω₊ и ω_- при G^2E и G^2M :

числе, и пособиях по физике элементарных частиц,

как правило, утверждается (см. [11]), что исполь-

ω₊ = (1 + δ₁δ₂)/2, ω_- = (1 - δ₁δ₂)/2.

(8)

зование ФФС является просто удобным, поскольку

Действительно, из выражения (7) следует, что если

приводит к разбиению формулы Розенблюта на сум-

ep-рассеяние происходит без переворота спина прото-

му двух слагаемых, содержащих только G^2E и G^2M ,

на (δ₁ = 1, δ₂ = 1), то в этом случае вклад в сечение

придавая ей простой и компактный вид. Посколь-

дает только слагаемое, содержащее G^2E , поскольку

ку такие формальные соображения о преимуществах

поляризационные множители ω₊ и ω_- при G^2E и G^2M

ФФС содержатся, в том числе, и в известных моно-

равны единице (ω₊ = 1) и нулю (ω_- = 0). Если ep-

графиях [12, 13], то они не подвергаются сомнениям

рассеяние происходит с переворотом спина протона

и воспроизводятся в литературе вплоть до настояще-

(δ₁ = 1, δ₂ = -1), то в этом случае вклад в сечение

го времени, например, в диссертации [14].

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Об измерении формфакторов Сакса ...

Диагональный спиновый базис (ДСБ). В

спиновые 4-векторы s₁ и s₂ (13) принимают вид (6),

общем случае для системы двух частиц с разны-

им соответствуют оси спиновых проекций (5).

ми импульсами q₁ = (q₁₀, q₁) (до взаимодействия)

Совпадение малых групп Лоренца для частиц с

и q₂ = (q₂₀,q₂) (после взаимодействия) возможность

4-импульсами q₁ и q₂ в ДСБ (13) обуславливает ряд

одновременного проектирования спинов на одно об-

его замечательных свойств. Одно из них заключает-

щее направление в ПСО определяется трехмерным

ся в том, что в ДСБ (13) операторы проекции спина

вектором [15]:

σ₁ и σ₂, а также повышающие и понижающие спино-

вые операторы σ^±δ1 и σ^±δ2

для начальной и конечной

a = q₂/q₂₀ - q₁/q₁₀.

(12)

частиц имеют одинаковый вид, т.е. совпадают [17]:

Этот результат был получен в рамках векторной па-

σ=σ₁ =σ₂ =γ⁵sˆ₁vˆ₁ =γ⁵sˆ₂vˆ₂ =γ⁵b₀b₃,

(14)

раметризации малой группы Лоренца Lq1,q2 , общей

для системы двух частиц с 4-импульсами q₁ и q₂

σ^±δ = σ^±δ1 = σ^±δ2 = -1/2 γ⁵ b_±δ,

(15)

(Lq1q2 q1 = q1, Lq1q2 q2 = q2) [15]. В частности, как си-

где произвольный 4-вектор со шляпкой â есть сверт-

стему из двух частиц можно рассматривать началь-

ка â = a_µγ^µ, γ⁵ и γ^µ - матрицы Дирака; b_±δ - кру-

ный и конечный протоны в реакции ep → ep.

говые 4-векторы, b_±δ = b₁ ± i δb₂, b^2±δ = 0, δ = ±1.

Отметим, что группа Lq1,q2 реализуется в ДСБ

В выражениях (14), (15) для построения спино-

[16], в котором спиновые 4-векторы частиц выража-

вых операторов использована тетрада ортонормиро-

ются через их 4-импульсы (4-скорости). Поскольку

ванных 4-векторов b_A (A = 0, 1, 2, 3):

трехмерный вектор a (12) есть разность двух векто-

√

ров, а геометрический образ разности двух векторов

b₀ = q₊/ q²⁺ , b₃ = q_-/

-q^2- ,

есть диагональ параллелограмма, то это и послужи-

(16)

(b₁)_µ = ε_µνκσb^ν0b^κ3b^σ2, (b₂)_µ = ε_µνκσq^ν1 q^κ2r^σ /ρ,

ло причиной введения названия “ДСБ”.

Из выражения (12) следует, что в системе покоя

где q₊ = q₂ +q₁, q_- = q₂ -q₁, ε_µνκσ есть тензор Леви-

начального протона, где q₁ = 0, направление общей

Чивита (ε₁₂₃₀ = 1), r - 4-импульс частицы, участву-

оси спиновых проекций определяется направлением

ющей в реакции, отличный от q₁ и q₂ (например, 4-

движения конечного протона: a = n₂ = q₂/|q₂|. Это

импульс начального или конечного электрона в слу-

подтверждает правильность сделанных выше про-

чае рассматриваемого процесса ep → ep); ρ определя-

стых рассуждений о выделенности направления дви-

ется из условий нормировки b²¹ = b²² = b²³ = -b²⁰ = -1.

жения конечного протона в ЛСО, которое может слу-

Совпадение спиновых операторов в ДСБ (13) позво-

жить общей осью спиновых проекций.

ляет в ковариантном виде разделить взаимодействия

Из выражения (12) следует, что в системе центра

без переворота и с переворотом спина частиц, участ-

масс (СЦМ) сталкивающихся частиц (q₁ + q₂ = 0),

вующих в реакции, и тем самым проследить за ди-

например, в системе Брейта (СБ) начального и ко-

намикой спинового взаимодействия.

нечного протонов, где q1 = (q0, -q), q2 = (q0, q),

Расчет МЭ процессов КЭД в ДСБ. Ампли-

q = q₂ - q₁ = (0,2q), общей осью спиновых проек-

туды процессов КЭД в канале рассеяния имеют вид

ций, как и в ЛСО, является направление движения

конечного протона: a = n₂ = q₂/|q₂| = q/|q|, совпа-

M^±δ,δ = u^±δ(q₂)Q_inu^δ(q₁),

(17)

дающее с направлением передаваемого импульса.

В ДСБ спиновые 4-векторы s₁ и s₂ начального и

где u^δ(q_i) = u^δ(q_i, s_i) - биспиноры начального и ко-

конечного протонов (фермионов) с 4-скоростями v₁

нечного состояний фермионов, нормированные усло-

и v₂ (s_iv_i = 0, v²ⁱ = 1, s²ⁱ = -1) имеют вид [16]:

вием u^δ(q_i) u^δ(q_i) = 2M, q²ⁱ = M² (i = 1, 2); Q_in -

оператор взаимодействий.

(v₁v₂)v₁ - v₂

(v₁v₂)v₂ - v₁

s₁ = -

√

, s₂ =

√

(13)

Расчет МЭ вида (17) может быть сведен к опера-

(v₁v₂)² - 1

ции вычисления шпура от произведения операторов:

Очевидно, что спиновые 4-векторы (13) не изме-

M^±δ,δ = Tr(P^±δ,δ21Q_in), P^±δ,δ21 = u^δ(q₁)u^±δ(q₂).

(18)

няются при преобразованиях малой группы Лорен-

Для нахождения операторов P^±δ,δ21 известен ряд ме-

ца Lq1,q2 , общей для частиц с 4-импульсами q1 и q2.

Это позволяет использовать их для описания спино-

тодов [17, 18]. В используемом подходе Богуша-

вых состояний системы из двух частиц в ПСО с по-

Федорова [17], в отличие, например, от [18], постро-

мощью проекций спина на одно общее направление,

ение P^±δ,δ21 сводится к нахождению оператора T₂₁,

определяемое 3-вектором (12). В частности, в ЛСО

переводящего u^δ(q₁) → u^δ(q₂), u^δ(q₂) = T₂₁u^δ(q₁).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

М. В. Галынский

Необходимо также знать и обратный к нему опера-

δ₁ и δ₂, а усредненный и просуммированный по по-

тор T₁₂ = T^-121, T₂₁T₁₂ = 1. В ДСБ (13) операторы

ляризациям квадрат модуля МЭ (25) имеет вид:

T₂₁ и T₁₂ имеют одинаковый вид [17]:

|M(δ₁, δ₂)|² = |M^↑↑|² + |M^↓↑|² .

(28)

T₂₁ = T₁₂ =b0.

Матричные элементы протонного тока и се-

В результате для оператора P^δ,δ21 (18) имеем:

чение процесса ep → ep. В приближении однофо-

тонного обмена МЭ процесса упругого ep-рассеяния

P^δ,δ21 = u^δ(q₁)u^δ(q₁)T₁₂ = τ^δ1 T₁₂ = T₁₂ τ^δ2,

(19)

e(p₁) + p(q₁, s₁) → e(p₂) + p(q₂, s₂)

(29)

где τδi = uδ(qi)uδ(qi) - проективные операторы со-

есть произведение электронного и протонного токов

стояний частиц с 4-импульсами q_i и спиновыми 4-

векторами s_i (q_is_i = 0, s²ⁱ = -1, i = 1, 2):

M_ep→ep = 4παT/q² , T = (J_e)_µ(J_p)^µ.

(30)

τ^δi = 1/2 (q_i + M)(1 - δγ⁵ŝ_i).

(20)

Токи (J_e)_µ и (J_p)^µ имеют вид:

С помощью соотношений (14) операторы τ^δi (20)

(J_e)_µ = u(p₂)γ^µu(p₁),

(31)

в ДСБ можно представить в виде [17]:

(J_p)^µ = u(q₂)Γ_µ(q²)u(q1),

(32)

F₂

τ^δi = -1/4 (q_i + M)bδ b^∗δ,

(21)

Γ_µ(q²) = F₁γ_µ +

(qγ_µ - γ_µ q),

(33)

где b^∗δ = b_-δ = b₁ - iδb₂, b_δb^∗δ = -2, b^2δ = b^∗2δ = 0.

где u(p_i) и u(q_i) - биспиноры электронов и прото-

Оператор P-δ,δ21 (18) сводится к произведению

нов с 4-импульсами p_i и q_i, p2i = m2, q2i = M2,

операторов σ^+δ (15) и P^-δ,-δ21 (19):

u(p_i)u(p_i) = 2m, u(q_i)u(q_i) = 2M (i = 1, 2); F₁ и F₂ -

дираковский и паулиевский ФФП, q = q_- = q₂ - q₁ -

P^-δ,δ21 = σ^+δP^-δ,-δ21 = σ^+δτ^-δ1T₁₂ = σ^+δT₁₂τ^-δ2.

(22)

4-импульс, переданный протону; s₁ и s₂ - 4-векторы

поляризации начального и конечного протонов.

В результате для операторов P^±δ,δ21 (18) имеем

компактные выражения [17]:

Дифференциальное сечение процесса имеет вид

dσ

πα

|T |²

P^δ,δ21 = (q₁ + M)bδ b₀ b^∗δ/4,

(23)

(34)

d|t|

4I²

q⁴

P^-δ,δ21 = δ(q₁ + M)bδ b₃/2.

(24)

)² - m²M², |t| = Q² = -q².

где I² = (p₁q₁

Они позволяют провести расчет МЭ процессов КЭД

МЭ протонного тока (32), вычисленные по фор-

в ДСБ, соответствующих переходам без переворота

мулам (18), (23), (24) в ДСБ (13), имеют вид [16]:

и с переворотом спина в случае произвольных Q_in.

Отметим, что общую структуру зависимости

(J^δ,δp)_µ = 2M G_E (b₀)_µ,

(35)

квадратов модулей МЭ (17) от поляризаций частиц

(J^-δ,δp)_µ = -2M δ√τp GM (bδ)µ,

(36)

можно установить из их общего вида, не производя

вычислений. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим

где G_E и G_M - формфакторы Сакса (ФФС):

МЭ процессов КЭД (17) в самом общем виде

G_E = F₁ - τ_p F₂, G_M = F₁ + F₂.

(37)

M (δ₁, δ₂) ≡ M±δ2,δ1 = u±δ2(q₂)Q_inuδ1 (q₁).

(25)

Следовательно, в МЭ протонного тока, отвечаю-

Используя свойства множителей ω_± (8) при δ_1,2 = ±1

щих переходам без переворота (35) и с переворотом

(ω^2± = ω_±, ω_±ω_∓ = 0), получаем соотношения:

спина протона (36), в ДСБ имеет место факториза-

ция ФФС G_E и G_M , что придает им фундаменталь-

M (δ₁, δ₂) = ω₊M+δ2,δ1 + ω_-M-δ2,δ1,

(26)

ный физический смысл, как величинам, определяю-

|M(δ₁, δ₂)|² = ω₊|M+δ2,δ1 |² + ω_-|M-δ2,δ1 |².

(27)

щим вероятность перехода протона без переворота и

с переворотом спина в случае, когда оси спиновых

В рассматриваемом процессе ep → ep, когда электро-

проекций совпадают и имеют вид (12).

ны неполяризованы, спиновые корреляции в (27), за

С помощью МЭ (35), (36) расчет величин |T |²

исключением тех, что имеются в ω_±, должны отсут-

(T^±δ,δ = (J_e)^µ(J^±δ,δp)_µ), определяющих сечение про-

ствовать. Это означает, что |M±δ2,δ1 |² не зависят от

цесса ep → ep (34), сводится к вычислению шпуров:

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Об измерении формфакторов Сакса ...

|T^+δ,δ|² = 4M² G^2E T r(p₂ + m)b0(p₁ + m)b0/2,

(38)

Важно отметить также, что в литературе имеет-

ся достаточно информации для того, чтобы понять

|T^-δ,δ|² = 4M²τ_pG^2M T r(p₂ + m)bδ(p₁ + m)b∗δ/2. (39)

физический смысл не только разбиения формулы Ро-

В результате простых вычислений имеем:

зенблюта (1), но и самих ФФС. Толчком к достиже-

нию такого понимания могло бы послужить упраж-

G^2E

τ_p G^2M

|T^+δ,δ|² =

Y₁,

|T^-δ,δ|² =

Y₂,

(40)

нение (8.7) в [11], где приводится явный вид спи-

1+τ_p

ральных амплитуд протонного тока J^±λ,λp в СБ, где

Y₁ = (p₊q₊)² + q²⁺q^2-,

(41)

q₁ = (q₀, -q), q₂ = (q₀, q), q = q₂ - q₁ = (0, 2q).

Y₂ = (p₊q₊)² - q²⁺(q^2- + 4m²),

(42)

Амплитуды J^±λ,λp, приведеные в [11], имеют вид:

где p₊ = p₁ + p₂, q₊ = q₁ + q₂, q_- = q₂ - q₁ = q.

J^-λ,λp = 2MG_Eb₀, J^λ,λp = -2λ|q| G_M b_λ ,

(48)

Отметим, что, во-первых, величины |T^±δ,δ|² (40)

не зависят от поляризаций протонов, что согласуется

√

где M - масса протона, 2|q| =

Q², Q² = -q², b_λ -

с вышесказанным. Во-вторых, происхождение знаме-

круговой 4-вектор, b_λ = b₁ + iλb₂, λ = ±1,

нателей в (40) обусловлено нормировкой 4-вектора b₀

(16) и соотношением q²⁺ = 4M²(1 + τ_p).

(b₀)^µ = (1, 0, 0, 0), (b₁)^µ = (0, 1, 0, 0),

Величина |T|², определяющая сечение (34) про-

(49)

(b₂)^µ = (0, 0, 1, 0), (b₃)^µ = (0, 0, 0, 1).

цесса ep → ep в ДСБ (13), имеет вид (см. (27)):

(43)

Поскольку в СБ направления импульсов начального

|Tδ1,δ2 |² = ω+|T^+δ,δ|² + ω-|T^-δ,δ|².

и конечного протонов противоположны, то переход

Отметим, что расчет величины |Tδ1,δ2 |² в ДСБ с ис-

протона с сохранением знака спиральности являет-

пользованием стандартных методов [12, 13], дает сов-

ся переходом с переворотом спина протона (J^λ,λµ =

падающий с (43) результат.

= J^↑↓µ = J^δ,-δµ), а переход протона с изменением зна-

В результате для дифференциального сечения

ка спиральности есть переход без переворота спина

процесса ep → ep в ДСБ в ПСО имеем

протона (J^-λ,λµ = J^↓↓µ = J^-δ,-δµ). В этом легко убе-

πα²

(

) 1

диться с помощью рис. 1.

dσδ1 ,δ2

ω₊G^2EY₁ + ω_-τ_pG²

Y₂

. (44)

d|t|

4I²(1 + τ_p)

q⁴

Полагая в формуле (44) δ₂ = 0 и удваивая ре-

зультат, получаем выражение для сечения процесса

ep → ep в ПСО для случая, когда все участвующие

в процессе частицы являются неполяризованными:

dσ

πα²

(G^2E Y₁ + τ_pG^2M Y₂)

(45)

d|t|

4I² (1 + τ_p)

q⁴

Это выражение совпадает с формулой (34.3.3) в [12].

Рис. 1. Система Брейта начального и конечного про-

Полученные выражения для Y_1,2 удобно выразить

тонов, где q1 + q2 = 0. Длинные (короткие) стрелки

через переменные Мандельштама: s = (p₁ + q₁)²,

изображают импульсы (спины) протонов. Левый ри-

t = (q2 - q1)2, u = (q2 - p1)2. Обращая связь, для

сунок (a) соответствует переходу с сохранением спи-

скалярных произведений получим: p₊q+ = s - u,

ральности (λ2 = λ1 = +1), при котором спин у прото-

на переворачивается. Правый рисунок (b) соответству-

q²⁺ = 4M² - t, q^2- = t, τ_p = -t/4M², откуда имеем

ет переходу протона с изменением знака спиральности

Y₁ = (s - u)² + (4M² - t)t,

(46)

(λ1 = +1, λ2 = -1), при котором спин протона не пере-

ворачивается

Y₂ = (s - u)² - (4M² - t)(t + 4m²).

(47)

Выражение 4I² в (34) в переменных s, t, u имеет вид:

В литературе переходы с сохранением спираль-

ности довольно часто называют переходами без пе-

4I² = (s - (M + m)²)(s - (M - m)²) = λ(s, m², M²),

реворота спина. Пример СБ показывает, что такие

где λ(s, m², M²) - функция Челлена.

утверждения могут быть ошибочными.

Отметим, что в ЛСО выражение (44) принимает

Сказанное выше позволяет переписать МЭ (48)

вид (7), если пренебречь массой электрона, а выра-

в терминах амплитуд J^±δ,δp (δ = ±1), соответству-

жение (45), записанное в терминах s, t, u, совпадает

ющих переходам протона без переворота и с пере-

с формулой (139.4) в [13].

воротом спина в случае, когда спины начального и

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

М. В. Галынский

конечного протона проектируются на одно общее на-

H_µν = ω₊H^δ,δµν + ω_-H^-δ,δµν,

(52)

правление, совпадающее с направлением движения

(q₊)_µ(q₊)_ν

H^δ,δµν = 4M² G²

(53)

конечного протона в СБ:

^E q

(

)

J^δ,δp = 2MG_E b₀, J^-δ,δp = -2 δM

√τ_p G_M b_δ.

(50)

(q₊)_µ(q₊)_ν

H^-δ,δµν = 4M²τ_p G²

-g_µν +

(54)

q²

Отметим, во-первых, что МЭ (50) являются бо-

лее удобными по сравнению со спиральными ампли-

L^µν = p^µ+p^ν+ + q²g^µν.

(55)

тудами (48), например, в случае перехода от СБ к

Таким образом, адронный тензор H_µν (52) в ДСБ

ЛСО, в которой понятие спиральности для началь-

естественным образом разбивается на сумму вкла-

ного протона неприменимо. Во-вторых, явный вид

дов, отвечающих переходам без переворота (53) и с

МЭ (50) и МЭ (35), (36) в ДСБ (справедливых в

переворотом (54) спина протона, которые в то же

ПСО) совпадает, при этом амплитуды (50) являются

время являются вкладами продольной (H^δ,δµν = H^Lµν )

частным случаем МЭ (35), (36). Чтобы это показать,

и поперечной (H^-δ,δµν = H^Tµν ) частей соответственно.

достаточно убедиться в том, что тетрада 4-векторов

В случае неполяризованных протонов адронный

(16) переходит в СБ в тетраду единичных 4-векторов

тензор принимает вид

(49). Мы ограничим свое рассмотрение 4-векторами

b₀ и b₃ в (16) и в (49). Действительно, поскольку 4-

H_µν = H^Lµν + H^Tµν.

(56)

√

на единицу сумму (q₊/ q²⁺) и разность (q_-/

-q^2-)

Перемножая тензоры H_µν и L^µν, получаем выра-

4-импульсов протонов, то для них в СБ при выбо-

жение (43) для |Tδ1,δ2 |².

ре направления движения конечного протона вдоль

Заключение. В работе в борновском прибли-

третьей оси имеем: q₊

= q₁ + q₂

= (2q₀, 0, 0, 0),

жении проведен расчет дифференциального сечения

q_- = q₂ -q₁ = (0, 0, 0, 2|q|). В результате нормировки

процесса ep → ep в ДСБ в ПСО. Полученное выра-

4-векторы b₀ и b₃ в (16) переходят в СБ в единичные

жение для сечения (7) в ЛСО может быть исполь-

4-векторы b₀ = (1, 0, 0, 0) и b₃ = (0, 0, 0, 1). Аналогич-

зовано для измерения квадратов ФФС, G^2E и G^2M , в

но можно показать и переход 4-векторов b₁ и b₂ в (16)

процессах без переворота и с переворотом спина в

в соответствующие 4-векторы тетрады (49) в СБ.

случае, когда начальный протон полностью поляри-

Для обратного перехода от спиральных (48) или

зован вдоль направления движения конечного про-

диагональных амплитуд (50) в СБ к МЭ протонного

тона. В асимптотическом пределе больших Q², ко-

тока в ДСБ (35), (36) достаточно выразить тетраду

гда τ_p ≫ 1, вклад в сечение (44) дают только пе-

(49), векторы которой входят в амплитуды протонно-

реходы с переворотом спина протона, при которых

го тока J^±δ,δµ (50), через 4-импульсы частиц, участ-

спиральность сохраняется. Чтобы это понять, доста-

вующих в реакции, используя алгоритм построения

точно перейти из ПСО в СБ и воспользоваться рис.1.

тетрады 4-векторов (16). При этом нет необходимо-

Отметим, что вывод о перевороте спина в процессах с

сти применять преобразования Лоренца для получе-

сохранением спиральности справедлив не только для

ния выражений, справедливых в ПСО.

протонов, но и для точечных электронов при τ_e ≫ 1.

Таким образом, содержащийся в [11] пример рас-

смотрения МЭ протонного тока в СБ однозначно яв-

ляется подсказкой к пониманию физического смысла

1. M. N. Rosenbluth, Phys. Rev. 79, 615 (1950).

как ФФС, так и разбиения формулы Розенблюта, но

2. А. И. Ахиезер, М. П. Рекало, ЭЧАЯ 4, 662 (1973).

она, к сожалению, читателями [11] была не замечена.

3. М. В. Галынский, М. И. Левчук, ЯФ 60(11), 2028

Поскольку 4-векторы J^-λ,λµ и J^λ,λµ в (48) име-

(1997).

ют отличные от нуля только временную и простран-

4. M. K. Jones, K. A. Aniol, F. T. Baker et al.

ственные компоненты, то на этом основании в [11] их

(Collaboration), Phys. Rev. Lett. 84, 1398 (2000).

ошибочно объединяют в единый 4-вектор, т.е. пишут

5. O. Gayou, K. Wijesooriya, A. Afanasev et al.

J^µ = (ρ, J), где ρ = (J^-λ,λ)₀, J = J^λ,λ. Общий вид

(Collaboration), Phys. Rev. C 64 038202 (2001).

МЭ (26) в ДСБ позволяет эту ошибку исправить:

6. O. Gayou, E. J. Brash, M. K. Jones et al.

(Collaboration), Phys. Rev. Lett. 88, 092301 (2002).

(J_p)_µ = ω₊(J^+δ,δp)_µ + ω_-(J^-δ,δp)_µ,

(51)

7. A. Puckett, E. J. Brash, O. Gayou et al. (Collaboration),

где (J^±δ,δp)_µ - МЭ протонного тока (35), (36) в ДСБ.

Phys. Rev. C 85, 045203 (2012).

В результате для симметричных частей адронно-

8. I. A. Qattan, J. Arrington, R. E. Segel et al.

го (H_µν) и лептонного (L_µν) тензоров имеем:

(Collaboration), Phys. Rev. Lett. 94, 142301 (2005).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019