Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 1, с. 19 - 24

Акустооптические свойства гетерогенных сред с неоднородным

распределением наночастиц

Н.И.Петров¹⁾, В.И.Пустовойт

Научно-технологический центр уникального приборостроения РАН, 117342 Москва, Россия

Поступила в редакцию 28 сентября 2018 г.

После переработки 28 сентября 2018 г.

Принята к публикации 15 ноября 2018 г.

Продемонстрирована возможность эффективного использования метаматериалов в акустооптике.

Исследованы дифракционные кривые отражения и пропускания метасред с неоднородным простран-

ственным распределением наночастиц с учетом поглощения света. Показано влияние размерных (геомет-

рических) эффектов наночастиц на дифракционные кривые отражения и пропускания. В частности, с

помощью изменения концентрации диэлектрических наночастиц в среде достигается полное устранение

побочных осцилляций и подавление “хвостов” кривой дифракционного отражения. Показана возмож-

ность управления аппаратной функцией акустооптических устройств с помощью изменения материала,

концентрации, размера, формы и пространственной ориентации включений, а также поляризации пада-

ющего излучения.

DOI: 10.1134/S0370274X19010041

Существует ограниченный список кристалличе-

Необходимым условием использования метамате-

ских материалов, которые можно использовать при

риалов для акустооптики является то, что под дей-

создании элементов и приборов акустооптики. Се-

ствием распространяющейся в такой среде звуковой

годня в основном используются такие кристаллы,

волны, должно происходить изменение диэлектриче-

как парателлурит, кварц, молибдат свинца, ниобат

ской проницаемости (ДП) среды [6]. Исходно одно-

лития и некоторые другие, список которых весьма

родная среда, обладающая малым акустооптичеким

ограничен. Нехватка необходимых кристаллических

качеством, после введения металлических или ди-

материалов особенно ощущается для инфракрасной

электрических наночастиц, становится материалом

(ИК) области спектра. В этой связи представляют

с высоким значением фотоупругой постоянной. Ме-

большой интерес идеи, на основе которых возмож-

ханизм такого изменения ДП под действием звуко-

но было бы преодолеть эту трудность и существенно

вой волны состоит в следующем. Если в среде рас-

расширить список используемых материалов, путем

пространяется продольная звуковая волна, в которой

использования различных гетерогенных сред. В по-

образуются области сжатия и разрежения среды, то,

следнее время уделяется большое внимание техноло-

очевидно, что из-за локального изменения концен-

гии синтеза наночастиц и исследованию оптических,

трации наночастиц будет происходить изменение ДП

акустических и электронных свойств метаматериа-

и показателя преломления среды.

лов на их основе [1-5].

В качестве гетерогенной среды рассмотрим среду,

В настоящей работе исследуется возможность

образованную оптически прозрачным материалом с

использования метасред для целей акустооптики.

ДП ε_m, в которую внедрены диэлектрические вклю-

Проведен теоретический анализ дифракции света в

чения в виде эллипсоидов вращения, комплексная

гетерогенной среде с различными диэлектрически-

ДП которых равна

ми включениями. Показана возможность управле-

ния функцией отражения и пропускания с помощью

ε_p(λ) = ε^′p(λ) + iε^′′p(λ).

изменения концентрации диэлектрических включе-

ний в среде, их размера, формы, пространствен-

Здесь λ - длина волны света, зависимость от которой

ной ориентации и поляризации падающего излу-

описывает дисперсию. Считается, что размер эллип-

чения.

соидов вращения существенно меньше длины волны

света и все они расположены хаотически, но их глав-

ные оси вращения направлены в одном и том же на-

¹⁾e-mail: petrovni@mail.ru

правлении.

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

2^∗

Н.И.Петров, В.И.Пустовойт

В рамках модели Максвелла-Гарнетта такая сре-

Выражение (3) позволяет найти изменение ДП

да описывается усредненной ДП среды ε, которая

среды под действием звуковой волны. Физические

удовлетворяет соотношению [3, 7]

механизмы изменения ДП для случаев продольной

и поперечной звуковой волны описаны в [6].

ε-ε_m

ε_p - ε_m

-η

= 0,

(1)

Будем считать, что продольная звуковая волна

γ(ε - ε_m) + ε_m

ε_m + γ(ε_p - ε_m)

распространяется вдоль какой-либо осей симметрии,

где η(x, t)

- объемная доля включений

- нано-

например, оси x

эллипсоидов вращения

x(x, t) =

u₀e^iΩt-iqx + k.c.

(4)

η(x, t) =

πa²bN(x, t).

где u(t) - амплитуда смещения среды в звуковой

волне, Ω - частота, q - волновой вектор звуковой вол-

Здесь b - полярная ось сфероида, a - малая эквато-

ны.

риальная полуось эллипсоида вращения (сфероида),

Амплитуда поля напряжений, обусловленных

N (x, t) - локальное число сфероидов в единице объе-

этой звуковой волной, непосредственно связана с

ма среды, γ - фактор деполяризации, который может

интенсивностью звуковой волны (плотностью аку-

быть выражен через отношение полуосей ξ = a/b для

стической мощности). В продольной звуковой волне

различных направлений внешнего поля

направления вектора смещения u(x, t) и волнового

(

√

)

arcsin

1-ξ²

вектора q совпадают. Акустические свойства среды

γ_∥ =

1-ξ

√

1-ξ²

считаются изотропными. В продольной звуковой

1-ξ²

(2)

волне происходит сжатие (растяжение) среды,

γ_⊥ =

(1 - γ_∥),

и поэтому локальная концентрация наночастиц

изменяется по закону

- для поля направленного вдоль и перпендикулярно

4π

оси вращения сфероида.

η(x, y) = η₀ + η_-(x, t) =

a²b(N₀ + N_-(x, t)).

(5)

Случай ξ < 1 соответствует вытянутому эллипсо-

Здесь N_-(x, t) - изменение концентрации под дей-

иду вращения, ξ > 1 - сплющенному, случай ξ = 1

ствием звуковой волны, N₀ и η₀ - средние по объему

соответствует шару (в этом случае γ_∥ = γ_⊥ = 1/3).

значения. Изменение концентрации N_-(x, t) нетруд-

Отметим, что модель изотропной эффективной

среды Максвелла-Гарнетта хорошо согласуется с

но найти, если воспользоваться уравнением непре-

рывности для матричной среды. Из уравнения непре-

экспериментальными данными при условии, что раз-

меры частиц меньше длины волны излучения, а рас-

рывности следует выражение для относительного из-

менения локального значения концентрации наноча-

стояния между частицами больше, чем их радиусы.

Преимуществом такой модели является то, что для

стиц [6]:

анализа распространения излучения в гетерогенной

2π

u₀Ω

η_-(x, y) =

a²bN0

e^iΩt-iqx + k.c.,

(6)

среде нет необходимости решать уравнения Максвел-

v_s

ла в каждой точке пространства и учета рассеяния

где v_s = Ω/q - фазовая скорость звуковой волны в

на составляющих гетерогенную среду частицах и ин-

метасреде.

терференции рассеянных волн [3,5].

Соответствующие добавки к компонентам тензо-

Решая уравнение (1) относительно ε, найдем яв-

ра ДП метасреды, обусловленные продольной звуко-

ный вид ДП метасреды

вой волной следующие:

ε_m(ε_p - ε_m)η

ε_m(ε_p - ε_m)[ε_m + (ε_p - ε_m)γ_∥/⊥]

ε_∥/⊥ = ε_m +

(3)

Δε_eff = Δε_m+

η_-(x, t).

ε_m + γ_∥/⊥(ε_p - ε_m)(1 - η)

[ε_m + (1 - η₀)(ε_p - ε_m)γ_∥/⊥]²

(7)

для электрического поля вдоль и поперек полярной

Видно, что изменение диэлектрической проницаемо-

оси эллипсоида вращения соответственно.

сти зависит не только от интенсивности звуковой

Для сферических частиц получаем [7]

волны, но и от концентрации наночастиц и их гео-

3η(ε_p - ε_m)ε_m

метрической формы.

ε_eff = ε_m +

3ε_m + (1 - η)(ε_p - ε_m)

Изменение диэлектрической проницаемости мета-

среды в направлении распространения волны x опи-

Эта формула при малых значениях η совпадает с вы-

сывается выражением

ражением для диэлектрической проницаемости сме-

си, приведенной в [8].

ε(x) = ε₀ + Δε_eff(x) cos(Ωt - qx),

(8)

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Акустооптические свойства гетерогенных сред с неоднородным распределением наночастиц

Рис. 1. Коэффициенты отражения при отсутствии наночастиц в среде в зависимости от волновой расстройки: λ =

0.63 мкм; Δε0 = 0.5 · 10^-5; (а) - L = 10 см; α = 0; (b) - L = 10 см; α = 3 · 10^-6 см^-1; (c) - L = 5 см; α = 3 · 10^-6 см^-1;

(d) - L = 3 см; α = 3 · 10^-6 см^-1

где ε₀ - постоянная составляющая диэлектрической

тически [11, 12]. На рисунке 1а представлена зави-

проницаемости, Ω и q - частота и волновой вектор

симость коэффициента отражения от величины рас-

звуковой волны, соответственно, Δε_eff(x) - амплиту-

стройки Δk без учета поглощения в однородной сре-

да изменения диэлектрической проницаемости, при-

де. Коэффициенты отражения в случае среды из

чем Δε_eff ≪ ε₀.

материала SiO₂ c диэлектрической проницаемостью

Дифракция света на периодической структуре (8)

ε^′m = 2.123, ε^′′m = 8.74 · 10^-11 и показателем погло-

описывается с помощью укороченных уравнений, по-

щения α = 3 · 10^-6 см^-1 [13] при длине волны света

лученных из уравнений Максвелла [9, 10]:

λ = 0.63мкм представлены на рис.1b-d. Из рисун-

ков видно, что поглощение приводит к уменьшению

dE₁

= -ik₀Δε(x)e^iΔkxE₂,

амплитуды и сужению центральной части кривой от-

(9)

ражения.

dE₂

Существенным требованием к любому широко-

= ik₀Δε(x)e^-iΔkxE₁,

полосному фильтру является то, что они долж-

где E₁ - амплитуда падающей волны, E₂ - амплитуда

ны иметь слабые побочные осцилляции. Как вид-

дифрагированной волны, k₀ = 2π/λ - волновое чис-

но из рис. 1, имеются сильные побочные осцилля-

ло излучения, Δk = 2k₀ - q - волновая расстройка,

ции в спектрах отражения. Ниже мы покажем, что

задающая отклонение от условия синхронизма Брэг-

эти колебания могут быть подавлены при помощи

га.

амплитудной модуляции (аподизации) объемной ре-

Решения уравнений (9) будем искать при следу-

шетки. При произвольной зависимости Δε(x) систе-

ющих граничных условиях: E₂(L) = 0, где L - длина

ма уравнений (9) не имеет аналитического решения

кристалла.

и для расчета коэффициентов отражения и пропус-

Амплитуда дифрагированной волны и коэффици-

кания необходимо использовать численные методы.

ент отражения в случае среды с постоянным значе-

Для решения уравнений используется метод рекур-

нием Δε_eff по длине кристалла определяются анали-

рентных соотношений, широко используемый в фи-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Н.И.Петров, В.И.Пустовойт

Рис. 2. Коэффициенты отражения от метасреды с вытянутыми (a), (с) и сплющенными (b), (d) эллипсоидами при раз-

личных значениях их концентрации в среде. L = 3 см, λ = 0.63 мкм. ε^′m = 2.123, ε^′′m = 8.74 · 10^-11; (a), (b) - η0 = 10^-3;

(c), (d) - η0 = 2.5 · 10^-4

зике дифракции рентгеновских лучей. Согласно это-

на изменения диэлектрической проницаемости среды

му методу, кристалл разбивается на N слоев, и ам-

зависит от координат по экспоненциальному закону.

плитуда отражения от первых k слоев связывается с

Аподизация с помощью экспоненциальной функции

амплитудой отражения от предыдущих k - 1 слоев

позволяет устранить побочные осцилляции в кри-

[11]. Метод рекуррентных соотношений, используе-

вых отражения. Однако при этом остаются хвосты

мый для численных расчетов, оказывается эффек-

дифракционной кривой, в которых содержится зна-

тивным для исследования структур с произвольным

чительная доля энергии падающего излучения. В

пространственным изменением показателя прелом-

[14, 15] было показано, что за счет плавного изме-

ления. В случае периодических структур, когда из-

нения величины Δε(x) в зависимости от х можно

вестны аналитические решения волнового уравнения

не только полностью устранить осцилляции, но и в

(в частности, для постоянной функции Δε и экспо-

значительной степени подавить хвосты кривой ди-

ненциальной функции аподизации), численные ре-

фракционного отражения, сохраняя при этом высо-

зультаты совпадают с точными аналитическими ре-

кий коэффициент отражения в центральной части.

шениями.

Однако при этом предполагалось, что среда полно-

Широкое применение дифракционных фильтров

стью прозрачна и поэтому поглощение света в среде

обусловлено их высоким коэффициентом отражения

не учитывалось. В [16-18] дифракционные кривые

(порядка единицы) в узкой спектральной области.

отражения и пропускания были исследованы с уче-

Недостатком таких фильтров является наличие ос-

том поглощения света в среде. Было показано, что

цилляций на хвостах кривой отражения. Задачи рас-

спектральное разрешение Δλ ∼ 10^-2 пм, которое на

пространения и дифракции волн на неаподизован-

три порядка превышает разрешение существующих

ных периодических структурах подробно исследова-

акустооптических фильтров, может быть достигну-

ны и хорошо известны (см., например, [9]). В [12]

то при использовании известных технологий полу-

рассмотрена задача о дифракции волн на аподизо-

чения высокочистых материалов. Однако простран-

ванной периодической структуре, у которой величи-

ственную модуляцию ДП среды с помощью измене-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Акустооптические свойства гетерогенных сред с неоднородным распределением наночастиц

Рис. 3. Коэффициенты отражения от метасреды с вытянутыми (a) и сплющенными (b) эллипсоидами в ИК области

спектра. L = 3 см, λ = 1.53 мкм, η0 = 3 · 10^-3. Полуоси эллипсоидов: a = 5 нм, b = 10 нм (а), a = 10 нм, b = 5 нм (b)

ния интенсивности звука по длине кристалла тех-

= 3.2893, ε^′′p = 2.4891 · 10^-7 и показателем поглоще-

нически трудно реализовать. Здесь же мы рассмат-

ния α = 5.638 × 10^-3 см^-1 при длине волны света

риваем изменение диэлектрической проницаемости

λ = 1.53мкм.

среды с помощью внедерения диэлектрических на-

Коэффициенты отражения от метасреды зависят

ночастиц с известными параметрами, что позволит

от поляризации падающего излучения. Ширина ча-

наблюдать рассматриваемые эффекты эксперимен-

стотной области с высоким коэффициентом отраже-

тально. Поэтому использование гетерогенных сред в

ния больше для случая поля, направленного вдоль

акустооптике представляется важным как с теорети-

оси вращения сфероида. Ширина полосы отражения

ческой, так и с практичекой точки зрения.

растет с увеличением как размеров, так и концентра-

На рисунке 2 представлены кривые отражения

ции внедренных частиц.

от метасреды с вытянутыми (a), (с) и сплющенны-

Таким образом, показано, что возможно расшире-

ми (b), (d) нано-эллипсоидами из материала LasF9

ние спектральной полосы отражения падающего из-

(ε^′p = 3.405, ε^′′p = 1.531·10^-7, [13]) при различных зна-

лучения с помощью изменения как параметров час-

чениях их концентрации в среде. Изменение диэлек-

тиц, их концентрации, так и изменения поляризации

трической проницаемости среды вследствие измене-

падающего излучения.

ния концентрации диэлектрических включений опи-

Неоднородное распределение наночастиц в мат-

сывается функцией Δε(x) = Δε₀ sin(πx/L). Видно,

ричной среде позволяет осуществить особые усло-

что с помощью внедрения диэлектрических включе-

вия для коллинеарной дифракции света на звуке

ний возможно практически полное устранение хво-

и, как следствие, создать акустооптические устрой-

стов дифракционной кривой отражения. Как следует

ства и приборы с уникальными свойствами, такие

из расчетов, высокий коэффициент отражения, близ-

как перестраиваемые фильтры оптического излуче-

кий к единице, может быть достигнут в широкой по-

ния без побочных максимумов пропускания, осуще-

лосе длин волн. Это позволит получить фильтры с

ствить управление передаточной функцией акусто-

почти Π-образной характеристикой. При этом управ-

оптических устройств.

ление полосой частот возможно с помощью измене-

Введение в матричную среду наночастиц, диэлек-

ния формы, пространственной ориентации и концен-

трическая проницаемость которых отличается от ДП

трации наночастиц.

матричной среды, приводит к появлению у метасре-

На рисунке 3 представлены коэффициенты от-

ды фотоупругих постоянных для продольных звуко-

ражения от метасреды в зависимости от величи-

вых волн. Механизм возникновения фотоупругих по-

ны отклонения от условия Брэгга в инфракрас-

стоянных заключается в локальном изменении кон-

ной области спектра. В качестве матричной среды

центрации наночастиц. Широкие возможности по со-

рассматривается кварц с показателем поглощения

зданию качественно новых акустооптических (АО)

α = 3.46 × 10-7 см^-1 (ε^′m

= 2.095; ε^′′m

= 2.49 ·

приборов открываются при использовании включе-

10-11 [13]) нано-эллипсоиды сделаны из материа-

ний наночастиц (метаматериалов) со сложной фор-

ла LasF9 с диэлектрической проницаемостью ε^′p =

мой и с особыми магнитными, диэлектрическими

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Н.И.Петров, В.И.Пустовойт

и проводящими свойствами. Акустооптика на осно-

7. J. E. Spanier and I. P. Herman, Phys. Rev. B 61, 10437

ве гетерогенных сред открывает широкие возможно-

(2000).

сти для создания устройств инфракрасной и тера-

8. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика

сплошных сред, Наука, М. (1982).

герцовой техники, недоступные обычным кристал-

9. А. Ярив, П. Юх, Оптические волны в кристаллах,

лам. Полученные результаты представляют практи-

Мир, М. (1987).

ческий интерес и могут быть использованы при со-

10. В. И. Пустовойт, Докл. РАН 365, 39 (1999).

здании акустооптических устройств и приборов с

11. А. М. Афанасьев, В. И. Пустовойт, Докл. РАН 392,

уникальными свойствами, таких как перестраивае-

332 (2003).

мые фильтры оптического излучения без побочных

12. В. Ф. Кравченко, В. И. Пустовойт, Докл. РАН 391,

максимумов отражения и пропускания, модуляторы

749 (2003).

и АО спектрометры, а также в измерениях гравита-

13. https://www.refractiveindex.info.

ционных волн.

14. А. М. Афанасьев, М. А. Чуев, П. Г. Медведев, В. И.

Пустовойт, Микросистемная техника 4, 123 (2004).

15. А. М. Афанасьев, Ю. В. Гуляев, В. И. Пустовойт, Ра-

1. А. Н. Ораевский, И. Е. Проценко, Письма в ЖЭТФ

диотехника и электроника 49(12), 1526 (2004).

72, 641 (2000).

16. N. I. Petrov and V. I. Pustovoit, Laser Phys. Lett. 14,

2. А. Н. Ораевский, Письма в ЖЭТФ 78, 8 (2003).

115702 (2017).

3. Л. А. Головань, В. Ю. Тимошенко, П. К. Кашкаров,

17. N. I. Petrov and V. I. Pustovoit, Acousto-optic filter

УФН 177, 619 (2007).

with metamaterial inclusions. Frontiers in Optics/Laser

4. С. Г. Моисеев, В. А. Остаточников, Д. И. Семенцов,

Science Conference (FiO/LS), Washington, USA, 2017,

Письма в ЖЭТФ 100, 413 (2014).

Paper FTh3B.7.

5. W. Cai and V. Shalaev, Optical Metamaterials:

18. N. I. Petrov and V. I. Pustovoit, Ultra-Narrow

Fundamentals and Applications, Springer, Berlin (2010).

Bandwidth Acousto-Optic Filter. Nanophotonics

6. В. И. Пустовойт, Квантовая электроника 46,

155

and Micro/Nano Optics International Conference

(2016).

(NANOP), Rome, Italy (2018), p. 32.

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019