Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 1, с. 36 - 42

Особенности динамики системы связанных джозефсоновских

переходов с топологически тривиальными и нетривиальными

барьерами: проявление майорановской моды¹⁾

И.Р.Рахмонов^a,b2), Ю.М.Шукринов^a,c, К.В.Куликов^a, Т.Белгибаев^a,c, А.Плесеник^d3), Д.В.Ангел^e3),

В.Навроски^f3)

^aОбъединенный институт ядерных исследований, 141980 Дубна, Россия

^bФизико-технический институт им. С.У. Умарова АН РТ, 734063 Душанбе, Таджикистан

^cГосударственный университет “Дубна”, 141980 Дубна, Россия

^dDepartment of Experimental Physics, Comenius University, Bratislava, Slovakia

^eDepartment of Theoretical Physics, Horia Hulubei National Institute of Physics and Nuclear Engineering, Romania

^f Faculty of Electronics and Telecommunications, Poznan University of Technology, Poznan, Poland

Поступила в редакцию 26 сентября 2018 г.

После переработки 31 октября 2018 г.

Принята к публикации 15 ноября 2018 г.

В работе демонстрируется возникновение параметрического резонанса и возбуждение продольной

плазменной волны в системе связанных джозефсоновских переходов с топологически тривиальными и

нетривиальными барьерами. Величина напряжения при резонансе, как функция параметра диссипа-

ции, демонстрирует минимум, при котором происходит смена условия параметрического резонанса с

ωJ = 2ωLPW на ωJ = ωLPW , где ωJ - частота Джозефсона и ωLPW - частота образованной продольной

плазменной волны. В случае системы с нетривиальными барьерами положение данного минимума сдви-

нуто относительно результата для системы с тривиальными барьерами, что может быть использовано

для диагностики возникновения майорановских состояний.

DOI: 10.1134/S0370274X19010077

Многие физические и биологические объекты мо-

мы связанных ДП позволяет воздействовать на ее

гут рассматриваться как система связанных нели-

резонансные свойства, в частности, на параметриче-

нейных осцилляторов [1, 2]. В частности, в работах

ский резонанс и продольную плазменную волну, и

[2-7] таким образом рассматривалась система джо-

управлять ими [17-20]. При этом возникают двойные

зефсоновских переходов (ДП), в которых возможен

и триплетные резонансные эффекты [21].

новый тип колебаний электрического заряда вдоль

В отличии от одного ДП, вольт-амперная харак-

стека ДП: продольная плазменная волна [8-12]. Про-

теристика (ВАХ) системы N связанных ДП облада-

дольная плазменная волна была обнаружена в экс-

ет ветвистой структурой. При этом обобщается из-

периментах по микроволновому резонансному погло-

вестная зависимость Мак-Камбера и Стюарта для

щению [13-16]. Целый ряд интересных явлений, свя-

тока возврата от параметра диссипации, получен-

занных с продольной плазменной волной, возникает

ная в случае одного ДП. Ток в точке излома I_bp на

в джозефсоновской вихревой решетке во внутренних

верхней ветви ВАХ, соответствующий параметриче-

ДП в высокотемпературных сверхпроводниках [12].

скому резонансу, зависит от параметров связи α и

Включение внешнего электромагнитного излучения,

диссипации β, на αβ-зависимости I_bp имеются обла-

а также шунтирование LCR-элементами (L - инук-

сти, которые соответствуют рождению продольной

тивность, C - емкость и R - сопротивление) систе-

плазменной волны с различными волновыми числа-

ми k [22, 23]. Следует отметить, что параметрическая

неустойчивость является достаточно распространен-

¹⁾См. дополнительные материалы к данной статье на сайте

ным явлением для ДП [17]. В частности, на ВАХ

нашего журнала www.jetpletters.ac.ru

²⁾e-mail: rahmonov@theor.jinr.ru

системы N параллельно соединенных тождествен-

³⁾A. Plecenik, D. V. Anghel, W. Nawrocki.

ных ДП обнаружены новые резонансные ступень-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Особенности динамики системы связанных джозефсоновских переходов...

ки, обусловленные параметрическими неустойчиво-

следовался также вопрос о влиянии майорановских

стями, которые возникают на ВАХ, и в отсутствии

состояний на параметрический резонанс.

вихрей [2]. Длинные ДП также часто рассматрива-

В рамках CCJJ+DC модели, описывающей систе-

ются как одномерные системы N параллельно соеди-

му связанных ДП [36, 37], предполагается, что от-

ненных тождественных ДП [17]. Важная информа-

сутствие полного экранирования заряда в сверхпро-

ция о природе точки излома на верхней ветви ВАХ,

водящем слое приводит к обобщенному скалярному

ее связи с параметрическим резонансом и величине

потенциалу слоя Φ_l, определяемому через скалярный

волнового числа возникающей продольной плазмен-

потенциал φ_l и производную фазы сверхпроводяще-

ной волны, была получена в работе [24] при исследо-

, где

√

вании стеков с разным числом ДП.

V₀ = ℏω_p/(2e), ω_p =

2eI_c/ℏC есть плазменная час-

В джозефсоновских переходах с топологически

тота, I_c - критический ток и C - емкость ДП. Обоб-

нетривиальными барьерами возможно существова-

щенный скалярный потенциал связан с величиной

ние майорановских фермионов, которые представ-

плотности заряда Q_l на сверхпроводящем слое по-

ляют существенный интерес для квантовых тех-

средством Q_l = -

Φ_l [9, 38].

4πr²

нологий [25-27]. Предполагается, что нетривиаль-

Когда через стек связанных ДП проходит внеш-

ные состояния образуются на границе или поверх-

ний электрический ток, сверхпроводящие слои ока-

ности топологического изолятора [28], или полу-

зываются в неравновесном состоянии из-за инжек-

проводниковой нанопроволки в присутствии спин-

ции квазичастиц и куперовских пар [38]. Наличие

орбитальной связи Рашба и поля Зеемана [29]. Об-

в них нескомпенсированного электрического заря-

разование майорановских состояний в ДП приводит

да приводит к необходимости учета дополнитель-

к туннелированию квазичастиц с зарядом e, в ре-

ного тока между сверхпроводящими слоями. Этот

зультате чего происходит удвоение периода осцил-

вклад в квазичастичный ток, обусловленный разно-

ляций джозефсоновского тока Is = Ic sinϕ/2 [30].

стью обобщенных скалярных потенциалов, называют

Вопрос о 4π-периодичности рассматривался в ра-

диффузионным током I^ldif [39, 40]. Можно записать

боте А.Ю.Китаева [31], где для эксперименталь-

следующие выражения для диффузионного тока

ного обнаружения майорановских фермионов пред-

Φ_l - Φ_l-1

(Q_l - Q_l-1)

лагалось исследовать мостик из квантовой про-

I^ldif =

, (1)

IcR

4πr^2DI_cR

2e²N(0)I_cR

волоки. Позже Квон и др. [32] продемонстриро-

вали дробный нестационарный эффект Джозефсо-

где N(0) обозначает плотность состояний на уровне

на, который подтвердил 4π-периодичность сверх-

Ферми. С учетом диффузионного тока выражение

проводящего тока. Влияние 4π-периодичности сверх-

для полного тока приобретает следующий вид:

проводящего тока на ток возврата и резонансные

dV_l

ℏ dϕ_l

особенности двухконтактного-СКВИДа (SQUID

I =C

+ Ic sinϕ_l +

(2)

2eR dt

Superconducting Quantum Interference Device - сверх-

где R - сопротивление. Оно отличается от соответ-

проводящий квантовый интерферометр) продемон-

ствующего выражения для полного тока в CCJJ мо-

стрировано в работе [33]. На возможность регистра-

дели [9] третьим членом в правой части уравнения

ции майорановских состояний в ДП на основе иссле-

(2). В CCJJ модели он равен V_l/R.

дования субгармонических нечетных ступенек Ша-

Как отмечалось выше, наличие майорановских

пиро указывалась в работе [34]. Кроме того, в этой

фермионов приводит к одноэлектронному туннели-

работе было показано проявление на ВАХ ДП с май-

рованию и удвоению периода разности фаз парамет-

орановскими состояниями дополнительной последо-

ров порядка сверхпроводящих слоев [30, 31, 41]. В

вательности в лестничной структуре.

рамках модели CCJJ+DC [22, 23, 42] с учетом при-

В настоящей работе мы обращаем внимание на

сутствия майорановских фермионов достаточно за-

другую возможность регистрации майорановских

менить 2e на e и ϕ на ϕ/2 в соответствующих членах

фермионов, которая основывается на использовании

уравнений. В обоих случаях, как тривиальном, так

параметрического резонанса в системе ДП с топо-

и нетривиальном, соотношение Джозефсона остает-

логически нетривиальными барьерами, а именно, β-

ся неизменным

зависимости напряжения в точке излома на ВАХ.

ℏ d(ϕ_l/2)

ℏ dϕ_l

Наличие точки излома на ВАХ было подтверждено

= V_l - α(V_l+1 + V_l-1 - 2V_l),

(3)

экспериментально в работе [35]. Отметим, что до на-

e dt

2e dt

стоящего времени исследование динамики стека ДП

где ϕ_l и V_l - разность фаз и напряжение в l-м ДП,

с нетривиальными барьерами не проводилось. Не ис-

соответственно, α - параметр емкостной связи. Вы-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

И.Р.Рахмонов, Ю.М.Шукринов, К.В.Куликов и др.

ражение для тока I через ДП стека может быть за-

писано в виде

[

]

∂V_l

ℏ

∂ϕ_l

ϕ_l

I =C

+I_c εsinϕ_l+(1-ε)sin

(4)

∂t

2eR ∂t

Отметим, что для вывода обобщенной системы урав-

нений для обоих стеков, как с тривиальными, так

и с нетривиальными барьерами, было использовано

следующее выражение для сверхпроводящего тока

[

]

Is = Ic

, где ε - отношение

ε sinϕ_l + (1 - ε)sinϕl2

2π- и 4π-периодичного джозефсоновского тока через

ДП, т.е. ε = 1 и ε = 0 относятся к тривиальному и

нетривиальному случаям, соответственно. Параметр

ε был введен Велдхорстом с соавторами в работе [41].

Используя соотношение Джозефсона (3) и выра-

жение для тока (4), можно записать систему урав-

нений, описывающей динамику стека ДП в нормиро-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Вольт-амперные характери-

ванных величинах, в виде

стики системы с десятью джозефсоновскими перехода-

ми с топологически тривиальными барьерами, рассчи-



dϕl

танные при α = 1 и различных значениях параметра



= V_l - α(V_l+1 + V_l-1 - 2V_l),

диссипации (β = 0.2, 0.66, 0.69, 0.73, 0.8); точки указы-

(5)



вают положение точки излома ВАХ, где реализуется

V_l

(ϕ_l)

dϕ_l

d

= I - εsin(ϕ_l) - (1 - ε)sin

-β

параметрический резонанс

√

где β = 1/R

ℏ/(2eI_cC) - параметр диссипации. В

диссипации (β

< 1) и точку излома на верхней

системе уравнений (5) время нормировано на ω^-1p,

напряжение - на V₀ и базовый ток I - на критиче-

ветви [22, 23, 44], обозначенную темным кружком

на всех кривых. Проявление точки излома на ВАХ

ский ток I_c. Отметим простую и важную связь меж-

ду нетривиальным и тривиальным случаем. Разли-

системы ДП с тривиальными барьерами обсужда-

лось в работах [22, 23, 35, 44], где было показано,

чия и сходства этих случаев описываются простым

что данная область ВАХ соответствует образова-

скейлинговым соотношением. Если взять уравнения

√

с ε = 1 и произвести замену ϕ =

ϕ/2, V

нию вдоль стека продольной плазменной волны.

√

Отметим, что увеличение параметра диссипации

t = t/

2, β =

β, то получатся уравнения нетри-

виального случая в переменных с тильдой.

β приводит к изменению наклона ВАХ, смещению

точки излома и минимуму положения точки излома

В наших расчетах базовый ток увеличивался с

I₀ = 0.1 до I_max и затем уменьшался до нуля с ша-

по напряжению (минимум при β = 0.66 на рис. 1).

Ниже мы обсудим гистерезис, наблюдаемый при

гом ΔI = 0.0005. При каждом фиксированном значе-

параметрах β

= 0.73, 0.8 (рис.1), возникающий в

нии базового тока система дифференциальных урав-

результате перехода системы с верхней ветви ВАХ

нений (5) решалась методом Рунге-Кутта четвертого

на ветвь, соответствующую состоянию с стоячей или

порядка во временном интервале с 0 до T_max = 800 с

бегущей волной вдоль стека [45].

шагом Δt = 0.05. В результате определялось напря-

жение V_l и разность фаз ϕ_l в l-ом ДП как функции

Естественно, что в случае стека с нетривиальны-

времени. Затем полученные значения напряжения V_l

ми барьерами положение точки излома и частота со-

усреднялись во временном интервале [50, 800]. Элек-

ответствующего параметрического резонанса отли-

√

трический заряд в сверхпроводящем слое вычислял-

чаются от тривиального случая в

2 раз. Зависи-

ся с использованием выражения Q = Q₀(V_l+1 - V_l)

мости напряжения в точке излома V_BP от β, демон-

[42, 43], где Q₀ = εε₀V₀/r^2D. Детали вычислительного

стрирующие минимум для тривиального и нетриви-

процесса представлены в работах [42, 43].

ального случаев, а также для нетривиального случая

Рассчитанные вольт-амперные характеристики

с учетом малой высшей гармоники представлены на

системы джозефсоновских переходов с тривиаль-

рис. 2.

ными барьерами представлены на рис. 1. ВАХ

Более подробно зависимость V_BP от парамет-

демонстрируют гистерезис при малом параметре

ров связи α и диссипации β представлена на рис. 3.

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Особенности динамики системы связанных джозефсоновских переходов...

отношению к флуктуациям параметров ДП в сте-

ке. Результаты сравнения зависимости напряжения в

точке излома V_BP от β для стека при ε = 0 с учетом

флуктуаций критического тока и без них, приведены

в дополнительном материале к статье.

Обсудим причину возникновения наблюдаемого

минимума на β- зависимости V_BP . На рисунке 4a, с

показана временная зависимость заряда в сверхпро-

водящих слоях для стека с тривиальными барьера-

ми для двух значений параметра диссипации. Вид-

но, что эта зависимость имеет разный характер до

(β

= 0.65, V_BP

= 10.645 и I

= 0.852) и после

(β = 0.67, VBP = 10.865 и I = 0.8835) точки ми-

нимума. Соответственно, различаются и результаты

Фурье анализа, представленные на рис. 4b, d. Резуль-

таты Фурье-анализа временной зависимости до ми-

нимума (см. рис. 4b) показывает частоту образован-

Рис. 2. (Цветной онлайн) VBP как функция парамет-

ной продольной плазменной волны f_LPW , которая в

ра диссипации β для системы ДП с параметром связи

два раза меньше джозефсоновской f_J . Дополнитель-

α = 1 при значениях ε = 0, ε = 0.1 и ε = 1

ный пик на результатах Фурье-анализа соответству-

ет сумме частот f_J + f_LPW .

Данная зависимость получена в результате анализа

На результатах Фурье-анализа после минимума

(см. рис. 4d) проявляется лишь f_LPW = f_J . Таким

образом, наблюдается смена условия параметриче-

ского резонанса: до минимума резонанс реализуется

при условии 2ω_LPW = ω_J , а после минимума - при

ω_LPW = ω_J. Это и приводит к возникновению ми-

нимума на зависимости V_BP (β). При этом, как пред-

ставлено на рис. 5 для нетривиального случая, так-

же происходит возбуждение различных продольных

плазменных волн. До минимума при β = 0.465 возни-

кает продольная плазменная волна с λ = 5a (рис. 5a),

после него (β = 0.47) - λ = 2a (рис. 5b), где a - период

стека. В случае стека с нетривиальными барьерами

минимум возникает при β = 0.467; параметрический

Рис. 3. (Цветной онлайн) Зависимость VBP от парамет-

резонанс и возбуждение продольной плазменной вол-

ров связи α и диссипации β для стека с N = 10 ДП с

ны до и после минимума качественно соответствуют

тривиальными барьерами

тривиальному случаю.

Поскольку параметрический резонанс на основ-

ВАХ стека при значениях α и β в интервале [0.1, 2] с

ной частоте в системе связанных джозефсоновских

шагом 0.1. Цветом показана величина V_BP . С ростом

переходов ранее в литературе не обсуждался, нами

α минимум смещается в сторону малых β и больших

проведен анализ временных зависимостей заряда на

напряжений V_BP .

сверхпроводящих слоях в условиях резонанса (дан-

Возникает вопрос об устойчивости полученных

ные здесь не приводятся), который свидетельствует

результатов по отношению к флуктуациям парамет-

о том, что амплитуда осцилляций заряда увеличи-

ров ДП вдоль стека, от одного ДП к следующему.

вается экспоненциально. Кроме того, как и ожида-

Нами был исследован стек с учетом флуктуаций ве-

лось [46], ширина параметрического резонанса при

личины критического тока |δI_c| ≤ 0.01I_c вдоль стека.

возбуждении на основной частоте отличается от ши-

В этом случае наблюдается небольшая деформация

рины резонанса на половинной. В таблице 1 пред-

β-зависимости V_BP и относительно малое смещение

ставлены данные для сравнения ширины параметри-

минимума. Следовательно, полученные в работе ре-

ческого резонанса по напряжению для тривиального

зультаты качественно не меняются и устойчивы по

случая при α = 0.1 и двух значений параметра дис-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

И.Р.Рахмонов, Ю.М.Шукринов, К.В.Куликов и др.

Рис. 4. (Цветной онлайн) (a) - Временная зависимость заряда на сверхпроводящем слое при β = 0.65, рассчитанная

для I = 0.852 и V = 10.645. (b) - Результаты Фурье-анализа временной зависимости, представленной на (a). (c) - То

же самое, что на (a) при β = 0.67. (d) - Результаты Фурье-анализа временной зависимости заряда, представленной

на (c)

сипации β = 0.68 и β = 1. При этом положения точек

деленным числом осциллирующих ДП. Интересное

излома на ВАХ по напряжению практически совпа-

явление наблюдается при достаточно сильной дис-

дают, а резонансы при заданных параметрах возни-

сипации (больших β). При β больше 0.6 становит-

кают при ω_J = 2ω_LPW и ω_J = ω_LPW , соответственно.

ся возможным состояние системы (и соответствую-

Мы видим, что ширина области параметрического

щая ветвь на ВАХ), в котором сохраняется зарож-

резонанса по частоте в случае, когда частота вынуж-

денное при параметрическом резонансе состояние с

дающей силы в два раза больше собственной часто-

продольной плазменной волной. Оно может реализо-

ты системы (т.е., ω_J = 2ω_LPW ), значительно больше

вываться в виде стоячей волны для стеков с четным

ширины резонанса на основной частоте.

числом ДП, либо в виде бегущей продольной плаз-

менной волны для стеков с нечетным числом ДП.

Таблица 1. Ширина параметрического резонанса (V_begin -

ВАХ на рис. 1 при β = 0.73 и β = 0.8 демонстрируют

начало параметрического резонанса, V_end - его окончание)

такие ветви.

V_begin-V_end

Ширина резонанса

Как указывалось выше (см. рис.5a,b), при пара-

0.68

8.496-2.827

5.669

метрическом резонансе распределение электрическо-

8.484-7.330

1.154

го заряда вдоль стека с N = 10 ДП с нетривиальны-

ми барьерами демонстрирует стоячую волну длиной

При малой диссипации, в зависимости от величи-

λ = 5a и λ = 2a. В результате параметрического

ны параметра связи между переходами (при α = 1, β

резонанса система переходит в состояние, в котором

меньше приблизительно 0.6), при параметрическом

все ДП находятся в R-состоянии [9]. Другая картина

резонансе реализуется переход на внутренние вет-

наблюдается для стека с нечетным числом ДП. Ри-

ви ВАХ, соответствующие состояниям стека с опре-

сунок 5с демонстрирует распределение заряда вдоль

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Особенности динамики системы связанных джозефсоновских переходов...

что переход с верхней ветви на ветвь вольт-амперной

характеристики, соответствующую состоянию систе-

мы с продольной плазменной волной вдоль стека, ре-

ализуется посредством параметрического резонанса.

С ростом параметра диссипации в точке минимума

происходит смена условия параметрического резо-

нанса: ω_J = 2ω_LPW сменяется условием ω_J = ω_LPW .

В случае системы ДП с нетривиальными барьерами

положение данного минимума сдвинуто относитель-

но результата для системы с тривиальными барьера-

√

2 раз, что может быть использовано для ди-

ми в

агностики возникновения майорановских состояний

в джозефсоновских переходах. Отметим также, что

поскольку β-зависимость напряжения при парамет-

рическом резонансе имитирует его температурную

зависимость, то она может быть использована при

экспериментальном анализе состояний с продольной

плазменной волной в системе связанных джозефсо-

новских переходов.

Авторы благодарны Л.А. Фальковскому за

ценные замечания, С. Дубничка (S. Dubnichka),

Ф.Д. Бузату (F.-D. Buzatu) и В. Хмеловски

(W. Chmielovski) за поддержку данной работы

в рамках сотрудничества JINR-Slovakia, JINR-

Romania, а также программой Bogoliubov-Infeld.

Исследование выполнено при финансовой поддерж-

ке РФФИ в рамках научных проектов 18-02-00318,

18-32-00950 и

18-52-45011, а также молодежного

гранта ОИЯИ 18-302-08. Численные расчеты в дан-

ной работе выполнены за счет гранта РНФ (проект

18-71-10095).

Рис. 5. (Цветной онлайн) (a) - Распределение электри-

1. S. H. Strogatz and I. Stewart, Scientific American 269,

ческого заряда вдоль стека с N = 10 ДП с нетриви-

102 (1993).

альными барьерами в фиксированный момент времени

2. S. Watanabe, S. H. Strogatz, H. S. J. Zant, and

при β = 0.465. (b) - То же самое при β = 0.47; (c) То же

T. P. Orlando, Phys. Rev. Lett. 74, 379 (1995).

самое при N = 9 для тривиального случая при β = 1

3. P. Hadley, M. R. Beasley, and K. Wiesenfeld, Phys. Rev.

B 38, 8712 (1988).

стека с N = 9 ДП с тривиальными барьерами. В

4. K. Wiesenfeld and P. Hadley, Phys. Rev. Lett. 62, 1335

этом случае в результате параметрического резонан-

(1989).

са система переходит в состояние с бегущей модули-

5. S. Watanabe and S. H. Strogatz, Phys. Rev. Lett. 70,

рованной волной с λ = 2, что является отражением

2391 (1993).

того факта, что на стеке укладывается нецелое число

6. S. Watanabe and S. H. Strogatz, Physica D 74, 197

длин волн, а именно, 4.5λ. В дополнительном мате-

(1994).

риале показаны анимации, демонстрирующие волны,

7. A. V. Ustinov, M. Cirillo, and B. A. Malomed, Phys.

представленные на рис. 5.

Rev. B 47, 8357 (1993).

В заключение отметим, что исследование дина-

8. T. M. Mishonov, Phys. Rev. B 44, 12033 (1991).

мики и вольт-амперных характеристик системы свя-

9. T. Koyama and M. Tachiki, Phys. Rev. B 54, 16183

занных джозефсоновских переходов с тривиальны-

(1996).

ми и нетривиальными барьерами позволяет выяс-

10. R. Kleiner, T. Gaber, and G. Hechtfischer, Phys. Rev.

нить причину возникновения минимума на зависи-

B 62, 4086 (2000).

мости напряжения при резонансе от параметра дис-

11. M. Tachiki, T. Koyama, and S. Takahashi, Phys. Rev.

сипации (параметра Мак-Камбера). Нами показано,

B 50, 7065 (1994).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

И.Р.Рахмонов, Ю.М.Шукринов, К.В.Куликов и др.

12.

T. Koyama, Phys. Rev. B 68, 224505 (2003).

30.

L. Fu and C. L. Kane, Phys. Rev. B 79, 161408 (R)

13.

Y. Matsuda, M. B. Gaifullin, K. Kumagai, K. Kadowaki,

(2009).

and T. Mochiku, Phys. Rev. Lett. 75, 4512 (1995).

31.

A. Yu. Kitaev, Usp. Fiz. Nauk 171, 131 (2001).

14.

M. B. Gaifullin, Y. Matsuda, and L. N. Bulaevskii, Phys.

32.

H.-J. Kwon, K. Sengupta, and V. M. Yakovenko, Eur.

Rev. Lett. 81, 3551 (1998).

Phys. J. B 37, 349 (2004).

15.

I. Kakeya, K. Kindo, K. Kadowaki, S. Takahashi, and

33.

I. R. Rahmonov, Yu.M. Shukrinov, and R. Dawood,

T. Mochiku, Phys. Rev. B 57, 3108 (1998).

JETP Lett. 103, 395 (2016).

16.

K. Kadowaki, I. Kakeya, M. B. Gaifullin, T. Mochiku,

34.

M. Maiti, K. M. Kulikov, K. Sengupta, and

S. Takahashi, T. Koyama, and M. Tachiki, Phys. Rev.

Y. M. Shukrinov, Phys. Rev. B 92, 224501 (2015).

B 56, 5617 (1997).

35.

A. Irie, Yu.M. Shukrinov, and G. I. Oya, Appl. Phys.

17.

К. К. Лихарев, Введение в динамику джозефсонов-

Lett. 93, 152510 (2008).

ских переходов, Наука, М. (1985), с. 320.

36.

M. Machida, T. Koyama, A. Tanaka, and M. Tachiki,

18.

Yu. M. Shukrinov, P. Seidel, E. Ilichev, W. Nawrocki,

Physica C 330, 85 (2000).

M. Grajcar, P. A. Plecenik, I. R. Rahmonov, and

37.

Yu. M. Shukrinov, F. Mahfouzi, and P. Seidel, Physica

K. Kulikov, J. Phys. Conf. Ser. 393, 012020 (2012).

C 449, 62 (2006).

19.

A.N. Grib, P. Seidel, and J. Scherbel, Phys. Rev. B 65,

38.

D. A. Ryndyk, Phys. Rev. Lett. 80, 3376 (1998).

094508 (2002).

39.

J. Keller and D. A. Ryndyk, Phys. Rev. B 71, 054507

20.

E. Almaas and D. Stroud, Phys. Rev. B 65, 134502

(2005).

(2002).

40.

S. Artemenko and A. Kobelkov, Phys. Rev. Lett. 78,

21.

Ю. М. Шукринов, И. Р. Рахмонов, К. В. Куликов,

3551 (1997).

Письма в ЖЭТФ 96, 657 (2012).

41.

M. Veldhorst, C. G. Molenaar, C. J. M. Verwijs,

22.

Yu. M. Shukrinov and F. Mahfouzi, Phys. Rev. Lett. 98,

H. Hilgenkamp, and A. Brinkman, Phys. Rev. B 86,

157001 (2007).

024509 (2012).

23.

Yu. M. Shukrinov, F. Mahfouzi, and M. Suzuki, Phys.

42.

Yu. M. Shukrinov and I. R. Rahmonov, JETP 115, 289

Rev. B 78, 134521 (2008).

(2012).

24.

Yu. M. Shukrinov, F. Mahfouzi, and N. F. Pedersen,

43.

Yu. Shukrinov, I. Rahmonov, and M. Hamdipour, LNCS

Phys. Rev. B 75, 104508 (2007).

7125, 234 (2012).

25.

E. Majorana, Nuovo Cimento 14, 171 (1937).

44.

Yu. M. Shukrinov, F. Mahfouzi, and N. F. Pedersen,

26.

L. Fu and C. L. Kane, Phys. Rev. Lett. 100, 096407

Phys. Rev. B 75, 104508 (2007).

(2008).

45.

A. Zubarev, M. Cuzminschi, I.R. Rahmonov, and

27.

Y. Tanaka, T. Yokoyama, and N. Nagaosa, Phys. Rev.

Yu. M. Shukrinov, Материалы XXII международно-

Lett. 103, 107002 (2009).

го симпозиума “Нанофизика и наноэлектроника”, 1,

28.

L. Fu, C. L. Kane, and J. Mele, Phys. Rev. Lett. 98,

26 (2018).

106803 (2007).

46.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физи-

29.

J. D. Sau, R. M. Lutchyn, S. Tewari, and S. Das Sarma,

ка: учеб. пособ.: для вузов, в. 10 т. Т. I. Механика, 5-е

Phys. Rev. Lett. 104, 040502 (2010).

изд., стереот., Физматлит, М. (2004), 224 с.

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019