Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 1, с. 48 - 53

Фазовая диаграмма двухорбитальной модели ВТСП на основе

железа: вариационное кластерное приближение¹⁾

Я.В.Жумагулов^+∗, В.А.Кашурников⁺, А.В.Красавин⁺²⁾, А.Е.Лукьянов⁺, В.Д.Неверов⁺

⁺Национальный Исследовательский Ядерный Университет МИФИ, 115409 Москва, Россия

^∗Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики,

197101 С.-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 23 октября 2018 г.

После переработки 7 ноября 2018 г.

Принята к публикации 7 ноября 2018 г.

Методом вариационного кластерного приближения рассчитана фазовая диаграмма двумерной дву-

хорбитальной модели Хаббарда, широко используемой для описания высокотемпературных сверхпро-

водников на основе железа, в области электронного допирования. Получено, что сосуществование ан-

тиферромагнитной и сверхпроводящей фаз реализуется в широком диапазоне значений электронного

допирования. В сверхпроводящей фазе параметр порядка имеет s^±-симметрию.

DOI: 10.1134/S0370274X19010090

1. Введение. Сверхпроводники на основе железа

ется наличие фазы нематического упорядочения, в

известны с 2006 года, когда сверхпроводимость бы-

которой снимается вырождение d_xz и d_yz -орбиталей

ла зарегистрирована ниже T_c = 3.5 К в LiOFeAs [1]

атомов железа [6]. Существенный прогресс был так-

и T_c = 4.5К в LaOFeP [2]. Это открытие не полу-

же достигнут в исследовании родственных соедине-

чило большого значения из-за низких значений кри-

ний - халькогенидов [7]: температура сверхпроводя-

тических температур. Ситуация резко изменилась в

щего перехода в монослое FeSe на подложке SrTiO₃

2008 г., когда сверхпроводимость была обнаружена в

составила 65 К [8].

LiO_1-xF_xFeAs с T_c = 26 К [3]. Это значение критиче-

Расчеты

электрон-фононной

связи

ской температуры позволило классифицировать это

LiO_1-xF_xFeAs показали

[9],

что стандартный

соединение как высокотемпературный сверхпровод-

механизм электрон-фононного спаривания не мо-

ник (ВТСП). После этого открытия целое семейство

жет обеспечить наблюдаемое высокое значение

соединений на основе FeAs (названных пниктидами)

критической температуры. Это поставило вопрос

было синтезировано с критическими температурами

о роли электронных корреляций в соединениях

до T_c = 55 К в SmO_1-xF_xFeAs [4].

на основе железа при образовании сверхпрово-

Свойства пниктидов во многом напоминают свой-

дящего состояния. Имеются экспериментальные

ства купратных ВТСП: они имеют похожие фазовые

данные, свидетельствующие о наличии сильных

диаграммы [5]; исходные соединения в обоих случаях

корреляций, таких как температурная реоргани-

являются антиферромагнетиками. Кроме того, в обо-

зация зонной структуры, измеренная с помощью

их случаях существует квазидвумерная структура,

фотоэлектронной спектроскопии с угловым разре-

т.е. эти соединения являются слоистыми: купраты

шением (Angle-resolved photoemission spectroscopy -

основаны на слоях CuO₂, тогда как в пниктидах че-

ARPES) [10]. Расчеты LDA + DMFT (Local-density

редуются FeAs-слои, перемежающиеся различными

approximation - LDA, Dynamical mean-field theory -

другими слоями, содержащими ионы редкоземель-

DMFT)(см., например,

[11, 12]) показывают су-

ных металлов. Из-за сильной анизотропии кристал-

щественную перенормировку массы квазичастиц

лической структуры электронная структура пникти-

вблизи уровня Ферми.

дов имеет ярко выраженные квазидвумерные свой-

Основными современными методами теоретиче-

ства. Отличительной особенностью пниктидов явля-

ского и численного изучения электронной структуры

коррелированных электронных систем являются:

• Теория функционала плотности (Density

¹⁾См. дополнительные материалы к данной статье на сайте

нашего журнала www.jetpletters.ac.ru

functional theory - DFT) является основным методом

²⁾e-mail: avkrasavin@mephi.ru

изучения электронных систем, поскольку является

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Фазовая диаграмма двухорбитальной модели ВТСП на основе железа. . .

первопринципным методом. В теории функционала

расчетов [21, 22]. Модель содержит четыре типа пе-

плотности отсутствует учет как динамических,

рескоков и имеет следующий гамильтониан:

так и нелокальных корреляций, которые имеют

∑

сильное влияние в электронной подсистеме ВТСП.

H_kin = -t₁ (a^+i,x,σa_i+x,x,σ + a^+i,y,σa_i+y,y,σ + h.c.) -

Применительно к изучению ВТСП на основе железа

i,σ

с помощью DFT были получены поверхности Ферми

∑

[13], а также параметры соответствующей модели

-t₂

(a^+i,y,σa_i+x,y,σ + a^+i,x,σa_i+y,x,σ + h.c.) -

сильной связи [14].

i,σ

• Теория динамического среднего поля (DMFT)

∑

-t₃

(a^+i,x,σa_i+x+y,x,σ + a^+i,x,σa_i+x-y,x,σ +

расширяет теорию функционала плотности в обла-

i,σ

сти учета динамических корреляций, однако в ней

также отсутствует учет нелокальных электронных

a^+i,x,σa_i+x+y,y,σ + a^+i,y,σa_i+x-y,y,σ + h.c.) -

корреляций. С помощью DMFT удалось установить

∑

важную роль корреляционных эффектов в ВТСП на

-t₄

(a^+i,x,σa_i+x+y,y,σ + a^+i,y,σa_i+x+y,x,σ +

основе халькогенидов [15,16].

i,σ

• Квантовые решеточные алгоритмы Монте-

a_i+x-y,y,σ + a^+i,y,σa_i+x-y,x,σ + h.c.),

(1)

Карло (Quantum Monte Carlo - QMC) способны

i,x,σ

рассчитывать как дальние нелокальные, так и

где оператор a^+i,x(y),σ(a_i,x(y),σ) рождает (уничтожает)

динамические корреляции, однако существенно

электрон со спином σ на узле i и орбитали x(y); t_i,

ограничены в своей применимости из-за проблемы

i = 1, . . . , 4 - амплитуды перескоков между орби-

знака, которая не позволяет проводить вычисления

талями d_xy и d_yz. В дополнение к H_kin необходимо

при низких температурах, при которых и возникает

включить также слагаемые, описывающие кулонов-

сверхпроводящее состояние. Для не слишком низких

ское взаимодействие:

температур при помощи QMC ранее удалось иссле-

∑

довать корреляционные свойства рассматриваемой

H_int = U

n_i,α,↑n_i,α,↓ + V

n_i,xn_i,y -

далее двухорбитальной модели ВСТП на основе

i,α

железа [17].

∑

• Вариационное

кластерное

приближение

− µ n_i - J (n_i,x,↑n_i,y,↑ + n_i,x,↓n_i,y,↓) -

(Variational cluster approximation

- VCA) учи-

тывает динамические и ближние нелокальные

∑

корреляции, а также не имеет проблемы знака.

- J (a^+i,x,↓a_i,x,↑a^+i,y,↑a_i,y,↓ + a^+i,x,↑a_i,x,↓a^+i,y,↓a_i,y,↑ +

Серьезным ограничением VCA является размер ре-

ференсной системы, решаемой при помощи точной

+ a^+i,x,↑a_i,y,↓a^+i,x,↓a_i,y,↑ + a^+i,y,↑a_i,x,↓a^+i,y,↓a_i,x,↑),

(2)

диагонализации.

В настоящей работе вариационное кластерное

где параметры U и V описывают кулоновское вза-

приближение было использовано для изучения фа-

имодействие внутри и между орбиталями, соответ-

зовых состояний двухорбитальной модели ВТСП на

ственно; J - обменный интеграл; µ - химический

основе железа. В этом случае минимальной рефе-

потенциал. Эта модель интенсивно изучалась мето-

ренсной системой является кластер 2 × 2, состоящий

дами среднего поля [23, 24], точной диагонализаци-

из четырех атомов железа и восьми орбиталей, что

ей малых кластеров [25] и квантовыми алгоритма-

является допустимым размером системы для точной

ми Монте-Карло [15, 20, 26-28]. Параметры кинети-

диагонализации.

ческой части гамильтониана H_kin определяются фи-

2. Модель и метод. Вариационное кластерное

тированием зонной структуры, полученной в LDA-

приближение основано на функционале Поттхоффа

расчетах [29, 30] для базового соединения LaFeAsO

Ω[Σ] [18] для многочастичного гамильтониана H =

класса ВТСП на основе железа. Параметры, опи-

= T + V с одночастичным слагаемым T и двухча-

сывающие кулоновское взаимодействие, подбирают-

стичным слагаемым V (см. дополнительный матери-

ся из соответствия фотоэмиссионных спектров [31]

ал). В настоящей работе методом VCA была иссле-

расчетной интегральной плотности состояний. Полу-

дована двухорбитальная модель [19, 20], являющая-

ченные таким образом константы гамильтониана яв-

ся минимальной моделью, способной описать физику

ляются универсальными для всего класса соедине-

двух орбиталей железа d_xz, d_yz, вносящих основной

ний ВТСП на основе железа ввиду общих особенно-

вклад в поверхность Ферми, полученную из ab-initio

стей электронной и кристаллической структур этих

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Я.В.Жумагулов, В.А.Кашурников, А.В.Красавин, А.Е.Лукьянов, В.Д.Неверов

веществ. На наш взгляд, наиболее удачным набо-

или нескольких вейссовых полей (4)-(7). Из всех

ром параметров, оптимально описывающим эволю-

стационарных точек Ω[Σ^′] точка, отвечающая мини-

цию поверхности Ферми с изменением уровня до-

мальному значению Ω[Σ^′], определяет физическое

пирования, являются следующие параметры H_kin и

термодинамическое состояние системы. Если в этой

H_int, взятые из [32,33], соответственно (все парамет-

точке амплитуда какого-либо вейссова поля имеет

ры в эВ):

ненулевое значение, то в системе имеется соот-

ветствующее упорядочение (система дает отклик

t₁ = -0.25; t₂ = 0.375; t₃ = -0.3;

на определенный тип симметрии), а отвечающий

(3)

t₄ = -0.2375; U = 2.0; V = 0.6; J = 0.7.

этому упорядочению параметр порядка может быть

найден из функции Грина [35].

В качестве референсной системы был использован

кластер из четырех атомов железа, содержащий в

общей сложности восемь орбиталей.

3. Детали расчета и результаты. Для опреде-

ления фазовых состояний и симметрийных свойств

двухорбитальной модели в гамильтониан (6) были

добавлены вейссовы поля следующего вида:

• антиферромагнитное упорядочение

∑

W_AFM = M

σeiQrin_i,o,σ, Q = (0, π);

(4)

i,o=(x,y),σ

• нематичность

∑

W_N = N (n_i,x,σ - n_i,y,σ);

(5)

i,σ

Рис. 1. (Цветной онлайн) Фазовая диаграмма двумер-

• сверхпроводящее упорядочение наиболее обще-

ной двухорбитальной модели Хаббарда в области элек-

го вида, которое может быть учтено при использова-

тронного допирования. Показаны амплитуды соответ-

нии референсной системы в виде кластера размером

ствующих параметров порядка: средний магнитный

2 × 2,

момент на узле 〈mi〉 (круги); поляризация орбиталей

∑

〈n_↑〉 - 〈n_↓〉 (ромбы); концентрация куперовских пар

W_SC =

Δ_ij(c^+i,o,σc^+j,o′_,σ′ + h.c.);

(6)

〈c⁺ⁱc^+j〉 (квадраты). В области II наблюдается сосуще-

i,j;σ,σ′

ствование трех фаз, отвечающих антиферромагнитно-

oo′=(x,y)

му, нематическому и сверхпроводящему упорядочению

• термодинамическая самосогласованность, необ-

ходимая для того, чтобы среднее число частиц в си-

В настоящей работе варьирование Ω[Σ^′] произ-

стеме, вычисленное двумя независимыми способами

водилось в присутствии вейссовых полей (4), (5),

(как производная от термодинамического потенци-

(7), либо (5)-(7). Поиск стационарных точек осу-

ала либо как сумма функции Грина по всем мацу-

ществлялся с использованием алгоритма Ньютона.

баровским частотам), давало одинаковый результат

Была исследована фазовая диаграмма модели при

[34],

∑

электронном допировании (при дырочном допиро-

W_TD

=µ^′

n_i,o,σ,

(7)

вании двухорбитальная модель не является полно-

i,o=(x,y),σ

стью корректной для описания ВТСП на основе же-

где M, N, Δ, µ′ - соответствующие амплитуды

леза, так как из характера зонной структуры следу-

вейссовых полей; индексы i, j нумеруют узлы рефе-

ет, что необходим учет большего числа орбиталей).

ренсной системы; o, o^′ - орбитали; σ, σ^′ - спиновые

В случае сверхпроводящего поля Вейсса (6) отклик

индексы. Заметим, что в [33] двухорбитальная мо-

в системе был получен только для симметрии s^±-

∑

дель была исследована без учета термодинамической

wave W_s± = Δ

(c^+i,o,↑c^+j,o,↓ + h.c.) [36]. Фа-

〈ij〉,o=(x,y)

согласованности (7) и сверхпроводящего упорядоче-

зовая диаграмма, таким образом, состоит из трех

ния (6).

областей (рис.1): антиферромагнитное и нематиче-

Варьирование функционала Ω[Σ^′], где Σ^′

ское упорядочение при допировании 0 < x < 1.008

собственная энергетическая составляющая рефе-

(область I), сосуществование антиферромагнитного,

ренсной системы, производится в присутствии всех

нематического и сверхпроводящего с симметрией s^±-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Фазовая диаграмма двухорбитальной модели ВТСП на основе железа. . .

Рис. 2. (Цветной онлайн) Зонная структура в области II ((a) - допирование x = 1.1) и в области III ((b) - x = 1.175)

фазовой диаграммы. Красный и синий цвет соответствуют максимальному и нулевому значениям плотности состояний

соответственно

Рис. 3. (Цветной онлайн) Поверхность Ферми в областях II (а) и III (b) фазовой диаграммы. Степень допирования та

же, что и на рис. 2. Красный и синий цвет соответствуют максимальному и нулевому значениям плотности состояний

на уровне Ферми соответственно

wave упорядочения при 1.008 < x < 1.152 (область II)

дополнительный материал). Наблюдаемые корреля-

и сверхпроводящая фаза при x > 1.152 (область III).

ции в поведении антиферромагнитной и нематиче-

При слабом допировании в области I фазовой

ской фаз (общие фазовые границы), объясняются,

диаграммы присутствуют сильные антиферромаг-

вероятно, малостью размеров референсной системы.

нитные корреляции, о чем свидетельствует нали-

В фазе II, как и в фазе I, на плотности состояний

чие плоских зон в зонной структуре; наблюдает-

четко различимы две хаббардовские зоны.

ся высокая поляризация орбиталей, сверхпроводи-

В присутствии антиферромагнитного упорядоче-

мость отсутствует. Магнитные свойства этой фазы

ния (фазы I и II) поверхность Ферми имеет нули на

были исследованы вскоре после формулировки мо-

обоих листах, которые исчезают при переходе систе-

дели [23, 25].

мы в фазу III - собственная энергетическая составля-

В области II с увеличением допирования анти-

ющая имеет четко выраженную импульсную зависи-

ферромагнитные корреляции начинают уменьшать-

мость (рис. 3). Вид поверхности Ферми согласуется с

ся, что прослеживается на ослаблении высококоге-

ARPES [10]. Расчетные поверхности Ферми на рис. 3

рентной плоской зоны ниже уровня Ферми на зонной

не имеют особенностей вблизи точки Γ, которые про-

структуре (рис.2а), которая исчезает в области III

являются при учете трех и более орбиталей [22]. Им-

(рис. 2b). Поляризация орбиталей монотонно растет

пульсное распределение сверхпроводящего парамет-

с ростом допирования вплоть до точки фазового пе-

ра порядка в фазе III (рис. 4b) свидетельствует о на-

рехода x = 1.152, в которой спонтанно исчезает; в

личии s^±-симметрии - значения параметра порядка

фазе III нематическое упорядочение отсутствует (см.

имеют разный знак на разных листах поверхности

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

4^∗

Я.В.Жумагулов, В.А.Кашурников, А.В.Красавин, А.Е.Лукьянов, В.Д.Неверов

Рис. 4. (Цветной онлайн) Импульсная зависимость сверхпроводящего параметра порядка в областях II (a) и III (b)

фазовой диаграммы. Степень допирования та же, что и на рис. 2. Красный и синий цвет соответствует положительным

и отрицательным значениям соответственно. В системе реализуется s^±-симметрия

Ферми. При уменьшении допирования одновремен-

проводников на основе железа, была рассчитана при

но с появлением антиферромагнитного упорядоче-

помощи вариационного кластерного приближения с

ния нули сверхпроводящего параметра порядка вы-

учетом термодинамической согласованности. В зави-

ходят на поверхность Ферми (рис. 4а).

симости от степени электронного допирования было

Как следует из фазовой диаграммы, оба фазо-

исследовано поведение трех фазовых состояний: ан-

вых перехода при допированиях x = 1.008 и x =

тиферромагнитного, нематического и сверхпроводя-

= 1.152 имеют характер фазовых переходов первого

щего упорядочений. Получено, что сосуществование

рода, поскольку производные соответствующих па-

антиферромагнитной и сверхпроводящей фаз реали-

раметров порядка терпят разрывы на границах фаз.

зуется в широком диапазоне значений электронного

Это утверждение, однако, требует дополнительного

допирования; в сверхпроводящей фазе параметр по-

исследования, так как расчет проводился на огра-

рядка имеет s^±-симметрию. В пользу выбора вариа-

ниченной по размеру референсной системе, а варьи-

ционного кластерного приближения применительно

рование функционала Ω[Σ^′] проводилось по отдель-

к исследованию подобных мультиорбитальных моде-

ности либо с включением антиферромагнитного по-

лей свидетельствует выраженная импульсная зави-

ля Вейсса (4), либо с включением сверхпроводящего

симость собственной энергетической составляющей.

поля Вейсса (6). Варьирование по всем вейссовым

Авторы выражают благодарность П.Ф. Карцеву

полям - технически намного более сложная зада-

за обсуждение результатов. Работа выполнена при

ча, которая является предметом дальнейшей работы.

поддержке Российского Научного Фонда (проект

Положение границ между фазами на рис.1 также

#16-19-00168).

может являться следствием ограниченности рефе-

ренсной системы, и при учете кластера большего раз-

1. Y. Kamihara, H. Hiramatsu, M. Hirano, R. Kawamura,

мера и, соответственно, более точном расчете, гра-

H. Yanagi, T. Kamiya, and H. Hosono, J. Am. Chem.

ницы фаз могли бы сместиться в ту или иную сторо-

Soc. 128, 10012 (2006).

ну по оси допирования, что, однако, не изменило бы

2. М. В. Садовский, УФН 178 1243 (2008).

основных результатов работы, а именно реализации

3. Y. Kamihara, T. Watanabe, M. Hirano, and H. Hosono,

s^±-симметрии сверхпроводящего параметра порядка

J. Am. Chem. Soc. 130, 3296 (2008).

и сосуществования антиферромагнитного упорядо-

4. Y. J. Ren Zhi-An and Lu Wei, Chin. Phys. Lett. 25,

чения и сверхпроводимости в достаточно широком

2215 (2008).

диапазоне значений электронного допирования. Эти

5. D. N. Basov and A. V. Chubukov, Nature Phys. 7, 272

результаты являются универсальными ввиду самого

(2011).

построения теории VCA.

6. E. P. Rosenthal, E. F. Andrade, C. J. Arguello,

4. Заключение. Фазовая диаграмма двумерной

R. M. Fernandes, L. Y. Xing, X. C. Wang, C. Q. Jin,

двухорбитальной модели Хаббарда, широко исполь-

A. J. Millis, and A.N. Pasupathy, Nature Phys. 10, 225

зуемой для описания высокотемпературных сверх-

(2014).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Фазовая диаграмма двухорбитальной модели ВТСП на основе железа. . .

М. В. Садовский, УФН 186, 1035 (2016).

22.

M. Daghofer, A. Nicholson, A. Moreo, and E. Dagotto,

Sh. He, J. He, W. Zhang et al. (Collaboration), Nature

Phys. Rev. B 81, 014511 (2010).

Materials 12, 605 (2013).

23.

R. Yu, K. T. Trinh, A. Moreo, M. Daghofer, J. A. Riera,

K. Haule, J. H. Shim, and G. Kotliar, Phys. Rev. Lett.

S. Haas, and E. Dagotto, Phys. Rev. B 79, 104510

100, 226402 (2008).

(2009).

24.

A. V. Chubukov, D. V. Efremov, and I. Eremin, Phys.

10.

D. Lu, M. Yi, S.-K. Mo, J. G. Analytis, J.-

Rev. B 78, 134512 (2008).

H. Chu, A. S. Erickson, D. J. Singh, Z. Hussain,

T. H. Geballe, I. R. Fisher, and Z.-X. Shen, Physica C:

25.

A. Moreo, M. Daghofer, J. A. Riera, and E. Dagotto,

Phys. Rev. B 79, 134502 (2009).

Superconductivity 469, 452 (2009).

26.

В. А. Кашурников, А. В. Красавин, Я. В. Жумагулов,

11.

A.O. Shorikov, M. A. Korotin, S. V. Streltsov,

Письма в ЖЭТФ 103, 378 (2016).

S. L. Skornyakov, Dm. M. Korotin, and V.I. Anisimov,

JETP 108, 121 (2009).

27.

В. А. Кашурников, А. В. Красавин, Письма в ЖЭТФ

100, 18 (2014).

12.

M. Aichhorn, L. Pourovskii, V. Vildosola, M. Ferrero,

28.

В. А. Кашурников, А. В. Красавин, Письма в ЖЭТФ

O. Parcollet, T. Miyake, A. Georges, and S. Biermann,

97, 378 (2013).

Phys. Rev. B 80, 085101 (2009).

29.

D. J. Singh and M. H. Du, Phys. Rev. Lett. 100 237003

13.

I. A. Nekrasov and M. V. Sadovskii, Письма в ЖЭТФ

(2008).

93, 182 (2011).

30.

Z. P. Yin, S. Lebègue, M. J. Han, B. P. Neal,

14.

H. Yamase and R. Zeyher, Phys. Rev. B 88 180520(R)

S. Y. Savrasov, and W. E. Pickett, Phys. Rev. Lett. 101,

(2013).

047001 (2008).

15.

I. A. Nekrasov, N.S. Pavlov, and M. V. Sadovskii, Пись-

31.

S. de Jong, Y. Huang, R. Huisman, F. Massee,

ма в ЖЭТФ 95, 659 (2012).

S. Thirupathaiah, M. Gorgoi, F. Schaefers, R. Follath,

16.

I. A. Nekrasov, N. S. Pavlov, and M. V. Sadovskii,

J. B. Goedkoop, and M. S. Golden, Phys. Rev. B 79,

ЖЭТФ 143, 713 (2013).

115125 (2009).

17.

V.A.

Kashurnikov,

A. V.

Krasavin,

and

32.

Z.-J. Yao, J.-X. Li, and Z. D. Wang, New J. Phys. 11,

Ya. V. Zhumagulov, Phys. Rev. B 23, 235145 (2016).

025009 (2009).

18.

M. Potthoff, Eur. Phys. J. B 32, 429 (2003).

33.

Z. Wang and A. H. Nevidomskyy, J. Phys. Condens.

19.

S. Raghu, X.-L. Qi, C.-X. Liu, D. J. Scalapino, and Sh.-

Matter 27, 225602 (2015).

Ch. Zhang, Phys. Rev. B 77, 220503(R) (2008).

34.

M. Aichhorn, E. Arrigoni, M. Potthoff, and W. Hanke,

20.

P. T. Dumitrescu, M. Serbyn, R. T. Scalettar, and

Phys. Rev. B 74, 024508 (2006).

A. Vishwanath, Phys. Rev. B 94, 155127 (2016).

35.

D. Sénéchal, P.-L. Lavertu, M.-A. Marois, and A.-

21.

S. Graser, T. A. Maier, and P. J. Hirschfeld, New J.

M. S. Tremblay, Phys. Rev. Lett. 94, 156404 (2005).

Phys. 11, 025016 (2009).

36.

A. Chubukov, Ann. Rev. Cond. Mat. Phys. 3, 57 (2012).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019