Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 2, с. 84 - 88

Кинк-антикинк взаимодействие в линейном дефекте

электроконвективной структуры нематика

В.А.Делев⁺¹⁾, О.А.Скалдин⁺, Э.С.Батыршин^∗, В.Н.Назаров⁺, Е.Г.Екомасов^∗×◦

⁺ИФМК УФИЦ РАН, 450075 Уфа, Россия

^∗ФГБОУ ВО “Башкирский государственный университет”, 450076 Уфа, Россия

^×ФГАОУ ВО “Тюменский государственный университет”, 625003 Тюмень, Россия

^◦ФГАОУ ВО “ЮУрГУ (НИУ)”, 454080 Челябинск, Россия

Поступила в редакцию 25 октября 2018 г.

После переработки 23 ноября 2018 г.

Принята к публикации 23 ноября 2018 г.

Экспериментально и теоретически изучены особенности взаимодействия двух дислокаций в новом

типе сингулярного дефекта, возникающем в одномерной доменной структуре при электроконвекции в

закрученных на π/2 нематических жидких кристаллах. Исследуемый тип дефектов характеризуется до-

статочно протяженным полем деформации или степенью “диссоциации”, при этом домены выше ядра

дефекта смещены относительно доменов ниже ядра дефекта на половину пространственного периода.

Гидродинамические потоки в доменах закрученных нематиках кроме тангенциальной компоненты скоро-

сти имеют и аксиальную компоненту, направление которой противоположно в соседних роллах. Наличие

последней вносит специфические особенности в осцилляционную динамику различных типов дефектов

в закрученных нематиках. Выше некоторого критического приложенного напряжения дефект начина-

ет осциллировать так, чтобы домены с сонаправленными аксиальными компонентами замкнулись. В

результате возникают так называемые “zig-zag” осцилляции. Одновременно на краях осциллирующего

дефекта рождается пара дислокаций с противоположными топологическими зарядами S = ±1, которые

движутся навстречу друг другу. При помощи техники демодуляции исходных изображений доменных

структур показано, что столкновение дислокаций в протяженном дефекте хорошо описывается двух-

кинковым решением уравнения sin-Гордона.

DOI: 10.1134/S0370274X19020036

Введение. Развитие различного рода неустой-

ролью в фундаментальных вопросах образования и

чивостей в нелинейных средах с образованием

разрушения надмолекулярного порядка.

пространственно-временного порядка, как правило,

НЖК характеризуются наличием ориентацион-

сопровождается появлением структурных неодно-

ного упорядочения молекул удлиненной формы -

родностей - дефектов и дислокаций [1-4], в том

они имеют тенденцию устанавливаться параллельно

числе и динамических, типа солитонов [5-7]. Более

некоторой общей оси, характеризуемой единичным

интересной представляется ситуация, реализуемая

вектором - директором n, в то же время дальний по-

в анизотропных средах с дополнительной степенью

рядок в расположении центров масс молекул отсут-

свободы, связанной с наличием гидродинамической

ствует [3, 8]. Одномерные доменные структуры (до-

подсистемы, например, в жидких кристаллах (ЖК)

мены Вильямса-Капустина), возникающие при элек-

[8-10]. В этом отношении нематические ЖК (НЖК),

троконвекции в закрученных на π/2 НЖК, благода-

в которых реализуется практически одновременно

ря наличию геликоидального течения нематической

несколько типов сосуществующих неустойчивостей,

жидкости с антипараллельными аксиальными ком-

причем как диссипативного, так и недиссипативного

понентами скоростей в соседних доменах [11], весьма

характера, являются уникальными модельными

богаты различными типами дефектов как с сингу-

средами для наблюдения и изучения структур и их

лярными (дислокации), так и несингулярными яд-

дефектов. Актуальность исследования механизмов

рами [12, 13]. Сингулярность дефектов определяется

образования и динамики дефектов связана с их

лишней (или недостающей) парой доменов при взя-

тии контурного интеграла вокруг дефекта. Его вели-

¹⁾e-mail: delev@anrb.ru

чина отлична от нуля и соответствует топологическо-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Кинк-антикинк взаимодействие в линейном дефекте электроконвективной структуры нематика

му заряду S = ±1. По сути, это есть ни что иное, как

и рождение их дипольных пар с противоположны-

определение вектора Бюргерса краевой дислокации

ми зарядами [27-30]. Однако ситуация коренным об-

в кристаллической решетке. При обходе несингуляр-

разом меняется, если экспериментально реализовать

ного дефекта контурный интеграл равен 0, т.к. коли-

случай линейного дефекта с достаточно протяжен-

чество доменов выше и ниже ядра одинаковое, что и

ным полем деформации или степенью “диссоциации”,

соответствует топологическому заряду S = 0 [12].

захватывающим 20-30 (и более) пар доменов, что

Следует отметить, что моделирование динамики

позволяет говорить о квазисвободном характере дви-

дислокаций в доменных структурах НЖК из пер-

жения дислокаций и, соответственно, в модельных

вых принципов является весьма сложной задачей

представлениях - солитонов. Здесь вопрос о влиянии

даже для современных суперкомпьютеров. Один из

границ снимается и становится задачей отдельного

подходов для решения этой проблемы связан с ам-

исследования об особенностях взаимодействия дви-

плитудным уравнением Гинзбурга-Ландау, которое

жущихся навстречу друг другу дислокаций с проти-

выводится из исходных уравнений электроконвек-

воположными зарядами, локализованных вдали от

ции НЖК [10, 14], а его коэффициенты определяют-

границ.

ся экспериментально [15]. Возможен и другой под-

Таким образом, целью данной работы являет-

ход, основанный на нелинейном дифференциальном

ся изучение особенностей динамики взаимодействия

уравнении sin-Гордона (УСГ), которое привлекает

двух дислокаций с противоположными топологиче-

все большее внимание исследователей, так как оно

скими зарядами, рождающихся на краях линейно-

применяется для все увеличивающегося числа физи-

го осциллирующего дефекта с достаточно протяжен-

ческих приложений [16-26].

ным полем деформации. В работе вначале экспери-

Так, относительно недавно было показано, что в

ментально исследуется динамика дислокаций в про-

закрученных на π/2 нематиках динамика осциллиру-

тяженном дефекте с сингулярным ядром. А затем,

ющего дефекта с нулевым топологическим зарядом

на основе полученных данных, предлагается модель

может быть описана решением УСГ в виде стоячего

для описания их взаимодействия.

бризера [27]. В последствии более детальное изуче-

Методика эксперимента. В качестве НЖК

ние свойств и внутренней осцилляционной динами-

использовался

4-n-метоксибензилиден-n-бутилани-

ки такого дефекта выявило ряд особенностей, обу-

лин (МББА), который помещался в ЖК-ячейку

словленных симметрией ЖК-системы. В частности,

между двумя стеклянными подложками с прово-

обнаружена асимметрия в полном периоде колеба-

дящим покрытием из SnO₂. Поверхность подложек

тельного процесса, которая в модели учитывается в

с электродами покрывалась слоем ориентанта

виде одномерного анизотропного трения. Показано,

полиимида AL1254 (JSR Corp., Japan), который

что асимметричная временная динамика осциллиру-

затем натирался в одном направлении для создания

ющего дефекта (или “бризера”) может быть описана

однородной планарной ориентации директора n.

в рамках возмущенного УСГ [28]. Изучено поведение

Толщина ЖК-ячейки размером

16 × 12 мм² за-

такого дефекта на “ловушке” - классической дисло-

давалась майларовыми прокладками d ≃ 20 мкм.

кации [29]. Обнаружено, что движение дислокации

После ее заполнения НЖК и формирования одно-

вдоль ядра дефекта является анизотропным по цик-

родной планарной ориентации верхняя подложка

лу колебательного процесса: в одном направлении

медленно поворачивалась относительно нижней по

имеет место ее регулярное движение, тогда как пе-

часовой стрелке на угол π/2, так что во всем слое

реход в исходное состояние происходит через распад

НЖК возникала однородно закрученная ориен-

бризера на дипольную пару дислокаций с противопо-

тация директора n. К ЖК-слою прикладывалось

ложными зарядами и их последующей аннигиляцией

переменное напряжение U с частотой fU = 30 Гц.

[29, 30].

Пороговое напряжение возникновения доменов

Важно отметить, что динамика структурных пре-

составляет U_c

= 5.6 В. При этом их ось перпен-

вращений в закрученных НЖК зависит от двух фак-

дикулярна ориентации директора n в середине

торов. Первый, это геликоидальные течения в одно-

слоя НЖК и составляет углы -45^◦ и 45^◦ соот-

мерных доменах и второй - пространственная протя-

ветственно, с ориентацией директора на верхней

женность деформационного поля линейного дефек-

и нижней подложках [30]. Доменные структуры

та или степень его пространственной “диссоциации”.

и их дефекты наблюдались в поляризационный

Ранее иccледовались дефекты со степенью “диссо-

микроскоп Axiolab (Zeiss, Germany), а их изобра-

циации” порядка 5-7 пар доменов, в результате че-

жения регистрировались видеокамерой VX44 (PCO

го возникали ограничения на движение дислокаций

Inc., Germany) с разрешением

720 × 576 пиксе-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

В.А.Делев, О.А.Скалдин, Э.С.Батыршин, В.Н.Назаров, Е.Г.Екомасов

лей и оцифровывались внешней платой Pinnacle

все изображения видеоряда I(x, y, t) и получены

700-USB (USA).

пространственно-временные зависимости амплитуд

Изображения электроконвективных структур

A_zig(x, y, t) и A_zag(x, y, t), которые затем были усред-

представляют собой пространственно периодические

нены по y в области ядра дефекта. Полученные

модуляции интенсивности прошедшего через ячейку

графики A_zig(x, t) и A_zag(x, t) были использованы

с НЖК света. Эти модуляции соответствуют раз-

для изучения динамики дислокаций в протяженном

личным модам, возбуждаемым в системе внешним

дефекте.

электрическим полем. В пороге электроконвекции

Результаты и обсуждения. Рассмотрим экспе-

возбуждаются гидродинамические вихревые моды,

риментальную ситуацию, когда в доменной струк-

которые и формируют изображение в виде тем-

туре нематика реализуется линейный дефект с про-

ных и светлых полос (рис. 1). Пространственное

тяженным ядром, включающем порядка 30 пар до-

менов. При напряжениях выше U_c = 5.6 В ядро де-

фекта становится нестационарным, что выражается

в последовательном переключении между состояни-

ями наклонных доменов “zig” и “zag”. При этом на

краях дефекта периодически рождается пара дисло-

каций, которые движутся навстречу друг другу.

На рисунке 2a представлена временная динамика

взаимодействия двух дислокаций с S = +1 и S = -1

(на рисунке они обведены кругами и напоминают

“вилки” вниз и вверх соответственно) в ядре протя-

женного дефекта. Здесь представлена часть такого

дефекта. Под изображениями доменной структуры

с дефектом показаны пространственные распределе-

Рис. 1. Изображение доменной структуры с протяжен-

ния величины A_zig(x, y, t) - A_zag(x, y, t), полученной

ным дефектом

при помощи техники пространственной демодуляции

[13, 31]. При этом “zig” моде (наклон влево) соответ-

распределение интенсивности I(x, y) в исходном

ствует светлая область, а “zag” состоянию (наклон

изображении структуры имеет явно выраженную

вправо) - темная область. Границы перехода темной

пространственную периодичность. Вертикальные

области в светлую (или светлой в темную) в демоду-

полосы соотвествуют стационарным доменам, а

лированных изображениях на рис. 2a указывают на

протяженный дефект представляется горизонталь-

локализацию дислокаций.

ной полосой, образованной наклонными доменами,

На рисунке 2b показаны простраственные рас-

которые в зависимости от угла наклона называ-

пределения разности амплитуд A_zig(x, t) - A_zag(x, t)

юся доменами

“zig” или

“zag” типа. Поскольку

в различные моменты времени. В данном случае

волновые векторы вертикальных и наклонных до-

на локализацию дислокаций указывают пересечения

менов явно различаются, то, используя двумерное

кривой на графике с нулевой горизонтальной осью

преобразование Фурье, можно достаточно легко

(рис. 2b). Заметим, что похожая динамика недавно

разделить их вклад в результирующее изображение

была обнаружена в экспериментальной работе [32]

структуры. На этом принципе основана техника

при исследовании движения и взаимодействия маг-

пространственной демодуляции

[13,

31], которая

нитных дислокаций в переменном магнитном по-

позволяет из исходного изображения периодиче-

ле. В нашем случае дислокация представляет со-

ской структуры I(x, y) получить пространственное

бой локально пространственный переход от наклон-

распределение амплитуды этой периодичности.

ных роллов одного типа “zig” к другому - “zag”, что,

Амплитуда, в данном случае, будет характеризовать

собственно, и определяет их знак или направление

размах интенсивности между темной и светлой

вектора Бюргерса, а также величину скачка фазы

полосами в изображении. Соответственно, равен-

Δφ = π.

ство нулю амплитуды указывает на отсутствие

Перейдем теперь к теоретическому анализу на-

периодической структуры. В данном случае нас

блюдаемых процессов. В закрученном на π/2 НЖК

интересовали амплитуды наклонных “zig” и “zag”

размер элементарной ячейки доменной структуры

доменов A_zig(x, y) и A_zag(x, y), характеризующих

определяется как d = 2λ, где λ поперечный раз-

дефект. Последовательно были демодулированы

мер одного домена, что связано с антипараллельно-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Кинк-антикинк взаимодействие в линейном дефекте электроконвективной структуры нематика

Для описания полученных экспериментальных

результатов можно использовать двухкинковое ре-

шение Перринга-Скирма уравнения (1) с нулевым

топологическим зарядом:

)

( sh(vτ/√1 - v2)

η = 4arctg

√

(2)

v ch(ξ/

1-v²)

Вследствие того, что в эксперименте наблюдают-

ся разные скорости движения дислокаций v₁ (слева)

и v₂ (справа) (см. рис.2b), для теоретического опи-

сания введем движущийся центр двухкинкового ре-

шения (2) ξ + |v₂ - v₁|τ.

На рисунке 3 построены зависимости вида двух-

кинкового решения уравнения (2) в различные мо-

менты времени. В численных расчетах использова-

лись экспериментально полученные значения безраз-

мерных скоростей движения дислокаций v₁ = 0.36 и

v₂ = 0.3, представляющих собой отношения абсолют-

ных скоростей движения дислокаций V₁ ≃ 180 мкм/с

и V₂

≃ 150 мкм/с при данном напряжении U

= 7.6 В к средней максимальной скорости их движе-

ния 〈V_max〉 ≃ 500 мкм/с при U = 10 В, при котором

доменная структура еще стационарна.

Рис. 2. Движение и взаимодействие двух дислокаций

Следует заметить, что на больших расстояниях

с топологическими зарядами S = +1 и S = -1 при

кинка и антикинка друг от друга можно исполь-

U = 7.6В в линейном дефекте с протяженным ядром

зовать два независимых решения, описывающих их

и соответствующие демодулированные изображения

движение навстречу друг другу с разными скоростя-

разности амплитуд наклонных доменов Azig(x, y, t) -

Azag(x, y, t). (а) - Интервал между кадрами Δt = 0.12 с.

ми v₁ и v₂, соответственно:

(b) - Разность амплитуд наклонных доменов Azig(x, t)-

(

))

( ξ+v₁τ

Azag(x, t) в ядре протяженного дефекта

η₁ = 4 arctg exp

√

(3)

1-v

стью аксиальных компонент скорости течения в со-

( (

))

ξ-v₂τ

седних доменах [11]. Уравнение движения для двой-

η₂ = 4 arctg exp

√

(4)

1-v²

ного домена в ядре дефекта после перехода к конти-

нуальному приближению имеет вид хорошо извест-

Анализ решений (3) и (4) для данной ситуации также

ного УСГ [27]:

показывает хорошее совпадение с кривыми на рис. 3.

∂²η

+ sinη = 0,

(1)

∂τ²

∂ξ²

где η

= πu/λ - нормированная функция сме-

щения, λ

поперечный размер одного домена;

√

ξ = x/(2λ

k) - нормированная координата,

= (λ/π)²(k^′/V^′0), k^′ - константа взаимодействия со-

седних доменов, V^′0 энергия, приходящаяся на еди-

√

ницу длины сдвоенного домена; τ = (π/λ)

V ′0/m^′t -

Рис. 3. Теоретические зависимости кинк-антикинк вза-

нормированное время, m^′ = m/l - удельная масса

имодействия в различные моменты времени

двойного домена, l - длина двойного домена. Под

смещением наклонных доменов (переход “zig” в “zag”

Сравнение теоретических зависимостей, описы-

и наоборот) понимается процесс движения дислока-

вающих временную эволюцию решения Перринга-

ций вдоль ядра протяженного дефекта.

Скирма (2) (рис. 3) с экспериментальными кривыми

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

В.А.Делев, О.А.Скалдин, Э.С.Батыршин, В.Н.Назаров, Е.Г.Екомасов

на рис. 2b показывает хорошую качественную кор-

13.

V. A. Delev, E. S. Batyrshin, O. A. Scaldin,

реляцию полученных данных, что позволяет сле-

Yu. A. Lebedev, and Yu. I. Timirov, Letters on

лать следующее утверждение: столкновение дисло-

Materials 5, 376 (2015).

каций с противоположными топологическими заря-

14.

E. Bodenschatz, W. Zimmermann, and L. Kramer, J.

дами (рис. 2a) хорошо описывается двухкинковым

Phys. France 49, 1875 (1988).

решением (2) УСГ (1).

15.

S. Rasenat, V. Steinberg, and I. Rehberg, Phys. Rev. A

Заключение. Таким образом, в данной рабо-

42, 5998 (1990).

те исследована пространственно-временная динами-

16.

O. M. Braun and Yu.S. Kivshar, The Frenkel-Kontorova

ка дислокаций в сингулярном дефекте с достаточно

Model: Concepts, Methods, and Applications, Springer,

Berlin (2004).

протяженным полем деформации, образующимся в

доменной структуре закрученного на π/2 НЖК.

17.

T. Dauxois and M. Peyrard, Physics of solitons,

Cambridge University Press, N.Y. (2010).

Показано, что столкновение дислокаций с проти-

воположными топологическими зарядами и движу-

18.

J. Cuevas-Maraver, P. G. Kevrekidis, and F. Williams

(editors), The Sine-Gordon Model and its Applications.

щихся с разными скоростями навстречу друг другу

From Pendula and Josephson Junctions to Gravity

можно рассматривать как связанное состояние кин-

and High-energy Physics, Springer, Heidelberg, N.Y.,

ка и антикинка УСГ.

Dordreht, London (2014).

Е.Г. Екомасов благодарен Правительству РФ

19.

M. A. Шамсутдинов, И. Ю. Ломакина, В. Н. Наза-

за поддержку работы (Постановление

#211

от

ров, А. Т. Харисов, Д. M. Шамсутдинов, Ферро- и ан-

16.03.2013 г., Соглашение

#02.A03.21.0011). В

тиферромагнитодинамика. Нелинейные колебания,

экспериментальных исследованиях использовалось

волны и солитоны, Наука, М. (2009).

оборудование Центра коллективного пользования

20.

E. G. Ekomasov, R. R. Murtazin, and V. N. Nazarov,

“Спектр” ИФМК УФИЦ РАН и Регионального цен-

JMMM 385, 217 (2015).

тра коллективного пользования “Агидель”. Работа

21.

B. Malomed, L. Torner, F. Wise, and D. Mihalache, J.

выполнена в рамках госзадания # 246-2018-0012.

Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 49, 170502 (2016).

22.

S. P. Yukon and B. A. Malomed, J. Math. Phys. 56,

091509 (2015).

1. M. Kleman, Points, Lines and Walls in Liquid Crystals,

23.

A. M. Гумеров, E. Г. Екомасов, Р. Р. Муртазин,

Magnetic Systems and Various Ordered Media, John

Wiley & Sons, Chichester (1983).

В. Н. Назаров, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 55,

631 (2015).

2. М. В. Курик, О. Д. Лаврентович, УФН

154,

381

(1988).

24.

E. Г. Екомасов, A. M. Гумеров, Р. В. Кудрявцев,

Письма в ЖЭТФ 101, 935 (2015).

3. P. G. de Gennes and J. Prost, The Physics of Liquid

Crystals, Clarendon, Oxford (1994).

25.

E. G. Ekomasov, A. M. Gumerov, and R. R. Murtazin,

Math. Meth. Appl. Sci. 40, 6178 (2017).

4. O. D. Lavrentovich, P. Pasini, С. Zannoni, and

S. Zumer (editors), Defects in Liquid Crystals:

26.

E. G. Ekomasov, A. M. Gumerov, and R. V.

Computer Simulations, Theory and Experiments,

Kudryavtsev, J. Comput. Appl. Math.

312,

198

Kluwer Academic Publishers, The Netherlands (2001).

(2017).

5. П. В. Долганов, В. М. Жилин, В. К. Долганов, Е. И.

27.

О. А. Скалдин, В. А. Делев, Е. С. Шиховцева,

Кац, Письма в ЖЭТФ 89, 181 (2009).

Э. С. Батыршин, Ю. А. Лебедев, Письма в ЖЭТФ

93, 431 (2011).

6. О. А. Скалдин, Ю. И. Тимиров, Письма в ЖЭТФ 90,

699 (2009).

28.

О. А. Скалдин, В. А. Делев, Е. С. Шиховцева, Письма

7. Е. Г. Екомасов, Р. Р. Муртазин, В. Н. Назаров, ФММ

в ЖЭТФ 97, 98 (2013).

115, 125 (2014).

29.

О. А. Скалдин, В. А. Делев, Е. С. Шиховцева,

8. С. А. Пикин, Структурные превращения в жидких

Ю. А. Лебедев, Э. С. Батыршин, Письма в ЖЭТФ

кристаллах, Наука, М. (1981).

100, 181 (2014).

9. A. Weber, E. Bodenschatz, and L. Kramer, Adv. Mater.

30.

О. А. Скалдин, В. А. Делев, Е. С. Шиховцева,

3, 191 (1991).

Ю. А. Лебедев, Э. С. Батыршин, ЖЭТФ 148, 1232

(2015).

10. A. Buka and L. Kramer (editors), Pattern Formation in

Liquid Crystals, Springer-Verlag, N.Y. (1996).

31.

M. Dennin, D. S. Cannell, and G. Ahlers, Phys. Rev. E

57, 638 (1998).

11. A. Hertrich, A. P. Krekhov, and O. A. Scaldin, J. Phys.

II (France) 4, 239 (1994).

32.

L. A. Pamyatnykh, B. N. Filippov, L. Y. Agafonov, and

M. S. Lysov, Sci. Rep. 7, 18084 (2017).

12. O. A. Скалдин, Г. Р. Якупова, В. A. Делев, Ю. A. Ле-

бедев, А. А. Назаров, ФТТ 47, 362 (2005).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019