Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 2, с. 118 - 123

Гетероструктуры Cr-содержащая ферромагнитная пленка -

топологический изолятор, как перспективные материалы для

реализации квантового аномального эффекта Холла

Е. К. Петров^+∗, И. В. Силкин⁺¹⁾, Т. В. Меньщикова⁺, Е. В. Чулков^∗×◦

⁺Томский Государственный Университет, 634050 Томск, Россия

^∗Санкт-Петербургский Государственный Университет, 198504 С.-Петербург, Россия

^×Donostia International Physics Center (DIPC), 20018 San Sebastián/Donostia, Basque Country, Spain

^◦Departamento de Fısica de Materiales UPV/EHU, Centro de F´ısica de Materiales CFM-MPC and Centro Mixto CSIC-UPV/EHU,

20080 San Sebastián/Donostia, Basque Country, Spain

Поступила в редакцию 6 Ноября 2018 г.

После переработки 21 ноября 2018 г.

Принята к публикации 21 ноября 2018 г.

В настоящей работе мы представляем результаты теоретического исследования двух гетерострук-

тур, состоящих из подложки топологического изолятора Bi2Se3 и тонкой пленки ферромагнитного изо-

лятора CrI3 или CrBi2Se4. Рассчитанный электронный спектр свидетельствует о том, что в обеих ге-

тероструктурах реализуется квантовый аномальный эффект Холла, с величиной расщепления топо-

логического поверхностного состояния 19 и 92 мэВ для CrI3/Bi2Se3 и CrBi2Se4/Bi2Se3, соотвественно.

Показано, что основное влияние на величину энергетической щели оказывает степень локализации вол-

новой функции топологического состояния в ферромагнитной пленке, которая зависит от величины и

ширины интерфейсного барьера на границе раздела подложки и ферромагнитного материала. В слу-

чае системы CrBi2Se4/Bi2Se3 как величина, так и ширина барьера подобны таковым характеристикам

ван-дер-ваальсового барьера в объемном Bi2Se3.

DOI: 10.1134/S0370274X19020103

1. Введение. Революция в технологиях ближай-

В отличие от допирования магнитными атомами

шего будущего тесно связана с такими областями на-

поверхности [17, 18], поверхностной области [6, 19, 20]

уки как квантовые вычисления, спинтроника и элек-

или объема [4, 21, 22], а также эффекта магнитной

троника с низким энергопотреблением. Основными

близости [23, 24], наиболее оптимальными система-

объектами исследований в этих областях науки явля-

ми для реализации КАЭХ являются системы, в ко-

ются заряд и спин электрона, которые могут быть ис-

торых реализуется эффект магнитного продолжения

пользованы для генерации бездиссипативных спино-

[25-27], а именно, пленки топологических изолято-

вого и зарядового токов на краю двумерных систем,

ров (ТИ) в контакте с тонкой пленкой ферромагнит-

находящихся в фазе квантового спинового эффекта

ных изоляторов, что приводит к формированию раз-

Холла или квантового аномального эффекта Холла

личных гетероструктур с нетривиальной топологией

(КАЭХ) [1-7]. При этом в системах, демонстрирую-

(магнитный топологический изолятор) [25, 26]. При

щих КАЭХ, также возможен эффект топологической

этом, в таких системах возможно наблюдение целого

сверхпроводимости, который связан с возможностью

ряда фундаментальных явлений, одним из которых

создания твердотельных аналогов фермионов Майо-

является топологический магнитоэлектрический эф-

раны [8], которые могут стать основой квантовых вы-

фект [28, 29, 30] вместе с его прямыми следствия-

числений будущего. Несмотря на то, что КАЭХ пред-

ми - магнитным монополем изображения, топологи-

ставляет собой, в том числе, идеальную платформу

ческими эффектами Керра и Фарадея [8]. Кроме то-

для создания моно- и многоканальных соединитель-

го, тонкие пленки магнитного топологического изо-

ных устройств для интегральных схем [9-11], реали-

лятора могут быть прозрачными (абсолютно непро-

зовать этот эффект при температурах выше 2 K пока

зрачными) для перпендикулярно падающего света в

не удалось [12-16].

отсутствие (при наличии) внешнего магнитного по-

ля, что делает возможным их использование для со-

¹⁾e-mail: igor_silkin83@mail.ru

здания амплитудных модуляторов и также датчиков

118

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Гетероструктуры Cr-содержащая ферромагнитная пленка - топологический изолятор . . .

119

магнитного поля [31]. Поэтому, на данный момент,

ющая избежать появления тривиальных поверхност-

поиск и исследование различных гетероструктур с

ных состояний Шоклиевского или Таммовского ти-

нетривиальной топологией является особенно акту-

па, а также определенное соотношение работы выхо-

альным направлением.

да подложки и магнитной пленки, обуславливающее

В данном письме мы представляем результаты

встраивание объемной щели подложки в щель маг-

первопринципных исследований электронной струк-

нитной пленки. В качестве магнитных пленок были

туры систем, состоящих из подложки Bi₂Se₃ и тон-

выбраны структурные блоки CrI₃ и CrBi₂Se₄ тол-

ких пленок, содержащих атомы Cr. Мы предсказы-

щиной три и семь атомных слоев, соответственно

ваем, что исследуемые гетероструктры CrI₃/Bi₂Se₃

(рис. 1c, d).

и CrBi₂Se₄/Bi₂Se₃ находятся в фазе КАЭХ с вели-

Соединение CrI₃ кристаллизуется в BiI₃-подобной

чиной расщепления топологического состояния 19

структуре (пространственная группа P3112) и состо-

и 92 мэВ соответственно. На примере этих гетеро-

ит из чередующихся трехслойных блоков (TL), раз-

структур мы показываем, что основное влияние на

деленных ван-дер-ваальсовыми промежутками [32].

величину энергетической щели оказывает степень

В недавней экспериментальной работе было обнару-

локализации волновой функции топологического со-

жено, что один TL CrI₃ является ферромагнитной

стояния в магнитной пленке, которая напрямую за-

пленкой с температурой Кюри ∼ 45 K и осью легко-

висит от величины и ширины интерфейсного барьера

го намагничивания, направленной перпендикулярно

на границе раздела подложки и магнитной пленки.

к поверхности [32], что делает эту пленку идеальным

2. Результаты и обсуждение. В качестве под-

компонентом гетероструктур на основе ТИ. В TL

ложки для гетеростуктур был выбран один из наи-

атомы Cr образуют гексагональное кольцо, вокруг

более изученных топологических изоляторов Bi₂Se₃

которого располагаются атомы I, формируя слегка

(рис. 1a), характеризующийся одной из самых ши-

искаженный октаэдр (рис. 1b).

Тонкая пленка CrBi₂Se₄ изоструктурна недав-

но синтезированному семислойному блоку (SL)

MnBi₂Se₄

[27], где было экспериментально про-

демонстрировано

получение

гетероструктуры

MnBi₂Se₄/Bi₂Se₃ путем осаждения атомов мар-

ганца и селена на поверхность Bi₂Se₃ с помощью

молекулярно-лучевой эпитаксии. Было обнаружено,

что в результате такого осаждения атомы Mn и Se

диффундируют в центр пятислойного блока приводя

к спонтанному формированию хорошо упорядочен-

ного гексагонального семислойного блока MnBi₂Se₄,

представляющего собой пятислойный блок Bi₂Se₃

со вставленным в центр бислоем MnSe. Подобная

процедура роста может быть также использована

для получения многослойных структур, включаю-

щих другие монохалькогениды, в частности, CrSe

Рис. 1. (Цветной онлайн) Кристаллическая структура

[33], который имеет идентичную кристаллическую

соединения Bi2Se3 (a), объемного кристалла CrI3 (b),

структуру с MnSe [34, 35].

гетероструктур CrI3/Bi2Se3 (c) и CrBi2Se4/Bi2Se3 (d)

В случае соединения CrBi₂Se₄ мы теоретически

роких запрещеных щелей ∼ 300 мэВ в электронном

рассмотрели возможность формирования семислой-

спектре объемного материала (рис. 2a). Как видно из

ного блока путем сравнения полных энергий двух

рис. 2a, бесщелевое поверхностное состояние (конус

конфигураций: бислой CrSe на поверхности пяти-

Дирака) изотропно по k_||, а точка Дирака находится

слойного блока Bi₂Se₃ и внутри него. Анализ пока-

вблизи потолка валентной зоны.

зал, что вторая конфигурация (бислой CrSe внутри)

Подбор полупроводниковых магнитных пленок

выгоднее по энергии на 745 мэВ. Кроме этого, элек-

осуществлялся на основе следующих критериев: бли-

тронная структура семислойного блока представляет

зость в параметрах решеток, что позволяет суще-

собой тривиальный полупроводник с шириной щели

ственно упростить выращивание пленки на поверх-

∼ 325 мэВ. Исследование магнитной структуры по-

ности ТИ методом молекулярно-лучевой эпитаксии;

казало, что данная пленка характеризуется внутри-

химическая инертность магнитных пленок, позволя-

слоевым ферромагнетизмом, а выигрыш в направ-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

120

Е. К. Петров, И. В. Силкин, Т. В. Меньщикова, Е. В. Чулков

Рис. 2. (Цветной онлайн) Зонная структура поверхности Bi2Se3 (a) и гетероструктур CrI3/Bi2Se3 (b) и CrBi2Se4/Bi2Se3

(c). Черными линиями показан энергетический спектр рассчитанных пленок. Темно-зеленым цветом показаны проек-

ции объемных состояний Bi2Se3 на двумерную зону Бриллюэна. Во вставках цветом показана спиновая текстура зон

вблизи уровня Ферми. Толщина цветной линии пропорциональна величине соответствующей проекции спина

лении магнитных моментов атомов Cr перпендику-

нительно небольшого расщеления топологического

лярно гексагональной плоскости (0001) составляет

состояния. Отметим, что такая ситуация характер-

∼ 30 мэВ, что делает данную пленку особенно при-

на для так называемого эффекта магнитной бли-

влекательной для создания гетероструктур на основе

зости, при котором магнитноупорядоченная система

ТИ.

индуцирует конечную намагниченность в немагнит-

Осаждение магнитной пленки CrI₃ на поверх-

ной системе за счет взаимодействия через интерфейс

(границу раздела) [23].

ность Bi₂Se₃ приводит к модификации электронной

структуры поверхности Bi₂Se₃ (рис.2b). Как видно

В случае гетероструктуры CrBi₂Se₄/Bi₂Se₃ реа-

из рис. 2b, в топологическом состоянии образуется

лизуется иной сценарий, именуемый магнитное про-

энергетическая щель ∼ 19 мэВ, что является прямым

должение [25, 26]. Наличие семислойного ферромаг-

свидетельством существования КАЭХ. При этом, в

нитного блока CrBi₂Se₄ на поверхности Bi₂Se₃ приво-

объемной щели выше уровня Ферми формируют-

дит к существенному перераспределению зарядовой

ся d-состояния Cr пересекающие IIc зону, образую-

плотности топологического состояния в область маг-

щую верхнюю половину расщепленного конуса Ди-

нитной пленки (рис. 3e). Результатом этого является

рака. Возникновение щели в топологическом состоя-

открытие щели в конусе Дирака величиной 92 мэВ.

нии связано с поведением квадрата модуля одноэлек-

Отметим, что размер данной щели превышает ранее

тронной волновой функций |ψ(z)|² топологического

предсказанные теоретические значения для гетеро-

поверхностного состояния. Так, в случае отсутствия

структур, в которых наблюдается КАЭХ, в том чис-

магнитной пленки на поверхности Bi₂Se₃, тополо-

ле и для соединений с Mn халькогенидами [26, 27].

гическое состояние практически полностью (∼ 70 %)

Cтоит подчеркнуть, что в случае гетероструктуры

локализуется в верхнем пятислойном блоке (рис. 3a).

CrBi₂Se₄/Bi₂Se₃ тривиальные d-состояния атомов Cr

Нанесение магнитной пленки индуцирует перерас-

не появляются в объемной щели Bi₂Se₃.

пределение зарядовой плотности в приповерхност-

Разница в величине расщепления конуса Дира-

ной области. В случае гетероструктуры CrI₃/Bi₂Se₃

ка в гетероструктурах CrI₃/Bi₂Se₃ и CrBi₂Se₄/Bi₂Se₃

расщепленное поверхностное состояние преимуще-

напрямую связана с кристаллической структурой ин-

ственно распределяется по двум структурным бло-

терфейса и химическим различием двух подсистем и,

кам: в осажденной пленке CrI₃, в которой нарушена

как следствие, с поведением потенциала на границе

симметрия обращения времени за счет намагничен-

раздела ферромагнитной пленки и подложки. Так, в

ности атомного слоя Cr, и внешнем пятислойном бло-

случае CrI₃/Bi₂Se₃ ширина ван-дер-ваальсового про-

ке Bi₂Se₃. При этом, как видно из рис. 3c, лишь ма-

межутка между TL и приповерхностным пятислой-

лая часть зарядовой плотности локализуется в фер-

ным блоком Bi₂Se₃ на ∼ 20 % больше, чем в гетеро-

ромагнитной пленке, что является причиной срав-

структуре CrBi₂Se₄/Bi₂Se₃. Кроме того, на границе

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Гетероструктуры Cr-содержащая ферромагнитная пленка - топологический изолятор . . .

121

Рис. 3. (Цветной онлайн) Интегрированные в плоскости xy квадрат модуля волновой функции

|Ψ(z)|²

∫∫

|ψ|²(x, y, z) dxdy в точке

Γ и потенциал V (z) =

V (x,y, z) dxdy для соединений Bi2Se3 (a, b), гетероструктур

CrI3/Bi2Se3 (c), (d) и CrBi2Se4/Bi2Se3 (e), (f). Зеленой линией на панели (a) обозначена зарядовая плотность тополо-

гического состояния в точке Дирака. На панелях (c), (e) красными и синими линиями обозначены |Ψ(z)|², рассчитанные

для состояний потолка валентной зоны Ib, Ic и для зоны проводимости IIb, IIc. Черными линиями на панелях (b), (d),

(f) показано поведение потенциала V (z)

раздела двух структурных блоков (ван-дер-ваальсов

должение (CrBi₂Se₄/Bi₂Se₃). Расчеты зонной струк-

промежуток между CrI₃ и Bi₂Se₃) наблюдается бо-

туры показали, что присутствие ферромагнитной

лее высокий максимум потенциала (рис. 3d, выделе-

пленки на поверхности топологического изолятора

но розовым кругом) в сравнении с другими областя-

приводит к расщеплению конуса Дирака и образо-

ми гетероструктуры, что свидетельствует о наличии

ванию энергетической щели величиной 19 и 92 мэВ,

дополнительного потенциального барьера. Оба фак-

соответственно. Показано, что величина расщепле-

тора, ширина ван-дер-ваальсовского промежутка и

ния конуса Дирака зависит от величины интерфейс-

дополнительный барьер, обусловливают малое про-

ного потенциала, который существенным образом

никновение топологического состояния в магнитную

влияет на локализацию топологического состояния.

пленку.

В случае гетероструктуры CrI₃/Bi₂Se₃ присутствует

В отличие от CrI₃/Bi₂Se₃, для гетерострукту-

дополнительный потенциальный барьер на границе

ры CrBi₂Se₄/Bi₂Se₃ характерна одинаковая величи-

раздела двух материалов, препятствующий проник-

на максимумов потенциала как на границе раздела

новению волновой функции топологического состоя-

двух материалов, так и между пятислойными бло-

ния в магнитную пленку. Напротив, в гетерострукту-

ками подложки (рис. 3f). Таким образом, изострук-

ре CrBi₂Se₄/Bi₂Se₃ дополнительный потенциальный

турность компонентов гетероструктуры и близость в

барьер на границе раздела отсутствует, что являет-

атомном составе приводят к формированию системы

ся основной причиной перераспределения топологи-

без дополнительных потенциальных барьеров.

ческого состояния в область CrBi₂Se₄. Обнаружен-

3. Заключение. По результатам проведенно-

ное значение величины энергетической щели в гете-

го исследования предложены две гетероструктуры

роструктуре CrBi₂Se₄/Bi₂Se₃ делает его перспектив-

в фазе КАЭХ, являющиеся представителями двух

ным кандидатом для наблюдения КАЭХ при более

подходов нарушения симметрии обращения времени:

высоких температурах и последующего использова-

магнитная близость (CrI₃/Bi₂Se₃) и магнитное про-

ния в современных технологиях.

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

122

Е. К. Петров, И. В. Силкин, Т. В. Меньщикова, Е. В. Чулков

4. Методы расчета. Расчеты проводились

тра Научного парка СПбГУ

“Вычислительный

при нулевой температуре в рамках формализма

центр”.

теории функционала электронной плотности (DFT)

методом проекционных плоских волн (PAW) [36],

C. L. Kane and E. J. Mele, Phys. Rev. Lett. 95, 146802

реализованным в программном пакете VASP [37-39].

(2005).

Обменно-корреляционные эффекты учитывались

B. A. Bernevig, T. L. Hughes, and S. C. Zhang, Science

в рамках обобщенного градиентного приближения

314, 1757 (2006).

[40]. В гамильтониан были включены скалярно-

M. König, S. Wiedmann, C. Brüne, A. Roth,

релятивистские поправки, спин-орбитальное взаи-

H. Buhmann, L. W. Molenkamp, X. L. Qi, and

модействие учитывалось по методу второй вариации

S. C. Zhang, Science 318, 766 (2007).

[41]. Для аккуратного описания взаимодействия

Y. L. Chen, J. H. Chu, J. G. Analytis, Z. K. Liu,

между ионами были учтены поправки на ван-

K. Igarashi, H. H. Kuo, Qi XL, S. K. Mo, R.G. Moore,

дер-ваальсово взаимодействие по методу DFT-D3

D. H. Lu, M. Hashimoto, T. Sasagawa, S. C. Zhang,

[42, 43]. Учет сильно коррелированного характера

I. R. Fisher, Z. Hussain, and Z. X. Shen, Science 329,

3d-состояний Cr был произведен при помощи метода

659 (2010).

GGA+U [44] в рамках схемы Дударева [45]. Значения

M. Z. Hasan and C. L. Kane, Rev. Mod. Phys. 82, 3045

параметра U были расчитаны методом линейного

(2010).

отклика [46] и составили 4.5 и 4.9 эВ для CrI₃ и

J. Henk, M. Flieger, I. V. Maznichenko, I. Mertig,

A. Ernst, S. V. Eremeev, and E. V. Chulkov, Phys. Rev.

CrBi₂Se₄

соответственно. Расчитанная величина

Lett. 109, 076801 (2012).

магнитного момента атомов Cr составила 3.718µ_B

S. V. Eremeev, G. Landolt, T. M. Menshchikova et al.

для CrI₃ и 3.959 µ_B для CrBi₂Se₄. Исследуемые гете-

(Collaboration), Nat. Commun. 3, 635 (2012).

роструктуры и поверхность Bi₂Se₃ симулировались

X. L. Qi and S.C. Zhang, Rev. Mod. Phys. 83, 1057

в модели повторяющихся пленок с вакуумными

(2011).

промежутками

12Å. Поверхность Bi₂Se₃ моде-

US Patent App. 13/312, 942 (2012).

лировалась пленкой толщиной

пятислойных

10.

Proc. of SPIE 8373, 837309 (2012).

блоков. Гетероструктуры строились с использова-

11.

US Patent App. US 14/447, 499 (2016).

нием симметричных пленок и представляли собой

12.

C. Z. Chang, J. Zhang, X. Feng et al. (Collaboration),

подложку Bi₂Se₃ толщиной 6 пятислойных блоков,

Science 340, 167 (2013).

на поверхности которых располагались магнитные

13.

J. G. Checkelsky, R. Yoshimi, A. Tsukazaki,

пленки толщиной три и семь атомных слоев для

K. S. Takahashi, Y. Kozuka, J. Falson, M. Kawasaki,

CrI₃/Bi₂Se₃ и CrBi₂Se₄/Bi₂Se₃ соответственно. В

and Y. Tokura, Nat. Phys. 10, 731 (2014).

случае CrI₃/Bi₂Se₃ была выбрана суперячейка

√

14.

X. Kou, S. T. Guo, Y. Fan, L. Pan, M. Lang, Y. Jiang,

[

3×

3]. Межплоскостные расстояния были опти-

Q. Shao, T. Nie, K. Murata, J. Tang, Y. Wang, L. He,

мизированы таким образом, чтобы действующие на

T. K. Lee, W. L. Lee, and K. L. Wang, Phys. Rev. Lett.

ионы силы не превышали 10^-2 эВ/Å.

113, 137201 (2014).

Работа выполнена при финансовой поддержке

15.

M. Mogi, R. Yoshimi, A. Tsukazaki, K. Yasuda,

РФФИ в рамках научного проекта # 18-32-00728

Y. Kozuka, K. S. Takahashi, M. Kawasaki, and

Y. Tokura, Appl. Phys. Lett. 107, 182401 (2015).

(исследование гетероструктуры CrBi₂Se₄/Bi₂Se₃), а

также при поддержке Министерства образования и

16.

C. Z. Chang, W. Zhao, D. Y. Kim, H. Zhang, B. A. Assaf,

D. Heiman, S.C. Zhang, C. Liu, M. H. W. Chan, and

науки Российской Федерации в рамках госзадания

J. S. Moodera, Nat. Mater. 14, 473 (2015).

#3.9003.2017/9.10 правительственной програм-

17.

Q. Liu, C. X. Liu, C. Xu, X. L. Qi, and S.C. Zhang,

мы “Мегагранты” (исследование гетероструктуры

Phys. Rev. Lett. 102, 156603 (2009).

CrI₃/Bi₂Se₃). Исследование кристаллической струк-

18.

V. N. Men’shov, V. V. Tugushev, and E. V. Chulkov,

туры и магнитного порядка гетероструктуры

JETP Lett. 94, 629 (2011).

CrI₃/Bi₂Se₃ было выполнено при поддержке про-

19.

J. Henk, A. Ernst, S. V. Eremeev, E. V. Chulkov,

граммы “Научный фонд им. Д.И. Менделеева” Том-

I. V. Maznichenko, and I. Mertig, Phys. Rev. Lett. 108,

ского Государственного Университета (# 8.1.01.2018)

206801 (2012).

и “гранта Санкт-Петербургского Государственного

20.

A. Polyakov, H. L. Meyerheim, E. D. Crozier,

Университета

(# 15.61.202.2015)”. Расчеты были

R. A. Gordon, K. Mohseni, S. Roy, A. Ernst,

выполнены на суперкомьютере SKIFCyberia Том-

M. G. Vergniory, X. Zubizarreta, M. M. Otrokov,

ского Государственного Университета, а также

E. V. Chulkov, and J. Kirschner, Phys. Rev. B 92,

с использованием оборудования ресурсного цен-

045423 (2015).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Гетероструктуры Cr-содержащая ферромагнитная пленка - топологический изолятор . . .

123

21.

M. G. Vergniory, M. M. Otrokov, D. Thonig,

32.

B. Huang, G. Clark, E. Navarro-Moratalla, D. R. Klein,

M. Hoffmann, I. V. Maznichenko, M. Geilhufe,

R. Cheng, K. L. Seyler, D. Zhong, E. Schmidgall,

X. Zubizarreta, S. Ostanin, A. Marmodoro, J. Henk,

M. A. McGuire, D. H. Cobden, W. Yao, D. Xiao,

W. Hergert, I. Mertig, E. V. Chulkov, and A. Ernst,

P. Jarillo-Herrero, and X. Xu, Nature 546, 270 (2017).

Phys. Rev. B 89, 165202 (2014).

33.

W. H. Xie, B. G. Liu, and D. Pettifor, Phys. Rev. B 68,

22.

I. Lee, C. K. Kim, J. Lee, S.J. L. Billinge, R. Zhong,

134407 (2003).

J. A. Schneeloch, T. Liu, T. Valla, J. M. Tranquada,

34.

H. Van der Heide, J. Sanchez, and C. van Bruggen, J.

G. Gu, and J. C. Séamus Davis, Proc. Natl. Acad. Sci.

Magn. Magn. Mater. 15, 1157 (1980).

112, 1316 (2015).

35.

I. T. Sines, R. Misra, P. Schiffer, and R. E. Schaak,

23.

S. V. Eremeev, V. N. Men’shov, V.V. Tugushev,

Angew. Chem. Int. Ed. 49, 4638 (2010).

P. M. Echenique, and E. V. Chulkov, Phys. Rev. B 88,

36.

P. E. Blöchl, Phys. Rev. B 50, 24, 17953 (1994).

144430 (2013).

24.

V.N. Men’shov, V. V. Tugushev, S. V. Eremeev,

37.

G. Kresse and J. Furthmüller, Comput. Mater. Sci. 6,

P. M. Echenique, and E. V. Chulkov, Phys. Rev. B 88,

15 (1996).

224401 (2013).

38.

G. Kresse and D. Joubert, Phys. Rev. B 59, 1758 (1998).

25.

M. M. Otrokov, T. V. Menshchikova, I. P. Rusinov,

39.

URL: http://www.vasp.at.

M. G. Vergniory, V. M. Kuznetsov, and E. V. Chulkov,

40.

J. P. Perdew, K. Burke, and M. Ernzerhof, Phys. Rev.

JETP Lett. 105, 297 (2017).

Lett. 77, 3865 (1996).

26.

M. M. Otrokov, T. V. Menshchikova, M. G. Vergniory,

41.

D. D. Koelling and B. N. Harmon, J. Phys. C 10, 3107

I. P. Rusinov, A.Yu. Vyazovskaya, Yu.M. Koroteev,

(1977).

G. Bihlmayer, A. Ernst, P. M. Echenique, A. Arnau, and

42.

S. Grimme, J. Antony, S. Ehrlich, and H. Krieg,

E. V. Chulkov, 2D Mater. 4, 025082 (2017).

J. Chem. Phys. 132, 154104 (2010).

27.

T. Hirahara, S. V. Eremeev, T. Shirasawa et al.

43.

S. Grimme, S. Ehrlich, and L. Goerigk, J. Comp. Chem.

(Collaboration), Nano Lett. 17, 3493 (2017).

32, 1456 (2011).

28.

X.L. Qi, T. L. Hughes, and S. C. Zhang, Phys. Rev. B

44.

V. I. Anisimov, J. Zaanen, and O. K. Andersen, Phys.

78, 195424 (2008).

Rev. B 44, 943 (1991).

29.

A.M. Essin, J. E. Moore, and D. Vanderbilt, Phys. Rev.

Lett. 102, 146805 (2009).

45.

S. L. Dudarev, G. A. Botton, S.Y. Savrasov,

C. J. Humphreys, and A. P. Sutton, Phys. Rev. B

30.

W. K. Tse and A. H. MacDonald, Phys. Rev. Lett. 105,

057401 (2010).

57, 1505 (1998).

31.

R. Li, J. Wang, X.L. Qi, and S. C. Zhang, Nat. Phys. 6,

46.

M. Cococcioni and S. De Gironcoli, Phys. Rev. B 71,

284 (2010).

035105 (2005).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019