Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 2, с. 124 - 128

Поглощение электромагнитных волн плазменными колебаниями в

неограниченном двумерном электронном газе в магнитном поле¹⁾

Д.А.Родионов²⁾, И.В.Загороднев

Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, 125009 Москва, Россия

Поступила в редакцию 4 октября 2018 г.

После переработки 21 ноября 2018 г.

Принята к публикации 21 ноября 2018 г.

Недавно были предсказаны новые слабозатухающие магнитоплазменные моды в неограниченной 2D

электронной системе. Можно ожидать, что если частота света при данном волновом векторе меньше

частоты магнитоплазменных колебаний, то последние должны проявляться в оптических коэффици-

ентах, например, в коэффициенте поглощения электромагнитных волн, падающих на 2D систему. Мы

проанализировали коэффициенты отражения, прохождения и поглощения электромагнитных волн, па-

дающих под некоторым углом к нормали на 2D электронную систему, проводимость которой имеет

друдевский вид с учетом диссипации и перпендикулярного к системе магнитного поля. Оказалось, что

все эти коэффициенты не имеют полюсов в окрестности магнитоплазменных волн, однако, зависимость

коэффициента поглощения от угла падения может иметь выраженный максимум, который возникает

вблизи предсказанных магнитоплазменных мод.

DOI: 10.1134/S0370274X19020115

Плазмоны в двумерных (2D) электронных систе-

[8, 9], либо в магнитном поле [10]. В последней рабо-

мах (ЭС) интересны своим законом дисперсии, за-

те проанализирован закон дисперсии таких плазмон-

висящим от геометрии структуры, магнитного поля

поляритонов в постоянном магнитном поле, ортого-

и возможностью непрерывной перестройки частоты

нальном плоскости 2D ЭС. Оказалось, что он суще-

за счет изменения концентрации носителей n с по-

ственно зависит от параметров системы, а именно, от

мощью напряжения на затворе. Это делает их пер-

времени релаксации, магнитного поля и проводимо-

спективными для применений в оптоэлектронике, в

сти. При определенных параметрах системы (в фа-

частности, в терагерцовом диапазоне частот [1-3]. В

зах S1 и S2) возникает новая высокодобротная мода,

неограниченной 2D ЭС без учета электромагнитно-

расположенная выше световой ветви. Однако, вопрос

го (ЭМ) запаздывания закон дисперсии длинновол-

о том, как данная мода может возбуждаться и про-

новых плазменных колебаний (плазмонов), т.е. зави-

являться, остался открытым.

симость частоты плазмона ω от его волнового век-

Можно было бы ожидать, что такие моды мо-

√

тора q, имеет вид ω (q) =

2πne²q/m и лежит ни-

гут проявляться в полюсах оптических коэффици-

же дисперсии света ω (q) = cq. Из законов сохране-

ентов, т.е. в отражении, прохождении и поглощении

ния энергии и импульса следует, что такие плазмоны

ЭМ волн, падающих на 2D ЭС. Однако, еще в рабо-

не могут возбуждаться плоской ЭМ волной, пада-

те [8] было замечено, что без учета магнитного поля

ющей на систему. Чтобы возбудить плазмоны, “под

плазмоны не проявляются в коэффициентах отраже-

световой веткой” используют металлические решет-

ния и прохождения, подобно тому как не проявляют-

ки [4], ближнепольную оптическую микроскопию [5],

ся поверхностные плазмон-поляритоны в схеме воз-

либо существенно ограниченные в размере образцы,

буждения типа Отто или Кречмана [11]. Оказалось,

например, в форме диска или полосы [6, 7]. Одна-

что такие плазмоны проявляются в коэффициенте

ко, даже в бесконечной 2D ЭС могут существовать

поглощения, приводя к резонансу в поглощении, но

плазменные моды, закон дисперсии которых лежит

не в зависимости коэффициента поглощения от час-

выше скорости света. Это возможно при учете ЭМ

тоты, а в его зависимости от угла наклона падающей

запаздывания в системах с высокой подвижностью

ЭМ волны. Другими словами, оптические коэффи-

циенты не имеют полюса на плазменных модах, и

поэтому резонанса по частоте не возникает, но при

¹⁾См. дополнительные материалы к данной статье на сайте

нашего журнала www.jetpletters.ac.ru

изменении угла падения ЭМ волн увеличение погло-

²⁾e-mail: rodionov.da@phystech.edu

щения все же происходит, когда частота и проекция

124

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Поглощение электромагнитных волн плазменными колебаниями...

125

волнового вектора света на плоскость 2D ЭС совпа-

ввести безразмерные параметры (частоты) Ω = ωτ,

дают с частотой света и соответствующим волновым

Ω_c = ω_cτ.

вектором плазмона. В данной работе мы покажем,

Используя приведенные формулы для проводи-

как это проявляется в зависимости поглощения ЭМ

мости, можно найти оптические коэффициенты. Так,

волн от частоты и проекции волнового вектора на

коэффициент поглощения для s-поляризации, в ко-

плоскость 2D ЭС.

торой вектор напряженности электрического поля

С практической точки зрения анализ поглощения

перпендикулярен плоскости падения, имеет вид:

ЭМ волн в 2D ЭС важен для создания идеальных фо-

тодетекторов, фотоэлементов и идеального поглоти-

2αsec θf(cosθ)

A_s=

теля [12, 13]. При этом анализ возбуждения плазмо-

f (cos θ)f(sec θ)-4(ΩΩ_c)²-(Ω_cα)²(cos θ- sec θ)²

(3)

нов обычно проводят для нормального падения ЭМ

где введена функция f(ξ) = (1 + αξ)² + Ω^2c + Ω², па-

волн [14-17].

Рассмотрим, следуя работам [18, 19] (см. также

раметр α =2πσ0c^{-безразмернаястатическаяпро-}

водимость в отсутствие магнитного поля, от кото-

дополнительный материал к данной статье), пада-

рой существенно зависит закон дисперсии и затуха-

ющую из вакуума под углом θ к нормали 2D ЭС

ние плазмонов [8, 10, 20]. Выражение для оптических

линейно-поляризованную ЭМ волну частоты ω. Ось

коэффициентов в p-поляризации получается заме-

z направим по нормали к системе, см. вставку на

ной cos θ ↔ sec θ из формул для коэффициентов в

рис. 1. Проводимость 2D ЭС будем описывать в рам-

s-поляризации.

В отсутствие магнитного поля знаменатель опти-

ческих коэффициентов определяется функцией f(ξ),

которая, как легко видеть, всюду положительна и,

значит, не имеет полюсов при действительных часто-

тах и углах падения. В комплексной плоскости час-

тот Ω полюса для s-поляризации определются усло-

вием Ω = ±i (1 + α cos θ), в то время как коэффи-

циент поглощения не имеет особенностей по частоте,

хотя имеет выраженный максимум в зависимости от

угла падения при

√

cosθ_s =

√

α≤

1+Ω².

(4)

1+Ω²

Таким образом, полюса оптических коэффициентов

Рис. 1. Зависимость коэффициента поглощения A от

угла падения θ в отсутствие магнитного поля при час-

не определяются плазменными модами, но они и не

тоте падающей ЭМ волны ωτ = 0.05 для s-поляризации

отвечают за максимум коэффициента поглощения

при параметре α

= 2πσ0/c = 0.2 (сплошная кри-

(здесь мы не обсуждаем циклотронный резонанс).

вая) и α = 2.2 (штриховая кривая), а также для p-

Зависимость коэффициента поглощения от угла

поляризации при α = 0.2 (пунктир) и α = 2.2 (штрих-

падения для различных значений параметра α пока-

пунктир). На вставке показана геометрия системы

зана на рис.1. Коэффициенты отражения и прохож-

дения монотонно зависят от угла падения и частоты

ках изотропной модели Друде с учетом конечного

ЭМ волны так, что максимум этих коэффициентов

времени релаксации τ и постоянного внешнего маг-

достигается только при нормальном падении. Мате-

нитного поля B, которое направлено перпендикуляр-

матически за возникновение максимума в поглоще-

но плоскости 2D ЭС:

нии отвечает и числитель и знаменатель в (3). Для

(1 - iωτ)σ₀

p-поляризации при α > 1 этот максимум связан с

σ_xx = σ_yy =

(1)

(1 - iωτ)² + ω^2cτ²

возбуждением плазмонов [8].

-ω_cτσ₀

Аналогично и в магнитном поле: можно показать,

σ_xy = -σ_yx =

(2)

что знаменатель (3) не имеет особенностей вблизи

(1 - iωτ)² + ω^2cτ²

магнитоплазменных резонансов из [10]. Вместе с тем

где σ₀ =ne2τm - статическая проводимость без маг-

возбуждение плазмонов происходит. На рисунке 2

нитного поля, имеющая размерность скорости в еди-

показан контурный график - зависимость коэффи-

ницах СГС, ω_c =^eBmc - циклотронная частота. Удобно

циента поглощения от угла падения и безразмерной

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

126

Д.А.Родионов, И.В.Загороднев

Рис. 2. (Цветной онлайн) Зависимость коэффициента поглощения A от угла падения θ и безразмерной частоты ωτ ,

падающей ЭМ волны на 2D ЭС, при циклотронной частоте ωcτ = 0.9 и параметре α = 0.8

Рис. 3. (Цветной онлайн) Зависимость коэффициента поглощения A от проекции волнового вектора падающей ЭM

волны на плоскость 2D ЭС, qcτ , и ее частоты ωτ при ωcτ = 0.9 и α = 0.8. Сплошные линии - спектр магнитоплазмона

из [10] при соответствующих параметрах (в S1-фазе)

частоты Ω для магнитного поля и проводимости, со-

частоты при фиксированном угле имеет монотонную

ответствующих фазе S1 из работы [10]. При выбран-

зависимость. Перестроим этот график в переменных

ных для построения рис. 2 параметрах циклотрон-

частоты и проекции волнового вектора ЭМ волны

ный резонанс отсутствует. На рисунке 2 видно, что

на плоскость 2D ЭС, q = ω sin θ/c, который по зако-

при любой фиксированной частоте света в зависи-

ну сохранения импульса совпадает с волновым век-

мости поглощения от угла имеется максимум, в то

тором плазмона (когда он возбуждается), см. рис.3.

время как зависимость коэффициента поглощения от

На этом же рисунке отложена зависимость частоты

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

Поглощение электромагнитных волн плазменными колебаниями...

127

Рис. 4. (Цветной онлайн) Зависимость коэффициента поглощения A от проекции волнового вектора падающей ЭM вол-

ны на плоскость 2D ЭС, qcτ, и ее частоты ωτ при ωcτ = 0.9 и α = 0.98. Сплошные линии - спектр магнитоплазмона

из [10] (в S2-фазе)

плазменных колебаний от волнового вектора, най-

Im(Ω) ≪ Re(Ω), т.е. затухание магнитоплазмона

денная в [10], которая соответствует максимуму ко-

мало, а, во-вторых, что ω sin θ_s = qc, где θ_s в точ-

эффициента поглощения, что свидетельствует о воз-

ности совпадает с (6). Таким образом, при низких

буждении соответствующих магнитплазмонных ко-

частотах максимум поглощения соответствует усло-

лебаний. Аналогичная ситуация возникает в S2 фазе,

вию возбуждения магнитоплазмона. Кроме того, лег-

см. рис. 4.

ко проверить, что максимальный угол соответствует

Проанализируем полученные зависимости при

углу, под которым направлен вектор Пойнтинга соб-

малых частотах Ω ≪ 1. “Максимальный” угол, θ_s,

ственных плазменных мод (см. дополнительный ма-

при котором достигается максимум поглощения (3),

териал).

при Ω_c ≪ 1 равен:

Наконец, обсудим вопрос о том, насколько выра-

[

]

жен максимум поглощения. Для этого найдем раз-

1 + 5α² + 3α⁴ - α⁶

cosθ_s = α 1-

Ω²

+ o(Ω^3c),

(5)

ность максимального значения поглощения и погло-

(1 + α²)⁴

щения при нормальном падении ΔA_s = A_s(θ_s) -

A_s(0) при малых частотах. Используя уравнение (5),

причем 1 + 5α² + 3α⁴ - α⁶ > 0 при α ∈ (0; 1) (т.е. в

в слабых магнитных полях найдем

S1 и S2 фазах). При Ω_c = 0 это также соответствует

[

]

(4). В пределе больших магнитных полей Ω_c ≫ 1+α²

2α

α²

ΔA_s ≈

Ω^2c.

находим:

(1 + α)

(1 + α)⁴

2 (1 + α²)²

(

)

α(1 + α²)

(7)

cosθ_s =

(6)

Ω^2c

Ω^4c

Ω⁵

Используя (6) в сильных магнитных полях, найдем

α(4 + α)

Таким образом, максимальный угол с ростом маг-

ΔA_s ≈

(8)

2Ω²

нитного поля увеличивается (как и частота, отвечаю-

щая точке обрыва спектра плазмона, рис.3) и в силь-

Значит, чем больше магнитное поле и чем меньше

ных магнитных полях приближается к π/2.

проводимость системы, тем более выражен макси-

Из анализа дисперсионного уравнения, описыва-

мум поглощения. Максимальное значение поглоще-

ющего магнитоплазменные колебания - уравнения

ния может достигать 50 %. В реальных структурах

(2), (B2) в [10] - в тех же пределах малых частот

эта величина может быть еще больше при наличии

Ω ≪ 1 и сильного магнитного поля Ω_c ≫ 1 (т.е. в фа-

экранирующей подложки (или затвора) и диэлектри-

зах S1 или S2) нетрудно получить, что, во-первых,

ческого волновода [13].

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019

128

Д.А.Родионов, И.В.Загороднев

Таким образом, мы показали, что предсказанные

D. A. Bandurin, D. Svintsov, I. Gayduchenko et al.

в работе [10] новые высокодобротные магнитоплаз-

(Collaboration), arxiv1807.04703 (2018).

моны, идущие выше дисперсии света, проявляются в

G. C. Dyer, G. R. Aizin, S. Preu, N. Q. Vinh, S. J. Allen,

коэффициенте поглощения плоской ЭМ волны даже

J. L. Reno, and E. A. Shaner, Phys. Rev. Lett. 109,

в системе с низкой проводимостью, когда 2πσ₀/c < 1

126803 (2012).

(в фазах S1 и S2). При этом все оптические коэффи-

O. V. Polischuk, D. V. Fateev, T. Otsuji, and

циенты (отражения, прохождения и поглощения) вне

V. V. Popov, Appl. Phys. Lett. 111, 081110 (2017).

циклотронного резонанса монотонно зависят от час-

A. Y. Nikitin, P. Alonso-González, S. Vélez, S. Mastel,

тоты. Коэффициенты прохождения и отражения, к

A. Centeno, A. Pesquera, A. Zurutuza, F. Casanova,

L. E. Hueso, F. H. L. Koppens, and R. Hillenbrand, Nat.

тому же, монотонно зависят от угла падения. Коэф-

Photonics 10, 239 (2016).

фициент прохождения для s-поляризации, в которой

V. M. Muravev, I. V. Andreev, S. I. Gubarev,

вектор напряженности электрического поля перпен-

V. N. Belyanin, and I. V. Kukushkin, Phys. Rev.

дикулярен плоскости падения, хотя и не имеет полю-

B 93, 041110 (2016).

сов в окрестности предсказанных магнитоплазмон-

V. M. Muravev, P. A. Gusikhin, I. V. Andreev, and

ных мод, имеет максимум в зависимости от угла па-

I. V. Kukushkin, Phys. Rev. Lett. 114, 106805 (2015).

дения ЭМ волны, возникающий из-за возбуждения

V. I. Fal’ko and D. E. Khmel’nitskii, ZhETF 95 1988

магнитоплазмонов. Угол, при котором достигается

(1989).

максимум поглощения, имеет наибольшее значение

А. В. Чаплик, Письма в ЖЭТФ 101, 602 (2015).

при малых частотах, когда ωτ ≪ 1. В слабых маг-

10.

V. A. Volkov and A. A. Zabolotnykh, Phys. Rev. B 94,

нитных полях, при ω_cτ ≪ 1, в соответствии с (5) он

165408 (2016).

определяется величиной 2πσ₀/c. С ростом магнитно-

11.

A. P. Vinogradov, A. V. Dorofeenko, A. A. Pukhov, and

го поля этот угол увеличивается и в сильных маг-

A. A. Lisyansky, Phys. Rev. B 97, 235407 (2018).

нитных полях, при ω_cτ ≫ 1, в соответствии с (6),

(

)

12.

E. F. C. Driessena and M. J. A. de Dood, Appl. Phys.

определяется выражением θ ≈ π/2 - 2πσ₀/

cω^2cτ²

Lett. 94, 171109 (2009).

При этом угле максимальное значение поглощения

13.

L. Zhu, F. Liu, H. Lin, J. Hu, Z. Yu, X. Wang, and

даже в уединенной 2D электронной системе (без уче-

Sh. Fan, Light Sci. Appl. 5, e16052 (2016).

та подложки и диэлектрика) может достигать 50 %.

14.

S. A. Mikhailov, Phys. Rev. B 70, 165311 (2004).

Выраженность максимума поглощения тем больше,

15.

S. A. Mikhailov, Phys. Rev. B 71, 035320 (2005).

чем больше магнитное поле и чем меньше проводи-

мость системы.

16.

V. V. Popov, O. V. Polischuk, T. V. Teperik,

X. G. Peralta, S. J. Allen, N.J. M. Horing, and

Работа выполнена при поддержке Россий-

M. C. Wanke, J. Appl. Phys. 94, 3556 (2003).

ского Научного Фонда, проект

#16-12-10411.

17.

V. V. Popov, A. N. Koudymov, M. Shur, and

Авторы выражают благодарность В.А. Волкову,

O. V. Polischuk, J. Appl. Phys. 104, 024508 (2008).

А.А. Заболотных и В.В. Еналдиеву за ценные обсуж-

18.

W.-K. Tse and A. H. MacDonald, Phys. Rev. B 84,

дения и замечания.

205327 (2011).

19.

M. Bordag, I. Fialkovsky, and D. Vassilevich, Phys. Lett.

1. V. M. Muravev and I. V. Kukushkin, Appl. Phys. Lett.

A 381, 2439 (2017).

100, 082102 (2012).

20.

А. О. Говоров, А.В. Чаплик, ЖЭТФ 95, 1976 (1989).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 1 - 2

2019