Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 11, с. 723 - 728

О возможности сильного аномального поглощения СВЧ волн

в экспериментах по электронному циклотронному нагреву плазмы

на второй гармонике резонанса

Е. З. Гусаков, А. Ю. Попов¹⁾

Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе РАН, 194021 C.-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 20 марта 2019 г.

После переработки 21 апреля 2019 г.

Принята к публикации 25 апреля 2019 г.

Показано, что в результате насыщения низкопороговой двухплазмонной распадной неустойчивости

пучка сверхвысокочастотных волн больше двух третей мощности накачки может передаваться верх-

негибридным волнам, локализованным в окрестности локального максимума плотности плазмы. Этот

нелинейный эффект может приводить к существенному изменению профиля выделения энергии при

электронном циклотронном резонансном нагреве плазмы в тороидальных ловушках и таким образом

объяснять его значительное уширение, часто наблюдающееся в экспериментах.

DOI: 10.1134/S0370274X19110018

Введение. Электронный циклотронный резо-

возбуждению локализованных дочерних волн, для

нансный нагрев (ЭЦРН) плазмы широко использует-

которых полностью подавлен конвективный вынос

ся в современных тороидальных установках и плани-

энергии из области распада, что приводит к значи-

руется для использования в токамаке-реакторе ITER

тельному снижению порога возбуждения ПРН вол-

для контроля развития неоклассической тиринг-

ны накачки. В работах последних лет был опреде-

неустойчивости. Концепция этого метода базирует-

лен наиболее опасный сценарий развития ПРН, -

ся на представлении, подтвержденном теорией [1, 2],

распад накачки на две верхнегибридных (ВГ) вол-

о предсказуемости распространения пучков сверхвы-

ны, - и механизмы насыщения этой неустойчивости

сокочастотных (СВЧ) волн и локальности их погло-

[9-13]. Развитая теоретическая модель низкопорого-

щения в окрестности электронного циклотронного

вой ПРН [9,10] позволила: 1) интерпретировать ано-

(ЭЦ) резонанса. Однако в последнее время в экспери-

мальное рассеяние накачки как результат вторично-

ментах по СВЧ нагреву было отмечено аномальное

го нелинейного процесса слияния различных дочер-

рассеяние волны накачки со сдвигом частоты [3-5] и

них ВГ волн [11] и воспроизвести эксперименталь-

обнаружено ускорение ионов плазмы [6,7]. Эти яв-

ные спектр излучения и радиационную температуру

ления не находили объяснения в рамках как линей-

[3, 4]; 2) объяснить ускорение ионов [6,7] как след-

ной теории, так и существовавших сценариев пара-

ствие нелинейной перекачки мощности накачки в

метрического распада СВЧ волн, базировавшихся на

низкочастотные ионные моды, происходящей при на-

анализе параметрических процессов в плазме с моно-

сыщении первичной неустойчивости каскадом после-

тонными профилями плотности и магнитного поля

дующих низкопороговых распадов ВГ волн на запер-

и предсказывавших крайне высокие пороги возбуж-

тые в плазме ВГ волны и ионные бернштейновские

дения параметрических распадных неустойчивостей

(ИБ) волны. Однако эта модель не объясняет значи-

(ПРН). Между тем, эти аномальные явления наблю-

тельное уширение профиля выделения энергии при

дались при немонотонном профиле плотности плаз-

ЭЦРН, наблюдаемое в ряде экспериментов [14, 15],

мы, причиной формирования которого служили ли-

так как насыщение ПРН каскадом вторичных распа-

бо конвективный вынос плазмы из области мощного

дов [11, 12] обеспечивает хоть и заметный (5-20 %), но

ЭЦ нагрева [6], либо особенности удержания плаз-

не достаточный для объяснения уровень аномально-

мы в магнитном острове [8], что не учитывалось в

го поглощения волны накачки. Соответственно, при

ранних теоретических работах [1, 2]. Наличие немо-

развитии ПРН не происходит существенного истоще-

нотонного профиля плотности может приводить к

ния волны накачки [13]. Отметим, что при сравнении

теоретических предсказаний с экспериментом в си-

лу случайных обстоятельств рассмотрение проводи-

¹⁾e-mail: a.popov@mail.ioffe.ru

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

723

724

Е. З. Гусаков, А. Ю. Попов

лось для параметров разряда, при которых насыще-

вой переменной, z и y - координатами вдоль магнит-

ние первичной ПРН происходит в результате нечет-

ной силовой линии и перпендикулярно к ней на маг-

ного числа (1 или 3) вторичных распадов [11], что,

нитной поверхности, соответственно. Рассмотрим па-

на первый взгляд, не должно влиять на процесс и

раметрическую распадную неустойчивость, развива-

уровень насыщения. В настоящей работе мы впервые

ющуюся под действием пучка необыкновенных волн

покажем (аналитически и численно), что при четном

√

числе вторичных распадов система уравнений, опи-

e₀E₀(r)

ω₀/(ck_x(x)) ×

сывающая нелинейное взаимодействие волн, не име-

( ∫_x

)

ет стационарного решения и насыщение неустойчи-

вости достигается в результате истощения накачки

× exp i

k_x(ω₀, k_z, x^′)dx^′ - iω₀t

+ c.c.,

(1)

−∞

на значительно более высоком уровне, чем при нечет-

ном числе вторичных распадов. Это приводит к зна-

который имеет вектор поляризации e₀ = -ie_xg/ε +

√

чительному (более 60 %) аномальному поглощению

+e_y, волновой вектор k_x = ω₀/c

ε - g²/ε (ε, g - ком-

накачки дочерними ВГ волнами и выделению СВЧ

поненты тензора диэлектрической проницаемости в

мощности в тех областях плазмы, которые отлича-

модели холодной плазмы) и начальное распределе-

√

ются от предсказываемых линейной теорией. Таким

ние E₀|_x→-∞ =

8P₀/(cw²)exp(-(y² + z²)/(2w²)),

образом, найденный сценарий насыщения низкопо-

где P₀, w - мощность пучка и его радиус. Разви-

роговой ПРН может быть использован для объясне-

тие низкопороговой неустойчивости двухплазмонно-

ния сильного отличия (уширения) от теоретически

го распада описывается системой уравнений, связы-

предсказываемого профиля выделения энергии, на-

вающих амплитуды дочерних ВГ волн [9]

блюдавшегося при ЭЦРН в тороидальных установ-

∂a₁

∂²a₁

ках [14, 15].

+ iΛ₁

= ν^∗p(y, z)b₁;

∂t

∂z²

Низкопороговая двухплазмонная неустой-

(2)

чивость волны накачки. Мы проиллюстрируем

∂b₁

∂²b1

- iΛ₁

= ν_p(y, z)a₁,

обнаруженный эффект, используя параметры, ти-

∂t

∂z²

пичные для экспериментов по ЭЦ нагреву (пучок

где a₁, b₁ - амплитуды первичных ВГ волн, локали-

необыкновенных волн в экваториальной плоскости

зованных в окрестности локального максимума про-

установки, вторая гармоника ЭЦ резонанса) на то-

филя ВГ частоты (моды m₁ = n₁ = 6) и распростра-

камаке TEXTOR, целью которых было изучение воз-

няющихся в противоположных направлениях, кото-

можности контроля тиринг неустойчивости [3, 4]. Из-

рые нормированы на плотность энергии, измеряе-

мерения с помощью Томсоновской диагностики на

мой в T_e/(πw²); Λ₁ - коэффициенты дифракции волн

этой установке [8] показали немонотонный характер

вдоль магнитного поля, усредненные по области ло-

профиля плотности в магнитном острове, с локаль-

кализации,

ным максимумом в O-точке этой магнитной структу-

ры. Эти измерения также продемонстрировали, что в

3E₀|_x→-∞ |ω_ce|²

процессе полоидального вращения ширина и макси-

ν_p = i

ω₀

мум возмущения плотности в экваториальной плос-

√

кости, где распространяется СВЧ волна, меняются.

∫

∞

( ∫_x

)

k_x(x)c

На рисунке 1 приведен профиль ВГ частоты в один

× dx

|φ_m(x)|² exp i

k_x(x′′)dx′′

ω₀

-∞

из моментов времени и все соответствующие ему дис-

-∞

персионные кривые дочерних ВГ собственных мод,

- коэффициент нелинейной связи;

запертых в окрестности максимума и имеющих ча-

)

стоту, меньшую или равную половине частоты волны

( ∫_x

накачки (T_e = 500 эВ, H₀ = 1.8 Т). Волновые числа

φ_m(x) = L^+m(x)^-1/2 exp i

q^+x(ξ)dξ - iπ/4

первичных волн, частоты которых равны половине

x_l(m)

частоты волны накачки и соответствуют собственной

)

( ∫_x

частоте моды m₁ = n₁ = 6, показаны сплошными ли-

+ L^-m(x)^-1/2 exp i

q^-x(ξ)dξ + iπ/4

(3)

ниями. Поскольку в неоднородной плазме ПРН воз-

x_l(m)

буждается в узком слое вокруг точки, где выполнены

распадные условия, введем декартову систему коор-

- собственные функции, найденные в ВКБ прибли-

динат (x, y, z) с центром в точке, соответствующей

жении; q^±x - волновой вектор ВГ волны при q_z =

∫_x

r (m)

максимуму профиля ВГ частоты, x является потоко-

= 0, L^±m(x) = |q±x (x)|

dξ(|q^+x(ξ)|^-1 + |q^-x(ξ)|^-1),

xr(m)

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

О возможности сильного аномального поглощения СВЧ волн в экспериментах...

725

q^±x = q^±x(ω_m). Выбор q_z = 0 позволяет искать ре-

(штрих-пунктирные линии). Третий распад ведет к

шение, для которого вынос вдоль магнитного по-

возбуждению незапертой дочерней верхнегибридной

ля минимален. Волновой вектор q_y

= q_y(m) яв-

волны (штрих-пунктир-пунктирная линия). Порог

∫xr(m)

ляется решением уравнения

(q^+x(ω₀/2, q_.y, ξ) -

ее возбуждения много больше, чем у предыдущих

x_l(m)

распадов. Поскольку он не может быть превзойден -

q^-x(ω₀/2, q_.y, ξ))dξ = π(2m + 1), где x_l,r(m) - точки

это обрывает цепочку вторичных распадов. Разница

поворота волны в потенциальной яме. В (2) мы пре-

частот двух ближайших собственных мод лежит

небрегли членами, описывающими вынос энергии ВГ

в диапазоне частот ионного циклотронного (ИЦ)

волн из области распада вдоль y, так как для ти-

резонанса. Поэтому низкочастотные колебания,

пичных условий экспериментов [3, 4] эти потери энер-

которые принимают участие в трехволновом взаи-

гии много меньше продольных потерь, что позволяет

модействии и позволяют удовлетворить распадным

рассмотреть одномерную задачу и получить инкре-

условиям

- это ионные бернштейновские (ИБ)

мент наиболее опасной фундаментальной моды пер-

волны в окрестности фундаментальной гармоники

вичной ПРН (см. [9])

ИЦ частоты. ИБ волны распространяется строго

γ =

(4)

поперек магнитного поля вдоль x и ее амплитуду

можно описать с помощью метода огибающих и

√

(

выразить через амплитуды нелинейно связанных

|ν_p(0)|² -

3√π|νp(0)|√Λ1Γ(3/4)/(2wΓ(1/4)))4/3

ВГ волн. Используя собственные функции (3) при

описании амплитуд вторичных ВГ волн и проце-

Насыщение первичной неустойчивости.

дуру укорачивания волновых уравнений (метод

Наиболее вероятным механизмом насыщения

огибающих), можно получить систему уравнений,

неустойчивости низкопорогового двухплазмонного

описывающих первичную неустойчивость и ее на-

распада является каскад последовательных низкопо-

сыщение из-за двухступенчатого каскада распадов

роговых распадов обеих дочерних ВГ волн, которые

обеих первичных волн в виде [11]

продолжаются до тех пор, пока возбуждаются

локализованные ВГ волны [12-14]. Как видно на

∂a₁

∂²a₁

+ iΛ₁

= ν^∗p(z)b₁ - ν^∗s|a₂|²a₁;

рис. 1, при выбранном профиле ВГ частоты возмож-

∂t

∂z²

(5)

∂b₁

∂²b₁

- iΛ₁

= ν_p(z)a₁ - ν_s|b₂|²b₁.

∂t

∂z²

∂a₂

∂²a₂

- iΛ₂

= ν^∗s|a₁|²a₂ - ν∗t |a₃|²a₂;

∂t

∂z²

∂b₂

∂²b₂

+ iΛ₂

= ν_s|b₁|²b₂ - ν_t|b₃|²b₂;

∂t

∂z²

(6)

∂a₃

∂²a₃

+ iΛ₃

= ν∗t |a₂|²a₃;

∂t

∂z²

∂b₃

∂²b₃

- iΛ₃

= ν_t|b₂|²b₃.

∂t

∂z²

В системе уравнений (6) (a₂, b₂) и (a₃, b₃) - безраз-

Рис. 1. Дисперсионные кривые первичных (m1 = n1 =

= 6, q1x, сплошные линии), вторичных (m2 = n2 = 7,

мерные амплитуды для пары соответственно вторич-

q2x, штрихованные линии), третичных (m3 = n3 = 8,

ных и третичных ВГ волн, нормированных анало-

q3x, штрих пунктирные линии) и нелокализованных

гично амплитудам первичных волн, Λ_2,3 - коэффи-

(q4x, штрих пунктир пунктирные линии) ВГ волн и

циенты дифракции вторичных ВГ волн вдоль маг-

профиль ВГ частоты (сплошная толстая линия). Te =

нитного поля, аналогичные Λ₁, введенному выше;

500 эВ, H0 = 1.8 Т, f1 = 70 ГГц, f2 = 69.972 ГГц, f3 =

ν_s = ν(m₁, m₂) и ν_t = ν(m₂, m₃) - описывают вто-

= 69.9444 ГГц

ричные и третичные распады, где

T_ec²ω₀

но лишь два вторичных распада первичных волн

ν(m, n) =

(сплошные линии), которые приводят к последова-

20w²H²ω²

тельному возбуждению двух соседних собственных

∫

∞

∫

∞

мод m₂ = n₂ = 7, f - 2 = 69.972 ГГц (штрихо-

× dx dx^′ (q_IB(x)q_IB (x^′))^3/2 ×

ванные линии) и m₃ = n₃ = 8, f₃ = 69.9444 ГГц

-∞ x

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

726

Е. З. Гусаков, А. Ю. Попов

)

( ∫_x′

лучим уравнения, учитывающие истощение накачки

× φ_m(x)φ^∗n(x)φ^∗m(x^′)φ_n(x^′)exp i

q_IB(s)ds

и, таким образом, обобщающие уравнения (5)

∂a₁

∂²a₁

q_IB

- волновой вектор ИБ волны (см. моногра-

+ iΛ₁

= ν^∗p(z)b₁ - ν^∗d|b₁|²a₁ - ν^∗s|a₂|²a₁;

∂t

∂z²

фию [16]), возбуждающейся при вторичном распа-

де. Как было показано в [11], в случае, когда про-

∂b₁

∂²b₁

- iΛ₁

= ν_p(z)a₁ - ν_d|a₁|²b₁ - ν_s|b₂|²b₁.

филь плотности плазмы допускает реализацию кас-

∂t

∂z²

(8)

кадов, состоящих только из одного (ν_t

= 0) или

где

трех последовательных распадов первичных волн,

∞

∫

T_e

|ω_ce|⁴

неустойчивость насыщается на сравнительно невы-

ν_d =

dx dx^′ ×

2w²H²

ω³

соком уровне, не приводящем к значительному исто-

-∞

щению накачки. Уровень насыщения дочерних волн

( ∫_x

)

√

при этом находится из условий баланса нелинейной

k_x(x)k_x(x^′)|φ_m(x)|²|φ_m(x^′)|² exp i

k_x(s)ds

накачки и потерь соответствующих дочерних волн. В

x^′

случае двухступенчатого каскада анализ баланса на-

- коэффициент связи, описывающий истощение на-

качки и потерь приводит к противоречивым резуль-

качки [13]. Предположим существование стационар-

татам. С одной стороны, амплитуда вторичной ВГ

ного режима насыщения неустойчивости. В этом слу-

волны оценивается из условия стабилизации третич-

чае мы можем оценить уровни насыщения ВГ волн

ной неустойчивости как |a₂| ∼ |Λ₃/|w²ν_t||^1/2. С дру-

в пределах пучка, анализируя правые части системы

гой - из условия насыщения первичной неустойчи-

уравнений (6) и (8). В частности, энергия вторичных

вости |a₂| ∼ |νp|/|νs|. Две оценки уровня насыще-

волн в области распада |a₂|² должна быть такой, что-

ния вторичной волны при параметрах эксперимен-

бы нелинейная накачка третичных волн ν_t|a₂|² ком-

та не совпадают и являются взаимоисключающими.

пенсировалась дифракционными потерями, характе-

Кроме того, наличие стационарного решения предпо-

ризующимися временем τ = w²/Λ₃

лагает баланс интенсивности нелинейного усиления

|a^s2|² ≈ 1/(τν_t).

(9)

вторичной волны ∝ ν_s|a₁|² и ее потерь при после-

дующем распаде ∝ ν_t|a₃|², что делает уровни насы-

Рост энергии первичных плазмонов в пределах пуч-

щения (если бы оно существовало) первичных и тре-

ка |a₁|² насыщается из-за истощения накачки, доста-

тичных волн неопределенными. Обнаруженные про-

точного, чтобы прервать первичную неустойчивость

тиворечия указывают на отсутствие стационарного

решения системы уравнений (5), что подтверждает-

|a^s1|² ≈ (|ν_p(0)| - |ν_s||a^s2|²)/|ν_d|.

(10)

ся непосредственным численным решением. В этих

В стационарном режиме баланс первых (накачка при

условиях существенным может оказаться истощение

вторичном распаде) и вторых (потери энергии при

волны накачки, учет которого в уравнениях (5) обес-

третичном неустойчивости) членов 1-го и 2-го из

печивает насыщение неустойчивости и существова-

уравнений (6) дает оценку уровня насыщения энер-

ние стационарного решения. Изменение амплитуды

гии третичных волн в области распада

накачки в области распада в пренебрежении ее ди-

фракцией в этой узком слое дается следующим соот-

|a^s3|² ≈ |a^s1|²|ν_s|/|ν_t|.

(11)

ношением [13]

Анализируя (10), отметим, что первичная неустой-

∫ x

√

чивость, являющаяся источником энергии для все-

E₀ = E₀|_x→∞(y, z) - 4π/c

dx^′

ω₀/(ck_x(x^′)) ×

го каскада, должна насыщаться из-за существенно-

−∞

го истощения волны накачки. Это обусловлено насы-

(

)

щением вторичных волн на низком уровне (9) из-за

∫ x^′

третичной неустойчивости, что снижает роль членов

× J(ω₀,x^′)exp

-i

k_x(ω₀, x^′′)dx^′′ + iω₀t

(7)

−∞

ν^∗s|a₂|²a₁, ν_s|b₂|²b₁ в энергетическом балансе первич-

ной неустойчивости и практически исключает вли-

где P₀ - мощность пучка накачки, w - его полу-

яние вторичных распадов при выходе системы в ре-

ширина, J - нелинейная плотность тока, описываю-

жим насыщения. Напротив, при нечетном числе вто-

щая взаимодействие накачки с дочерними ВГ волна-

ричных распадов насыщение первичной неустойчи-

ми. С помощью (7), процедуры теории возмущений и

вости происходит на уровне в |ν_p|/|ν_d| ≫ 1 раз ниже,

укорачивания для амплитуд первичных ВГ волн, по-

чем в случае четного числа вторичных распадов.

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

О возможности сильного аномального поглощения СВЧ волн в экспериментах...

727

Численное исследование насыщения пер-

вичной неустойчивости. Далее решим систему

уравнений (6), (8) численно, предполагая тепловой

начальный уровень всех ВГ волн и накладывая пе-

риодические граничные условия на границах обла-

сти интегрирования (-z_B, z_B). Размер этой обла-

сти выбирается таким, чтобы для наиболее низко-

пороговых мод расчет происходил за промежуток

времени, который много меньше времени возвра-

щения ВГ волны обратно в область распада при

циркуляции в этом боксе. Таким образом, получен-

ное решение будет промежуточной асимптотикой,

которая, однако, будет правильно описывать экс-

Рис. 3. Эволюция линейной плотности энергии ΔW в

периментальные наблюдения и механизм насыще-

1D боксе; P0 = 1 МВт. Асимптотически - линейная за-

ния неустойчивости. Результаты численного расче-

висимость

та для типичных условий ЭЦРН экспериментов на

токамаке TEXTOR (P₀ = 1 МВт, w = 1 см) при-

люцию линейной плотности энергии всех дочерних

ведены на рис.2, где показана эволюция энергии

ВГ волн в зависимости от времени (рис.3). Асимп-

тотически, при больших временах, эта зависимость

оказывается линейной, что позволяет определить

мощность, поглощаемую аномально ΔP = dΔW/dt.

Зависимость коэффициента аномального поглоще-

ния от мощности накачки показана на рис. 4. Можно

Рис. 2. (Цветной онлайн) Эволюция энергии первичных

(сплошная линия), вторичных (пунктирная линия) и

третичных (штрих пунктирная линия) ВГ волн в обла-

сти распада в полулогарифмическом масштабе. Экспо-

ненциальный рост энергии первичных волн адекватно

Рис. 4. Зависимость коэффициента аномального погло-

описывается коэффициентом усиления 2γt, где γ дан в

щения от мощности накачки. P^th0 = 35 кВт

(4). Тонкие горизонтальные линии - оценка уровней на-

сыщения. Te = 500 эВ, H0 = 1.8 Т, P0 = 1 МВт, w = 1 см

видеть, что при четном числе вторичных распадов

первичных (сплошная линия), вторичных (штрихо-

имеет место гигантское аномальное поглощение пуч-

ванная линия) и третичных (штрихпунктирная ли-

ка накачки СВЧ волн (от 60 до 80 %). Результаты

ния) ВГ волн в области распада 〈|a1,2,3|2〉pdi

решения системы нелинейных уравнений в частных

∫

= (πw²)^-1/2

dz|a_1,2,3(z)|² exp(-z²/w²) в полуло-

производных находятся в согласии с аналитическими

2zB

гарифмическом масштабе. Экспоненциальный рост

выражениями и оценками. Это позволяет с доверием

энергии первичных волн адекватно описывается ко-

относиться к энергетическим предсказаниям, полу-

эффициентом усиления 2γt, где инкремент γ опре-

ченным в результате моделирования. Отметим, что

делен в (4). Тонкие горизонтальные линии - оцен-

в ходе вращения магнитного острова и эволюции па-

ка уровней насыщения (9)-(11) - демонстрируют

раметров плазмы (на временах 10-100 мкс) появля-

разумное согласие теоретических оценок и резуль-

ется возможность возбуждения то четного, то нечет-

татов расчета. Интегрируя по всему боксу ΔW

ного числа вторичных распадов. Поскольку время

√

∑

∫

= T_e/(

πw)_i=1÷3

dz(|a_i|² + |b_i|²), найдем эво-

выхода неустойчивости в режим насыщения поряд-

2zB

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

728

Е. З. Гусаков, А. Ю. Попов

ка 1-2 мкс, эта возможность реализуется, что должно

S. K. Nielsen, M. Salewski, E. Westerhof, W. Bongers,

приводить к насыщению неустойчивости и к последо-

S. B. Korsholm, F. Leipold, J. W. Oosterbeek,

вательному аномальному поглощению, то на уровне

D. Moseev, and M. Stejner, Plasma Phys. Control.

60-80 %, то на уровне 10-20 % от мощности накачки.

Fusion 55, 115003 (2013).

Подчеркнем, что впервые теоретически предсказан-

S. Kubo, M. Nishiura, K. Tanaka et al. (Collaboration),

ное в настоящей статье гигантское аномальное по-

Rev. Sci. Instrum. 81, 10D535 (2010).

глощение накачки за счет двухплазмонного распада

S. Coda for the TCV Team, Nucl. Fusion 55, 104004

может иметь место не только в магнитном острове,

(2015).

но и в других ситуациях, связанных с формировани-

M. Mart´ınez, B. Zurro, A. Baciero, D. Jiménez-Rey, and

V. Tribaldo, Plasma Phys. Control. Fusion 60, 025024

ем немонотонного профиля плотности плазмы, поз-

(2018).

воляющего запереть хотя бы одну из параметрически

M. Yu. Kantor, A. J. H. Donne, R. Jaspers, H. J. van der

возбуждаемых ВГ волн. Можно предположить, что

Meiden, and TEXTOR Team, Plasma Phys. Control.

именно этот эффект ответственен за значительные

Fusion 51, 055002 (2009).

отличия локализации области поглощения в ЭЦРН

A. Yu. Popov and E. Z. Gusakov, Plasma Phys. Control.

экспериментах [14, 15] от предсказываемой линейной

Fusion 57, 025022 (2015).

теорией, а также за сильное аномальное поглощение

10.

A. Yu. Popov and E. Z. Gusakov, Europhys. Lett. 116,

мощности СВЧ излучения, наблюдавшееся в плаз-

45002 (2016).

менном филаменте [17].

11.

E. Z. Gusakov and A. Yu. Popov, Phys. Plasmas 23,

Аналитическое рассмотрение неустойчивости

082503 (2016).

и ее насыщения выполнены при поддержке гран-

12.

E. Z. Gusakov and A. Yu. Popov, Plasma Phys. Control.

та Российского научного фонда

#16-12-10043, а

Fusion 59, 025005 (2017).

численные расчеты проведены в рамках государ-

13.

E. Z. Gusakov, A. Yu. Popov, Plasma Phys. Control.

ственного задания Физико-технического института

Fusion 60, 025001 (2018).

им. А. Ф. Иоффе РАН.

14.

S. Eguilior, F. Castejon, E. de la Luna, A. Cappa,

K. Likin, A. Fernández, and TJ-II Team, Plasma Phys.

Control. Fusion 45, 105 (2003).

1. B. I. Cohen, R. H. Cohen, W. M. Nevins, and

T. D. Rognlien, Rev. Mod. Phys. 63, 949 (1991).

15.

D. G. Vasilkov, G. M. Batanov, M. S. Berezhetskii et al.

(Collaboration), Proc. 41st EPS Conference on Plasma

2. A. G. Litvak, A. M. Sergeev, E. V. Suvorov,

M. D. Tokman, and I. V. Khazanov, Phys. Fluids

Physics 38F, P4.053 (2014).

B 5, 4347 (1993).

16.

Д. Г. Ломинадзе, Циклотронные волны в плазме,

3. E. Westerhof, S. K. Nielsen, J. W. Oosterbeek,

Мецниереба, Тбилиси (1975).

M. Salewski, M. R. de Baar, W. A. Bongers, A. Burger,

17.

L. Simonchik, A. Altukhov, V. Arkhipenko,

B. A. Hennen, S. B. Korsholm, F. Leipold, D. Moseev,

A. Gurchenko, E. Gusakov, A. Popov, and

M. Stejner, and D. J. Thoen, Phys. Rev. Lett. 103,

M. Usachonak, EPJ Web of Conferences 147, 03050

125001 (2009).

(2017).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019