Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 11, с. 729 - 733

Фотоионизация атомных систем в сжатых неклассических полях

С. Н. Балыбин¹⁾, О. В. Тихонова

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 119991 Москва, Россия

Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д. В. Скобельцына, 119234 Москва, Россия

Поступила в редакцию 17 апреля 2019 г.

После переработки 22 апреля 2019 г.

Принята к публикации 22 апреля 2019 г.

Исследована ионизация атома неклассическим электромагнитным полем, разработан метод, позво-

ляющий получить результаты для произвольного начального состояния поля, включая сжатый вакуум

с большим средним числом фотонов. Впервые продемонстрированы особенности ионизации атомных си-

стем неклассическим сжатым светом. В отличие от случая когерентного поля, обнаружено существенно

более плавное уменьшение вкладов различных надпороговых каналов в ионизацию. Впервые обнаруже-

ны особенности спектров фотоэлектронов в континууме, заключающиеся в существенном перекрытии

пиков от разных каналов ионизации.

DOI: 10.1134/S0370274X1911002X

Одним из направлений развития современной

при воздействии многофотонных (ярких) сжатых со-

атомной и молекулярной спектроскопии является ис-

стояний поля. В случае классического лазерного из-

следование систем, “одетых” различными классиче-

лучения задача об ионизации была решена Келды-

скими или квантовыми полями. Для таких систем

шем [8], а затем Рисом [9] с использованием функ-

был обнаружен целый ряд интересных эффектов:

ций Волкова, характеризующих свободный электрон

ионизация и стабилизация атомов сильным лазер-

в поле электромагнитной волны [10]. В данной ра-

ным полем [1, 2], вынужденное тормозное рассея-

боте разработан теоретический подход, основанный

ние и спонтанное тормозное излучение электронов

на использовании собственных состояний свободного

в лазерном поле [3], “вакуумные” осцилляции Раби

электрона в квантованном электромагнитном поле,

[4], коллапс и возрождение атомной инверсной насе-

найденных Берсоном в релятивистском случае [11] и

ленности в модели Джейнса-Каммингса, нелинейные

Бергу в нерелятивистском режиме [12].

процессы на базе электромагнитно-индуцированной

Для различных многофотонных каналов иссле-

прозрачности [5] и т.д. Проблема динамики атом-

дована надпороговая ионизация атома и получены

ной системы, “одетой” неклассическим полем, на се-

аналитические выражения для скорости ионизации

годняшний день достаточно мало исследована, хо-

в квантовом поле, находящемся изначально в состоя-

тя и является важной как для развития фундамен-

нии сжатого вакуума. Впервые продемонстрированы

тальной науки, так и для разработки перспективных

особенности ионизации атомных систем неклассиче-

практических приложений. Наличие полевой степе-

ским сжатым светом. Обнаружен существенно более

ни свободы и возникающее перепутывание между

плавный спад скорости ионизации с ростом порядка

атомом и полем существенно затрудняет рассмотре-

многофотонности процесса в сжатом свете по сравне-

ние динамики такой “двухкомпонентной” системы и

нию с когерентным излучением. Впервые выявлены

одновременно с этим приводит к возникновению но-

особенности спектров фотоэлектронов в континууме

вых физических эффектов, не имеющих места при

в случае ионизации сжатым светом и физические ме-

воздействии на атом классических полей. Примером

ханизмы их возникновения.

уже частично изученных эффектов является пере-

Сжатые состояния поля. Сжатые состояния

путывание между атомом и полем [6] и обмен фазой

электромагнитного поля могут быть получены экс-

между полевой и атомной подсистемами [7].

периментально, например, в процессе параметриче-

В данной работе исследуется взаимодействие ато-

ского рассеяния света. Волну накачки пропускают

ма с квантовым электромагнитным полем и анали-

через кристалл с нелинейной восприимчивостью вто-

зируются особенности ионизации атомной системы

рого порядка χ⁽²⁾, благодаря которой один фотон на-

качки преобразуется в два фотона с суммарной час-

¹⁾e-mail: sn.balybin@physics.msu.ru

тотой, равной начальной частоте ω_s + ω_i = ω. Полу-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

729

730

С. Н. Балыбин, О. В. Тихонова

ченные фотоны сильно скоррелированы друг с дру-

Для сравнения приведем статистику числа фото-

гом, а результирующее поле называется двухмодо-

нов когерентного состояния, применимого для опи-

вым сжатым светом. При совпадении волновых век-

сания поля лазерного излучения в случае большого

торов сигнального и холостого фотонов k_s = k_i в

среднего числа фотонов [5]:

случае синхронизма типа I происходит вырождение,

nⁿ

|C^coherentn|² =

exp(-n).

(6)

и говорят об одномодовом сжатом свете. При изна-

чальном отсутствии фотонов в выходной моде сжа-

При достаточно больших средних числах фотонов

того света, говорят о генерации поля в состоянии

статистика обретает гауссову форму, т.е. все возмож-

сжатого вакуума, который не является вакуумом в

ные числа фотонов сосредоточены в узкой области

шириной

√

привычном смысле этого слова. Важным свойством

√

D^coherentn =

(7)

такого света является сильное уменьшение (сжатие)

Таким образом, состояние сжатого вакуума обладает

дисперсии одной из полевых квадратур по сравне-

в значительной степени более широким распределе-

нию даже с вакуумным состоянием. На сегодняшний

нием по числу фотонов в сравнении с когерентным

день удается создавать яркий сжатый вакуум, содер-

светом, что во многом определяет особенности его

жащий до 10¹⁵ фотонов в одной моде [13], что позво-

взаимодействия с атомными системами.

ляет рассматривать такие поля, как перспективные

Теоретический подход. В нерелятивистском

для возбуждения и ионизации атомно-молекулярных

случае ионизация атома квантовым полем описыва-

систем и взаимодействия с веществом. При этом ос-

ется нестационарным уравнением Шредингера с уче-

новной задачей является обнаружение особенностей

том полевой степени свободы:

указанных процессов, обусловленных неклассически-

[

(

)

]

)₂

∂ψ

1 (

ℏω

∂²

ми свойствами сжатого света.

iℏ

q² -

+U ψ,

∂t

∂q²

Для описания состояния сжатого вакуума рас-

(8)

смотрим волновую функцию такого полевого состоя-

с заданным начальным условием

ния ψ_f в виде разложения по фоковским состояниям

ψ|_t=0 = ϕ_g(r) · ψ_f (q),

(9)

полевого осциллятора Φ_n:

где ϕ_g(r) - связанное состояние электрона в атоме,

∑

ψ_f (q) - начальное состояние поля, а взаимодействие

ψ_f = C_2nΦ_2n.

(1)

атома с полем учитывается в дипольном приближе-

n=0

нии. Для описания полевой степени свободы в урав-

Квадрат модуля коэффициента C_2n определяет ве-

нении используется безразмерная полевая координа-

√

роятность детектирования 2n фотонов. Для яркого

та q = (â + â^†)/

2, через которую можно выразить

сжатого вакуума возможно детектирование только

векторный потенциал квантового поля A = qe_zA₀,

четного числа фотонов, что отражает факт парного

а размерная константа выражается через частоту и

√

рождения сигнального и холостого фотонов. Стати-

объем локализации поля L³: A₀ = (c/ω)

4πℏω/L³.

стика сжатого вакуума по числу фотонов выглядит

Изначально атом предполагается в основном состоя-

следующим образом [14]:

нии с волновой функцией ϕ_g(r), взятой для конкрет-

(

)_2n

ности аналогичной 1s состоянию атома водорода. На-

(2n)!

1-R

|C_2n|² =

(2)

чальное состояние поля ψ_f (q) определяется выраже-

1 + R² (n!)²

2(1 + R²)

нием (1) с фотонной статистикой (2) в случае иониза-

ции атома сжатым вакуумом или (6) для когерентно-

|C_2n+1|² = 0,

(3)

го состояния поля, что позволяет провести сравнение

где R определяет степень сжатия одной из квадра-

с классическим полем для случая n ≫ 1.

тур поля и связано со средним числом фотонов n в

Решение уравнения (8) ищется в виде разложения

состоянии сжатого вакуума:

по волковским функциям в p-A калибровке для сво-

n = (R^-1 + R)²/4.

(4)

бодного электрона в квантовом поле, волновые функ-

ции и энергии которых в нерелятивистском пределе

Как видно из (2), при большой степени сжатия веро-

были получены в [12] и имеют следующий вид:

ятность обнаружения 2n фотонов слабо уменьшается

Ψ^Vp,n(r, q) = ϕ_p(r) · Φ^ωn(q - Δ_p),

(10)

с ростом n, что формирует очень широкое распре-

деление по числу фотонов. Ширина распределения

p²

ℏω

определяется корнем из дисперсии числа квантов и

E^Vp,n =

(n + 1/2) + U_pond(n).

(11)

оказывается равной

Фактически в результате взаимодействия с электро-

√

D_n =

2(n² + n).

(5)

ном изменяется частота ω = ω

1 + e²A²⁰/mc²ℏω и

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

Фотоионизация атомных систем в сжатых неклассических полях

731

возникает сдвиг фоковских состояний полевого ос-

Переход между полевыми состояниями определя-

циллятора на величину Δ_p = epA₀/ℏωmc. Измене-

ется матричным элементом V_n-k,n:

ние частоты полевой моды оказывается малым и вно-

сит вклад только в энергию состояний (11), за счет

∫

чего возникает слагаемое U_pond(n) = e²A²⁰n/2mc²,

V_n-k,n =

dq · Φ^∗n-k(q - Δ_p)qΦ_n(q).

(15)

представляющее собой аналог пондеромоторного по-

−∞

тенциала, известного в случае классического поля, и

Отметим, что аналогичный матричный элемент ис-

возникающее в данном подходе естественным обра-

пользовался в [15] для анализа ионизации атома в

зом благодаря использованию p-A калибровки. Из-

квантовом поле, но в качестве начального состояния

за малости нормировочной константы это слагаемое

поля были рассмотрены только фоковские состоя-

играет роль только для больших значений n > n_cr:

≫ 1, поскольку

ния в пределе больших номеров n₀

(L/λ)

производить суммирование по начально-заселенным

n_cr = α^-3

(12)

ℏω/2Ry

полевым состояниям с номерами n представляет се-

рьезную трудность. В случае ионизации сжатым све-

Аналогично подходам Келдыша [8] и Риса [9] для

том эта проблема стоит особенно остро: дисперсия

классического поля, решение задачи (8), (9) пред-

распределения по фоковским состояниям определя-

ставляется в виде суммы исходного состояния и раз-

ется выражением (5) и для больших n суммировать

ложенного по состояниям (10) волнового пакета, ха-

необходимо от нуля и вплоть до номеров порядка

рактеризующего атомный электрон в континууме.

нескольких n. Для решения этой проблемы в данной

При этом эффекты воздействия квантового поля на

работе было получено приближенное выражение для

электрон в континууме учитываются точно. Рассмат-

полевого матричного элемента:

ривается случай, когда потенциал ионизации I мень-

√

ше энергии фотона (I < ℏω) и анализируется воз-



n+1

√

можность надпороговой ионизации атома. Атомный

|V_n-k,n(p)|² ≈



J_k+1(

2n|Δ_p|) +



потенциал полагается короткодействующим и пре-



небрегается заселением состояний дискретного спек-

√

²

√n



J_k-1(

2n|Δ_p|)

(16)

тра. С учетом указанного разложения для атомного



электрона можно получить вероятность перехода в

единицу времени в состояние континуума с импуль-

которое во многом базируется на аппроксимации

сом p:

проекций полевых состояний со сдвинутым аргумен-

)₂ (

)₂

том, примененной и исследованной на пределы при-

dW˙

α³

(λ)3 ( ℏω

p_z

|ϕ_g(p)|²2Ry ×

менимости в [16] для задачи о вынужденном тор-

πτ L

2Ry

ℏ/a₀

мозном эффекте в квантовом поле. Данное выраже-

∑

ние аппроксимирует (15) с хорошей точностью для

|C_n|²|V_n-k,n|² ×

n > n_cr, а для n < n_cr в работе производилось точное

k=1 n=k

(

)

вычисление. Таким образом, на основе (16) удалось

×δ

+ U_pond(n) + I - ℏωk

(13)

впервые получить результаты по ионизации в ярком

сжатом свете.

где τ = ℏ/2Ry ≈ 2.4 × 10^-17 с - атомное время. Ин-

Результаты. Полученный матричный элемент

тегрирование по модулю импульса электрона в кон-

(16) содержит в себе две функции Бесселя, которые в

тинууме дает полную скорость ионизации:

пределе теории возмущений могут трактоваться как

переходы в состояние поля с уменьшением (J_k-1) и

)_2∞∑

∑

2α

(λ)3 ( ℏω

W_i =

|C_n|² |ϕ_g(p_nk)|² ×

увеличением (J_k+1) номера полевого состояния при

2Ry

k=1 n=k

взаимодействии с атомом. Поведение квадратов пер-

∫

вого и второго вкладов в матричный элемент пред-

×p³

d(cos θ) · |V_n-k,n(p_nk)|² cos² θ,

(14)

ставлено на рис. 1 в зависимости от общего числа

−1

фотонов n для количества поглощенных электроном

√

где p_nk =

2m(ℏωk - U_pond(n) - I), θ - угол меж-

фотонов k = 12 без учета (a) и с учетом (b) понде-

ду импульсом электрона и направлением поляриза-

ромоторного потенциала U_pond. В обоих случаях при

ции поля e_z, суммирование ведется по всем каналам

небольших значениях n вклад от первого слагаемого

ионизации k и начальному распределению поля по

превалирует на несколько порядков и только при до-

числу фотонов n.

стижении некоторого порогового значения на число

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

732

С. Н. Балыбин, О. В. Тихонова

Рис. 2. Отношение скоростей ионизации атома сжатым

светом и когерентным светом в зависимости от номера

канала ионизации для различных интенсивностей по-

лей в режиме ℏω > I

Рис. 1. Зависимость полевого матричного элемента (16)

от числа фотонов без учета пондеромоторного потен-

циала (a) и с учетом (b) при k = 12

фотонов в районе n ≈ 10⁸ оба слагаемых оказыва-

Рис. 3. Распределение скорости ионизации по различ-

ются важны, что соответствует сильной перестройке

ным многофотонным каналам в режиме ℏω > I для

полевого состояния за счет взаимодействия с элек-

среднего числа фотонов, равного 10⁷ при θ = 0: круга-

троном. В случае (b) дальнейшее увеличение n при-

ми обозначено распределение в случае взаимодействия

водит к синхронному обнулению обоих вкладов за

с когерентным полем, квадратами - со сжатым вакуу-

счет величины U_pond, что означает закрытие канала

мом

с данным k. Однако такой режим лежит за рамками

рассмотрения данной статьи.

мости от номера канала k отдельно для сжатого и

На рисунке 2 представлено отношение скорости

когерентного света при n = 10⁷. Хорошо видно, что

ионизации сжатым светом к вероятности ионизации

с увеличением номера канала ионизация сжатым све-

когерентным светом с тем же средним значением

том спадает довольно слабо, в то время как для ко-

числа квантов n для различных каналов ионизации

герентного поля имеет место “завал” при больших k.

k. Обнаружено, что во всем диапазоне параметров

Таким образом, с увеличением номера канала иони-

скорость ионизации сжатым светом оказывается вы-

зация в сжатом вакууме резко доминирует.

ше, причем в области слабых полей для любого но-

Были также обнаружены существенные разли-

мера канала k превалирует над ионизацией когерент-

чия энергетических спектров фотоэлектронов, кото-

ным светом с фактором

рые представлены на рис. 4 в случае ионизации коге-

W^squeezed/W˙ coherentik = (2k - 1)!!,

(17)

рентным полем (сплошная линия) и сжатым вакуу-

мом (пунктирная линия). Спектр в случае ионизации

что совпадает с результатом теории возмущений,

когерентным полем состоит из δ-образных эквиди-

найденным в работе [17]. Для более высоких значе-

стантных пиков с расстоянием ℏω между ними. Это

ний n этот фактор оказывается меньше. Более явно

связано с законом сохранения энергии, диктуемым

превалирование ионизации сжатым светом по срав-

δ-функцией в (13):

нению с когерентным полем демонстрирует рис. 3, на

котором представлены скорости ионизации в зависи-

E_n,k = ℏωk - I - U_pond(n).

(18)

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

Фотоионизация атомных систем в сжатых неклассических полях

733

де скорости ионизации в зависимости от номера ка-

нала надпороговой ионизации. Продемонстрировано

существенное различие спектров электронов в кон-

тинууме для когерентного и сжатого полей, обуслов-

ленное широким начальным распределением сжато-

го поля по числу фотонов. Для поля в сжатом ваку-

уме обнаружено, что поглощение одного и того же

числа квантов может приводить к разным энергиям

электронов, т.е. давать вклад в различные надпоро-

говые пики.

Отметим, что разработанный подход может быть

обобщен на случай анализа ионизации, обусловлен-

Рис. 4. Спектры фотоэлектронов, вылетающих в на-

ной неклассическим светом в твердотельных систе-

правлении θ = 0, при ионизации атома в режиме ℏω > I

мах. В таком процессе электрон переходит из валент-

для среднего числа фотонов в поле, равного 5 · 10⁶:

ной зоны в зону проводимости, а его состояние опи-

δ-образные пики при ионизации когерентным полем,

сывается Блоховской функцией с конкретным квази-

пунктирная линия в случае сжатого света

импульсом. Это позволяет использовать формализм,

Кроме того, для когерентного поля при больших

во многом аналогичный представленному в настоя-

n относительная ширина распределения (6) суще-

щей статье.

ственно уменьшается. Таким образом, распределение

Исследования выполнены за счет гранта Россий-

электрона по энергии в конкретном канале оказы-

ского Научного Фонда, проект # 19-42-04105.

вается очень узким, и различные каналы не пересе-

каются друг с другом. Следовательно, каждый пик

M. V. Fedorov, Atomic and free electrons in a strong

соответствует строго определенному каналу иониза-

light field, World Scientific, Singapore (1997).

ции. При ионизации сжатым светом спектр претер-

Н. Б. Делоне, В. П. Крайнов, УФН 5, 531 (1998).

певает значительные изменения: благодаря широко-

Р. В. Карапетян, М. В. Федоров, ЖЭТФ 3(9), 816

му распределению сжатого состояния по числу фо-

(1978).

тонов энергия электрона в фиксированном канале

J. M. Raimond, M. Brune, and S. Haroche, Rev. Mod.

сильно размывается. Это происходит из-за влияния

Phys 73, 565 (2001).

M. O. Scully and M. S. Zubairy, Quantum Optics,

последнего слагаемого в (18), которое пропорцио-

Cambridge University Press, Cambridge (1997).

нально числу фотонов и, соответственно, обладает

S. N. Balybin, P. R. Sharapova, and O. V. Tikhonova,

средним значением и дисперсией. Благодаря широ-

Eur. Phys. J. D 71, 109 (2017).

кому распределению по числу фотонов сжатого света

S. N. Balybin, R. V. Zakharov, and O. V. Tikhonova,

неопределенность этого слагаемого оказывается по-

Laser Phys. Lett. 15, 055301 (2018).

рядка его среднего значения. Поэтому спектры раз-

L. V. Keldysh, Sov. Phys. JETP 20, 1307 (1965).

личных каналов перекрываются, и в одну и ту же

H. Reiss, Phys. Rev. A 22, 1786 (1980).

энергию электрона вносят вклад разные k. В итоге

10.

D. M. Volkov, Z. Phys. 94, 250 (1935).

мы получаем непрерывный спектр без возможности

11.

I. Berson, Sov. Phys. JETP 29, 871 (1969).

разделения на отдельные каналы ионизации.

12.

J. Bergou and S. Varro, J. Phys. A: Math. Gen. 14, 1469

Заключение. В работе представлен теоретиче-

(1981).

ский подход к описанию ионизации атомов неклас-

13.

T. Sh. Iskhakov, A. M. Perez, K. Yu. Spasibko,

сическими полями, найдены аналитические выраже-

M. V. Chekhova, and G. Leuchs, Opt. Lett. 37, 1919

ния для скорости ионизации в различных многофо-

(2012).

тонных каналах и суммарно с учетом всех каналов.

14.

A. I. Lvovsky, Squeezed light, in D. L. Andrews,

Photonics, John Wiley & Sons, Ltd

(2015), v. 1;

Проанализированы свойства возникающих матрич-

arXiv:1401.4118.

ных элементов перехода между свободными и возму-

15.

И. А. Гоносков, Г.А. Вугальтер, В. А. Миронов,

щенными состояниями поля и предложена аппрокси-

ЖЭТФ 6(12), 1278 (2007).

мация для их вычисления, позволяющая рассматри-

16.

I. A. Burenkov and O. V. Tikhonova, J. Phys. B: Atomic,

вать любые начальные полевые состояния. Обнару-

Molecular and Optical Physics 43, 235401 (2010).

жены и исследованы особенности ионизации сжатым

17.

А. М. Попов, О.В. Тихонова, ЖЭТФ

5(11),

978

светом по сравнению с ионизацией когерентном по-

(2002).

лем, заключающиеся в гораздо более плавном спа-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019