Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 11, с. 778 - 782

Влияние температуры на перераспределение потока энергии,

уносимого поверхностными волнами вдоль границы раздела

кристаллов с различными механизмами формирования

нелинейного отклика

С. Е. Савотченко¹⁾

Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова, 308012 Белгород, Россия

Поступила в редакцию 2 апреля 2019 г.

После переработки 22 апреля 2019 г.

Принята к публикации 23 апреля 2019 г.

Рассмотрена модель контакта одноосного кристалла с диффузионным механизмом формирования

нелинейного фоторефрактивного эффекта и кристаллов с нелинейностью керровского типа, как фоку-

сирующей, так и дефокусирующей. Найдены новые типы поперечно-магнитных (ТМ) поляризованных

нелинейных поверхностных волн, распространяющихся вдоль контакта таких кристаллов. Полученные

типы волн отличаются диапазоном существования и характером затухания поля при удалении от гра-

ницы раздела. Определены потоки энергии, переносимые такими поверхностными волнами. Показано,

что варьирование температуры кристаллов в зоне контакта приводит к перераспределению между кон-

тактирующими кристаллами доли мощности излучения, переносимого нелинейными поверхностными

волнами.

DOI: 10.1134/S0370274X19110109

Кристаллы с различными нелинейными оптиче-

как температура кристаллической структуры, также

скими эффектами в силу их специфических свойств

недостаточно изучено. В связи с этим в данной рабо-

находят широкое применение в различных техниче-

те предлагается теоретическое описание закономер-

ских приложениях [1-5]. К примеру, часто исполь-

ностей перераспределения потоков энергии нелиней-

зуются нелинейные фоторефрактивные кристаллы

ных ПВ, распространяющихся вдоль границы разде-

(ФК) [6-8] и нелинейные кристаллы с эффектами

ла двух кристаллов, обладающих нелинейными эф-

Поккельса и Керра, которым свойственны линейная

фектами первого и второго порядков [9]. Если один

и квадратичная зависимости показателя преломле-

из кристаллов характеризуется фоторефрактивным

ния от напряженности электрического поля, соответ-

эффектом, а другой - эффектом Керра, то вдоль гра-

ственно [9].

ницы их раздела могут распространяться новые ти-

Большое значение в технических приложениях

пы нелинейных ПВ.

играют процессы локализации энергии оптического

Несмотря на то, что нелинейные эффекты раз-

излучения вдоль границ раздела кристаллических

личных порядков могут преобладать при различ-

слоев. Исследования механизмов управления таки-

ных длинах волн, можно подобрать контактирующие

ми нелинейно-оптическими явлениями обуславлива-

среды с близкими диапазонами возбуждения ПВ.

ет интерес к теоретическому изучению уникальных

В частности, для первых одномодовых волокон рабо-

свойств поверхностных волн (ПВ), распространяю-

чий диапазон длин волн 1300-1550 нм, в котором ко-

щихся вдоль границ раздела кристаллов.

эффициент потерь не превышает 20 дБ/км [15], позд-

Хотя исследования в данном направлении прово-

нее были разработаны и более совершенные многомо-

дятся давно [10-14], тем не менее, детального изу-

довые волокна, для которых указанные потери до-

чения требуют закономерности формирования нели-

стигаются уже на длине волны 633 нм, причем коэф-

нейных ПВ в гетероструктурах, слои в которых че-

фициент потерь снижается до 2.7 дБ/км при длинах

редуют свои нелинейно-оптические эффекты. Влия-

волн 850 нм. В кристаллах дигидрофосфата калия

ние на особенности локализации энергии оптического

(KH₂PO₄) нелинейный эффект второго порядка про-

излучения различных внешних параметров, таких,

является при длинах волн порядка 690 нм [16]. В ФК

на основе силленитов, в частности, Bi₁₂SiO₂₀ : Cd,

¹⁾e-mail: savotchenkose@mail.ru

формирование фоторефрактивной решетки происхо-

778

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

Влияние температуры на перераспределение потока энергии. . .

779

дит при длине волны 633 нм [17]. В фотонных жидко-

Из системы уравнений Максвелла в рассматри-

кристаллических волокнах с квадратичной керров-

ваемом случае в приближении малости нелинейных

ской нелинейностью наблюдения за коэффициентом

добавок к невозмущенным показателям преломления

прохождения через сердцевину проводились в диапа-

получаются уравнения:

зоне длин волн 400-1000 нм при варьировании темпе-

H^′′j + δ_PjΓ(|H_P |²)H^′P + (n^2j - β²)k²⁰H_j +

ратуры в интервале 10-50^◦С [18]. В таком же диапа-

зоне длин волн наблюдалось усиление эффекта Кер-

+ δ_Kjg|H_K|²H_K = 0, j = P,K,

(1)

ра в тонких пленках на основе кобальта [19].

δij - символ Кронекера, nj - невозмущенные пока-

Также следует отметить, что инерционность

затели преломления, g - коэффициент нелинейности

нелинейного отклика среды может

“сглаживать-

КК (постоянная величина, положительная для фо-

ся” путем регулировки длительности оптических

кусирующей нелинейности и отрицательная для де-

импульсов, возбуждающих ПВ, поскольку он ска-

фокусирующей), Γ(|H_P |²) - нелинейный эффектив-

зывается, если время отклика нелинейности больше

ный коэффициент затухания.

длительности импульса. Поскольку в данной работе

К уравнению (1) добавляются стандартные усло-

рассматриваются только стационарные распределе-

вия непрерывности компоненты напряженности маг-

ния полей, то при стационарном самовоздействии

нитного поля и его тангенциальной составляющей на

световых импульсов нелинейная добавка к показате-

границе раздела кристаллов.

лю преломления в нелинейной среде будет зависеть

При условии, что нелинейный отклик в ФК фор-

только от квадрата амплитуды стационарного поля

мируется в результате диффузионного механизма,

как для керровской среды, так и для ФК с диффу-

нелинейный эффективный коэффициент затухания

зионным механизмом перераспределения носителей

представим в виде: Γ(|H_P |²)

= µ|H_P |²/(|H_P |² +

заряда без учета временной задержки относительно

+ |H_d|²), µ = 2k²⁰n^4P r_effk_BT/e - коэффициент зату-

времени релаксации.

хания волны в ФК, H_d - эффективная амплитуда

темновой засветки, определяющая темновую интен-

Видно, что, в принципе, уже на данный момент

сивность [7, 12-14].

можно подобрать контактирующие среды с различ-

В [12-14] отмечалось, что при H_d ≫ H_P величина

ными механизмами нелинейного отклика, формиру-

Γ → 0. В данной работе будем рассматривать толь-

ющегося при близких значениях длин волн даже из

ко случай пренебрежительно малой темновой интен-

сравнительно узкого диапазона порядка 630-700 нм,

сивности по сравнению с интенсивностью ПВ. Тогда

а при дальнейшем развитии материаловедения и со-

в (1) при H_d ≪ H_P эффективный коэффициент за-

вершенствовании технологий изготовления кристал-

тухания становится постоянным, Γ → µ. Такой пре-

лов с требуемым набором оптических свойств воз-

дельный случай (как осциллятор с постоянным тре-

можно более широкое варьирование указанного диа-

нием) рассматривался в [13, 14] при изучении фор-

пазона.

мирования ПВ вдоль ФК, контактирующего с возду-

Рассмотрим плоский контакт одноосного фоторе-

хом, где были описаны два режима затухания ПВ в

фрактивного кристалла с диффузионным механиз-

ФК. Формально ПВ описывалась решениями урав-

мом формирования нелинейности с одноосным кри-

нения (1), представляющими собой связанные гра-

сталлом с керровской нелинейностью (далее керров-

ничными условиями на поверхности кристалла экс-

ским кристаллом - КК) в отсутствии приложенного

поненциально спадающим полем в воздухе и зату-

внешнего поля. Полярная ось ФК направлена вдоль

хающим либо апериодически, либо с осцилляциями

оси x. Граница раздела кристаллов расположена в

внутрь кристалла полем ПВ. Принципиальное отли-

плоскости x = 0. ФК занимает полупространство

чие таких ПВ от рассматриваемых в данной работе

x > 0, а КК - полупространство x < 0.

состоит в том, что они формируются вдоль контак-

Будем рассматривать только стационар-

та ФК с нелинейной средой, характеризуемой квад-

ное распределение поля и пусть поперечно-

ратичной зависимостью показателя преломления от

магнитная волна (ТМ-волна), для которой E_y = 0,

амплитуды поля. В результате поле в ПВ будет опи-

H_x

= H_z

= 0, распространяется вдоль оси z:

сываться в ФК такими же решениями уравнения (1),

H_y(x, z) = H_j(x)exp(iβk₀z), j = P, K, β - константа

как и в [13, 14], но связанными с решениями нели-

распространения, k₀

= 2π/λ₀, λ₀ - длина волны

нейного уравнения Шредингера (НУШ) солитонного

света в вакууме. Здесь и далее значение индекса

типа (а не с экспоненциально спадающим решением

j = P соответствует величинам, характеризующим

линейного уравнения), описывающими профиль по-

ФК в области x > 0, а j = K - КК в области x < 0.

ля в КК.

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

780

С. Е. Савотченко

(

)}

]₂

[µ

Вдоль границы раздела кристаллов могут рас-

ν² -

-γ_c,s

(6)

пространяться четыре типа ПВ, определяемых

знаком керровской нелинейности (фокусирую-

Поток, уносимый ПВ, затухающей с осцилляция-

√

щая/дефокусирующая нелинейность) и диапазоном

ми в ФК, при n_K < β <

n^2P - µ²/4k²⁰ имеет вид:

значений константы распространения (т.е. фактиче-

ски углом падения возбуждающей волны). Из (1) и

H^20c,s

{p² + (µ/2 - γ_c,s)²

P_P =

граничных условий при сделанных предположениях

2p²

получается поле ПВ в КК при x < 0:

}

{

√

p²(3µ - 4γ_c,s) - µ(µ/2 - γ_c,s)²

(7)

2/g/chq(x + x₀), g > 0,

µ² + 4p²

H_K(x) =

√

(2)

2/|g|/shq(x + x₀), g < 0,

Получается, что величины потоков в КК не за-

висят от того, как затухает ПВ в ФК, апериодиче-

где q² = k²⁰(β² - n^2K ), x₀ - положение “центра соли-

ски или с осцилляциями. Величины потоков в ФК

тона”. В ФК при x > 0 поле ПВ имеет вид:



зависят не только от формы затухания, определя-

{(

)



H0c,s

емой диапазоном изменения константы распростра-



e^-µx/2

ν+^µ2 -γ_c,s

e^νx +

2ν



}

нения, но и от того, какой знак нелинейности будет



(

)





ν-^µ2

+γ_c,s

e^-νx

у контактирующим с ним КК.

√

При qx₀ ≪ 1 в основном приближении из (5) по-

H_P (x) =

max{n_K ,

n^2P - µ²/4k²⁰} < β < n_P ;



лучается оценка потока в КК:



{



H_0c,se^-µx/2 cos(px + ϕ_c,s)/ cosϕ_c,s,

H^20c/q,

g > 0,



√

P_K =

(8)

n_K < β <

n^2P - µ²/4k²⁰,

-H^20sx₀, g < 0.

(3)

где нижний индекс c соответствует величинам кон-

Для апериодической и затухающей с осцилляци-

такта ФК и КК с фокусирующей нелинейностью, а

ями ПВ при qx₀ ≪ 1 из (6) и (7) получаются одина-

√

s - с дефокусирующей, H_0c = q

2/g/chqx₀, H_0s =

ковые значения оценки потока в ФК:

√

= q

2/|g|/shqx₀, p² = -ν² = k²⁰(n^2P - β²) - µ²/4,



{

}

H^20c



1+µ2

g > 0,

γ_c = n^2P q th(qx₀)/n^2K, γ_s = n^2P q ctg(qx₀)/n^2K, tg ϕ_c,s =

2µ

k²⁰(n^2P -β²)

P_P =

(9)

= (γ_c,s -µ/2)/p. Из комбинаций (2) и (3) составляют-



H^20sn^2P

g < 0.

2µx²⁰n^4K k²⁰(n^2P

-β²)

ся четыре типа нелинейных ПВ. В качестве управля-

ющего (свободного) параметра можно выбрать или

Будем далее интересоваться зависимостями до-

положение “центра солитона” x₀, или амплитуду по-

лей мощности излучения, переносимого ПВ в ФК и

ля на границе раздела H_0c,s в зависимости от кон-

КК, соответственно: δP_P = P_P /P и δP_K = P_K/P_P

кретных условий и постановки экспериментов.

(δP_P + δP_K = 1). Тогда из (8) и (9) получаются оцен-

Сохраняющийся вдоль границы раздела слоев по-

ки доли мощности излучения, переносимого ПВ в

ток энергии, переносимый ПВ, представим в виде

ФК:

суммы потоков в ФК - P_P и КК - P_K:





q{k²⁰(n^2P -β²)+µ²}

g > 0,

+∞

qµ²+k²⁰(n^2P -β²)(q+2µ)

δP_P =

(10)



P =

|H(x)|²dx = P_P + P_K .

(4)

g < 0.

n^4P -2µx³⁰n^4K k²⁰(n^2P

-β²)

−∞

Среди параметров, определяющих зависимость

С учетом (2), поток в КК можно представить в

(10), и не относящимся к характеристикам кристал-

виде:

лов (показателям преломления), имеются фактиче-



ски только два, варьирование которых может реали-

 H^20cch²qx₀(1 + thqx₀)/q,

g > 0,

P_K =

(5)

зовываться на практике для выбранных материалов

 -H^20ssh²qx₀(1 + cthqx₀)/q, g < 0.

контакта: 1) угол падения волны - он связан напря-

мую с константой распространения β; 2) температу-

С учетом (3), поток, уносимый апериодической

√

ра - от нее напрямую зависит коэффициент зату-

ПВ в ФК при max{n_K,

n^2P - µ²/4k²⁰} < β < n_P ,

хания волны в ФК µ. Считая, что невозмущенный

можно представить в виде:

показатель преломления ФК слабо меняется с рос-

H^20c,s

{ (ν + µ/2 - γ_c,s)

(ν - µ/2 + γ_c,s)²

том температуры в диапазоне длин волн, возбужда-

P_P =

ющих ПВ (к примеру, в кристаллах LiNO₃ при длине

4ν²

µ - 2ν

µ + 2ν

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

Влияние температуры на перераспределение потока энергии. . .

781

волны 1064 нм обыкновенный показатель преломле-

доли энергии в ФК) достигается при температу-

ния практически не меняется и остается равным

ре, значение которой можно оценить по формуле:

2.234 в диапазоне температур 0-200^◦С, а необыкно-

T_m = (n^2P - β²)^1/2(e/2k₀n^4P r_effk_B).

венный показатель преломления слабо меняется от

Максимальное значение доли энергии ПВ

2.232 до 2.245 в этом же температурном интерва-

в КК определяется выражением δP_K(T_m)

√

ле [16]), будем предполагать, что увеличение тем-

n^2P - β²/(

β² - n^2K +

n^2P - β²). Значение

пературы ведет к росту коэффициента затухания.

температуры, при которой достигается максималь-

Поэтому случай постоянного “сильного трения” бу-

ное значение доли энергии ПВ в КК, определяется

дет соответствовать высоким температурам, а “сла-

оптическими характеристиками ФК, в то время

бого” - низким. Диапазон температур, при которых

как само максимальное значение доли энергии

могут происходить рассматриваемые перераспреде-

определяется показателями преломления обоих

ления энергии ПВ, с учетом того, что фоторефрак-

кристаллов.

тивный эффект при сильном нагревании слабеет [20],

При низких температурах в случае контакта ФК

будем ограничивать до порядка 400^◦С, когда зави-

с КК как с фокусирующей, так и с дефокусирую-

симостью показателей преломления от температуры

щей нелинейностями, происходит перераспределение

можно пренебречь.

доли энергии из ФК в КК (в пределе δP_P → 1).

С ростом температуры, как следует из (10), в слу-

Следует отметить, что от температуры также за-

чае контакта ФК с КК с фокусирующей нелинейно-

висят и такие характеристики ПВ, как глубина ее

стью происходит перераспределение доли энергии из

локализации lP = 2/µ = e/k20n4P0reffkBT и период

КК в ФК (в пределе δP_P → 1), а в случае контакта

пространственных осцилляций затухания поля в ФК

ФК с КК с дефокусирующей нелинейностью - наобо-

Λ_P = 2π/p = 2π tg ϕ_c,s/(γ_c,s - k²⁰n^4P r_effk_BT/e). Уве-

рот (δP_P → 0). Зависимость δP_P от температуры при

личение температуры приводит к уменьшению глу-

g < 0 монотонная независимо от того, затухает ПВ

бины локализации энергии затухающих с осцилляци-

с осцилляциями, или без. При g > 0 она монотонная

ями ПВ, а также периода пространственных осцил-

только для апериодически затухающих ПВ.

ляций затухания поля в ФК.

Таким образом, в данной работе показано, что

Для затухающих с осцилляциями ПВ зави-

вдоль границы ФК и КК могут распространяться

симость δP_P имеет температурный минимум, а

несколько типов нелинейных ПВ, различающихся ха-

δP_K - температурный максимум соответственно (см.

рактером затухания, и существующих в различных

рис. 1). Максимум доли энергии в КК (минимум

диапазонах значений константы распространения и

знака керровской нелинейности. Определены в яв-

ном аналитическом виде потоки и доли мощности

излучения, переносимые такими ПВ. Проанализиро-

вано влияние температуры на перераспределение до-

ли энергии излучения вдоль границы между контак-

тирующими кристаллами. Показано, что температу-

ра, при которой в КК доля мощности излучения до-

стигает максимального значения, определяется оп-

тическими характеристиками только ФК, а величи-

на максимальной доли мощности определяется опти-

ческими характеристиками обоих контактирующих

кристаллов.

Полученные в работе результаты могут иметь

значение при проектировании основанных на исполь-

зовании свойств ПВ элементов технических прило-

жений, испытывающих в ходе эксплуатации нагрев

или переходы в различные температурные режимы.

Рис. 1. (Цветной онлайн) Характерные зависимости

распределения долей мощности излучения, переноси-

мого ПВ в ФК и КК от температуры в отн. ед., по-

1. P. M. Petersen, A. Marrakchi, P. Buchhave, and

строенные по формуле (10) для модельных значений

P. E. Andersen, Ferroelectics 174, 149 (1995).

параметров кристаллов (k0 = 1; nP = 0.7; nK = 0.25;

2. E. Canoglu, C. M. Yang, and E. Garmire, Appl. Phys.

β = 0.5)

Lett. 69, 316 (1996).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

782

С. Е. Савотченко

3. S. J. Jensen, Spatial Structures and Temporal Dynamics

12. С. А. Четкин, И. М. Ахмеджанов, Квантовая элек-

in Photorefractive Nonlinear Systems, Roskilde,

троника 41, 980 (2011).

Denmark (1999), 115 p.

13. Д. Х. Усиевич, Б. А. Нурлигареев, В. А. Сычугов,

4. K. Buse, C. Denz, and W. Krolikowski, Appl Phys. B

Л. И. Ивлева, П.А. Лыков, Н.В. Богодаев, Кванто-

95, 389 (2009).

вая электроника 40, 437 (2010).

5. G. Bettella, R. Zamboni, G. Pozza, A. Zaltron,

14. Д. Х. Усиевич, Б. А. Нурлигареев, В. А. Сычугов,

C. Montevecchi, M. Pierno, G. Mistura, C. Sada,

Л. И. Ивлева, Квантовая электроника 41, 924 (2011).

L. Gauthier-Manuel, and M. Chauvet, Sensors and

15. В. Г. Беспрозванных, В. П. Первадчук, Нелинейные

Actuators B: Chem. 282, 391 (2019).

эффекты в волоконной оптике, Изд-во Перм. нац. ис-

6. D. Kip, Applied Physics B: Lasers and Optics 67, 131

след. политехн. ун-та, Пермь (2011) 228 с.

(1998).

16. Г. Г. Гурзадян, В. Г. Дмитриев, Д. Н. Никогосян,

7. М. П. Петров, С. И. Степанов, А. В. Хоменко, Фо-

Нелинейно-оптические кристаллы: Свойства и при-

торефрактивные кристаллы в когерентной оптике,

менение в квантовой Электронике, Радио и связь,

СПб., Наука, С.-Петерб. отд-ние (1992), 317 с.

М. (1991), 159 с.

8. А. П. Виноградов, С. Г. Ерохин, А. Б. Грановский,

17. О. В. Кобозев, С. М. Шандаров, Р. В. Литвинов,

М. Инуе, Радиотехника и электроника 49, 726 (2004).

Ю. Ф. Каргин, В. В. Волков, ФТТ 40, 2037 (1998).

9. Г. П. Агравал, Нелинейная волоконная оптика, Мир,

18. U. A. Laudyn, K. A. Rutkowska, R. T. Rutkowski,

М. (1996), 323 с.

M. A. Karpierz, T. R. Wolinski, and J. Wojcik, Cent.

10. В. Н. Белый, Н. А. Хило, Письма в ЖТФ 23, 31

Eur. J. Phys. 6(3), 612 (2008).

(1997).

19. В. В. Поляков, К. П. Полякова, В. А. Середкин,

11. T. H. Zhang, X. K. Ren, B. H. Wang, C. B. Lou, Z. J. Hu,

Г. С. Патрин, Письма в ЖТФ 38, 15 (2012).

W. W. Shao, Y. H. Xu, H.Z. Kang, J. Yang, D. P. Yang,

20. О. В. Бутов, К. М. Голиант, А. Л. Томашук, Кванто-

L. Feng, and J. J. Xu, Phys. Rev. A 76, 013827 (2007).

вая электроника 30, 517 (2000).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019