Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 11, с. 783 - 788

Эффект электрического поля в передаче тепла между металлами

в экстремальном ближнем поле

А. И. Волокитин¹⁾

Самарский государственный технический университет, 443100 Самара, Россия

Поступила в редакцию 23 апреля 2019 г.

После переработки 24 апреля 2019 г.

Принята к публикации 24 апреля 2019 г.

Приводятся расчеты радиационной передачи тепла между металлами в экстремальном ближнем

поле при наличии между ними разности потенциалов. За счет связи между электрическим полем излу-

чения и смещениями поверхностей, на нанометровых расстояниях радиационный тепловой поток между

двумя пластинами из золота, связанный с p-поляризованными электромагнитными волнами, возраста-

ет на много порядков при изменении разности потенциалов в диапозоне от 0 до 10 В. Радиационный

механизм передачи тепла сравнивается с фононным механизмом, связанным с электростатическим вза-

имодействием и c взаимодействием Ван-дер-Ваальса. При субнанометровых расстояниях и малой раз-

ности потенциалов доминирует фононный механизм, определяемый взаимодействием Ван-дер-Ваальса.

Однако с расстоянием фононный вклад убывает быстрее радиационного вклада, поэтому на нанометро-

вых расстояниях доминирует радиационный вклад. Полученные результаты могут использоваться для

управления тепловыми потоками на наноуровне с помощью разности потенциалов.

DOI: 10.1134/S0370274X19110110

Радиационный теплообмен на наноуровне име-

таты этих измерений находятся в хорошем согласии

ет фундаментальное значение [1-6] и обещает най-

с предсказаниями флуктуационной электродинами-

ти широкое применение в разнообразных технологи-

ки для широкого набора материалов и геометрий.

ях, начиная от термофотоэлектрических преобразо-

Несмотря на большой прогресс, достигнутый за

вателей энергии [7-12], неинвазивной тепловой визу-

последнее десятилетие в понимании радиационной

ализации [13] и заканчивая термомагнитной записью

передачи тепла на наноуровне, остаются значитель-

информации [14] и нанолитографией [2]. В настоя-

ные нерешенные проблемы в понимании теплообмена

щее время в связи с разработкой новых технологий,

между телами в экстремальном ближнем поле (раз-

связанных с наноразмерным тепловым управлением,

мер щели < 10 нм). Передача тепла между поверхно-

с накоплением и конвертацией энергии, и обработ-

стями в непосредственном контакте на много поряд-

кой информации, активно изучается проблема кон-

ков выше радиационного теплообмена, и она описы-

троля над передачей тепла [15-17]. На основе раз-

вается тепловой проводимостью в терминах фонон-

работанной Рытовым флуктуационной электродина-

ного механизма переноса тепла. Поэтому в экстре-

мики [18-20] теоретически было предсказано [1-5] и

мальном ближнем поле возникла необходимость опи-

экспериментально подтверждено [21, 22], что радиа-

сания перехода от радиационного механизма переда-

ционный тепловой поток между двумя телами с раз-

чи тепла к фононному механизму, что стимулирова-

ными температурами в области ближнего поля (ко-

ло активные исследования фононного механизма в

гда расстояние между телами d < λ_T = cℏ/k_BT , при

этой области [26-35].

комнатной температуре λ_T ∼ 10 мкм) может быть на

В настоящем Письме приводятся расчеты радиа-

много порядков больше предела, который устанав-

ционной передачи тепла между металлами в экстре-

ливается законом Планка для излучения черного те-

мальном ближнем поле при наличии разности потен-

ла. С развитием новой экспериментальной техники

циалов между ними. Разность потенциалов индуци-

за последнее десятилетие супер-планковскую пере-

рует на поверхности металлов поверхностную плот-

дачу тепла удалось наблюдать для вакуумных зазо-

ность заряда, в результате чего возникает связь меж-

ров между телами в интервале от сотен нанометров

ду смещениями поверхностей и электрическим полем

до нескольких ангстремов [23-25]. В целом, резуль-

излучения. В результате этой связи тепловые флук-

туации смещений поверхностей дают дополнитель-

¹⁾e-mail: alevolokitin@yandex.ru

ный вклад в флуктуирующее электромагнитное поле

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

783

784

А. И. Волокитин

и, как следствие, в радиационную передачу тепла.

для них уже не будут определяться формулами Фре-

Радиационный механизм передачи тепла сравнива-

неля, так как взаимодействие заряженной поверхно-

ется с фононным механизмом, связанным с электро-

сти с электрическим полем электромагнитной вол-

статическим взаимодействием между поверхностя-

ны создает механическое напряжение, которое будет

ми и с взаимодействием Ван-дер-Ваальса. Недавно

приводить к поверхностной поляризации за счет сме-

фононный механизм передачи тепла рассматривал-

щения поверхности. В электростатическом пределе

ся в работах [27, 28] путем вычисления коэффици-

напряженность электрического поля электромагнит-

ента туннелирования фононов при рассеянии аку-

ной волны с p-поляризацией имеет вид

стических волн на поверхности. В настоящей работе

E(q, ω, z) = Ie^iq·x-iωt ×

приводится альтернативный, более компактный ме-

{

тод расчета передачи тепла при фононном механиз-

n^-e^qz + R_pe^-qzn⁺, z > 0,

(3)

ме, основанный на использовании флуктуационно-

Tn^-e^qz,

z < 0,

диссипативной теоремы и механической восприим-

где x = (x, y), q - волновой вектор в плоскости

чивости поверхности, для которой в приближении

упругого континуума имеется аналитическая форму-

(x, y), n^± = (∓iq, z). Амплитуду отражения для заря-

женной поверхности будем определять из граничных

ла.

Рассмотрим две одинаковые металлические пла-

условий. Граничное условие для нормальной компо-

ненты напряженности электрического поля можно

стины, которые отделены друг от друга вакуумной

получить, интегрируя уравнение ∇ · D = 0, что дает

щелью с толщиной d. Пластина 1 имеет поверхность,

совпадающую с плоскостью xy, и расположена при

∫ +0

z < 0, а параллельная ей пластина 2 расположена

E^+z - ε(ω)E^-z = -iq

dz(E_q + 4πP_q),

(4)

−0

при z > d. Между поверхностями приложена раз-

ность потенциалов V , которая индуцирует поверх-

где E^±z = E_z (z = ±0), ε(ω) - диэлектрическая функ-

ностную плотность заряда

ция среды. Параллельная поверхности компонента

напряженности электрического поля E_q не может

σ₀ =

(1)

иметь сингулярности на поверхности, поэтому пер-

4πd

вый интеграл в правой части уравнения (4) обраща-

Передача тепла между пластинами может осуществ-

ется в нуль. Если на поверхности нет пленки с конеч-

ляться посредством радиационного механизма, свя-

ной поляризуемостью, то обращается в нуль и второй

занного с флуктуирующим электромагнитным по-

интеграл. Поэтому при отсутствии на поверхности

лем, создаваемым тепловыми флуктуациями плот-

слоя с конечной поляризуемостью граничное усло-

ности заряда и тока внутри тел. В случае заряжен-

вие на поверхности при d = 0 для нормальной ком-

ной поверхности тепловые флуктуации смещений по-

поненты напряженности электрического поля для p-

верхности также будут давать вклад в флуктуирую-

поляризованной электромагнитной волны имеет та-

щее электромагнитное поле и радиационную переда-

кой же вид, что и для нейтральной поверхности:

чу тепла. Вклад в поток тепла между двумя поверх-

ностями, разделенными выкуумным промежутком d,

E^+z = ε(ω)E^-z.

(5)

за счет неоднородных (безизлучательных) электро-

В случае заряженной поверхности нормальная

магнитных волн при d ≪ cℏ/k_BT определяется фор-

к поверхности компонента электрического поля E_z

мулой [4-6]

∫ ∞

будет приводить к нормальной компоненте поверх-

J^rad =

dω [Π₁(ω) - Π₂(ω)] ×

ностной поляризации за счет смещения поверхности

π²

вдоль оси z

∫ ∞

× qdqe^-2qd ×

p_z = σ₀ue^iq·x-iωt = σ²⁰ME^+ze^iq·x-iωt,

(6)

[

]

(ImR_p)

ImR_s)²

где M-механическая восприимчивость, которая

(2)

|1-e^-2qdR^2p |²

|1-e^-2qdR^2s

|²

определяет смещение поверхности

где

ℏω

u(x) = ue^iq·x-iωt

(7)

Π_i(ω) =

e^ℏω/kB^Ti - 1

под действием приложенного к ней механического

R_p и R_s

- амплитуды отражения для p- и s-

напряжения

поляризованных электромагнитных волн. В слу-

чае заряженных поверхностей амплитуды отражения

σ(x) = σ₀E^+ze^iq·x-iωt.

(8)

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

Эффект электрического поля в передаче тепла между металлами. . .

785

Для получения граничного условия для параллель-

взаимодействие между ними, возникающее при их

ной поверхности компоненты напряженности элек-

смещении. Взаимодействие близко расположенных

трического поля вычислим циркуляцию вектора E по

заряженных поверхностей будем определять в элек-

контуру прямоугольника, две стороны которого па-

тростатическом пределе, следуя подходу из работы

раллельны поверхности и расположены при z = ±0,

[27]. Будем считать, что поверхность 1 при z = 0

а две другие стороны перпендикулярны поверхно-

находится при нулевом потенциале, а поверхность 2

сти. Параллельная поверхности компонента индук-

при z = d имеет потенциал, равный V . В отсутствии

ции магнитного поля непрерывна на поверхности,

смещения поверхностей потенциал в вакуумной ще-

поэтому магнитный поток через поверхность прямо-

ли имеет вид

угольника будет равен нулю. Тогда из закона Фара-

φ₀(z) =

(13)

дея следует

Смещение поверхности 1

∫ +0

E^+q - E^-q = iq

dzE_z(z) =

u₁(x) = u₁e^iq·x

(14)

-0

∫ +0

dE_z

будет приводить к изменению электростатического

= -iq

dzz

= -4πiqp_z = -4πiqσ²⁰ME_z. (9)

поля в вакуумном промежутке при 0 < z < d, кото-

-0

рое может быть описано потенциалом

Из уравнений

(5) и

(9) находим амплитуду от-

(

)

ражения для

заряженной поверхности для p-

φ(x, z) = φ₀(z) +

ν_-e^-qz + ν₊e^qz

e^iq·x.

(15)

поляризованных электромагнитных волн

В электростатическом пределе потенциал поверхно-

ε - 1 + 4πqσ²⁰Mε

сти металла должен оставаться неизменным при сме-

R_p =

(10)

ε + 1 - 4πqσ²⁰Mε

щении поверхности. Откуда следует граничное усло-

вие на поверхности 1

Для s-поляризованных волн можно пренебречь взаи-

модействием электромагнитной волны со смещения-

E₀u₁ + ν_- + ν₊ = 0,

(16)

ми поверхности, поэтому амплитуда отражения для

где E₀ = V/d. На поверхности 2 граничное условие

них описывается формулой Френеля, которая в обла-

имеет вид

сти ближнего поля (d ≪ λ_T = cℏ/k_BT) может быть

ν_-e^-qd + ν₊e^qd = 0.

(17)

записана в виде

√

Из уравнений (16) и (17) получаем

(ω/c)² - q² -

ε(ω/c)² - q²

R_s =

√

≈

(ω/c)² - q² -

ε(ω/c)² - q²

E₀u₁e^-qd

ν₊ =

(18)

√

e^qd - e^-qd

iq -

ε(ω/c)² - q

≈

√

(11)

iq +

ε(ω/c)² - q²

E₀u₁e^qd

ν_- = -

(19)

e^qd - e^-qd

Для изолированной поверхности в модели упру-

Нормальная компонента напряженности электриче-

гого континиума механическая восприимчивость по-

ского поля при 0 < z < d имеет вид

верхности имеет вид [36]

(

)

qE₀

e^q(z-d) + e^q(d-z)

(ω)2 p_l(q,ω)

E_z = -E₀ -

u₁eiq·x.

(20)

M₀ =

(12)

e^qd - e^-qd

ρc²

c_t

S(q, ω)

Используя тензор напряжений Максвелла, можно

где

]₂

найти механические напряжения, которые действу-

[(

)₂

ют на поверхность 1

S(q, ω) =

- 2q²

+ 4q²p_tp_l,

c_t

[

(

)

]

|E_z (z = 0)|²

E²⁰

e^qd + e^-qd

]_1/2

σ₁₁ =

≈

u₁eiq·x

[(

)₂

8π

e^qd - e^-qd

[(ω)2

p_t =

- q² + i0

, p_l =

- q² + i0

c_t

c_l

(21)

и поверхность 2

где ρ, c_l, и c_t - плотность среды, скорости продоль-

[

]

ных и поперечных акустических волн, соответствен-

|E_z(z = d)|²

E²⁰

σ₂₁ = -

≈-

u₁eiq·x

но. Однако в случае близко расположенных поверх-

8π

e^qd - e^-qd

ностей для нахождения M необходимо учитывать

(22)

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

786

А. И. Волокитин

при смещения поверхности 1. Из уравнений (21) и

u₂ = M₀(au₂ - bu₁),

(33)

(22) следует, что смещение поверхности 1 создает до-

где M₀ определяет смещение изолированной поверх-

бавочные напряжения σ₁₁ = au₁ и σ₂₁ = -bu₁, где

ности под действием приложенного к ней напряже-

(

)

E²⁰

e^qd + e^-qd

ния. Из уравнений (32) и (33) следует, что u1 =

(23)

= Mσ^ext1, где

4π e^qd - e^-qd

E²⁰

(1 - aM₀)M₀

(24)

M =

(34)

2π e^qd - e^-qd

(1 - aM₀)² - b²M

Из (23)-(31) следует, что a ≈ b при qd ≪ 1. В этом

определяет смещение поверхности под действием

случае становится справедливой “модель пружинок”,

приложенного к ней механического напряжения с

которая рассматривалась в работах [26, 29, 32]. Од-

учетом ее взаимодействия с другой такой же поверх-

нако количественно “модель пружинок” справедлива

ностью.

только для нереалистически малых расстояний [27].

Рассмотрим теперь другой механизм передачи

При смещении поверхности 2 граничное условие на

тепла, связанный с взаимодействием между флукту-

поверхности 1 имеет вид

ирующими смещениями поверхностей. Ранее такой

механизм рассматривался в “модели пружинок”, в

ν_- + ν₊ = 0,

(25)

которой предполагается, что взаимодействие между

а на поверхности 2 граничное условие имеет вид

поверхностями определяется локальным расстояни-

ем между ними [26]. Согласно флуктуационной элек-

ν_-e^-qd + ν₊e^qd + E₀u₂ = 0.

(26)

тродинамики [6] смещение поверхности u_i = u^fi +u^indi,

где u

- флуктуирующее смещение за счет тепловых

В результате напряженность электрического поля,

и квантовых флуктуаций внутри тел и u^indi - инду-

возникающего при смещении поверхности 2, имеет

цированное смещение, которое возникает за счет вза-

вид

имодействия между поверхностями. Таким образом,

qE₀(e^qz + e^-qd)

E_z = -E₀ +

u₂e^iq·x.

(27)

смещения поверхностей определяются уравнениями

e^qd - e^-qd

Используя (27) в тензоре напряжений Максвелла, по-

u₁ = u^f1 + M₀(au₁ - bu₂),

(35)

лучаем напряжения, которые действуют на поверх-

ности 1 σ₁₂ = -bu₂ и поверхность 2 σ₂₂ = au₂ за счет

u₂ = u^f2 + M₀(au₂ - bu₁).

(36)

смещения поверхности 2. При совместном смещении

Согласно флуктуационно-диссипативной теореме,

поверхностей напряжения, которые действуют на по-

спектральная плотность флуктуаций смещений

верхности 1 и 2, определяются уравнениями

поверхности определяется формулой [37]

σ₁ = au₁ - bu₂,

(28)

ℏω

〈|u

|²〉 = ℏImM₀(ω, q)coth

(37)

2k_BT_i

σ₂ = au₂ - bu₁.

(29)

Для взаимодействия Ван-дер-Ваальса механические

Из (35) и (36) получаем

напряжения, которые действуют на поверхности в

(1 - aM₀)u^f1 - bM₀u^f2

результате их смещения, также определяются урав-

u₁ =

(38)

(1 - aM₀)² - b²M²

нениями (28) и (29), в которых [27, 28]

u₂ получается из u₁ в результате перестановки ин-

(30)

дексов (1 ↔ 2). Напряжение, которое действует на

2πd⁴

поверхность 2 за счет флуктуаций смещения поверх-

H q²K₂(qd)

ности 1, определяется формулой

(31)

4π d²

bu^f1

где H - постоянная Хамакера, K₂(x) - модифици-

σ^f21 = -

(39)

рованная функция Бесселя второго рода и второго

(1 - aM₀)² - b²M²

порядка. Если на поверхность 1 действует напряже-

Напряжение σ^f12, которое действует на поверхность

ние σ^ext1, то это приведет к смещениям поверхностей

1 за счет счет флуктуаций смещения поверхности 2

согласно уравнениям

путем замены (1 → 2). Переда-

получается из σ^f21

u₁ = M₀(σ^ext1 + au₁ - bu₂),

(32)

ча тепла от среды 1 к среде 2 при взаимодействии

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

Эффект электрического поля в передаче тепла между металлами. . .

787

между флуктуирующими смещениями поверхностей

где ω_p = 1.71 · 10¹⁶ с^-1, ν = 4.05 · 1013 с-1. Вклад

определяется формулой [37]

от s-волн в экстремальном ближнем поле, как бы-

ло установлено ранее [4], практически не зависит от

J^ph = 〈 u^ind2σ^f21〉 - 〈u^ind1σ^f12〉 =

расстояния d, так как из формулы (11) следует [27],

∫ ∞

∫

что ImR_s отлична от нуля при

dω

d²q

[

]

ωImM₀

〈|σ₁₂|²〉 - 〈|σ₂₁|²〉

1/2

ω√

(k_BT)

2π

(2π)²

|ε(ω)| ∼

(42)

∫ ∞

ℏν

dω [Π₁(ω) - Π₂(ω)] ×

Поэтому при

(

)_1/2

2π²

ℏν

∫ ∞

(43)

b²(ImM₀)²

ω_p k_BT

dqq

(40)

| (1 - aM₀)² - b²M²⁰ |²

вклад от s-волн будет практически не зависеть от

расстояния. При комнатной температуре критиче-

Рисунок 1 показывает зависимость потока теп-

ское расстояние ∼ 2 · 10^-8 м. Разность потенциалов

ла между двумя пластинами из золота от рассто-

приводит к связи электрического поля электромаг-

нитной волны со смещениями поверхностей. За счет

этой связи сильно возрастает поглощение p-волн,

связанное с возбуждением акустических колебаний,

и, как следствие, возрастает вклад p-волн в передачу

тепла. С увеличением разности потенциалов вклад

p-волн в передачу тепла в экстремальном ближнем

поле возрастает на много порядков и он становится

больше, чем вклад от s-волн. При субнанометровых

расстояниях и малой разности потенциалов в пере-

даче тепла доминирует вклад, связанный туннели-

рованием фононов за счет взаимодействия Ван-дер-

Ваальса между поверхностями. Однако с расстояни-

ем фононный вклад убывают значительно быстрее,

Рис. 1. (Цветной онлайн) Зависимость потока тепла

поэтому при расстояниях d > 1 нм доминирует ради-

между двумя пластинами из золота от расстояния

ационный вклад.

между ними для различных механизмов. Температура

Заключение. Выполнен расчет радиационной

одной пластины T = 300 K, а другой T = 0 K. Красная

передачи тепла между двумя пластинами из золота

сплошная, штриховая и пунктирная линии для вкладов

в экстремальном ближнем поле при наличии меж-

от p-поляризованных электромагнитных волн при ра-

ду пластинами разности потенциалов. Показано, что

диационном механизме передачи тепла в ближнем по-

с увеличением разности потенциалов радиационный

ле при разности потенциалов V = 10 В, V = 1 В и 0 B,

соответственно. Желтая линия для того же механиз-

вклад в передачу тепла от p-поляризованных элек-

ма, но для вклада от s-поляризованных волн. Зеленая

тромагнитных волн при субнанометровых расстоя-

сплошная и пунктирная линии для фононного меха-

ниях возрастает на много порядков за счет связи

низма при электростатическом взаимодействии между

электромагнитных волн с акустическими волнами в

поверхностями при V = 10 В и V = 1 В, соответственно.

металле, которая возникает при индуцировании по-

Синия линия для фононного механизма при взаимодей-

верхностной плотности заряда. Радиационный меха-

ствии Ван-дер-Ваальса между поверхностями. Черная

низм передачи тепла сравнивался с фононным ме-

линия для радиационной передачи тепла посредством

ханизмом при электростатическом взаимодействии

излучения черного тела

и взаимодействии Ван-дер-Ваальса между поверхно-

стями. Показано, что при субнанометровых рассто-

яния между ними для различных механизмов при

яниях и разности потенциалов V < 1В доминиру-

температуре одной пластины T = 300 K, а другой

ет фононный механизм, связанный с взаимодействи-

при T

= 0K. Расчеты выполнены с параметрами

ем Ван-дер-Ваальса. Однако с расстоянием фонон-

c_l = 3240 мс^-1, c_t = 1200 мс^-1, ρ = 1.9280 · 10⁴ кгм^-3,

ный вклад убывает быстрее, поэтому при расстояни-

H = 34.7·10^-20Дж [27,28] и диэлектрической функ-

ях d > 1нм доминирует радиационный вклад. Полу-

цией для золота [38]

ченные результаты могут использоваться для управ-

ω²

ления тепловыми потоками на наноуровне с помо-

ε=1-

(41)

щью разности потенциалов.

ω² + iων

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

5^∗

788

А. И. Волокитин

Исследование выполнено при финансовой под-

19.

М. Л. Левин, С. М. Рытов, Теория равновесных теп-

держке Российского фонда фундаментальных иссле-

ловых флуктуаций в электродинамике, Наука, М.

дований в рамках научного проекта # 19-02-00453.

(1967).

20.

S. M. Rytov, Y. A. Kravtsov, and V.I. Tatarskii,

Principles of Statistical Radiophysics, Springer, Berlin

D. Polder and M. van Hove, Phys. Rev. B 4, 3303 (1971).

(1987).

J. B. Pendry, J. Phys.: Condens. Matter 11, 6621 (1999).

21.

S. Shen, A. Narayanaswamy, and G. Chen, Nano Lett.

K. Joulain, J. P. Mulet, F. Marquier, R. Carminati, and

9, 2909 (2009).

J.-J. Greffet, Surf. Sci. Rep. 57, 59 (2005).

22.

E. Rousseau, A. Siria, G. Jourdan, S. Volz, F. Comin,

A.I. Volokitin and B. N. J. Persson, Phys. Rev. B 63,

J. Chevrier, and J.-J. Greffet, Nat. Photonics 3, 514

205404 (2001).

(2009).

A.I. Volokitin and B. N.J. Persson, Rev. Mod. Phys.

23.

B. Song, A. Fiorino, E. Meyhofer, and P. Reddy, AIP

79, 1291 (2007).

Adv. 5, 053503 (2015).

A.I. Volokitin and B. N. J. Persson, Electromagnetic

24.

L. Cui, W. Jeong, V. Fernández-Hurtado, J. Feist,

Fluctuations at the Nanoscale. Theory and Applications,

F. J. Garc´ia-Vidal, J. C. Cuevas, E. Meyhofer, and

Springer, Heidelberg (2017).

P. Reddy, Nat. Commun. 8, 1 (2017).

Y. Guo, S. Molesky, H. Hu, C. L. Cortes, and Z. Jacob,

25.

K. Kim, B. Song, V. Fernández-Hurtado, W. Lee,

Appl. Phys. Lett. 105, 073903 (2014).

W. Jeong, L. Cui, D. Thompson, J. Feist, M. T. Homer

Reid, F. J. Garcia-Vidal, J. C. Cuevas, E. Meyhofer, and

M. Laroche, R. Carminati, and J.-J. Greffet, J. Appl.

P. Reddy, Nature 528, 387 (2015).

Phys. 100, 063704 (2006).

26.

B. N. J. Persson, A. I. Volokitin, and H. Ueba, J. Phys.

R. Messina and P. Ben-Abdallah, Sci. Rep. 3, 1383

Condens. Matter 23, 045009 (2011).

(2013).

27.

J. B. Pendry, K. Sasihithlu, and R. V. Craste, Phys. Rev.

10.

A. Narayanaswamy and G. Chen, Appl. Phys. Lett. 82,

B 94, 075414 (2016).

3544 (2003).

28.

K. Sasihithlu, J. B. Pendry, and R. V. Craster,

11.

W. A. Challener, C. Peng, A. V. Itagi, D. Karns,

Z. Naturforsch. A 72(2),181 (2017).

W. Peng, Y. Peng, X. Yang, X. Zhu, N. J. Gokemeijer,

Y.-T. Hsia, G. Ju, R. E. Rottmayer, M. A. Seigler, and

29.

Y. Ezzahri and K. Joulain, Phys. Rev. B 90, 115433

E. C. Gage, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 109,

(2014).

305 (2008).

30.

D. P. Sellan,

E. S.

Landry, K. Sasihithlu,

12.

V.B. Svetovoy and G. Palasantzas, Phys. Rev. Appl. 2,

A. Narayanaswamy, A. J. H. McGaughey, and

034006 (2014).

C. H. Amon, Phys. Rev. B 85, 024118 (2012).

13.

Y. De Wilde, F. Formanek, R. Carminati, B. Gralak,

31.

V. Chiloyan, J. Garg, K. Esfarjani, and G. Chen, Nat.

P.-A. Lemoine, K. Joulain, J. P. Mulet, Y. Chen, and

Commun. 6, 6755 (2015).

J.-J. Greffet, Nature 444, 740 (2006).

32.

B. V. Budaev and D. B. Bogy, Appl. Phys. Lett. 99,

14.

W. A. Challener, C. Peng, A. V. Itagi, D. Karns,

053109 (2011).

W. Peng, Y. Peng, X. Yang, X. Zhu, N. J. Gokemeijer,

33.

Z.-Y. Ong, Y. Cai, and G. Zhang, Phys. Rev. B 94,

Y.-T. Hsia, G. Ju, R. E. Rottmayer, M. A. Seigler, and

165427 (2016).

E. C. Gage, Nature Photonics 3, 220 (2009).

34.

I. Altfeder, A. A. Voevodin, and A. K. Roy, Phys. Rev.

15.

P. Ben-Abdallah and S.-A. Biehs, Phys. Rev. Lett. 112,

Lett. 105, 166101 (2010).

044301 (2014).

35.

M. Prunnila and J. Meltaus, Phys. Rev. Lett. 105,

16.

P. Ben-Abdallah and S.-A. Biehs, Appl. Phys. Lett. 103,

125501 (2010).

191907 (2013).

36.

B. N. J. Persson, J. Chem. Phys. 115, 3840 (2001).

17.

K. Joulain, Y. Ezzahri, J. Drevillon, and P. Ben-

37.

L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Statistical Physics

Abdallah, Appl. Phys. Lett. 106, 133505 (2015).

(Volume

of A Course of Theoretical Physics),

18.

С. М. Рытов, Теория электрических флуктуаций и

Pergamon Press, Oxford (1980).

теплового излучения, Издательство АН СССР, М.

38.

P.-O. Chapuis, S. Volz, C. Henkel, K. Joulain, and

(1953).

J.-J. Greffet, Phys. Rev. 77, 035431 (2008).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019