Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 11, с. 797 - 802

О точных решениях для жидкости Латинджера с одной примесью

В.В.Афонин⁺¹⁾, В.Ю.Петров^∗

⁺Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе РАН, 194021 С.-Петербург, Россия

^∗Санкт-Петербургский институт ядерной физики, 188300 С.-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 11 марта 2019 г.

После переработки 28 апреля 2019 г.

Принята к публикации 29 апреля 2019 г.

В работе обсуждаются причины существования точных решений модели Латинджера. Показано,

что при некоторых значениях константы связи электрон-электронного взаимодействия рассеяние на

примесях может быть записано в терминах фермиевских квазичастиц, точно учитывающих электрон-

электронное взаимодействие. Это существенно упрощает анализ, а в ряде случаев приводит к существо-

ванию точных решений.

DOI: 10.1134/S0370274X19110134

I. Введение. Система одномерных взаимодей-

или куперовских (притяжение) пар [4]. Линейность

ствующих фермионов (модель Латинджера) допус-

же спектра приводит к тому, что даже с учетом вза-

кает точное решение. Это решение может быть по-

имодействия описание модели Латтинджера на язы-

лучено различными методами. Однако наиболее упо-

ке бозонов и фермионов оказывается равноправным.

требительным является метод бозонизации [1, 2].

Однако свойства и квантовые числа этих квазича-

Как известно, в одномерных системах с линей-

стиц сильно отличаются друг от друга. Поэтому воз-

ным спектром состояние с одной и той же энерги-

никает вопрос, на языке каких возбуждений удоб-

ей может быть представлено в виде большого числа

нее описывать наблюдаемые величины, а также воз-

различных нерасплывающихся пакетов, состоящих

мущения, введенные в систему. Обычно, удобнее ис-

из разного числа частиц. Это явление принято на-

пользовать бозонное представление, поскольку ква-

зывать вырождением состояний. Понятно, что паке-

зичастицы в этом случае тесно связаны с операто-

ты, состоящие из четного и нечетного числа фермио-

рами плотности заряда и тока электронов. Однако,

нов обладают разными коммутационными свойства-

поскольку исходная модель Латинджера описывает

ми. Первые являются бозонами, а вторые - фермио-

электроны, использование фермионного представле-

нами. Таким образом, любая наблюдаемая величина

ния для квазичастиц выглядит более естественным.

может быть выражена как на языке бозонных, так

Точная решаемость одномерной модели Латин-

и фермионных операторов. Отличить эти описания

джера связана с высокой симметрией этой теории.

можно, только если указанное вырождение снимает-

До тех пор, пока отсутствует рассеяние назад, она

ся. Например, это происходит, если в задаче появля-

обладает двумя симметриями - калибровочной (вол-

ется щель, причем вырождение может сниматься как

новые функции и правых и левых электронов домно-

в пользу бозонов, так и в пользу фермионов (так про-

жаются на экспоненту с одной и той же фазой) и

исходит, наример, в безмассовой модели Швингера

киральной (фазы в преобразовании волновых функ-

[3]). Вместе с этим, хорошо известно, что в нереляти-

ций правых и левых электронов отличаются знаком).

вистской модели Латинджера с точечным электрон-

Благодаря этому в теории сохраняются не только

электронным (е-е) взаимодействием спектр остается

полное число электронов, но и число правых и ле-

линейным, - перенормируется лишь скорость Фер-

вых частиц по отдельности. Это приводит к тому, что

ми. Основным состоянием в этом случае является

имеются два сохраняющихся тока: обычный элек-

фаза Костерлица-Таулеса-Березинского: все функ-

трический ток, входящий в уравнение неразрывно-

ции Грина спадают степенным образом с нецелыми

сти для электрического заряда (он определяется сум-

показателями, меньшими, чем в свободной теории, а

мой правых и левых электронов), и аксиальный ток.

основное состояние представляет из себя макроско-

Последний входит в уравнение неразрывности для

пически большое число киральных (отталкивание)

кирального заряда (разности чисел правых и левых

электронов). Введение же даже одной точечной при-

¹⁾e-mail: vasili.afonin@mail.ioffe.ru

меси в одномерный канал нарушает это свойство и

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

797

798

В.В.Афонин, В.Ю.Петров

теория, в общем случае, более не может быть реше-

модействие фермиевских квазичастиц с константой

на точно.

связи, зависящей от примесного рассеяния. Это са-

Модель Латинджера с точечной примесью была

модействие существует только в одной точке (месте

предметом исследования во многих работах, начиная

расположения примеси), а в остальных - фермиев-

с классических статей [5, 6]. Теория исследовалась

ские квазичастицы не взаимодействуют между со-

в двух различных приближениях. В рамках первого

бой. Этот факт существенно облегчает анализ даже

приближения предполагалось, что примесь рассеи-

в том случае, когда задача не является точно реша-

вает слабо, а взаимодействие сколь угодно велико.

емой.

Решение задачи в этом случае может быть получено

II. Ферминизация теории латинджеровской

методом бозонизации. Во втором подходе наоборот

жидкости с примесным рассеянием. В подав-

считалось, что рассеяние на примеси не мало, а вза-

ляющем большинстве работ, посвященных исследо-

имодействие электронов предполагалось достаточно

ванию влияния упругого рассеяния взаимодействую-

слабым. В этом случае поправки к взаимодействию

щих электронов на транспортные свойства одномер-

приводят к логарифмически расходящимся диаграм-

ного канала, обычно используют гамильтониан:

мам, которые могут быть учтены методом ренорма-

H_tot =

лизационной группы.

∫

[

]

Уже в одной из первых работ [5], посвященнных

= v_F dx

Ψ+

(x)(-i∂_x)ΨR(x) +

Ψ+

(x)(i∂_x)ΨL(x) +

данной задаче, указывалось, что она может быть ре-

∫

шена точно для специального значения величины е-е

взаимодействия, при котором v_c = 2 (задача с оттал-

dxdy ρ(x)U_ee(x - y)ρ(y) +

(1)

киванием электронов). С разных точек зрения слу-

∫

чай v_c = 2 изучался и в других работах (см. [7] и

+ dx U_imp(x)[Ψ^+R(x)Ψ_L(x) + h.c.].

ссылки в ней.) Из соображений дуальности можно

ожидать, что точно решаемым будет и случай v_c =¹² .

В этом выражении

Ψ(x)_L,R - волновые функции пра-

(Все скорости мы измеряем в единицах исходной ско-

вых и левых электронов (для простоты мы считаем

рости Ферми).

электроны однокомпонентными), а ρ(x) = ρ_R(x) +

Отметим, что точное решение модели Латиндже-

+ρ_L(x) - полная плотность электронов. (Мы исполь-

ра оказалось востребованным и в других задачах тео-

зуем систему единиц, в которой постоянная Планка

рии твердого тела. В частности, в работе [8] было

равна 1).

показано, что гамильтониан системы, описывающий

Строго говоря, процедура линеаризации исходно-

идеальный точечный контакт и состоящий из кванто-

го гамильтониана, необходимая для получения вы-

вой точки и двумерного берега, может быть сведен к

ражения (1), возможна только для рассеяния с ма-

гамильтониану модели Латинджера с одной упругой

лым изменением импульса электронов. Рассеяние же

примесью при v_c = 2. Существование точного реше-

назад требует изменения импульса на величину по-

ния в этом случае позволило исследовать эффекты,

рядка 2p_F. Так что описание рассеяния назад, как

∫

связанные с кулоновской блокадой при коэффициен-

dx U_imp(x)[Ψ^+R(x)Ψ_L(x) + h.c.] выглядит не вполне

те туннелирования, близком к единице.

последовательным. Однако, можно надеяться, что

В данной работе мы покажем, что точные реше-

для исследования отклика электронов на медленно

ния задачи с примесью возможны потому, что взаи-

меняющееся внешнее поле важен только факт суще-

модействие электронов с примесью при некоторых

ствования рассяния назад, а детали поведения элек-

значениях v_c выглядит просто на языке фермион-

тронных волновых функций на масштабе ≤ 1/p_F

ных квазичастиц модели Латинджера, в которых все

несущественны для транспортных свойств одномер-

исходное е-е взаимодействие уже учтено. В случае

ного канала (здесь p_F - импульс Ферми). Это при-

v_c = 2 гамильтониан примеси линеен, а при v_c =¹²

водит к тому, что линеаризованный гамильтониан

квадратичен по операторам квазичастиц. В обоих

(1) считается справедливым и для точечной приме-

случаях полный гамильтониан задачи может быть

си. Поэтому мы тоже будем использовать выражение

приведен к диагональному виду с помощью унитар-

(1), считая примесь точечной (U_imp(x) = V_impδ(x)),

ного преобразования, и, следовательно, задача мо-

а взаимодействие - короткодействующим (U_ee(x) =

жет быть решена точно. Мы также разберем гамиль-

= V_eeδ(x)). (Альтернативный подход изложен в [9],

тонианы, получающиеся при некоторых других зна-

см. также ссылки в ней).

чениях v_c, в которых рассеяние взаимодействующих

Мощным методом для решения задач, связанных

электронов на примеси может быть записано как са-

с одномерными взаимодействующими электронами,

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

О точных решениях для жидкости Латинджера с одной примесью

799

является метод бозонизации. Он основывается на

быть вычислен по обычной формуле, справедливой

возможности выразить операторы рождения ферми-

для невзаимодействующих фермионов: e^2∗/2π. Ква-

Ψ^†

онов

(x), двигающихся вправо и влево (±), через

зичастичное представление жидкости Латинджера

бозонные поля

Ô(x)_±:

оказывается полезным для понимания качественной

картины явления, но, на первый взгляд, кажется бес-

(

) σ^†±

Ψ^†

полезным для использования в качестве “нулевого

(x) = exp A^†± (x)

√

exp(-A_± (x)).

(2)

приближения” при решении задач, связанных с рас-

∑

сеянием электронов на упругих примесях. Дело в

√2πˆ

A^†± (x) =

exp(∓ip_nx)

O_±(x)(p),

том, что нормальные возбуждения χ_±(x) из-за силь-

p_n

n>0

ного е-е взаимодействия связаны с исходными элек-

– в этом выражении предполагаются периодические

тронами с помощью сложного нелинейного преобра-

граничные условия для электронных полей, т.е. p_n =

зования

= 2πn/L, σ_± - аналог лестничных операторов Хал-

дейна [10], определяемых условиями

σ^†±σ_±

= 1,

χ₊ (x) ∝ σ₊[σ^†R Ψ_R (x)]^chθ[σ_L Ψ^†L (x)]^shθ,

{σ_±, σ_∓} = 0 и коммутирующих со всеми бозонами.

Отметим, что антикоммутация электронных полей

с нецелыми степенями полей Ψ_R,L (x) в правой части

Ψ_± (x) на δ-функцию получается в пределе L → ∞ и

этого соотношения. Таким образом, примесная часть

для этого в показателях экспонент A_± важен только

гамильтониана (1) при произвольной силе е-е взаи-

с-числовой коэффициент при бозонных полях

Ô(x)_±

модействия будет содержать дробные степени опе-

(сами же поля

Ô(x)_± могут быть любыми).

раторов χ_±(x). Это полностью нивелирует преиму-

В теории твердого тела под бозонизацией чаще

щества, возникающие из-за того, что все е-е взаимо-

всего понимают случай, когда

Ô(x)_± - это просто бо-

действие оказывается учтенным до решения задачи о

зонные поля

C_R,L (p), связанные с плотностью пра-

рассеянии электронов на примеси. Однако, при неко-

вых или левых электронов соотношением [11, 12]:

∫

торых, вполне конкретных значениях v_c, с помощью

√2π

соотношения (2) можно ввести поля χ(x) таким обра-

C_R,L (p) =

dx exp(∓ipx)̺_R,L (x) ,

p > 0.

зом, чтобы примесная часть гамильтониана выража-

(3)

лась через целочисленные степени этих операторов.

В этом случае фермионные поля, фигурирующие в

Тот факт, что е-е взаимодействие в этом случае уже

левой части (2), - их волновые функции (ΨR,L (x)).

учтено, облегчает решение задач с примесным рас-

Иногда для решения вопросов, непосредственно

сеянием при больших значениях V_ee. Существование

не связанных с вычислениями транспортного то-

точного решения в одной из этих точек v_c = 2 хорошо

ка, удобны другие представления электронных опе-

известно [14, 15]. В следующем разделе мы, для до-

раторов. Например, в работе [13] нами использо-

казательства правильности предложенного подхода,

валось представление (2) для получения выраже-

выведем этот эквивалентный гамильтониан. Кроме

ния для нормальных возбуждений латинджеровской

того, мы покажем, что ферминизация модели Латт-

жидкости без примеси и точечным взаимодействи-

инджера позволяет получить эквивалентные теории

ем - χ_±(x). Для этого оказалось достаточно исполь-

с целочисленными степенями фермионных полей при

зовать вместо поля

Ô(x)_± бозонные поля, диагонали-

других значениях v_c. Преимущество такого подхода

зующие исходный гамильтониан (1) без примесного

состоит в том, что он содержит в качестве взаимодей-

рассеяния и выражающиеся через бозоны (3) с помо-

ствия только примесное рассеяние и, вместе с этим,

щью преобразования

допускает применение обычных методов теории по-

ля, т.к. содержит только целые степени фермионных

C (p) = chθCR (p) + shθC†L (p),

(4)

полей. Это возможно для v_c = 2, 1/2, 1/8, 2/9, 2/25

C^† (-p) = chθC†L (p) + shθCR (p).

В качестве примера, в следующем разделе мы выве-

(В этом выражении “угол поворота” θ определяется

дем эквивалентный гамильтониан для v_c = 1/2.

√

соотношением sh2θ = V_ee/(2πv_c), а v_c =

1 + V_ee/π -

III. Эквивалентные гамильтонианы жидко-

перенормированная скорость Ферми). Без примеси

сти Латинджера при специальных значениях

эти квазачастицы не взаимодействуют друг с дру-

v_c.

гом, и, из-за поляриризации основного состояния,

A. v_c = 2.

их заряд (e_∗) отличен от заряда электрона и равен

Как уже отмечалось выше, операторы волновых

e/√vc. Таким образом, кондактанс канала без при-

фунций правого (левого) электронов в шредингеров-

меси и с δ-функционным е-е взаимодействием может

ском представлении могут быть записаны в виде:

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

800

В.В.Афонин, В.Ю.Петров

[

√

]

1∑

2π

σ_R,L

Несмотря на то, что взаимодействие, связанное с

Ψ_R,L(x) = exp -

e^∓ipx

C^+R,L(p)

√

примесным рассеянием, оказалось линейным по фер-

n>0

[

]

мионным операторам, все выражение (8) нельзя при-

√

∑

2π

вести к квадратичной форме просто сдвижкой поля

e^±ipx

C_R,L(p)

(5)

χ₂: полученный в результате такого действия опера-

n>0

тор перестает быть фермионом - он не будет анти-

Нетрудно убедиться, что показатель экспоненты для

коммутировать на δ-функцию. (В этом принципиаль-

выражения Ψ_R(0)Ψ^+L(0), описывающий рассеяние на-

ное отличие нашей задачи от бозонной теории). Тем

зад, может быть представлен в виде

не менее этот гамильтониан тоже может быть приве-

∑

√ 2π

ден к квадратичной форме. С этой целью мы введем

C^†(p) -

C^†(-p)) +

майорановские фермионы

v_cp

n>0

∑

√ 2π

ζ^† =

ζ,

ζ² = 1,

C(p) -

C(-p)).

(6)

v_cp

n>0

постоянные во всем пространстве (∂_x

ζ = 0) и c их

помощью определим операторы рождения и уничто-

В таком случае при v_c = 2 мы можем ввести бозон-

√

жения поля χ₂ как

ные поля

B_1,2(p) = 1/

C(p) ±

C(-p)] и определить

новые фермионы

Ξ_1,2(x):

∫ ∞

χ₂(x) =

[ζâ(p)exp(-ipx) +b†(p)ζexp(ipx)].

[

]

∫ ∞

2π

√2π

σ_R,L

Ξ_1,2(x) = exp -

e^∓ipx B^+1,2(p)

√

(9)

2π p

Такое представление тоже допустимо, т.к. сохраняет

[∫_∞

]

√2π

антикоммутатор полей χ₂. В итоге взаимодействую-

e^±ipx B_1,2(p) ,

(7)

2π p

щая часть гамильтониана представляется в виде

∫ ∞

(

)

(

)

антикоммутирующие на δ-функцию. В терминах

√ [ζ â^†(p) +b†(p)

+ â(p) +b(p)

ζ]

этих фермионов примесная часть гамильтониана

2π

оказывается пропорциональна σ_R Ξ^†2(x). Работать с

√

таким “взаимодействием” трудно, так как операторы

с “константой взаимодействия” γ =

2Δ/LV_imp, за-

σ не являются настоящими фермионами: их квадрат

висящей от ультрафиолетового обрезания, но не от

(по сути, произведение двух фермионных операторов

размера образца.

уничтожения, взятых в одной точке) - не нуль. По-

Из этого выражения видно, что из двух возмож-

пытка дополнить свойства лестничных операторов

ных комбинаций полей, взаимодействующей оказы-

√

требованием σ²ⁱ = 0 привела бы к тому, что отличной

вается только одна - 1/

2 · (a^†(p) + b^†(p)). Для диа-

от нуля была бы только свободная функция Грина

гонализации взаимодействующую часть гамильтони-

операторов

Ξ₂; очевидно, что это неправильно. Од-

ана удобно записать в терминах единого майoранов-

нако ничто не мешает нам ввести другие фермионы

ского поля



(

)

(χ₁, χ₂) = (Ξ1,Ξ2σ^†R). Как и

Ξ_1,2, они тоже обладают



â_n +bn

n>0

нужными антикоммутационными свойствами. В тер-

√



Φ_n = 1/

n=0

(10)

минах этих частиц часть гамильтониана латиндже-



(

)

ровской жидкости, зависящая от примесного рассея-

 -i â^†-n + b^†

n<0

−n

ния, записывается в виде

∫

с правилом антикоммутации {Φn,

Φn′ } = δ_n,-n′ (на

H_imp = v_c dxχ^†2(x)i∂_x χ₂(x) +

этом шаге мы перешли к конечному образцу). В ито-

[

]

ге, существование рассеяния назад в жидкости Ла-

1-1/vc

√

V_imp

χ^†2(x = 0) + χ₂(x = 0) ,

(8)

тинджера в данном случае описывается эквивалент-

ным гамильнонианом

здесь

∑

√

∑

(ML)

H_imp

p_n Φ_-n Φ_n - iγ

2/LΦ

Φ_n,

(11)

ln Δ = ln

+γ_E,

2π

all n

n=0

а M - ультрафиолетовое обрезание. (В дальнейшем

не сохраняющим числа частиц. Однако это выраже-

мы будем оставлять символ v_c в выражениях, спра-

ние квадратично по полю Φ, а поэтому всегда может

ведливых при любой силе е-е взаимодействия, и пи-

быть диагонализовано с помощью унитарного пово-

сать ее конкретное значение в противном случае.)

рота (см. [7, 8]). Получившиеся в результате этого

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

О точных решениях для жидкости Латинджера с одной примесью

801

[

]

∫ ∞

поворота частицы останутся фермионами с извест-

√2π

χ₂(x) = exp -

e^ipx B^†2(p)

√ ×

ным основным состоянием (сферой Ферми).

2π p

[∫_∞

]

B. v_c = 1/2.

√2π

e^-ipx B₂(p) ,

(12)

Для того, чтобы построить эквивалентные га-

2π p

мильтонианы при других v_c, заметим, что показатель

а часть гамильтониана, полностью описываюшая

экспоненты (6) можно записать в виде

примесное рассеяние, теперь имеет вид

∫

√ 2 2π

B^†(p) +

B₂(p).

H_imp = v_c dxχ^†2(x)i∂_x χ₂(x) -

v_c p

(

)

- iγ_1/2

χ(0)∂_x χ(0) - ∂_x χ^†(0)χ^†(0)

(13)

Таким образом, в точках, в которых выполняется

условие 2/v_c = m² (m - целое число), гамильтониан

Здесь γ_1/2 = V_impL/2πΔ. Этот гамильтониан сразу

(1) сводится к теории, в которой примесное рассея-

диагонализуется с помощью унитарного поворота.

ние заменяется на разумную фермионную теорию с

Из рассмотренного выше примера виден общий

самодействием. Примесное рассеяние исходных вза-

алгоритм получения эквивалентных теорий при про-

имодействующих электронов в этом случае будет за-

извольном значении “m”. Понятно, что примесное

менено на произведение “m” фермионных операто-

рассеяние будет приводить к самодействию: произ-

ров в точке x = 0. Единственное, на что необхо-

ведению “m” операторов χ₂, взятых в одной точке

димо будет обратить внимание, это регуляризация

x = 0. Однако, χ₂ - это фермиевские операторы,

фиктивных расходимостей, отсутствующих в исход-

и мы получили их произведение в одной точке, т.е.

ном гамильтониане и возникающих в процессе бо-

произведение этих операторов в обычной ситуации

зонизации. Продемонстрируем это на примере тео-

было бы равно нулю. Однако, как мы убедились,

рии с v_c = 1/2 (m = 2). В этом случае видно, что

процедура ферминизации приводит к существова-

примесное действие должно быть пропорционально

нию расходимости: каждый оператор χ₂(δ), начиная

квадрату фермионных операторов, взятых в одной

со второго, входит с множителем 1/δ. То есть мы по-

точке x = 0. Хорошо известно, что при вычислении

лучили неопределенность 0 · ∞. Она должна быть

произведения фермионных операторов в одной точке

раскрыта с помощью симметричной раздвижки ар-

бозонизация приводит к появлению дополнительных

гументов операторов χ₂. В итоге, действуя, как и в

ультрафиолетовых расходимостей, которые должны

случае v_c = 1/2, мы получим самодействие, пропор-

быть регуляризованы с помощью симметричной раз-

циональное

движки фермионных операторов:

χ₂(0)∂_x χ₂(0)∂^2x χ₂(0)...∂^m-1x χ₂(0),

Ψ_R(δ)Ψ†L(-δ) ∼ LΔ1-1/vc[(

)Ξ(δ)Ξ(-δ)+(δ → -δ)].

и отличное от нуля только в точке расположения

2iδ

примеси. Этот факт существенно облегчает дальней-

Эта расходимость - фиктивная. Для того, чтобы убе-

ший анализ теории, так как задача свелась к рассе-

диться в этом, разложим оператор

Ξ в ряд Ξ(δ) =

янию свободных фермионов на точечном центре, в

= Ξ(0) + δΞ′(0) +

После этого в пределе δ → 0 в

котором происходит рождение и уничтожения час-

правой части выражения для

Ψ_R(δ)Ψ†L(-δ) получа-

тиц.

ем множитель

Ξ(0)Ξ′ (0).

Резюмируем. В работе показано, что сильнейшее

Для написания эквивалентного гамильтониана

вырождение состояний в системе одномерных элек-

нам осталось разобраться с лестничным оператором

тронов с точечным электрон-электронным взаимо-

поля χ₂ (σ). Мы не будем сейчас обсуждать всю ал-

действием и линейным спектром приводит к тому,

гебру операторов σ, так как для построения и ана-

что задача об их рассеянии на примеси (при выпол-

лиза свойств эквивалентного гамильтониана важно

нении условия 2/v_c = m²; m - целое число) сводится

только то, что

к эквивалентной фермионной теории с самодействи-

ем. Это самодействие существует только в точке рас-

σ² = σ_Rσ^†L,

σσ^† =1

положения примеси с константой связи, зависящей

от величины примесного рассеяния исходных одно-

и его антикоммутация с лестничным оператором

мерных электронов. Получившийся эквивалентный

поля χ₁. В результате поле, учитывающее все е-е

гамильтониан справедлив и при сильном электрон-

взаимодествие, представляется в виде, аналогичном

электронном и примесном рассеяниях, т.е. в той об-

предыдущему случаю:

ласти значений параметров, где отказывает ренорм-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019