Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 12, с. 828 - 832

Сверхтеплопроводность и электрическая активность сверхтекучих

систем

С. И. Шевченко¹⁾, А. М. Константинов

Физико-технический институт низких температур им. Б. И. Веркина, 61103 Харьков, Украина

Поступила в редакцию 2 апреля 2019 г.

После переработки 30 апреля 2019 г.

Принята к публикации 30 апреля 2019 г.

В работе показано, что в He-II, помещенном в магнитное поле H, поток тепла под действием гра-

диента температуры ∇T приводит к появлению электрического поля E ∼ H × ∇T. Эффект имеет

место в сверхтекучих диэлектрических системах благодаря наличию у них свойства, называемого сверх-

теплопроводностью. Величина поля существенно зависит от формы образца с гелием и направления

магнитного поля относительно образца. Показано, что эффект реализуется как при статическом, так и

при нестационарном градиенте температуры (при распространении второго звука).

DOI: 10.1134/S0370274X19120051

Последнее время значительный интерес вызыва-

атомов гелия вблизи стенок сосуда с He-II [13] и

ет проблема электрической активности сверхтекучих

вблизи измерительных электродов [14, 15]. Однако

систем. Появление этой проблемы связано с экспе-

общепринятая точка зрения на природу наблюдае-

риментальными работами [1, 2], выполненными во

мых в [1-6] явлений в настоящее время отсутствует.

ФТИНТ в Харькове около пятнадцати лет назад. В

Роль приповерхностных поляризованных слоев

работе [1] было, в частности, обнаружено, что стоя-

особенно велика в тонких сверхтекучих пленках.

чая волна второго звука в резонаторе приводила к

В таких пленках при наличии на краях пленки пе-

появлению разности потенциалов Δϕ между конца-

риодически изменяющейся во времени разности тем-

ми резонатора, пропорциональной разности темпера-

ператур по пленке распространяется волна третьего

тур ΔT между этими концами. В [2] обнаружен ме-

звука. Волна сопровождается колебаниями толщины

ханоэлектрический эффект: крутильные колебания

пленки, которые приводят к колебаниям индуциро-

ячейки с торсионным осциллятором сопровождались

ванного стенкой дипольного момента и появлению

колебаниями разности потенциалов между поверхно-

в окружающем пространстве осциллирующего элек-

стью ячейки и электродом на ее оси. Результаты ра-

трического поля. Этот эффект предсказан в [16, 17].

боты [1] были подтверждены в нескольких экспери-

В настоящей работе обращается внимание на

ментах самого последнего времени [3-6].

механизм термополяризации, который возможен в

Обнаруженные эффекты стали объектом мно-

сверхтекучих диэлектрических системах при нали-

гочисленных теоретических исследований. Была

чии магнитного поля. Известно, что He-II характери-

предсказана поляризация диэлектрических систем

зуется двумя уникальными свойствами, одним из ко-

ускорением

[7] (явление, аналогичное эффекту

торых является сверхтекучесть, а другое часто назы-

Стьюарта-Толмена в металлах). Установлено, что

вают сверхтеплопроводностью (это название предло-

квантованный вихрь создает вокруг себя аксиально-

жено в [18]). Громадное значение коэффициента теп-

симметричную поляризацию

(“поляризационный

лопроводности в сверхтекучем состоянии объясняет-

еж”) [8, 9], а поток сверхтекучей компоненты от-

ся тем, что перенос тепла в He-II связан с движени-

носительно вихря приводит к появлению у вихря

ем нормальной компоненты. При этом поток массы,

дипольного момента [10]. Вычислен вектор поля-

переносимый нормальной компонентой, компенсиру-

ризации, обусловленный дипольными моментами

ется потоком, переносимым сверхтекучей компонен-

вихревых колец в поле сил Ван-дер-Ваальса [11, 12].

той. Чрезвычайно важным обстоятельством являет-

Предложена модель, объясняющая результаты

ся тот факт, что условие отсутствия потока массы

экспериментов появлением дипольных моментов у

должно выполняться лишь в среднем, т.е. должен об-

ращаться в нуль поток массы, усредненный по пло-

¹⁾e-mail: shevchenko@ilt.kharkov.ua

щади системы. Локальный поток массы в общем слу-

828

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

Сверхтеплопроводность и электрическая активность сверхтекучих систем

829

чае не должен обращаться в нуль. Поскольку движе-

В общем случае в сверхтекучем гелии j = ρ_nv_n +

ние любого диэлектрика в магнитном поле приводит

+ρ_sv_s, где v_n, v_s - скорости нормальной и сверхтеку-

к его поляризации, то при наличии магнитного по-

чей компонент, а ρ_n, ρ_s - их массовые плотности. Вы-

ля с локальным потоком массы, порождаемым гра-

ражение (3) не зависит от способа приведения He-II

диентом температуры, в сверхтекучем гелии будет

в движение. Ниже мы будем считать, что движение

связан локальный дипольный момент и вне систе-

жидкости индуцируется градиентом температуры.

мы может возникнуть среднее электрическое поле.

Рассмотрим задачу о стационарном тепловом по-

Можно сказать, что обсуждаемый эффект являет-

токе в He-II, заполняющем капилляр, между кон-

ся аналогом эффекта Нернста-Эттингсхаузена в про-

цами которого поддерживается малая разность тем-

водниках. Но оказалось, что в сверхтекучих системах

ператур ΔT . При ламинарном движении (анализом

величина возникающего электрического потенциала

которого мы ограничимся) скорости v_n и v_s не за-

очень чувствительна к геометрии системы и ориен-

висят от продольной координаты (вдоль капилляра)

тации магнитного поля. Так, в круговом капилляре

и уравнения двухжидкостной гидродинамики имеют

эффект отсутствует, а в случае эллиптического ка-

вид

ρ_n

пилляра с полуосями a и b величина электрического

η_n∇²v_n =

∇P + ρ_sS∇T,

(4)

поля при a ≫ b изменяется больше, чем на три по-

рядка в зависимости от того, направлено магнитное

∇P = ρS∇T.

(5)

поле вдоль большой или малой полуоси. Установле-

Здесь η_n - коэффициент вязкости нормальной ком-

нию характера зависимости электрического поля от

поненты, ρ = ρ_n + ρ_s - полная массовая плотность,

величины и направления магнитного поля и точки

∇P и ∇T - градиенты давления и температуры, S -

наблюдения посвящено настоящее сообщение.

удельная энтропия. Второе из этих уравнений, назы-

Будем исходить из полученного Минковским (см.,

ваемое уравнением Лондона, есть следствие механи-

например, [19], формула (76,10)) выражения для ин-

ческого равновесия, возникающего при протекании

дукции D в диэлектрике с диэлектрической прони-

сверхтекучей жидкости между концами капилляра.

цаемостью ǫ и магнитной проницаемостью µ при его

Из (4) и (5) следует уравнение

движении со скоростью v

ǫµ - 1

η_n∇²v_n

= ∇P,

(6)

D = ǫE +

(v × H) .

(1)

которое эквивалентно уравнению Пуазейля в класси-

Здесь E и H - напряженности стационарных элек-

ческой гидродинамике.

трического и магнитного полей. Выражение (1) спра-

Скорость сверхтекучего движения не может зави-

ведливо с линейной точностью по v/c.

сеть от поперечной координаты, так как ∇ × v_s = 0.

В случае ⁴He с хорошей степенью точности можно

Ее значение можно найти из условия отсутствия пол-

считать, что µ = 1. Связь диэлектрической проница-

ного потока массы, т.е. из условия ρ_n 〈v_n〉 + ρ_sv_s =

емости ǫ с поляризуемостью α атома⁴He и плотно-

= 0. Здесь 〈v_n〉 - скорость нормальной компоненты,

стью атомов n можно найти с помощью соотношения

усредненная по площади поперечного сечения капил-

Клаузиуса-Моссотти

ляра. С учетом этого условия получаем из (3)

ǫ-1

4πnα

(2)

αρ_n

ǫ+2

[(v_n - 〈v_n〉) × H] .

(7)

которое является следствием того факта, что атом

Мы видим, что при наличии магнитного поля поля-

поляризует не среднее поле E, а локальное электри-

ризация локально отлична от нуля, а полный диполь-

ческое поле. Для⁴He плотность n = 2 · 10²² см^-3,

ный момент обращается в нуль вместе с обращением

поляризуемость α = 2 · 10^-25 см³ и произведение nα

в нуль полного потока массы. Электрический потен-

существенно меньше единицы. Поэтому ǫ - 1 пред-

циал вне системы определяется выражением

ставляет собой разложение по степеням nα, в кото-

∫

ром достаточно удержать только первый член разло-

P · (r₀ - r)

жения 4πnα.

ϕ(r₀) =

d³r,

(8)

|r₀ - r|³

Учитывая, что индукция D = E + 4πP и что

поток массы j = Mnv (M - масса атома гелия), по-

где r₀ = (r₀, θ₀, z₀) - радиус-вектор точки наблюде-

лучаем из (1) в отсутствие электрического поля

ния. Поэтому обращение в нуль полного дипольного

момента в общем случае не приводит к отсутствию

[j × H] .

(3)

электрического поля снаружи системы.

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

830

С. И. Шевченко, А. М. Константинов

Решение уравнения (6) зависит от геометрии за-

Здесь x₀ измеряется в единицах a.

дачи. Кажется естественным выбрать в качестве ка-

При γ ≫ 1 система снова моделирует щель, но

пилляра цилиндрическую трубку кругового сечения.

магнитное поле приложено вдоль щели. В этом слу-

Однако расчет показывает, что в этом случае потен-

чае потенциал на несколько порядков меньше, чем

циал вне капилляра тождественно равен нулю. Ре-

при γ ∼ 1 и γ ≪ 1.

зультат является следствием высокой симметрии та-

При произвольных x₀ и y₀ численное интегри-

кой системы. Учет нелинейных по nα членов в раз-

рование позволяет найти потенциал ϕ при движе-

ложении выражения для ǫ не изменяет симметрию

нии от точек с координатами (x₀, y₀ = 0) к точкам

задачи, поэтому аксиально симметричное течение по

(x₀ = 0, y₀). Можно было бы ожидать монотонное

цилиндрическому капилляру не сопровождается по-

убывание потенциала ϕ(x₀, y₀). Оказывается, что это

явлением электрического поля вне капилляра и при

не так. Ниже приведены графики зависимостей по-

учете нелинейной зависимости ǫ(n). Потенциал ϕ(r₀)

тенциала ϕ на поверхности капилляра от полярного

отличен от нуля, если перейти от капилляра круго-

угла θ = arctan(y₀/x₀) для γ ∼ 1 и γ ≪ 1 (см. рис. 1

вого сечения к капилляру, например, эллиптического

и 2).

сечения.

Рассмотрим случай капилляра эллиптического

сечения, между концами которого создана малая

разность температур ΔT . Пусть полуоси эллипса a

и b лежат вдоль осей x и ŷ соответственно. Выра-

жение для скорости нормальной компоненты можно

найти в [20]. Подставляя в (7) эту скорость нормаль-

ной компоненты и считая, что магнитное поле H на-

правлено вдоль оси ŷ, находим поляризацию

)

a²

x²

y²

P(x, y) = -P₀

(9)

a² + b²

a²

b²

Здесь использовано обозначение

Рис. 1. Угловые зависимости потенциала ϕ на поверх-

αρ_nH ρSΔT

P₀ =

b²,

(10)

ности капилляра при γ ∼ 1. Кривая 1 отвечает магнит-

2η_nL

ному полю, направленному вдоль малой оси эллипса,

где L - длина капилляра.

кривая 2 - полю вдоль большой оси эллипса

Электрический потенциал вне жидкости может

быть получен подстановкой (9) в (8). Однако инте-

грирование не удается выполнить при произвольных

координатах точки наблюдения x₀ и y₀. Аналитиче-

ское выражение можно получить при y₀ = 0. Но да-

же в этом случае ответ оказывается весьма громозд-

ким. Мы приведем ответ лишь для двух частных слу-

чаев. Введем обозначение γ = b/a. Тогда потенциал

на поверхности капилляра при x₀ = a равняется

2πbP₀

1-γ

ϕ=

(11)

(1 + γ²) (1 + γ)²

При γ = 1, т.е. при a = b, когда эллипс превращается

в окружность, выражение (11) обращается в нуль в

Рис. 2. Угловая зависимость потенциала ϕ на поверх-

соответствии со сделанным выше утверждением.

ности капилляра при γ = 0.05

При γ ≪ 1 (в этом случае система моделиру-

ет щель, причем магнитное поле приложено поперек

Анализ показывает, что наиболее благоприятным

щели)

для получения большого потенциала ϕ является слу-

{√

2πbP₀

чай γ ≪ 1 (магнитное поле приложено поперек ще-

ϕ(x₀, 0) =

x²⁰ - 1 +

ли). Максимальное значение потенциала достигается

[

(

√

)

]}

при малых углах θ. В частности, при θ = 0 и x₀ = 1

+x₀

4x₀

x₀ - x²⁰ - 1

-3

(12)

потенциал равен

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

Сверхтеплопроводность и электрическая активность сверхтекучих систем

831

πb

αρ_nH ρSΔT

Рассматривая область температур, в которой ρ_s ∼

ϕ=

(13)

Mc η_nL

∼ ρ_n ∼ ρ, находим, что ϕ_c2 > ϕ_c1. Так для H = 10Тл,

Зависимость потенциала ϕ от температуры опре-

α = 2 · 10-25 см³, R_n = 2 · 10³, η_n = 2мкП и ρ =

деляется зависимостью от температуры нормальной

= 10^-1 г/см³ имеем ϕ_c1 = 2·10^-8 В и ϕ_c2 = 5·10^-7 В.

плотности ρ_n, вязкости η_n, а также удельной энтро-

Таким образом, для получения наибольшего потен-

циала ϕ нужно использовать не капилляр кругово-

пии S. Зависимостью от температуры полной плот-

ности ρ и поляризуемости α можно пренебрегать. Ка-

го сечения, а щель, причем магнитное поле должно

быть направлено поперек щели. Найдем поперечный

жется, что величину потенциала ϕ можно существен-

но изменять с помощью изменения величины b. Од-

размер щели b_c, соответствующий наибольшему по-

нако такое изменение возможно лишь в некоторых

тенциалу ϕ_c2. Для капилляра длиной L = 1 см, меж-

пределах. Причина в том, что с ростом b ламинар-

ду концами которого создана разность температур

ное движение жидкости переходит в турбулентное.

ΔT = 10^-3 К, из (13), в указанной области темпера-

В пионерской работе [21] показано, что при дости-

тур, находим b_c = 10^-3 см.

жении тепловым потоком W = ρ_sST |v_n - v_s| кри-

До сих пор считалось, что перепад температур

тической величины W_c1 ламинарное движение раз-

между концами капилляра не зависит от времени.

рушается путем появления в сверхтекучей жидкости

Однако эффект возможен и в случае, когда такой пе-

квантованных вихрей и вихревых колец, образую-

репад периодически зависит от времени, т.е. в усло-

щих вихревой клубок (состояние Т-1). Дальнейшие

виях распространения в He-II второго звука.

исследования показали, что существует второй кри-

Пусть He-II заполняет цилиндр кругового сече-

тический тепловой поток W_c2, при превышении кото-

ния радиуса R и второй звук распространяется вдоль

рого вихревая плотность существенно увеличивается

оси цилиндра z. Известно, что в пренебрежении теп-

(состояние Т-2). Переход от состояния Т-1 к состо-

ловым расширением в волнах первого звука имеют

янию Т-2 связывается с переходом в турбулентное

место колебания давления и плотности, а в волнах

состояние нормальной компоненты (см., например,

второго звука испытывают колебания только темпе-

[22, 23]). Результат существенно зависит от формы

ратура и энтропия. При учете теплового расширения

канала. Два перехода имеют место в эллиптических

возникает зацепление между колебаниями второго

каналах с размерами a ≈ b. При a ≫ b происходит

и первого звуков и в результате при распростране-

только один переход в состояние Т-2 [24].

нии второго звука возникают колебания давления.

В состоянии Т-1 кольца с радиусом порядка раз-

Эти колебания приводят к отличному от нуля пото-

мера капилляра b являются критическими. Для по-

ку массы j_z, который связан с осциллирующей ча-

явления таких колец разность |v_n - v_s| должна стать

стью температуры T^′. В случае R ≫ λ, где λ - длина

порядка (ℏ/Mb) ln (b/ξ), где ξ - радиус вихревого ко-

волны второго звука, зависимостью j_z от радиальной

ра [25]. Переход в турбулентное состояние Т-2 дол-

координаты r можно пренебречь, и поток j_z связан

жен происходить при достижении нормальной ком-

с T^′ соотношением (см., например, [26])

понентой критической скорости R_nη_n/ρ_nb (R_n - чис-

ло Рейнольдса). Существование критических скоро-

βρu²¹u₂

j_z = -

T^′,

(16)

стей определяет максимально допустимый размер b,

u²¹ - u²

при котором сохраняется ламинарное движение жид-

кости. Тем самым накладывается ограничение на ве-

где u₁ и u₂ - скорость первого и второго звуков со-

личину электрического потенциала (13).

ответственно, β - коэффициент теплового расшире-

Приведем ограничения на величину электриче-

ния. Если внешнее магнитное поле направлено по-

ского потенциала в режиме ламинарного протекания

перек цилиндра (вдоль оси y), то в гелии, соглас-

жидкости. При γ ∼ 1 это ограничение связано с вы-

но (3), возникает электрическая поляризация P_x =

полнением условия |v_n - v_s| < (ℏ/Mb) ln (b/ξ)

= -αHj_z/Mc. Электрический потенциал снаружи

)

цилиндра получается подстановкой этой поляриза-

4πℏ αH ρ_sρ_n

ϕ<

≡ϕ_c1.

(14)

ции в (8). Подробности вычисления возникающего

3M Mc ρ

интеграла можно найти в работе [17]. Учитывая, что

При γ ≪ 1 ограничение накладывается на скорость

при T > 0.8 K выполняется условие u₁ ≫ u₂ и, пола-

нормальной компоненты 〈v_n〉 < R_nη_n/ρ_nb. Отсюда

гая, что высота цилиндра L существенно превышает

следует, что

длину волны второго звука λ, находим выражение

4π αH

для электрического потенциала в точке с координа-

ϕ<

R_nη_n ≡ ϕ_c2.

(15)

3 Mc

тами (r₀, θ₀, 0)

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

832

С. И. Шевченко, А. М. Константинов

αHR

потенциал на поверхности цилиндра в точке с коор-

ϕ (r₀, θ₀, t) = 4πβρu₂

I₁(kR)K₁ (kr₀) ×

динатами r₀ = R, θ₀ = 0 равняется ϕ = 4 · 10^-8 В.

× Ta′ cosθ0 cos(u₂kt).

(17)

В заключение отметим, что в экспериментах со

вторым звуком следует различать электрические по-

Здесь k - волновое число, T_a′ - амплитуда темпера-

ля, предсказываемые в данной работе, от разности

туры в волне второго звука, I₁ и K₁ - модифициро-

потенциалов между концами образца, о которой со-

ванные функции Бесселя первого порядка первого и

общается в [1]. Потенциалы (17) и (19) имеют харак-

второго рода, соответственно.

терную угловую зависимость. Кроме того, речь идет

При получении (17) предполагалось, что R ≫ λ

об электрических полях снаружи образца, в то вре-

и мы пренебрегали зависимостью потока j_z от ра-

мя, как в [1] измеряется разность потенциалов внут-

диальной координаты r. Однако если радиус цилин-

ри образца.

дра порядка длины волны второго звука, такое до-

пущение оказывается неоправданным. В этом слу-

чае для корректного решения задачи о распростра-

А. С. Рыбалко, ФНТ 30, 1321 (2004).

нении второго звука следует использовать полную

А. С. Рыбалко, С. П. Рубец, ФНТ 31, 820 (2005).

систему гидродинамических уравнений для сверхте-

T. V. Chagovets, Low Temp. Phys. 42, 176 (2016).

T. V. Chagovets, Physica B 488, 62 (2016).

кучей жидкости, дополненную граничными услови-

T. V. Chagovets, J. Low Temp. Phys. 187, 383 (2017).

ями. При решении этой системы удобно воспользо-

H. Yayama, Y. Nishimura, H. Uchiyama, H. Kawai,

ваться подходом, развитым в работе [27]. В случае

J.-P. van Woensel, and A. G. Hafez, Low Temp. Phys.

выполнения условий u₁ ≫ u₂ и λ ≫ R ≫ λ_η, где

√

44, 1386 (2018).

λ_η =

2πη_n/νρ_n - длина вязкой волны (ν - частота

L. A. Melnikovsky, J. Low Temp. Phys. 148, 559 (2007).

второго звука), получаем для потока массы

В. Д. Нацик, ФНТ 31, 1201 (2005).

(

)

ρ_sS J₀ (k_ηr)

С. И. Шевченко, А. С. Рукин, ФНТ 36, 186 (2010).

j_z = - βρu₂ +

T^′,

(18)

10.

S. I. Shevchenko and A.M. Konstantinov, J. Low Temp.

u₂ J₀ (k_ηR)

Phys. 185, 384 (2016).

где J₀ - функция Бесселя первого рода нулевого по-

11.

И. Н. Адаменко, Е. К. Немченко, ФНТ 41, 635 (2015).

рядка, k_η - волновое число вязкой волны. С помощью

12.

И. Н. Адаменко, Е. К. Немченко, ФНТ 42, 335 (2016).

(3) и (18) находим из (8) выражение для электриче-

13.

С. И. Шевченко, А. С. Рукин, Письма в ЖЭТФ 90,

ского потенциала в точке с координатами (r₀, θ₀, 0)

46 (2009).

14.

Е. Д. Гутлянский, ФНТ 35, 956 (2009).

αHR

15.

M. D. Tomchenko, Phys. Rev. B 83, 094512 (2011).

ϕ(x₀, θ₀, t) = 4π

K₁ (kr₀)[βρu₂I₁(kR) -

16.

С. И. Шевченко, А. М. Константинов, Письма в

]

ρ_sS λ_η

(_π)

ЖЭТФ 104, 518 (2016).

cos

T_a′ cosθ₀ cos(u₂kt).

(19)

u₂

17.

S. I. Shevchenko and A.M. Konstantinov, J. Low Temp.

Phys. 194, 1 (2019).

Этот потенциал, как и потенциал в (17), зависит от

18.

W. H. Keesom, A. P. Keesom, and B. F. Saris, Physica

полярного угла точки наблюдения по закону косину-

5, 281 (1938).

са и обращается в нуль при θ₀ = π/2. Другими сло-

19.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика

вами, на плоскости, параллельной магнитному полю

сплошных сред, Физматлит, М. (2005), гл. 9.

H и проходящей через ось цилиндра, потенциал тож-

20.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Гидродинамика, Физ-

дественно равен нулю.

матлит, М. (2001), гл. 2.

Заметим, что выражения для потенциала ϕ при

21.

W. F. Vinen, Proc. R. Soc. Lond. A 240, 114 (1957).

распространении второго звука, как и в статическом

22.

D. J. Melotte and C. F. Barenghi, Phys. Rev. Lett. 80,

4181 (1998).

случае, получены в предположении ламинарного ре-

23.

S. Yui and M. Tsubota, J. Phys. Conf. Ser. 568, 012028

жима. К сожалению, нам не известны аналитические

(2014).

критерии перехода от ламинарного режима к турбу-

24.

J. T. Tough, Progress in Low Temp. Phys. 8, 133 (1982).

лентному в случае распространения второго звука.

25.

W. F. Vinen and J. J. Niemela, J. Low Temp. Phys. 128,

В экспериментах радиус цилиндрического образца

167 (2002).

обычно лежит в интервале R = 0.1-1 см (см., напри-

26.

И. М. Халатников, Теория сверхтекучести, Наука,

мер, [24]). При этом амплитудное значение темпера-

М. (1971).

туры, соответствующее ламинарной области, не пре-

27.

И. Н. Адаменко, М. И. Каганов, ЖЭТФ

53,

615

вышает нескольких милликельвин. Для T = 1.5 К,

(1967).

H = 10Тл, ν = 400Гц, T_a′ = 10-3 К и R = 0.5см

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019