Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 12, с. 842 - 851

Взаимодействие электронов и дипольных экситонов

в двумерных системах

(Миниобзор)

А. В. Каламейцев⁺, М. М. Махмудиан^+∗1), А. В. Чаплик^+∗1)

⁺Институт физики полупроводников им. А. В. Ржанова Сибирского отделения РАН,

630090 Новосибирск, Россия

^∗Новосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск, Россия

Поступила в редакцию 16 мая 2019 г.

После переработки 16 мая 2019 г.

Принята к публикации 17 мая 2019 г.

В обзоре представлены результаты исследований, выполненных в рамках проекта Российского фонда

фундаментальных исследований (РФФИ) по теории эффектов, связанных с взаимодействием непрямых

дипольных экситонов между собой и с двумерным электронным газом. Особое внимание уделено ситуа-

циям, в которых экситонный газ находится в состоянии, аналогичном бозе-эйнштейновской конденсации.

Рассмотрены экситоны в электростатических ловушках, поляронные эффекты в гибридных электрон-

экситонных структурах, отклик гибридной системы на внешнее электромагнитное возмущение и увле-

чение экситонного газа током в двумерном электронном газе. Показано, что некоторые электронные

эффекты в гибридных структурах могут служить “маркерами” фазового перехода в системе экситонов.

DOI: 10.1134/S0370274X19120087

Введение. В предлагаемом обзоре изложены

следовать различные “чисто электронные” эффекты

результаты работ, выполненных в рамках гран-

в условиях влияния на них фазового перехода в бозе-

та Российского фонда фундаментальных исследо-

системе. В последние годы особое внимание привле-

ваний (РФФИ), по теории экситонных и электрон-

кают структуры, состоящие из двумерного электрон-

экситонных явлений в двумерных системах. Осо-

ного газа и двумерного газа непрямых дипольных эк-

бое внимание уделено ситуациям, в которых газ

ситонов, обладающих большим временем жизни [1-

дипольных экситонов находится в состоянии бозе-

7]. Все характерные параметры обеих компонент в

эйнштейновского конденсата (БЭК). Развитие экс-

такой гибридной системе могут управляемо варьиро-

периментальной техники получения долгоживущих

ваться в широких пределах, что особенно привлека-

пространственно непрямых экситонов существенно

тельно для эксперимента. Схематично обсуждаемая

расширило круг искусственно созданных систем, в

структура изображена на рис.1.

которых реализуется конденсат бозе-частиц. До это-

го такими системами были магнитные и оптические

ловушки ультрахолодных атомов с температурой пе-

рехода T_c в области микрокельвин. Существенно (5-6

порядков!) более высокие температуры перехода до-

стигаются в экситонных системах - двойных или ши-

роких одинарных квантовых ямах, что, безусловно,

более благоприятно для развития различных мето-

дов исследования и управления экситонной жидко-

стью.

Другая группа задач связана с гибридными си-

Рис. 1. (Цветной онлайн) 2D электронный газ и диполь-

стемами, в которых взаимодействуют между собой

ные экситоны

электронный и экситонный газы. Интерес к таким

системам связан, прежде всего, с возможностью ис-

Мы начнем с рассмотрения поведения дипольных

экситонов в двумерных ловушках, а гибридные си-

¹⁾e-mail: mahmood@isp.nsc.ru; chaplik@isp.nsc.ru

стемы составят содержание второй части обзора.

842

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

Взаимодействие электронов и дипольных экситонов в двумерных системах...

843

Бозе-конденсация в двумерных электроста-

шения электростатической задачи, убывает как куб

тических ловушках. Как известно, при бесконеч-

расстояния, так что число уровней в нем конечно).

ных размерах двумерной бозонной системы конден-

Полное число дипольных экситонов при конечном

сация невозможна (T_c = 0 вследствие бесконечной

значении температуры T складывается из захвачен-

“емкости” состояний континуума). Это утверждение

ных частиц N_-, для которых v ≤ v_max, и делокализо-

относится к однородным системам, энергетический

ванных в радиальном направлении частиц N₊. Энер-

спектр которых непрерывен, а закон дисперсии со-

гия последних, отсчитанная от химпотенциала, даже

ответствует свободной частице E = p²/2m. Если же

для l = 0 не меньше |ε₀| ∼ |U_min| - глубины потен-

имеется локальное состояние с дискретным уровнем

циальной ямы ловушки, поскольку химпотенциал не

энергии E = ε₀ < 0, то при некоторой конечной тем-

может подняться выше минимально возможной энер-

пературе T_c на этом уровне накапливается макроско-

гии. Мы будем рассматривать температуры, много

пическое число частиц [8]. Поэтому эксперименты с

меньшие глубины ловушки, так что величина N₊,

дипольными непрямыми экситонами проводятся, как

пропорциональная exp(-β|U_min|), пренебрежимо ма-

правило, в неоднородных структурах с потенциаль-

ла по сравнению с N_-. Соответственно, критическая

ными ловушками для экситонов [9-13]. Теоретиче-

температура T_c определяется только захваченными

ские исследования трехмерных ловушек с холодны-

частицами:

ми атомами показывают, что температура перехода,

∑

N_- = 2

f (0, l) +

f (v, l) + N₀₀,

(2)

а также зависимость числа частиц в конденсате (т.е.

l=1

v=1 l=-∞

на нижайшем уровне ловушки) от температуры су-

где

щественно зависят от формы удерживающего потен-

циала и от межчастичного взаимодействия [14, 15].

f (0, l) =

f (v, l) =

(3)

eβBl2 - 1

eβ(Bl2+εv^-ε0⁾ - 1

Естественно ожидать, что свои специфические зави-

Здесь β

= 1/T, N₀₀ - число частиц в состоянии

симости появятся и в задаче о двумерных дипольных

v = l = 0, в котором накапливается конденсат. В

экситонах в плоских ловушках [16].

формулах (2), (3) предполагается, что T ≤ T_c, по-

Будем для конкретности говорить о кольцевой

этому химический потенциал µ = ε₀. Температура

ловушке, описанной в экспериментах

[17]. Поле-

T_c при заданном числе захваченных частиц N_- на-

вой электрод с круглым отверстием диаметром в

ходится из (2) при N₀₀ = 0.

несколько микрон создает потенциальную яму для

Параметры используемых в эксперименте лову-

вертикально ориентированного экситона вследствие

шек таковы, что всегда можно считать T ≫ B, тогда

известной корневой сингулярности электрического

как соотношение между температурой и колебатель-

поля вблизи края заряженной металлической плос-

ным квантом Ω может быть произвольным. Простые,

кости. Характерный размер ямы в радиальном на-

но несколько длинные вычисления приводят к следу-

правлении порядка расстояния полевого электрода

ющим результатам. Если T ≪ Ω, получается

от плоскости, в которой движутся экситоны и, по

крайней мере, на порядок меньше диаметра кольца.

T_c =

BN_-, N₀₀/N_- = 1 - T/T_c,

(4)

Поэтому в задаче имеются две характерные энергии,

π²

существенно различные по порядку величины: квант

и для согласования с условием T_c ≪ Ω должно быть

радиальных колебаний экситона в ловушке Ω и вра-

N_- ≪ (π²/3)Ω/B. В обратном предельном случае

щательная постоянная B = ℏ²/2Ma², соответству-

T_c ≫ Ω воспользуемся осцилляторной моделью спек-

ющая спектру свободного вращения экситона массы

тра радиального движения: ε_v - ε₀ = vΩ. В зависи-

M по окружности радиуса a, причем Ω ≫ B. Рас-

мости от числа частиц N_- могут существовать два

смотрим сначала конденсацию в модели идеального

режима. При N_- ≪ (Ω/B)² опять реализуется слу-

бозе-газа.

чай (4) - колебательный вклад мал по сравнению с

Одночастичный спектр в кольцевой ловушке да-

вращательным, т.е. имеется бозе-газ в одномерном

ется выражением

кольце, хотя теперь уже возможно и N_- ≫ Ω/B. При

N_- ≫ (Ω/B)²

E_v,l = ε_v + Bl², B = ℏ²/2Ma²,

(1)

T_c = (ΩN_-)^2/3B^1/3/π^1/3[ζ(3/2)]^2/3,

l = 0,±1,±2,..., v = 0,1...v_max

N₀₀/N_- = 1 - (T/T_c)^3/2.

(5)

(для захваченных частиц ε_v < 0). Через v_max обозна-

Условие применимости рассматриваемого режима

√

чен номер последнего уровня в потенциале радиаль-

T_c ≫ Ω принимает вид N_- ≫

Ω/B и выполня-

ного движения; этот потенциал, как следует из ре-

ется в данном случае автоматически. Зависимости

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

844

А. В. Каламейцев, М. М. Махмудиан, А. В. Чаплик

T_c от числа частиц и доли частиц в конденсате от

вом пределе по радиальному движению. Возникаю-

температуры формально совпадают с таковыми для

щее здесь волновое уравнение с потенциальной энер-

трехмерного идеального бозе-газа, хотя формулы (5)

гией, пропорциональной |ψ|², решается для прямо-

относятся к двумерному газу в кольце конечной ши-

угольной ямы конечной глубины в качестве затра-

рины.

вочного потенциала ловушки. Эффективный потен-

Взаимодействующий бозе-газ в ловушке.

циал, учитывающий межэкситонное взаимодействие,

Корректный учет межчастичного взаимодействия в

очевидно, не зависит от азимутального угла в плос-

системах многих частиц представляет значительные

кости кольца, так что одночастичный спектр имеет

математические трудности. Наиболее частым при-

тот же вид, что приведенный выше для идеального

ближением в таких задачах является приближение

газа: E_v,l = ε_v + Bl². Межэкситонный потенциал V

среднего поля (ПСП) (mean field approximation), в ко-

считаем контактным, и тогда эффективный потенци-

тором пренебрегают флуктуациями, а частицы рас-

ал в ПСП дается выражением:

сматриваются как сплошная среда с неоднородной

∑

W (x) = U(x) + V₀

|ψ_v,l(ρ)|² f(ε_v,l).

(7)

плотностью.

v,l

Диполь-дипольное взаимодействие непрямых па-

раллельных друг другу экситонов убывает с рассто-

Здесь ψ_v,l(ρ) =√ilϕ

ψ_v(x), ϕ - азимутальный угол,

янием как ρ^-3 и для двумерной системы является

2π

∫

x - расстояние по радиусу от срединной окружности

короткодействующим в том смысле, что

V (ρ)dρ

ловушки, ψ_v(x) - собственные функции радиального

сходится. Поскольку характерные расстояния между

[

частицами всегда много больше плеча диполя L, вза-

движения, f = eβ(εv+Bl2-µ) - 1]-1 - бозевские чис-

имодействие можно считать контактным V (ρ - ρ^′) =

ла заполнения. Будем считать температуру малой

= V₀δ(ρ-ρ^′). В этом случае потенциал W_ind, создан-

по сравнению с расстоянием между колебательными

ный в точке нахождения “пробного” диполя всеми

уровнями, так что в двойной сумме по состояниям

остальными диполями, просто пропорционален ло-

остается лишь вклад с v = 0. При этом T остается

кальной плотности частиц n(ρ), которая фигурирует

большим по сравнению с вращательным квантом B,

в ПСП:

и если T < T_c, то химпотенциал µ равен ε₀, слагаемое

f (ε₀₀) заменяем на N₀₀ - число частиц в конденсате,

W_ind(ρ) = V₀n(ρ), V₀ = 4πe²L/κ.

(6)

а оставшаяся сумма по l асимптотически при T ≫ B

Если описывать систему частиц классической функ-

равна π²T/3B. “Уравнение Шредингера” для функ-

цией распределения (статистика при этом может

ции основного уровня принимает вид:

быть и квантовой) и через нее определить плотность,

[

]

зависящую от потенциала в данной точке, то возни-

ψ^′′(x) +

U (x) + g|ψ|²

ψ=ε₀ψ,

(8)

кает хорошо известное приближение Томаса-Ферми.

Существуют, однако, ситуации, в которых, по край-

где g = V₀(N₀₀ + π²T/3B). Уравнение (8) записано

ней мере, некоторые степени свободы частиц требуют

в атомных единицах e² = m = ℏ = 1. Таким об-

квантового описания. Именно таким примером явля-

разом, ультраквантовый предел описывается уравне-

ются дипольные экситоны в электростатической ло-

нием Гросса-Питаевского. Как известно [19], в слу-

вушке [18]. В этом случае плотность частиц должна

чае осесимметричной задачи о вихревой нити в почти

быть выражена через их волновые функции в эф-

идеальном бозе-газе это уравнение решается числен-

фективном потенциале. Последний сам зависит от

но. Рассматриваемый здесь случай допускает анали-

волновых функций и чисел заполнения квантовых

тическое решение в квадратурах для простой моде-

состояний, так что надо решать самосогласованную

ли затравочного потенциала: U(x) = 0 при |x| < L/2

задачу. В случае короткодействующего взаимодей-

(область II) и U(x) = U₀ при |x| > L/2 (области I и

ствия между частицами (двумерный газ дипольных

III). Следует искать решение (8), убывающее на бес-

экситонов) возникает нелинейное волновое уравне-

конечности и непрерывное со своей первой производ-

ние. К подобным задачам применяют также метод

ной в точках x = ±L/2. Поскольку в принятой мо-

функционала плотности, который на последнем эта-

дели коэффициенты уравнения (8) постоянны в каж-

пе вычислений использует вариационный принцип

дой из областей, решения находятся в аналитическом

и численные расчеты. В предлагаемой работе [18]

виде (элементарные функции вне ямы и эллиптиче-

рассмотрен пример, допускающий точное аналити-

ский синус Якоби в области II). Отметим интересную

ческое решение. Имеются в виду дипольные экси-

особенность рассматриваемой нелинейной задачи на

тоны в плоской кольцевой ловушке в ультракванто-

собственные значения: после выбора решений с тре-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

Взаимодействие электронов и дипольных экситонов в двумерных системах...

845

буемым асимптотическим поведением и удовлетворе-

том экситон-экситонного взаимодействия) в состо-

ния условий “сшивки” на границах ямы все постоян-

янии бозе-конденсации экситонов [20]. Родственные

ные интегрирования однозначно определяются, и в

задачи о поведении примесного атома в атомном

качестве уравнения для нахождения энергии локаль-

бозе-конденсате в трехмерной системе рассматрива-

ного состояния остается лишь условие нормировки.

лись в [21, 22]. В изображенной на рис. 1 структуре

Нетривиальным оказался также вопрос о суще-

как экситон-экситонное, так и электрон-экситонное

ствовании связанного состояния. Как хорошо извест-

взаимодействие убывает при больших ρ (расстоя-

но, в одномерной симметричной яме конечной глуби-

ние между частицами в плоскости) по закону ρ^-3.

ны всегда существует по крайней мере одно связан-

Поэтому межэкситоннное взаимодействие можно по-

ное состояние. В мелкой и/или узкой яме, для ко-

прежнему заменить контактным V_ex-ex(ρ - ρ^′) =

торой выполняется условие U₀L² ≪ 1, соответству-

= gδ(ρ - ρ^′), где ρ, ρ^′ - двумерные радиус-векторы,

ющий уровень отстоит от края ямы на величину по-

= 4πe²L, L - плечо диполя. Однако, как бу-

рядка U²⁰L² ≪ U₀. Как выяснилось, это утверждение

дет показано далее, в электрон-экситонном взаи-

√

не имеет места для нелинейного уравнения (8). Вза-

модействии V_e-ex(ρ - ρ^′) = e²/

Δ² + (ρ - ρ^′)² -

√

имодействие между частицами (отталкивание) мо-

-e²/

(Δ - L)² + (ρ - ρ^′)² нужно сохранить конеч-

жет “вытолкнуть” даже из симметричной потенци-

ную ширину барьера Δ, т.е. написать

альной ямы последний связанный уровень, а лока-

e²LΔ

лизованное решение рассматриваемой задачи суще-

V_e-ex(ρ - ρ^′) = -

(9)

[Δ² + (ρ - ρ^′)²]^3/2

ствует лишь при достаточно слабом взаимодействии

В δ-функцию это выражение переходит при Δ → 0,

и достаточно широкой и/или глубокой яме. Соот-

но в задаче оказываются существенными расстояния

ветствующий количественный критерий для мелкой

(в плоскости) между электроном и дипольным эк-

ямы (U²⁰L²

≪ U₀), как мы показали, имеет вид

ситоном порядка и меньше Δ. Мы будем рассмат-

g < 2U₀L.

ривать взаимодействие “одного” электрона с бозе-

Ситуация становится совсем прозрачной, если

конденсатом экситонов в приближении самосогласо-

рассмотреть предел δ-образной ямы, допускающий

ванного среднего поля [23], т.е. пренебрегая корреля-

полное решение в элементарных функциях. В этом

циями между диполями, когда применимо уравне-

случае U(x) = -V₀δ(x), где V₀ = U₀L, и искомый

ние Гросса-Питаевского. Вместо внешнего потенци-

критерий дается неравенством g < 2V₀, что совпада-

ала (см. (9) в [23]) в него следует внести слагаемое,

ет с приведенным выше условием для ямы конечной

описывающее взаимодействие электрона с частица-

ширины с мелким уровнем.

ми конденсата. Если волновую функцию электрона

Итак, при заданной форме потенциала ловушки

обозначить через χ(ρ), а конденсатную - ψ(ρ), то со-

частицы в состоянии БЭК накапливаются на низшем

ответствующая часть гамильтониана имеет вид

энергетическом уровне и локализуются в ловушке. С

∫

ростом числа частиц возрастает их отталкивательное

H_int =

|ψ(ρ^′)|²V_e-ex(ρ - ρ^′)|χ(ρ)|²dρdρ^′.

(10)

взаимодействие и при некотором критическом значе-

нии числа частиц связанные состояния в ловушке ис-

Для рассматриваемой нами поляронной задачи это

чезают, и все частицы оказываются делокализован-

соответствует полярону сильной связи: электрон

ными. Это должно выглядеть как фазовый переход.

“быстрый”, среда (в данном случае экситоны) “мед-

Еще раз подчеркнем, что полученные результаты ка-

ленная”, и поэтому реагирует не на мгновенное по-

чественно отличают данную задачу от одночастич-

ложение электрона, а на усредненное распределение

ной, где связанное состояние имеется в любой одно-

заряда с плотностью |χ|². С учетом вклада (10) и

мерной симметричной потенциальной яме.

электрон-экситонного взаимодействия (9) приходим

Поляронные эффекты в гибридной струк-

к системе связанных уравнений для функций ψ и χ:

туре. Как уже было сказано во Введении, обсуж-

[

ℏ²

даемая структура изображена на рис. 1: две парал-

△ρ - µ + g|ψ(ρ)|² +

лельные друг другу квантовые ямы разделены ди-

∫

]

электрическим барьером толщины Δ, в нижней на-

+ V_e-ex(ρ - ρ₁)|χ(ρ₁)|²dρ1

ψ(ρ) = 0,

(11)

ходятся дипольные экситоны (плечо диполя L), в

[

∫

верхней - 2D электронный газ. Полярность дипо-

ℏ²

△_ρ′ + V_e-ex(ρ^′ - ρ₁)|ψ(ρ₁)|²dρ₁ -

лей соответствует притяжению к электронам. Пред-

]

метом рассмотрения является поляронный эффект в

- E χ(ρ^′) = 0.

электронном газе, который будет рассчитан (с уче-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

846

А. В. Каламейцев, М. М. Махмудиан, А. В. Чаплик

Здесь m и M - массы электрона и экситона, соот-

тоже поляронной природы) проявляется в измене-

ветственно, µ - химпотенциал экситонного газа, E -

нии частот межподзонных переходов и, видимо, лег-

энергия электрона в искомом автолокализованом со-

че доступен экспериментальному наблюдению, чем

стоянии.

пространственная локализация в поляроне сильной

Нахождение собственного значения E автолока-

связи. Рассмотрим эту задачу подробнее [24].

лизованного состояния из системы (11) сопряжено с

Поляронный сдвиг уровней квантовой

довольно сложными вычислениями и подробно опи-

проволоки в гибридной структуре с бозе-

сано в нашей работе [20]. Схема решения такова:

конденсатом. Пусть имеется квантовая проволока

флуктуация плотности экситонов ϕ(ρ), вызванная

конечной ширины (рис. 2), т.е. двумерная пря-

взаимодействием с электроном, считается малой по

сравнению с их равновесной плотностью n и систе-

ма уравнений (11) линеаризуется по ϕ(ρ). Формаль-

ное решение первого из линеаризованных уравне-

ний (11) выражается через его гриновскую функ-

цию и подставляется во второе. В результате получа-

ем нелинейное уравнение на электронную волновую

функцию χ, из которого энергия полярона находит-

ся прямым вариационным методом. Пробная функ-

√

2α

ция выбиралась в простейшем виде: χ =

e^-αρ,

при котором критерий существования отрицательно-

го уровня энергии дается неравенством 4L > a^∗e (эф-

фективный боровский радиус электрона), а флуктуа-

цию плотности экситонов можно считать малой, если

Рис. 2. (Цветной онлайн) Гибридная система квантовая

8πnΔ² ≫ 1.

проволока и 2D экситонный газ

В качестве примера приведем результат числен-

мая полоса, электроны которой взаимодействуют

ного расчета для структуры на основе InAs с эксито-

с двумерным газом дипольных экситонов в со-

ном на тяжелой дырке: M = 0.435, m = 0.025. Выбе-

стоянии бозе-конденсации (далее для сравнения

рем параметры задачи: L = 1.5a^∗e, n = 0.5 · 10¹⁰ см^-2,

будет рассчитан также сдвиг частоты межзонно-

△ = 10нм, диэлектрическая проницаемость ε ∼ 10.

го перехода в проволоке, взаимодействующей с

Тогда с учетом положительного вклада энергии об-

экситонным вырожденным бозе-газом выше тем-

разования флуктуации плотности экситонов W по-

пературы фазового перехода). Экситон-экситонное

лярон оказывается устойчивым, энергия его тепло-

и электрон-экситонное взаимодействия описываем

вой диссоциации |E₀| - W составляет примерно 1/3

формулами предыдущего раздела. Функции ψ(ρ) и

энергии связи электрона, а для самой энергии связи

χ(ρ) удовлетворяют теперь системе уравнений (11),

получается оценка |E₀| ∼ 1.5 мэВ.

во второе из которых следует добавить исходный

Таким образом, в электрон-экситонной двумер-

конфайнмент

- потенциал квантовой проволоки

ной структуре с дипольными экситонами в условиях

U₀(y) (проволоку считаем параллельной оси x):

бозе-конденсации могут существовать автолокализо-

[

ванные состояния электронов даже при слабой связи

ℏ²

Δ_ρ - µ + g|ψ(ρ)|² +

между ферми- и бозе-компонентами системы, когда

∫

]

флуктуация плотности экситонов мала по сравнению

+ V_e-ex(ρ - ρ₁)|χ(ρ₁)|²dρ1 ψ(ρ) = 0,

(12)

с их средней плотностью.

[

∫

Из общих соображений ясно, что с уменьшением

ℏ²

эффективной размерности области движения кван-

Δ_ρ′ + V_e-ex(ρ^′ - ρ₁)|ψ(ρ₁)|²dρ₁ +

товой частицы облегчаются условия ее локализации.

]

Поэтому естественно ожидать, что поляронные эф-

+ U₀(y^′) - E χ(ρ^′) = 0.

фекты для квантовой проволоки будут проявляться

сильнее, чем для двумерного электронного газа. С

Точное решение нелинейной системы (12) даже чис-

другой стороны, электронный спектр проволоки ча-

ленными методами представляет большие матема-

стично квантован, и поэтому взаимодействие с эк-

тические трудности. Поэтому мы введем два упро-

ситонным газом приводит еще и к сдвигам подзон

щающих предположения. Во-первых, будем рассмат-

размерного квантования. Этот эффект (по существу

ривать однородные по x решения, т.е. считаем, что

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

Взаимодействие электронов и дипольных экситонов в двумерных системах...

847

флуктуации плотности экситонов конденсата зави-

сят лишь от поперечной проволоке координаты y.

Волновая функция электронов χ(ρ^′) в соответствии

с симметрией задачи должна, вообще говоря, иметь

вид χ(y)e^iqx, но мы здесь ограничимся лишь случа-

ем q = 0. Это соответствует дну произвольной под-

зоны в электронном спектре квантовой проволоки.

Во-вторых, будем считать, что потенциал проволо-

ки U₀(y^′) существенно больше электрон-экситонного

взаимодействия, и поэтому в качестве первого при-

ближения подставим в первое уравнение системы

(12) волновую функцию электрона в проволоке χ₀,

определяемую лишь потенциалом U₀(y^′). Решив по-

сле этого уравнение для волновой функции конден-

сата, мы подставим ее во второе из уравнений си-

стемы (12) и, вычислив соответствующий интеграл,

найдем эффективный потенциал, действующий на

Рис. 4. (Цветной онлайн) Положение минимумов элек-

электроны в квантовой проволоке. Отсюда уже на-

тронных подзон как функция плотности электронов.

ходятся искомые сдвиги уровней. Естественно, для

Плотность экситонов n0 = 2 · 10¹⁰ см^-2

каждого уровня следует подставлять соответствую-

щую ему собственную функцию χ₀(y^′) в потенциа-

ле U₀(y^′). Для численных расчетов мы выбирали в

качестве U₀(y^′) потенциал гармонического осцилля-

тора и находили значения двух нижних уровней в

эффективном потенциале проволоки (т.е. с учетом

поляронного сдвига). Наиболее трудным этапом в ре-

ализации этой программы было численное решение

нелинейного уравнения (12). Эта процедура описана

в Приложении к работе [24], а результаты приведены

на рис. 3-6 настоящего обзора.

Рис. 5. (Цветной онлайн) Частота межподзонного пе-

рехода как функция плотности экситонов. Плотность

электронов N_l = 1.3 · 10⁶ см^-1

Квантовая проволока и нормальный бозе-

газ. Гамильтониан электрон-экситонного взаимодей-

ствия здесь удобней записать в виде:

∫

Ĥ_int =

|χ(ρ)|²V_e-ex(ρ - ρ^′)n(ρ^′)dρdρ^′,

(13)

где n(ρ^′) - плотность дипольных экситонов. Знак в

правой части (13) соответствует определенной по-

лярности ориентированных диполей: к квантовой

Рис. 3. (Цветной онлайн) Положение минимумов элек-

проволоке обращен положительный полюс диполя.

тронных подзон как функция плотности экситонов.

Плотность экситонов выше точки конденсации опре-

Плотность электронов N_l

= 1.3 · 10⁶ см^-1

деляется распределением Бозе-Эйнштейна, в кото-

ром следует учесть потенциал W (ρ^′) - энергию ди-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

848

А. В. Каламейцев, М. М. Махмудиан, А. В. Чаплик

На рисунках 3-6 приведены результаты числен-

ных расчетов положения двух нижних уровней раз-

мерного квантования в проволоке (минимумы под-

зон) и частоты вертикального перехода 0 → 1. Для

удобства сравнения на каждом рисунке приводят-

ся результаты, соответствующие конденсату эксито-

нов при нулевой температуре (точки) и нормально-

му бозе-газу (пунктир). Найденные величины зави-

сят как от плотности экситонного газа, так и (из-

за самосогласованного характера задачи) от линей-

ной плотности электронов в проволоке даже без уче-

та межэлектронного взаимодействия. Видно, что во

всех случаях взаимодействие с конденсатом вызыва-

ет заметно более сильные сдвиги (отрицательные!)

уровней, чем для нормального вырожденного бозе-

газа той же плотности, но изменение частоты пере-

Рис. 6. (Цветной онлайн) Частота межподзонного пе-

хода E₁-E₀ в случае конденсата существенно слабее

рехода как функция плотности электронов. Плотность

зависит от плотности последнего (см. рис.5). Таким

экситонов n0 = 2 · 10¹⁰ см^-2

образом, в гибридной системе квантовая проволока-

двумерный газ непрямых экситонов измерения час-

поля в поле остальных экситонов и взаимодействие

тоты межзонных переходов в проволоке могут слу-

его с электроном.

жить “маркером” фазового перехода в состояние,

∫

аналогичное бозе-эйнштейновской конденсации.

W (ρ^′) = gn(ρ^′) + V_e-ex(ρ - ρ^′)|χ(ρ)|²dρ.

(14)

Магнитоплазменный резонанс в гибридной

системе. В настоящем разделе будет рассмотрен ди-

Уравнение Шредингера замыкает систему трех урав-

намический отклик гибридной экситон-электронной

нений на три неизвестные функции: n(ρ^′), W (ρ^′) и

системы на внешнее электромагнитное излучение

χ(ρ). Для нахождения собственных значений мы сно-

и проявление гибридных коллективных мод систе-

ва воспользовались прямым вариационным принци-

мы в спектре поглощения электромагнитного излу-

пом. Моделируем конфайнмент-потенциал проволо-

чения [25]. Будем полагать, что на систему дей-

ки параболой U₀ = mΩ²y²/2 и выбираем в качестве

ствует переменное внешнее поле, имеющее продоль-

пробных функций нулевого и первого уровней выра-

ную (вдоль плоскостей квантовых ям) компоненту

жения:

E(r, t) = (E₀, 0, 0)e^ikr-iωt, что вызывает отклонение

iqx

плотности электронов от их равновесного значения

Bye^iqx

χ₀ =

√

e-αy2 , χ₁ =

√ e-γy2.

(15)

δn(r, t) = n(r, t) - n₀. Вследствие электронейтраль-

ности экситонов, прямым взаимодействием экситон-

Здесь D - нормировочная длина проволоки, q - со-

ного газа с продольным электромагнитным полем бу-

храняющийся импульс электрона вдоль проволоки,

дем пренебрегать. При наличии внешнего однородно-

α и γ - вариационные параметры, A и B находятся

го магнитного поля индуцированная в электронном

из нормировки. Вычисления проводились при сле-

газе плотность тока имеет вид

дующих значениях параметров: T

= 50 K, D =

(

)

= 300Å, Δ = 100Å, L = 15Å, a_Ω = 180Å, n₀ =

j_kω = σ_B E₀ -

F_kω

(16)

= (1 ÷ 5) · 10¹⁰ см^-2, Nl = (0.3 ÷ 3.3) · 106 см-1.

Минимизирующие энергию значения α и γ оказа-

лись равными: α_min = 0.559a^-2Ω, γ_min = 0.516a^-2Ω для

где σ_B есть

‘xx’ компонента тензора проводи-

n₀ = 5 · 10¹⁰ см^-2 и N_l = 1.3 · 10⁶ см^-1. Различие

мости электронов в магнитном поле, F_kω

‘x’

этих величин указывает на отклонение эффектив-

компонента приложенной к электронам

силы

ного конфайнмент-потенциала от строго параболи-

F(r, t), имеющая два вклада: первый обусловлен

ческого, т.е. демонстрирует влияние ангармонизма,

электрон-электронными корреляциями, а второй

вызванного взаимодействием с экситонами (как из-

есть следствие электрон-экситонного взаимодей-

вестно, для гармонического осциллятора показатель

ствия. Используя соотношение F(r, t) = -∇W(r, t),

гауссовской экспоненты одинаков для всех уровней).

находим:

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

Взаимодействие электронов и дипольных экситонов в двумерных системах...

849

F_kω = -ik(U_kδn_kω + V_kδN_kω),

(17)

где

2πe

2πe²

(

)

U_k =

, V_k =

1-e^-kd

e^-ka

(18)

ǫk

– электрон-электронное и электрон-экситонное взаи-

модействия, ǫ - диэлектрическая проницаемость сре-

ды. Возмущение экситонной плотности конденсата

δN_kω может быть найдено из уравнения Гросса-

Питаевского:

(

)

(ℏk)

i∂_tΨ(r, t) =

-µ+g₀|Ψ(r, t)|2 Ψ(r, t) +

∫

+ Ψ(r, t) dr^′V (r - r^′)δn(r^′, t),

(19)

где последний член описывает электростатическое

взаимодействие экситонов с флуктуациями элек-

тронной плотности. Волновая функция конденсат-

Рис. 7. (Цветной онлайн) Дисперсионная зависимость

ных частиц Ψ(r, t) может быть представлена в виде

гибридных плазмон-боголюбовских мод при двух зна-

суммы конденсатной части и возмущения: Ψ(r, t) =

чениях скорости боголюбовских возбуждений конден-

√n_c + ψ(r, t). Отклик экситонной плотности мо-

сата

жет быть выражен через возмущение в виде δN_kω =

= P_kωV_kδn_kω, где δN_kω =

√n_c(ψ^∗(r, t) + ψ(r, t)). Ли-

плазменного пика существует дополнительный, уз-

неаризуя уравнение (19), находим:

кий резонанс, обусловленный возбуждением экситон-

ного конденсата. При достаточно больших τ_X форма

n_ck²/M

P_kω =

(20)

резонанса может быть асимметричной, что характер-

(ω + iγ_k)² - ε²

но для резонанса Фано.

Кулоновское увлечение в гибридной систе-

Здесь ε_k = sk - закон дисперсии возбуждений кон-

√

ме. Кроме описанных выше эффектов перенорми-

денсата, s =

gn_c/M - их скорость. γ_k = (kξ)³/τ_X -

ровки спектра и поглощения электромагнитного из-

время жизни боголюбовских возбуждений конден-

лучения, взаимодействие экситонов и электронов в

сата, обусловленное рассеянием на примесях, ξ =

гибридной системе может проявляться и в транс-

= 1/2sM - длина залечивания, τ_X - столкновитель-

портных эффектах. В рамках обозреваемого здесь

ное время жизни экситонов на примесях в нормаль-

проекта РФФИ была рассмотрена задача об эффек-

ной фазе. Комбинируя полученные выше соотноше-

те кулоновского увлечения экситонов электрическим

ния c уравнением непрерывности, находим перенор-

током электронного слоя [26]. В данной работе бы-

мированную проводимость электронов σ_kω = j_kω /E₀

ла построена теория кулоновского увлечения дву-

и поглощаемую системой мощность W_kω ∝ Re σ_kω .

мерных дипольных экситонов на основе диаграмм-

Здесь

ной техники с использованием формулы Кубо. Такой

подход позволяет единым образом рассмотреть как

σ_kω =

[U_kω + V^2kω P_kω ]

квазибаллистический предел Друде-Больцмана, так

²ω

i(ωτ_e + i)

и диффузионный предел. Помимо фундаментально-

σ_B = σ₀

(21)

го интереса, данная задача может найти и практиче-

(ωτ_e + i)² - ω^2cτ²

ское применение в свете развития технологии опто-

где ωc = eB/mc - циклотронная частота и σ0 =

электронных приборов для оптических систем ком-

= e²n₀τ_e/m - статическая проводимость электрон-

муникации на основе двумерных экситонных газов.

ного газа. Закон дисперсии плазмон-боголюбовских

При приложении электрического поля к элек-

мод находится из соотношения σ^-1kω = 0 и показан на

тронному слою электрон-экситонное взаимодействие

рис. 7. Поглощаемая системой мощность представле-

приводит к возникновению потока экситонов с плот-

на на рис. 8, из которого видно, что кроме магнито-

ностью J = n_exµE, который будем характеризовать

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

850

А. В. Каламейцев, М. М. Махмудиан, А. В. Чаплик

соотвествующих частиц. Не останавливаясь на де-

талях, укажем, что несмотря на нейтральность эк-

ситона, вклад экситонной подсистемы в диэлектри-

ческую функцию определяет температурную зависи-

мость величины µ. Действительно, как было показа-

но в работах [27, 28], экранирование внешнего воз-

мущения экситонным газом носит диэлектрический

характер, с эффективной диэлектрической проница-

емостью, экспоненциально зависящей от температу-

ры (в отсутствие конденсата).

Расчет показывает, что µ ∼ F (T/T_c), где функция

F (x) определяет температурное поведение эффекта

увлечения

x(e^1/x - 1)

F (x) =

[

]₂ ,

(24)

1+4^Mκd(e1/x - 1)

в которой κ = 2me², и T_c = πn_ex/2M - температура

вырождения экситонного газа. В пределе T/T_c ≫ 1

ток увлечения экситонов стремится к независящему

от температуры постоянному значению, а в области

T/T_c ≪ 1 стремится к нулю экспоненциальным обра-

зом. Следует, однако, подчеркнуть, что при T/T_c < 1

Рис. 8. (Цветной онлайн) Спектр поглощаемой систе-

в системе начинает формироваться квазиконденсат,

мой мощности при двух значениях скорости боголю-

что не учитывается изложенной здесь теорией. Учет

бовских возбуждений конденсата при τX

= 10^-8 c

конденсата приводит к степенному убыванию тока

(сплошная кривая) и τX = 5 · 10^-10 c (пунктирная кри-

увлечения экситонов с температурой [29].

вая)

Заключение. В настоящем обзоре обсуждались

лишь работы, входящие в проект РФФИ # 16-02-

подвижностью µ, статическое значение которой в

00565. В заключении остановимся на некоторых ра-

рамках теории линейного отклика может быть най-

ботах коллектива исполнителей гранта, не вошед-

дено как предел

ших в рамки указанного проекта, но, тем не менее,

близко относящихся к описанным здесь задачам. В

µ = lim µ(Q,ω),

(22)

Q,ω→0

[30] изучена индуцированная модуляция плотности

экситонов в системе, состоящей из пространственно

соответствующей динамической величины. Соответ-

разнесенных слоев двумерного электронного газа и

ствующий микроскопический расчет показывает, что

непрямых дипольных экситонов. Предсказано суще-

∞

ствование электростатически-индуцированных фри-

∫

dω ∂n_B(ω)

делевских осцилляций плотности экситонов. В рабо-

µ=

2n_ex

2π

∂ω

те коллектива исполнителей гранта [31] был рассмот-

-∞

рен вопрос о парамагнитном резонансе двумерного



∑

²

 V_q

спин-поляризованного бозе-газа экситонных поляри-

Π_ex(q, ω)



(23)

 Π

e(q, ω).

ε(q, ω)

тонов. Предполагалось, что одна из компонент спи-

нового дублета макроскопически заполнена, обра-

Здесь Π_ex(e) - поляризационные операторы, описы-

зуя бозе-конденсат, в то время как заселенность вто-

вающие линейный отклик плотности каждой из под-

рой компоненты остается малой. Было показано, что

систем, Vq - “голое” электрон-экситонное взаимо-

спектр поглощаемой мощности имеет два резонанса,

действие, ε(q, ω) - диэлектрическая функция, вклю-

соответственно двум спиновым состояниям поляри-

чающая как вклад электронов, так и экситонов и,

тонного дублета (в противоположность спектру па-

наконец, n_B(ω) - распределение Бозе. Структура

рамагнитного резонанса спин-поляризованного элек-

функций отклика Π_ex(e) зависит от режима движе-

тронного газа, имеющего один резонанс). Показано

ния - диффузионного или квазибаллистического -

также, что ширина резонанса, ассоциируемого с мак-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

Взаимодействие электронов и дипольных экситонов в двумерных системах...

851

роскопически заполненной компонентой дублета, го-

А.В. Горбунов, В. Б. Тимофеев, Письма в ЖЭТФ

раздо уже по сравнению со вторым резонансом.

80, 210 (2004).

В работе [32] изучена релаксационная динамика

10.

А.В. Горбунов, В. Б. Тимофеев, Письма в ЖЭТФ

осцилляций Раби двухуровневой системы, взаимо-

83, 178 (2006).

действующей с термостатом, представляющим собой

11.

А.В. Горбунов, В. Б. Тимофеев, Письма в ЖЭТФ

слабовзаимодействующий бозе-газ дипольных экси-

87, 797 (2008).

тонов. Предполагалось, что последний может нахо-

12.

A.A. Hish, E. E. Novitskaya, L. V. Butov, M. Hanson,

and A. C. Gossard, Science 321, 229 (2008).

диться как в нормальной фазе, так и в режиме бозе-

13.

G. Grosso, J. Graves, A. T. Hammak, A. A. Hish,

конденсата. Фазовый переход газа экситонов приво-

L. V. Butov, M. Hanson, and A. C. Gossard, Nature

дит к немонотонной зависимости обратного време-

Photonics 3, 577 (2009).

ни релаксации Раби-осцилляций как от частоты по-

14.

V. Bangato, D.E. Pritchard, and D. Kleppner, Phys.

ля накачки, так и от его напряженности, что может

Rev. A 35, 4354 (1987).

быть использовано для обнаружения фазового пере-

15.

S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, and S. Stringari, Phys.

хода газа дипольных экситонов в режим конденсата.

Rev. A 54, R4633 (1996).

Процессы захвата электронов на кулоновский

16.

А.В. Чаплик, Письма в ЖЭТФ 104, 813 (2016).

центр в гибридной электрон-экситонной системе про-

17.

А.В. Горбунов, А.В. Ларионов, В. Б. Тимофеев,

анализированы в [33]. Показано, что в присутствие

Письма в ЖЭТФ 86, 48 (2007).

экситонного конденсата появляются нестандартные

18.

А.В. Чаплик, Письма в ЖЭТФ 105 (9), 565 (2017).

процессы захвата, сопровождаемые излучением па-

19.

Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Статистиче-

ры боголюбовских возбуждений конденсата в одном

ская физика, Наука, М. (1978), ч. 2, с. 145.

событии захвата в том же порядке (первом) теории

20.

А.В. Каламейцев, А. В. Чаплик, Письма в ЖЭТФ

возмущений, что и процессы с испусканием одного

106(8), 502 (2017).

боголюбовского возбуждения. Анализ таких процес-

21.

F. M. Cucchietti and E. Timmermans, Phys. Rev. Lett.

сов показывает, что они дают существенно больший

96, 210401 (2006).

вклад, чем процессы с одним боголюбовским возбуж-

22.

R.S. Christensen, J. Levinsen, and Bruun, Phys. Rev.

дением, в отличие от обычных процессов захвата с

Lett. 115, 160401 (2015).

испусканием фононов.

23.

Л.П. Питаевский, УФН 168, 641 (1998).

Эффекты обратного влияния экситонного кон-

24.

А.В. Каламейцев, М. М. Махмудиан, А. В. Чаплик,

денсата на транспортные свойства электронной под-

Письма в ЖЭТФ 109 (3), 191 (2019).

системы рассмотрены в работах [34, 35]. Показано,

25.

M. V. Boev, V. M. Kovalev, and I. G. Savenko, Phys.

что рассеяние электронов на боголюбовских возбуж-

Rev. B 94, 241408 (2016).

дениях конденсата может существенно модифициро-

26.

М. В. Боев, В. М. Ковалев, Письма в ЖЭТФ 107

вать температурную зависимость проводимости 2D

(10), 668 (2018).

электронного газа при низких температурах.

27.

В. М. Ковалев, А. В. Чаплик, Письма в ЖЭТФ

92(3), 208 (2010).

28.

Э. Г. Батыев, В. М. Ковалев, А. В. Чаплик, Письма

1. O. Cotlet, S. Zeytinoglu, M. Sigrist, E. Demler, and

в ЖЭТФ 99 (9), 623 (2014).

A. Imamoglu, Phys. Rev. B 93, 054510 (2016).

29.

M. V. Boev, V. M. Kovalev, and I. G. Savenko, Phys.

2. F. P. Laussy, A. V. Kavokin, and I. A. Shelykh, Phys.

Rev. B 99, 155409 (2019).

Rev. Lett. 104, 106402 (2010).

30.

В. М. Ковалев, А. В. Чаплик, Письма в ЖЭТФ

3. I. A. Shelykh, T. Taylor, and A. V. Kavokin, Phys. Rev.

94(7), 601 (2011).

Lett. 105, 140402 (2010).

31.

V.M. Kovalev and I. G. Savenko, Sci. Rep. 7, 2076

4. M. Matuszewski, T. Taylor, and A. V. Kavokin, Phys.

(2017).

Rev. Lett. 108, 060401 (2012).

32.

V.M. Kovalev and W.-K. Tse, J. Phys.: Condens.

5. M. V. Boev, V. M. Kovalev, and I. G. Savenko, Phys.

Matter 29, 465301 (2017).

Rev. B 94, 241408 (2016).

33.

M. V. Boev, V. M. Kovalev, and I. G. Savenko, Phys.

6. В. М. Ковалев, А. В. Чаплик, Письма в ЖЭТФ 94,

Rev. B 97, 165305 (2018).

601 (2011).

34.

M. Sun, K. H. A. Villegas, V. M. Kovalev, and

7. В. М. Ковалев, А. В. Чаплик, Письма в ЖЭТФ 98,

I.G. Savenko, Phys. Rev. B 99, 115408 (2019).

371 (2013).

35.

K.H. A. Villegas, M. Sun, V. M. Kovalev, and

8. J. F. Jan and Y. C. Lee, Phys. Rev. B 58, R1714 (1998).

I.G. Savenko, ArXiv:1902.01214.

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

9^∗