Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 12, с. 852 - 857

Структурная модель взаимосвязи сейсмических скейлингов и

обобщенный скейлинговый закон сейсмичности

И.Р.Стаховский¹⁾

Институт физики Земли им. О. Ю. Шмидта РАН, 123242 Москва, Россия

Поступила в редакцию 14 мая 2019 г.

После переработки 14 мая 2019 г.

Принята к публикации 16 мая 2019 г.

Представлена математическая модель согласования скейлингов двух мультифрактальных полей,

индуцируемых мультипликативными каскадами. Выведены соотношения, связывающие параметры ло-

кальных и глобальных скейлингов таких полей. Модель применена для описания взаимосвязи скейлингов

пространственных распределений эпицентров микроземлетрясений и их сейсмической энергии, а также

скейлинга повторяемости землетрясений. Показано, что для реальных сейсмических распределений, мо-

делируемых мультифрактальными полями, выведенные соотношения выполняются. Эти соотношения,

связывающие все известные сегодня формы сейсмических скейлингов (кроме временного), предложено

рассматривать как новый сейсмический закон - обобщенный скейлинговый закон сейсмичности.

DOI: 10.1134/S0370274X19120105

1. Введение. Сейсмогенерирующая система -

смического процесса. Ниже показано, что для уста-

пример существенно неравновесной и нелинейной

новившегося сейсмического режима такие соотно-

природной физико-химической системы, эволюция

шения могут быть выведены методами математиче-

которой подчинена нескольким формам скейлинга.

ского моделирования структурной организации про-

Это прежде всего скейлинг повторяемости землетря-

странственных распределений сейсмичности, а так-

сений (закон Гутенберга-Рихтера [1]):

же могут быть напрямую проверены с использова-

нием данных сейсмологических каталогов.

E ∝N^-ω,

(1)

2. Модель согласования скейлингов. Для

модельной генерации мультифрактальных полей

где N - число землетрясений с сейсмической энерги-

воспользуемся такой итерационной процедурой, как

ей E, ω - константа. Закон Гутенберга-Рихтера мож-

мультипликативный каскад (предложенной изна-

но привести к виду:

чально для моделирования турбулентности [5-7]).

В данном случае его можно определить следующим

E_sum ∝ N^ωsum,

(2)

образом. Единичный D-мерный отрезок подвер-

гается λ^D-адическому разбиению, где λ - целое

где E_sum - суммарная сейсмическая энергия всех со-

число, λ ≥ 2. На первой итерации каждому i-тому

бытий представительного множества землетрясений,

элементу разбиения сопоставляется положительный

N_sum - суммарное число событий в этом множестве.

множитель m_j, соответственно, все m_j образуют

Сейсмический процесс обладает также локальными

конечный набор чисел или начальных множителей,

и глобальными скейлингами пространственных рас-

удовлетворяющих условиям:

пределений эпицентров землетрясений и сейсмиче-

ской энергии, что установлено с помощью мульти-

0 ≤ m₁ ≤ m₂ ≤ ... ≤ m_λD < 1

(3)

фрактального анализа данных сейсмических катало-

гов [2-4]). Эти статистические характеристики от-

∑

m_j = 1.

(4)

носятся к одному и тому же физико-химическому

j=1

процессу, что позволяет предполагать существова-

ние более общих соотношений, связывающих част-

На второй итерации каждый элемент разбиения

вновь подвергается λ^D-адическому разбиению и каж-

ные формы сейсмического скейлинга между собой.

Установление взаимосвязей между частными форма-

дому вновь образованному элементу вновь сопостав-

ляется один из начальных множителей. Результатом

ми скейлинга имеет важное значение для теории сей-

мультипликативной процедуры на второй итерации

¹⁾e-mail: stakhov@ifz.ru

являются произведения множителей “материнского”

852

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

Структурная модель взаимосвязи сейсмических скейлингов. . .

853

и “дочернего” элементов разбиения. На последующих

преобразова)ие

Лежандра

(роведя

итерациях процедура повторяется. Обозначим через

a = - ^ddqτ(q);f(a) = τ(q) + qa , получаем выра-

k номер итерации. На k-той итерации i-тому элемен-

жения для спектра сингулярностей мультифрак-

ту разбиения сопоставляется произведение

∏ mkϕjj ,

тального поля, индуцируемого мультипликативным

где ϕ_j - относительные частоты, с которыми мно-

каскадом:

жители m_j присутствуют в этих произведениях. По-

скольку

∑ m^qj lnm_j

∑∏

a(q) =^j=1

(10)

∑

(5)

mkϕjj = 1 (k → ∞),

ln λ

m^q

i=1

j=1

то величины

(

)

∏

p_i =

(6)

∑

mkϕjj

j=1

могут рассматриваться как доли некоторой мульти-

f (a(q)) =

+ qa(q).

(11)

ln λ

номиальной меры P , сосредоточенные на i-тых эле-

ментах разбиения (в i-тых боксах масштабной сет-

Параметрические уравнения (10)-(11) позволяют по-

ки). Каждая последующая итерация модулирует на-

строить f(a)-спектр мультифрактального поля, ин-

следуемое с предыдущего масштабного уровня рас-

дуцируемого мультипликативным каскадом с задан-

пределение меры, повышая перемежаемость распре-

ными значениями множителей m_j , при изменении

деления. Сингулярная, нигде не дифференцируемая

порядка момента в диапазоне -∞ < q < +∞.

мера P в пределе k → ∞ является мультифракта-

Два модельных мультифрактальных поля, ин-

лом, в том числе и при произвольных перестановках

дуцируемых мультипликативными каскадами, могут

множителей “дочерних” боксов в рамках “материн-

иметь структурно согласованные скейлинги. Ори-

ского” бокса. Мультипликативные генераторы поз-

гиналом для такой модели являются, например,

воляют получать бесконечное разнообразие самопо-

мультифрактальные поля, моделирующие простран-

добных распределений, характеризуемых индексами

ственные распределения сейсмических эпицентров и

сингулярности a_i (локальный скейлинг) и спектрами

сейсмической энергии. Пусть два мультипликатив-

сингулярностей f(a) (глобальный скейлинг). В об-

ных 2D-генератора Γ^S и Γ^E индуцируют два муль-

щем случае множители мультипликативного каскада

тифрактальных поля - P^S , моделирующее простран-

могут быть и случайными числами, однако в рамках

ственное распределение эпицентров землетрясений

данной работы приведенного определения достаточ-

(сейсмическое поле), и P^E , моделирующее простран-

но.

ственное распределение сейсмической энергии (сей-

Индексы сингулярности мультифрактальной ме-

смоэнергетическое поле). Далее верхний индекс S бу-

ры определяются выражением (теория подробно из-

дет обозначать принадлежность параметра к сейсми-

ложена в [4]):

ческому полю, а E - к сейсмоэнергетическому. Свя-

жем генераторы Γ^S и Γ^E следующими условиями со-

a_i = lim(ln pi/ ln r),

(7)

гласования скейлингов: 1) мультипликативные кас-

r→0

кады, индуцирующие модельные поля, должны об-

где r = λ^-k - размер бокса сетки, т.е. масштаб. В

ладать одной и той же структурой, т.е. λS = λE;

дальнейшем будем рассматривать только двумерные

2) между множителями мультипликативных каска-

распределения. Кумулянт-генерирующая функция:

дов с одними порядковыми индексами j устанавли-

вается взаимно-однозначное соответствие m^Sj ↔ m^Ej,

(

)

т.е. при построении модельных полей могут исполь-

∑ p^qi(r)

i=1

зоваться только попарно сопряженные перестанов-

τ (q) = lim

(8)

r→0

ln(1/r)

ки множителей. Численные же значения множите-

лей свяжем условием вида m^Ej ∝ (m^Sj)ω, что эквива-

где N - общее число непустых боксов сетки, q - по-

лентно учету в модели закона Гутенберга-Рихтера в

рядок момента меры, для 2D-распределения, инду-

форме (2), т.е.:

цируемого мультипликативным каскадом, равна:

(

)

m^Ej = c(m^Sj)^ω,

(12)

∑

m^q

где c - коэффициент пропорциональности. Мульти-

j=1

τ (q) =

(9)

пликативные каскады адекватно передают свойства

ln λ

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

854

И.Р.Стаховский

диссипативных структур, возникающих в многоком-

быть подвергнуты прямой численной проверке с ис-

понентных системах в условиях неравновесности (на-

пользованием данных сейсмологических каталогов.

пример, масштабную инвариантность сейсмических

Для численных расчетов воспользуемся данными

структур), поэтому перечисленные условия позволя-

Южно-Калифорнийского сейсмологического катало-

ют связать пространственные сейсмические скейлин-

га (каталога SCEDC - Southern California Earthquake

ги со скейлингом повторяемости землетрясений и вы-

Data Center). Одна из самых сейсмоактивных обла-

разить значения параметров одного поля через зна-

стей, информация о сейсмичности которой попада-

чения параметров другого поля.

ет в каталог SCEDC, - север мексиканского штата

С учетом (6), (7) и (12) можем записать:

Баха Калифорния (Baja California), граничащего с

)

США. В этой области был выделен полигон разме-

ln(∏(mS)ϕj

ром 80 × 80 км с ориентацией сторон субширотно и

a^Si =

(13)

ln(1/λ)

субмеридионально с центром в точке с координата-

)

ми 32.28^◦ N, 115.29^◦ W. 4-го апреля 2010 г. в этой

ω ln(∏(mS)ϕj

+ ln c

точке находился эпицентр сильного землетрясения,

a^Ei =

(14)

ln(1/λ)

получившего название землетрясения Северная Ба-

ха (Northern Baja, испанское название - Sierra El

Благодаря условиям 1) и 2), множества боксов мас-

Mayor Cucapah) [8]. Магнитуда землетрясения соста-

штабной сетки в пределе r → 0 можно представить

вила M = 7.2, глубина гипоцентра 10 км. Землетря-

как суперпозицию подмножеств, имеющих в обоих

сение сопровождалось многочисленными афтершо-

полях общие значения фрактальных размерностей,

ками, затихшими к осени 2010 г. [9]. После этого сей-

но различающихся долями мер, сосредоточенных на

смический процесс в границах выбранного полигона

элементах этих подмножеств. Иными словами, боксы

продолжился в спокойном установившемся режиме.

масштабной сетки модельных полей с одним номером

Использовавшаяся в расчетах выборка данных ката-

i различаются значениями индексов сингулярности,

лога для рассматриваемого полигона охватывала пе-

однако при этом в множествах боксов они принад-

риод времени 01.01.2011-31.12.2018 и содержала ин-

лежат подмножествам, которые в структурах обоих

формацию о 1696-и мелкомасштабных сейсмических

полей характеризуются одним значением фракталь-

событиях в представительном диапазоне магнитуд

ной размерности. Следовательно, с учетом выраже-

2.0 ≤ M ≤ 5.09. Глубины гипоцентров этих событий

ний (13) и (14) два модельных поля оказываются свя-

не превышали 20 км (с единичными исключениями).

заны соотношениями:

Для целей мультифрактального анализа данных

ln c

каталога территория полигона покрывалась ренор-

a^Ei = ωa^Si +

(15)

ln(1/λ)

мируемой масштабной сеткой квадратных непересе-

кающихся боксов. Пространственные распределения

f (a^Ei ) = f(a^Si ).

(16)

эпицентров землетрясений и сейсмической энергии

В соответствии с условиями модели индексы син-

моделировались мерами P^S и P^E , где верхний ин-

гулярности модельных полей в каждой точке связа-

декс S соответствует сейсмическому полю (распре-

ны линейно (15), причем коэффициентом пропорци-

делению эпицентров), а E - сейсмоэнергетическому

ональности является параметр ω - показатель сте-

полю (распределению сейсмической энергии). Содер-

пени из формул (1)-(2). Таким образом, уравнение

жание этих мер в i-тых боксах масштабной сетки оце-

(16) связывает спектры сингулярностей модельных

нивалось с помощью нормировки:

полей аффинными преобразованиями растяжения и

p^Si = N_i/N₀,

(19)

сдвига.

3. Методы проверки модельных уравнений

p^Ei = E_i/E₀,

(20)

и исходные данные. Поскольку второе слагаемое

в правой части уравнения (15) не содержит перемен-

где N_i - число событий в i-том боксе, N₀ - общее

ных, перепишем уравнения (15)-(16) в виде:

число событий в выборке, E_i - общая величина сей-

смической энергии в i-том боксе, E₀ - общая величи-

a^Ei = ωa^Si + const,

(17)

на сейсмической энергии всех событий в выборке, i -

порядковый индекс боксов. При пересчете магнитуд

f (a^Ei ) = f(a^Si ),

(18)

в энергии использовалась формула Бата [10]:

где слагаемое const будет иметь смысл эмпирической

константы. Модельные соотношения (17)-(18) могут

lg E = 5.24 + 1.44M,

(21)

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

Структурная модель взаимосвязи сейсмических скейлингов. . .

855

где E - сейсмическая энергия (Дж), M - магнитуда

масштабной сетки, то формула (22) может быть за-

по поверхностным волнам. Кумулянт-генерирующая

писана в виде:

функция (8) определялась с помощью последова-

(

)∕ (

)

ω=

a^Emax - a^Emin

a^Smax - a^Smin

(23)

тельного неоднократного ренормирования масштаб-

ной сетки. Далее с помощью численного преобразо-

где a_max и a_min - максимальные и минимальные зна-

вания Лежандра осуществлялся переход к перемен-

чения индексов сингулярности соответствующих по-

ным a и f(a).

лей. Однако в силу нехватки данных форма правых

4. Результаты расчетов. Рисунок 1 представ-

ветвей f(a)-спектров, построенных по эксперимен-

ляет зависимость (1) для исследовавшейся выборки

тальным данным, как правило оказывается искаже-

данных (традиционный для сейсмологии график по-

на (форма правых ветвей f(a)-спектров определяет-

вторяемости землетрясений, построенный в энерге-

ся боксами масштабной сетки с наименьшим содер-

тической форме). Прямая линия на рис. 1 - график

жанием меры), поэтому целесообразно использовать

формулу (22) в виде:

(

)∕ (

)

ω=

a^Eex - a^Emin

a^Sex - a^Smin

(24)

где a_ex - значения индексов сингулярности экстре-

мумов f(a)-спектров. В этом случае значение пара-

метра ω определяется только по левым (надежным)

ветвям f(a)-спектров.

На рисунке 2 представлены f(a)-cпектры сейсми-

ческого (точки) и сейсмоэнергетического (сплошная

Рис. 1. График повторяемости землетрясений для ис-

следовавшейся выборки. Сейсмическая энергия земле-

трясений E выражена в джоулях, N - число событий

с энергией E. Точки (данные каталога) рассчитаны с

шагом в 0.5 единицы магнитуды

Рис. 2. Спектры сингулярностей сейсмического поля

(точки) и сейсмоэнергетического поля (сплошная ли-

линейной регрессии, аппроксимирующий данные ка-

ния) для исследовавшейся выборки

талога (точки). Абсолютное значение коэффициента

регрессии можно рассматривать как оценку величи-

линия) полей, построенных для исследовавшейся вы-

ны параметра ω, полученную с помощью построения

борки (спектры вычислены в диапазоне -30 ≤ q ≤ 30

графика повторяемости (наклон графика повторяе-

с шагом Δq = 0.15). Численные значения парамет-

мости). В данном случае ω = 1.52

ров f(a)-cпектров составили: a^Emax = 5.40..., a^Emin =

Заметим, что следствием линейной зависимости

= 0.55..., a^Smax = 4.06..., a^Smin = 0.83

Подставляя

(17) является равенство:

эти значения в (23), получаем вторую оценку значе-

(

)∕ (

)

ния параметра ω: ω = 1.50..., причем в данном случае

ω=

a^Ei

-a^Ei

a^Si

-a^S

(22)

ω (“наклон графика повторяемости в энергетической

форме”) определен без построения графика повторя-

где i₁ и i₂ - произвольные точки сейсмического и

емости, т.е. на основе анализа исключительно про-

сейсмоэнергетического полей, имеющие одинаковые

странственных распределений сейсмичности.

координаты. В частности, если исходные данные до-

Из-за нехватки данных (неизбежной при анализе

статочно представительны для того, чтобы макси-

современных каталогов) форма правой ветви f(a)-

мальные и минимальные значения индексов сингу-

cпектра сейсмоэнергетического поля на рис. 2 замет-

лярности полей относились к одним и тем же боксам

но искажена (график резко асимметричен), а правая

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

856

И.Р.Стаховский

ветвь f(a)-cпектра сейсмического поля претерпева-

ного нехваткой данных, поэтому расхождение ветвей

ет разрыв скейлинга (ветвь не может быть доведена

спектров в этой области физически бессодержатель-

до оси абсцисс). Воспользовавшись формулой (24),

но (т.е. обусловлено исключительно лимитированны-

можно рассчитать третью оценку величины парамет-

ми метрологическими возможностями сейсмической

ра ω по левым ветвям спектров, которая в данном

сети).

случае составила ω = 1.56

Как видим, оценки значения параметра ω, полу-

Уравнение (18) имеет простой геометрический

ченные четырьмя независимыми методами, разли-

смысл: с помощью преобразований растяжения и

чаются только в третьем знаке (в пределах 4 %), а

сдвига один f(a)-cпектр (рис. 2) может быть преоб-

f (a)-cпектры сейсмического и сейсмоэнергетическо-

разован в другой. Подбор параметров растяжения ω

го полей могут быть преобразованы один в другой с

и сдвига const может быть осуществлен разными спо-

помощью аффинных операций растяжения и сдвига

собами в зависимости от метода минимизации невя-

в статистически представительном диапазоне значе-

зок между спектрами (“наилучший” способ предло-

ний индексов сингулярности. Это позволяет утвер-

жить едва ли возможно). Учитывая сложную фор-

ждать, что с учетом погрешностей исходных данных

му спектров, подбор параметров растяжения и сдви-

сейсмический процесс в рамках исследованного по-

га в данном случае реализовывался не с помощью

лигона подчиняется соотношениям (17)-(18). Другой

формальных методов, подобных методу наименьших

пример выполнения соотношений (17)-(18) в реаль-

квадратов, методу Колмогорова или аналогичным

ном сейсмическом процессе приведен в работе [4].

методам, а программно, с помощью компьютерного

5. Выводы. Соотношения (17)-(18) показыва-

перебора значений, минимизирующего невязки меж-

ют взаимосвязь всех известных на сегодня форм

ду вычисленными точками спектров (поскольку абс-

сейсмического скейлинга (кроме временного). Соот-

циссы этих точек не совпадают).

ношение (17) связывает три формы сейсмического

На рисунке 3 показан f(a)-cпектр сейсмоэнерге-

скейлинга: скейлинг повторяемости землетрясений

тического поля (сплошная линия) и f(a)-cпектр сей-

ω, локальный скейлинг пространственного распре-

смического поля (точки), преобразованный в соот-

деления эпицентров землетрясений a^Si и локальный

ветствии с соотношениями (17)-(18), т.е. подвергну-

скейлинг пространственного распределения сейсми-

тый преобразованиям растяжения и сдвига с пара-

ческой энергии a^Ei . Соотношение (18) связывает гло-

метром растяжения ω = 1.54... (тем самым, полу-

бальные скейлинги сейсмического и сейсмоэнергети-

чаем четвертую оценку величины параметра ω) и

ческого полей. Выполнение соотношений (17)-(18) в

параметром сдвига const = -0.705

Спектры на

условиях реального сейсмического процесса, находя-

рис. 3 чрезвычайно близки в окрестностях экстрему-

щегося в установившемся режиме, подтверждает и

физический смысл геометрических предпосылок со-

гласования скейлингов, заложенных в проверяемую

модель в виде условий 1) и 2) (раздел 2).

Взаимосвязь сейсмических скейлингов (17)-(18)

существенно отличается от закона Гутенберга-

Рихтера тем, что устанавливает соотношения

между параметрами пространственных распределе-

ний эпицентров землетрясений и их сейсмической

энергии (закон Гутенберга-Рихтера (1) не содер-

жит пространственных параметров сейсмичности).

По сути, закон Гутенберга-Рихтера оказывается

частным случаем более общих соотношений (17)-

Рис. 3. Результат наложения спектра сингулярностей

(18). Возможность определения “наклона графика

сейсмического поля (точки) после преобразования рас-

повторяемости” ω без построения самого графи-

тяжения и сдвига на спектр сингулярностей сейсмо-

ка повторяемости (а только с помощью анализа

энергетического поля (сплошная линия)

пространственных распределений сейсмичности)

качественно расширяет физический смысл парамет-

мов и в своих левых ветвях. Нижние участки правых

ра ω по сравнению с его значением в формуле (1):

ветвей f(a)-cпектров расходятся, однако это область

параметр ω связывает сейсмическое и сейсмоэнерге-

максимального искажения формы ветвей, вызванно-

тическое поля в каждой точке, где значения полей

го нехваткой данных и разрывом скейлинга, вызван-

отличны от нуля.

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019

Структурная модель взаимосвязи сейсмических скейлингов. . .

857

Результаты работы позволяют говорить, что вза-

2. M. B. Geilikman, T. V. Golubeva, and V. F. Pisarenko,

имосвязь сейсмических скейлингов имеет характер

Earth Planet. Sci. Lett. 99(1/2), 127 (1990).

закономерности, не зависящей от тектоники сейсмо-

3. C. Hooge, S. Lovejoy, S. Pecknold, F. Malouin, and

активного региона. Соотношения (17)-(18) харак-

D. Schertzer, Fractals 2(3), 445 (1994).

теризуют неравновесную природу сейсмогенерирую-

4. И. Р. Стаховский, УФН 187(5), 505 (2017).

щей системы, а параметр ω можно определить как

5. L. F. Richardson, Proc. Roy. Soc. Lond. A 110(756), 709

количественную меру “степени неравновесности” сей-

(1926).

смического процесса. По всей видимости, соотноше-

6. A. Obukhov, J. Geophys. Res. 67, 3011 (1962).

ния (17)-(18) следует воспринимать как универсаль-

7. A. N. Kolmogorov, J. Fluid Mech. 13, 82 (1962).

ный закон сейсмического процесса для установивше-

8. E. Hauksson, J. Stock, K. Hutton, W. Yang,

гося сейсмического режима. Этот закон может быть

J. A. Vidal-Villegas, and H. Kanamori, Pure and

Applied Geophysics 168, 1255 (2011).

назван обобщенным скейлинговым законом сейсмич-

ности.

9. R. R. Castro, J. G. Acosta, V. M. Wong, A. Perez-Vertti,

A. Mendoza, and L. Inzunza, Bull. Seismol. Soc. Am.

101(6), 3072 (2011).

1. B. Gutenberg and C. F. Richter, Annali di Geofisica

10. M. Bath, Introduction to seismology, Birkhauser Verlag,

9(1), 15 (1956).

Basel and Stuttgart (1973).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 11 - 12

2019