Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 3, с. 165 - 169

Антиадиабатические фононы, кулоновский псевдопотенциал и

сверхпроводимость в теории Элиашберга-МакМиллана

М. В. Садовский¹⁾

Институт электрофизики Уральского отделения РАН, 620016 Екатеринбург, Россия

Поступила в редакцию 26 ноября 2018 г.

После переработки 26 ноября 2018 г.

Принята к публикации 28 ноября 2018 г.

В рамках подхода Элиашберга - МакМиллана рассмотрено влияние антиадиабатических фононов на

температуру сверхпроводящего перехода, в модели с дискретным набором частот (оптических) фононов.

Предложено общее выражение для температуры сверхпроводящего перехода Tc, справедливое в ситуа-

ции, когда один (или несколько) таких фононов становятся антиадиабатическими. Исследован вопрос о

вкладе таких фононов в кулоновский псевдопотенциал µ^⋆. Показано, что антиадиабатические фононы

не дают вклада в толмачевский логарифм, величина которого определяется парциальными вкладами

только от адиабатических фононов. Полученные результаты обсуждаются в связи с проблемой необычно

высокой температуры сверхпроводящего перехода в монослое FeSe на STO.

DOI: 10.1134/S0370274X19030056

1. Введение. Наиболее развитым подходом к

мя, температура сверхпроводящего перехода T_c и в

описанию сверхпроводимости в системе электронов и

антиадиабатическом пределе определяется спарива-

фононов является теория Элиашберга-МакМиллана

тельной константой связи Элиашберга-МакМиллана

[1-4]. Хорошо известно, что эта теория целиком ос-

λ, а предэкспоненциальный множитель в формуле

нована на применимости адиабатического прибли-

для T_c, сохраняющей вид, типичный для приближе-

жения и теореме Мигдала [5], позволяющей прене-

ния слабой связи, определяется шириной зоны (энер-

бречь вершинными поправками при расчетах эффек-

гией Ферми). Для случая взаимодействия с одним

тов электрон-фононного взаимодействия в типичных

оптическим фононом в работе [6] была получена еди-

металлах. Реальный параметр малости теории воз-

ная формула для T_c, справедливая как в адиабатиче-

мущений имеет вид λΩ0 ≪ 1, где λ - безразмерная_E

ском, так и в антиадиабатическом режимах и имею-

константа электрон-фононного взаимодействия, Ω₀ -

щая интерполяционный характер в промежуточной

характерная частота фононов, а E_F - энергия Ферми

области.

электронов. В частности, это ведет к выводу о том,

В работе [6] также отмечалось, что наличие высо-

что вершинными поправками в этой теории можно

ких фононных частот, порядка или даже превышаю-

пренебречь даже при λ > 1, благодаря выполнению

щих энергию Ферми, приводит к очевидному подав-

неравенстваΩ0 ≪ 1, характерного для типичных ме-_E

лению толмачевского логарифма в выражении для

таллов.

кулоновского псевдопотенциала µ^⋆, что создает до-

В недавней работе [6] нами было показано, что

полнительные трудности для реализации сверхпро-

в условиях сильной неадиабатичности, когда Ω₀ ≫

водящего состояния в системе с антиадиабатически-

≫ E_F, в теории возникает новый параметр малости

ми фононами.

1 (D - полуширина электрон-

Интерес к данной проблеме стимулируется от-

λ_D ∼ λEFΩ0^∼λΩ0 ≪

ной зоны), так что поправки к электронному спек-

крытием ряда сверхпроводников, где адиабатическое

тру становятся несущественными, а вершинными по-

приближение не может считаться выполненным, а

правками также можно пренебречь [7]. В общем слу-

характерные частоты фононов порядка или даже

чае, перенормировка электронного спектра (эффек-

превышают энергию Ферми электронов. Наиболее

тивной массы электрона) определяется новой безраз-

характерными, в этом смысле, являются интеркали-

мерной константой

λ, которая переходит в обычную

рованные системы с монослоями FeSe, а также моно-

λ в адиабатическом пределе, а в сильном антиадиа-

слои FeSe на подложках типа Sr(Ba)TiO₃ (FeSe/STO)

батическом пределе стремится к λ_D. В тоже вре-

[8]. Впервые на неадиабатический характер сверх-

проводимости, в применении к FeSe/STO, обратил

¹⁾e-mail: sadovski@iep.uran.ru

внимание Горьков [9, 10] при обсуждении идеи о воз-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019

165

166

М. В. Садовский

можном механизме повышения температуры сверх-

Особенности ее вычисления в ситуации, когда в

проводящего перехода T_c в системе FeSe/STO за

системе появляются неадиабатические фононы, по-

счет взаимодействия с высокоэнергетическими опти-

дробно обсуждаются в [6].

ческими фононами в SrTiO₃ [8].

Ситуация существенно упрощается [6], если рас-

В настоящей работе рассматривается обобщенная

смотреть в этих уравнениях предел ε → 0 и искать

модель с дискретным набором частот (оптических)

решения Z(0) = Z и Δ(0) = Δ. Тогда из (1) получа-

фононов, часть из которых может оказаться антиа-

ем:

диабатическими. Получены общие выражения для

∫ ∞

T_c, справедливые как в адиабатическом, так и в ан-

[1 - Z]ε = -2ε

dωα²(ω)F (ω)

(4)

ω(ω + D)

тиадиабатическом пределе. Также проводится общий

анализ проблемы кулоновского псевдопотенциала µ^⋆

или

в такой модели. Полученные результаты использу-

Z =1+

λ,

(5)

ются для простых оценок T_c в ситуации, типичной

где константа

λ определяется как:

для FeSe/STO.

∫ ∞

2. Температура сверхпроводящего перехо-

dω

λ= 2

α²(ω)F(ω)

(6)

да. Линеаризованные уравнения Элиашберга в пред-

ω+D

ставлении действительных частот, определяющие

что при D

→ ∞ сводится к обычной константе

температуру сверхпроводящего перехода T_c, имеют

Элиашберга-МакМиллана (3), а при D, существенно

вид [2]:

меньшей характерных фононных, дает “антиадиаба-

тическую” константу связи:

∫ D

∫ ∞

[1 - Z(ε)]ε =

dε^′

dωα²(ω)F (ω)f(-ε^′) ×

∫

dω

(

)

λ_D = 2D

α²(ω)F(ω).

(7)

ω²

(1)

ε^′ + ε + ω + iδ

ε^′ - ε + ω - iδ

Выражение (6) описывает плавный переход между

пределами широкой и узкой зон проводимости. Пе-

ренормировка массы, в общем случае, определяется

∫ D

dε^′

ε^′

Z(ε)Δ(ε) =

ReΔ(ε′) ×

именно константой

λ:

ε^′

2T_c

∫ ∞

m^⋆ = m(1 +

λ).

(8)

× dωα²(ω)F (ω) ×

(

)

В пределе сильной антиадиабатичности эта перенор-

(2)

мировка оказывается весьма малой и определяется

ε^′ + ε + ω + iδ

ε^′ - ε + ω - iδ

предельным выражением λ_D [6].

Из уравнения (2), в пределе ε → 0 и используя

Здесь Δ(ω) - щелевая функция сверхпроводника, а

(5), немедленно получаем следующее уравнение для

Z(ω) - функция перенормировки массы электрона,

T_c:

f (ε) - функция Ферми. В отличие от стандартного

случая [2], мы ввели конечные пределы интегриро-

∫ ∞

∫ D

dε^′

ε^′

λ= 2

dωα²(ω)F (ω)

(9)

вания, определяемые (полу)шириной зоны проводи-

ε^′(ε^′ + ω)

2T_c

мости D. В дальнейшем подразумевается полузапол-

ненная зона вырожденных двумерных электронов,

Рассмотрим теперь ситуацию, когда имеется набор

так что D = E_F ≫ T_c, а плотность состояний счита-

дискретных фононных мод (бездисперсионных, эйн-

ется постоянной. Также, для простоты, пока что пре-

штейновских фононов). При этом плотность фонон-

небрегли вкладом прямого кулоновского отталкива-

ных состояний имеет вид:

ния. В этих (интегральных) уравнениях α²(ω) пред-

∑

F (ω) = δ(ω - ω_i),

(10)

ставляет собой функцию Элиашберга-МакМиллана,

определяющую величину электрон-фононного взаи-

модействия, а F (ω) - плотность состояний фоно-

где ω_i - упомянутые дискретные частоты, моделиру-

ющие оптические ветви фононного спектра. Тогда из

нов. Спаривательная константа связи Элиашберга-

МакМиллана определяется как:

(3) и (6) имеем:

∑

∫ ∞

α²(ωi)

dω

λ=2

≡

λ_i,

(11)

λ=2

α²(ω)F(ω).

(3)

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019

Антиадиабатические фононы, кулоновский псевдопотенциал и сверхпроводимость. . .

167

∑

α²(ω_i)D

логарифм, что, казалось бы, существенно подавля-

λ= 2

≡

λ_i.

(12)

ω_i(ω_i

+ D)

λ_i ω_i

ет температуру сверхпроводящего перехода. Чтобы

разобраться с возникающей здесь ситуацией, рас-

Соответственно, в этом случае:

смотрим упрощенную версию интегрального уравне-

∑

λ_i

ния для щели (2), записав его как:

α²(ω)F(ω) =

α²(ω_i)δ(ω - ω_i) =

ω_iδ(ω - ω_i).

∫ D

ε^′

(13)

Z(ε)Δ(ε) =

dε^′K(ε, ε^′)

Δ(ε^′),

(18)

ε^′

2T_c

Стандартные уравнения Элиашберга (в адиабатиче-

ском пределе) для такой модели последовательно ре-

где интегральное ядро представим в двухступенча-

шались в известной работе [11]. Для наших целей

том виде:

достаточно проанализировать уравнение (9), которое

K(ε, ε^′) = λθ(D -|ε|)θ(D -|ε^′|)-µθ(D -|ε|)θ(D -|ε^′|),

приобретает теперь вид:

(19)

∑

∫ D

где µ - безразмерный (отталкивательный) кулонов-

dε^′

ε^′

λ= 2

α²(ω_i)

(14)

ε^′(ε^′ + ω_i)

ский потенциал, а параметр

D, определяющий энер-

гетическую ширину области притяжения за счет фо-

Решение уравнения (14) дает:

нонов, определяется предэкспонентой в (15):

(

)λi

(

)

(

)λi

∏

T_c ∼

exp

(15)

(20)

1+^D

ωi

Для случая двух оптических фононов с частотами

Заметим, что у нас всегда

D < D. Уравнение (18)

ω₁ и ω₂ имеем:

теперь переписывается как:

(

)λ1 (

)λ2

(

)

∫ D

dε^′

ε^′

dε^′

Z(ε)Δ(ε) = (λ-µ)

Δ(ε^′)-µ

Δ(ε^′).

T_c ∼

exp

(16)

ε^′

2T_c

D ε^′

1+^Dω

1+^D

ω2

(21)

Полагая для фононной перенормировки массы:

где

λ= λ₁ +λ2 и λ = λ₁ +λ₂. В случае, когда ω₁ ≪ D

{

(адиабатический фонон), а ω₂ ≫ D (антиадиабати-

λ при ε < D,

ческий фонон), из (16) немедленно получаем:

Z(ε) =

(22)

при ε >

(

)

λ1

λ2

T_c ∼ (ω₁)

^λ (D)

^λ exp

(17)

ищем решение (18) для Δ(ε), как обычно, также в

двухступенчатом виде [1-3]:

{

Видим, что здесь в предэкспоненте частота антиа-

Δ₁

при ε <

диабатического фонона заменяется на полуширину

Δ(ε) =

(23)

Δ₂

при ε >

зоны проводимости (энергию Ферми), которая игра-

ет роль параметра обрезания логарифмической рас-

Тогда (21) переходит в систему однородных линей-

ходимости в куперовском канале в антиадиабатиче-

ных уравнений для констант Δ₁ и Δ₂:

ском пределе [6, 9, 10].

Общий результат (15) дает единое выражение

(1 +

λ)Δ₁ = (λ - µ) ln

Δ₁ - µ ln

Δ₂,

для T_c для дискретного набора оптических фоно-

T_c

нов, справедливое как в адиабатическом, так и в ан-

Δ₂ = -µ ln

Δ₁ - µ ln

Δ₂,

(24)

тиадиабатическом режиме, интерполирующее меж-

T_c

ду этими предельными случаями в промежуточной

условие разрешимости которой имеет вид:

области.

(

)

3. Кулоновский псевдопотенциал. Выше мы

λ= λ -

(25)

пренебрегали прямым кулоновским отталкиванием

1 + µln ^D˜

T_c

электронов, которое в стандартном подходе [1-3] опи-

сывается кулоновским псевдопотенциалом µ^⋆, вели-

Соответственно, для температуры перехода получа-

чина которого эффективно подавлена большим тол-

ем:

(

)

мачевским логарифмом. Как отмечалось в [6], антиа-

T_c =

D exp

(26)

диабатические фононы ликвидируют толмачевский

λ-µ^⋆

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019

168

М. В. Садовский

где кулоновский псевдопотенциал определяется вы-

константой связи λ_D ≪ λ. В этом смысле, в преде-

ражением:

ле сильной антиадиабатичности связь таких фоно-

нов с электронами становится слабой и соответству-

µ^⋆ =

(27)

ющие вершинные поправки несущественны [7] так

(

)λi .

1 + µln ^D

∏

1 + µln_i

1+^D

же, как и для адиабатических фононов [5]. Именно

ωi

это обстоятельство и позволяет использовать подход

Таким образом, фононные частоты входят в толма-

Элиашберга-МакМиллана в пределе сильной антиа-

чевский логарифм в виде произведения парциаль-

диабатичности. В промежуточной области все пред-

ных вкладов, величина которых определяется также

ложенные выше формулы носят интерполяционных

и соответствующими константами связи. Подобная

характер, а для более детального ее понимания сле-

структура толмачевского логарифма была впервые

дует использовать другие подходы (см., например,

получена (в несколько другой модели) в работе [12],

[13, 14]).

где выход за пределы адиабатического приближения

Обрезание спаривательного взаимодействия в ку-

не рассматривался. Выражение (27), в этом смысле,

перовском канале в антиадиабатическом пределе,

имеет более широкую область применимости. В част-

как отмечалось в [6, 9, 10], происходит на энергиях

ности, для модели двух оптических фононов с часто-

∼ E_F и вклад соответствующихфононоввыпадает из

тами ω₁ ≪ D (адиабатический фонон) и ω₂ ≫ D из

толмачевского логарифма в кулоновском псевдопо-

(27) получаем:

тенциале, но достаточно большая величина этого ло-

гарифма (и, соответственно, малость µ^⋆) может быть

µ^⋆ =

(28)

обеспечена за счет вклада адиабатических фононов.

(

)λ1

1 + µλ1λln ω

Отметим, что выше всюду мы использовали до-

1 + µln^D

ω1

статочно упрощенный анализ уравнений Элиашбер-

Видим, что вклад антиадиабатического фонона вы-

га. Однако более последовательный подход, напри-

падает из толмаческого логарифма, но сам логарифм

мер в духе работы [11], по нашему мнению, вряд

сохраняется, и величина его определяется отноше-

ли приведет к качественному изменению полученных

нием полуширины зоны (энергии Ферми) к часто-

результатов.

те адиабатического (низкочастотного) фонона. Об-

В заключение обсудим значение полученных

щий эффект подавления кулоновского отталкивания

результатов для объяснения высокотемпературной

сохраняется, хотя и уменьшается пропорционально

сверхпроводимости в монослое FeSe на Sr(Ba)TiO₃

парциальному взаимодействию электронов с соот-

(FeSe/STO)

[8]. Наличие в Sr(Ba)TiO₃ высоко-

ветствующим фононом. Эта же ситуация сохраняет-

энергетических оптических фононов указывает

ся и в общем случае - величина толмаческого ло-

на возможность существенного повышения T_c в

гарифма и соответствующего кулоновского псевдо-

этой системе за счет взаимодействия электронов

потенциала определяется вкладами адиабатических

FeSe с таким фононами на интерфейсе FeSe/STO

фононов, а антиадиабатические фононы выпадают

[8, 15]. ARPES эксперименты [15] и LDA + DMFT

из рассмотрения. Таким образом, в общем случае, си-

расчеты [16, 17] показали, что энергия Ферми E_F

туация оказывается более благоприятной для сверх-

в этой системе существенно (практически в два

проводимости, чем в случае одного антиадиабатиче-

раза) меньше энергии оптического фонона, что

ского фонона, рассматривавшегося в работе [6].

однозначно указывает на реализацию, в данном,

4. Заключение. В данной работе мы рассмотре-

случае антиадиабатической ситуации [9, 10]. По-

ли электрон-фононную связь в теории Элиашберга-

смотрим, можно ли объяснить наблюдаемые в этой

МакМиллана в ситуации, когда в системе имеют-

системе высокие значения T_c на основе выражений,

ся антиадиабатические фононы с достаточно боль-

полученных в данной работе. Принимая для FeSe

шой частотой (сравнимой или превышающей энер-

на STO характерное значение фононной частоты

гию Ферми E_F). Величина перенормировки массы, в

ω1 = 350 K, энергию Ферми EF = D = 650 K, а

общем случае, определяется константой связи

λ, то-

энергию оптического фонона в SrTiO₃ ω₂ = 1000 K

гда как величина спаривательного взаимодействия

[8,

15], проведем вычисления T_c по формулам

всегда определяется стандартной константой связи

(16),

(26) (для случая двух фононных частот),

λ теории Элиашберга-МакМиллана, соответствую-

рассматривая µ^⋆ в качестве свободного модельного

щим образом обобщенной с учетом конечности час-

параметра. Выберем λ₁ так, чтобы получить, в

тоты фононов [6]. Перенормировка массы за счет

отсутствие взаимодействия с высокоэнергетическим

антиадиабатических фононов мала и определяется

оптическим фононом STO, значение T_c

= 9K,

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019

Антиадиабатические фононы, кулоновский псевдопотенциал и сверхпроводимость. . .

169

характерное для объемного FeSe, что дает λ₁ > 0.4.

Автор признателен Э.З. Кучинскому за обсужде-

Результаты расчетов приведены на рис. 1. Видим,

ния и помощь с численными расчетами. Работа вы-

полнена при частичной поддержке гранта РФФИ

#17-02-00015 и программы фундаментальных ис-

следований # 12 Президиума РАН “Фундаменталь-

ные проблемы высокотемпературной сверхпроводи-

мости”.

D. J. Scalapino, in Superconductivity, ed. by

R. D. Parks, Marcel Dekker, N.Y. (1969), p. 449.

С. В. Вонсовский, Ю. А. Изюмов, Э. З. Курмаев,

Сверхпроводимость переходных металлов их спла-

вов и соединений, ГРФМЛ “Наука”, М. (1977).

P. B. Allen and B. Mitrović, Solid State Physics, ed.

by F. Seitz, D. Turnbull, and H. Ehrenreich, Academic

Press, N.Y. (1982), p. 1.

L. P. Gor’kov and V. Z. Kresin, Rev. Mod. Phys. 90,

Рис. 1. (Цветной онлайн) Зависимость температуры

011001 (2018).

сверхпроводящего перехода от константы связи с вы-

А. Б. Мигдал, ЖЭТФ 34, 1438 (1958) [Sov. Phys.

сокоэнергетическим фононом для типичных значений

JETP 7, 996 (1958)].

параметров системы FeSe/STO

М. В. Садовский, ЖЭТФ

155

(2019) (в пе-

что экспериментально наблюдаемые

[8] высокие

чати)

[JETP

128

(2019) (to be published)];

значения T_c ∼ 60-80 K можно получить только при

ArXiv:1809.02531.

достаточно больших значениях константы связи

M. A. Ikeda, A. Ogasawara, and M. Sugihara, Phys.

электронов в монослое FeSe с высокоэнергетическим

Lett. A 170, 319 (1992).

оптическим фононом STO λ₂ > 0.5, так что полная

М. В. Садовский, УФН 178, 1243 (2008)

[Physics

спаривательная константа связи λ = λ₁ + λ₂ > 0.9.

Uspekhi 59, 947 (2016)].

Вообще говоря, такие значения констант связи не

L. P. Gor’kov, Phys. Rev. B 93, 054517 (2016).

представляются чем-то необычным. В тоже время,

10.

L. P. Gor’kov, Phys. Rev. B 93, 060507 (2016).

достижение столь больших их значений в системе

11.

A. E. Karakozov, E. G. Maksimov, and S.A. Mashkov,

FeSe/STO, кажется достаточно маловероятным в

ЖЭТФ 68, 1937 (1975) [JETP 41, 971 (1975)].

свете качественных оценок λ в условиях нарушения

12.

D. A. Kirzhnits, E. G. Maksimov, and D.I. Khomskii, J.

адиабатичности, проведенных в работе [6], а также

Low. Temp. Phys. 10, 79 (1973).

результатов первопринципных расчетов λ для этой

13.

L. Pietronero, S. Strässler, and C. Grimaldi, Phys. Rev.

системы [18]. Заметим также, что использованные

B 52, 10516 (1995).

значения параметров, характерные для FeSe/STO,

14.

C. Grimaldi, L. Pietronero, and S. Strässler, Phys. Rev.

находятся в промежуточной области, с точки зрения

B 52, 10530 (1995).

адиабатического или антиадиабатического поведе-

15.

J. J. Lee, F. T. Schmitt, R. G. Moore, S. Johnston,

ния, где наши формулы, как отмечалось выше, носят

Y. T. Cui, W. Li, Z. K. Liu, M. Hashimoto, Y. Zhang,

интерполяционный характер. Варьирование значе-

D. H. Lu, T. P. Devereaux, D. H. Lee, and Z. X. Shen,

ний использованных параметров в относительно

Nature 515, 245 (2014).

широких пределах не приводит к качественному из-

16.

И. А. Некрасов, Н. С. Павлов, М. В. Садовский, Пись-

менению полученных результатов. Использованные

ма ЖЭТФ 105, 354 (2017) [JETP Lett. 105, 370

выше традиционно малые значения µ^⋆ не могут быть

(2017)].

получены для принятых выше значений D = E_F,

17.

И. А. Некрасов, Н. С. Павлов, М. В. Садовский,

ω₁ и констант связи из выражения типа (28) при

ЖЭТФ 153, 590 (2018).

обычных значениях µ, ввиду небольших значений

18.

Y. Wang, A. Linscheid, T. Berlijn, and S. Johnson,

соответствующего толмачевского логарифма.

Phys. Rev. B 93, 134513 (2016).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019