Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 3, с. 191 - 195

Поляронный сдвиг уровней квантовой проволоки в гибридной

структуре с бозе-конденсатом

А. В. Каламейцев⁺, М. М. Махмудиан^+∗1), А. В. Чаплик^+∗1)

⁺Институт физики полупроводников им. А.В. Ржанова Сибирского отделения, 630090 Новосибирск, Россия

^∗Новосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск, Россия

Поступила в редакцию 29 ноября 2018 г.

После переработки 29 ноября 2018 г.

Принята к публикации 29 ноября 2018 г.

Волновая функция поперечного движения электронов в квантовой проволоке, расположенной вбли-

зи двумерного слоя дипольных экситонов, возмущается флуктуациями экситонной плотности благодаря

электрон-экситонному взаимодействию. Этот поляронный эффект приводит к сдвигу уровней проволоки

и может наблюдаться по изменению частоты межподзонных переходов. В работе рассчитан поляронный

сдвиг частоты основного межподзонного перехода в условиях бозе-конденсации экситонов, а также для

нормального состояния вырожденного бозе-газа.

DOI: 10.1134/S0370274X19030111

Введение. Мы рассматриваем структуру, содер-

Из общих соображений ясно, что с уменьшением

жащую двумерное “море” бозе-частиц - простран-

эффективной размерности области движения кван-

ственно непрямых дипольных экситонов - и квази-

товой частицы облегчаются условия ее локализации.

одномерную ферми-систему - квантовую проволоку,

Поэтому естественно ожидать, что поляронные эф-

содержащую электроны, на расстоянии Δ от экси-

фекты для квантовой проволоки будут проявляться

тонного слоя (см. рис.1). В нашей предыдущей ра-

сильнее, чем для двумерного электронного газа. С

другой стороны, электронный спектр проволоки ча-

стично квантован, и поэтому взаимодействие с эк-

ситонным газом приводит еще и к сдвигам подзон

размерного квантования. Этот эффект (по существу

тоже поляронной природы) проявляется в измене-

нии частот межподзонных переходов и, видимо, лег-

че доступен экспериментальному наблюдению, чем

пространственная локализация в поляроне сильной

связи. В данной работе мы рассмотрим квантовую

проволоку конечной ширины (т.е. двумерную пря-

мую полосу), электроны которой взаимодействуют с

двумерным газом дипольных экситонов в состоянии

бозе-конденсации. Для сравнения будет рассчитан

Рис. 1. (Цветной онлайн) Гибридная система квантовая

также сдвиг частоты межзонного перехода в прово-

проволока и 2D экситонный газ

локе, взаимодействующей с экситонным вырожден-

ным бозе-газом выше температуры фазового пере-

хода.

боте [1], где электронная часть гибридной системы

Экситон-экситонное взаимодействие будем счи-

считалась также двумерной, было показано, что воз-

тать контактным V_ex-ex = gδ(ρ-ρ^′), где g = 4πe²L/ε,

можна автолокализация электрона по типичному по-

L - плечо диполя, ρ,ρ^′ - двумерные радиус-векторы.

ляронному механизму за счет электрон-экситонного

Электрон-экситонное взаимодействие дается форму-

взаимодействия. Там же содержится краткое объяс-

лой (см. [1]):

нение интереса к подобным гибридным структурам

в последние годы и библиография вопроса.

e²ΔL

V_e-ex(ρ, ρ^′) = -

[

]_3/2

(1)

¹⁾e-mail: mahmood@isp.nsc.ru; chaplik@isp.nsc.ru

ε Δ² + (ρ - ρ^′)²

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019

191

192

А. В. Каламейцев, М. М. Махмудиан, А. В. Чаплик

Формула (1) есть первый член разложения точно-

в уравнение (3) следует подставлять соответствую-

го выражения V_e-ex при L ≪ Δ. Бозе-конденсат эк-

щую ему собственную функцию χ⁽⁰⁾(y^′) в потенциа-

ситонов описываем уравнением Гросса-Питаевского

ле U₀(y^′).

[2], т.е. в приближении среднего самосогласованно-

Наиболее трудным этапом в реализации этой про-

го поля. Обозначая волновую функцию электрона в

граммы было численное решение нелинейного урав-

проволоке через χ(ρ), а конденсатную через ψ(ρ),

нения (3). Эта процедура описана в Приложении.

напишем гамильтониан электрон-экситонного взаи-

Квантовая проволока и нормальный бозе-

модействия в виде

газ. Гамильтониан электрон-экситонного взаимодей-

∫

ствия здесь удобней записать в виде:

Ĥ_int =

|ψ(ρ^′)|²V_e-ex(ρ - ρ^′)|ψ(ρ)|²dρdρ^′.

(2)

∫

Ĥ_int =

|χ(ρ)|²V_e-ex(ρ - ρ^′)n(ρ^′)dρdρ^′,

(5)

Функции ψ(ρ) и χ(ρ) удовлетворяют системе

уравнений:

где n(ρ^′) - плотность дипольных экситонов. Знак в

правой части (5) соответствует определенной поляр-

[

ℏ²

ности ориентированных диполей: к квантовой прово-

Δ_ρ - µ + g|ψ(ρ)|² +

локе обращен положительный полюс диполя.

∫

]

Плотность экситонов выше точки конденсации

+ V_e-ex(ρ - ρ₁)|χ(ρ₁)|²dρ1 ψ(ρ) = 0,

(3)

определяется распределением Бозе-Эйнштейна, в

[

∫

котором следует учесть потенциал W (ρ^′) - энергию

ℏ²

Δ_ρ′ + V_e-ex(ρ^′ - ρ₁)|ψ(ρ₁)|²dρ₁ +

диполя в поле остальных экситонов и взаимодей-

]

ствие его с электроном.

∫

+ U₀(y^′) - E χ(ρ^′) = 0.

(4)

W (ρ^′) = gn(ρ^′) + V_e-ex(ρ - ρ^′)|χ(ρ)|²dρ.

(6)

Здесь m и M - массы электрона и экситона соответ-

Для плотности n(ρ^′) имеем:

ственно, U₀(y^′) - исходный конфайнмент-потенциал

∫

квантовой проволоки, которую считаем параллель-

n(ρ^′) =

ной оси OX, µ - химический потенциал экситонного

(2πℏ)²

eβ[p2/2M+W(ρ′)-µ] - 1

газа, E - энергия электрона в квантовой проволоке.

Точное решение нелинейной системы (3) даже

ln[1 - eβ[µ-W(ρ′)]], β ≡ 1/T.

(7)

2πℏ²

численными методами представляет большие ма-

Представим плотность в виде n(ρ^′) = n₀ + δn(ρ^′),

тематические трудности. Поэтому мы введем два

где n₀ - постоянная плотность однородного экситон-

упрощающих предположения. Во-первых, будем рас-

ного газа в отсутствие электронов. Соответственно,

сматривать однородные по x решения, т.е. счита-

энергию экситона W (ρ^′) можно записать какW+gn₀

ем, что флуктуации плотности экситонов конденса-

и включить вклад gn₀ в перенормированный химпо-

та зависят лишь от поперечной проволоке координа-

тенциал. Тогда для δn получается

ты y. Волновая функция электронов χ(ρ^′) в соответ-

ствии с симметрией задачи должна, вообще говоря,

n₀

2πℏ²n₀

δn(ρ^′) = -

ln[e^Γ - (e^Γ - 1)e^-βW], Γ ≡

, (8)

иметь вид χ(y) exp(iqx), но мы здесь ограничимся

лишь случаем q = 0. Это соответствует дну произ-

откуда следует уравнение для W(ρ^′):

вольной подзоны в электронном спектре квантовой

∫

проволоки. Во-вторых, будем считать, что потенци-

W (ρ^′) = V_e-ex(ρ - ρ^′)|χ(ρ)|²dρ -

ал проволоки U₀(y^′) существенно больше электрон-

экситонного взаимодействия, и поэтому в качестве

gn₀

ln[e^Γ - (e^Γ - 1)e-βW(ρ′)].

(9)

первого приближения подставим в уравнение (3) для

ψ волновую функцию электрона в проволоке χ⁽⁰⁾,

Уравнение Шредингера замыкает систему трех

определяемую лишь потенциалом U₀(y^′). Решив по-

уравнений на три неизвестные функции: δn(ρ^′),

сле этого уравнение (3) для волновой функции кон-

W(ρ^′) и χ(ρ):

денсата, мы подставим ее в уравнение (4) и, вычис-

[

лив соответствующий интеграл, найдем эффектив-

ℏ²

Δχ(ρ) + U₀(ρ) + V_e-ex +

ный потенциал, действующий на электроны в кван-

∫

]

товой проволоке. Отсюда уже находятся искомые

+ V_e-ex(ρ - ρ₁)δn(ρ₁)dρ₁ χ(ρ) = Eχ(ρ),

(10)

сдвиги уровней. Естественно, для каждого уровня

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019

Поляронный сдвиг уровней квантовой проволоки в гибридной структуре с бозе-конденсатом

193

где U₀(ρ) - внешний потенциал, созданный прово-

= mΩ²y²/2 и выбираем в качестве пробных функций

∫

локой, Ve-ex = n0

V_e-ex(R)dR - вклад в энергию

нулевого и первого уровней выражения:

от взаимодействия электрона с однородным экситон-

Ae^iqx

Bye^iqx

ным газом.

χ₀ =

√

e-αy2 , χ₁ =

√ e-γy2.

(12)

Оценим вклады двух слагаемых в правой части

уравнения (9), для чего сначала надо оценить вели-

Здесь D - нормировочная длина проволоки, q - со-

чину Γ. Примем плотность экситонов n₀ ∼ 10¹⁰ ÷

храняющийся импульс электрона вдоль проволоки,

÷ 10¹¹ см^-2, M ∼ 0.5m0 (m0 - масса электрона),

α и γ - вариационные параметры, A и B находятся

ε = 10, T

∼ 10 ÷ 100 K, т.е. заведомо выше тем-

из нормировки. При этом интегралы (11) становятся

пературы конденсации. Тогда получаем оценку Γ ∼

∫

однократными, так как

V_e-ex(ρ - ρ₁)|χ(ρ₁)|²dρ₁ =

∼ 10^-1 ÷ 10^-2 ≪ 1. В качестве иллюстрации рас-

∫ f(y1)dy

= -2e2ΔL

, где f(y) - зависящая от по-

смотрим высокотемпературный случай T ∼ 100 K,

Δ²+(y-y1)²

перечной проволоке координаты часть |χ|².

Δ ∼ L ∼ 100Å. В уравнении (9) первое слагаемое

справа при этом порядка единицы, второе порядка

Вычисления проводились при следующих значе-

ниях параметров: T = 50 K, D = 300Å, Δ = 100Å,

0.1. В уравнении (8) надо провести разложение по Γ

до линейных членов. В первом приближении полу-

L = 15Å, a_Ω = 180Å, n₀ = (1 ÷ 5) · 1010 см^-2,

∫

N_l = (0.3 ÷ 3.3) · 10⁶ см^-1. Минимизирующие энер-

чимW(ρ^′) ≈

V_e-ex(ρ^′ - ρ)|χ(ρ)|²dρ, откуда следует

самосогласованное уравнение для волновой функции

гию значения α и γ оказались равными: α_min

= 0.559a^-2Ω, γ_min = 0.516a^-2Ω для n₀ = 5 · 10¹⁰ см^-2

электрона:

и N_l = 1.3 · 106 см^-1. Различие этих величин ука-

{

∫

ℏ

зывает на отклонение эффективного конфайнмент-

Δχ(ρ) + U₀(ρ) + n₀ V_e-ex(ρ - ρ₁) ×

потенциала от строго параболического, т.е. демон-

}

∫

стрирует влияние ангармонизма, вызванного взаимо-

×e^-β

Ve-ex(ρ1-ρ′)|χ(ρ^′)|²dρ^′ dρ₁ χ(ρ) = Eχ(ρ).

(11)

действием с экситонами (как известно, для гармони-

ческого осциллятора показатель гауссовской экспо-

ненты одинаков для всех уровней).

Уравнение (11) написано фактически для одного

На рисунках 2-5 приведены результаты числен-

электрона или, точнее, для случая, когда все элек-

ных расчетов положения двух нижних уровней раз-

троны квантовой проволоки находятся в одной под-

зоне, и поэтому имеют общую волновую функцию

поперечного движения, т.е. χ₀(ρ) = e^iqx χ(y). В про-

тивном случае плотность электронов, определяющая

потенциал V_e-ex, зависит от функций разных подзон

χ_n и от чисел заполнения f_n. Таким образом, об-

щий случай (даже в рассматриваемой сейчас ква-

зиклассической постановке) является крайне слож-

ным для вычислений. Будем интересоваться опти-

ческими переходами между начальным состоянием

системы (заполнена только самая нижняя подзона

с линейной плотностью N_l) и конечным состоянием,

когда “один” электрон перешел в следующую подзо-

ну. Тогда в уравнении (11) в показателе экспоненты

под интегралом функция χ должна быть нормирова-

на на число электронов в проволоке, т.е. иметь вид

√N_le^iqxχ(y).

Если показатель экспоненты в подинтегральном

Рис. 2. (Цветной онлайн) Положение минимумов элек-

выражении мал, а взаимодействие V_e-ex можно за-

тронных подзон как функция плотности экситонов.

менить контактным, то уравнение (11) переходит в

Плотность электронов N_l = 1.3 · 10⁶ см^-1

уравнение, установленное Гроссом и Питаевским для

бозонов.

мерного квантования в проволоке (минимумы под-

Для нахождения собственных значений E при-

зон) и частоты вертикального перехода 0 → 1. Для

меним прямой вариационный принцип. Моделируем

удобства сравнения на каждом рисунке приводят-

конфайнмент-потенциал проволоки параболой U₀ =

ся результаты, соответствующие конденсату эксито-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019

194

А. В. Каламейцев, М. М. Махмудиан, А. В. Чаплик

Рис. 3. (Цветной онлайн) Положение минимумов элек-

Рис. 5. (Цветной онлайн) Частота межподзонного пе-

тронных подзон как функция плотности электронов.

рехода как функция плотности электронов. Плотность

Плотность экситонов n0 = 2 · 10¹⁰ см^-2

экситонов n0 = 2 · 10¹⁰ см^-2

Таким образом, мы показали, что в гибрид-

ной системе квантовая проволока - двумерный газ

непрямых экситонов измерения частоты межзонных

переходов в проволоке могут служить “маркером”

фазового перехода в состояние, аналогичное бозе-

эйнштейновской конденсации.

Работа выполнена при финансовой поддержке

РФФИ (гранты # 16-02-00565 и 17-02-00837) и про-

граммы РАН (проект 0306-2018-0007).

Приложение. Численное решение уравнения (3)

определяется граничными условиями: ψ^′(0) = 0 и

√

n. Первое условие следует из симметрии

ψ(∞) =

задачи, а условие на бесконечности означает, что

концентрация носителей на бесконечности стремится

к равновесной.

Метод численного решения нелинейных диффе-

Рис. 4. (Цветной онлайн) Частота межподзонного пе-

ренциальных уравнений существенно зависит от ви-

рехода как функция плотности экситонов. Плотность

да уравнения. В нашем случае, мы воспользовались

электронов N_l = 1.3 · 10⁶ см^-1

методом, при котором варьируется значение волно-

вой функции экситонов при y = 0. Начальное значе-

нов при нулевой температуре (точки) и нормально-

ние ψ(0) находится методом последовательных при-

му бозе-газу (пунктир). Найденные величины зави-

ближений. Критерием отбора численных решений

сят как от плотности экситонного газа, так и (из-

выбиралось поведение ψ(y) при больших значениях

за самосогласованного характера задачи) от линей-

y. Из анализа численных решений нелинейного урав-

ной плотности электронов в проволоке даже без уче-

нения (3) следует, что при выборе ψ(0) меньше точ-

та межэлектронного взаимодействия. Видно, что во

ного значения волновой функции при y = 0 решение

всех случаях взаимодействие с конденсатом вызыва-

стремится к -∞ при больших y, и наоборот, при вы-

ет заметно более сильные сдвиги (отрицательные!)

боре ψ(0) больше точного значения в нуле ψ(y) стре-

уровней, чем для нормального вырожденного бозе-

мится при больших y к +∞.

газа той же плотности, но изменение частоты пере-

Особенностью численных решений является то

хода E₁-E₀ в случае конденсата существенно слабее

свойство, что при сколь угодно точном приближе-

зависит от плотности последнего (см. рис.4).

нии ψ(0) к своему точному значению из-за ошибок

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019

Поляронный сдвиг уровней квантовой проволоки в гибридной структуре с бозе-конденсатом

195

округления и разностной схемы получающееся реше-

(3), справедливое во всем интервале y от 0 до ∞:

ние применимо лишь в ограниченном интервале от 0

{

ψ_num(y), при y < y₀,

до некоторого значения y_max. С другой стороны, лег-

ψ(y) =

(14)

ко показать, что универсальное асимптотическое ре-

ψ_asimp(y), при y > y₀.

шение уравнения (3), удовлетворяющее граничным

условиям на бесконечности, имеет вид:

Значение y₀ находится из минимума функционала:

F (y) = (ψ_num(y)-ψ_asimp(y))² +(ψ^′num(y)-ψ^′asimp(y))².

(

)

Γ_l

Соответственно, при этом значении y0 численное ре-

ψ_asimp(y) =

√n 1+

(13)

2y²

шение переходит в асимптотическое с минимальным

скачком значения функции и ее производной.

где Γ_l = 4ΔLN_l/a^∗M , a^∗M ≡ ℏ²ǫ/Me².

Наглядное сравнение этих решений показывает,

что области применимости численного решения и

1. А. В. Каламейцев, А. В. Чаплик, Письма в ЖЭТФ

асимптотического решения пересекаются. Указанное

106(8), 502 (2017).

обстоятельство позволяет задать решение уравнения

2. Л. П. Питаевский, УФН 168, 641 (1998).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019

4^∗