Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 3, с. 200 - 205

Об эффективной теории скирмионного кристалла

В.Е.Тимофеев^+∗×, А.О.Сорокин^+∗, Д.Н.Аристов^+∗1)

⁺ НИЦ “Курчатовский Институт”, Петербургский Институт Ядерной Физики, 188300 Гатчина, Россия

^∗Санкт-Петербургский Государственный Университет, 199034 С.-Петербург, Россия

^×Санкт-Петербургский Электротехнический Университет “ЛЭТИ”, 197376 С.-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 6 ноября 2018 г.

После переработки 3 декабря 2018 г.

Принята к публикации 4 декабря 2018 г.

При помощи метода стереографической проекции рассматриваются многоскирмионные конфигура-

ции в двумерном ферромагнетике в присутствии взаимодействия Дзялошинского-Мории и внешнего

магнитного поля. Без взаимодействия Дзялошинского-Мории D и магнитного поля B скирмионы не

взаимодействуют, и точным многоскирмионным решением является сумма стереографических проек-

ций индивидуальных решений. В некотором диапазоне B, D = 0, энергетически выгодной становится

гексагональная упаковка скирмионов. Форма одного скирмиона полностью определяется параметра-

ми D и B. Мы описываем многоскирмионные конфигурации как сумму стереографических проекций

индивидуальных скирмионов, в предположении, что при изменении размера скирмиона его форма не

меняется. Такое рассмотрение позволяет учесть парное и непарное взаимодействие между скирмиона-

ми и рассчитать плотность энергии решетки скирмионов, в согласии с предыдущими исследованиями.

Тем самым становится возможной эффективная теория скирмионного кристалла, описывающая его по-

ведение в терминах позиций центров индивидуальных скирмионов, их размеров, фаз, эллиптических

деформаций и т.д.

DOI: 10.1134/S0370274X19030135

1. В последние годы наблюдается особый интерес

ного скирмиона является требование однородности

к топологическим свойствам твердых тел. В контек-

намагниченности на бесконечности, в то время как

сте магнитных явлений, одним из объектов актив-

взаимодействие ДМ приводит к модулированному

ных теоретических и экспериментальных исследова-

основному состоянию [12, 13]. Таким образом, скир-

ний являются топологически нетривиальные спино-

мион может рассматриваться как стабильная конфи-

вые структуры, называемые скирмионными кристал-

гурация намагниченности лишь на диске конечного

лами. Подобные структуры наблюдаются в двумер-

радиуса или же как элемент решетки скирмионов [4].

ных магнетиках при различных условиях (см. об-

В отсутствие взаимодействия ДМ и внешнего

зоры [1, 2]), в частности, в присутствии внешнего

магнитного поля, многоскирмионные конфигурации

магнитного поля и взаимодействия Дзялошинского-

описываются решениями Белавина-Полякова (БП)

Мории (ДМ) [3-6], при геометрической фрустрации

[14], при этом энергия подобной конфигурации не

[7], или четырехспинового обменного взаимодействия

зависит от расстояния между отдельными скирми-

[8]. В первом случае решетка скирмионов имеет ха-

онами, что говорит об отсутствии взаимодействия

рактерный размер существенно больше постоянной

между ними. В свою очередь взаимодействие ДМ и

решетки и наблюдается в ряде различных экспери-

магнитное поле не только определяют форму скир-

ментов [8-11].

мионов, но и приводят к появлению взаимодействия

Математическое описание подобных структур яв-

между ними. Более того, данное взаимодействие при-

ляется непростой задачей. Одна из проблем описа-

водит к нарушению симметрии системы, и как след-

ния в терминах индивидуальных скирмионов связа-

ствие, пространство параметра порядка меняется с

на со стабилизацией самих скирмионов. Строго го-

G/H = SO(3)/SO(2) в случае БП на G/H = SO(2)⊗

воря, единичный скирмион нестабилен даже в при-

SO(2) [15]. Это означает, что решетку скирмионов

сутствии взаимодействия ДМ и внешнего магнитного

лучше описывать как систему абрикосовских вихрей,

поля. В частности, условием существования единич-

нежели скирмионов БП (см. [16-18]).

Другой способ описания решетки скирмионов ос-

¹⁾e-mail: aristov@thd.pnpi.spb.ru

нован на аналогии с одномерным спиральным маг-

200

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019

Об эффективной теории скирмионного кристалла

201

нетиком с анизотропией типа легкая плоскость [19-

где ϕⁱ = 〈Sⁱ〉/S есть средняя локальная намагничен-

22], для которого решетка скирмионов и спираль (де-

ность, здесь ǫ_µij - антисимметричный тензор i = 1, 2,

формированная внешним магнитным полем) - экви-

3 и µ = 1,2; мы полагаем ниже C = 1. Мы не рассмат-

валентные конфигурации. Двумерная скирмионная

риваем здесь дальнодействующее магнитодипольное

решетка схожа (но не совпадает) с суперпозицией

взаимодействие, эффект которого в присутствии вза-

трех спиралей, направленных под углом в 120^◦ от-

имодействия ДМ для плоского магнетика сводится к

носительно друг друга [9]. Однако точное решение

локальной анизотропии обмена в (1) [23].

для подобной конфигурации пока не найдено, а пото-

При нулевой температуре вектор намагниченно-

му представление скирмионной решетки в терминах

сти имеет постоянную длину ϕⁱϕⁱ = 1, так что ϕ =

одиночных скирмионов остается наиболее полезным

= (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ). Перейдем к стереогра-

для изучения аналитическими методами как самой

фической проекции

этой структуры, так и ее низкоэнергетической дина-

2f(z, z)

мики. Ниже будет показано, что форма ядра скирми-

ϕ¹ + iϕ² =

1+f(z,z

f (z, z)

она оказывается нечувствительной как к вариации

(2)

параметров модели (в широком диапазоне), так и к

1 - f(z, z)f(z, z)

ϕ³ =

малым деформациям решетки.

1+f(z,z

f (z, z)

В данной работе мы рассматриваем многоскирми-

где f(z, z) - функция комплексных переменных z =

онные конфигурации как сумму стереографических

= x + iy и z = x - iy.

проекций индивидуальных скирмионов в духе рабо-

Вводя обозначения ∂_z →¹² (∂_x-i∂y) и ∂_z →¹² (∂_x+

∫

ты [14]. Сначала мы находим оптимальную форму и

+ i∂y), можно переписать энергию E =¹²

dr H в

размер одного скирмиона на диске конечного ради-

виде

уса с “однородным” граничным условием. Подобное

4(∂_zf∂_zf¯+ ∂_zf¯∂_zf)

рассмотрение является естественным для единично-

H[f] =

го скирмиона, но не годится для решетки скирмио-

(1 + ff)2

нов, однако, относительная устойчивость формы та-

2iD

f²∂_zf + ∂_zf¯- ∂_zf - f²∂_zf¯)

2Bff

(3)

кого скирмионного решения относительно деформа-

(1 + ff)2

1+ff

ций, позволяет сконструировать многоскирмионную

причем топологический заряд выражается в терми-

конфигурацию из решений для единичных скирмио-

нах f как

нов. Энергия, отвечающая такой пробной функции,

∫

находится в хорошем согласии с предыдущими рас-

4(∂_zf∂zf - ∂zf∂zf¯)

(4)

четами.

4π

(1 + ff)2

Мы также обсуждаем взаимодействие между дву-

Уравнение Эйлера-Лагранжа имеет существенно

мя и тремя скирмионами, причем оказывается, что

нелинейный вид

при рассмотрении реалистичных конфигураций, как

например, ячейка гексагонального кристалла, трой-

2f∂_zf∂

f - (1 + ff )∂z∂zf¯-

ным взаимодействием пренебрегать нельзя. Предло-

− iD

f∂

f+f∂_zf)+

f (1 + ff) = 0,

(5)

женный нами подход позволит относительно про-

сто рассмотреть динамику решетки скирмионов в

его решение не может быть найдено аналитически.

терминах коллективных переменных, описывающих

Однако, в простейшем случае D = B = 0 реше-

различные деформации стереографических проек-

нием этого уравнения является любая голоморфная

ций индивидуальных скирмионов. Соответствующий

или антиголоморфная функция [14]. В частности, ре-

анализ и особенности динамики будут представлены

шению с единичным скирмионом соответствует f =

в отдельной работе.

= z₀/z, с произвольным комплексным z₀. Многос-

2. Мы рассматриваем непрерывную модель

кирмионное же решение дается суммой

двумерного ферромагнетика с изотропным об-

∑

z^(j)0

менным взаимодействием C, взаимодействием

f (z) =

(6)

z_j

Дзялошинского-Мории D и внешним магнитным

∫

полем B. Классическая энергия модели, E =

dr H,

Это наблюдение позволяет нам выбрать пробную

дается плотностью энергии:

функция для одного скирмиона при D, B = 0 в виде:

e^iακ(zz)

H = ¹²C∂_µϕⁱ∂_µϕⁱ - Dǫ_µijϕⁱ∂_µϕ^j + B(1 - ϕ³),

(1)

f (z, z) =

(7)

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019

202

В.Е.Тимофеев, А.О.Сорокин, Д.Н.Аристов

с вещественной функцией κ(zz) . В случае БП для

3. Решение БП (6) интересно тем, что при D =

одного скирмиона κ есть константа, равная харак-

= B = 0 скирмионы не взаимодействуют друг с дру-

терному масштабу скирмиона и его размеру, см. ни-

гом. В нашем же случае это не так, поэтому рассмот-

же.

рение статической мультискирмионной конфигура-

В случае D, B = 0 функция κ находится числен-

ции проводится в несколько шагов. В характерном

но, является гладкой функцией и экспоненциально

диапазоне параметров задачи единичный скирмион

спадает на больших расстояниях. Фаза скирмиона

вносит вклад в энергию µ ∼ C, что соответствует хи-

определяется равенством α =^π2 sign D и зависит

мическому потенциалу. Мультискирмионная конфи-

от знака взаимодействия ДМ; это значит, что намаг-

гурация формируется на следующем шаге, причем

ниченность в каждой точке направлена перпендику-

расстояние между отдельными скирмионами a опре-

лярно направлению r.

деляется их взаимодействием. При этом отталкива-

Следует обсудить несколько пространственных

ние между отдельными скирмионами может умень-

масштабов, возникающих в задаче.

шаться за счет некоторого увеличения энергии одно-

i) Главным масштабом в задаче является L =

го скирмиона при изменения функции κ. На послед-

= C/D, ассоциирующийся с шагом спирали, возни-

нем шаге мы рассмотрим гексагональную решетку

кающей в образце при низких температурах, при от-

скирмионов, в которой каждый скирмион испытыва-

сутствии внешнего магнитного поля.

ет давление со стороны шести своих соседей. Что-

ii) Другой характерной длиной в задаче является

бы определить изменение функции профиля при на-

масштаб скирмиона, а именно, вычет функции сте-

личии такого высокосимметричного окружения, мы

реографической проекции в центре скирмиона. Его

рассмотрим скирмион на диске конечного радиуса.

величина определяется, в том числе, расстоянием до

Вид функции профиля дается уравнением

других скирмионов и обозначена z₀.

iii) Радиус скирмиона дается условием 〈ϕ³〉 = 0

κ(Bκ² -4κ(D+2κ^′)+x(B+8κ^′2)) = 4x(x+κ²)κ^′′, (8)

или |f(z, z)| = 1, если центр скирмиона отвечает

значению 〈ϕ³〉 = -1, т.е. максимальной проекции

где x = zz, κ^′(x) = dκ(x)/dx и т.д. В случае БП, при

|f(z, z)| → ∞.

B = D = 0, уравнение имеет два решения: скирми-

iv) Экспоненциальный характер убывания скир-

онное, κ ∼ 1, κ ∼ x, и меронное, κ = x^1/2.

мионного “хвоста” определяется другим масштабом,

Мы решаем уравнение (8) на диске большого ра-

а именно, корреляционной длинной в однородном

диуса R ≫ L, с граничным условием κ(R²) = 0, ме-

ферромагнетике, ℓ = (C/B)^1/2.

тодом “стрельбы” для не очень больших R. Вид κ(x)

v) Наконец, имеется период гексагональной ре-

в пределе R → ∞ дается сшиванием решений при

шетки скирмионного кристалла, a, см. рис.1.

малых x с асимптотикой на больших расстояниях.

Сравнивая решения, полученные для различных

R, мы обнаруживаем интересное свойство функции

κ(x). В диапазоне значений от R = ∞ до R = 4/D

функция κ(x) меняет свою амплитуду, но не свою

форму.

Чтобы это увидеть, введем безразмерную вели-

чину b = BC/D² = L²/ℓ², и перепишем вычет в

точке z = 0 выражения (7) в безразмерной форме

κ(0) = Lk. Заметим, что k есть функция радиуса дис-

ка R, см. рис. 2. Далее введем безразмерную функ-

цию

Рис. 1. (Цветной онлайн) Элементарная ячейка скир-

(

)

мионного кристалла с гексагональной упаковкой. На

κ(y) = (kL)^-1κ

yk²L²

(9)

рисунке показаны два масштаба: параметр решетки a,

и размер скирмиона, z0

график которой показан на рис. 3 для различных

значений R.

Оказывается, что в рассматриваемой области па-

На этом рисунке видно, что для дисков различ-

раметров все эти масштабы длины - одного порядка.

ных радиусов меняется только “хвост” решения κ(y),

В этом смысле мы имеем дело со скирмионом малого

в то время как “ядро” остается неизменным. Это

радиуса, в отличии от [24].

интересное свойство сохранения формы ядра скир-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019

Об эффективной теории скирмионного кристалла

203

висят от k, что проявляется в квазиинвариантности

безмасштабной профильной функции κ(y) при y ≲ 1,

см. рис. 3. Профильная функция может быть с хоро-

шей точностью аппроксимирована функцией Гаусса

κ(y) ≃ exp(-y/(2b)) для y/b ∼ |z|²ℓ²/L⁴. На больших

расстояниях, y ≫ 1, квазиинвариантность теряется,

поскольку настоящая асимптотика дается функци-

√

by); для нашего дальнейшего

ей κ(y) ∼ y^1/4 exp(-k

анализа это неважно. Радиус скирмиона r, опреде-

ляющийся условием |F (r/z₀) | = 1, всегда меньше,

чем|z₀| так как κ(x) ≤ 1; мы имеем r в диапазоне от

r ≃ 0.6|z₀| при b = 0.2, до r ≃ 0.72|z₀| при b = 0.8.

Рис. 2. (Цветной онлайн) Зависимость значения безраз-

Далее мы пользуемся свойством квазиинвариант-

мерного вычета k, для полей b = 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8,

ности κ(y) в наиболее важной области r ≲ L. Снача-

кривые сверху вниз соответственно, от радиуса дис-

ла мы вычисляем функцию κ(x), при заданном b, в

ка R, на котором ищется решение. Жирными точками

пределе большого радиуса диска R/L → ∞, будем

указаны значения, отвечающие минимуму плотности

называть ее κ_∞(y). Далее мы определяем анзац для

энергии скирмионного кристалла

функции одного скирмиона (ср.(7))

(

)

(



)

z₀

 z

²



f (z, z) = F

≡

κ_∞

(11)



z₀

с комплексной величиной z₀, рассматриваемой в ка-

честве вариационного параметра. Выражения (3),

(11) приводят к квадратичному выражению для

энергии

E₁(z₀) = C(a₁ - a₂Im (z₀)/L + a₃|z₀|²/ℓ²).

(12)

По построению минимум энергии достигается при

чисто мнимом значении z₀, с |z₀| = k_R=∞L, равном

масштабу одного скирмиона на плоскости.

4. Пользуясь свойством квазиинвариантности

Рис. 3. (Цветной онлайн) Профильные функции κ(y),

формы одиночного скирмиона, мы предлагаем

уравнение (9), полученные для различных значений ра-

диуса диска в интервале от R = 5L до R = 11L при

моделировать многоскирмионное решение суммой:

b = 0.6. При небольших значениях аргумента форма

∑ (

)

∑

функции почти не зависит от R

f (z) =

(z - z_j)/z^(j)

≡ f_j,

(13)

миона происходит из уравнения (8). Раскладывая

где z_j - центр j-го скирмиона, а z^(j)0 - его масштаб.

κ(y) = 1 + c₁y + c₂y²/2 + . . . в уравнении (8), находим

В случае D = B = 0, эта формула переходит в урав-

(

)₂

нение (6). Ниже мы рассматриваем случай скирмио-

c₁ =

k(bk - 4) = -

нов одинакового масштаба z^(j)0 = z₀, имеющего чисто

мнимое значение.

(

2)(

)

Рассматриваемый анзац (7) автоматически отве-

c₂ =

b²k³ - 4bk(k - 1) + 8

чает условию Q = 1 на топологический заряд для

(10)

одиночного скирмиона. Сумма (13) стереографиче-

Оказывается, что в рассматриваемом диапазоне

ских проекций N скирмионов отвечает топологиче-

∈

(0.3, 0.8) значения k, отвечающие миниму-

скому заряду, равному N, что можно легко увидеть

му плотности энергии, определяются соотношением

для κ ≡ 1, и доказать в общем случае, пользуясь

bk ≈ 2, как видно на рис.2. Это приводит к мало-

непрерывной деформацией κ(zz), при которой топо-

сти вторых членов в разложении c_1,2, таким обра-

логический заряд не меняется. Мы также проверили

зом, коэффициенты c₁ ≃ -^12b , c₂ ≃

, слабо за-

это свойство численно.

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019

204

В.Е.Тимофеев, А.О.Сорокин, Д.Н.Аристов

Взаимодействие между скирмионами есть не что

где ã₁ ≃ -5, ã₃ ≃ 20, u₂ ≃ 3.6 при значении b = 0.6;

иное, как разница между энергией всей конфигура-

последнее слагаемое в (16) соответствует U₂(z₀, a).

ции и суммой энергий отдельных скирмионов:

Тройное взаимодействие вычисляется сходным





образом, оно зависит от нескольких расстояний меж-

∑

ду скирмионами. Для простоты мы ограничиваемся

U = H f_j - H[f_j].

(14)

обсуждением непарного взаимодействия для скирми-

онов, расположенных в вершинах правильного тре-

угольника. Результаты для трех скирмионов можно

Выражение (3) для H[f] весьма громоздкое и приво-

здесь опустить и сразу перейти к конфигурации че-

дит к возникновению как парного взаимодействия,

тырех скирмионов, расположенных в вершинах ром-

так и заметного по величине тройного взаимодей-

ба с ребром a. Такая конфигурация образует элемен-

ствия скирмионов. Взаимодействие последнего типа

тарную ячейку в скирмионном кристалле, как по-

может оказаться важным для стабилизации решетки

казано на рис. 1, с параметром ячейки a и радиу-

скирмионов.

сом скирмионов |z₀|, соответствующим оптимально-

Парное взаимодействие двух скирмионов одина-

му значению для единичного скирмиона. Непарное

кового масштаба z₀, расположенных на расстоянии a

взаимодействие может быть представлено в виде:

друг от друга, мы определяем следующим образом:





∑

U₂(z₀, a) = H [f₁ + f₂] - H[f₁] - H[f₂].

(15)

U₃(a) = H

f_j - 4H[f₁] - 5U₂(a).

(17)

j=1,...4

Если положить радиусы скирмионов радиусам, най-

денным для одиночных решений, то отталкивающее

Оно оказывается достаточно велико и имеет харак-

взаимодействие окажется весьма большим, а имен-

тер притяжения, см. рис.4. Было найдено, что энер-

но, ∼ C для R ∼ |z₀|, см. рис. 4. Для фиксированного

гия взаимодействия четырех скирмионов, располо-

женных в вершинах ромба на рис. 1, с хорошей точ-

ностью совпадает с удвоенной энергией трех скир-

мионов в вершинах правильного треугольника, это

говорит о том, что взаимодействием двух самых

удаленных друг от друга скирмионов можно прене-

бречь.

Все вышесказанное позволяет нам перейти к

рассмотрению гексагональной решетки скирмионов.

Следует учесть, что каждый скирмион принадлежит

четырем соседним элементарным ячейкам, а четыре

из пяти вкладов парных взаимодействий относятся

к двум соседним ячейкам. Таким образом энергия,

приходящаяся на одну ячейку, дается выражением

Рис. 4. (Цветной онлайн) Парное и непарное взаимодей-

ствие скирмионов с z0 = k для b = 0.6, верхняя и ниж-

E_cell = H[f₁] + 3U_a(a) + U₃(a).

(18)

няя кривая, соответственно. Вертикальная линия отме-

чает величину взаимодействия при расстоянии между

Вычисление плотности энергии на элементарную

скирмионами, равном двум радиусам одиночного скир-

ячейку приводит к хорошему численному согласию с

миона “2k”

предыдущими расчетами плотности энергии для од-

ного скирмиона на диске, что говорит в пользу вы-

a минимум энергии достигается “сжатием” скирмио-

бранного нами анзаца (13).

нов, что с одной стороны увеличивает энергию каж-

5. Полученные нами выражения позволяют рас-

дого из них в отдельности, но уменьшает взаимодей-

смотреть низкоэнергетическую динамику решетки

ствие между ними.

скирмионов. Одним из возможных способов это сде-

Мы нашли, что энергия двух скирмионов в еди-

лать являе(ся)рассм(трен)е вариации аргумента

ницах C примерно равна (ср. (12))

z+δz

функции F_z

→F

, так что

E₂ ≃ 2ã₁ + 2ã₃(x - 1)² + u₂x⁴ exp(2r₀ - a)/ℓ,

(16)

∑

a²²

δz=ε₀z+

(ε_m z^m+1 + ε_-mz^m-1)

(19)

ã₁ = a₁ - ã₃,

ã₃ =

x = |z₀|/r₀,

4ba₃

m≥1

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019

Об эффективной теории скирмионного кристалла

205

с комплексными ε_m. Дилатация и закрутка скирмио-

9. S. Mühlbauer, B. Binz, F. Jonietz, C. Pfleiderer,

на описываются параметром ε₀, сдвигу центра скир-

A. Rosch, A. Neubauer, R. Georgii, and P. Boni, Science

миона отвечает ε_-1, специальное конформное преоб-

323, 915 (2009).

разование (рассмотренное для случая БП [25]) отве-

10. X. Z. Yu, Y. Onose, N. Kanazawa, J. H. Park, J. H. Han,

чает ε₁. Эллиптическим деформациям [26] соответ-

Y. Matsui, N. Nagaosa, and Y. Tokura, Nature 465, 901

(2010).

ствуют ε_±2.

11. C. Pfleiderer, Nature Phys. 7, 673 (2011).

Динамика системы [27] может быть проанализи-

рована при учете кинетической части Лагранжиана

12. P. Bak and M. H. Jensen, J. Phys. C: Solid State Phys.

13, L881 (1980).

∼φ˙ cosθ. Эффективное действие находится вариаци-

13. O. Nakanishi, A. Yanase, A. Hasegawa, and M. Kataoka,

ей по смещениям ǫ_m в гармоническом приближении

Solid State Commun. 35, 995 (1980).

[28]. Можно показать, что фаза ε_m является канони-

14. A. A. Belavin and A. M. Polyakov, JETP Lett. 22, 245

ческим импульсом для абсолютной величины |ε_m|²,

(1975).

наиболее просто это показать для дилатаций ε₀. В

15. A. O. Sorokin, JETP 118, 417 (2014).

общем случае ситуация осложняется тем, что даже

при рассмотрении одиночного скирмиона коллектив-

16. J. Garaud, K. A. H. Sellin, J. Jäykkä, and E. Babaev,

Phys. Rev. B 89, 104508 (2014).

ные переменные ε_m и ε_-m гибридизуются. Исследо-

17. D. F. Agterberg, E. Babaev, and J. Garaud, Phys. Rev.

вание динамики мультискирмионной конфигурации

B 90, 064509 (2014).

сведется к рассмотрению эффективного действия в

18. M. S. Scheurer and J. Schmalian, Nature Commun. 6,

терминах коллективных переменных ε^mj) для каждо-

6005 (2015).

го скирмиона в решетке. Такой анализ весьма сложен

19. D. N. Aristov and A. Luther, Phys. Rev. B 65, 165412

и будет рассмотрен в дальнейшем.

(2002).

Авторы выражают благодарность Б.А. Иванову,

20. A. B. Borisov, J. Kishine, I. G. Bostrem, and

К.Л. Метлову, М. Гарсту и А.В. Цыпильникову за по-

A. S. Ovchinnikov, Phys. Rev. B 79, 134436 (2009).

лезные обсуждения.

21. V. V. Kiselev and A. A. Raskovalov, Theor. Math. Phys.

173, 1565 (2012).

1. N. Nagaosa and Y. Tokura, Nature Nanotech. 8, 899

22. Y. Togawa, T. Koyama, K. Takayanagi, S. Mori,

(2013).

Y. Kousaka, J. Akimitsu, S. Nishihara, K. Inoue,

A. S. Ovchinnikov, and J. Kishine, Phys. Rev. Lett. 108,

2. M. Garst, J. Waizner, and D. Grundler, J. Phys. D:

Appl. Phys. 50, 293002 (2017).

107202 (2012).

3. N. Bogdanov and D. A. Yablonskii, Sov. Phys. JETP

23. A. O. Leonov, T. L. Monchesky, N. Romming,

68, 101 (1989).

A. Kubetzka, A.N. Bogdanov, and R. Wiesendanger,

New. J. of Phys 18, 065003 (2016).

4. N. Bogdanov and A. Hubert, J. Magn. Magn. Mater.

138, 255 (1994).

24. V. P. Kravchuk, D. D. Sheka, U. K. Roßler, J. van den

Brink, and Yu. Gaididei, Phys. Rev. B 97, 064403

5. U. K. Roßler, N. Bogdanov, and C. Pfleiderer, Nature

(2018).

442, 797 (2006).

25. D. N. Aristov, S. S. Kravchenko, and A. O. Sorokin,

6. B. Binz, A. Vishwanath, and V. Aji, Phys. Rev. Lett.

96, 207202 (2006).

JETP lett. 102, 455 (2015).

7. T. Okubo, S. Chung, and H. Kawamura, Phys. Rev.

26. N. Bogdanov and A. Hubert, Phys. Stat. Sol. (b) 186,

527 (1994).

Lett. 108, 017206 (2012).

27. D. D. Sheka, B. A. Ivanov, and F. G. Mertens, Phys.

8. S. Heinze, K. von Bergmann, M. Menzel, J. Brede,

A. Kubetzka, R. Wiesendanger, G. Bihlmayer, and

Rev. B 64, 024432 (2001).

S. Blügel, Nature Phys. 7, 713 (2011).

28. K. L. Metlov, Phys. Rev. B 88, 014427 (2013).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019