Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 4, с. 219 - 222
© 2019 г. 25 февраля
К вопросу о зависимости ширин распадов
τ → [ρ0(770), ρ0(1450)]π-ντ от параметров промежуточного
a1-мезона
М. К. Волков1), А. А. Пивоваров
Лаборатория теоретической физики им. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований,
141980 Дубна, Россия
Поступила в редакцию 5 декабря 2018 г.
После переработки 5 декабря 2018 г.
Принята к публикации 14 декабря 2018 г.
Ширины распадов τ → [ρ0(770), ρ0(1450)]π- ντ вычислены в расширенной модели Намбу-Иона-
Лазинио. В качестве промежуточных рассмотрены как основные, так и первые радиально-возбужденные
состояния мезонов. Доминирующим здесь является аксиально-векторный канал с промежуточными a1-
мезонами. В работе учтены недавно полученные в коллаборациях COMPASS И JPAC значения масс и
полных ширин a1-мезона.
DOI: 10.1134/S0370274X19040027
1. Введение. В последние годы проводятся
мезона a1(1260), полученных как в коллаборации
интенсивные исследования процессов, в которых
COMPASS, так и в коллаборации JPAC. При этом бу-
участвуют аксиально-векторные мезоны a1(1260) и
дет использована расширенная модель Намбу-Иона-
a1(1640). При этом в настояще время существу-
Лазинио (НИЛ), которая дала хорошие результаты
ет некоторое разногласие в определении таких ос-
при описании многих распадов τ-лептона [3-8].
новных параметров мезона a1(1260), как масса и
2.
Лагранжиан расширенной модели
полная ширина. А именно, в работе коллабора-
НИЛ. В расширенной модели НИЛ фрагмент
ции COMPASS были получены следующие значения
кварк-мезонного лагранжиана взаимодействия для
+12
мезонов ρ, a1
и π имеет вид [5, 8, 9]:
Ma
1(1260) =
1299
МэВ, Γa
1(1260) =
380 ± 80 МэВ
-28
∑
[1]. В то же время в коллаборации JPAC с ис-
ΔLint
= qiγ5
λπj(Aππj + Bππ′j) +
пользованием данных ALEPH получены несколько
j=±
иные значения этих параметров Ma
1(1260)
= 1209 ±
∑
1
+
γµ
λρj(Aρρjµ + Bρρ′jµ) +
+12
+80
2
±4
МэВ, Γa
1(1260) =
576 ± 11
МэВ [2].
j=±,0
-9
-20
∑
В распадах τ → [ρ0(770), ρ0(1450)]π-ντ домини-
1
+
γµγ5
λρj(Aa1 aj1µ + Ba1 a′j1µ)q,
(1)
рующим каналом, определяющим величину шири-
2
j=±
ны этого распада, является аксиально-векторный ка-
нал, где основной вклад дает промежуточный мезон
где q и q - поля u- и d-кварков с массами mu = md =
a1(1260). К сожалению, в настоящее время не су-
m = 280 МэВ, штрихом обозначены возбужденные
ществует хорошо измеренных экспериментально ши-
состояния мезонов,
рин этих распадов. Поскольку в настоящее время
1
идут интенсивные исследования параметров мезо-
AM =
×
sin(2θ0M )
на a1(1260), можно надеяться, что ширина указан-
[
]
ного здесь процесса τ → ρ0(770)π-ντ будет скоро
× gM sin(θM + θ0M) + g′Mf(k2)sin(θM - θM) ,
измерена. Поэтому нам кажется полезным дать в
-1
этой работе предсказание для ширин данного про-
BM =
×
sin(2θ0M )
цесса при двух различных вариантах параметров
[
]
(2)
× gM cos(θM + θ0M) + g′Mf(k2)cos(θM - θM) ,
1)e-mail: volkov@theor.jinr.ru; tex_k@mail.ru
где индексом M обозначен π-, ρ- или a1-мезон.
Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4
2019
219
220
М. К. Волков, А. А. Пивоваров
(
)
Функция f
k2
= 1 + dk2 - формфактор, вводи-
Матрицы λ имеют вид:
мый для описания первых радиально-возбужденных
(
)
√
0
1
состояний, d = -1.784 · 10-6 МэВ
параметр на-
λρ+ = λπ+ =
2
,
клона. Этот параметр фиксируется исходя из требо-
0
0
(
)
вания, чтобы введение возбужденных состояний не
√
0
0
меняло значения кваркового конденсата, и тем са-
λρ- = λπ- =
2
,
1
0
мым - масс составляющих кварков [3, 4]. Аргумен-
(
)
том формфактора является поперечный относитель-
1
0
λρ0 =
(9)
ный импульс внутренней кварк-антикварковой пары:
0
1
(kp)p
k⊥ = k -
,
(3)
Константы взаимодействия:
p2
(
)-1/2
(2
)
-1/2
4
gρ = ga1 =
I2
, gπ =
I2
,
где p - импульс мезона. В системе покоя мезона
3
Zπ
k⊥ = (0, k).
(
)-1/2
(
)-1/2
2
=
(10)
Параметр θM - угол смешивания, фиксируемый
a1
3
If22
, g′π =
4If22
после диагонализации свободного лагранжиана, со-
3. Амплитуда распада τ → ρ0(770)π-ντ в
держащего как основные, так и первые радиально-
расширенной модели НИЛ. Диаграммы для про-
возбужденные состояния мезонов [4]:
цесса τ → ρ0(770)π-ντ изображены на рис. 1, 2. Пет-
θρ ≈ θa1 = 81.8◦, θπ = 59.48◦,
(4)
ли на указанных диаграммах образованы кварковы-
ми линиями.
θ0M - вспомогательная величина, вводимая для удоб-
ства записи:
√
1+RM
sin θ0M =
,
2
f
I2
Rρ = Ra1 =
√
,
I2If2
2
f
I2
Rπ =
√
(5)
ZπI2If2
2
Рис. 1. Контактная диаграмма распада τ
→
Здесь в качестве I2 обозначены расходящиеся инте-
τ
→ ρ0(770)π-ν
гралы вида
∫
Nc
fn(k2)
θ(Λ23 - k2)d4k,
(6)
Ifn2 = -i
(2π)4
(m2 - k2)2
Λ3 = 1.03 ГэВ - параметр обрезания при интегриро-
вании по трехмерному импульсу.
Zπ - множитель, соответствующий дополнитель-
ной перенормировки, возникающей при учете π-a1
переходов:
(
)-1
m2
Zπ =
1-6
,
(7)
M2
a1
Рис. 2. Распад τ → ρ0(770)π-ντ с промежуточными ме-
где Ma1
масса аксиально-векторного мезона в ос-
зонами
новном состоянии.
Таким образом, θ0M выражается через известные
Амплитуда этого процесса принимает вид:
величины и не является модельным параметром:
{
M = -ifπGFVudgρZπlµ
Mc + MAV +
}µν
θ0ρ = θ0a
= 61.5◦, θ0π = 59.12◦.
(8)
+MAV′ +MPS +MPS′
eν(pρ),
(11)
1
Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4
2019
К вопросу о зависимости ширин распадов τ → [ρ0(770), ρ0(1450)]π-ντ ...
221
1
где GF
- константа Ферми; Vud
- элемент мат-
CM =
×
рицы Кабиббо-Кобаяши-Маскава; lµ - лептонный
sin(2θ0M )
[
]
ток; eν(pρ) - поляризационный вектор мезона ρ(770);
×
sin(θM + θ0M ) + RM sin(θM - θ0M )
,
Mc, MAV и MPS - вклады в амплитуду от контакт-
-1
C′M =
×
ной диаграммы и от диаграмм с промежуточными
sin(2θ0M )
aксиально-векторными и псевдоскалярными мезона-
[
]
×
cos(θM + θ0M ) + RM cos(θM - θ0M)
(13)
ми:
[
Величины RM определены в (5).
2
Mµνc = Cρgµν +
gρ (Iρ3 - m2Iρ4)qµqν + m2Iρ4pµρpνπ +
Пропагаторы Брейта-Вигнера:
3
]
(
)
+m2Iρ4
p2π + p2ρ - (pπ, pρ)
gµν
-
1
BWM =
√
(14)
ρa1
M2M - q2 - i
q2ΓM
2Ca1I2
{
}
-
(q2 - M2ρ)gµν - qµqν
,
3
M2
a1
Интегралы, возникшие при описании кварковых
петель:
[
]
′
′
M
N
2
qµqλ
1
2
c
MµνAV =
Ca1 BWa1
(q2 - 6m2)gµλ -
×
InmM2...M
= -i
×
3
Zπ
(2π)4
∫
{
AM1AM2 . . . BM1BM2 . . .
×
Ia1ρ2gλδ + (Ia1ρ3 - m2Ia1ρ4)qλqδ + m2Ia1ρ4pρλpπδ +
×
θ(Λ23 - k2)d4k,
(15)
(
)
(m2u - k2)n(m2s - k2)m
+m2Ia1ρ4
p2π + p2ρ - (pπ, pρ)
gλδ -
}
a1ρa1
[
]
Ca1 I2
где величины AM и BM определены в (2).
-
(q2 - M2ρ)gλδ - qλqδ
gδν +
gρM2
В приведенной амплитуде учтены π-a1-переходы
a1
в аксиально-векторном и псевдоскалярном каналах.
1
M2 - q2a
1
+ 4m2
ZπCa1
×
4. Численные оценки. Полная парциальная
M2a
M2π - q2
1
[
]
ширина распада τ → ρ0(770)π-ντ, вычисленная в
Ca1 Ia1ρa12
ρ
расширенной модели НИЛ, для случая Ma
1(1260)
=
× BWa1
Ia1ρ2 +
qµqν,
gρM2
= 1299 МэВ, Γa
380 МэВ [1]
a1
1(1260) =
Br(τ → ρ0(770)π-ντ ) = 5.65 %.
(16)
[
]
2
qµqλ
Mµν
=
×
Аксиально-векторный канал, содержащий основ-
AV′
C′a1BWa′1 (q2 -6m2)gµλ -
3
Zπ
{
ное состояние мезона a1(1260), совместно с контакт-
′
′
′
′
1
ρ
1
ρ
1
ρ
ным вкладом дает
× Ia1ρ2gλδ + (Ia
-m2Ia
)qλqδ + m2Ia
pρλpπδ +
3
4
4
′
(
)
Br(τ → ρ0(770)π-ντ )AV = 4.54 %.
(17)
+m2Ia1ρ4
p2π + p2ρ - (pπ, pρ)
gλδ -
′
a
1
ρa1
Для аксиально-векторного канала совместно с
Ca1 I2
[
]
−
(q2 - M2)gλδ - qλqδ
gδν,
контактным и псевдоскалярным каналами без воз-
ρ
gρM2
a1
бужденных состояний
Br(τ → ρ0(770)π-ντ )AV+PS = 5.75 %.
(18)
MµνPS = -2ZπCρ ×
[
][
]
Для процесса τ → ρ0(1450)π-ντ амплитуды бу-
2
m2C
a1
× 1 - 4Iρa1 m2
1-6
BWπqµpνπ,
дут иметь аналогичную структуру с заменой соот-
2
M2a
M2
1
a1
ветствующих коэффициентов из лагранжиана. Пар-
циальная ширина для такого процесса
′
×
Br(τ → ρ0(1450)π-ντ ) = 1.64 · 10-4.
(19)
MµνPS′ = -8gπ C′π
2
gρ
′
ρa1π
2
В случае, если Ma
1209 МэВ, Γa
Ca1
m
1(1260) =
1(1260) =
×1 - 6I2
BW
(12)
576 МэВ [2], полная парциальная ширина распада
′
π′ qµpπ,
M2
Iρπ
gρ
a1
2
τ → ρ0(770)π-ντ
где множители CM имеют вид:
Br(τ → ρ0(770)π-ντ ) = 4.94 %.
(20)
Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4
2019
222
М. К. Волков, А. А. Пивоваров
Аксиально-векторный и контактный вклады для
цесс τ → π-π-π+ντ , помимо основного канала, свя-
этого случая дают
занного с промежуточным ρ-мезоном содержит так-
же и другие каналы (например, канал с промежу-
Br(τ → ρ0(770)π-ντ )AV = 3.84 %.
(21)
точными f0-мезоном и канал с промежуточной бокс-
диаграммой), есть основания полагать, что рассмат-
Для аксиально-векторного, контактного и псевдо-
риваемый в настощей работе процесс должен иметь
скалярого вкладов для этого случая без возбужден-
ширину распада меньшую, чем τ → π-π-π+ντ .
ных состояний
Качественные оценки для ширины распада τ →
→ ρ0(770)π-ντ были получены также и другими ав-
Br(τ → ρ0(770)π-ντ )AV+PS = 5.09 %.
(22)
торами с использованием других феноменологиче-
Парциальная ширина процесса τ → ρ0(1450)π-ντ
ских моделей [18, 19]. В указанных работах его пар-
для этого случая
циальная ширина близка к ширине распада τ
→
π-π-π+ντ . Однако в этих моделях оценки не всегда
Br(τ → ρ0(1450)π-ντ ) = 1.43 · 10-4.
(23)
находятся в удовлетворительном согласии с экспери-
ментальными данными (например, оценка ширины
Как видно из приведенных выше результатов,
распада τ → ρ0(770)K-ντ ).
для процесса τ → ρ0(770)π-ντ аксиально-векторный
Авторы выражают благодарность А.Б. Арбузову
канал совместно с контактной диаграммой дают ос-
и А.А. Осипову за полезные обсуждения.
новной вклад. При этом учет радиально- возбуж-
Работа была поддержана Грантом молодых уче-
денных промежуточных состояний лишь незначи-
ных и специалистов Объединенного института ядер-
тельно меняет результат. Как следствие, и процесс
ных исследований # 19-302-06.
τ
→ ρ0(1450)π-ντ также оказывается значитель-
но подавленным по сравнению с процессом τ
→
1.
M. Aghasyan et al. (COMPASS Collaboration), Phys.
→ ρ0(770)π-ντ.
Rev. D 98(9), 092003 (2018).
5. Заключение. Похожее описание распада
2.
M. Mikhasenko et al. (JPAC Collaboration),
τ
→ ρ0(770)π-ντ было сделано с участием одно-
arXiv:1810.00016 [hep-ph].
го из авторов этой работы в 1989 г. [10]. Однако
3.
M. K. Volkov and C. Weiss, Phys. Rev. D 56, 221 (1997).
там расчеты проводились в стандартной модели
4.
M. K. Volkov, Phys. Atom. Nucl. 60, 1920 (1997).
НИЛ [11-15], где рассматривалось только основное
5.
M. K. Volkov, D. Ebert, and M. Nagy, Int. J. Mod. Phys.
состояние промежуточного мезона a1 с парамет-
A 13, 5443 (1998).
рами Ma
= 1200 МэВ, Γa
= 420 МэВ.
1(1260)
1(1260)
6.
M. K. Volkov and V. L. Yudichev, Phys. Part. Nucl. 31,
Радиально-возбужденные промежуточные мезоны
282 (2000).
были учтены только в псевдоскалярном канале
7.
M. K. Volkov and A. E. Radzhabov, Phys. Usp. 49, 551
с использованием феноменологической модели,
(2006).
приведенной в работе
[16]. В результате было
8.
M. K. Volkov and A. B. Arbuzov, Phys. Usp. 60(7), 643
получено следующее значение для парциальной
(2017).
9.
A. V. Vishneva and M. K. Volkov, Int. J. Mod. Phys. A
ширины распада Br(τ
→ ρ0(770)π-ντ) = 5.21 %.
29(24), 1450125 (2014).
При этом оценка вклада от π(1300) была завышена
10.
M. K. Volkov, Y. P. Ivanov, and A. A. Osipov, Preprint
по сравнению с той оценкой, которая получается
P2-89-419, JINR, Dubna (1989).
в расширенной модели НИЛ. Кроме того, ис-
11.
M. K. Volkov and D. Ebert, Yad. Fiz. 36, 1265 (1982).
пользование расширенной модели НИЛ позволило
12.
D. Ebert and M. K. Volkov, Z. Phys. C 16, 205 (1983).
нам учесть вклады от радиально-возбужденного
13.
M. K. Volkov, Annals Phys. 157, 282 (1984).
состояния a1(1640), а также рассмотреть распад
14.
M. K. Volkov, Sov. J. Part. Nucl. 17, 186 (1986).
τ → ρ0(1450)π-ντ.
15.
D. Ebert and H. Reinhardt, Nucl. Phys. B 271, 188
Поскольку в настоящее время не существует удо-
(1986).
влетворителных численных оценок для ширины рас-
16.
A. B. Govorkov, Z. Phys. C 32, 405 (1986).
пада τ → ρ0(770)π-ντ , мы могли бы сравнить на-
17.
M. Tanabashi et al. (Particle Data Group), Phys. Rev.
ши результаты с близким процессом распада τ →
D 98, 030001 (2018).
→ π-π-π+ντ. Для парциальной ширины этого про-
18.
Z. H. Guo, Phys. Rev. D 78, 033004 (2008).
цесса в PDG (Particle Data Group) указано значение
19.
L. R. Dai, R. Pavao, S. Sakai, and E. Oset,
Br(τ → π-π+π-ντ ) = 9.31±0.05 % [17]. Так как про-
arXiv:1805.04573 [hep-ph].
Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4
2019