Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 4, с. 249 - 253

Релаксация когерентных возбужденных состояний сверхпроводника

в сверхпроводящий резервуар¹⁾

И.А.Девятов^+×2), А.В.Семенов^∗×

⁺Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования МГУ им. М. В. Ломоносова,

Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д. В. Скобельцына, 199991 ГСП-1, Москва, Россия

^∗Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

“Московский педагогический государственный университет”, 119992 Москва, Россия

^×Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

“Московский физико-технический институт (государственный университет)”, 141700 Долгопрудный, Россия

Поступила в редакцию 21 ноября 2018 г.

После переработки 6 декабря 2018 г.

Принята к публикации 6 декабря 2018 г.

Мы теоретически исследуем влияние релаксации в сверхпроводящий резервуар на когерентные воз-

бужденные состояния сверхпроводника, появляющиеся при его облучении микроволновым сигналом

[Phys. Rev. Lett. 117, 047002 (2016)], и могущие быть разрушенными из-за туннельной релаксации в ре-

зервуар из нормального металла [http://arxiv.org/abs/1801.03311]. В качестве модели мы рассматриваем

тонкую полоску диффузного сверхпроводника в туннельном контакте с диффузным сверхпроводящим

резервуаром. Полоска облучается микроволновым сигналом с частотой, много большей нормализован-

ной интенсивности сигнала, но много меньшей ее модуля параметра порядка. Мы рассчитали как спек-

тральные функции сверхпроводящей полоски, так и функцию распределения ее квазичастиц. Мы проде-

монстрировали существенное ослабление влияния релаксации на когерентные возбужденные состояния

сверхпроводящей полоски в случае стремления значения модуля параметра порядка сверхпроводящего

резервуара к значению модуля параметра порядка сверхпроводящей полоски.

DOI: 10.1134/S0370274X1904009X

В настоящее время наблюдается растущий инте-

от его распаривания постоянным током. Было пока-

рес к исследованию взаимодействия обычных диф-

зано, что в случае распаривания высокочастотным

фузных s-волновых сверхпроводников с микровол-

сигналом плотность состояний теряет пик на значе-

новым излучением при очень низких температурах.

нии сверхпроводящей щели, и приобретает особен-

Этот интерес объясняется их широким использова-

ности в “фотонных точках” Δ ± nℏω₀, где Δ - мо-

нием в таких перспективных низкотемпературных

дуль параметра порядка сверхпроводника, ω₀ - час-

устройствах, как сверхпроводящие резонаторы [1, 2],

тота сигнала. Эти особенности являются проявле-

квантовые компьютеры [3], параметрические усили-

нием появления в облучаемом микроволнами сверх-

тели [4], а также детекторы микроволнового излу-

проводнике “когерентных возбужденных состояний”

чения на кинетической индуктивности сверхпровод-

[11], являющихся видом состояний Флокэ [13]. Так-

ника [5, 6]. Это также связано с деятельностью по

же было показано [11], что при облучении такого

поиску мод Хиггса в сверхпроводниках [7-10].

сверхпроводника микроволновым сигналом появля-

Эти исследования вызвали появление теоретиче-

ется экспоненциальный “хвост” в плотности состоя-

ских работ [10-12], описывающих взаимодействие та-

ний в подщелевой области. Эти предсказанные явле-

ких сверхпроводников с микроволновым сигналом

ния, имеющие место при высокочастотном распари-

при сверхнизких температурах.

вании сверхпроводника, сильно отличаются от хоро-

В работе [11] было недавно продемонстрировано,

шо изученного случая распаривания сверхпроводни-

что эффект распаривания такого сверхпроводника

ка постоянным током [14-16], когда БКШ особенно-

от микроволнового сигнала качественно отличается

сти в плотности состояний размываются без появле-

ния дополнительных особенностей, и есть явно выра-

женная щель в плотности состояний. Результаты ра-

¹⁾См. дополнительные материалы к данной статье на сайте

нашего журнала www.jetpletters.ac.ru

боты [11] позволили объяснить аномальный сдвиг ре-

²⁾e-mail: igor-devyatov@yandex.ru

зонансной частоты сверхпроводящего алюминиево-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019

249

250

И.А.Девятов, А.В.Семенов

го резонатора при облучении его микроволнами при

В работе [11] было показано, что в первом по-

сверхнизкой температуре, измеренный в работе [1].

рядке по малому параметру α/ℏω₀ есть замкнутая

В работе [12] было теоретически изучено влияние

система уравнений, описывающая рассматриваемую

туннельной релаксации в резервуар из нормально-

структуру, для нулевых гармоник матричных функ-

го металла на когерентные возбужденные состояния

ций Грина

Ğ₀(E), в пространстве Келдыша-Намбу:

сверхпроводника, было продемонстрировано размы-

[

]

Ξ,

Ğ₀

= 0,

(2)

тие особенностей в “фотонных точках” из-за релакса-

−

(

)

ционных процессов и предложена проработанная схе-

Ğ_0-

где Ξ = -iEτ₃ - iΔ0 + ΓĞr,0 + ατ₃

Ğ₀₊ +

τ₃.

ма по экспериментальной проверке эффектов, пред-

Здесь функции Грина зависят только от энер-

сказанных в работе [11].

Ğ_0±

гии E и

≡

Ğ₀(E ± ℏω₀), [...]- обозначает

В данной статье мы обобщили результаты работ

коммутатор. Нижний индекс “0” в функциях Гри-

[11, 12] на случай туннельной релаксации когерент-

на

Ğ₀(E) означает, что мы рассматриваем ее

ных возбужденных состояний сверхпроводника в ре-

нулевую гармонику. Используя известные пара-

зервуар, который будем теперь предполагать сверх-

метризации для функций Грина в (ространств)

проводящим. Эта модель позволяет на качественном

ĜR

ĜK

уровне описать модификацию микроволновым полем

Ğ₀

Келдыша и Намбу [18-20]:

ĜA

спектральных функций и функции распределения

(

)

(

)₊

неравновесных квазичастиц на поверхности сверх-

G^R0

F^R0

ĜR

ĜA

ĜR

-τ₃

τ₃,

проводящего резонатора, а также описать аналогич-

−F^R0

-G^R

ные явления в мезоскопических сверхпроводниковых

(

)

(

)

Δ₀

-Δ₀

системах, содержащих джозефсоновские туннельные

Δ₀

контакты с берегами существенно разной толщины

Δ₀

(

)

(

)

и/или из различных сверхпроводниковых материа-

τ₃

τ₃ =

лов.

τ₃

-1

Мы теоретически исследуем влияние туннельной

и принимая во внимание, что в рассматриваемом

релаксации в диффузный сверхпроводящий резерву-

случае релаксации в сверхпроводящий резервуар его

ар на длинную, тонкую и узкую полоску диффуз-

функция Грина

ĜR

имеет недиагональные члены в

r,0

(

)

ного s-волнового сверхпроводника, облучаемую мик-

ĜR

ĜK

r,0

ĜR

пространстве Намбу:

Ğ_r,0 =

роволновым сигналом. Мы предполагаем, что тол-

r,0

ĜA

r,0

щина и ширина этой сверхпроводящей полоски мно-

(

)

G^Rr,0

F^Rr,0

го меньше характерной глубины проникновения, что

, можно получить из (2) скаляр-

обеспечивает равномерное распределение тока по ее

−F^Rr,0

-G^R

r,0

поперечному сечению. Длина полоски предполага-

ные уравнения для спектральных функций и функ-

ется достаточно большой, такой, что можно прене-

ции распределения неравновесных квазичастиц.

бречь влиянием границ. Мы описываем релаксацию

Учитывая только недиагональные члены в про-

в сверхпроводящий резервуар в рамках микроскопи-

странстве Намбу в запаздывающем члене в про-

ческой туннельной модели работы [17], путем вве-

странстве Келдыша в (2), имеем следующее скаляр-

дения собственноэнергетической части

Σ_r = -iΓĞr,

ное уравнение для спектральных функций:

где

Ğ_r - функция Грина резервуара, Γ - скорость

-iEF^R0 -iΔ₀G^R0 +Γ(F^R0G^Rr,0 -G^R0F^Rr,0)+αΠ = 0, (3)

туннелирования в резервуар.

{(

)

(

)

}

Мы предполагаем выполненными условия кван-

где Π =

G^R0+ + G^R0-

F^R0 +

F^R0+ + F^R0-

G^R0

. Ана-

тового режима распаривания [11]:

логичная процедура для компонент Келдыша и диа-

гональных членов в пространстве Намбу в уравнении

α ≪ ℏω₀ ≪ Δ⁰⁰,

(1)

(2) приводит к кинетическому уравнению:

где параметр α пропорционален квадрату амплиту-

(4)

Ires + Iphot = 0,

ды A₀ вектор-потенциала монохроматического мик-

с интегралами столкновений:

роволнового сигнала: A(t) = A₀ cos(ω₀t): α =e2DA04^,

где e - заряд электрона, D - коэффициент диффу-

Ires = ΓΥδfL,

(5)

(

)

зии, Δ⁰⁰ - значение модуля параметра порядка сверх-

где Υ = Re G^Rr,0 -^ReF

Re F^R

r,0

, δf_L = (f_L - f_L,r),

проводящей полоски в отсутствии облучения. Также

Re GR0

в дальнейшем мы будем считать температуру T до-

статочно низкой: k_BT ≪ ℏω₀.

Iphot = α (R+ (fL - fL+) + R- (fL - fL-)) ,

(6)

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019

Релаксация когерентных возбужденных состояний сверхпроводника. . .

251

где R_± = Re G^R0± -ReF0

Re F^R0±. Здесь f_L и f_L,r

рассчитаны в отсутствии микроволнового сигна-

Re G^R

ла α

= 0. Константа κ в уравнении (9) имеет

есть стационарные продольные компоненты [18-20]

следующий вид (см. дополнительный материал):

функции распределения квазичастиц в сверхпрово-

(

)

∫_∞

R,0

∂F₀

дящей полоске и сверхпроводящем резервуаре, соот-

dE Re

. J₀

κ =J0J1^,гдеJ1

∂Δ⁰⁰

Δ⁰

(

)

ветственно; f_L± = f_L(E ± ℏω₀). В случае возбуж-

∫

∞

Π0(E+iΓG^Rr,0)

dE Im

}

дения микроволнами появляется только продольная

^{(E+iΓG^Rr,0)²-(Δ⁰⁰-iΓF^Rr,0)2

компонента f_L полной функции распределения f(E):

Рисунок 1 представляет результаты численного

f_L(E) = sign(E)(1 - 2f(E)) [18-20].

расчета по формуле (9) поправок к плотности состоя-

Уравнения (3)-(6) должны рассматриваться вме-

ний δN(x), x =^E

, сверхпроводящей полоски, облу-

Δ⁰

сте с уравнением самосогласования [18-20]:

чаемой микроволновым сигналом с частотой ℏω₀ =

∫

= 0.2Δ⁰⁰ и интенсивностью монохроматического сиг-

нала α = 0.001Δ⁰⁰. На обоих панелях (a) и (b) рис. 1

Δ₀ = -λ_ep dεf_L(ε)ℜF^R0,

(7)

красная сплошная линия соответствует отсутствию

релаксации, черная линия из точек соответствует

где ω_D - частота Дебая, а λ_ep - электрон-фононная

случаю релаксации в резервуар из нормального ме-

константа связи; и с условием нормировки для нор-

талла со скоростью релаксации Γ = 0.15Δ⁰⁰. Рису-

мальной G^R0 и аномальной F^R0 компонент запазды-

нок 1a представляет результаты для случая релак-

вающей функции Грина [18-20]:

сации в сверхпроводящий резервуар, рассчитанные

для различных значений модуля параметра порядка

(G^R0)² - (F^R0)² = 1.

(8)

сверхпроводящего резервуара Δ_r, при фиксирован-

ном значении скорости релаксации Γ = 0.15Δ⁰⁰. Зеле-

Решив систему уравнений (3)-(8) методом, опи-

ная штрих-точечная линия на рис. 1a соответствует

санном в дополнительном материале, мы получили

Δ_r = 0.99Δ⁰⁰, синяя штрих-точка-точка линия соот-

следующие выражения для линейных по нормиро-

ветствует Δ_r = 0.5Δ⁰⁰, штрихованная магента линия

ванной интенсивности сигнала α вариации плотности

[

]

соответствует Δ_r = 0.01Δ⁰⁰.

состояний сверхпроводящей полоски δN = Re

δG^R0

Для сравнения, рис. 1b представляет результаты



)



(

)(

R,0

для случая релаксации в резервуар из нормально-

E + iΓG^Rr,0

κG

+ iΠ₀

δN

= Re

} ,

(9)

го металла, рассчитанные для различных значений

{(

)₂

E + iΓG^Rr,0

- (Δ⁰⁰ - iΓF^Rr,0)2

скорости релаксации Γ. Магента штрих-точка-точка

линия соответствует Γ

= 0.035Δ⁰⁰, синяя штрих-

и неравновесной функции распределения квазича-

точечная линия соответствует Γ = 0.015Δ⁰⁰, зеленая

стиц δf_L:

штрихованная линия соответствует Γ = 0.0035Δ⁰⁰.

(

)

(

))

Сопоставление панелей (a) и (b) рис. 1 показыва-

δf_L

R⁰⁺

f^0L+ - f^0L

+R^0-

f^0L- - f^0L

(10)

ет, что стремление значения модуля параметра по-

ΓΥ⁰

рядка сверхпроводящего резервуара Δ_r к значению

модуля параметра порядка сверхпроводящей полос-

Здесь, G^R,00 и F^R,00 являются решениями запаздыва-

ющего уравнения Узаделя (3) в отсутствии микро-

ки Δ⁰⁰ (от штрихованной магента линии, затем синяя

штрих-точка-точка линия к зеленой штрих-точечной

волнового облучения α = 0:

линии на рис. 1a) практически полностью подобна

(

)

E + iΓG^R

уменьшению скорости релаксации Γ на рис. 1b для

r,0

G^R,00

}_1/2

(11)

{(

)₂

случая релаксации в резервуар из нормального ме-

E + iΓG^Rr,0

- (Δ⁰⁰ - iΓF^Rr,0)2

талла. Такая зависимость поправки к плотности со-

стояний δN от соотношения между модулем пара-

-(Δ⁰⁰ - iΓF^Rr,0)

F^R,00 =

(12)

метра порядка сверхпроводящего резервуара Δ_r и

}_1/2

{(

)₂

модулем параметра порядка сверхпроводящей полос-

E + iΓG^Rr,0

- (Δ⁰⁰ - iΓF^Rr,0)2

ки Δ⁰⁰ следует из вида уравнений для спектральных

где G^Rr,0 и FRr,0 - нормальная и аномальная ком-

функций (2), (3), в которых член, ответственный за

понента запаздывающей БКШ функции Грина

релаксацию, пропорционален коммутатору функции

сверхпроводящего резервуара с модулем пара-

Грина сверхпроводящего резервуара

Ğ_r,0

и функ-

метра порядка Δ_r

[18,

19,

20]. Верхний индекс

ции Грина сверхпроводящей полоски

Ğ₀. При стрем-

“0” при функциях и величинах означает, что они

лении величины модуля параметра порядка сверх-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019

252

И.А.Девятов, А.В.Семенов

учетом релаксации возбужденных состояний в

сверхпроводящий резервуар, представлены на

рис. 2. В численных расчетах мы использовали

Рис. 2. (Цветной онлайн) Функция распределения

неравновесных квазичастиц δfL сверхпроводящей по-

лоски, облучаемой микроволновым сигналом с часто-

той ℏω0 = 0.2Δ⁰ и интенсивностью α = 0.001Δ⁰ для

случая релаксации в сверхпроводящий резервуар со

скоростью Γ

= 0.15Δ⁰⁰. Красная штрихованная ли-

ния соответствует величине модуля параметра поряд-

ка сверхпроводящего резервуара Δr = 0.01Δ⁰ , зеленая

линия из точек: Δr = 0.1Δ⁰, синяя штрих-точечная

линия: Δr = 0.18Δ⁰, магента штрих-точка-точка ли-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Изменение плотности состо-

ния: Δr = 0.25Δ⁰, циан линия из коротких штрихов:

яний сверхпроводящей полоски δN(x) под действием

Δr = 0.5Δ⁰, черная сплошная линия соответствует ре-

микроволнового сигнала с частотой ℏω0 = 0.2Δ00 и

лаксации в резервуар из нормального металла

интенсивностью α = 0.001Δ⁰⁰. Красная сплошная ли-

ния на обеих панелях соответствует отсутствию ре-

следующие значения параметров задачи: скорость

лаксации, черная линия из точек соответствует слу-

туннелирования в сверхпроводящий резервуар

чаю релаксации в резервуар из нормального метал-

Γ = 0.15Δ⁰⁰, частота сигнала ℏω₀ = 0.2Δ⁰⁰ и интен-

ла со скоростью релаксации Γ = 0.15Δ00. (a) - Ре-

сивность сигнала α = 0.001Δ⁰⁰. Красная пунктирная

лаксации в сверхпроводящий резервуар, Γ = 0.15Δ⁰⁰.

линия на рис. 2 соответствует значению модуля

Зеленая штрих-точечная линия соответствует Δr =

параметра порядка сверхпроводящего резервуара

0.99Δ⁰⁰, синяя штрих-точка-точка линия соответствует

Δ_r = 0.01Δ⁰⁰, зеленая линия из точек соответствует

Δr = 0.5Δ⁰, штрихованная магента линия соответству-

Δ_r = 0.1Δ⁰⁰, синяя штрих-точечная линия соответ-

ет Δr = 0.01Δ⁰. (b) - Резервуар из нормального ме-

талла, магента штрих-точка-точка линия соответству-

ствует Δ_r

= 0.18Δ⁰⁰, магента штрих-точка-точка

ет Γ = 0.035Δ⁰⁰, синяя штрих-точка линия соответству-

линия соответствует Δ_r

= 0.25Δ⁰⁰, циан линия

ет Γ = 0.015Δ⁰⁰, зеленая штрихованная линия соответ-

из коротких штрихов соответствует Δ_r

= 0.5Δ⁰⁰,

ствует Γ = 0.0035Δ⁰⁰

черная сплошная линия соответствует релаксации

в резервуар из нормального металла. Из рисунка 2

следует, что функции распределения неравновесных

проводящего резервуара Δ_r к величине модуля па-

квазичастиц сверхпроводящей полоски, облучаемой

раметра порядка сверхпроводящей полоски Δ⁰⁰ их

микроволновым сигналом и туннельным образом,

функции Грина стремятся друг к другу, что ведет

связанная со сверхпроводящим резервуаром, может

к уменьшению величины их коммутатора и, поэтому

отличаться существенно от функции распределения

к уменьшению эффективной скорости релаксации.

неравновеснх квазичастиц аналогичной структуры с

Поправки к функции распределения δf_L(x)

резервуаром из нормального металла. Это отличие

неравновесных квазичастиц сверхпроводящей по-

наиболее явно выражено при значениях модуля

лоски, облучаемой микроволновым сигналом с

параметра порядка сверхпроводящего резервуара

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019

Релаксация когерентных возбужденных состояний сверхпроводника. . .

253

Δ_r

≈ 0.5ℏω₀ (зеленая линия из точек, и синяя

D. Frolov, M. Awida, S. Posen, and A. Grassellino,

штрих-точечная линия на рис.2).

arXiv:1810.03703 (2018).

В заключение, мы теоретически исследовали вли-

A. Blais, R.-S. Huang, A. Wallraff, S. M. Girvin, and

яние релаксации в диффузный сверхпроводящий ре-

R. J. Schoelkopf, Phys. Rev. A 69, 062320 (2004).

B. H. Eom, P. K. Day, H. G. LeDuc, and J. Zmuidzinas,

зервуар на когерентные возбужденные состояния

Nature Phys. 8, 623 (2012).

сверхпроводника [11]. Мы рассмотрели случай тон-

J. Zmuidzinas, Ann. Rev. Cond. Matter Phys. 3, 169

кой, узкой и длинной грязной сверхпроводящей по-

(2012).

лоски, облучаемой монохроматическим микроволно-

P. J. de Visser, J. J. A. Baselmans, J. Bueno,

вым сигналом, находящейся в туннельном контакте

N. Llombart, and T. M. Klapwijk, Nat. Commun.

с массивным диффузным сверхпроводящим резер-

5, 3130 (2014).

вуаром. Релаксацию мы описывали в рамках тун-

R. Matsunaga, Y.I. Hamada, K. Makise, Y. Uzawa,

нельной модели работы [17]. Мы рассчитали при вы-

H. Terai, Z. Wang, and R. Shimano, Phys. Rev. Lett.

полнении условий квантового режима распаривания

111, 057002 (2013).

(1) как спектральные функции, так и функцию рас-

R. Matsunaga, N. Tsuji, H. Fujita, A. Sugioka,

пределения неравновесных квазичастиц такой сверх-

K. Makise, Y. Uzawa, H. Terai, Z. Wang, H. Aoki, and

проводящей полоски. Мы продемонстрировали суще-

R. Shimano, Science 345, 1145 (2014).

ственное ослабление влияния эффекта релаксации

M. Beck, I. Rousseau, M. Klammer, P. Leiderer,

на когерентные возбужденные состояния сверхпро-

M. Mittendorff, S. Winnerl, M. Helm, G. N. Gol’tsman,

and J. Demsar, Phys. Rev. Lett. 110, 267003 (2013).

водника в случае сверхпроводящего резервуара с ве-

10.

A. Moor, A.F. Volkov, and K. B. Efetov, Phys. Rev.

личиной модуля параметра порядка, близкой к ве-

Lett. 118, 047001 (2017).

личине модуля параметра порядка сверхпроводящей

11.

A. V. Semenov, I.A. Devyatov, P. J. de Visser, and

полоски. Мы также продемонстрировали различие

T. M. Klapwijk, Phys. Rev. Lett. 117, 047002 (2016).

неравновесных функций распределения квазичастиц

12.

A. V. Semenov, I. A. Devyatov, M. P. Westig, and

для случаев релаксации в резервуар из нормального

T. M. Klapwijk, http://arxiv.org/abs/1801.03311.

металла и в сверхпроводящий резервуар.

13.

M. Grifoni and P. Hänggi, Phys. Rep. 304, 229 (1998).

Мы благодарны Т.М. Клапвику за стимулирую-

14.

M. Y. Kupriyanov and V. F. Lukichev, Fiz. Nizk. Temp.

щие дискуссии.

6, 445 (1980) [Sov. J. Low Temperature Physics 6, 210

Финансовая поддержка данных исследований

(1980)].

осуществлялась с помощью гранта Российского

15.

J. Romijn, T. M. Klapwijk, M. J. Renne, and J. E. Mooij,

Фонда Фундаментальных Исследований, проект #

Phys. Rev. B 26, 3648 (1982).

17-02-00757; Российского Научного Фонда, проект

16.

A. Anthore, H. Pothier, and D. Esteve, Phys. Rev. Lett.

#17-72-30036; и Министерством Образования и

90, 127001 (2003).

Науки Российской Федерации, контракт, contract

17.

N. B. Kopnin and A. S. Melnikov, Phys. Rev. B 84,

#14.B25.

064524 (2011).

18.

A. I. Larkin and Y. N. Ovchinnikov, ZhETF 73, 299

(1977).

1. P. J. de Visser, D. J. Goldie, P. Diener, S. Withington,

19.

W. Belzig, F. K. Wilhelm, C. Bruder, G. Schön, and

J. J. A. Baselmans, and T. M. Klapwijk, Phys. Rev. Lett.

A. D. Zaikin, Superlattices Microstruct. 25, 1251 (1999).

112, 047004 (2014).

20.

J. Rammer and H. Smith, Rev. Mod. Phys. 58, 323

2. A.

Romanenko, R. Pilipenko, S. Zorzetti,

(1986).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 3 - 4

2019