Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 5, с. 306 - 311

Волновая турбулентность поверхности жидкости во внешнем

тангенциальном электрическом поле

Е. А. Кочурин¹⁾

Институт электрофизики Уральского отделения РАН, 620016 Екатеринбург, Россия

Поступила в редакцию 18 октября 2018 г.

После переработки 21 ноября 2018 г.

Принята к публикации 27 декабря 2018 г.

В настоящей работе проведено прямое численное моделирование процесса взаимодействия плоских

капиллярных волн на поверхности жидкого диэлектрика во внешнем тангенциальном электрическом

поле с учетом сил вязкости. Показано, что взаимодействие встречных нелинейных волн может привести

к возникновению прямого энергетического каскада. В режиме квазистационарной диссипации энергии

функции плотности вероятности для углов наклона границы стремятся к нормальному распределению

Гаусса, а форма границы приобретает сложную, хаотическую форму. Спектр поверхностных возмуще-

ний в этом режиме описывается степенной зависимостью k^-5/2. В терминах энергии полученный спектр

имеет форму k^-3/2, что совпадает с энергетическим спектром Ирошникова-Крайчнана и свидетель-

ствует о родственной природе наблюдаемой волновой турбулентности поверхности жидкости и слабой

магнитогидродинамической турбулентности взаимодействующих Альфвеновских волн.

DOI: 10.1134/S0370274X19050059

Известно, что динамика нелинейных капилляр-

[6] и Колмгорова-Захарова [7]. Таким образом, вли-

ных волн может быть достаточно сложной. Как по-

яние капиллярных и гравитационных сил на разви-

казано Захаровым и Филоненко [1], на границе жид-

тие турбулентности поверхностных волн достаточно

кости может развиваться слабая турбулентность ка-

хорошо изучено (см. обзорную работу [8]).

пиллярных волн. На основе слабонелинейной моде-

Ситуация кардинально меняется при включении

ли, когда амплитуды капиллярных волн считаются

в рассмотрение внешних силовых электромагнитных

малыми, авторами было показано, что спектр по-

полей, которые могут существенно повлиять на эво-

верхностных возмущений I_k в мелко-масштабной об-

люцию границы [9]. В настоящее время подробно ис-

ласти (сила тяжести пренебрежимо мала) приобре-

следована динамика когерентных структур на по-

тает степенной характер, а именно,

верхности жидкости в электрическом поле, см., на-

пример, [10-17]. Хаотическая динамика поверхност-

Ik = 〈|ηk|²〉 ∼ Ck^-(11/4+d),

(1)

ных волн во внешнем поле практически не изуче-

на (за исключением пары экспериментальных работ

где η_k - Фурье-образ функции η, определяющей фор-

[18, 19]). В этой связи, весьма важным представляет-

му границы жидкости, k - модуль волнового вектора,

ся исследование волновой турбулентности поверхно-

C - константа, d - число пространственных перемен-

сти жидкости, возникающей при воздействии силь-

ных функции η. Скобки 〈∗〉 обозначают усреднение

ного внешнего электрического поля. Именно такой

по углам.

задаче посвящена настоящая работа.

Первые численные эксперименты, убедительно

В работе будут представлены результаты чис-

подтверждающие справедливость спектра (1), бы-

ленного моделирования слабонелинейной динамики

ли проведены в работе

[2], а в работах

[3,

плоско-симметричных капиллярных волн на поверх-

этот результат был подтвержден физическими экс-

ности диэлектрической жидкости с высокой прони-

периментами. В работе [5] наблюдался турбулент-

цаемостью, находящейся под воздействием внешне-

ный спектр Захарова-Филоненко при моделировании

го тангенциального электрического поля. В пределе

полных сильнонелинейных уравнений гидродинами-

сильного электрического поля, когда влияние капил-

ки. Для волн с большой длиной волны, определя-

лярных и гравитационных сил пренебрежимо мало,

ющим фактором в эволюции которых является си-

для этой задачи известны точные аналитические ре-

ла тяжести, могут наблюдаться спектры Филлипса

шения, впервые полученные Н.М.Зубаревым в рабо-

¹⁾e-mail: kochurin@iep.uran.ru

те [20]. Решения Зубарева описывают бездисперси-

306

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

Волновая турбулентность поверхности жидкости во внешнем тангенциальном электрическом поле

307

онное распространение нелинейных поверхностных

эффектом силы тяжести можно пренебречь. В без-

волн произвольной формы в направлении или против

размерном виде дисперсионное соотношение (2) име-

направления поля [21, 22]. Взаимодействие встреч-

ет вид

ных волн приводит к формированию на границе осо-

ω² = (β² + k)k².

(3)

бых точек, в которых напряженность поля и ско-

Уравнения движения границы жидкости с точно-

рость жидкости испытывают разрыв, а кривизна

стью до квадратично-нелинейных слагаемых можно

поверхности неограниченно возрастает [23-25]. Ре-

записать как [20],

зультаты расчетов, полученных в настоящей рабо-

]

те, свидетельствуют о сглаживании ранее наблюдае-

ψ_t = η_xx +

β²(kη² - η^2x) +kψ² - ψ²

мых особенностей при включении сил поверхностно-

го натяжения и вязкости. Кроме того, в режиме рас-

[

]

+ β² -kη + k(ηkη) + ∂_x(ηη_x)

+ D_kψ,

(4)

пространения электрокапиллярных волн может на-

блюдаться прямой энергетический каскад и хаотиза-

η_t =

kψ -k(ηkψ) - ∂_x(ηψ_x) + D_kη,

(5)

ция эволюции системы. В режиме квазистационар-

ной диссипации энергии спектр поверхностных воз-

где ψ - функция, определяющая потенциал скоро-

мущений стремится к степенной зависимости k^-5/2.

сти жидкости на границе,

k - интегральный опера-

Итак, рассмотрим потенциальное течение несжи-

тор, в Фурье-пространстве он имеет вид:

kf_k = |k|f_k.

маемой идеальной диэлектрической жидкости беско-

Оператор

D_k отвечает за влияние вязкости, в k-

нечной глубины со свободной поверхностью, поме-

пространстве он определяется как

щенной во внешнее однородное горизонтальное элек-

D_k = -γ(|k| - |k_d|)², |k| ≥ |k_d|;

D_k = 0, |k| < |k_d|,

трическое поле. Поскольку в исследуемой задаче есть

анизотропия, связанная с выделенным направлением

где γ - константа, k_d - волновое число, определяющее

электрического поля, мы будем рассматривать толь-

пространственный масштаб, на котором происходит

ко плоско-симметричные волны, распространяющи-

диссипация энергии. Отметим, что такое определе-

еся параллельно внешнему полю. Положим, что на-

ние вязкости является стандартным при моделирова-

пряженность поля направлена вдоль оси x (ось y де-

нии волновой турбулентности поверхности жидкости

картовой системы координат направлена по нормали

в отсутствие электрического поля [26].

к ней) и по абсолютной величине равна E. В невоз-

Уравнения

(4)-(5) являются гамильтоновыми,

мущенном состоянии форма границы соответствует

они могут быть получены путем взятия вариацион-

y = 0.

ных производных:

Дисперсионное соотношение для линейных волн

на границе жидкости имеет вид [9]

∂ψ

δH

∂η

δH

∂t

δη

∂t

δψ

ε₀εE

ω² = gk +

k² +

k³,

(2)

Здесь H - гамильтониан системы, задающий полную

энергию:

где ω - частота, g - ускорение свободного падения,

∫ (

)

ε0 - электрическая постоянная, ε и ρ - проницае-

H =H₀ +H₁ =

ψkψ + β²ηkη + η²

dx -

мость и плотность жидкости соответственно (ε ≫ 1),

σ - коэффициент поверхностного натяжения. Для

∫

(

)

дальнейшего анализа удобно ввести безразмерные

−

[kψ² - ψ^2x] + β²[kη² - η^2x] dx,

переменные,

где H₀ - слагаемое, соответствующее линейному при-

y → y/k₀, x → x/k₀, t → t · t₀, E → β · E₀,

ближению, H₁ - квадратично-нелинейному. Для сла-

бонелинейной модели должно выполняться условие:

где k₀ = (gρ/σ)^1/2, t₀ = (σ/g³ρ)^1/4, E²⁰ = (σgρ)^1/2/ε₀ε

H₁/H₀ ≪ 1.

- характерные значения волнового числа, времени и

В переделе сильного поля (β ≫ 1), т.е. в отсут-

напряженности электрического поля, соответствен-

ствии капиллярных сил и сил вязкости уравнения

но. К примеру, для воды (ε ≈ 81) эти величины оце-

движения границы (4)-(5) допускают пару точных

ниваются как, λ = 2π/k₀ ≈ 1.7 см, t₀ ≈ 0.01 с, E₀ ≈

решений в виде

≈ 1.9 кВ/см. Величина β = E/E₀ соответствует без-

ψ = ±β

Ĥη,

размерной напряженности электрического поля.

Далее мы рассмотрим область электрокапилляр-

где

Ĥ - преобразование Гильберта,

Ĥf_k = isign(k)f_k.

ных волн β² +k ≫ 1/k, т.е. длины волн, для которых

Эти решения представляют собой решения Зубарева

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

2^∗

308

Е. А. Кочурин

[20]. Как отмечалось ранее, они описывают распро-

ли от слабонелинейной. Для расчетов, представлен-

странение волн без искажений в направлении или

ных ниже, эти параметры выбирались как:

против направления поля (в зависимости от знака

a₁ = 0.01125, a₂ = 0.0165, a₃ = 0.01,

перед β).

Для минимизации влияния когерентных струк-

b₁ = 0.0125, b₂ = 0.0145, b₃ = 0.01,

тур (коллапсов или солитонов) начальные условия

для уравнений (4)-(5) выберем в виде двух взаи-

k₁ = 4, k₂ = 6, k₃ = 8, p₁ = 5, p₂ = 7, p₃ = 9.

модействующих волновых пакетов, распространяю-

На рисунке 1a показана временная зависимость

щихся в противоположных направлениях:

относительного изменения энергии системы ΔH.

Можно видеть, что начиная с некоторого момента

∑

времени, диссипация энергии происходит практиче-

η₁(x) =

a_i cos(k_ix), η₂(x) =

b_i cos(p_ix),

(6)

ски с постоянной скоростью. Этот факт хорошо кор-

i=1

релирует с рис. 1b, на котором представлена зависи-

η(x, 0) = η₁ + η₂,

ψ(x, 0) = β(

Ĥη₁ -

Ĥη₂).

В настоящей работе мы представим результа-

ты численных экспериментов, проведенных для трех

значений напряженности поля: β²¹ = 35, β²² = 30,

β23 = 25. Расчет пространственных производных и

интегральных операторов производился при помощи

псевдоспектральных методов с полным числом гар-

моник N, а интегрирование по времени - явным ме-

тодом Рунге-Кутта четвертого порядка точности с

шагом dt. Для стабилизации численной схемы ам-

плитуды высших гармоник c волновым числом боль-

ше k_s приравнивались к нулю на каждом шаге по

времени, т.е. использовался фильтр нижних частот

(аналогично работе [2]).

Для всех трех экспериментов наблюдалось ка-

чественно подобное поведение. В расчетах не ис-

пользовалась механическая накачка энергии систе-

мы, как следствие, средний уровень крутизны грани-

цы µ = 〈|η_x|〉 определялся только начальными усло-

виями (6). Параметры расчета были следующими:

N = 2048, dt = 10^-5, γ = 10, k_d = 500, k_s = 624. Во

всех численных экспериментах наблюдалось форми-

рование инерционного интервала на масштабах вол-

новых чисел 30 < k < 150. Интересно, что при

уменьшении напряженности поля увеличивался по-

рог нелинейности, необходимый для формирования

прямого энергетического каскада. Так, средняя кру-

тизна границы для трех экспериментов составила

Рис. 1. Временные зависимости: (a) - относительного

значения µ₁ ≈ 0.116, µ₂ ≈ 0.121, µ₃ ≈ 0.127, соот-

изменения энергии системы; (b) - среднего модуля кри-

ветственно.

визны границы; (c) - уровня нелинейности

Представим подробнее результаты расчета для

β²¹ = 35 (при больших напряженностях поля в экс-

мость среднего по пространственному периоду мо-

периментах наблюдались сильные особенности, ко-

дуля кривизны границы 〈|K|〉 от времени. Достигая

торые могут соответствовать формированию верти-

максимума при t ≈ 3.2 · 10³, величина 〈|K|〉 начинает

кальных струй жидкости [27]). Амплитуды и волно-

почти монотонно убывать. На рисунке 1c представ-

вые числа в начальных условиях (6) подбирались эм-

лена временная зависимость величины H₁/H₀, ха-

пирически, чтобы минимизировать отклонение моде-

рактеризующей уровень нелинейности системы. Как

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

Волновая турбулентность поверхности жидкости во внешнем тангенциальном электрическом поле

309

видно, подобного переходного режима на графике не

На рисунке 4 представлен усредненный по време-

наблюдается, и величина H₁/H₀ остается малой в те-

ни спектр поверхностных возмущений границы жид-

чение всего интервала интегрирования по времени.

кости:

∫

Средний уровень нелинейности в процессе эволюции

системы составил малую величину порядка 1.5·10^-2.

Iβ

= (T )^-1

|η_k|²dt,

На рисунке 2 представлена форма границы жид-

кости в начальный момент и в момент времени t =

где T

= t₂ - t₁ - период усреднения по времени

(усреднение проводилось в стационарном режиме).

Как видно из рис.4, полученный спектр поверх-

ностных возмущений далек от классического спек-

Рис. 2. Форма границы жидкости в начальный момент

(пунктирная линия) и в момент времени t = 3.16 · 10³

(сплошная линия)

= 3.16·10³, можно видеть, что в режиме квазистаци-

онарной диссипации энергии она приобретает слож-

ную нерегулярную форму. При этом функции плот-

ности вероятности для углов наклона границы ста-

новятся очень близкими к нормальному распределе-

Рис. 4. (Цветной онлайн) Спектр возмущений поверх-

нию Гаусса, см. рис. 3. Этот факт свидетельствует

ности I_β (сплошная синяя кривая), спектр начального

возмущения (штрих-пунктирная зеленая линия), сте-

пенная зависимость k^-2.5 (пунктирная красная линия)

тра Захарова-Филоненко и с большой точностью

может быть аппроксимирован степенной зависимо-

стью k^-2.5. Примечательно, что наклон спектра в

режиме волновой турбулентности одинаков для всех

проведенных расчетов. На рисунке 5 представле-

ны скомпенсированные спектры для трех численных

экспериментов с различными β. Рисунок 5 показыва-

ет, что полученная эмпирическая зависимость очень

хорошо описывает данные численных эксперимен-

тов. В целом, результаты расчетов можно интерпре-

тировать как обнаружение нового спектра волновой

турбулентности поверхности жидкости, отличного от

классических спектров для капиллярных и гравита-

Рис. 3. (Цветной онлайн) Маркерами показана функ-

ционных волн.

ция плотности вероятности PDF (probability density

Представленные расчеты проводились для до-

function) для крутизны границы, пунктирная линия со-

статочно сильных внешних электрических полей.

ответствует нормальному распределению Гаусса

При уменьшении напряженности поля увеличивал-

ся уровень нелинейности, необходимый для реализа-

об отсутствии сильных пространственно-временных

ции прямого каскада энергии. При нулевом внешнем

корреляций, а, значит, и о возможном возникновении

электрическом поле нам не удалось получить турбу-

колмогоровского спектра волновой турбулентности.

лентный спектр Захарова-Филоненко (1). Этот факт

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

310

Е. А. Кочурин

следовании волновой МГД турбулентности являет-

ся спектр Ирошникова-Крайчнана [29, 30]. Приве-

дем кратко рассуждения о выводе этого спектра и

покажем, что полученная эмпирическая зависимость

Iβ

∼ k^-5/2 может быть тесно связана с волновой

МГД турбулентностью.

В переделе сильного поля время взаимодействия

τ встречных “квазичастиц” (гармоник) магнитного

поля (в нашем случае электрического поля) с дли-

ной волны λ ∼ k^-1 и скоростью v_k можно оценить

как

τ ∼ 1/kV_A,

где V_A - аналог альфвеновской скорости для на-

√

ε₀εE²/ρ. Возмущения скоро-

шей задачи: VA =

Рис. 5. (Цветной онлайн) Скомпенсированные спектры

сти являются малыми, т.е. v_k/V_A ≪ 1. Спектраль-

поверхностных возмущений для различных значений

ная плотность кинетической энергии E_T (k) в одно-

напряженности электрического поля: 1 - k^2.5I_β (β² =

мерном случае связана со скоростью v_k, как v_k ∼

= 35); 2 - 0.1k^2.5I_β (β² = 30); 3 - 0.01k^2.5I_β (β² = 25),

∼ [E_T (k)k]^1/2. Для упругого взаимодействия волн

пунктирная красная линия соответствует степенной за-

спектральные плотности кинетической E_T и потен-

висимости k^-2.5

циальной (электростатической) энергии E_U пропор-

циональны друг другу E_T

∼ E_U. При элементар-

может быть связан с отсутствием условий для реали-

ном взаимодействии происходит искажение волно-

зации трехволнового резонанса капиллярных волн в

вого пакета Δv_k

∼ v^2k/V_A (это выражение есть

одномерной геометрии. Действительно, несложно по-

следствие предположения о доминирующем влия-

казать, что для капиллярных волн (ω² = k³) условия

нии квадратично-нелинейных слагаемых). Количе-

трехволнового резонанса

ство “столкновений” Nint, необходимое для суще-

ственного искажения волнового пакета, оценивается

ω=ω₁ +ω₂, k=k₁ +k₂,

(7)

как [31]

в 1D-геометрии не могут быть выполнены. При

V_A

N_int =

∼

(V_A)² ≫ 1.

включении сильного электрического поля, т.е. при

Δv_k

v_k

β ≫ 1, дисперсионное соотношение (3) в области ма-

Теперь можно ввести время перераспределения

лых волновых чисел k < β² можно записать как

энергии τ_E ∼ N_int/kV_A. Скорость диссипации энер-

гии s не должна зависеть от волнового числа (усло-

ω² = β²k².

вие локального характера перекачки энергии)

Для этого соотношения условия (7) выполняются

v^2k/τ_E = s.

при любых k. Таким образом, при увеличении на-

Подставляя в это равенство выражение для τ_E , мож-

пряженности поля увеличивается и вероятность реа-

но получить спектральные распределения для ско-

лизации условий трехволнового квазирезонанса для

рости v_k и, как следствие, для кинетической E_T и

электрокапиллярных волн (3).

потенциальной энергии E_U в турбулентном режиме,

Стоит отметить, что исследованная в настоящей

работе волновая турбулентность очень напоминает

v^2k ∼ (sV_A)^1/2k^-1/2, E_U ∼ E_T ∼ (sV_A)^1/2k^-3/2. (8)

волновую магнитогидродинамическую (МГД) турбу-

лентность взаимодействующих альфвеновских волн.

Выражение (8) представляет собой классический

Известно, что волны в идеально проводящей жид-

спектр Ирошникова-Крайчнана. Теперь необходимо

кости могут распространяться без искажений вдоль

вернуться к нашему спектру поверхностных возму-

направления внешнего магнитного поля. Взаимодей-

щений 〈|η_k|²〉 = I_β. В пределе сильного поля связь

ствие возможно только между встречными волна-

между флуктуациями скорости v_k и возмущениями

ми, и оно является упругим [28]. Идентичными свой-

поверхности η_k имеет вид v_k ∼ V_Akη_k. В итоге из (8)

ствами обладают исследуемые в настоящей работе

получаем искомый спектр поверхностных возмуще-

поверхностные волны в режиме сильного электри-

ний

ческого поля [23]. Классическим результатом в ис-

〈|η_k|²〉 = I_β ∼ s^1/2V^-3/2Ak^-5/2.

(9)

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

Волновая турбулентность поверхности жидкости во внешнем тангенциальном электрическом поле

311

Таким образом, наблюдаемый в численных экс-

S. Nazarenko and S. Lukaschuk, Annu. Rev. Condens.

периментах спектр I_β качественно согласуется с по-

Matter Phys. 7, 61 (2016).

лученным выражением (9), являющимся прямым

J. R. Melcher, Phys. Fluids 4, 1348 (1961).

следствием энергетического спектра Ирошникова-

10.

А. И. Жакин, УФН 183(2), 153 (2013).

Крайчнана (8) для волновой МГД турбулентности.

11.

D. Koulova, H. Romat, and C. L. Louste, IEEE Trans.

В заключение отметим, что полученные резуль-

Diel. Electr. Insul. 25(5), 1716 (2018).

таты применимы для ферромагнитной жидкости с

12.

B. Tao and D. L. Guo, Comput. Math. Appl. 67, 627

(2014).

высокой проницаемостью во внешнем магнитном по-

13.

B. Tao, Comput. Math. Appl. 76, 799 (2018).

ле. В совокупности с результатами работ [18, 19] по-

14.

N. M. Zuabrev, Phys. Rev. E 65, 055301 (2002).

лученные данные свидетельствуют о реализации но-

15.

N. M. Zuabrev, Phys. Fluids 18, 028103 (2006).

вого спектра волновой турбулентности поверхности

16.

T. Gao, P. A. Milewski, D. T. Papageorgiou, and

жидкости во внешнем магнитном (электрическом)

J.-M. Vanden-Broeck, J. Eng. Math. 108, 107 (2018).

поле.

17.

Z. Wang, Proc. R. Soc. A 473, 20160817 (2017).

Автор выражает глубокую признательность

18.

S. Dorbolo and E. Falcon, Phys. Rev. E 83, 046303

Н.М. Зубареву и Н.Б. Волкову за полезные обсужде-

(2011).

ния.

19.

F. Boyer and E. Falcon, Phys. Rev. Lett. 101, 244502

Работа выполнена при частичной поддержке

(2008).

проекта Уральского отделения РАН # 18-2-2-15 и

20.

N. M. Zubarev, Phys. Lett. A 333, 284 (2004).

Российского фонда фундаментальных исследований

21.

Н. М. Зубарев, О. В. Зубарева, Письма в ЖТФ

проект # 17-08-00430.

32(20), 40 (2006).

22.

Н. М. Зубарев, Письма в ЖЭТФ 89, 317 (2009).

23.

Н. М. Зубарев, Е. А. Кочурин, Письма в ЖЭТФ

1. В. Е. Захаров, Н. Н. Филоненко, ПМТФ

8(4),

99(11), 729 (2014).

(1967).

24.

Е. А. Кочурин, ПМТФ 59(1), 91 (2018).

2. A. N. Pushkarev and V. E. Zakharov, Phys. Rev. Lett.

25.

E. A. Kochurin and N. M. Zubarev, IEEE Trans. Diel.

76(18), 3320 (1996).

Electr. Insul. 25(5), 1723 (2018).

3. М. Ю. Бражников, Г. В. Колмаков, А. А. Левченко,

26.

A. O. Korotkevich, A. I. Dyachenko, and V. E. Zakharov,

Л. П. Межов-Деглин, Письма в ЖЭТФ 73(8), 443

Physica D 321-322, 51 (2016).

(2001).

27.

E. A. Kochurin and N. M. Zubarev, J. Phys.: Conf. Ser.

4. M. Yu. Brazhnikov, G. V. Kolmakov, A. A. Levchenko,

946, 012021 (2018).

and L. P. Mezhov-Deglin, Europhys. Lett. 58(4), 510

28.

P. Goldreich and S. Sridhar, Astrophys. J. 438, 763

(2002).

(1995).

5. L. Deike, D. Fuster, M. Berhanu, and E. Falcon, Phys.

29.

П. С. Ирошников, Астрономический журнал 40, 742

Rev. Lett. 112, 234501 (2014)

(1963).

6. O. M. Phillips, J. Fluid Mech. 4, 426 (1958).

30.

R. H. Kraichnan, Phys. Fluids 8, 1385 (1965).

7. V. E. Zakharov and N. N. Filonenko, Sov. Phys. Dokl.

31.

P. Goldreich and S. Sridhar, Astrophys. J. 485, 680

11, 881 (1967).

(1997).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019