Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 5, с. 312 - 319

О темпе диссипации океанских волн, вызванной их обрушением¹⁾

А. О. Короткевич^+∗2), А. О. Прокофьев^∗, В. Е. Захаров^∗×

⁺Факультет Математики, Университет Нью-Мексико, Альбукерке, 87131-0001 Нью-Мексико, США

^∗Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, 119334 Москва, Россия

^×Факультет Математики, Университет Аризоны, 85721-0089 Тусон, Аризона, США

Поступила в редакцию 13 декабря 2018 г.

После переработки 13 декабря 2018 г.

Принята к публикации 27 декабря 2018 г.

В данной работе мы вычисляем темп диссипации энергии океанских волн, возникающей благодаря

их обрушению. Было проведено два независимых численных эксперимента. В первом из них мы решали

приближенные уравнения Эйлера, описывающие потенциальное течение глубокой жидкости со свобод-

ной поверхностью в полной трехмерной геометрии. Уравнения были получены в результате разложения

гамильтониана по степеням крутизны поверхности, учитывая трех- и четырехволновые взаимодействия.

Этот подход применим только при умеренных значениях крутизны µ < 0.09. Во втором эксперименте

мы решали точные уравнения Эйлера, но в двумерной геометрии. Мы совершили конформное отобра-

жение жидкости на нижнюю полуплоскость. Этот подход применим при любых значениях крутизны.

В обоих экспериментах получены близкие результаты. Обрушение волн является пороговым процес-

сом, возникающим при средней крутизне, превышающей µ > µcr ≃ 0.055. Темп диссипации энергии

благодаря обрушеням очень быстро растет с ростом крутизны. Сравнение полученных нами “функций

диссипации” с функциями, используемыми в операционных моделях предсказания ветрового волнения,

показывает, что последние дают значение темпа диссипации на порядок выше для типичных значений

крутизны.

DOI: 10.1134/S0370274X19050060

1. Введение. Образование обрушающихся греб-

ческой значимости. В настоящий момент применя-

ней на поверхности жидкости - это знакомое прак-

ются как минимум три различные функции дисси-

тически всем физическое явление. Это мощный ме-

пации [1]. Все они чисто эвристические, ни одна не

ханизм диссипации энергии и импульса волнения,

подтверждалась прямым экспериментом или анали-

переносящий эти интегралы движения от потенци-

тически.

ального течения внутри волн в турбулентное тече-

Изучение процесса обрушения волн имеет и боль-

ние жидкости в приповерхностном слое. Определе-

шое теоретическое значение. Обрушение волн - это

ние “функции диссипации” - скорости переноса энер-

яркий пример локализации энергии во времени и

гии от потенциального течения к турбулентному в

пространстве в результате сильно нелинейных про-

возбужденном ветром море является необходимым

цессов. Другой важный класс подобных процессов -

условием для правильного предсказания ветрового

это волновые коллапсы, как, например, самофокуси-

волнения в рамках операционных моделей. В тече-

ровка в нелинейной оптике [2] или коллапс ленгмю-

ние последних двух десятилетий процесс улучшения

ровских волн в плазме [3]. Волновые коллапсы, как и

точности основных операционных моделей (WAM3,

обрушение волн, суть механизмы образования “горя-

WAM4, WAVEWATCH) замедлился. По нашему мне-

чих точек”, в которых происходит диссипация энер-

нию, основной причиной для этого является исполь-

гии, однако, более детальное обсуждение этой темы

зование недостаточно обоснованных, если не сказать

выходит за рамки данной статьи. Мы только заме-

ошибочных, функций диссипации. Поэтому правиль-

тим, что теория волновых коллапсов гораздо более

ная, физически обоснованная параметризация функ-

развита, чем теория обрушения волн [2, 3].

ций диссипации является вопросом большой практи-

С математической точки зрения, коллапс являет-

ся точкой формирования сингулярности в уравнени-

ях, описывающих данный физический процесс, при-

¹⁾См. дополнительные материалы к данной статье на сайте

нашего журнала www.jetpletters.ac.ru

чем сингулярность возникает за конечное время. Как

²⁾e-mail: alexkor@math.unm.edu

правило, этот процесс описывается автомодельным

312

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

О темпе диссипации океанских волн...

313

решением [2] соответствующих уравнений. Это реше-

чество энергии, поглощенной гипервязкостью, кото-

ние является, как минимум, локальным, а иногда и

рое может быть легко измерено, в точности равно

глобальным аттрактором, так что коллапсы имеют

энергии, теряемой волнением в акте обрушения.

стандартную универсальную структуру. Обрушение

Мы реализовали эту стратегию, произведя два

волн - это гораздо более сложное и менее понятое

обширных численных эксперимента, которые описа-

явление. Типичный сценарий включает в себя фор-

ны ниже. Мы получили близкие, почти совпадаю-

мирование узкой струи (“языка”) на гребне обруша-

щие результаты, ведущие к фундаментальному на-

ющейся волны. Струя быстро становится неустойчи-

блюдению, - обрушение волн суть пороговый про-

вой, турбулентной и превращается в облако капель.

цесс. Эта идея не является новой, она была выска-

До сих пор не ясно, существует ли универсальный

зана М.Баннером и его соавторами [6-8] почти два

сценарий обрушения. Построение аналитической мо-

десятилетия назад. В данной статье мы приводим но-

дели обрушения является чрезвычайно трудной за-

вые аргументы в поддержку этой идеи, основанные

дачей (см. обзор [4], в недавней работе [5] описано

на прямых численных экспериментах.

численное моделирование начальной стадии обруше-

В описании океанского волнения критическую

ния и образования капель).

роль играет безразмерный параметр - крутизна. Су-

Тем не менее, построение научно обоснованной

ществуют разные ее определения. Пусть η(r, t) - это

функции диссипации не является безнадежной зада-

форма поверхности (отклонение от невозмущенного

чей. Все возможные сценарии обрушения начинают-

горизонтального состояния). Дисперсия отклонения

ся с быстрого роста кривизны поверхности в неко-

поверхности определяется как σ² = 〈η²〉. Естествен-

торой небольшой области (см. недавнюю работу [5]

ное “физическое” определение крутизны µ - это

с описанием одного из механизмов этого процесса).

µ² = 〈|∇η|²〉,

(1)

Можно переместиться в движущуюся систему отсче-

та, связанную с этой областью, и сформулировать

здесь ∇ - это градиент, вычисленный в плоскости

поверхности жидкости, обычно в плоскости XY . Это

простую и правдоподобную гипотезу: вся энергия и

весь импульс, сосредоточенные в области обрушения,

определение вводит среднеквадратичный наклон по-

будут потеряны для потенциального течения. При-

верхности. Однако, эта “физическая” крутизна с тру-

няв эту гипотезу, мы перестаем интересоваться де-

дом поддается измерению в натурном эксперименте.

талями данного процесса. Потеряв часть энергии и

По этой причине удобно ввести “океанографическую”

импульса, мы начинаем вычисления с нового началь-

крутизну

ного условия. Тут полезна следующая аналогия: если

S² = k^2pσ²,

(2)

мы сбрасываем камень с обрыва, детальное описание

здесь k_p - волновое число спектрального пика. Для

его вращения на пути к земле нам не нужно. Просто

чисто монохроматической волны эти два определе-

этот камень потерян.

ния совпадают. В реальном море, где спектр имеет

Этой гипотезе можно придать и другую интер-

степенной “хвост”, физическая крутизна оказывает-

претацию, совершив преобразования Фурье по про-

ся выше океанографической. В наших экспериментах

странственным переменным. Обрушению предше-

спектры были близки к монохроматическим, поэто-

ствует образование зоны большой кривизны. Форми-

му мы не различаем эти два определения крутизны,

рование этой зоны есть ни что иное, как образование

обозначая ее везде одной и той же буквой µ.

в Фурье пространстве “толстого хвоста” у простран-

В согласии с ранее сформулированной М.Банне-

ственного спектра волнения. Гипотеза, сформулиро-

ром и его соавторами [6-8] концепции, мы обнару-

ванная выше, означает, что энергия и импульс, со-

жили, что обрушение волн - это пороговый процесс

средоточенные в “хвосте”, быстро диссипируют, так

с пороговым значением крутизны µ_cr ≃ 0.056. Если

что “хвост отрезается”. Этот процесс не может быть

µ < µ_cr, обрушение практически отсутствует. При

изучен в рамках кинетического уравнения Хассель-

µ ≥ µ_cr, функция диссипации S_diss быстро растет от

манна. Его можно описать, только применяя динами-

(µ - µ_cr).

ческие (разрешающие фазы) уравнения, точные или

Полученная нами зависимость функции диссипа-

приближенные. Диссипация может быть искусствен-

ции от средней крутизны µ существенно отличает-

но введена в эти уравнения в виде “гипервязких” дис-

ся от общепринятой параметризации функции дис-

сипативных членов, реагирующих только на корот-

сипации S_diss ≃ µ⁴ [9]. Хотелось бы подчеркнуть, что

коволновую часть спектра и сосредоточенных в фи-

наши результаты прекрасно согласуются с экспери-

зическом пространстве только в зонах повышенной

ментальными наблюдениями в океане и на озере Ва-

кривизны. В силу закона сохранения энергии, коли-

шингтона, выполненными Баннером, Бабаниным и

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

314

А. О. Короткевич, А. О. Прокофьев, В. Е. Захаров

Янгом [6-8]. Они не измеряли энергию, диссипируе-

здесь H - это Гамильтониан системы

мую при обрушениях, но изучали вероятность появ-

(

)

∫ +∞

∫ η

ления “белых гребней” (“барашков”), сигнализирую-

H =

dxdy gη² +

|∇φ|²dz

-∞

щих, что происходит обрушение. Ими был получен

такой же результат - появление “барашков” являет-

К сожалению, H не может быть выражена в явном

ся пороговым процессом. Вероятность их появления

виде через η и ψ. Однако, можно ограничиться пер-

почти ноль, если µ < µ_cr и быстро растет с увели-

выми тремя членами в разложении гамильтониана

чением µ - µ_cr. Это ровно то, что мы наблюдали в

по степеням η и ψ [12]

наших численных экспериментах, причем величина

µ_cr у нас и группы Баннера практически совпадает.

H = H₀ + H₁ + H₂ + ...,

∫ (

)

Результаты наших численных эксперимен-

H₀ =

gη² + ψkψ dxdy,

тов приводят к важному практическому выводу:

∫

[

]

(5)

существующие операционные модели сильно пе-

H₁ =

|∇ψ|² - (kψ)² dxdy,

∫2

реоценивают роль диссипации за счет обрушений,

[

]

особенно для

“зрелого” или

“старого” моря, ко-

H₂ =

η(kψ)

k(η(kψ)) + ηΔψ dxdy.

гда значение средней крутизны µ мало. Функция

(

)

√

диссипации должна быть значительно уменьшена,

Здесь

k - линейный оператор

-Δ , в Фу-

особенно для длинных волн в области спектраль-

рье пространстве он соответствует умножению гар-

∫

√

ного пика. Мы осознаем, что это означает полную

моник (ψ_k =^12π

ψ_re^ikrdxdy) на k = k^2x + k^2y. Для

переоценку уравнений энергетического баланса в

гравитационных волн этот упрощенный Гамильтони-

области “универсальности” спектра и выбор более

ан описывает взаимодействия до четырехволновых

реалистичных моделей накачки ветром S_in. Однако,

включительно.

эти вопросы выходят за рамки данной статьи.

В таком случае, динамические уравнения (4) при-

Предварительные результаты нашей работы бы-

нимают следующую форму:

ли опубликованы в [10]. Недавно был проведен дру-

гой численный эксперимент [11], в котором исполь-

η=

kψ - (∇(η∇ψ)) -

k[ηkψ] +

зовалась существенно упрощенная версия динамиче-

ских уравнений, верная лишь в двумерной геомет-

+k(ηk[ηkψ]) +

Δ[η²kψ] +

k[η²Δψ] -

F^-1[γ_kη_k],

рии. Данный эксперимент полностью подтверждает

]

ψ=-gη-

(∇ψ)² - (kψ)2 -

(6)

результаты нашей статьи и поддерживают наш глав-

ный вывод: диссипационные функции, используемые

−[kψ]k[ηkψ] - [ηkψ]Δψ -

F^-1[γ_kψ_k].

в операционных моделях, переоценивают вклад об-

рушений волн в баланс волновой энергии и должны

Здесь точка означает производную по времени, Δ =

быть пересмотрены.

= ∇² - оператор Лапласа,

F^-1 - обратное преобразо-

2. Основные модели. Мы рассматриваем по-

вание Фурье, γ_k - диссипативный член (согласно ра-

тенциальное движение идеальной невязкой жидко-

боте [13] он должен быть включен в оба уравнения),

сти с потенциалом скорости φ = φ(x, y, z; t), удовле-

который описывает гипервязкость на малых масшта-

творяющее уравнению Лапласа

бах. Подробное описание использованного численно-

го алгоритма решения системы (6) опубликовано в

Δφ = 0.

(3)

нашей недавней работе [14].

Разложение (5) верно в полном трехмерном слу-

Жидкость является глубокой, так что мы решаем

чае. В более простой двумерной геометрии зависи-

уравнение (3) в области -∞ < z < η(r, t) и r =

мость от y исчезает и можно ввести комплексную

= (x, y) - координаты на спокойной поверхности.

координату Z = x+iz, в физической плоскости и вы-

Пусть ψ = φ|_z=η - потенциал скорости, вычислен-

полнить конформное отображение на нижнюю полу-

ный на поверхности. Введение η = η(r, t), ψ = ψ(r, t)

плоскость “математической” плоскости W = u + iv.

вместе с граничным условием φ_z → 0, z → -∞ опре-

Конформное преобразование полностью характери-

деляет однозначно разрешимую задачу Дирихле-

зуется Якобианом R = W_Z =

¹ . Течение жид-

Неймана для уравнения Лапаласа. Как было показа-

кости определяется комплексным потенциалом ско-

но в [12], η и ψ подчиняются уравнению Гамильтона:

рости Φ = Ψ + iHΨ. Здесь

H это преобразова-

∫_+∞

Ψ(s)

ние Гильберта:

HΨ =¹v.p.

ds. Комплекс-

∂η

δH

∂ψ

δH

-∞ s-u

(4)

ная скорость получается из уравнения V = i^∂Φ∂z . Обе

∂t

δψ

∂t

δη

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

О темпе диссипации океанских волн...

315

функции R и Φ аналитические в нижней полуплос-

распределения к квазистационарному автомодельно-

кости v < 0. Дьяченко А. И. показал, что R и V удо-

му состоянию. За это время происходит формирова-

влетворяют “уравнениям Дьяченко” [15]:

ние степенных “хвостов”, соответствующих спектру

Колмогорова-Захарова (КЗ) [17, 18], которые обыч-

∂R

∂V

но наблюдаются в полевых и лабораторных экспери-

= i(UR^′ - RU^′),

= i(UV ^′ - RB^′) + g(R - 1).

∂t

ментах (например, см. [19]).

(7)

В нашем эксперименте у нас есть примерно од-

Здесь U = P^-(

V +

RV ) и B = P^-(V

V ). P^- =

на декада по волновым векторам. Это позволяет

= 1/2(1+i H) - оператор проектирования на нижнюю

нам наблюдать формирование длинного спектраль-

полуплоскость. Хотелось бы подчеркнуть, что (7) яв-

ного “хвоста” и при этом быть уверенными, что об-

ляются точными уравнениями, полностью эквива-

ласть затухания не влияет на область спектрально-

лентными уравнениям Эйлера. Численный алгоритм

го максимума напрямую. Хотелось бы отметить, что

для их решения был аналогичен использованному в

это недалеко от реальности. При ветровом волнении

работе [16].

инерционный интервал гравитационных волн зани-

3. Результаты экспериментов.

мает приблизительно следующий диапазон (см. [19])

3.1. Трехмерный эксперимент. Мы моделирова-

ли уравнения (6) в периодической области размера

ω_p < ω < 3.5ω_p,

2π × 2π со спектральным разрешением 512 × 4096.

здесь ωp - угловая частота спектрального макси-

Мы не прикладываем внешние силы, но изучаем рас-

мума, соответствующая волновому числу k_p. Дан-

пад заранее созданной волновой турбулентности, ко-

ный спектральный диапазон достаточно широк, что-

торая является почти одномерной зыбью, и вслед-

бы обеспечить формирование острых гребней, в ко-

ствии этого может быть промоделирована на столь

торых локальная крутизна много выше средней. Га-

анизотропной сетке. Мы использовали следующее за-

мильтониан разлагается по степеням канонических

тухание:

переменных, что накладывает ограничение на вели-

{

чину среней крутизны. Слишком большая начальная

0, k < k_d,

k_d = 1024,

γ_k =

(8)

крутизна может привести к появлению неустойчиво-

-γ(k - k_d)², k ≥ k_d, γ = 2.86 · 10^-3.

сти счета и к “взрыву” схемы. С другой стороны, кру-

тизна должна быть достаточно большой, чтобы пре-

Ускорение силы тяжести g

= 1, шаг по времени

одолеть эффект дискретной сетки (см. [20]). Мы ба-

Δt = 4.23 · 10^-4.

лансировали между этими двумя противоречивыми

Начальное условие для спектра - это Гауссиана,

требованиями, и в этом заключалась основная слож-

расположеная вокруг точки k₀ = (0; 100) с шириной

ность эксперимента.

D_i = 30. Амплитуды всех гармоник были случайны

В процессе численного эксперимента мы вычис-

со следующим средним

ляли обратную нормализованную временную произ-



(

)



1 |k - k₀|²

водную полного волнового действия:

|a_k| = A_i exp

, |k - k₀| ≤ 2D_i,

D²

′

N (t + 10T₀) - N(t)



γ_diss =

|a_k| = 10^-12, |k - k₀| > 2D_i.

ω₀N

10T₀ω₀(N(t + 10T₀) + N(t))

(9)

√

здесь ω₀ =

√gk₀, было вычислено в три разных мо-

√

ω_k

Здесь a_k =

η_k+i^k2ω

ψ_k - нормальные перемен-

мента времени t = 70T₀, t = 80T₀ и t = 90T₀. По-

ные [14]. Случайные значения фаз были равномерно

скольку начальное волновое поле было случайным,

распределены на интервале [0; 2π). Значение ампли-

в первом приближении мы можем считать эти три

туды A_i менялось так, чтобы обеспечить требуемые

счета тремя независымыми экспериментами с тремя

значения средней крутизны, которые принадлежали

независимыми спектральными ансамблями. Резуль-

интервалу от 0.05 до 0.09.

таты экспериментов представлены на рис. 1.

Во время эксперимента мы наблюдали динами-

Заметим, что при ω ≃ 3.5ω_p КЗ-спектр ∼ ω^-4 пе-

ку начального спектрального распределения в тече-

реходит при довольно общих условиях в спектр Фил-

ние времени 100T₀, здесь T₀ - период волны спек-

липса [21, 22]. Этот переход дожен быть изучен более

трального максимума. Это примерно в десять раз

тщательно. Некоторые предварительные результаты

дольше “нелинейного времени”, за которое развива-

изложены в работах [23, 24].

ются вынужденные гармоники. Этого времени до-

3.2. Двумерный эксперимент. В этом экспери-

статочно, чтобы проследить эволюцию начального

менте мы численно решали уравнения Дьяченко (7)

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

316

А. О. Короткевич, А. О. Прокофьев, В. Е. Захаров

приводит к уменьшению крутизны до уровня µ ≃ 0.1,

после чего резко замедляется. Результаты представ-

лены на рис. 1 вместе с результатами трехмерно-

го эксперимента. Скорость диссипации для больших

крутизн представлена на рис. 2. Видно, что крутые

Рис. 1. (Цветной онлайн) Диссипативный член γ_diss как

функция от средней крутизны. Результат трехмерно-

го и двумерного экспериментов. Кривая 1 - полностью

нелинейный двумерный эксперимент; кривая 2 - трех-

мерный эксперимент, производная посчитана на про-

Рис. 2. Диссипативный член γ_diss как функция от сред-

√

межутке времени от 70T0 до 80T0; кривая 3 - трех-

ней крутизны µ =

〈|η^′(x)|²〉

мерный эксперимент, производная посчитана на про-

межутке времени от 80T0 до 90T0; кривая 4 - трех-

волны теряют энергию очень быстро, буквально за

мерный эксперимент, производная посчитана на про-

несколько периодов.

межутке времени от 90T0 до 100T0; кривая 5 - 2.58µ⁴,

3.3. Сравнение с моделями предсказания волне-

что соответствует модели W AM3 для волнового паке-

ния. Широко используемые модели предсказания

та в форме δ(k); кривая 6 - 4.48µ⁴ , что соответствует

WAM3 и WAM4 используют диссипационную функ-

модели W AM4 для волнового пакета в форме δ(k)

цию, зависящую от волнового числа k следующим

образом:

в области длины 2π с периодическими граничны-

(

)(

)_p

ми условиями. Был использован спектральный код

γ_k = C_ds ω

(1 - δ) + δ

(11)

с разрешением в 8192 гармоники. Мы заменили про-

S_PM

изводную по времени в уравнениях для R и V на

здесь k и ω - волновое число и частота, тильда озна-

∂

- γ_p(k) + 2.0 × 10^-12k⁴.

(10)

чает среднее значение; C_ds, δ и p - подгоночные па-

∂t

раметры; S = k_pσ - “океанографическая” крутизна;

Здесь γ_p(k) - симметричная в k-пространстве накач-

S_PM = (3.02 × 10^-3)^1/2 - величина

S для спектра

ка, сконцентрированная вблизи k = k₀ = 35. В каче-

Пирсона-Московица.

стве начальных данных мы использовали R = 1, V

Значения подгоночных параметров для WAM3

- белый шум со случайными фазами и амплитудой

следующие:

10^-20.

C_ds = 2.35 × 10^-5, δ = 0, p = 4,

(12)

В начальной стадии эксперимента накачка фор-

мирует квазимонохроматическую стоячую волну с

√

а для модели WAM4 они таковы:

очень большой крутизной µ =

〈(η^′(x))²〉 ≃ 0.2. По-

сле этого, мы отключали накачку и измеряли γ_diss =

C_ds = 4.09 × 10^-5, δ = 0.5, p = 4.

(13)

= N^′ωpN^,гдеωp^{-частотаk}p^{.Идеябылавтом,чтобы}

достичь крутизн, которые далеко за пределами при-

Поскольку нас интересуют только грубые оценки,

менимости усеченного Гамильтониана, использован-

мы можем положить S ≃ µ и что спектр сосредото-

ного в трехмерном эксперименте, и потом дождаться

чен возле спектрального максимума k =

k, ω = ω.

естественного уменьшения крутизны до того уровня,

В результате мы получили следующие нормализо-

который мы наблюдали в трехмерных эксперимен-

ванные на частоту ω значения темпа диссипации

тах. Мы наблюдали, что диссипация очень быстро

γ_diss ≃ 2.58µ⁴ для модели WAM3 и γ_diss ≃ 4.48µ⁴ для

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

О темпе диссипации океанских волн...

317

модели WAM4. Соответствующие кривые приведены

естественное объяснение. Как упоминалось выше,

на рис. 1. Видно, что для крутизны µ ≃ 0.06, типич-

имеются два совершенно разных механизма перено-

ной для ветрового волнения, обе модели переоцени-

са энергии по спектру в область малых масштабов,

вают гибкость диссипации на порядок величины.

где волны затухают. Один - это поток энергии

Мы должны подчеркнуть, что описанный “поро-

колмогоровского типа обусловленный четырехвол-

говый эффект” имеет место только в тех эксперимен-

новыми резонансными взаимодействиями (см., к

тах, в которых спектральный пик k_p и область нача-

примеру, [25]). Второй - это прямое формирование

ла искусственной диссипации k_d достаточно разделе-

“барашков” на гребнях волн. Сильная локальная

ны в k-просттранстве. Если они достаточно близки

нелинейность приводит к быстрому росту кратных

(скажем k_d ∼ 3k_p или даже k_d ∼ 5k_p, мы проводи-

вынужденных гармоник, который много быстрее,

ли такие эксперименты), наблюдается гладкая зави-

чем каскад энергии. В двумерном случае работает

симость функции диссипации от крутизны, подобно

только второй механизм. Мы не можем прямо

тому, как это имеет место в моделях WAM. Это про-

сравнить эффективность данных механизмов для

исходит за счет утечки энергии в область диссипа-

высоких крутизн (µ > 0.08) так как для настоль-

ции через последовательную генерацию нерезонанс-

ко крутых волн любые слабонелинейные модели

ных вынужденных гармоник. Можно даже, в точ-

перестают быть верны. Тем временем, двумерные

ности, воспроизвести результат WAM3 (p = 4), по-

эксперименты показывают, что обрушение крутых

ложив k_d ∼ 3k_p. Однако, в реальном море области

волн (после µ ≃ 0.1) является чрезвычайно мощным

возбуждения волн ветром и области их естественной

процессом, так что волны, близкие к критической

диссипации, за счет вязкости, разделены по k более,

стоксовой волне (µ > 0.3), просто не могут существо-

чем на порядок величины.

вать в реальности. Они очень быстро разрушаются.

4. Обсуждение результатов. Можно задать-

Механизм регуляризации таких процессов посред-

ся вопросом: “Почему авторы использовали эти две

ством формирования предельных капилярных волн

модели с такими разными начальными условиями?”

недавно был промоделирован и описан в работе [5].

Ответ прост. Если механизм диссипации, который

Наши трехмерные эксперименты подтверди-

мы предлагаем (доминирующая генерация кратных

ли идею Баннера и соавторов [7] о “пороговом”

гармоник, когда начинают формироваться локаль-

характере обрушений волн. Имеются несколько экс-

ные сингулярности, которой помогает прямой кас-

периментальных аргументов в поддержку сравнения

кад энергии) является универсальным, тогда резуль-

обрушения волн с фазовым переходом второго рода

таты этих двух моделей (просто напомним, четы-

(например, см. [23]). Пороговый уровень µ_cr ≃ 0.055

рехволновые резонансные взаимодействия в двумер-

прекрасно согласуется с экспериментальными дан-

ной гидродинамике отсутствуют, что означает совер-

ными [4, 7]. Результаты двумерного эксперимента не

шенно другую физику нелинейных взаимодействий,

на столько очевидны. Как видно из рис. 1, некоторая

в то время как генерация кратных гармоник точ-

диссипация сохраняется даже для волн малой кру-

но такая же) будут не обязательно одинаковыми, но

тизны. Эта остаточная диссипация вовсе не зависит

близкими. А еще, используя полностью нелинейные

от крутизны. Это не что иное, как численный арте-

уравнения, можно достичь крутизн, соответствую-

факт. Нам не удалось стабилизировать численную

щих штормовому морю. Как мы и ожидали, наше

схему без введения искусственной гипервязкости во

численное моделирование дает аргументы в пользу

всем диапазоне масштабов. Недавние эксперимен-

универсальности предложенного механизма диссипа-

ты [11], выполненные в рамках менее точной (и более

ции. Результаты обсуждаются в подробностях ниже.

устойчивой) модели двумерных волн, подтверждают

Первое, оба эксперимента ясно показывают, что

пороговый характер феномена обрушения волн.

функции диссипации, широко используемые в опе-

Нашей следующей задачей является формули-

рационных моделях, далеки от реальности и сильно

ровка диссипативной функции, более реалистичной,

переоценивают диссипацию от обрушений в энерге-

чем (11). Первый шаг в этом направлении был сде-

тическом балансе ветрового волнения. Другая, менее

лан в работе [24]. Здесь мы предлагаем, в качестве

очевидная причина такой ситуации была сформули-

первых предварительных результатов формулы, по-

рована в работе [4].

лученные методом нелинейных наименьших квад-

Сравнение трехмерного и двумерного экспери-

ратов (алгоритм Маркарда-Левенберга, реализован-

ментов для

“реалистичных” значений крутизны

ный в программе Gnuplot [26]) для двух возможных

0.06 < µ < 0.08 показывает, что в трехмерном случае

функций. Возможно, наиболее интересным являет-

диссипация несколько сильнее. Этот факт имеет

ся область сравнительно малых крутизн, соответ-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

318

А. О. Короткевич, А. О. Прокофьев, В. Е. Захаров

ствующих “старому” или не слишком бурному морю

в настоящее время в различных моделях предсказа-

(0.055 ≤ µ ≤ 0.1). Мы рассмотрели два типа функци,

ния волнения.

экспоненциальную:

В заключение авторы выражают благодарность

за поддержку гранту по Программе РАН 0033-2018-

γ^lowExpk(µ) = (1.248 × 10^-7)exp(59.40µ),

(14)

0014. А.О.Короткевичем отмечает поддержку гран-

та Национального Научного Фонда (США) OCE

и степенную от разницы крутизн µ - µ_cr:

1131791. Анализ экспериментальных данных был вы-

полнен А. О. Короткевичем с поддержкой гранта Ве-

γ^lowPolyk(µ) = (1.040 × 10^-2)|µ - 0.055|^1.756.

(15)

дущих Научных Школ НШ-9697.2016.2.

Для крутизн, соответствующих бурному морю

(вплоть до µ = 0.2), мы получили другие коэффи-

H. L. Tolman, User manual and system documentation

циенты. Экспоненциальная функция дала такую

of WAVEWATCH III, U.S. Department of Commerce,

зависимость:

National Oceanic and Atmospheric Administration,

National Weather Service, National Centers for

γ^highExpk(µ) = (8.679 × 10^-7)exp(58.00µ),

(16)

Environmental Prediction (2009).

в то время как степенная функция дала такой ре-

C. Sulem and P.-L. Sulem, The Nonlinear Schrödinger

Equation: Self-Focusing and Wave Collapse, Springer-

зультат:

Verlag, N.Y. (1999).

γ^highPolyk(µ) = (1.468 × 10⁵)|µ - 0.055|^7.398.

(17)

V. E. Zakharov, Sov. Phys. JETP 35(5), 908 (1972).

A. Pushkarev and V.E. Zakharov, Ocean Modeling 103,

Необходимо отметить, что данный выбор функций

18 (2016).

несколько случаен. Как дополнительный материал

S. A. Dyachenko and A.C. Newell, Stud. Appl. Math.

к статье мы предоставляем измеренные зависимости

137(2), 199 (2016).

диссипации от крутизны для каждого эксперимен-

M. L. Banner and X. Tian, J. Fluid Mech. 367(1), 107

та, так что исследователи могут предложить функ-

(1998).

цию, которую считают более правильной и попытать-

M. L. Banner, A. V. Babanin, and I. R. Young, J. Phys.

ся найти соответствующие коэффициенты, исполь-

Oceanogr. 30, 3145 (2000).

зуя любой из стандартных вычислительных пакетов.

J.-B. Song and M. L. Banner, J. Phys. Oceanography

В силу этого, давайте опишем формат и файлы

32(9), 2541 (2002).

дополнительных материалов. Все файлы являются

G. J. Komen, L. Cavaleri, M. Donelan, K. Hasselmann,

простым текстом, содержащим две колонки: первая

and P. A. E. M. Janssen, Dynamics and Modelling of

- это средняя крутизна, а вторая - измеренная вели-

Ocean Waves, Cambridge University Press, Cambridge,

чина темпа диссипации γ. Файл mu_gamma_3D.data

UK (1994).

содержит данные для трехмерных экспериментов.

10.

V. E. Zakharov, A.O. Korotkevich, and A. O. Prokofiev,

Для каждого эксперимента мы усреднили три значе-

AIP Proceedings, CP1168 2, 1229 (2009).

ния, полученные от временных интервалов 80-70T₀,

11.

A. I. Dyachenko, D. I. Kachulin, and V.E. Zakharov,

90-80T₀, и 100-90T₀ как объяснено выше в соответ-

JETP Lett. 102(8), 513 (2015).

ствующем разделе. Усреднялись обе величины (кру-

12.

V. E. Zakharov, J. Appl. Mech. Tech. Phys. 9(2), 190

тизна и темп диссипации). Файл mu_gamma_2D.data

(1968).

содержит данные двумерного эксперимента. Видно,

13.

F. Dias, A. I. Dyachenko, and V. E. Zakharov, Phys.

что для значений крутизны µ < 0.065 искусственная

Lett. A 372(8), 1297 (2008).

вязкость оказывает влияние на результаты, как по-

14.

A. O. Korotkevich, A. I. Dyachenko, and V. E. Zakharov,

дробно обсуждалось выше. Поэтому мы решили объ-

Physica D 321-322, 51 (2016).

единить оба набора данных и использовать все точ-

15.

A. I. Dyachenko, Dokl. Math. 63(1), 115 (2001).

ки из трехмерного эксперимента, дополненные точ-

16.

V. E. Zakharov, A.I. Dyachenko, and A. O. Prokofiev,

ками для более высоких крутизн из двумерного экс-

Eur. J. Mech. B - Fluids 25(5), 677 (2006).

перимента для подгонки коэффициентов предлага-

17.

A. I. Dyachenko, A.O. Korotkevich, and V. E. Zakharov,

емых функций. Этот комбинированный набор дан-

JETP Lett. 77(10), 546 (2003).

ных представлен файлом mu_gamma_2D_3D.data. Мы

18.

A. I. Dyachenko, A.O. Korotkevich, and V. E. Zakharov,

выражаем надежду, что эти начальные результаты

Phys. Rev. Lett. 92(13), 134501 (2004).

могут быть использованы научным сообществом для

19.

M. A. Donelan, J. Hamilton, and W. H. Hui, Phil. Trans.

улучшения диссипационных функций применяемых

R. Soc. London A 315, 509 (1985).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019