Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 5, с. 320 - 324

Универсальное уширение циклотронного поглощения в дираковских

полуметаллах

Р. В. Туркевич⁺, А. П. Протогенов^+∗×◦1), Е. В. Чулков^×◦∇

⁺Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, 603950 Н. Новгород, Россия

^∗Институт прикладной физики РАН, 603950 Н. Новгород, Россия

^×Томский государственный университет, 634050 Томск, Россия

^◦Donostia International Physics Center (DIPC), 20018, San Sebastian/Donostia, Basque Country, Spain

^∇Departamento de F´isica de Materiales UPV/EHU, Centro de Fsica de Materiales CFM - MPC and Centro Mixto CSIC-UPV/EHU,

20080 San Sebastian/Donostia, Spain

Поступила в редакцию 12 декабря 2019 г.

После переработки 12 декабря 2019 г.

Принята к публикации 25 декабря 2019 г.

Рассматривается поглощение электромагнитного излучения в дираковских полуметаллах в квантую-

щем магнитном поле. Обнаружено универсальное уширение линии циклотронного бесстолкновительного

затухания электромагнитных волн при уменьшении числа заполненных уровней Ландау. Найдены новые

режимы распространения электромагнитных волн и новые сопутствующие им эффекты.

DOI: 10.1134/S0370274X19050072

1. Введение. Исследование поглощения элек-

рия относительно инверсии времени. К числу соеди-

тромагнитных волн в проводниках, помещенных в

нений, в которых имеют место нарушения одной из

сильное магнитное поле, принадлежит к числу ос-

этих симметрий, принадлежит ряд кристаллов, на-

новных методов изучения резонансных явлений в та-

пример Cd₃As₂, ZrTe₅, семейства ZrBeSi и A₃B, где

ких средах. Принципиальным ограничением в этой

A = (Na, K, Rb) и B = (As, Sb, Bi). Подробный ана-

области является теорема Кона [1], которая утвер-

лиз свойств дираковских и вейлевских полуметаллов

ждает, что в неограниченных по размеру системах

содержится в обзоре [2] недавно опубликованных ра-

с квадратичной зависимостью энергии электронов

бот.

от импульса единственной частотой, вблизи которой

С целью изучения резонансных свойств дира-

происходит поглощение, является циклотронная час-

ковского полуметала в квантующем магнитном по-

тота. Существенной частью этого утверждения явля-

ле мы обратимся для простоты к базисному мате-

ется справедливость его при учете межэлектронного

риалу Cd₃As₂, дираковский характер спектра низ-

взаимодействия. Если же закон дисперсии электро-

коэнергетических электронных состояний в котором

нов отличается от квадратичного, то отклонения от

установлен в работах [3-5]. Для изучения циклотрон-

закона Кона минимальны. В настоящей работе мы

ного поглощения электромагнитных волн нам по-

установим условия, при которых могут существовать

надобятся точные выражения для спектра и вол-

значительные отклонения от ограничения Кона.

новых функций дираковских электронов в кванту-

Для решения этой проблемы мы рассмотрим ди-

ющем магнитном поле. Применение их в законах

раковский молуметал, находящийся в квантующем

сохранения энергии, импульса и момента импульса

магнитном поле. Дираковские полуметаллы наряду

электронных возбуждений, участвующих в процес-

с полуметаллами Вейля характеризуются в отсут-

се поглощения кванта электромагнитного поля, поз-

ствие магнитного поля линейным законом дисперсии

воляет с помощью принципа Паули найти области

низкоэнергетических электронных возбуждений. Ки-

бесстолкновительного затухания Ландау для попе-

ральные электронные состояния в полуметаллах Ди-

речных волн. Мы ограничимся рассмотрением цир-

рака существуют в трехмерных системах, в которых

кулярных лево-поляризованных электромагнитных

нарушена пространственная инверсия или симмет-

волн, распространяющихся вдоль магнитного поля,

при произвольных значениях частоты ω и волнового

¹⁾e-mail: alprotogenov@gmail.com

вектора q_z электромагнитного поля. В области q_z = 0

320

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

Универсальное уширение циклотронного поглощения. . .

321

√

2ℏvF

при конечных значениях частоты и при заполнении

В выражениях (2) и (3) ǫ₀ =

, tan θ_n,s(k_z) =

от одного до пяти уровней Ландау мы обнаружи-

= E^n,s(kz√ ℏvFkz

, |n〉 - осцилляторная часть собствен-

ǫ0

ли значительное уширение циклотронного поглоще-

ной функции частицы в магнитном поле.

ния. Причина этого явления целиком связана с су-

Значения s = ±1 индекса s соответствуют зоне

ществованием “массивного” релятивистского спектра

проводимости (+1) и валентной зоне (-1). Присут-

дираковских электронов в квантующем магнитном

ствие функции F_ss′(k_z, k_z + q) = (1 + ss^′ cosϑ)/2 (ϑ -

поле. В этом случае возникает существенное разли-

угол между k_z и k^′z = k_z + q) подобно ситуации в

чие между частотами электронных переходов меж-

графене и отражает киральный характер электро-

ду состояниями с соседними n и n + 1 по номеру

нов в дираковском полуметале, позволяя учитывать

уровня Ландау n значениями фермиевского импуль-

в выражении (1) вклад межзонных переходов, на-

ся ℏk_Fn. В заключительном разделе настоящей ра-

пример, перехода (s = -1 → s′ = +1) [8] в до-

боты мы обсудим некоторые магнитооптические яв-

полнении к стандартному внутризонному переходу

ления, в которых может проявиться универсальный

(s = +1 → s^′ = +1). Выбранный нами электронный

характер найденного эффекта.

вариант заполнения зон соответствует случаю, когда

2. Распространение электромагнитных воз-

энергия Ферми E_F > 0.

буждений. Рассмотрим распространение циркуляр-

Правило обхода полюса в выражении (1) при

но поляризованной электромагнитной волны с часто-

ненулевом его числителе позволяет найти области

той ω и волновым вектором q_z = q вдоль магнитного

бесстолкновительного затухания электромагнитных

поля с напряженностью H. Дисперсионное уравне-

возбуждений. При выполнении законов сохранения

ние ε(ω, q) = c²q²/ω² для поперечных циркулярных

энергии E_n,s(k_z ) + ℏω = E_n′_,s′ (k^′z ), импульса k′z =

лево-поляризованных электромагнитных мод содер-

= k_z + q, момента импульса n^′ = n ± 1, неравенства

жит диэлектрическую функцию, которая в прибли-

E_n,s(k_z) < E_F , E_n′_,s′ (k^′z) > E_F , следующие из прин-

жении случайных фаз имеет следующий вид

ципа Паули, описывают области затухания Ландау.

(ℏω_p)²

В интересующем нас случае n^′ = n + 1, имеющем

ε(ω, q) = ε₀ + v_F

(1)

место для циркулярных лево-поляризованных элек-

∫

тромагнитных волн [9], области бесстолкновительно-

∑

f₀(E_n,s(k_z)) - f₀(E_n′_,s′ (k_z + q))

dk_z

го затухания показаны на рис.1. На рисунке 1 бы-

E_n,s(k_z) - E_n′_,s′ (k_z + q)

nn^′ss^′

|cosθ_n′_,s′ (k_z + q)sinθ_n,s(k_z)|

F_ss′ (k_z, k_z + q).

E_n,s(k_z) + ℏω - E_n′_,s′ (k_z + q) + i0⁺

Малым параметром приближения случайных фаз

является параметр r_s =e2

, который аналогичен

ε0ℏvF

постоянной тонкой структурыe2ℏc^{.Вэтихвыражени-}

ях e - заряд электрона, ε₀ - статическая диэлектри-

ческая проницаемость, ℏ - постоянная Планка, v_F -

определяющая наклон дираковского конуса ферми-

евская скорость, ω^2p

= e² 2ℏv

(vF )²

- квадрат плаз-

F π

менной частоты в случае заполнения нулевого уров-√

ня Ландау [6, 7] при ε₀ = 1, l_H =^cℏeH - магнит-

ная длина. Cуммирование по номерам уровней Лан-

дау n, n^′ распространяется до предельного фермиев-

Рис.1. (Цветной онлайн) Области бесстолкновительно-

ского значения n_F уровня Ландау, суммирование по

го затухания циркулярных лево-поляризованных волн

в дираковских полуметаллах в квантующем магнитном

s, s^′ означает учет внутри- и межзонных переходов,

поле при заполнении пяти уровней Ландау (nF = 4)

f₀(E_n,s(k_z)) - равновесная функция распределения

Ферми. Энергия E_n,s(k_z) и волновая функция дира-

ковского электрона равны

ли использованы безразмерные переменные для обо-

√

значения частоты Ω = ℏω/ǫ₀ и волнового вектора

√

E_n,s(k_z) = s ℏ²v^2F k^2z + ǫ²⁰|n|,

(2)

Q=l_Hq_z/

(

)

Из картины распределения в плоскости (Ω, Q)

cosθ_n,s(k_z)|n - 1〉

бесстолкновительного затухания Ландау циркуляр-

Ψ_n,s(k_z) =

(3)

sin θ_n,s(k_z )|n〉

ных лево-поляризованных волн следует существова-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

322

Р. В. Туркевич, А. П. Протогенов, Е. В. Чулков

√

ние трех принципиально отличающихся областей. К

Здесь a

2r_s/π. Функция f(x)

первой принадлежит область прозрачности вблизи

≫ 1

√n=1√1 - n/(x2/2) равна x2/3 при nF

начала координат. В этом окне прозрачности суще-

и f(

2) = 0 при n_F = 1. Заметим, что дисперсион-

ствует геликон, закон дисперсии которого в вейлев-

ная зависимость поперечных волн в используемых

ких полуметалах в классически сильных магнитных

безразмерных переменных имеет вид:

полях изучался в работе [10]. Серия окон прозрачно-

2c²

сти при конечных частотах и волновых векторах, где

ω²(Q) = ω^2p +

Q².

(7)

ε₀v^2F x²

возможно существование новых коллективных мод

√

[11], принадлежит второй группе окон с отсутству-

Зависимости (4)-(6) от параметра x при x ≥

2 пока-

ющим затуханием Ландау. В этой работе мы сосре-

заны на рис.2. Они представляют главный результат

доточимся на изучении бесстолкновительного цикло-

работы.

тронного затухания, существующего, как видно из

рис. 1, при Q = 0 и конечных значениях частоты

Ω. Поскольку частоты в этой области меньше час-

тот межзонных переходов, вкладом последних в (1)

в дальнейшем мы будем пренебрегать.

3. Уширение области циклотронного погло-

щения. Из распределения областей бесстолкнови-

тельного затухания на рис.1 обращает на себя вни-

мание интервал частот Ω_min ≤ Ω ≤ Ω_max при Q = 0, в

котором имеет место поглощение электромагнитных

волн. Физическую причину возникновения этого ин-

тервала с шириной ΔΩ = Ω_max -Ω_min мы уже обсуж-

дали во введении. Приведем зависимость границ ин-

тервала от безразмерной энергии Ферми E_F = E_F /ǫ₀:

√

Рис.2. (Цветной онлайн) Зависимости ωmax (верхняя

Ω_max = E_F -

E^2F - 1, Ω_min = -E_F +

E^2F + 1.

кривая), ωmin,(средняя кривая) и ωp при a = 0.16 (ниж-

Для описания условий поглощения электромаг-

няя кривая) от параметра x. В ннтервале ωmin < ω <

нитных волн с частотой выше плазменной нам пона-

ωmin между верхней и средней кривой затенением пока-

добится цепочка соотношений n_F = E^2F = l^2H k^2F /2 =

зана область, где существует бесстолкновительное цик-

= H₀/H ≡ x²/2 c k_F = (3π²n_b)^1/3, где n_b - объемная

лотронное затухание Ландау

концентрация электронов и H₀ = k^2F cℏ/(2e). В про-

√

блеме прохождения (поглощения) электромагнитно-

При

2 ≤ x < x_min внешняя электромагнитная

го поля через рассматриваемую плазменную среду

волна с фиксированной частотой ω < ωmin будет

мы будем нуждаться также в зависимости референт-

распространяться без поглощения при уменьшении

ной плазменной частоты ω_p(x) = ω_p/(√ε0vF kF ) от

магнитного поля вплоть до того значения x = x_min

магнитного поля. Для произвольной величины маг-

параметра x, пока не наткнется на область бесстолк-

нитного поля эта зависимость опирается на хоро-

новительного затухания из интервала частот ω_p <

шо известное асимптотическое значение плазменной

√

< ω < ω_min. С дальнейшим уменьшением магнит-

частоты ω_pBS =

2r_s/πv_F /l_H, справедливое в силь-

ного поля электромагнитная волна вновь будет рас-

ном магнитном поле [6, 7], когда заполнен только ну-

пространяться без затухания при x > x_max, когда

левой уровень Ландау, и на асимптотическое значе-

частота внешего излучения ω = const, будучи боль-

ние ω_pDS =

√r_s(64π)^1/6v_F n^1/3b в отсутствие магнит-

ше плазменной частоты ω_p, пересечет кривую ω_max

ного поля [12, 13].

на рис. 2.

В терминах безразмерной частоты ω = ω/(v_F k_F )

Ширина полосы Δω бесстолкновительного цик-

зависимости границ циклотронного поглощения при

лотронного затухания зависит от величины магнит-

Q = 0, а также плазменной частоты ω_p от параметра

ного поля H и концентрации электронов n_b. Как вид-

x равны

но из рис. 2, она максимальна при n_F

= 1, когда

√

ω_max = 1 -

1 - 2/x²,

(4)

Δω = 2 -

2, и уменьшается при увеличении числа

√

заполненных уровней Ландау (ω_max ≈ ω_min ≲ ω_p при

ω_min = -1 +

1 + 2/x²,

(5)

n_F = 5). Мы рассмотрели случай, когда изменяю-

√

щимся параметром является величина внешнего маг-

ω_p =

1 + f(x).

(6)

нитного поля. Аналогичное явление смены режима

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

Универсальное уширение циклотронного поглощения. . .

323

прохождения внешнего электромагнитного поля на

него магнитного поля B = 5 Тл (n_F = 4), условие

режим его поглощения с дальнейшей возможностью

k_BT

≪ ℏΔω выполняется при T = 10 К. В этом

прохождения возникает, если при x = const управля-

случае k_B T = 0.0008 эВ, а ℏΔω = 0.004 эВ. Грани-

ющим параметром является частота электромагнит-

цы интервала частот и его ширина равны ω_min =

ного поля.

= 4.4·10¹³ с^-1, ω_max = 5.1·10¹³ с^-1, Δω = 0.7·10¹³ с^-1.

4. Обсуждение. В настоящей работе рассмотре-

В области q ∼ k_F частоты ω_min и ω_max приобрета-

но влияние бесстолкновительного затухания Ландау

ют зависимость от q. Приведем эту зависимость, ис-

в дираковских полуметаллах в квантующем магнит-

пользуя введенные ранее безразмерные переменные

ном поле на условия распространения в них электро-

(Q, Ω):

магнитных волн. Неэквидистантность электронного

√

спектра в таких системах приводит к возникновению

Ω_min = -E_F +

2Q E^2F - n + E^2F + Q² + 1,

(10)

новых окон прозрачности в областях затухания Лан-

дау при q ∼ k_F , где могут существовать новые кол-

√

лективные моды, а также к уширению циклотрон-

Ω_max = E_F -

-2Q E^2F - n - 1 + E^2F + Q² - 1.

ного поглощения при q ≈ 0. Поглощение электро-

(11)

магнитных волн в системах, помещенных в кванту-

Эти выражения определяют границы новых окон

ющее магнитное поле при q ≈ 0 обычно наблюдается

прозрачности, а особенности проводимости вблизи

на циклотронной частоте. В системах, электронный

этих границ имеют разный знак. При ω ∼ 2ω_min/max

спектр в которых близок к квадратичному, это спра-

расположены области затухания для межзонных пе-

ведливо в более широких условиях [1]. В дираковских

реходов, вклад которых в рассмотренных выше об-

полуметаллах с релятивистским законом дисперсии

ластях (ω ≈ ω_min/max) несущественен.

в ультраквантовом случае, когда заполнено неболь-

Из приведенного анализа следует существование

шое количество уровней Ландау, возникает интервал

нескольких эффектов: (1) смена поляризации поля-

циклотронных частот [ω_min, ω_max], где существует по-

ризованной по кругу электромагнитной волны при

глощение электромагнитных волн. Значение ширины

изменении магнитного поля и попадании ее часто-

интервала зависит от количества заполненных уров-

ты вследствие этого в область бесстолкновительного

ней Ландау.

циклотронного затухания, где распространение ле-

Стандартные условия экспериментального на-

вополяризованной волны подавлено; (2) управление

блюдения циклотронного резонанса ν ≪ ω_c и k_BT ≪

рассмотренными эффектами с помощью электриче-

≪ ℏω_c сохраняются по форме и в нашем случае. В

ского поля, которое ориентированно перпендикуляр-

случае, если нас интересует частотная зависимость

но магнитному полю [14, 15]. Результаты по изуче-

затухания внутри интервала Δω = ω_max - ω_min, то

нию структуры поглощения как функции частоты

для оценки в этих неравенствах следует использо-

внутри рассмотренного интервала поглощения при

вать не циклотронные частоты, а ширину интервала

произвольных значениях n_F будут представлены в

частот Δω = ω_max - ω_min. Это необходимо для того,

работе [11]. Закон дисперсии новых электромагнит-

чтобы интервал частот [ω_min, ω_max] оказался не “за-

ных волн в рассмотренном диапозоне частот, а также

мазан” уширением энергетических уровней, связан-

закон дисперсии геликона в ультраквантовом преде-

ным с конечным временем жизни электронных со-

ле при низких частотах мы планируем также пред-

стояний и температурным размытием функции рас-

ставить в работе [11].

пределения. Модифицированные условия наблюде-

Мы благодарны В.Л. Братману, В.И. Гавриленко,

ния должны выглядядеть теперь следующим обра-

В.В. Железнякову, Е.Д. Господчикову, С.В. Еремееву

зом: ν ≪ Δω, k_BT ≪ ℏΔω. Частоты ω_min и ω_max в

за полезные обсуждения.

размерных единицах могут быть записаны в следу-

Эта работа была частично поддержана грантом

ющем виде

√

РНФ # 18-12-00169.

E_F

v_F E^2F l^2H

ω_min = -

+ 2,

(8)

ℏ

l_H ℏ²v²

1. W. Kohn, Phys. Rev. 123, 1242 (1961).

√

2. N. P. Armitage, E. J. Mele, and Ashvin Vishwanath,

E_F

v_F E^2F l^2H

ω_max =

- 2.

(9)

Rev. Mod. Phys. 90, 15001 (2018).

ℏ

l_H ℏ²v²

3. S. Borisenko, Q. Gibson, D. Evtushinsky, V. Zabolotnyy,

Для значений параметров vF = 1.5 · 108 см/с и

B. Buechner, and R. J. Cava, Phys. Rev. Lett. 113,

E_F = 0.25 эВ (n_b = 6·10¹⁷ см^-3), при величине внеш-

027603 (2014).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

3^∗