Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 5, с. 337 - 339

Рассеяние электронов между краевыми и двумерными состояниями

двумерного топологического изолятора и проводимость полосы

топологического изолятора в металлическом состоянии

М. М. Махмудиан^+∗1), М. В. Энтин^+∗1)

⁺Институт физики полупроводников им. А. В. Ржанова Сибирского отделениия РАН, 630090 Новосибирск, Россия

^∗Новосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск, Россия

Поступила в редакцию 27 декабря 2018 г.

После переработки 27 декабря 2018 г.

Принята к публикации 28 декабря 2018 г.

Найдено время жизни электронов на краевых состояниях двумерного топологического изолятора,

попадающих на фон разрешенной двумерной зоны. Показано, что при рассеянии на кулоновских при-

месях это время может значительно превышать время свободного пробега двумерных электронов. В

результате, проводимость полосы металлического двумерного топологического изолятора может, в ос-

новном, определяться краевыми состояниями.

DOI: 10.1134/S0370274X19050114

Введение. Краевые состояния топологического

имеет отрицательный знак щели и соответствует ТИ,

изолятора (ТИ) являются ярким проявлением его

тонкая имеет положительную энергетическую щель

топологических свойств. Эти состояния покрывают

и соответствует обычному изолятору:

всю запрещенную зону ТИ. Из-за топологической

(

)

защищенности в них оказывается запрещенным об-

Δ(y)σ₀

vσk

H =

(1)

ратное рассеяние носителей заряда. Как следствие,

vσk

-Δ(y)σ₀

кондактанс ТИ в изолирующем состоянии оказыва-

ется баллистическим и нелокальным. В работе [1] мы

где k = (k_x, k_y ) - оператор двумерного импульса, σ₀ -

показали, что в ряде моделей эти состояния облада-

единичная матрица 2×2, σ - матрицы Паули. В даль-

ют линейной дисперсией и простираются за преде-

нейшем, за исключением окончательных выражений,

лы запрещенной зоны. В настоящей статье изучается

мы считаем ℏ = 1.

примесное рассеяние носителей между краевыми со-

Далее мы будем рассматривать ступенчатую за-

стояниями на фоне разрешенной зоны и двумерными

висимость щели Δ(y) = Δ₁θ(-y) + Δ₂θ(y), Δ₁ > 0,

состояниями. Мы покажем, что хотя такие переходы

Δ₂ < 0, так что полуплоскость y < 0 является обыч-

топологически не запрещены, вероятность кулонов-

ным изолятором, а полуплоскость y > 0 - ТИ.

ского рассеяния оказывается малой, что приводит к

Гамильтониан (1) с постоянной щелью Δ_1,2 имеет

аномально большой длине пробега носителей на кра-

собственные функции

евых состояниях. В результате, проводимость име-

ет значительную добавку от таких краевых состоя-

Ψ^(1,2)k,σ = ζ^(1,2)k,σeikxx+ikyy,

(2)

ний, а кондактанс длинной полосы с уровнем Ферми

ζ^(1,2)k,+1 = (1, 0, 0, α^(1,2)k,+1),

(3)

в разрешенной двумерной зоне может даже опреде-

ляться не двумерными, а краевыми носителями.

ζ^(1,2)k,-1 = (0, 1, α^(1,2)k,-1, 0),

(4)

Краевые и двумерные состояния полуогра-

v(k_x + iσk^y1,2))

ниченного ТИ. Расчет краевых и двумерных со-

α^(1,2)k,σ =

(5)

E+Δ_1,2

стояний ТИ мы будем проводить на основе гамильто-

ниана Волкова-Панкратова [2], адаптированного для

с энергиями

двумерной системы [1]. Этот гамильтониан непосред-

√

ственно применим к двумерному изолятору на осно-

E=µ Δ^21,2 +v²k².

(6)

ве слоя HgTe переменной толщины. Толстая часть

Здесь спиновый индекс σ = ±1, индекс µ = ±1 со-

¹⁾e-mail: mahmood@isp.nsc.ru; entin@isp.nsc.ru

ответствует положительным и отрицательным энер-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

337

338

М. М. Махмудиан, М. В. Энтин

гиям; для действительных k энергии попадают, со-

При E > Δ₁ (Δ₁ > |Δ₂|) существуют делокализо-

ответственно, в зону проводимости и валентную зо-

ванные по y решения. Их можно нумеровать непре-

ну. Собственные функции гамильтониана (1), лока-

рывным волновым вектором k_y > 0:

лизованные вблизи y = 0, состоят из затухающих

eikxx

волн с k^y1,2) = -iλ_1,2, λ₁ > 0 и λ₂ < 0 для y < 0

Ψ_k,σ =

√

(8)

L_x

и y

> 0 соответственно. Используя (6), находим

{

λ^21,2 = (Δ^21,2 - E²)/v² + k^2x.

C^(1+)k,σζ^(1)k,σeikyy + C^(1-)k,σζ^(1)k,-σe-ikyy, при y < 0,

Из условия непрерывности Ψ^(1)k,σ|_y=0 = Ψ^(2)k,σ|_y=0,

C^(2+)k,σζ^(2)k,σeikyy + C^(2-)k,σζ^(2)k,-σe-ikyy, при y > 0.

найдем энергии краевых состояний E = ǫkx,σ ≡ σvkx,

Пусть со стороны обычного изолятора (ОИ) (y <

параметры λ_1,2 = Δ_1,2/v и локализованные краевые

< 0) имеются падающая и отраженная волны, а со

собственные функции

стороны ТИ (y > 0), соответственно, только прошед-

шая волна:

{

eikxx

^y, при y < 0,

Cχkx,σ

Ψ_k,σ =

√

(9)

ψkx,σ =

(7)

L_x

√L_x eikxx^×

^y, при y > 0,

{

(1+)

C_k

ζ^(1)k,σeikyy + C^(1-)k,σζ^(1)k,-σe-ikyy, при y < 0,

χkx,+1 = (1, 0, 0, 1),

,σ

(2+)

C_k

ζ^(2)k,σeikyy,

при y > 0.

χkx,-1 = (0, 1, -1, 0),

,σ

√

Из непрерывности волновой функции на границе

Δ₁|Δ₂|

C =

раздела следует, что

v (Δ₁ + |Δ₂|)

C^(1±)k,σ = b^(±)k,σC^(2)k,σ,

(10)

(2)

-α^(1)∗k,σ

k,σ

Здесь и далее L_x и L_y - размеры образца по x и y со-

b^(±)k,σ = ∓

(11)

ответственно. Электроны на локализованных состо-

α^(1)k,σ - α^(1)∗

k,σ

яниях имеют скорости σv. В области энергий |E| <

где α^(1,2)k,σ определяется с помощью (5) с E = µε_k ≡

< |Δ₂| эти локализованные решения являются един-

√

≡µ

Δ²² + v²k².

ственными. Однако, они существуют для всех энер-

гий (см. рис. 1).

Нормировка волновой функции (9) дает

[

(



)(



)

(2)

L_y



−)



C_k

b⁽

2 +

b⁽



α⁽



,σ

k,σ

(



)]-1/2



+ 1+

α⁽



(12)

k,σ

Время жизни на краевых состояниях дву-

мерного ТИ. При заданном спине электроны на

краевом состоянии движутся в одну сторону. Един-

ственный возможный механизм рассеяния между

краевыми состояниями - это обратное рассеяние. Но

из-за сохранения спина и оно запрещено в отсут-

ствие нарушения симметрии по отношению к обра-

щению времени. Однако, краевые состояния не изо-

лированы относительно двумерных состояний в при-

сутствие упругого рассеяния. Под действием потен-

циала примесей электроны могут переходить из кра-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Энергетическая диаграмма

евых состояний в двумерные и обратно. Рассмотрим

двумерного топологического изолятора с Δ1 = -Δ2 =

время жизни электрона τ на краевом состоянии. Ве-

= Δ. Краевые состояния перекрываются по энергии с

роятность рассеяния из краевого состояния в дву-

двумерными. Примесное рассеяние происходит между

мерное в борновском приближении имеет вид

краевыми и двумерными состояниями. При переходах

∫

2π∑

вблизи дна двумерной зоны импульс в краевом состоя-

Wkx,σ;µ,k′,σ =

|Vkx ,σ;µ,k′,σ|² δ(vkx - µεk′ ).

нии значительно меньше импульса в двумерном состо-

ℏ²

янии

(13)

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

Рассеяние электронов между краевыми и двумерными состояниями двумерного топологического изолятора. . . 339

Здесь V (q) = 2πe2/κq - двумерный Фурье-образ

модействие. Дополнительным фактором подавления

потенциала неэкранированной заряженной примеси,

∼ǫ_F/Δ выступает малость волновой функции дву-

e - заряд электрона, κ - диэлектрическая проницае-

мерных электронов вблизи перехода y = 0, обуслов-

мость среды (экранировкой мы пренебрегаем). Сум-

ленная тем, что для низкоэнергетических двумерных

мирование идет по номерам примесей i.

электронов (при E → Δ) с ненулевым k_x скачок щели

Матричный элемент примесного потенциала име-

выступает в роли бесконечного барьера (если k_x = 0,

ет вид

то барьер, наоборот, безотражательный, но это спра-

∫

ведливо только в одной точке k_x = 0) .

Vkx,σ;µ,k′,σ =

ψ^∗k

V (r - r_i)Ψ_k′_,σdr,

(14)

При ǫ_F = 1 мэВ, Δ = 7.5 мэВ, соответствующей

x,σ

толщинам слоев 5.6 и 7 нм [3], этот параметр ра-

∫

вен 0.0067. Как следствие, краевые электроны могут

где V (r) =

dqV (q)e^iqr/(2π)². С учетом (7) и (9)

иметь значительные длины пробега. Собственно, это

и определяет их потенциально большой вклад в про-

Vkx,σ;µ,k′,σ = CC⁽²⁾ e_k,σ

δ (q_x + k^′x - k_x) ×

κqL_x

водимость среды, несмотря на малую занимаемую

(

)

(

)

[

(1)

(-)

ими площадь.

b⁽⁺⁾

1+α

1+α^(1)∗

k,σ

Кондактанс полосы ТИ. Высокая величина

e-iqyyⁱ

(

) +

(

) -

(15)

q_y + k^′y

q_y - k^′

одномерной проводимости по краевому состоянию

Δ¹v⁺ⁱ

]

(2)

может привести к тому, что даже в металлическом

1+α

k,σ

(

)

состоянии кондактанс образца будет определяться не

q_y + k^′

Δ²v⁺ⁱ

его внутренностью, а краем. Рассмотрим для этого

полосу ТИ с размерами L_x ≫ L_y ≫ v/Δ c вырож-

Мы будем проводить вычисление матричного эле-

денным электронным газом. В такой полосе кондак-

мента, считая, что Δ₁ = -Δ₂ = Δ, а также, что

танс внутренней области можно оценить как Σ₂ =

энергия электрона находится вблизи дна двумерной

(e²/2πℏ)k_F l₂L_y/L_x. В то же время кондактанс крае-

зоны, E - Δ ≡ ǫ ≪ Δ. Соответствующий передава-

вого состояния есть Σ₁ = 4(e²/2πℏ)l₁/L_x. Сравнение

емый импульс q ≫ k. Это дает возможность силь-

двух величин показывает, что Σ₁/Σ₂ = 4l₁/(l₂k_F L_y),

но упростить ответ. Тогда с учетом (15) вероятность

что дает Σ₁ > Σ₂ при L_yk_F < 4l₁/l₂.

рассеяния примет вид

Обсуждение. Результаты были получены в мо-

)₄

3πn_i

( ev

дели Волкова-Панкратова [2]. Это обстоятельство

Wkx,σ;µ,k′,σ =

k^′2yδ(vk_x - µε_k′ ),

(16)

κ²

2Δ

несущественно, так как причиной малости вероят-

ности рассеяния является большой характерный им-

где n_i - концентрация примесей. Интегрируя по им-

пульс краевых состояний, по сравнению с двумерны-

пульсу k^′, находим обратное время жизни электрона

ми электронами - параметр, который нечувствите-

на краевом состоянии

лен к модели. Отметим, что в системе с толщиной,

близкой к критической 6.3 нм, развитые флуктуации

3π²n_ie⁴ǫ

(17)

толщины покрывают весь образец, создавая разви-

τ_ed

8κ²Δ²

тую сеть внутренних краевых состояний. Это может

Обратное транспортное время рассеяния дву-

сделать краевой вклад определяющим.

мерных электронов на заряженных примесях равно

Работа выполнена при финансовой поддержке

1/τ₂ = π²e⁴n_i/κ²ǫ_F , где ǫ_F - энергия Ферми, отсчи-

Российского фонда фундаментальных исследований

танная от Δ. По сравнению с 1/τ₂ полученная ве-

(грант # 17-02-00837).

роятность рассеяния краевых электронов в двумер-

ные состояния содержит малый параметр τ₂/τ_ed =

= (3/8)(ǫ_F /Δ)². Частично подавление рассеяния из

1. M. V. Entin, M. M. Mahmoodian, and L. I. Magarill, EPL

краевых состояний в двумерные по сравнению с ку-

118, 57002 (2017).

лоновским рассеянием двумерных электронов про-

2. B. A. Volkov and O. A. Pankratov, JETP Lett. 42, 178

исходит из-за большого поперечного импульса кра-

(1985).

евых состояний (и соответствующей поперечной ча-

3. X.-L. Qi and Sh.-Ch. Zhang, Rev. Mod. Phys. 83, 1057

сти энергии), что уменьшает кулоновское взаи-

(2011).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

4^∗