Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 5, с. 347 - 352

Переход “фотонный кристалл-метаматериал с электрическим

откликом” в диэлектрических структурах

Е. Э. Маслова⁺, М. Ф. Лимонов^+∗, М. В. Рыбин^+∗1)

⁺Университет информационных технологий, механики и оптики, Физико-технический факультет, 197101 С.-Петербург, Россия

^∗Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе РАН, 194021 С.-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 11 декабря 2018 г.

После переработки 20 декабря 2018 г.

Принята к публикации 25 декабря 2018 г.

Теоретически продемонстрирована возможность создания диэлектрических структур, обладающих

свойствами метаматериала благодаря электрическим резонансам Ми. Структуры состоят из однород-

ных диэлектрических цилиндров, расположенных в узлах простой треугольной или квадратной решетки.

Построена фазовая диаграмма, определяющая диапазон параметров (нормированный радиус цилиндра,

диэлектрическая проницаемость), при которых метаматериал имеет близкое к нулю значение эффек-

тивной диэлектрической проницаемости ε_eff. Моделирование прохождения гауссова пучка через образец

метаматериала в форме призмы показало, что околонулевое значение ε_eff не чувствительно к ориентации

кристаллических осей.

DOI: 10.1134/S0370274X19050138

К настоящему времени фотонные кристаллы

ментов, ММ с диэлектрическими резонаторами об-

(ФК) [1, 2] и метаматериалы (ММ) [3, 4] уже стали

ладают низкими материальными потерями даже в

классическими объектами для изучения электро-

высокочастотной области спектра от терагерцового

динамики фотонных структур. Основные эффекты

до оптического диапазонов. В настоящее время, бла-

в ФК, в первую очередь, возникновение полосы

годаря исследованию и использованию элементов с

запрещенных частот, определяются брэгговским

резонансным рассеянием Ми, сформировалось целое

рассеянием, связанным с периодичностью струк-

научное направление - диэлектрическая мета-оптика

туры, при этом рассеяние света на элементарной

[10, 11].

ячейке, как правило, не обладает резонансным

В работе [12] изучались диэлектрические струк-

откликом. Напротив, эффекты в ММ связаны с

туры, состоящие из цилиндров радиуса r и диэлек-

резонансами на каждом структурном элементе, что

трической проницаемости ε, которые расположены в

позволяет описывать ММ при помощи материаль-

узлах квадратной решетки. Было показано, что та-

ных параметров диэлектрической проницаемости

кая структура с фиксированным геометрическим па-

ε и магнитной восприимчивости µ, как и обычные

раметром r/a (a - постоянная решетки), обладающая

оптические материалы. Однако в ММ ε и µ могут

характерными свойствами ФК при малых значени-

принимать произвольные значения, что открывает

ях ε, с ростом ε может приобрести свойства ММ с

широкие возможности для создания новых фотон-

магнитным откликом для TE-поляризованного све-

ных устройств таких, как плоские линзы Веселаго

та (магнитное поле осциллирует вдоль оси цилин-

[5], маскирующие покрытия [6, 7], гиперлинзы с

дров). Была построена фазовая диаграмма “фотон-

субволновым разрешением [8].

ный кристалл-метаматериал” в осях ε и r/a, и со-

Важным этапом в создании и исследовании ММ

ответствующая трансформация свойств была назва-

стали работы по исследованию объектов с высоким

на фотонным фазовым переходом [12]. Вопрос о воз-

значением диэлектрической проницаемости. Объек-

можности создания ММ из структурных элементов,

ты, форма которых позволяет наблюдать резонанс-

обладающих электрическим дипольным откликом в

ное рассеяние Ми, могут быть использованы в каче-

TM-поляризованном свете (электрическое поле ос-

стве структурных элементов ММ [9]. В отличие от

циллирует вдоль оси цилиндров), исследовался в ра-

ММ, созданных из металлических резонансных эле-

боте [13]. Авторы использовали приближение невзаи-

модействующих структурных элементов для опреде-

¹⁾e-mail: m.rybin@mail.ioffe.ru

ления эффективных параметров, которое было пред-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

347

348

Е. Э. Маслова, М. Ф. Лимонов, М. В. Рыбин

ложено ранее в работе для изучения свойств магнит-

резонансов Ми и Брэгга, брэгговская запрещенная

ных ММ [9]. Однако применимость такого приближе-

зона резонансно уширяется [19], тем самым во мно-

ния для электрических ММ в статье [13] не обсуж-

гом нивелируя уменьшение частоты резонанса Ми

далось. В то же время, именно электрические ММ

TM₀₁. Поскольку эффект резонансного уширения за-

могут наиболее эффективно использоваться для уси-

прещенной зоны сильнее в TM поляризации, то су-

ления взаимодействия света с веществом, поскольку

ществование фазы ММ заранее не очевидно [12].

в большинстве случаев такое взаимодействие имеет

Мы рассчитали зонные диаграммы (зависимость

электродипольную природу.

частоты от волнового вектора) для ТМ поляриза-

Целью данной работы являлся поиск и теоретиче-

ции и, обработав их, построили карту запрещенных

ское исследование диэлектрических материалов, по-

зон для направления ΓM (рис.1a) в широком диа-

строенных из структурных элементов с электриче-

ским дипольным откликом. Используя метод, пред-

ложенный в работе [12], мы сумели определить об-

ласть параметров ε и r/a, в которой диэлектриче-

ская структура проявляет свойства ММ. В результа-

те оказалось, что использованные в работе [13] па-

раметры соответствуют фазе фотонного кристалла.

В данной работе свойства ММ были продемонстри-

рованы при помощи возбуждения моды с околонуле-

вым значением эффективной диэлектричсекой про-

ницаемости ε_eff (вопросам применениея таких мод

посвящен обзор [14]) в структуре.

Следуя работе [15], мы рассматриваем оптималь-

ную для диэлектрических ММ треугольную решетку

цилиндров, поскольку данный тип решетки облада-

ет наибольшей плотностью узлов и, соответственно,

Рис. 1. (Цветной онлайн) (a) - Карта запрещенных зон,

наибольшей зоной Бриллюэна (размер зоны Брил-

рассчитанная для переменного параметра ε = [1...100]

люэна определяет минимальную частоту брэгговско-

и постоянного параметра r/a = 0.07 в ТМ поляриза-

го рассеяния). На структуру падает электромагнит-

ции. Закрашенные области соответствуют запрещен-

ная волна в направлении, перпендикулярном оси ци-

ным зонам в фотонной структуре, черным - макси-

линдров, которые поддерживают электрические ре-

мум резонансов Ми на структурных элементах (оди-

зонансы Ми при TM поляризации электромагнит-

ночных цилиндрах). Черный кружок - точка отщепле-

ного поля [16]. Рассмотрим поведение самого низ-

ния запрещенной зоны Ми от брэгговской стоп-зоны.

кочастотного электрического дипольного резонанса

Вертикальный пунктир - граница между ФК и ММ.

TM₀₁. Условие перехода структуры в режим ММ

(b) - Спектры рассеяния Ми на одиночном цилиндре:

связанно с отщеплением запрещенной зоны, связан-

сплошная черная линия соответствует ТМ поляриза-

ной с резонансом Ми TM₀₁, от самой низкочастотной

ции, пунктир - ТЕ поляризация

запрещенной зоны, возникающей благодаря брэггов-

скому рассеянию волн на периодической структуре.

пазоне диэлектрической проницаемости ε = [1...100]

При этом в зонной структуре в низкочастотной об-

и с постоянным коэффициентом заполнения струк-

ласти появляется поляритонная особенность [15, 17].

туры r/a = 0.07. Как будет показано ниже, значе-

Отметим, что на частотах, соответствующих рас-

ние r/a = 0.07 соответствует середине области су-

пределенным по структуре брэгговским резонансам,

ществования фазы электрического ММ. Для интер-

волны распространяются в условиях сильной про-

претации запрещенных зон, на карту также нанесе-

странственной дисперсии [18], и это обстоятельство

на расчетная зависимость положения резонансов Ми.

лишает смысла введение эффективных материаль-

Отметим, что при увеличении диэлектрической про-

ных параметров для фотонной структуры. Возмож-

ницаемости наблюдается уменьшение частоты резо-

ность понижения частоты резонанса Ми TM ниже

нансов Ми. На карте (рис. 1) видны запрещенные

всех брэгговских стоп-зон обусловлена существова-

зоны, следующие за резонансами Ми, а также ре-

нием минимальной частоты брэгговского резонанса

зонансно уширенная брэгговская стоп-зона в интер-

√

a/λ = 1/

3, где λ - длина волны в вакууме. Од-

вале 0.57 ≲ a/λ ≲ 0.75, которую пересекают резо-

нако следует иметь в виду, что при близости частот

нансы Ми, “вырезая” разрешенные зоны. Значение

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

Переход “фотонный кристалл-метаматериал с электрическим откликом”...

349

Рис. 2. (Цветной онлайн) Зонные диаграммы для треугольной решетки при коэффициенте заполнения структуры

r/a = 0.07: (a) - ФК (ε = 8); (b) - промежуточное состояние (ε = 26); (c) - ММ (ε = 40). Жирной линией обозна-

чена вторая дисперсионная ветвь. Серым прямоугольником отмечена область зонной диаграммы, для которой были

рассчитаны изочастотные контуры. (d)-(f) Изочастотные контуры, соответствующие зонным диаграммам (a)-(c).

Незакрашенная область - зона Бриллюэна треугольной решетки. Жирной линией выделены контуры, соотсветсвую-

щие частотам: (a), (d) - a/λ = 0.580; (b), (e) - a/λ = 0.571; (c), (f) - a/λ = 0.515; пунктирные линии на панели (e)

a/λ = 0.569. На вставках - структура в прямом пространстве (a) и зона Бриллюэна (b)

ε = 26, при котором запрещенная зона Ми TM₀₁ от-

нансов Ми TE_nk. Видно, что спектры рассеяния в

щепляется от брэгговской стоп-зоны отмечена чер-

ТМ поляризации ниже по частоте и шире, чем в ТЕ

ным кружком на рис. 1a. Однако анализ зонных диа-

поляризации, что предполагает более сильное взаи-

грамм (рис. 2), показывает, что поляритонная осо-

модействие соседних цилиндров в ТМ поляризации.

бенность при ε = 26 еще не сформировалась, и струк-

Широкая дипольная мода TM₀₁ определяет широ-

тура не перешла в фазу ММ: дисперсионная ветвь

кую запрещенную зону Ми в электрических ММ. Ин-

второй разрешенной зоны имеет локальный мини-

тересно отметить, что частота электрического квад-

мум. Переход в режим ММ происходит при (r/a =

рупольного резонанса Ми TM₁₁ при ε = 100 факти-

= 0.07, ε = 28), граница фаз ФК и ММ отмечена

чески совпадает с частотой магнитного дипольного

вертикальным пунктиром на рис.1a.

резонанса Ми TE₀₁, также близки по положению и

На рисунке 1b представлены спектры электриче-

ширине моды TM₂₁ и TE₁₁.

ских резонансов Ми TM_nk для одиночного цилиндра

Поскольку граница между режимами ФК и ММ

с параметрами ε = 100 и r/a = 0.07. Для сравне-

связана не только с состояниями на границе зоны

ния мы также наложили спектры магнитных резо-

Бриллюэна, но и с особенностями внутри зоны (ло-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

350

Е. Э. Маслова, М. Ф. Лимонов, М. В. Рыбин

кальный минимум между 26 < ε < 28), мы так-

полнения структуры с треугольной решеткой нахо-

же проанализировали изочастотные контуры. Расчет

дится в узком диапазоне r/a = [0.03...0.12], а мини-

производился для коэффициента заполнения r/a =

мум значения диэлектрической проницаемости ци-

= 0.07 и трех значений диэлектрической проницае-

линдров ε равен 22. Отметим, что магнитные ММ

мости ε: 8, 26 и 40, что соответствует трем состоя-

существуют фактически во всем диапазоне геомет-

ниями структуры: ФК, промежуточное состояние и

рических параметров структуры r/a = [0.0...0.5], ко-

ММ. Промежуточное состояние между двумя фаза-

торый ограничен условием перекрытия соседних ци-

ми соответствует условию отщепления запрещенной

линдров r/a > 0.5 [12]. Сравнение диаграмм на рис. 3

зоны Ми. На рис.2 представлены зонные диаграммы

показывает, что фаза ММ для треугольной решетки

и изочастотные контуры для частот, соответствую-

щих второй разрешенной зоне, особенности которой

описывают переход к режиму ММ.

На рисунке 2d изображены изочастотные кон-

туры для фотонного кристалла (ε = 8). На ниж-

ней границе разрешенной зоны при a/λ = 0.580 су-

ществуют состояния в направлениях ΓМ, отмечен-

ные жирными замкнутыми линиями овальной фор-

мы. По мере увеличения частоты появляются состо-

яния для всех направлений волнового вектора. Од-

нако длина волнового вектора имеет сильную зави-

симость от направления, т.е. свет распространяется

в условиях сильной пространственной дисперсии. В

промежуточном состоянии (рис. 2e; ε = 26) на ниж-

ней границе разрешенной зоны наблюдаются конту-

ры, имеющие форму, близкую к окружности, т.е. мо-

ды не зависят от направления волнового вектора,

однако необходимо отметить существование второ-

го контура для одного и того же значения частоты

a/λ, которое зависит от направления волнового век-

Рис. 3. (Цветной онлайн) Фазовая диаграмма “фотон-

тора. Наличие двух состояний для каждого направ-

ный кристалл-метаматериал” для ТМ поляризации.

ления не позволяет описывать структуру при помо-

Большими кружками обозначена граница фазы ММ

щи материальных параметров ε и µ, т.е. структура

для треугольной решетки; маленькие кружки - для

еще не перешла в фазу ММ. В фазе ММ (рис.2f;

квадратной решетки

ε = 40), как и в промежуточном состоянии, наблю-

даются контуры, по форме близкие к окружности,

имеет больший диапазон по диэлектрической прони-

однако каждому направлению соответствует толь-

цаемости. Однако для квадратной решетки диапазон

ко один контур. Отметим, что по мере увеличения

коэффициента заполнения незначительно шире, хотя

частоты (a/λ > 0.535) появляются эффекты про-

фаза ММ появляется при большем значении диэлек-

странственной дисперсии. Тем не менее, существо-

трической проницаемости ε > 28.

вание диапазона частот вблизи резонансов, в кото-

Для практических применений оказываются важ-

ром распространение света происходит в условиях

ны не столько зонные диаграммы, сколько реальные

слабой пространственной дисперсии, является каче-

распределения полей в структуре. Моды с отрица-

ственным признаком, который отсутствует в струк-

тельным значением ε_eff < 0 соответствуют быстро за-

турах с ε < 28 при r/a = 0.07.

тухающим волнам, которые мало отличаются от эва-

Условия появления у структуры свойств ММ

несцентных мод в брэгговской запрещенной зоне. Од-

могут быть графически представлены на фазовой

нако рассмотрение распространяющихся волн вбли-

диаграмме в осях (ε-r/a). На рисунке 3 показа-

зи запрещенной зоны позволяет выявить существен-

ны фазовые диаграммы фотонной структуры с тре-

ные отличия между ФК и ММ. Согласно принципу

угольной и квадратной решетками. Мы исследова-

причинности, определяющему нормальную диспер-

ли структуры в диапазонах параметров ε [1...100] и

сию диэлектрической проницаемости в оптических

r/a [0.0...0.5]. Оказалось, что для фазы электриче-

материалах, разрешенные состояния, граничащие с

ского ММ возможные значения коэффициента за-

высокочастотным краем запрещенной зоны ММ, со-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

Переход “фотонный кристалл-метаматериал с электрическим откликом”...

351

ответствуют близким к нулю значениям ε_eff и боль-

жиме околонулевых параметров стремится к беско-

шим длинам волн [14]. Таким образом, в фазе ММ

нечности.

должны наблюдаться состояния с однородным рас-

Таким образом, ММ с резонансной зависимостью

пределением электрического поля по структуре (так

ε_eff можно создать из диэлектрических цилиндров,

как ε_eff ≈ 0). Причем эти моды не должны зависеть

расположенных в узлах треугольной либо квадрат-

от ориентации кристаллических осей. Мы рассчита-

ной решетки. При этом фотонная структура приоб-

ли распределение полей на частоте околонулевой ε_eff

ретает свойства ММ, когда в зонной структуре по-

для треугольных призм, состоящих из диэлектри-

является поляритонная особенность, связанная с ре-

ческих цилиндров. Было рассчитано распределение

зонансами Ми на отдельных структурных элемен-

интенсивности электрического поля при падении на

тах. В работе были построены фазовые диаграммы

призмы гауссова пучка (ширина перетяжки 10a) на

в осях (r/a-ε), определяющие область существова-

частоте нижней границы разрешенной зоны. В одной

ния ММ-режима фотонных структур, имеющих тре-

призме пучок распространяется вдоль направления

угольную или квадратную кристаллическую решет-

ΓМ, в другой - вдоль ΓK. Обе структуры имеют ко-

ки. Треугольная решетка позволяет получить фа-

эффициент заполнения r/a = 0.07, диэлектрическая

зу ММ при наименьшем значении диэлектрической

проницаемость цилиндров равнялась 8 (ФК) либо 40

проницаемости цилиндров ε

= 22 (соответствует

(ММ).

ряду материалов в инфракрасном диапазоне), по-

В режиме фотонного кристалла (рис. 4a, c) на

скольку зона Бриллюэна треугольной решетки име-

нижней границе разрешенной зоны при a/λ = 0.575

ет наибольший размер. Анализ изочастотных конту-

ров показал, что отщепление запрещенной зоны Ми

от резонансно уширенной брэгговской стоп-зоны (на

карте запрещенных зон) не является критерием пе-

рехода фотонной структуры в режим ММ, посколь-

ку это значение соответствует режиму сильной про-

странственной дисперсии с двумя волнами для каж-

дого направления волнового вектора. Промежуточ-

ный режим соответствует малому интервалу Δε ≈ 2,

при дальнейшем повышении ε наблюдается режим

ММ, в том числе с околонулевым значением диэлек-

трической проницаемости ε_eff.

Авторы благодарят Ю.С. Кившаря, П.А. Белова

и А.А. Каплянского за обсуждение результатов ра-

боты.

Рис. 4. (Цветной онлайн) Распределение электрическо-

Работа выполнена при финансовой поддерж-

го поля в призме, состоящей из диэлектрических ци-

ке Министерства Образования и Науки (задание

линдров с r/a = 0.07, в двух состояниях: фотонный

3.1500.2017/4.6) и Российского Фонда Фундамен-

кристалл [(a), (c), ε = 8, a/λ = 0.575] и метаматери-

тальных Исследований (грант 18-02-00427).

ал [(b), (d), ε = 40, a/λ = 0.505] и двух направлений

распространения света ΓM и ΓK

1. J. D. Joannopoulos, S. G. Johnson, J. N. Winn, and

в направлении ΓМ пучок сохраняет свою ширину, и

R. D. Meade, Photonic Crystals: Molding the Flow of

поле имеет типичный для ФК “полосатый” вид (по-

Light, Princeton Univ. Press, Princeton (2008), 304 p.

ле в соседних ячейках осциллирует в противофазе).

2. K. Sakoda, Optical Properties of Photonic Crystals,

Для направления ΓК частота попадает в стоп-зону,

Springer Science & Business Media, Berlin (2004), v.80.

и наблюдается экспоненциальное затухание светово-

го пучка. Таким образом, распределение полей су-

3. А. К. Сарычев, В. М. Шалаев, Электродинамика ме-

таматериалов, Научный мир, М. (2011).

щественно зависит от ориентации осей ФК. В режи-

ме ММ (рис. 4b, d) распределение поля однородно по

4. N.

Enghata and R. Ziolkowski (editors),

всей структуре и не зависит от ориентации кристал-

Electromagnetic

Metamaterials:

Physics

and

Engineering Exploration, Wiley-IEEE Press, N.Y.

лических осей при частоте a/λ = 0.505 околонуле-

(2006).

вой ε_eff. Наблюдается однородная мода (поле в со-

седних ячейках осциллирует в фазе), заполняющая

5. В. Г. Веселаго, УФН 92, 517 (1967).

весь объем структуры, поскольку длина волны в ре-

6. U. Leonhardt, Science 312, 1777 (2006).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019