Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 6, с. 355 - 359

Фотоионизация эндоэдралов с учетом поляризации фуллеренов

М. Я. Амусья^+∗1), Л. В. Чернышева^∗

⁺Racah Institute of Physics, the Hebrew University, 91904 Jerusalem, Israel

^∗Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе, 194021 С.-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 9 января 2019 г.

После переработки 9 января 2019 г.

Принята к публикации 14 января 2019 г.

Рассчитано сечение фотоионизации эндоэдральных атомов A@CN. Учтено влияние поляризуемости

электронной оболочки фуллерена CN, которая меняет входящий поток фотонов и одноэлектронные вол-

новые функции атома А, помещенного внутрь CN. В расчетах используются упрощенные формулы,

описывающие статическую и динамическую поляризуемости. Соответствующим образом модифициро-

ванные одноэлектронные волновые функции стали отправной точкой при учете многоэлектронных кор-

реляций в рамках приближения случайных фаз с обменом. В сходном приближении учтена поляризация

атомов и фуллеренов, которые действуют на фотоэлектрон, путем замены их статическим поляризаци-

онным потенциалом. Поток фотонов поляризует фуллерен, и этот эффект учитывается введением рас-

считываемого в данном Письме поляризационного фактора. В качестве конкретных объектов, рассмот-

рены атомы Ar и Xe внутри фуллерена C60. Учет эффекта поляризации заметно увеличивает сечение

фотоионизации, в основном вблизи порога.

DOI: 10.1134/S0370274X19060018

1. В этом Письме мы показываем, что эффект

зационный потенциал как C_N, так и A, и выяснить

поляризуемости электронной оболочки C_N фуллере-

их влияние на сечение фотоионизации. В настоящий

нов сильно влияет на сечение фотоионизации атома

момент мы не можем сделать еще один, но довольно

A в оболочке не только за счет модификации входя-

большой шаг вперед, и учесть роль взаимодействия

щего пучка фотонов, который воздействует на атом

между электронами, принадлежащими A и C_N2).

A, находящийся внутри C_N. Модификация фотонно-

2. Мы намерены сначала рассчитать сечения фо-

го пучка была качественно понята, и количественно

тоионизации A@C_N в рамках одноэлектронного при-

описана сравнительно давно (см. [1] и ссылки в ней).

ближения Хартри-Фока (ХФ), а затем добавить ме-

Этот эффект определяется большой (по сравнению с

жэлектронные корреляции в рамках приближения

атомными величинами) динамической дипольной по-

случайной фазы с обменом (ПСФО). Необходимые

ляризуемостью α_d(ω) фуллерена C_N, где ω - энергия

подробности об уравнении ХФ и ПСФО и их реше-

фотона.

ниях можно найти в [4]. Здесь мы приведем только

Однако статическая поляризуемость фуллерена

важные определения и основные положения вычис-

C_N также велика и способна сильно модифицировать

лительных процедур.

волновые функции электронов атома A внутри C_N и

Эндоэдрал A@C_N мы рассматриваем как атом A,

самого C_N, что приводит к заметным новым особен-

расположенный внутри поляризуемой оболочки C_N,

ностям в сечении фотоионизации A@C_N. Выяснение

деталями электронной структуры которой пренебре-

роли этого эффекта является основной целью этого

гаем. Мы представляем C_N статическим потенциа-

Письма.

лом с минимальным количеством подбираемых па-

Проведенные здесь исследования стали возмож-

раметров. Очень часто он рассматривается как пря-

ны благодаря недавнему значительному успеху в ис-

моугольная яма ширины Δ, глубины -U₀ и внутрен-

следованиях рассеяния электронов на C_N и A@C_N

ними (внешними) радиусами R ∓ Δ/2 [4], где R -

[2, 3]. В этих работах представлены относительно

радиус C_N (см., например, [5]).

простые методы, позволяющие оценить роль поляри-

зуемости C_N в сечении упругого рассеяния электрона

на A@C_N. Идея состоит в том, чтобы учесть поляри-

²⁾В Письме используется атомная система единиц m = e =

= ℏ = 1. Здесь m - масса электрона, е - его заряд и ℏ - посто-

¹⁾e-mail: amusia@vms.huji.ac.il

янная Планка.

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

355

5^∗

356

М. Я. Амусья, Л. В. Чернышева

Однако такой потенциал приводит к нереалистич-

Поскольку мы намерены учесть W_C(r) в расчете

ной форме распределения заряда [6]. Вот почему в

фотоионизации эндоэдрала, следует также учесть

этом Письме мы выбираем другой потенциал фулле-

возможный вклад поляризационного потенциала

рена, так называемый потенциал Лоренца, который

W_A(r) атома A. Это может быть достигнуто путем

предлагается в [6]:

замены α^Cd и b_C в формуле (2) соответствующими

атомными значениями - α^Ad и b_A, что приводит к

следующему выражению для W_A(r):

U_C(r) = -U₀R

(1)

(r - R)² + d²

α^Ad

W_A(r) = -

(4)

Здесь d - ширина потенциала.

(r² + b^2A)²

Кроме потенциала U(r), электроны атома А нахо-

дятся под действием W - поляризационного потенци-

Это выражение не нужно подправлять на ма-

ала C_N. В общем, этот потенциал нелокальный, зави-

лых расстояниях (сравните (2) и (3)), поскольку там

сит от энергии рассеяния E и комплексный, т.е. име-

атомный потенциал ХФ намного больше поляриза-

ет наряду с вещественной, также и мнимую часть.

ционного, в отличие от случая с фуллереном.

Вывести выражение для такого потенциала из пер-

В описании процесса рассеяния электронов на

вых принципов очень сложно, если вообще возмож-

атоме гораздо более точным, чем использование

но. Однако гораздо проще использовать полуэмпи-

уравнения (4) является подход, основанный на тео-

рический потенциал поляризации W_C.

рии возмущения в рамках общей теории многих

Упрощенный подход, который часто применяет-

тел [4]. Однако этот подход никогда (за исключе-

ся в исследованиях электрон-атомных столкновений

нием буквально нескольких работ [7, 8]) не исполь-

(см., например, [4]), предлагает следующую форму-

зовался в исследованиях фотоионизации атомов, хо-

лу:

тя он позволяет на равных основаниях учитывать не

α^Cd

только поляризационное действие атомных электро-

W_C(r) = -

(2)

(r² + b^2C )²

нов на вылетающие, но также модификацию фотон-

электронного взаимодействия путем учета возбужде-

Здесь α^Cd - статическая дипольная поляризуемость

ния электронов остова. Редкое использование этого

C_N, и b_C - параметр обрезания, b_C ≈ R.

подхода объясняется в его сложностью даже для ато-

Эта формула была применена и к описанию рас-

мов. Сделать то же самое для эндоэдралов еще слож-

сеяния электронов на эндоэдралах [2,3]. Она доволь-

нее. Вот почему мы решили в исследованиях фото-

но хорошо воспроизводит асимптотическое поведе-

ионизации эндоэдралов рассматривать поляризацию

ние W (r) ∼ -1/r⁴ при r → ∞. Важный вклад в

фуллерена C_N и атома A на равных основаниях, ис-

фазы рассеяния вносят большие расстояния. Вот по-

пользуя (3) и (4).

чему для рассеяния электронов на фуллеренах несу-

В результате предложенных приближений урав-

щественно, что при r ≤ b_C W_C(r) заметно возрастает

нение ХФ для многоэлектронных атомов приобрета-

по абсолютной величине, от α^Cd /4b^4C при r = b_C до

ет следующий вид:

α^Cd/b^4C при r = 0.

[

]

Но W_C не может увеличиваться в пустом про-

+ U_C(r) + W_C(r) + W_A(r) φ_j(x) +

странстве внутри фуллерена. При фотоионизации

эндоэдрала важна именно область внутри фуллере-

∫

∑

на, поскольку справедливы следующие неравенства

dx^′

φ^∗k(x^′)

[φ_k(x^′)φ_j (x) - φ_j (x^′)φ_k(x)] =

ra < r < R, где ra - радиус атома A. Для достаточ-

|r - r^′|

k=1

но больших фуллеренов, таких, как C₆₀, с N = 60

= E_jφ_j(x).

(5)

и более, и для большинства атомов в их основных

состояниях, справедливы более сильные неравенства

Здесь Z - заряд ядра, φ_j (x) - одноэлектронная вол-

ra ≪ r ≪ R. Поэтому в исследованиях фотоиониза-

новая функция, x ≡ r, σ - комбинация электронной

ции мы рекомендуем вместо (2) использовать следу-

координатной и спиновой переменных, E_j - одно-

ющую формулу:

электронная или так называемая ХФ-энергия; сум-

мирование производится по всем занятым электрон-



α^Cd



ным состояниям N_A атома А.

W_C(s)(r)

r>bC

(r² + b^2C )²

Сечение фотоионизации A@C_N в приближении

(3)



α^C

ХФ определяется квадратом модуля дипольных мат-



W_C(s)(r)

r<bC

4b⁴

ричных элементов в форме “длины” или “скорости”.

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

Фотоионизация эндоэдралов с учетом поляризации фуллеренов

357

Они рассчитываются между волновыми функциями

туды (8) и единственного зависящего от ω фактора

ХФ электрона (5), который переходит из начально-

G^C [1]:

го состояния i в конечное состояние непрерывного

[

]

спектра k вследствие поглощения фотона [4]:

α^Cd(ω)

(ω) = G^C (ω)D_ik(ω) ≡

D_ik(ω).

R³

∫

(9)

d^rik = ω φ^∗i(x)(εr)φ_k(x)dx,

Здесь α^Cd (ω) - динамическая дипольная поляризуе-

∫

(6)

мость C_N.

d^∇ik = φ^∗i(x)(ε∇)φ_k(x)dx, ω ≡ E + I_i,

3. Расчеты проводились с использованием про-

грамм системы АТОМ-М [9]. В качестве конкрет-

ных объектов исследования мы выбрали эндоэдралы

Здесь E - энергия состояний k и I_i - потенциал иони-

Ar@C₆₀ и Xe@C₆₀. На рисунке 1 представлены по-

зации подоболочки i.

тенциалы U_C(r), W_C(r), W_C(s)(r) и W_A(r). На рисун-

Сечение фотоионизации σ^r,∇i(ω) одноэлектронно-

ках 2-5 приведены результаты наших расчетов для

го перехода определяется следующим соотношением:

Ar@C₆₀ и Xe@C₆₀ соответственно. Статическая

∫

α^Cd и динамическая α^Cd(ω) (α^Cd ≡ α^Cd(0)) дипольные

4π

σ^r,∇i(ω) =

|d^r,∇ik|²δ(ω - I_i - E)dE.

(7)

поляризуемости C₆₀ были взяты из предыдущих рас-

cω

четов [4] так же, как статическая поляризуемость Ar

и Xe. А именно, мы использовали следующие зна-

Соотношения, аналогичные (6) и (7), описыва-

чения: α^Cd = 909, α^Ard = 10.7 и α^Xed = 28. Имея це-

ют сечение фотоионизации в ПСФО, если заменить

лью качественное понимание эффектов, мы положи-

ХФ матричные элементы d^r,∇if решениями уравнений

ли b_C = R = 6.72, b_A = r_A, r_Ar = 1.98 для Ar и

ПСФО:

rXe = 2.52 для Xe. Ширина С60 Δ = 2.91. Мы вы-





брали параметры U₀ (в предположении d = Δ/2) в

∑

〈i|D(ω)|k〉 = 〈i|d^r,∇|k〉 + 

×

(1) таким образом, чтобы электронное сродство C^-60

v≤F, v^′>F v>F, v^′≤F

совпадало с его экспериментальным значением [6].

〈v^′|D(ω)|v〉〈vi|V |v^′k - kv^′〉

(8)

[ω - E_v′ + E_v ± iδ]

Здесь V обозначает кулоновское межэлектронное

взаимодействие, суммирование по v ≤ F включает

занятые одноэлектронные состояния, а суммирова-

ние по v > F включает возбужденные дискретные

уровни и интегрирование по непрерывным энергиям

возбуждения атома A в A@C_N. В знаменателе знак

± означает + для v^′ вакантных и - для v^′ занятых

одноэлектронных состояний, соответственно. Следу-

ет заметить, что D не имеет индекса r, ∇, поскольку

в ПСФО соответствующие значения равны [4].

До сих пор мы пренебрегали поправками ти-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Потенциалы, действующие на

па ПСФО, возникающими из-за учета поляризации

атомные электроны в эндоэдралах

фуллерена потоком налетающих фотонов. Это мож-

но сделать, предполагая, что имеет место сильное

На рисунке 1 показаны потенциалы, используе-

неравенство r_a

≪ R между радиусами атома r_a

мые в наших расчетах. Потенциал U_W (r) представ-

и фуллерена R. Малый параметр R_a/R ≪ 1 поз-

ляет прямоугольную яму C₆₀, в то время как U_L(r) -

воляет представить поправки к амплитуде ПСФО

потенциал Лоренца (1); W_C (r) и W_C(s)(r) представ-

〈i|D(ω)|k〉 ≡ D_ik(ω), вызванные поляризацией фул-

ляют потенциалы поляризации C₆₀, описываемые

лерена, в виде ряда по степеням r_a/R ≪ 1, сохра-

уравнениями (2) и (3). Атомные поляризационные

няя только низший член в разложении. В результа-

потенциалы есть W_Ar(r) и W_Xe(r) для Ar и Xe, со-

(ω)

ответственно. Мы видим, что W_C(s)(r) значительно

может быть представлена как произведение ампли-

меньше, чем W_C (r) в области r, которая дает суще-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

358

М. Я. Амусья, Л. В. Чернышева

Рис. 2. (Цветной онлайн) Сечение фотоионизации 3p⁶

Рис. 5. (Цветной онлайн) Сечение фотоионизации 4d¹⁰-

и 3s² подоболочек Ar и Ar@C60 в ПСФО (на рисунках

подоболочки Xe и Xe@C60 в ПСФО

- RPAE)

ственный вклад в сечение фотоионизации. Напом-

ним, что в наших расчетах мы используем потенциал

W_C(s)(r), поскольку он представляет C₆₀ явно лучше,

чем W_C (r). Поляризационные потенциалы для Ar и

Xe близки друг другу.

На рисунках 2-5 представлены полученные сече-

ния. На рисунке 2 изображено сечение ПСФО (на

рисунках - RPAE) для 3p⁶ и 3s² подоболочек Ar и

Ar@C₆₀. Нижние индексы WG, LG, LCAG обозна-

чают, соответственно, результаты, учитывающие на-

ряду с поляризацией оболочки C₆₀ потоком фотонов

(G^C ) (9) статический потенциал с квадратными яма-

ми (WG), потенциал Лоренца (LG) C₆₀, поляризаци-

онный потенциал C₆₀(C(s)) (3) и, кроме того, атом-

ный потенциал (A) (4). Мы обозначаем все это це-

Рис. 3. (Цветной онлайн) Сечение фотоионизации Xe и

ликом индексом LCAG. Мы видим, что учет дей-

Xe@C60 в ПСФО

ствия C₆₀ значительно увеличивает сечения A@C₆₀

по сравнению с его значениями для свободного Ar.

Фуллерен добавляет также заметные осцилляции в

сечение фотоионизации эндоэдрала. Отметим, что

учет потенциалов притяжения (1), (3) и (4) сдвига-

ет пороги фотоионизации в сторону более высоких

энергий.

На рисунке 3 представлены сечения фотоиониза-

ции Xe и Xe@C₆₀ для области энергий фотонов от

порога 5p⁶ до значения, значительно превышающего

порог 4d¹⁰. Обозначения те же, что и на рисунке 2.

Присутствие C₆₀ проявляется в огромном увеличе-

нии сечения около порога 5p⁶ и более 2Ry над ним.

В сечении 4d¹⁰-подоболочки мы видим допол-

нительные осцилляции, которые были предсказаны

некоторое время назад [10] и качественно подтвер-

ждены в недавних экспериментах [11]. Роль фактора

Рис. 4. (Цветной онлайн) Сечение фотоионизации 5p⁶

G^C при энергиях фотона выше 4Ry невелика. Как и

подоболочки Xe и Xe@C60 в ПСФО

в случае Ar, учет потенциалов притяжения (1), (3) и

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

Фотоионизация эндоэдралов с учетом поляризации фуллеренов

359

(4) сдвигает пороги фотоионизации в сторону более

Мы продемонстрировали ранее не отмеченную, в

высоких энергий.

целом достаточно важную, а в некоторых случаях

На рисунке 4 представлены сечения фотоиониза-

и очень важную роль поляризационного взаимодей-

ции Xe@C₆₀ в окрестности подоболочки 5p⁶ более по-

ствия в фотоионизации эндоэдралов.

дробно, чем на рис. 3. Обозначения те же, что и на

Было бы очень интересно провести эксперимен-

предыдущих рис. 2 и 3. Мы видим, что результаты

тальное исследование, чтобы продемонстрировать

для потенциала Лоренца существенно отличаются от

важную роль поляризуемости эндоэдрала при фор-

потенциала для квадратной ямы.

мировании его сечения фотоионизации. Такой экс-

На рисунке 5 изображено сечение фотоионизации

перимент имел бы большое значение для понимания

подоболочки 4d¹⁰ для Xe и Xe@C₆₀ в ПСФО. В этом

электронной структуры эндоэдралов.

диапазоне энергий фотонов фактор G^C близок к 1,

поскольку оболочка C₆₀, состоящая из 240 коллекти-

M. Ya. Amusia and A. S. Baltenkov, Phys. A 73, 062723

визированных электронов, становится почти полно-

(2006).

стью прозрачной для фотонов с энергиями, значи-

M. Ya. Amusia and L. V. Chernysheva, Pis’ma v ZhETF

тельно превышающими положение гигантского ре-

103(4), 286 (2016).

зонанса C₆₀, т.е. выше 2Ry. На рисунке 5 приве-

V. K. Dolmatov, M. Ya. Amusia, and L. V. Chernysheva,

дены единственные имеющиеся экспериментальные

Phys. Rev. A 95, 012709 (2017).

данные [11].

M. Ya. Amusia, L. V. Chernysheva, and V. G.

Основную роль выше порога 4d¹⁰ играет стати-

Yarzhemsky, Handbook of Theoretical Atomic Physics,

ческий потенциал (1). Но потенциалы поляризации

Springer, Berlin (2012).

(3) и (4) также заметно влияют на расположение

V. K. Dolmatov, Advances in Quantum Chemistry,

дополнительных максимумов. Однако, поскольку по

Theory of Quantum Confined Systems, ed. by

техническим причинам измерения в [11] были вы-

J. R.

Sabin and E. Brandas, Academic Press,

полнены для ионов Xe@C⁺⁶⁰, а не для нейтрально-

N.Y. (2009), v. 58, p. 13.

го Xe@C₆₀, сравнение теории с экспериментальными

A. S. Baltenkov, S. T. Manson, and A. Z. Msezane,

данными не может играть решающей роли при вы-

J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 48, 185103 (2015).

боре наилучшего набора параметров в используемом

M. Ya. Amusia and A. S. Kheifets, Phys. Lett. A 82(8),

407 (1981).

потенциале.

M. Ya. Amusia and A. S. Kheifets, Phys. Lett. A 89(9),

4. В этом Письме мы представили новый подход

437 (1982).

к расчету сечения фотоионизации эндоэдралов. Он

М. Я. Амусья, С. К. Семенов, Л. В. Чернышева,

позволяет относительно просто учесть действие по-

АТОМ-М. Алгоритмы и программы для исследо-

ляризационного потенциала фуллерена C₆₀ на атомы

вания атомных и молекулярных процессов, Наука,

Ar и Xe, помещенные внутрь оболочки C₆₀, а так-

СПб. (2016), 551 с.

же действие динамической поляризации C₆₀ на по-

10.

M. Ya. Amusia, A. S. Baltenkov, L. V. Chernysheva,

ток налетающих фотонов.

Z. Felfli, and A. Z. Msezane, J. Phys. B: At. Mol. Opt.

Мы предложили форму поляризационного потен-

Phys. 38, L169 (2005).

циала C₆₀, который лучше соответствует структу-

11.

A. L. D. Kilcoyne, A. Aguilar, A. Muller, S. Schippers,

ре поляризуемого объекта, чем обычные поляриза-

C. Cisneros, G. Alna’Washi, N. B. Aryal, K. K. Baral,

ционные потенциалы, используемые в исследованиях

D. A. Esteves, C. M. Thomas, and R. A. Phaneuf, Phys.

упругого рассеяния электронов на эндоэдралах.

Rev. Lett. 105, 213001 (2010).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019