Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 6, с. 393 - 400

Эффекты резонансного усиления эванесцентных спиновых волн

в обменносвязанных слоистых магнитных структурах с центром и

без центра инверсии

С. В. Тарасенко⁺¹⁾, В. Г. Шавров^∗

⁺Донецкий физико-технический институт им. А. А. Галкина, 83114 Донецк, Украина

^∗Институт радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН, 125009 Москва, Россия

Поступила в редакцию 9 января 2019 г.

После переработки 9 января 2019 г.

Принята к публикации 14 января 2019 г.

В системе плоских обменносвязанных антиферромагнитных слоев с центром и без центра инверсии

гибридизация волноводных и антиволноводных режимов распространения спиновых волн индуцирует

интерференционный механизм резонансного усиления как амплитуды эванесцентных магнонов, так и

сопутствующих эффектов незеркальной спин-волновой рефракции первого порядка при прохождении и

(или) отражении (в том числе, и в случае магнонного аналога резонанса Фано).

DOI: 10.1134/S0370274X19060109

Идея использования спиновой волны как основы

ственного и углового эффектов Гуса-Хенхен тесно

для создания широкой гаммы устройств, связанных

связана с возможностью интерференционного усиле-

с хранением и переработкой информационных пото-

ния (гашения) амплитуды эванесцентных волн со-

ков, в сочетании с технологическими достижениями

ответствующего типа, однако, что касается эванес-

в изготовлении высококачественных магнитных ге-

центных спиновых волн и сопутствующих эффектов

тероструктур, в последние годы привела к лавино-

незеркального отражения (прохождения) в обменно-

образному росту числа научных публикаций в этом

связанных системах магнитных слоев, то этот вопрос

направлении [1]. В частности, особое внимание при-

до сих пор не рассматривался.

влекла задача создания управляемых магнитных ме-

В связи с этим, целью данной работы является

таматериалов, в том числе, и на основе гибридных

определение условий, при выполнении которых ком-

ферро (ФМ) - антиферромагнитных (АФМ) струк-

позитная однородно намагниченная структура из об-

тур [2] или структур типа “АФМ-немагнетик” [3]. Од-

менносвязанных магнитных диэлектрических слоев

новременно значительное внимание стало уделяться

допускает гигантское резонансное усиление не толь-

анализу перспектив использования в спинтронике и

ко интенсивности возбуждения распространяющихся

собственно АФМ сред [4,5], демонстрирующих уже

и не распространяющихся эванесцентных обменных

и в рамках однофазной среды значительное много-

спиновых волн, но и эффектов незеркальной спин-

образие физических свойств, включая магнитоэлек-

волновой рефракции с их участием.

трический эффект, пространственно модулирован-

В качестве примера рассмотрим одномер-

ные структуры и т.д. [6, 7]. В магнонике последних

ную плоскую гибридную магнитную структуру

лет, на фоне поиска спин-волновых аналогов оптиче-

с нормалью к поверхности q, составленную из

ских и акустических рефракционных аномалий, осо-

пространственно однородных в своей развитой

бую важность приобрел анализ незеркальных эф-

плоскости слоев: два полупространства (среды A и

фектов (в первую очередь, эффектов Гуса-Хенхен)

A), связанные между собой через систему из трех

при отражении и прохождении остронаправленных

однородно намагниченных плоско параллельных

магнонных пучков через многокомпонентные обмен-

магнитных слоев (среды B, C, D). Если ζ - текущая

носвязанные слоистые структуры, как эффективно-

координата вдоль направления q, то в зависимости

го инструмента для изучения межслоевых взаимо-

от ζ структуру термодинамического потенциала F

действий [8]. Вместе с тем из оптики слоистых сред

можно представить как

известно [9, 10], что возможность усиления простран-

F (-∞ < ζ < ∞) = FA¯(ζ > L) + FA(ζ < 0) +

∑

F_v(d_v), L ≡ d_B + d_C + d_D, v = B, C, D,

(1)

e-mail: s.v.tarasenko@mail.ru

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

393

394

С. В. Тарасенко, В. Г. Шавров

где d_v - толщина слоя АФМ среды v. Будем пола-

ω^20βv ≡ g^2vM^20vδ_vb_βv, c^2v ≡ g^2vM^20vδ_vα_v,

гать, что все перечисленные АФМ среды могут быть

b_fv ≡ b_xv, b_av ≡ b_yv, V =

A, A, B, D.

(4)

описаны на основе двухподрешеточной модели об-

[

]

(

)₂

менно коллинеарного легкоосного антиферромагне-

γ₁

ω^2fC = ω^20fC + c²

k^2z + k_x -

;

тика (ЛО АФМ) с осью легкого намагничивания OZ

α_C

и с параметрами термодинамического потенциала F,

[

]

(

)₂

скачкообразно изменяющимися от слоя к слою [11]:

γ₂

ω^2aC = ω^20aC + c²

k^2z + k_x -

; v = C.

α_C

F_v =

{

}

[

]

δ_v

α_v

b_xv

γ²¹

=M²

m^2v +

(∇l_v)² +

l^2xv +

l^2yv - m_vH

ω^20fC ≡ g^2CM^20Cδ_C b_yC -

;

[

]

M_1v + M_2v

M_1v - M_2v

γ²²

m_v =

; l_v =

;

(2)

ω^20aC ≡ g^2CM^20Cδ_C b_xC -

(5)

2M_0v

α_C

A, A, B, C, D.

Если ограничиться частотами спиновых колебаний,

M_1v, M_2v, M_0v

- намагниченности подреше-

много меньшими обменной частоты (ω ≪ g_vδ_vM_0v),

ток

(|M_1v|

= |M_2v|

= M_0v) в АФМ среде с

то спин-волновая динамика АФМ среды (2) вме-

v =

A, A, B, C, D. Чтобы выяснить некоторые осо-

сто уравнений Ландау-Лифшица, как известно, мо-

бенности спин-волновой рефракции, связанные с

жет быть описана с помощью системы эффективных

этим обстоятельством, рассмотрим случай, когда

уравнений движения только для компонент вектора

АФМ среда, формирующая слой c v = C, не име-

антиферромагнетизма (т.е. в рамках рассматривае-

мой модели уравнения и k ∈ XZ только для l_yv при

ет центра инверсии, а константа взаимодействия

Дзялошинского d_ikm_il_ik линейным образом зависит

β = f и только для l_xv при β = a) [14]. В этом слу-

чае на каждой из межслоевых границ раздела рас-

от производных по пространственным координа-

там (инвариант Лифшица-Дзялошинского [7, 12]).

сматриваемой структуры условия жесткой обменной

Для примера ограничимся учетом наличия в (2)

“склейки” контактирующих магнитных сред могут

в термодинамическом потенциале АФМ среды F_C

быть представлены в виде:

дополнительного инварианта вида [13]:

∂l_βv

∂l_βµ

{

(

)

α_vM²

=α_µM²

; l_v =l_µ;

∂l_yC

∂m_xC

^0v ∂ζ

^0µ ∂ζ

F_ILD = M²

γ₁

m_xC

-l_yC

∂z

β = a,f; v = µ =

A, A, B, C, D.

(6)

(

)}

∂l_xC

∂m_yC

+γ₂

m_yC

-l_xC

(3)

Для выбранной геометрии распространения возмож-

∂z

но независимое распространение обменных спиновых

Поскольку динамика АФМ среды в каждом из слоев

волн с β = f и β = a. Пусть в каждой из сред в (1)-

описывается с помощью системы уравнений Ландау-

(3) h- компонента волнового вектора спиновой волны

Лифшица для векторов ферро- (m_v) и антиферро-

вдоль линии пересечения плоскости падения и плос-

магнетизма (l_v), то без учета граничных условий

кости границы раздела слоев с нормалью вдоль q.

в каждой из сред, формирующих рассматриваемую

Ограничимся случаем, когда с учетом (4)-(5) пара-

слоистую структуру, спектр нормальных обменных

метры рассматриваемой слоистой магнитной струк-

спиновых колебаний с частотой ω и волновым век-

туры (1)-(2) одновременно таковы, что при заданных

тором k (k² = k^2x + k^2y + k^2z) имеет две ветви: квази-

значениях частоты ω и угла падения ϑ слои сред с

ферромагнитную (β = f, m_x, m_z, l_y = 0) и квази-

v = B и с v = D поддерживают антиволноводный

антиферромагнитную (β = a, l_x, l_z, m_y = 0). Если в

(k^2v < 0), а среды с v =

A, C, A волноводный (k^2v > 0)

каждой из сред с v =

A, A, B, C, D b_xv > 0, b_yv > 0,

режимы распространения обменных спиновых волн с

а в АФМ среде с v = C b_yC > γ²¹/α_C, b_xC > γ²²/α_C,

β = f,a. В результате, например, для q∥OX, k ∈ XZ

то, как показывает расчет, в основном состоянии для

каждой из сред в (1)-(3) l_0v∥OZ, |m_0v| = 0. В этом

k^2β¯A > 0, k^2βB = -η^2βB < 0, k^2βD = -η^2βD < 0,

случае спектр этих магнонных мод в АФМ средах

(2)-(3) с учетом v может быть представлен как (g_v -

k^2βC > 0, k^2βA > 0, β = f, a,

(7)

g фактор в среде v)

(

)₂

ω² - ω^20fC

γ₁

k^2fC =

- h-

;

ω^2βv = ω^20βv + c^2vk², β = f, a,

c^2C

α_C

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

Эффекты резонансного усиления эванесцентных спиновых волн. . .

395

(

)₂

ω² - ω^20aC

γ₂

1 резко усиливается (|W_β (ζ = 0)| ∝ 1), в то время

k^2aC =

- h-

v = C,

(8)

c^2C

α_C

как вне условий (11) |W_β (ζ = 0)| ≪ 1, (η_βBd_B =

= η_βDd_D ≫ 1) β = f,a (cм. также [16]). Как пока-

ω² - ω^20βv

k^2βv ≡

-h², v =

A, A, B, D.

зывает анализ, соотношение (11) определяет спектр

c²

нормальных волноводных спиновых колебаний слоя

Таким образом, (1)-(8) - обменный аналог использу-

среды АФМ с v = C, обе поверхности которого свя-

емого в оптике открытого асимметричного резонато-

заны обменными граничными условиями (6) с полу-

ра Фабри-Перо [15]. В этом случае амплитудные ко-

ограниченными полупространствами заполненными

эффициенты прохождения W_β(ζ = 0) и отражения

АФМ средой (2) с v = B и v = D, в которых распро-

R_β(ζ = L) для плоской объемной спиновой волны с

страняются эванесцентные спиновые волны соответ-

β = f (или β = a), падающей под углом ϑ к нормали

ствующей поляризации β = f, a (η^2βB > 0, η^2βD > 0).

q из полуограниченной АФМ среды

A и проходящей

Однако (11) является только необходимым условием

через многослойный дефект, составленный из сред с

для полного резонансного прохождения плоской объ-

v = B,C,D в полуограниченную среду для заданных

емной спиновой волны с β = f, a (в (9) T

^β (L) = I,

ω-h определяются из следующей системы линейных

I - единичный тензор), т.е. для |W_β(ζ = 0) = 1. При

алгебраических уравнений:

выполнении (11) дальнейшее увеличение |W_β (ζ = 0)|

(

)

(

)

в обменно связанной слоистой магнитной структуре

1+V_β

W_β

^β (L)

;

(1)-(6) возможно, если одновременно с (11) в (1), (2)-

iZ_β(-1 + V_β)

-iZ_βAW

ζ=L

ζ=0

(9) среды с v = B и v = D были эквивалентны между

собой (см. также [16]):

|V_β |² + |W_β |² = 1, v = B, C, D,

(9)

T β(L) ≡ T ^βB(d_B)T ^βC(d_c)T ^βD(d_D), |T ^β(L)| = 1,

k²

≡ k^2βA > 0, T ^βB(d_B) ≡ T ^βD(d_D),

βA

sin ϑ ≡

√

,β = f,a.

k^2βB ≡ k^2βD, d_B = d_D = d, β = f, a

(12)

(ω² - ω²

)/c²

0βA

(обменный аналог открытого симметричного резона-

Для каждой из сред с v = B, C, D в (8)-(9) про-

тора Фабри-Перо [15]). Минимум |W_β(ζ = 0)| для

странственное распределение вдоль ζ спиновых ко-

структуры (1)-(6) достигается, если частота и угoл

лебаний с заданными ω и h и поляризацией β = f, a

падения плоской спиновой волны с β = f (или β = a)

для k^2βv > 0 определяется следующими соотношени-

в среде A связаны между собой в зависимости от по-

ями (Z_βv ≡ α_vM^20vk_βv):

ляризации волны β условием

(

)

l_βv

k_βCd_C = ϕ

+ϕ^βCD+(2n-1)π, n = 1,2,..., β = f,a,

L_βv(ζ) ≡

iZ_βvl_βv

(13)

|Z_βB|

|Z_βD|

tg ϕ

, tg ϕ^βCD =

, β = f,a,

(14)

L_βv(ζ = ζ₂) = T^βv(ζ₂ - ζ₁)L_βv(ζ = ζ₁);

Z_βC





sin(k_βvζ)

(см. также [17, 18]). Расчет показывает, что при

cos(k_βvζ)

Z_βv



T βv(ζ) = 

.

(10)

η_βBd_B ≫ 1 соотношение (11) является также и усло-

вием резонансного усиления амплитуды эванесцент-

Z_βv sin(k_βvζ) cos(k_βvζ)

ной спиновой волны с β = f или β = a (по сравне-

Расчет показывает, что если в условиях (7)-(8)

нию с падающей) на границе ζ = d_C для обменно-

частота ω и угол падения (h) плоской монохромати-

связанной (6) слоистой структуры c термодинамиче-

ческой спиновой волны с β = f или с β = a таковы,

ским потенциалом вида:

что

F (-∞ < ζ < ∞) = F_A(ζ > d_B + d_C)+

(15)

|Z_βB|(T^βC11 + T^βC12|Z_βD|) + (T^βC21 + T^βC22|Z_βD|) = 0,

(

)

+F_B(d_B+d_C > ζ > d_C)+F_C(d_C > ζ > 0)+F_D(ζ < 0)

βv

T₁

T^βv12

Tβv ≡

, β = f,a,

(11)

в случае, когда параметры падающей волны и сло-

T^βv21

Tβv22

истой магнитной структуры, отвечающие (2), (15),

то для рассматриваемой системы обменносвязанных

одновременно таковы , что вместо (7)

АФМ слоев амплитуда эванесцентной спиновой вол-

ны с β = f, a на границе ζ = 0 при η_βBd_B = η_βDd_D ≫ k²

> 0, k^2βB = -η^2βB > 0, k^2βC > 0, k^2βD = -η^2βD > 0,

βA

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

396

С. В. Тарасенко, В. Г. Шавров

|l_βD(ζ → -∞)| → 0, β = f, a,

(16),

на поверхности рассматриваемой обменносвязанной

слоистой структуры (при ζ = d_C + d_B ), но теперь

вследствие чего (15) является обменным аналогом

используемой в оптике двухслойной схемы Кречман-

W_β(ζ = 0) = 2Q^β22, β = f, a.

(19)

на [19]. В результате, в случае (2), (4), (15) соотноше-

ние (11) можно рассматривать как дисперсионное со-

В обоих случаях для η_βBd_B ≫ 1 |W_β(ζ = d_C)| ≫ 1

отношение для поверхностной спиновой волны с β =

и |W_β (ζ = 0)| ≫ 1. Отметим, что как соотношение

= f или β = a в слоистой структуре (2)-(3), (6), (15),

(11), так и равенство нулю входного спин-волнового

локализованной на границе раздела ζ = dC меж-

импеданса на поверхности обменносвязанной слои-

ду полупространством, заполненным АФМ с v = B,

стой структуры, как условие резонансного усиления

k^2βB < 0 (ζ > d_C), и двухслойной структурой, состо-

амплитуды эванесцентных спиновых волн с β = f

ящей из слоя АФМ среды с v = C, k^2βC > 0 и полу-

или β = a (|W_β (ζ = d_C )| ≫ 1 и |W_β (ζ = 0)| ≫

пространства, заполненного АФМ с v = D, k^2βD < 0

≫ 1) при η_βBd_B ≫ 1, сохраняется в (2)-(3), (6)-

(ζ < 0) (см. также [10]). Вместе с тем для рассмат-

(10), (15)-(19) и для |Z_βD| ≡ 0 , если одновремен-

риваемой модели слоистой структуры (15) и с огра-

но спины на нижней поверхности слоя с v = C, т.е

ничениями (16)

при ζ = 0, считаются полностью свободными (так

(

)

как α_D = 0). Подобная слоистая структура может

1+V_β

рассматриваться как обменный аналог известного в

iZ_β(-1 + V_β)

оптике эталона Жиро-Турнуа [21]. Вследствие на-

ζ=dB +dC

личия в слое АФМ с v = C неоднородного взаимо-

(

)

W_β

действия Лифшица-Дзялошинского (3) в рассматри-

= Q^β(d_B + d_C)

;

ваемой геометрии падения спиновой волны q∥OX,

|Z_βD|W_β

ζ=0

k ∈ XZ(l_0v∥OZ,|m_0v| = 0) k_βC(ω,h) = k_βC(ω,-h). В

результате в (9) или (17) для W_β = |W_β | exp(iψ_β ) и

Q^β ≡ T

^βB(d_B)T^βC(d_C), V = B, C, D.

(17)

V_β = |V_β| exp(iϕ_β)

В результате на границе раздела ζ

= d_C макси-

мальное усиление интенсивности эванесцентной спи-

|W_β (h)| = |W_β (-h)|, |V_β (h)| = |V_β (-h)|,

новой волны с поляризацией β в случае η_βBd_B ≫ 1

W_β(ζ = d_C) достигается для таких сочетаний ω и

ϕ_β(h) = ϕ_β(-h), ψ_β(h) =_β (-h), β = a, f.

(20)

h, при которых обращается в ноль входной спин-

Как показывает анализ, во всех рассмотренных

волновой импеданс на границе раздела ζ = d_C + d_B

выше обменных слоистых структурах эффекты уси-

[20]:

ления амплитуды эванесцентных спиновых волн с

= f или с β = a физически были обусловле-

Q^β21 + Q^β22|Z_βD| = 0; W_β(ζ = d_C) = 2T^βB22, β = f, a.

ны резонансным возбуждением в рассматриваемой

(18)

многослойной структуре (1) или (15) слабовытека-

Анализ показывает, что (18) отвечает дисперсион-

ющей [20] спиновой волны соответствующей поля-

ному уравнению нормальных распространяющихся

ризации β. Для заданной частоты падающей волны

спиновых колебаний с β = f или β = a в слоистой

ω дисперсионные свойства такой вытекающей волны

структуре (2)-(8), (15), если на ее поверхности (т.е

можно представить как h_β(ω) = h^′β - ih^′′β(Im{h^′β} =

при ζ = d_C + d_B) спиновые колебания среды с v = B

= Im{h^′′β} = 0), и тогда условие слабого вытекания

полностью свободны ( α_A = 0, ∂l_βB/∂ζ = 0). Сов-

примет вид |h^′β| ≫ |h^′′β|. В результате на плоскости

местный анализ (7)-(11), (17)-(18) показывает, что

внешних параметров в окрестности такой вытекаю-

в обсуждаемой слоистой магнитной структуре (1)-

щей спиновой волны для W_β и V_β, в (9), (11) и (17),

(10), (15) и при выполнении (16) резонансное уси-

(18)

ление амплитуды эванесцентной спиновой волны с

iW_β0

β = f или β = a, помимо (1), (18), для η_βBd_B ≫ 1

W_β ≈

(|V_β | ≤ 1),

h - h^′β - ih^′′

может быть достигнуто также и на поверхности по-

луограниченной АФМ среды с v = D, т.е. при ζ = 0

h - h^′β + ih^′′β

(W_β (ζ = 0)). Для плоской спиновой волны, пада-

V_β = -

, (|Vβ | = 1), β = f, a,

(21)

h - h^′β - ih^′′

ющей из полуограниченной АФМ среды с v = A

(ζ > d_B + d_C ), условие, определяющее соответству-

где для заданного ω h^′β определяется (11) для (1) и

ющие сочетания ω и h, по-прежнему отвечает (18):

(18) для (15) (cм. также [9, 17, 21]). Для W_β в (19)

равенству нулю входного спин-волнового импеданса

W_β0/h^′′β ≤ 1 при |V_β| < 1, тогда как при |V_β| = 1

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

Эффекты резонансного усиления эванесцентных спиновых волн. . .

397

и η_βBdB ≫ 1, в (21) одновременно Wβ0/h′′β ≫ 1,

0) следствием k_βC(ω, h) = k_βC(ω, -h) будет также

|h^′β | ≫ |h^′′β|.

и невзаимность магнонных незеркальных эффектов

До сих пор в данной работе анализировались

первого порядка для остронаправленных пучков спи-

условия усиления только амплитуды эванесцентных

новых волн с β = f или β = a:

спиновых волн в случае падения на рассматривае-

мую слоистую систему магнитных слоев плоской об-

P_β(ϑ₀) = P_β(-ϑ₀), P_β(ϑ₀ = 0) = 0,

менной монохроматической спиновой волны с β = f

P_β(ϑ₀ > ϑ_β∗)P_β(ϑ₀ < ϑ_β∗) < 0,

или с β = a. Однако, как следует из (1)-(10) и в

случае коэффициента отражения V_β (ω, h), и в слу-

P_β(ϑ₀ > 0)P_β(ϑ₀ < 0) < 0 (|ϑ₀| ≪ |ϑ_β∗|),

чае коэффициента прохождения W_β (ω, h) в окрест-

ности всех отмеченных выше эффектов резонансно-

P_β(ϑ) ≡ {s_Wβ(ϑ), s_Vβ(ϑ), Δ_Wβ(ϑ), Δ_Vβ(ϑ)}.

(23)

го усиления одновременно ∂|V_β|/∂h = 0, ∂ϕ_β/∂h = 0,

Следует также отметить, что если в (3) γ₁γ₂ < 0,

∂|W_β |/∂h = 0, ∂ψ_β/∂h = 0. Вместе с тем, как из-

то, как показывает расчет, в случае q∥l_0v∥OZ, k ∈

вестно [17], реальные источники волн дают моно-

XZ во всех приведенных выше соотношениях вме-

хроматическую волну с фронтом, отличающимся от

сто (8)

плоского. При этом из физики слоистых сред сле-

(

)₂

дует, что если падающая под углом ϑ = ϑ₀ извне

γ₁

ω² - ω^20fC

k_fC -

-h²;

на слоистую структуру монохроматическая волна

α_C

c²

не является плоской, то в условиях частичного от-

(

)₂

ражения плоской объемной (в данном случае спи-

γ₂

ω² - ω^20aC

k_aC -

- h²; β = f, a.

(24)

новой) волны, сопровождающемся изменением фа-

α_C

c²

зы отраженной и (или) прошедшей через слоистую

В результате при q∥l_0v∥OZ, k ∈ XZ определя-

структуру с коэффициентом прохождения W_β и ко-

емые (23) эффекты невзаимности для амплитуды

эффициентом отражения V_β, имеет место измене-

и фазы коэффициентов отражения и преломления

ние пространственной структуры квазиплоской спи-

новой волны (как и для электромагнитных или упру-

в рассматриваемой обменносвязанной структуре от-

сутствуют как для β = f, так и для β = a. Для сим-

гих волн [17, 20]). Если ограничиться производными

метричной обменносвязанной магнитной структуры

первого порядка по углу падения от амплитуды и

(1)-(3), (12)

фазы как W_β, так и V_β, то соответствующие соотно-

шения принимают вид (β = f, a) [9,22]:

Δ_βV (ϑ₀) = Δ_βW (ϑ₀).

(25)

)

( ∂ lnV_β



-iΔ_Vβ + s_Vβ =



Если же обсуждаемая обменносвязанная слоистая

cosϑ∂ϑ

ϑ=ϑ0

магнитная структура (1)-(3) асимметрична относи-

)



тельно своей срединной плоскости (η_βBd_B = η_βDd_D)

(∂ lnW_β

-iΔ_Wβ + s_Wβ =



(22)



(или симметрична, но находится в асимметричном

cosϑ∂ϑ

ϑ=ϑ0

окружении (η_βAd_A = η_βAd_A)), то для магнонного эф-

Величины Δ_Vβ(ϑ), Δ_Wβ(ϑ) и s_Vβ(ϑ), s_Wβ(ϑ) -

фекта Гуса-Хенхен (см. также [23]) в (22)):

характеризуют, соответственно, пространственный

и угловой эффекты Гуса-Хенхен для отраженной

Δ_βV (ϑ₀) = Δ_βW (ϑ₀),

(Δ_Vβ (ϑ), s_Vβ (ϑ)) и прошедшей (Δ_Wβ (ϑ), s_Wβ (ϑ)) че-

рез слоистую структуру квазиплоской спиновой вол-

|Δ_Vβ (ϑ₀)| = |Δ_Vβ(π - ϑ₀)|, ϑ₀ = 0, β = f, a.

(26)

ны с β = f или β = a. Анализ возможности целена-

Следует особо остановиться на случае, когда

правленного влияния на эти характеристики распро-

структура термодинамического потенциала АФМ

страняющихся остронаправленных пучков спиновых

среды с v = C такова, что уже в обменном прибли-

волн представляет значительный интерес для прак-

жении ее спин-волновая динамика (а, значит, и всей

тических приложений магноники. Совместный ана-

слоистой структуры (1)-(3)) при q∥OX, k ∈ XZ опи-

лиз соотношений (1)-(22) показал, что для всех слу-

сывается матрицей перехода C^βδ размерности 4 × 4:

чаев резонансного изменения амплитуды эванесцент-

(

)

(

)(

)

ной плоской спиновой волны с β = f или β = a (11),

L_aC

C^aa(ζ) C^af (ζ)

L_aC

(13), (18) одновременно имеет место и резонансное

усиление магнонных аналогов эффекта Гуса-Хенхен.

L_fC

C^fa(ζ) C^ff (ζ)

Одновременно для q∥OX, k ∈ XZ(l_0v∥OZ, |m_0v| =

^ζ=0(27)

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

398

С. В. Тарасенко, В. Г. Шавров

(

)

k ∈ XZ. В частности это возможно, если в термоди-

Φ^aa(ζ) Φ^af (ζ)

l_fA(ζ < 0) = A_f exp(η_fAζ), Φ =

намическом потенциале нецентросимметричного ЛО

Φ^fa(ζ) Φ^ff (ζ)

АФМ с v = C (2), (3) γ₁ = γ₂ = 0, но имеется инва-

(31)

риант Лифшица-Дзялошинского вида

имеет отличное от нуля решение при |A_f | + |A_f | = 0

(

)

∂l_yC

∂l_xC

(Φ^βδ - матрица размерности 2×2). Анализ показыва-

F_ILD = M²

γ l_xC

-l_yC

(28)

∂z

ет, что соотношение (31) представляет собой спектр

нормальных спиновых волн с β = f плоского трех-

Для рассматриваемой плоскости падения k ∈ XZ,

слойного спинового волновода толщиной L, состав-

l_0C∥OZ учет (28) приводит к матрице перехода (27)

ленного из слоев сред с v = B, C, D. Внешние по-

как для q∥OX, так и для q∥OZ. Чтобы избежать

верхности такого волновода связаны с АФМ полу-

громоздких выражений в дальнейшем элементы мат-

пространствами с v = A и A, в каждом из кото-

рицы C

^βδ конкретизировать не будем. В этом слу-

рых с этими же значениями ω и h распространяют-

чае, с учетом (8)-(10), и введенных выше обозначе-

ся эванесцентные спиновые волны с β = f (η²

> 0,

ний структура матрицы перехода 4 × 4 обобщающей

η^2fA > 0). Полное прохождение квазиплоской волны с

β = a через рассматриваемый плоский трехслойный

матрицу перехода 2×2 T

^β (L) в (9) может быть пред-

дефект |W^aa(ζ = 0)| = 1 в условиях (30) возмож-

ставлена как

но при таких сочетаниях ω и h, для которых систе-

(

)

(

)

L_aA

ма двух однородных линейных относительно произ-

= Φ(L)

вольных амплитуд A_f , A алгебраических уравнений,

L_fA

ζ=L

ζ=0

с учетом (9), (27)-(29):

(

)

(

)

T^aB(d_B)

L_fA

= Φ^ff - Φ^fa(Φ^aa - I)^-1Φ^af L_fA,

Φ≡

(29)

T^fB(d_B)

(

)(

)

l_fA(ζ > L) = A_f exp(-η_fAζ),

C^aa(d_C) C^af (d_C)

T^aD(d_D)

l_fA(ζ < 0) = A_f exp(η_fAζ)

(32)

C^fa(d_C) C^ff (d_C)

T^fD(d_D)

имеет отличное от нуля решение для ненулевых A_f

При этом для входящих в (27)-(29) матриц перехода

A_f . Как показывает анализ, соотношения (31) и (32)

^βδ размерности 2 × 2 при γ₁ = 0 (28) имеет место

сохраняются и для d_B = d_D = 0 (причем даже в пре-

деле k_βC d_C ≪ 1), поскольку являются результатом

C^aa = T^aC, C^ff = T^fC, C^af = 0, C^fa = 0. Если

формирования в рассматриваемой слоистой магнит-

же в (29) C^af = 0, C^fa = 0, то для падающей из

ной структуре спин-волнового аналога резонанса Фа-

АФМ среды с v = A на рассматриваемый трехслой-

но (конструктивной и деструктивной интерференции

ный дефект (1)-(6), (28) квазиантиферромагнитной

магнонов) [24]. С учетом инварианта (28), в неогра-

плоской спиновой волны²⁾ в условиях

ниченной АФМ cреде (2), (3) спектр распространяю-

щихся спиновых волн при условии b_xC = b_yC имеет

k²

> 0, k^2aA > 0, k²

≡ -η²

< 0,

вид:

]

[(

)₂

ω² - ω^20C

k²

≡ -η²

< 0, β = f, a

(30)

k_z -

+k^2x -

α_C

возможен эффект полного резонансного отражения

]

[(

)₂

(|W^aa(ζ = 0)| = 0) для тех сочетаний ω и h, при кото-

ω² - ω^20C

× k_z +

+k^2x -

= 0,

рых в условиях (30) система однородных линейных

α_C

c²

относительно произвольных амплитуд A_f , A_f алгеб-

[

]

раических уравнений с учетом (7)

γ²

ω^20C ≡ g^2CM²

δ_C b_C -

(33)

α_C

L_fA = Φ^ffL_fA; l_fA(ζ > L) = A_f exp(-η_fAζ),

В результате при q∥OX и k ∈ XZ, l_0v∥OZ и паде-

нии из среды с v = A объемной квазиплоской волны

²⁾Для используемого в данной работе обменного приближе-

с β = a как для отраженного, так и для прошед-

ния выбор поляризации падающей плоской спиновой волны

β = a, а не β = f не принципиален. Все далее сказанное оста-

шего остронаправленного спин-волнового пучка (с

нется в силе и при a ↔ f.

β = a или с β = f) одновременно P_β(ϑ₀) = P_β(-ϑ₀),

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

Эффекты резонансного усиления эванесцентных спиновых волн. . .

399

P_β(ϑ₀ = 0) = 0. Вместе с тем, включение постоян-

k ∈ XZ. В этом случае структура термодинами-

ного внешнего магнитного поля H₀∥OZ при q∥OX

ческого потенциала в (2)-(3) и граничные условия

и k ∈ XZ, l_0v∥OZ в АФМ cреде (3), (28) с v = C

сильной обменной связи (6) при q∥OX могут быть

без учета граничных условий спектр распространя-

представлены в виде [10]:

ющихся спиновых волн по-прежнему факторизуется,

α_v

b_v

но теперь, в отличие от (33), становится невырожден-

F_v =

(∇m_v)² +

(m^2xv + m^2yv) - m_vH;

ным относительно k_z → -k_z:

]

[(

)₂

v = A,A,B,D.

(38)

(ω + ω_HC )² - ω^20C

k_z -

+k^2x -

α_C

c²

α_C

b_C

F_C =

(∇m_C )² +

(m^2xC + m^2yC ) +

]

[(

)₂

(

)

(ω - ω_HC )² - ω^20C

∂m_yC

∂m_xC

× k_z +

+k^2x -

= 0,

+γ m_xc

-m_yC

- m_CH; v = C.

α_C

c²

∂z

ω_HC ≡ g_CH,

(34)

∂m_βv

∂m_βµ

α_v

=α_µ

; m_v =m_µ;

В результате, в указанной магнитооптической кон-

∂ζ

фигурации при падении из среды с v = A объем-

β = a,f; v = µ = A,A,B,C,D.

(39)

ной квазиплоской волны с β = a как для отраженно-

При этом без учета граничных условий дисперсион-

го, так и для прошедшего остронаправленного спин-

ные соотношения для спектра спиновых волн во всех

волнового пучка и с β = a и с β = f, одновременно

ФМ средах (38), формирующих слоистые структу-

P_β(ϑ₀) = P_β(-ϑ₀), P_β(ϑ₀ = 0) = 0. Если при H₀∥OZ,

q∥OX и k ∈ XZ, l_ov∥OZ во всех АФМ cредах (1)-(3)

ры (1), (15), также факторизуются, но теперь вме- ]

b_xv = b_yv , то спектр распространяющихся спиновых

сто (34)-(35), имеют вид (ω_0C ≡ g_CM_0C b_C -^γ

волн по-прежнему также факторизуется, но теперь,

cv ≡ gvαvM0v):

вместо (8), для v = A, A, B, D принимает вид

[

]

[

]

-ω + ω_0v + ω_vC + c_v(k^2x + k^2z)

(40)

(ω + ω_Hv)² - ω^20v

k² -

[

]

c2v

ω + ω_0v + ω_Hv + c_v(k^2x + k^2z)

= 0, v = A, A, B, D,

[

]

[

(

)]

(ω - ω_Hv)² - ω^20v

(

)₂

× k² -

= 0,

c²

-ω + ω_0C + ω_HC + c_C k²

k_z -

α_C

ω_Hv ≡ g_vH.

(35)

[

(

)]

(

)₂

В результате соотношения (6)-(23) структурно не

× ω+ω_0C +ω_HC +c_C k^2x + k_z -

= 0,

изменятся, но с учетом замены l_βx → l_β+ ≡ l_βx +il_βy,

α_C

l_βy → l_β- ≡ l_βx-il_βy, а также того факта, что теперь

v = C.

(41)

для q∥OX

(

)₂

В результате, соотношения (8)-(10) структурно не

(ω + ω_HC )² - ω^20C

γ₁

k^2xC =

- h-

;

изменятся, а определяемые на их основе эффекты

c^2C

α_C

усиления для системы обменно сильносвязанных (6)

(

)₂

(ω - ω_HC )² - ω^20C

γ₁

АФМ слоев со спектром (34)-(35) и q∥OX, k ∈ XZ,

k^2yC =

- h+

; v = C. (36)

H₀∥l_0v∥OZ (т.е. (11)-(23), (25), (26)) по-прежнему

c^2C

α_C

остаются в силе и для структуры (1) или (15) в слу-

(ω + ω_Hv)² - ω^20v - c^2vh

k^2xv =

;

чае обменно сильносвязанных слоев ЛО ФМ со спек-

c²

тром (40)-(41) и q∥OX, k ∈ XZ, m_0v∥OZ, но те-

(ω - ω_Hv)² - ω^20v - c^2vh

перь с учетом замены l_β+ → m_β+ ≡ m_βx + im_βy,

k^2yv =

; v = A,A,B,D. (37)

c2C

l_β- → m_β- ≡ m_βy +im_βx. Эти же соотношения оста-

Как следствие, эффекты, определяемые

(11)-

ются справедливы и для систем (1) или (15) из слоев

(23), (25), (26), по-прежнему остаются в силе. Сле-

ЛО АФМ (2), (27) и ЛО ФМ (38), если выполнены

дует также отметить, что найденные выше соотно-

условия сильной обменной межслоевой связи. Кро-

шения и связанные с ними эффекты также остают-

ме того, матрица перехода (29), как и связанные с

ся в силе для рассмотренных выше примеров пяти-

ней соотношения (30)-(32) (спин-волновой резонанс

слойной, четырехслойной или трехслойной обменно-

Фано), возможны и в том случае, когда слоистую

связанной магнитной структуры, если они составле-

структуру (1) формируют центросимметричные сре-

ны из слоев легкоосного ферромагнетика (ЛО ФМ)

ды, но при условии, что в слое среды C при q∥OX,

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

400

С. В. Тарасенко, В. Г. Шавров

k ∈ XZ, l_0C = {0,l_0y,l_0z}, l_0v=C∥OZ для (2), (3), (6)

P. Gruszecki, M. Mailyan, O. Gorobets, and

(или m_0C = {0, m_0y, m_0z}, m_0v=C ∥OZ для (38), (39)).

M. Krawczyk, Phys. Rev. B 95, 014421 (2017).

Таким образом в данной работе впервые пока-

C. W. Hsue and T. Tamir, J. Opt. Soc. Am. A 2, 978

зано, что в структурах из обменно сильно связан-

(1985).

ных магнитных слоев возможно резонансное уси-

10.

Y. Lévy, Y. Zhang, and J. C. Loulergue, Opt. Commun.

ление как интенсивности эванесцентных спиновых

56, 155 (1985).

волн (распространяющихся или нераспространяю-

11.

А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский,

Спиновые волны, Наука, М. (1967).

щихся), так и сопутствующих им в таких структурах

12.

Е. М. Лифшиц, ЖЭТФ 11, 255 (1941).

магнонных аналогов пространственного и углового

13.

В. Г. Барьяхтар, В. А. Львов, Намагниченность

эффекта Гуса-Хенхен при отражении и прохожде-

неоднородно упорядоченных антиферромагнетиков

нии (в частности, и в условиях спин-волнового ре-

и динамика доменных границ, Препринт ИТФ АН

зонанса Фано). Особенности реализации таких эф-

Украины; 85-47Р, ИТФ АН Украины, Киев (1985).

фектов в слоистых магнитных структурах с обменно-

14.

А. К. Звездин, А.А. Мухин, Краткие сообщения по

дипольным механизмом внутри- и межслоевой спин-

физике ФИАН 12, 10 (1981).

спиновой связи будут рассмотрены отдельно.

15.

Х. Хаус, Волны и поля в оптоэлектронике, Мир, М.

(1988).

1. Spin Wave Confinement: Propagating Waves,

2-nd

16.

Туннельные явления в твердых телах, под ред.

Э. Бурштейна и С. Лундквиста, Мир, М. (1973).

edition, ed. by S. O. Demokritov, Pan Stanford

Publishing, Singapour (2017).

17.

Л. М. Бреховских, Волны в слоистых средах, Изд-во

2. W. A. Borders, H. Akima, S. Fukami, S. Moriya,

АН СССР, М. (1957).

S. Kurihara, Y. Horio, S. Sato, and H. Ohno, Appl.

18.

Волноводная оптоэлектроника, под ред. Е. Тамира,

Phys. Express 10, 013007 (2017).

Мир, М. (1991).

3. R. E. Troncoso, C. Ulloa, F. Pesce, and A. Nunes,

19.

A. V. Zayats, I. I. Smolyaninov, and A. A. Maradudin,

Review B 92, 224424 (2015).

Phys. Rep. 408, 131 (2005).

4. V. Baltz, A. Manchon, M. Tsoi, T. Moriyama, T. Ono,

20.

T. Tamir and H. L. Bertoni, J. Opt. Soc. Am. 61, 1397

and Y. Tserkovnyak, Rev. Mod. Phys. 90, 015005

(1971).

(2018).

21.

А. Ярив, П. Юх, Оптические волны в кристаллах,

5. T. Jungwirth, J. Sinova, A. Manchon, X. Marti,

Мир, М. (1987).

J. Wunderlich, and C. Felser, Nature Phys. 14, 200

22.

T. Tamir, J. Opt. Soc. Am. A. 3, 558 (1986).

(2018).

23.

M. Kumari and S. Dutta Gupta, Opt. Commun. 285,

6. Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская, Основы кри-

617 (2011).

сталлофизики, Наука, М. (1979).

24.

A. E. Miroshnichenko, S. Flach, and Y. S. Kivshar, Rev.

7. И. Е. Дзялошинский, ЖЭТФ 46, 1420 (1964).

Mod. Phys. 82, 2257 (2010).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019